Upang maunawaan kung paano bawasan ang mga fraction, tingnan muna natin ang isang halimbawa.

Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa pareho. Ang parehong 360 at 420 ay nagtatapos sa isang numero, kaya maaari nating bawasan ang fraction na ito ng 2. Sa bagong fraction, parehong 180 at 210 ay nahahati din ng 2, binabawasan natin ang fraction na ito ng 2. Sa mga numero 90 at 105, ang kabuuan ng ang mga digit ay nahahati ng 3, kaya ang parehong mga numerong ito ay nahahati ng 3, binabawasan namin ang fraction ng 3. Sa bagong fraction, 30 at 35 ay nagtatapos sa 0 at 5, na nangangahulugan na ang parehong mga numero ay nahahati sa 5, kaya binabawasan namin ang fraction ng 5. Ang resultang fraction, anim na ikapito, ay hindi mababawasan. Ito ang huling sagot.

Maaari tayong makarating sa parehong sagot sa ibang paraan.

Ang parehong 360 at 420 ay nagtatapos sa zero, na nangangahulugan na ang mga ito ay nahahati sa 10. Binabawasan namin ang fraction ng 10. Sa bagong fraction, ang numerator 36 at ang denominator 42 ay hinati sa 2. Binabawasan namin ang fraction ng 2. Sa Ang susunod na fraction, pareho ang numerator 18 at ang denominator 21 ay hinati sa 3, na nangangahulugang binabawasan namin ang fraction ng 3. Dumating kami sa resulta - anim na ikapito.

At isa pang solusyon.

Sa susunod ay isasaalang-alang natin ang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction.

Sa artikulong ito, titingnan natin mga pangunahing operasyon na may mga algebraic fraction:

• pagbawas ng fraction
• pagpaparami ng mga fraction
• paghahati ng mga fraction

Magsimula tayo sa mga pagdadaglat ng algebraic fractions.

Mukhang, algorithm halata naman.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction, kailangan

1. I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction.

2. Bawasan ang parehong mga multiplier.

Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay madalas na nagkakamali ng "pagbawas" hindi sa mga kadahilanan, ngunit sa mga tuntunin. Halimbawa, may mga amateur na "nagbabawas" ng mga fraction at nakakuha bilang isang resulta, na, siyempre, ay hindi totoo.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

1. Bawasan ang fraction:

1. Isinasali namin ang numerator ayon sa formula ng parisukat ng kabuuan, at ang denominator ayon sa formula ng pagkakaiba ng mga parisukat

2. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

2. Bawasan ang fraction:

1. I-factor ang numerator. Dahil ang numerator ay naglalaman ng apat na termino, inilalapat namin ang pagpapangkat.

2. I-factor ang denominator. Ang parehong naaangkop sa pagpapangkat.

3. Isulat natin ang fraction na nakuha natin at bawasan ang parehong mga salik:

Pagpaparami ng mga algebraic fraction.

Kapag nagpaparami ng algebraic fractions, pinaparami natin ang numerator sa numerator, at pinaparami natin ang denominator sa denominator.

Mahalaga! Hindi na kailangang magmadali upang magsagawa ng multiplikasyon sa numerator at denominator ng isang fraction. Pagkatapos nating maisulat ang produkto ng mga numerator ng mga fraction sa numerator, at ang produkto ng mga denominator sa denominator, kailangan nating i-factor ang bawat salik at bawasan ang fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

3. Pasimplehin ang expression:

1. Isulat natin ang produkto ng mga fraction: sa numerator ang produkto ng mga numerator, at sa denominator ang produkto ng mga denominator:

2. Isinasali namin ang bawat bracket:

Ngayon kailangan nating bawasan ang parehong mga multiplier. Tandaan na ang mga expression at naiiba lamang sa sign: at bilang isang resulta ng paghahati ng unang expression sa pangalawa, makakakuha tayo ng -1.

Kaya,

Ginagawa namin ang paghahati ng mga algebraic fraction ayon sa sumusunod na panuntunan:

Yan ay Upang hatiin sa isang fraction, kailangan mong i-multiply sa "inverted" isa.

Nakikita natin na ang paghahati ng mga fraction ay nababawasan sa multiplikasyon, at Ang multiplikasyon sa huli ay bumababa sa pagbabawas ng mga fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

4. Pasimplehin ang expression:

Sa unang tingin, ang mga algebraic fraction ay tila napakakomplikado, at maaaring isipin ng isang hindi handa na mag-aaral na imposibleng gumawa ng anuman sa kanila. Ang pagtatambak ng mga variable, numero, at kahit na kapangyarihan ay nagbibigay inspirasyon sa takot. Gayunpaman, ang parehong mga panuntunan ay ginagamit upang bawasan ang mga fraction (tulad ng 15/25) at algebraic fraction.

