Wstęp

Logarytmy zostały wynalezione, aby przyspieszyć i uprościć obliczenia. Idea logarytmu, czyli idea wyrażania liczb jako potęgi o tej samej podstawie, należy do Michaiła Stiefela. Ale w czasach Stiefela matematyka nie była tak rozwinięta, a idea logarytmu nie znalazła swojego rozwoju. Logarytmy wynaleźli później, jednocześnie i niezależnie, szkocki naukowiec John Napier (1550-1617) i szwajcarski Jobst Burgi (1552-1632), a Napier jako pierwszy opublikował swoje dzieło w 1614 roku. zatytułowany „Opis niesamowitej tablicy logarytmów”, teoria logarytmów Napiera została podana w dość kompletnym tomie, metoda obliczania logarytmów została podana w najprostszy sposób, dlatego zasługi Napiera w wynalezieniu logarytmów są większe niż zasługi Burgiego. Burgi pracował nad stołami w tym samym czasie co Napier, jednak długo utrzymywał je w tajemnicy i opublikował dopiero w 1620 roku. Napier opanował ideę logarytmu około 1594 roku. chociaż tabele opublikowano 20 lat później. Początkowo nazwał swoje logarytmy „liczbami sztucznymi”, dopiero potem zaproponował, aby nazwać te „liczby sztuczne” jednym słowem „logarytm”, co po grecku oznacza „liczby skorelowane”, wzięte jedna z ciągu arytmetycznego, a druga z Specjalnie do tego dobrana progresja geometryczna. Pierwsze tablice w języku rosyjskim opublikowano w 1703 roku. z udziałem wybitnego nauczyciela XVIII wieku. L. F. Magnitsky. W rozwoju teorii logarytmów ogromne znaczenie miała praca petersburskiego akademika Leonarda Eulera. Jako pierwszy uznał logarytm za odwrotność potęgowania, wprowadził pojęcia „podstawa logarytmu” i „mantysa”. Briggs stworzył tablice logarytmów o podstawie 10. Tablice dziesiętne są wygodniejsze w praktycznym zastosowaniu, ich teoria jest prostsza niż logarytmy Napiera. Dlatego logarytmy dziesiętne są czasami nazywane brygami. Termin „charakterystyczny” został wprowadzony przez Briggsa.

W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane ilości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. Ale z drugiej strony były stosy, a także garnki, kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek-magazynów zawierających nieznaną liczbę przedmiotów. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, ogół rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Uczeni w piśmie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce liczenia, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem skutecznie.

Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali pewne ogólne metody rozwiązywania problemów z nieznanymi ilościami. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie dają opisu tych technik. Autorzy jedynie sporadycznie opatrzyli swoje obliczenia numeryczne złośliwymi komentarzami w rodzaju: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Odkryłeś, że to prawda”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do zestawiania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.

Jednak dzieło uczonego z Bagdadu z IX wieku stało się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, które stały się powszechnie znane. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” z arabskiego tytułu tego traktatu – „Kitab al-jaber wal-muqabala” („Księga przywracania i kontrastowania”) – z czasem przekształciło się w dobrze znane wszystkim słowo „algebra”, a sama praca al-Khwarizmi posłużyła jako punkt wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.

Równania i nierówności logarytmiczne

1. Równania logarytmiczne

Równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy nazywa się równaniem logarytmicznym.

Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci

dziennik A X = B . (1)

Stwierdzenie 1. Jeśli A > 0, A≠ 1, równanie (1) dla dowolnej liczby rzeczywistej B ma jedyne rozwiązanie X = a b .

Przykład 1. Rozwiąż równania:

a) dziennik 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Rozwiązanie. Korzystając ze twierdzenia 1, otrzymujemy a) X= 2 3 lub X= 8; B) X= 3 -1 lub X= 1/3; C)

Lub X = 1.

Przedstawiamy główne właściwości logarytmu.

P1. Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

Gdzie A > 0, A≠ 1 i B > 0.

