Formularz wydarzeń pełna grupa, jeśli co najmniej jeden z nich koniecznie wystąpi w wyniku eksperymentu i są niespójne parami.

Załóżmy, że zdarzenie A może wystąpić tylko razem z jednym z kilku niekompatybilnych parami zdarzeń, które tworzą kompletną grupę. Nazwijmy zdarzenia I= 1, 2,…, N) hipotezy dodatkowe doświadczenie (a priori). Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określa wzór pełne prawdopodobieństwo :

Przykład 16 Są trzy urny. Pierwsza urna zawiera 5 białych i 3 czarne kule, druga urna zawiera 4 białe i 4 czarne kule, a trzecia urna zawiera 8 białych kul. Jedna z urn jest wybierana losowo (może to oznaczać np., że selekcji dokonuje się z urny pomocniczej zawierającej trzy kule o numerach 1, 2 i 3). Z tej urny losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie czarne?

Rozwiązanie. Wydarzenie A– wylosowana kula czarna. Gdyby wiadomo było, z której urny losowana jest kula, to wymagane prawdopodobieństwo można by obliczyć zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Wprowadźmy założenia (hipotezy) dotyczące wyboru urny do wydobycia kuli.

Kulę można wylosować albo z pierwszej urny (hipoteza ), albo z drugiej (hipoteza ) lub z trzeciej (hipoteza ). Ponieważ szanse na wybranie którejkolwiek z urn są równe, to tak .

Stąd wynika, że

Przykład 17. Lampy elektryczne są produkowane w trzech fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 30% ogólnej liczby lamp elektrycznych, druga - 25%,
a trzeci dla reszty. Produkty pierwszego zakładu zawierają 1% wadliwych lamp elektrycznych, drugiego 1,5%, trzeciego 2%. Sklep otrzymuje produkty ze wszystkich trzech fabryk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupiona w sklepie lampa jest wadliwa?

Rozwiązanie. Należy podać założenia, w jakiej fabryce została wyprodukowana żarówka. Wiedząc o tym, możemy znaleźć prawdopodobieństwo, że jest wadliwy. Wprowadźmy notację dla zdarzeń: A– zakupiona lampa elektryczna okazała się wadliwa, – lampa została wyprodukowana przez pierwszą fabrykę, – lampa została wyprodukowana przez drugą fabrykę,
– lampa jest produkowana przez trzecią fabrykę.

Pożądane prawdopodobieństwo można znaleźć za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

Formuła Bayesa. Niech będzie kompletną grupą parami niekompatybilnych zdarzeń (hipotez). A jest zdarzeniem losowym. Następnie,

Ostatnia formuła, która pozwala przeszacować prawdopodobieństwa hipotez po poznaniu wyniku testu, w wyniku którego wystąpiło zdarzenie A, nazywa się Formuła Bayesa .

Przykład 18.Średnio 50% pacjentów z tą chorobą trafia do szpitala specjalistycznego DO, 30% z chorobą Ł, 20 % –
z chorobą M. Prawdopodobieństwo całkowitego wyleczenia choroby k wynosi 0,7 dla chorób Ł I M te prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio 0,8 i 0,9. Pacjent przyjęty do szpitala został wypisany zdrowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że ten pacjent miał tę chorobę k.

Rozwiązanie. Wprowadzamy hipotezy: - pacjent cierpiał na chorobę DO Ł, pacjent cierpiał na chorobę M.

Wtedy, zgodnie z warunkiem problemu, mamy . Przedstawmy wydarzenie A Pacjent przyjęty do szpitala został wypisany zdrowy. Według warunku

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:

Formuła Bayesa.

Przykład 19. Niech w urnie będzie pięć kul i wszystkie przypuszczenia co do liczby kul białych są równie prawdopodobne. Z urny wyciągnięto losowo kulę, która okazała się biała. Jakie jest najbardziej prawdopodobne założenie dotyczące początkowego składu urny?

Rozwiązanie. Niech będzie hipoteza, że ​​w urnie białych kulek , czyli możliwe jest przyjęcie sześciu założeń. Wtedy, zgodnie z warunkiem problemu, mamy .

Przedstawmy wydarzenie A Losowo wylosowana biała kula. obliczmy. Skoro , to zgodnie ze wzorem Bayesa mamy:

Hipoteza jest więc najbardziej prawdopodobna, gdyż .

Przykład 20. Awarii uległy dwa z trzech niezależnie działających elementów urządzenia obliczeniowego. Znajdź prawdopodobieństwo, że pierwszy i drugi element zawiodły, jeśli prawdopodobieństwa zniszczenia pierwszego, drugiego i trzeciego elementu są odpowiednio równe 0,2; 0,4 i 0,3.

Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie - dwa elementy zawiodły. Można postawić następujące hipotezy:

- uszkodzony pierwszy i drugi element, a trzeci element jest sprawny. Ponieważ elementy działają niezależnie, obowiązuje twierdzenie o mnożeniu:

Konsekwencją dwóch głównych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa - twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu - są wzory prawdopodobieństwa całkowitego i wzory Bayesa.

W języku algebry zdarzeń zbiór , , ¼ nazywa się pełna grupa imprez, Jeśli:

1. Zdarzenia są niekompatybilne parami, tj. , , ;.

2. W sumie tworzą one całą przestrzeń prawdopodobieństwa .

Twierdzenie 5 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeśli zdarzenie A może wystąpić tylko wtedy, gdy wystąpi jedno ze zdarzeń (hipotez) ,,¼, tworzących kompletną grupę, to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Dowód. Ponieważ hipotezy , 0, są jedynymi możliwymi, a zdarzenie A przez warunek twierdzenia może wystąpić tylko razem z jedną z hipotez, wtedy . Z niespójności hipotez następnie niekonsekwencja .

Stosujemy twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa w postaci (6):

Z twierdzenia o mnożeniu. Podstawiając tę ​​reprezentację do wzoru (13), mamy ostatecznie: , co należało udowodnić.

Przykład 8 Firma eksportowo-importowa zamierza podpisać umowę na dostawę sprzętu rolniczego do jednego z krajów rozwijających się. Jeżeli główny konkurent firmy nie ubiega się jednocześnie o kontrakt, to prawdopodobieństwo jego uzyskania szacuje się na 0,45; w przeciwnym razie o 0,25. Zdaniem ekspertów firmy prawdopodobieństwo, że konkurent przedstawi propozycje zawarcia umowy wynosi 0,40. Jakie jest prawdopodobieństwo zawarcia umowy?

Rozwiązanie. A -„firma zawrze umowę”, - „konkurent przedstawi swoje propozycje”, - „konkurent nie przedstawi swoich propozycji”. Zgodnie z zadaniem , . Prawdopodobieństwo warunkowe wygrania przez firmę kontraktu , . Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

Konsekwencją twierdzenia o mnożeniu i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite jest wzór Bayesa.

Formuła Bayesa pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa każdej z hipotez, pod warunkiem, że zdarzenie miało miejsce. (Jest stosowany, gdy zdarzenie A, która może wystąpić tylko przy jednej z hipotez tworzących kompletną grupę zdarzeń, wystąpiła i konieczna jest ponowna ilościowa ocena prawdopodobieństw a priori tych hipotez znanych przed testowaniem, tj. konieczne jest znalezienie a posteriori (uzyskanych po testowaniu) prawdopodobieństw warunkowych hipotez) , ,…, .

Twierdzenie 6 (wzór Bayesa). Jeśli zdarzenie A się wydarzyło, to prawdopodobieństwa warunkowe hipotez oblicza się według wzoru zwanego wzorem Bayesa:

Dowód. Aby uzyskać pożądany wzór, piszemy twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń A oraz w dwóch formach:

Gdzie co było do okazania

Znaczenie formuły Bayesa polega na tym, że zachodzi zdarzenie A, te. w miarę uzyskiwania nowych informacji możemy testować i korygować postawione hipotezy przed testowaniem. Podejście to, zwane bayesowskim, umożliwia korygowanie decyzji zarządczych w gospodarce, oszacowań nieznanych parametrów rozkładu badanych cech w analizie statystycznej itp.

Zadanie 9. Grupa składa się z 6 uczniów bardzo dobrych, 12 uczniów dobrych i 22 uczniów przeciętnych. Uczeń z równym prawdopodobieństwem odpowie na 5 i 4, dobry uczeń z równym prawdopodobieństwem odpowie na 5, 4 i 3, a przeciętny uczeń z równym prawdopodobieństwem odpowie na 4, 3 i 2. Losowo wybrany uczeń odpowiedział 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został powołany przeciętny uczeń?

Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy:

Omawiane wydarzenie. Ze stanu problemu wiadomo, że

, , .

Znajdź prawdopodobieństwa hipotez. Ponieważ w grupie jest tylko 40 uczniów, a więc 6 doskonałych uczniów . Podobnie, , . Stosując formułę całkowitego prawdopodobieństwa, znajdujemy

Teraz zastosujemy wzór Bayesa do hipotezy:

Przykład 10 Ekonomista-analityk warunkowo dzieli sytuację gospodarczą w kraju na „dobrą”, „przeciętną” i „złą” i szacuje ich prawdopodobieństwa na dany moment czasu na 0,15; odpowiednio 0,70 i 0,15. Niektóre wskaźniki koniunktury rosną z prawdopodobieństwem 0,60, gdy sytuacja jest „dobra”; z prawdopodobieństwem 0,30, gdy sytuacja jest przeciętna, oraz z prawdopodobieństwem 0,10, gdy sytuacja jest „zła”. Załóżmy, że wskaźnik kondycji ekonomicznej wzrósł w chwili obecnej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gospodarka kraju przeżywa boom?