Mga hakbang

Pagbawas ng fraction

Alamin kung paano gumawa ng mga simpleng fraction. Ang mga operasyong may ordinaryong at algebraic na mga praksiyon ay magkatulad. Halimbawa, kunin ang fraction na 15/35. Upang gawing simple ang fraction na ito, maghanap ng karaniwang divisor. Ang parehong mga numero ay nahahati sa lima, kaya maaari naming kunin ang 5 sa numerator at denominator:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Kaya mo na ngayon bawasan ang karaniwang mga kadahilanan, ibig sabihin, ekis ang 5 sa numerator at denominator. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng pinasimple na fraction 3/7 . Sa mga algebraic na expression, ang mga karaniwang kadahilanan ay nakikilala sa parehong paraan tulad ng sa mga ordinaryong. Sa nakaraang halimbawa, madali naming nakuha ang 5 sa 15 - ang parehong prinsipyo ay nalalapat sa mas kumplikadong mga expression tulad ng 15x - 5. Hanapin natin ang karaniwang salik. Sa kasong ito, ito ay magiging 5, dahil ang parehong mga termino (15x at -5) ay mahahati ng 5. Tulad ng dati, pipiliin namin ang karaniwang kadahilanan at inililipat ito pa-kaliwa.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Upang suriin kung tama ang lahat, sapat na upang i-multiply ang expression sa mga bracket sa pamamagitan ng 5 - ang resulta ay ang parehong mga numero na noong una. Ang mga kumplikadong termino ay maaaring makilala sa parehong paraan tulad ng mga simple. Para sa mga algebraic fraction, ang parehong mga prinsipyo ay nalalapat tulad ng para sa mga ordinaryong fraction. Ito ang pinakamadaling paraan upang mabawasan ang isang fraction. Isaalang-alang ang sumusunod na bahagi:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Tandaan na ang numerator (itaas) at denominator (ibaba) ay may termino (x+2), kaya maaari itong bawasan sa parehong paraan tulad ng karaniwang salik 5 sa 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng pinasimpleng expression: (x-3)/(x+10)

Pagbawas ng mga algebraic fraction

Hanapin ang karaniwang kadahilanan sa numerator, iyon ay, sa tuktok ng fraction. Kapag binabawasan ang isang algebraic fraction, ang unang hakbang ay gawing simple ang parehong bahagi nito. Magsimula sa numerator at subukang i-factor ito sa pinakamaraming salik hangga't maaari. Isaalang-alang sa seksyong ito ang sumusunod na bahagi:

9x-3 15x+6

Magsimula tayo sa numerator: 9x - 3. Para sa 9x at -3, ang karaniwang salik ay ang numero 3. Kunin natin ang 3 mula sa mga bracket, tulad ng ginagawa natin sa mga ordinaryong numero: 3 * (3x-1). Bilang resulta ng pagbabagong ito, ang sumusunod na bahagi ay makukuha:

3(3x-1) 15x+6

Hanapin ang karaniwang salik sa numerator. Ipagpatuloy natin ang pagpapatupad ng halimbawa sa itaas at isulat ang denominator: 15x+6. Tulad ng dati, makikita natin sa kung anong bilang ang parehong bahagi ay nahahati. At sa kasong ito ang karaniwang kadahilanan ay 3, kaya maaari naming isulat: 3 * (5x +2). Isulat muli natin ang fraction sa sumusunod na anyo:

3(3x-1) 3(5x+2)

Bawasan ang magkaparehong termino. Sa hakbang na ito, maaari mong gawing simple ang fraction. Kanselahin ang parehong mga termino sa numerator at denominator. Sa aming halimbawa, ang numerong ito ay 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Tukuyin na ang fraction ay may pinakasimpleng anyo. Ang isang fraction ay ganap na pinasimple kapag walang karaniwang mga kadahilanan na natitira sa numerator at denominator. Tandaan na hindi mo maaaring paikliin ang mga terminong iyon na nasa loob ng mga bracket - sa halimbawa sa itaas, walang paraan upang kunin ang x mula sa 3x at 5x, dahil ang (3x -1) at (5x + 2) ay mga ganap na miyembro. Kaya, ang fraction ay hindi pumayag sa higit pang pagpapasimple, at ang huling sagot ay ang mga sumusunod:

(3x-1)(5x+2)

Magsanay sa pagbawas ng mga fraction sa iyong sarili. Ang pinakamahusay na paraan upang matutunan ang pamamaraan ay ang paglutas ng mga problema sa iyong sarili. Ang mga tamang sagot ay ibinigay sa ibaba ng mga halimbawa.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Sagot:(x=13)

2x 2-x 5x

Sagot:(2x-1)/5

Mga Espesyal na Paggalaw

Alisin ang negatibong sign palabas ng fraction. Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na bahagi:

3(x-4) 5(4x)

Tandaan na ang (x-4) at (4-x) ay "halos" magkapareho, ngunit hindi sila maaaring kanselahin nang direkta dahil sila ay "na-flip". Gayunpaman, ang (x - 4) ay maaaring isulat bilang -1 * (4 - x), tulad ng (4 + 2x) ay maaaring isulat bilang 2 * (2 + x). Ito ay tinatawag na "sign reversal".

-1*3(4-x) 5(4x)

Ngayon ay maaari mong bawasan ang parehong mga termino (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Kaya narito ang huling sagot: -3/5 . Matutong kilalanin ang pagkakaiba ng mga parisukat. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ay kapag ang parisukat ng isang numero ay ibinawas mula sa parisukat ng isa pang numero, tulad ng sa expression (a 2 - b 2). Ang pagkakaiba ng perpektong mga parisukat ay maaaring palaging mabulok sa dalawang bahagi - ang kabuuan at ang pagkakaiba ng mga kaukulang square root. Pagkatapos ang expression ay kukuha ng sumusunod na anyo:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ang trick na ito ay lubhang kapaki-pakinabang kapag naghahanap ng mga karaniwang termino sa algebraic fractions.

• Suriin kung tama mong nai-factor ito o ang expression na iyon. Upang gawin ito, i-multiply ang mga kadahilanan - ang resulta ay dapat na parehong expression.
• Upang ganap na gawing simple ang isang fraction, palaging piliin ang pinakamalaking mga kadahilanan.

Dibisyon at ang numerator at denominator ng fraction sa kanilang karaniwang divisor, na iba sa pagkakaisa, ay tinatawag pagbawas ng fraction.

Upang bawasan ang isang karaniwang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong natural na numero.

Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng ibinigay na fraction.

Posible ang mga sumusunod mga form ng rekord ng desisyon Mga halimbawa para sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction.

Ang mag-aaral ay may karapatang pumili ng anumang anyo ng pag-record.

Mga halimbawa. Pasimplehin ang mga fraction.

Bawasan ang fraction ng 3 (hatiin ang numerator sa 3;

hatiin ang denominator sa 3).

Binabawasan namin ang fraction ng 7.

Ginagawa namin ang ipinahiwatig na mga aksyon sa numerator at denominator ng fraction.

Ang resultang fraction ay nabawasan ng 5.

Bawasan natin ang fraction na ito 4) sa 5 7³- ang pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ng numerator at denominator, na binubuo ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator na dinadala sa kapangyarihan na may pinakamaliit na exponent.

I-decompose natin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa mga simpleng salik.

Nakukuha namin: 756=2² 3³ 7 at 1176=2³ 3 7².

Tukuyin ang GCD (pinakamalaking karaniwang divisor) ng numerator at denominator ng fraction 5) .

Ito ang produkto ng mga karaniwang salik na kinuha sa pinakamaliit na exponent.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa kanilang GCD, ibig sabihin, sa pamamagitan ng 2² 3 7 nakakakuha tayo ng irreducible fraction 9/14 .

At posible na isulat ang mga pagpapalawak ng numerator at denominator bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, nang hindi gumagamit ng konsepto ng degree, at pagkatapos ay bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pagtawid sa parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Kapag walang natitira na magkaparehong salik, i-multiply natin ang natitirang mga salik nang hiwalay sa numerator at hiwalay sa denominator at isusulat ang resultang fraction. 9/14 .

At sa wakas, posible na bawasan ang fraction na ito 5) unti-unti, inilalapat ang mga palatandaan ng paghahati ng mga numero sa parehong numerator at denominator ng fraction. Mag-isip ng ganito: mga numero 756 at 1176 nagtatapos sa isang even na numero, kaya ang pareho ay nahahati ng 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Ang numerator at denominator ng bagong fraction ay mga numero 378 at 588 nahahati din sa 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Napansin namin na ang numero 294 - kahit na, at 189 ay kakaiba, at ang pagbabawas ng 2 ay hindi na posible. Suriin natin ang tanda ng divisibility ng mga numero 189 at 294 sa 3 .