P2. Logarytm iloczynu czynników dodatnich jest równy sumie logarytmów tych czynników:

dziennik A N 1 · N 2 = log A N 1 + log A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentarz. Jeśli N 1 · N 2 > 0, wówczas właściwość P2 przyjmuje postać

dziennik A N 1 · N 2 = log A |N 1 | +log A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentarz. Jeśli

, (co jest równoważne N 1 N 2 > 0) wówczas właściwość P3 przyjmuje postać (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu tej liczby:

dziennik A N k = k dziennik A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentarz. Jeśli k- Liczba parzysta ( k = 2S), To

dziennik A N 2S = 2S dziennik A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formuła przejścia do innej bazy jest następująca:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

w szczególności jeśli N = B, otrzymujemy

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

Korzystając z właściwości P4 i P5, łatwo jest uzyskać następujące właściwości

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

i jeśli w (5) C- Liczba parzysta ( C = 2N), występuje

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Podajemy główne właściwości funkcji logarytmicznej F (X) = log A X :

1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.

2. Zakres wartości funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych.

3. Kiedy A> 1 funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca (0< X 1 < X 2 dzienniki A X 1 < logA X 2) i przy 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 dzienniki A X 1 > zaloguj A X 2).

4 dzienniki A 1 = 0 i log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest ujemna dla X(0;1) i jest dodatni dla X(1;+∞), a jeśli 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) i jest ujemne dla X (1;+∞).

6. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest wypukła w górę, a jeśli A(0;1) - wypukły w dół.

Poniższe stwierdzenia (patrz na przykład ) są używane przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania Ci ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie udostępniamy informacji otrzymanych od Ciebie osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli będzie to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, porządkiem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Nierówności logarytmiczne

Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z równaniami logarytmicznymi i teraz wiemy, czym są i jak je rozwiązać. A dzisiejsza lekcja będzie poświęcona badaniu nierówności logarytmicznych. Czym są te nierówności i jaka jest różnica między rozwiązaniem równania logarytmicznego a nierównościami?

Nierówności logarytmiczne to nierówności, które mają zmienną pod znakiem logarytmu lub u jego podstawy.

Można też powiedzieć, że nierówność logarytmiczna to nierówność, w której jej nieznana wartość, podobnie jak w równaniu logarytmicznym, będzie pod znakiem logarytmu.

Najprostsze nierówności logarytmiczne wyglądają następująco:

gdzie f(x) i g(x) to pewne wyrażenia zależne od x.

Spójrzmy na to na następującym przykładzie: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przed rozwiązaniem nierówności logarytmicznych warto zauważyć, że po ich rozwiązaniu mają one charakter podobny do nierówności wykładniczych, a mianowicie:

Po pierwsze, przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, musimy także porównać podstawę logarytmu z jednością;

Po drugie, rozwiązując nierówność logarytmiczną za pomocą zmiany zmiennych, musimy rozwiązywać nierówności ze względu na zmianę, aż otrzymamy najprostszą nierówność.

Ale to my rozważaliśmy podobne momenty rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Przyjrzyjmy się teraz dość istotnej różnicy. Ty i ja wiemy, że funkcja logarytmiczna ma ograniczoną dziedzinę definicji, dlatego przechodząc od logarytmów do wyrażeń znajdujących się pod znakiem logarytmu, trzeba wziąć pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości​​(ODV).

Oznacza to, że należy pamiętać, że rozwiązując równanie logarytmiczne, możemy najpierw znaleźć pierwiastki równania, a następnie sprawdzić to rozwiązanie. Ale rozwiązanie nierówności logarytmicznej nie będzie działać w ten sposób, ponieważ przechodząc od logarytmów do wyrażeń pod logarytmem, konieczne będzie zapisanie ODZ nierówności.

Ponadto warto pamiętać, że teoria nierówności składa się z liczb rzeczywistych, które są liczbami dodatnimi i ujemnymi, a także liczby 0.

