Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Sa ika-5 baitang, ang mga mag-aaral sa matematika ay nag-aaral ng maraming bagong paksa, isa na rito ang mga fractional equation. Para sa marami, ito ay isang medyo kumplikadong paksa na dapat tulungan ng mga magulang na maunawaan ng kanilang mga anak, at kung nakalimutan ng mga magulang ang matematika, maaari silang palaging gumamit ng mga online na programa na lumulutas ng mga equation. Kaya, gamit ang isang halimbawa, mabilis mong mauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng mga equation na may mga fraction at tulungan ang iyong anak.

Sa ibaba, para sa kalinawan, malulutas namin ang isang simpleng fractional linear equation ng sumusunod na form:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Upang malutas ang ganitong uri ng equation, kinakailangan upang matukoy ang NOZ at i-multiply ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan nito:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Bibigyan tayo nito ng simpleng linear equation dahil ang common denominator pati na rin ang denominator ng bawat fractional term ay kinakansela:

Ilipat natin ang mga termino mula sa hindi alam patungo sa kaliwang bahagi:

Hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi sa -7:

Mula sa resulta na nakuha, maaaring makilala ang isang integer na bahagi, na siyang magiging huling resulta ng paglutas ng fractional equation na ito:

Saan ko malulutas ang equation na may mga fraction online?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Fractional equation. ODZ.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Ang huling view ay nananatili mga fractional equation. O tinatawag din silang mas solid - fractional rational equation. Ito ay pareho.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga praksiyon, ngunit mga praksiyon na mayroon hindi kilala sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Let me remind you, kung sa denominators lang numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation, kadalasan, ay nagiging isang linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso, maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Sa ibaba ay babanggitin ko ito.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng lahat ng magkaparehong pagbabago.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay bumaba! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Ipinaliwanag ko sa isang halimbawa. Sabihin nating kailangan nating lutasin ang equation:

Paano sila itinuro noong elementarya? Inilipat namin ang lahat sa isang direksyon, binabawasan ito sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan ang masamang panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbabawas ka ng mga fractional expression. O magtrabaho nang may hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang parehong bahagi sa isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (ibig sabihin, sa esensya, sa pamamagitan ng isang common denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, upang mabawasan ang denominator, kailangan mong i-multiply sa x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Kaya, ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Kami ay nagpaparami:

Ito ang karaniwang pagpaparami ng mga praksiyon, ngunit isusulat ko nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang panaklong. (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi, ito ay ganap na nabawasan (x+2), at sa kanan 2. Kung kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear ang equation:

Kahit sino ay kayang lutasin ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1 ay maaaring isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mula sa mga fraction.

Nakikita namin na upang bawasan ang denominator na may x, kinakailangan na i-multiply ang fraction sa (x - 2). At hindi hadlang sa amin ang mga unit. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi at lahat kanang banda:

Mga bracket ulit (x - 2) Hindi ko ibinubunyag. Nagtatrabaho ako sa bracket sa kabuuan, na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan, kami ay nag-cut (x - 2) at makuha namin ang equation nang walang anumang mga fraction, sa isang ruler!

At ngayon binubuksan namin ang mga bracket:

Nagbibigay kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makuha:

Ngunit bago iyon, matututo tayong lutasin ang iba pang mga problema. Para sa interes. Ang mga rake, nga pala!

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang mga equation na naglalaman ng variable sa denominator ay maaaring malutas sa dalawang paraan:

Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon

Anuman ang paraan na pinili, pagkatapos mahanap ang mga ugat ng equation, kinakailangang pumili mula sa mga nahanap na halaga ng mga katanggap-tanggap na halaga, ibig sabihin, ang mga hindi nagiging denominator sa $0$.

1 paraan. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang common denominator.

Halimbawa 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Desisyon:

1. Ilipat ang fraction mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwa

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Upang magawa ito nang tama, naaalala namin na kapag inililipat ang mga elemento sa ibang bahagi ng equation, ang tanda sa harap ng mga expression ay nagbabago sa kabaligtaran. Kaya, kung sa kanang bahagi ay may "+" na palatandaan bago ang fraction, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ay mayroong "-" na palatandaan sa harap nito. Pagkatapos sa kaliwang bahagi ay nakuha natin ang pagkakaiba ng mga fraction.