(1+8+9)=18 ay nahahati sa 3 at (2+9+4)=15 ay nahahati sa 3, kaya ang mga numero mismo 189 at 294 ay nahahati sa 3 . Binabawasan namin ang fraction ng 3 . Dagdag pa, 63 ay nahahati sa 3 at 98 - Hindi. Ulitin sa iba pang pangunahing salik. Ang parehong mga numero ay nahahati sa 7 . Binabawasan namin ang fraction ng 7 at makuha ang irreducible fraction 9/14 .

Batay sa kanilang pangunahing pag-aari: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong non-zero polynomial, kung gayon ang isang fraction na katumbas nito ay makukuha.

Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier!

Hindi maaaring bawasan ang mga miyembro ng polynomial!

Upang mabawasan ang isang algebraic fraction, ang mga polynomial sa numerator at denominator ay dapat munang i-factor.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagbawas ng fraction.

Ang numerator at denominator ng isang fraction ay monomials. Sila ay kumakatawan trabaho(mga numero, variable at kanilang mga antas), mga multiplier pwede nating bawasan.

Binabawasan namin ang mga numero sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, iyon ay, sa pamamagitan ng pinakamalaking bilang kung saan ang bawat isa sa mga ibinigay na numero ay nahahati. Para sa 24 at 36, ito ay 12. Pagkatapos ng pagbawas mula sa 24, 2 ang nananatili, mula 36 - 3.

Binabawasan namin ang mga degree sa pamamagitan ng degree na may pinakamaliit na indicator. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa parehong divisor, at ibawas ang mga exponent.

Ang a² at a⁷ ay binabawasan ng a². Kasabay nito, ang isa ay nananatili sa numerator mula sa a² (nagsusulat lamang kami ng 1 kung, pagkatapos ng pagbabawas, walang iba pang mga kadahilanan na natitira. Mula sa 24, 2 ang nananatili, kaya hindi namin isusulat ang 1 na natitira mula sa a²). Mula sa a⁷ pagkatapos ng pagbabawas ay nananatiling a⁵.

b at b ay dinaglat ng b, ang mga resultang yunit ay hindi nakasulat.

Ang c³º at c⁵ ay binabawasan ng c⁵. Mula sa c³º, nananatili ang c²⁵, mula sa c⁵ - unit (hindi namin ito isinusulat). Sa ganitong paraan,

Ang numerator at denominator ng algebraic fraction na ito ay mga polynomial. Imposibleng bawasan ang mga tuntunin ng polynomials! (hindi maaaring bawasan, halimbawa, 8x² at 2x!). Upang mabawasan ang fraction na ito, ito ay kinakailangan. Ang numerator ay may karaniwang salik na 4x. Alisin natin ito sa mga bracket:

Parehong may parehong salik ang numerator at denominator (2x-3). Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng salik na ito. Nakakuha kami ng 4x sa numerator, 1 sa denominator. Ayon sa 1 property ng algebraic fractions, ang fraction ay 4x.

Maaari mo lamang bawasan ang mga kadahilanan (hindi mo maaaring bawasan ang isang partikular na bahagi ng 25x²!). Samakatuwid, ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang fraction ay dapat i-factor.

Ang numerator ay ang buong parisukat ng kabuuan, at ang denominator ay ang pagkakaiba ng mga parisukat. Pagkatapos ng pagpapalawak ng mga formula ng pinaikling multiplikasyon, nakukuha natin ang:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (5x + 1) (upang gawin ito, i-cross out ang dalawa sa numerator bilang isang exponent, mula sa (5x + 1) ² ito ay umalis (5x + 1)):

Ang numerator ay may karaniwang salik na 2, alisin natin ito sa mga bracket. Sa denominator - ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube:

Bilang resulta ng pagpapalawak sa numerator at denominator, nakuha namin ang parehong salik (9 + 3a + a²). Binabawasan namin ang bahagi nito:

Ang polynomial sa numerator ay binubuo ng 4 na termino. ang unang termino na may pangalawa, ang pangatlo ay ang ikaapat, at kinuha namin ang karaniwang salik na x² mula sa mga unang bracket. Binubulok namin ang denominator ayon sa pormula para sa kabuuan ng mga cube:

Sa numerator, inaalis namin ang karaniwang salik (x + 2) sa mga bracket:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (x + 2):