Na przykład, gdy liczba „a” jest dodatnia, należy zastosować następujący zapis: a > 0. W tym przypadku zarówno suma, jak i iloczyn takich liczb będą również dodatnie.

Podstawową zasadą rozwiązywania nierówności jest zastąpienie jej prostszą nierównością, ale najważniejsze, aby była ona równoważna podanej. Co więcej, również uzyskaliśmy nierówność i ponownie zastąpiliśmy ją inną, która ma prostszą formę i tak dalej.

Rozwiązując nierówności ze zmienną, musisz znaleźć wszystkie jej rozwiązania. Jeżeli dwie nierówności mają tę samą zmienną x, to nierówności takie są równoważne, pod warunkiem, że ich rozwiązania są takie same.

Wykonując zadania rozwiązywania nierówności logarytmicznych należy pamiętać, że gdy a > 1, to funkcja logarytmiczna wzrasta, a gdy 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Sposoby rozwiązywania nierówności logarytmicznych

Przyjrzyjmy się teraz niektórym metodom stosowanym przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych. Dla lepszego zrozumienia i przyswojenia postaramy się je zrozumieć na konkretnych przykładach.

Wiemy, że najprostsza nierówność logarytmiczna ma postać:

W tej nierówności V - jest jednym z takich znaków nierówności jak:<,>, ≤ lub ≥.

Gdy podstawa tego logarytmu jest większa niż jeden (a>1), dokonując przejścia od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmu, to w tej wersji znak nierówności zostaje zachowany i nierówność będzie wyglądać następująco:

co jest równoważne następującemu systemowi:

W przypadku, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności (0

Jest to równoważne temu systemowi:

Przyjrzyjmy się kolejnym przykładom rozwiązywania najprostszych nierówności logarytmicznych pokazanych na poniższym obrazku:

Rozwiązanie przykładów

Ćwiczenia. Spróbujmy rozwiązać tę nierówność:

Decyzja o obszarze wartości dopuszczalnych.

Spróbujmy teraz pomnożyć jego prawą stronę przez:

Zobaczmy, co możemy zrobić:

Przejdźmy teraz do transformacji wyrażeń sublogarytmicznych. Ponieważ podstawa logarytmu wynosi 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I z tego wynika, że ​​uzyskany przez nas przedział należy w całości do ODZ i jest rozwiązaniem takiej nierówności.

Oto odpowiedź jaką otrzymaliśmy:

Co jest potrzebne do rozwiązania nierówności logarytmicznych?

Spróbujmy teraz przeanalizować, czego potrzebujemy, aby skutecznie rozwiązać nierówności logarytmiczne?

Najpierw skup całą swoją uwagę i staraj się nie popełniać błędów podczas wykonywania przekształceń podanych w tej nierówności. Należy również pamiętać, że przy rozwiązywaniu takich nierówności należy zapobiegać rozszerzaniu i zawężaniu nierówności ODZ, co może prowadzić do utraty lub nabycia obcych rozwiązań.

Po drugie, rozwiązując nierówności logarytmiczne, trzeba nauczyć się myśleć logicznie i rozumieć różnicę między takimi pojęciami jak układ nierówności a zbiór nierówności, aby móc łatwo wybierać rozwiązania nierówności, kierując się jej DHS.

Po trzecie, aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, każdy z Was musi doskonale znać wszystkie własności funkcji elementarnych i dobrze rozumieć ich znaczenie. Do takich funkcji należą nie tylko logarytmiczne, ale także wymierne, potęgowe, trygonometryczne itp., Jednym słowem wszystkie te, których uczyłeś się podczas szkolnej algebry.

Jak widać, po przestudiowaniu tematu nierówności logarytmicznych, nie ma nic trudnego w rozwiązaniu tych nierówności, pod warunkiem, że będziesz uważny i wytrwały w osiąganiu swoich celów. Aby nie było problemów z rozwiązywaniem nierówności, trzeba jak najwięcej trenować, rozwiązując różne zadania, a jednocześnie zapamiętywać główne sposoby rozwiązywania takich nierówności i ich układów. Przy nieudanych rozwiązaniach nierówności logarytmicznych należy dokładnie przeanalizować swoje błędy, aby nie wracać do nich ponownie w przyszłości.