2. Ngayon ay napapansin natin na ang mga praksiyon ay may iba't ibang denominador, na nangangahulugan na upang mabuo ang pagkakaiba, kinakailangan na dalhin ang mga praksiyon sa isang karaniwang denominador. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng mga polynomial sa mga denominador ng orihinal na mga fraction: $(2x-1)(x+3)$

Upang makakuha ng magkaparehong expression, ang numerator at denominator ng unang fraction ay dapat na i-multiply sa polynomial na $(x+3)$, at ang pangalawa sa polynomial na $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Gawin natin ang pagbabago sa numerator ng unang bahagi - pararamihin natin ang mga polynomial. Alalahanin na para dito kinakailangan na i-multiply ang unang termino ng unang polynomial, i-multiply sa bawat termino ng pangalawang polynomial, pagkatapos ay i-multiply ang pangalawang termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idagdag ang mga resulta

\[\kaliwa(2x+3\kanan)\kaliwa(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa nagresultang expression

\[\kaliwa(2x+3\kanan)\kaliwa(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Magsagawa ng katulad na pagbabago sa numerator ng pangalawang bahagi - pararamihin natin ang mga polynomial

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Pagkatapos ang equation ay kukuha ng form:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Ngayon ay mga fraction na may parehong denominator, kaya maaari mong ibawas. Alalahanin na kapag binabawasan ang mga fraction na may parehong denominator mula sa numerator ng unang fraction, kinakailangang ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, na iniiwan ang denominator na pareho.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Ibahin natin ang expression sa numerator. Upang mabuksan ang mga bracket na sinusundan ng "-" sign, ang lahat ng mga palatandaan sa harap ng mga termino sa mga bracket ay dapat na baligtarin

\[(2x)^2+9x+9-\kaliwa((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino

$(2x)^2+9x+9-\kaliwa((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Pagkatapos ang fraction ay kukuha ng anyo

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ang isang fraction ay katumbas ng $0$ kung ang numerator nito ay 0. Samakatuwid, itinutumbas natin ang numerator ng fraction sa $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lutasin natin ang linear equation:

4. Sampolan natin ang mga ugat. Nangangahulugan ito na kinakailangang suriin kung ang mga denominator ng orihinal na mga fraction ay nagiging $0$ kapag natagpuan ang mga ugat.

Itinakda namin ang kundisyon na ang mga denominator ay hindi katumbas ng $0$

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga halaga ng mga variable ay pinapayagan, maliban sa $-3$ at $0.5$.

Ang ugat na nakita namin ay isang wastong halaga, kaya ligtas itong maituturing na ugat ng equation. Kung ang nahanap na ugat ay hindi isang wastong halaga, kung gayon ang gayong ugat ay magiging extraneous at, siyempre, ay hindi isasama sa sagot.

Sagot:$-0,2.$

Ngayon ay maaari na tayong magsulat ng algorithm para sa paglutas ng isang equation na naglalaman ng variable sa denominator

Isang algorithm para sa paglutas ng isang equation na naglalaman ng variable sa denominator

Ilipat ang lahat ng elemento mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi. Upang makakuha ng magkaparehong equation, kinakailangan na baguhin ang lahat ng mga palatandaan sa harap ng mga expression sa kanang bahagi sa kabaligtaran

Kung sa kaliwang bahagi ay nakakakuha tayo ng isang expression na may iba't ibang denominator, pagkatapos ay dinadala natin sila sa isang karaniwang gamit ang pangunahing pag-aari ng fraction. Magsagawa ng mga pagbabagong-anyo gamit ang magkatulad na mga pagbabagong-anyo at makuha ang huling bahagi na katumbas ng $0$.

I-equate ang numerator sa $0$ at hanapin ang mga ugat ng resultang equation.

Sample natin ang mga ugat, i.e. maghanap ng mga wastong variable value na hindi nagiging $0$ ang denominator.

2 paraan. Gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon

Ang pangunahing katangian ng isang proporsyon ay ang produkto ng mga matinding termino ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.