Praca domowa

Dla lepszego przyswojenia tematu i utrwalenia omawianego materiału należy rozwiązać następujące nierówności:

Z nimi są logarytmy wewnętrzne.

Przykłady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Jak rozwiązać nierówności logarytmiczne:

Każdą nierówność logarytmiczną należy sprowadzić do postaci \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) oznacza dowolne z ). Ta forma pozwala nam pozbyć się logarytmów i ich podstaw, przechodząc do nierówności wyrażeń pod logarytmami, czyli do postaci \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale podczas dokonywania tego przejścia istnieje jedna bardzo ważna subtelność:
\(-\) jeżeli - liczba i jest ona większa od 1 - znak nierówności pozostaje niezmienny podczas przejścia,
\(-\) jeśli podstawa jest liczbą większą niż 0, ale mniejszą niż 1 (od zera do jedynki), to znak nierówności należy odwrócić, tj.

Przykłady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Rozwiązanie: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odpowiedź: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(przypadki)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(przypadki)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Rozwiązanie: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odpowiedź: \((2;5]\)

Bardzo ważne! W dowolnej nierówności przejście z postaci \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) do porównywania wyrażeń pod logarytmami można wykonać tylko wtedy, gdy:

Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log\)\(≤-1\)

Rozwiązanie:

\(\dziennik\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Napiszmy ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otwieramy nawiasy, podajemy .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Mnożymy nierówność przez \(-1\), pamiętając o odwróceniu znaku porównania.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Zbudujmy oś liczbową i zaznaczmy na niej punkty \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Należy zauważyć, że punkt z mianownika jest przebijany, mimo że nierówność nie jest ścisła. Faktem jest, że ten punkt nie będzie rozwiązaniem, ponieważ podstawiając go do nierówności, doprowadzi nas to do dzielenia przez zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Teraz wykreślamy ODZ na tej samej osi liczbowej i w odpowiedzi zapisujemy przedział mieszczący się w ODZ.
	Zapisz ostateczną odpowiedź.

Odpowiedź: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Rozwiązanie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Napiszmy ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Przejdźmy do rozwiązania.
Rozwiązanie: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Przed nami typowa nierówność logarytmiczna kwadratowa. My robimy.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Rozwiń lewą stronę nierówności do .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Teraz musisz wrócić do oryginalnej zmiennej - x. Aby to zrobić, przechodzimy do , który ma to samo rozwiązanie i dokonujemy odwrotnego podstawienia.
\(\left[ \begin(zebrane) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Przekształć \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(zebrane) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Przejdźmy do porównywania argumentów. Podstawy logarytmów są większe niż \(1\), więc znak nierówności się nie zmienia.
\(\left[ \begin(zebrane) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Połączmy rozwiązanie nierówności i ODZ na jednym rysunku.
	Zapiszmy odpowiedź.

Odpowiedź: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU

Sieczin Michaił Aleksandrowicz

Mała Akademia Nauk dla Studentów Republiki Kazachstanu „Poszukiwacz”

MBOU „Radziecka szkoła średnia nr 1”, klasa 11, m. Okręg Sowiecki

Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka MBOU „Radzieckiej szkoły średniej nr 1”

Rejon sowiecki

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania nierówności logarytmicznych C3 metodami niestandardowymi, ujawniające ciekawe fakty dotyczące logarytmu.

Przedmiot badań:

3) Nauczyć się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 metodami niestandardowymi.

Wyniki:

Treść

Wprowadzenie………………………………………………………………………….4

Rozdział 1. Tło………………………………………………………...5

Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów…………… 7

2.2. Metoda racjonalizacji …………………………………………………… 15

2.3. Zastępstwo niestandardowe…………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Zadania z pułapkami……………………………………………………… 27

Zakończenie………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Wstęp

Chodzę do 11. klasy i planuję rozpocząć studia na uniwersytecie, gdzie matematyka jest przedmiotem podstawowym. I dlatego dużo pracuję z zadaniami z części C. W zadaniu C3 trzeba rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle kojarzony z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu napotkałem problem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody studiowane w szkolnym programie nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zasugerowała, żebym samodzielnie pracowała nad zadaniami C3 pod jej okiem. Ponadto zainteresowało mnie pytanie: czy w naszym życiu istnieją logarytmy?

Mając to na uwadze, wybrano temat:

„Nierówności logarytmiczne na egzaminie”

Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 metodami niestandardowymi, ujawniające ciekawe fakty dotyczące logarytmu.

Przedmiot badań:

1) Znajdź niezbędne informacje na temat niestandardowych metod rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

2) Znajdź dodatkowe informacje na temat logarytmów.

3) Naucz się rozwiązywać konkretne problemy C3 przy użyciu niestandardowych metod.

Wyniki:

Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, do prowadzenia kółek, zajęć fakultatywnych z matematyki.

Produktem projektu będzie zbiór „Nierówności logarytmiczne C3 z rozwiązaniami”.

Rozdział 1. Tło

W XVI wieku liczba przybliżonych obliczeń gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Udoskonalanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiały się także w innych obszarach, np. w branży ubezpieczeniowej potrzebne były tabele odsetek składanych dla różnych wartości procentowych. Główną trudnością było mnożenie, dzielenie liczb wielocyfrowych, zwłaszcza wielkości trygonometrycznych.

Odkrycie logarytmów opierało się na dobrze znanych właściwościach progresji pod koniec XVI wieku. Archimedes mówił o powiązaniu członków postępu geometrycznego q, q2, q3, ... i postępu arytmetycznego ich wskaźników 1, 2, 3, ... w Psalmicie. Kolejnym warunkiem wstępnym było rozszerzenie pojęcia stopnia na wykładniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów zauważyło, że mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi i wyodrębnianie pierwiastka wykładniczo odpowiadają w arytmetyce – w tej samej kolejności – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Oto idea logarytmu jako wykładnika.

W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.

Scena 1

Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Burgiego (1552-1632). Obaj chcieli zapewnić nowy, wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podeszli do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i w ten sposób wkroczył w nową dziedzinę teorii funkcji. Bürgi pozostał w oparciu o uwzględnienie dyskretnych progresji. Jednak definicja logarytmu dla obu nie jest podobna do współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstało z połączenia greckich słów: logos – „stosunek” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego określenia: numeri Artificiales – „liczby sztuczne”, w przeciwieństwie do numeri naturalts – „liczby naturalne”.

W 1615 roku w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresh College w Londynie, Napier zaproponował przyjmowanie zera za logarytm jedności i 100 za logarytm dziesięciu, czyli co równa się temu samemu , tylko 1. Tak wydrukowano logarytmy dziesiętne i pierwsze tablice logarytmiczne. Później tablice Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i matematyk Andrian Flakk (1600-1667). Napier i Briggs, choć do logarytmów doszli wcześniej niż inni, swoje tablice opublikowali później niż inni – w roku 1620. Znaki dziennika i kłody wprowadził w 1624 r. I. Kepler. Termin „logarytm naturalny” wprowadził Mengoli w 1659 r., następnie N. Mercator w 1668 r., a londyński nauczyciel John Spadel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod nazwą „Nowe logarytmy”.

W języku rosyjskim pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w 1703 roku. Jednak we wszystkich tabelach logarytmicznych popełniono błędy w obliczeniach. Pierwsze bezbłędne tablice zostały opublikowane w 1857 roku w Berlinie w opracowaniu niemieckiego matematyka K. Bremikera (1804-1877).

Etap 2

Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małego. Do tego czasu ustalono związek między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.

Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w swoim eseju

„Logarithmotechnics” (1668) podaje szereg, który daje rozwinięcie ln(x + 1) pod względem

potęgi x:

Wyrażenie to odpowiada dokładnie tokowi jego myśli, chociaż oczywiście nie używał znaków d, ..., ale bardziej uciążliwych symboli. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W wykładach „Elementarna matematyka z wyższego punktu widzenia”, czytanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował wykorzystanie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.