Halimbawa 2

Ginagamit namin ang property na ito para malutas ang gawaing ito

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Hanapin at itumbas natin ang produkto ng sukdulan at gitnang mga miyembro ng proporsyon.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Ang paglutas ng nagresultang equation, nakita natin ang mga ugat ng orihinal

2. Maghanap tayo ng mga tinatanggap na halaga ng isang variable.

Mula sa nakaraang solusyon (1st way) nalaman na namin na ang anumang halaga ay pinapayagan maliban sa $-3$ at $0.5$.

Pagkatapos, nang matukoy na ang natagpuang ugat ay isang wastong halaga, nalaman namin na $-0.2$ ang magiging ugat.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction tingnan natin ang mga halimbawa. Ang mga halimbawa ay simple at naglalarawan. Sa kanilang tulong, maaari mong maunawaan sa pinaka-naiintindihan na paraan,.
Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang simpleng equation x/b + c = d.

Ang isang equation ng ganitong uri ay tinatawag na linear, dahil ang denominator ay naglalaman lamang ng mga numero.

Ang solusyon ay ginagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa b, pagkatapos ay ang equation ay kumukuha ng anyo na x = b*(d – c), i.e. ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ay nabawasan.

Halimbawa, kung paano lutasin ang isang fractional equation:
x/5+4=9
I-multiply namin ang parehong bahagi sa 5. Nakukuha namin ang:
x+20=45
x=45-20=25

Isa pang halimbawa kung saan ang hindi alam ay nasa denominator:

Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na fractional rational o simpleng fractional.

Lutasin natin ang isang fractional equation sa pamamagitan ng pag-alis ng mga fraction, kung saan ang equation na ito, kadalasan, ay nagiging linear o quadratic, na nalulutas sa karaniwang paraan. Dapat mo lamang isaalang-alang ang mga sumusunod na puntos:

• ang halaga ng isang variable na nagpapalit ng denominator sa 0 ay hindi maaaring maging isang ugat;
• hindi mo maaaring hatiin o i-multiply ang equation sa expression na =0.

Dito nagiging puwersa ang gayong konsepto bilang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ) - ito ang mga halaga ng mga ugat ng equation kung saan may katuturan ang equation.

Kaya, ang paglutas ng equation, kinakailangan upang mahanap ang mga ugat, at pagkatapos ay suriin ang mga ito para sa pagsunod sa ODZ. Ang mga ugat na iyon na hindi tumutugma sa aming DHS ay hindi kasama sa sagot.

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang fractional equation:

Batay sa tuntunin sa itaas, ang x ay hindi maaaring = 0, i.e. ODZ sa kasong ito: x - anumang halaga maliban sa zero.

Inaalis namin ang denominator sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga termino ng equation sa x

At lutasin ang karaniwang equation

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Sagot: x = 1/3

Lutasin natin ang equation na mas kumplikado:

Ang ODZ ay naroroon din dito: x -2.

Ang paglutas ng equation na ito, hindi namin ililipat ang lahat sa isang direksyon at magdadala ng mga fraction sa isang common denominator. Agad naming i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang expression na magbabawas sa lahat ng mga denominator nang sabay-sabay.

Upang bawasan ang mga denominator, kailangan mong i-multiply ang kaliwang bahagi ng x + 2, at ang kanang bahagi ng 2. Kaya, ang magkabilang panig ng equation ay dapat na i-multiply sa 2 (x + 2):

Ito ang pinakakaraniwang multiplikasyon ng mga fraction, na napag-usapan na natin sa itaas.

Isinulat namin ang parehong equation, ngunit sa isang bahagyang naiibang paraan.

Ang kaliwang bahagi ay binabawasan ng (x + 2), at ang kanang bahagi ng 2. Pagkatapos ng pagbawas, nakukuha natin ang karaniwang linear na equation:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, na tumutugma sa aming ODZ

Sagot: x = 2.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction hindi kasing hirap ng tila. Sa artikulong ito, ipinakita namin ito sa mga halimbawa. Kung nahihirapan ka sa kung paano lutasin ang mga equation na may mga fraction, pagkatapos ay mag-unsubscribe sa mga komento.