Etap 3

Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotności

wykładniczy, logarytm jako wykładnik danej podstawy

nie został sformułowany od razu. Twórczość Leonharda Eulera (1707-1783)

Kolejnym krokiem było „Wprowadzenie do analizy nieskończenie małych” (1748).

rozwój teorii funkcji logarytmicznej. Zatem,

Od czasu pierwszego wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata

(licząc od 1614 r.), zanim matematycy wymyślili definicję

pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą zajęć szkolnych.

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych

2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów.

Równoważne przejścia

jeśli a > 1

jeśli 0 < а < 1

Uogólniona metoda interwałowa

Metoda ta jest najbardziej uniwersalna w rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda następująco:

1. Doprowadzić nierówność do takiej postaci, w której funkcja znajduje się po lewej stronie
i 0 po prawej stronie.

2. Znajdź zakres funkcji
.

3. Znajdź zera funkcji
, czyli rozwiązać równanie
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).

4. Narysuj dziedzinę definicji i miejsca zerowe funkcji na prostej rzeczywistej.

5. Wyznacz znaki funkcji
w otrzymanych odstępach czasu.

6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje niezbędne wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiązanie:

Zastosuj metodę interwałową

Gdzie

Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakami logarytmów są dodatnie.

Odpowiedź:

Przykład 2

Rozwiązanie:

1 sposób . ODZ jest określona przez nierówność X> 3. Branie logarytmów dla takich X w podstawie 10, otrzymujemy

Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując zasady rozkładu, tj. porównywanie czynników z zerem. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały stałości funkcji

można więc zastosować metodę interwałową.

Funkcjonować F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ jest ciągłe dla X> 3 i znika w punktach X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. W ten sposób wyznaczamy przedziały stałości funkcji F(X):

Odpowiedź:

Drugi sposób . Zastosujmy idee metody przedziałów bezpośrednio do pierwotnej nierówności.

W tym celu przypominamy, że wyrażenia A B- A c i ( A - 1)(B- 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność dla X> 3 jest równoważne nierówności

Lub

Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałową

Odpowiedź:

Przykład 3

Rozwiązanie:

Zastosuj metodę interwałową

Odpowiedź:

Przykład 4

Rozwiązanie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 dla wszystkich rzeczywistych X, To

Aby rozwiązać drugą nierówność, stosujemy metodę przedziałową

W pierwszej nierówności dokonujemy zmiany

wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, które spełniają nierówność -0,5< y < 1.

Skąd, ponieważ

otrzymujemy nierówność

z którym się przeprowadza X, dla którego 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy

Odpowiedź:

Przykład 5

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów

Lub

Zastosuj metodę interwałową lub

Odpowiedź:

Przykład 6

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoznaczna z systemem

Pozwalać

Następnie y > 0,

i pierwsza nierówność

system przybiera formę

lub rozszerzanie

trójmian kwadratowy do czynników,

Stosując metodę przedziałową do ostatniej nierówności,

widzimy, że jego rozwiązania spełniają warunek y> 0 będzie wszystkim y > 4.

Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:

Zatem rozwiązania nierówności są wszystkie

2.2. metoda racjonalizacji.

Wcześniej nie rozwiązano metody racjonalizacji nierówności, nie było znane. Jest to „nowa, nowoczesna, skuteczna metoda rozwiązywania nierówności wykładniczych i logarytmicznych” (cytat z książki Kolesnikowej S.I.)
A nawet gdyby nauczyciel go znał, była obawa - ale czy zna go ekspert USE i dlaczego nie dają go w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Skąd to wziąłeś? Usiądź – 2”.
Teraz metoda jest promowana na całym świecie. A dla ekspertów są wytyczne związane z tą metodą, a w „Najbardziej kompletnych edycjach opcji standardowych…” w rozwiązaniu C3 stosowana jest ta metoda.
METODA JEST SUPER!

„Magiczny stół”

W innych źródłach

Jeśli a >1 i b >1, następnie log a b >0 i (a -1)(b -1) >0;

Jeśli a >1 i 0

jeśli 0<A<1 и b >1, następnie zaloguj a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jeśli 0<A<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0.

Powyższe rozumowanie jest proste, ale zauważalnie upraszcza rozwiązanie nierówności logarytmicznych.

Przykład 4

log x (x 2 -3)<0

Rozwiązanie:

Przykład 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Rozwiązanie:

Odpowiedź. (0; 0,5) U .

Przykład 6

Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika zapisujemy (x-1-1) (x-1), a zamiast licznika iloczyn (x-1) (x-3-9 + x).

Odpowiedź : (3;6)

Przykład 7

Przykład 8

2.3. Zamiennik niestandardowy.

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

Przykład 5

Przykład 6

Przykład 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Dokonajmy podstawienia y=3 x -1; wówczas ta nierówność przyjmuje postać

log 4 log 0,25
.

Ponieważ log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , to ostatnią nierówność zapisujemy jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Dokonajmy zamiany t =log 4 y i otrzymajmy nierówność t 2 -2t +≥0, której rozwiązaniem są przedziały - .

Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zestaw dwóch najprostszych nierówności
Rozwiązaniem tego zbioru są przedziały 0<у≤2 и 8≤у<+.

Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych,
czyli agregaty

Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Zatem pierwotna nierówność obowiązuje dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.

Przykład 8

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoznaczna z systemem

Rozwiązaniem drugiej nierówności wyznaczającej ODZ będzie ich zbiór X,

dla którego X > 0.

Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy zmiany

Wtedy otrzymujemy nierówność

Lub

Metoda polega na znalezieniu zbioru rozwiązań ostatniej nierówności

interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otrzymujemy

Lub

Wiele z nich X, które spełniają ostatnią nierówność

należy do ODZ ( X> 0), jest zatem rozwiązaniem układu,

i stąd pierwotna nierówność.

Odpowiedź:

2.4. Zadania z pułapkami.

Przykład 1

.

Rozwiązanie. ODZ nierówności to wszystkie x spełniające warunek 0 . Zatem wszystkie x z przedziału 0

Przykład 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Chodzi o to, że druga liczba jest oczywiście większa niż

Wniosek

Nie było łatwo znaleźć specjalne metody rozwiązywania problemów C3 w dużej liczbie różnych źródeł edukacyjnych. W trakcie wykonanej pracy miałem okazję poznać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , substytucja niestandardowa , zadania z pułapkami na ODZ. Tych metod nie ma w szkolnym programie nauczania.

Różnymi metodami rozwiązałem 27 nierówności oferowanych w USE w części C, a mianowicie C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „Logarithmic C3 Inequalities with Solutions”, który stał się produktem projektowym mojej działalności. Potwierdziła się hipoteza, którą postawiłem na początku projektu: problemy C3 można skutecznie rozwiązać, jeśli znane są te metody.

Ponadto odkryłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. Zrobienie tego było dla mnie interesujące. Produkty mojego projektu będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.

Wnioski:

W ten sposób cel projektu został osiągnięty, problem został rozwiązany. Zdobyłem najbardziej kompletne i wszechstronne doświadczenie w działaniach projektowych na wszystkich etapach pracy. W trakcie pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, czynności związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, inicjatywy osobistej, odpowiedzialności, wytrwałości i aktywności.

Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Stałem się: znaczącym doświadczeniem szkolnym, umiejętnością wydobywania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności, uszeregowania ich według ważności.

Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki, poszerzył swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobył nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązał kontakty z kolegami i koleżankami z klasy oraz nauczył się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijane były ogólne umiejętności i zdolności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (typowe zadania C3).

2. Malkova A. G. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.

3. S. S. Samarova, Rozwiązanie nierówności logarytmicznych.

4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Siemionow i I.V. Jaszczenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-