Rozwiązanie. A= „wskaźnik kondycji ekonomicznej kraju wzrośnie”, H 1= „sytuacja gospodarcza w kraju jest „dobra”, H2= "sytuacja gospodarcza w kraju jest 'przeciętna'", H 3= „sytuacja gospodarcza w kraju jest„ zła ””. Według warunku: , , . Prawdopodobieństwa warunkowe: ,, . Musimy znaleźć prawdopodobieństwo. Znajdujemy to za pomocą wzoru Bayesa:

Przykład 11. Firma handlowa otrzymała telewizory od trzech dostawców w stosunku 1:4:5. Praktyka pokazała, że ​​telewizory pochodzące od I, II i III dostawcy nie będą wymagały naprawy w okresie gwarancyjnym odpowiednio w 98%, 88% i 92% przypadków.

Opracował nauczyciel Wydziału Wyższej Matematyki Ishchanov T.R. Lekcja nr 4. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo hipotez. Formuły Bayesa.

Materiał teoretyczny
Wzór na całkowite prawdopodobieństwo
Twierdzenie. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, które może wystąpić tylko wtedy, gdy jedno z niekompatybilnych zdarzeń tworzących pełną grupę jest równe sumie iloczynów prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń przez odpowiednie prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A:

.
Ta formuła nazywa się „formułą całkowitego prawdopodobieństwa”.

Dowód. Zgodnie z warunkiem zdarzenie A może wystąpić, jeśli wystąpi jedno z niekompatybilnych zdarzeń. Innymi słowy, pojawienie się zdarzenia A oznacza realizację jednego, obojętnie jakiego, z niekompatybilnych zdarzeń. Korzystając z twierdzenia o dodawaniu do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia A, otrzymujemy
. (*)
Pozostaje obliczyć każdy z warunków. Z twierdzenia o mnożeniu dla prawdopodobieństw zdarzeń zależnych mamy
.
Podstawiając odpowiednie części tych równości do relacji (*), otrzymujemy wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Przykład 1 Są dwa komplety części. Prawdopodobieństwo, że część pierwszego zestawu jest standardowa wynosi 0,8, a drugiego 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przedmiot (z losowo wybranego zestawu) jest standardem.
Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie „wyciągnięta część jest standardowa”.
Część można pobrać z pierwszego zestawu (event) lub z drugiego (event).
Prawdopodobieństwo, że część zostanie pobrana z pierwszego zestawu wynosi .
Prawdopodobieństwo, że część zostanie wyjęta z drugiego zestawu, .
Warunkowe prawdopodobieństwo, że część wzorcowa zostanie wyodrębniona z pierwszego zestawu, .
Prawdopodobieństwo warunkowe, że część standardowa zostanie wyodrębniona z drugiego zestawu .
Pożądane prawdopodobieństwo, że losowo wyodrębniona część jest standardowa, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, jest równe

Przykład 2 Pierwsze pudełko zawiera 20 tubek, z czego 18 to standardowe; w drugim pudełku - 10 lamp, w tym 9 w standardzie. Z drugiego pudełka losowo wzięto lampę i przeniesiono do pierwszego. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana lampa z pierwszego pudełka jest standardowa.
Rozwiązanie. Oznaczmy przez A zdarzenie „wyjęcie standardowej lampy z pierwszego pudełka”.
Z drugiego pudełka można było wziąć lampę standardową (event ) lub niestandardową (event ).
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia standardowej lampy z drugiego pudełka wynosi .
Prawdopodobieństwo, że z drugiego pudełka wyjęto niestandardową lampę, wynosi
Warunkowe prawdopodobieństwo, że wzorcowa lampa została wzięta z pierwszego pudełka, pod warunkiem, że wzorcowa lampa została przeniesiona z drugiego pudełka do pierwszego, jest równe .
Warunkowe prawdopodobieństwo, że z pierwszego pudełka wzięto standardową lampę, pod warunkiem, że z drugiego pudełka do pierwszego przeniesiono lampę niestandardową, jest równe .
Pożądane prawdopodobieństwo, że standardowa lampa zostanie usunięta z pierwszego pudełka, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, jest równe

Prawdopodobieństwo hipotez. Formuły Bayesa

Niech zdarzenie A może zajść pod warunkiem, że pojawi się jedno ze zdarzeń niekompatybilnych, tworzących kompletną grupę. Ponieważ nie wiadomo z góry, które z tych zdarzeń nastąpi, nazywamy je hipotezami. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określa wzór na prawdopodobieństwo całkowite:

Załóżmy, że przeprowadzono test, w wyniku którego zaszło zdarzenie A. Postawmy sobie zadanie określenia, jak zmieniły się prawdopodobieństwa hipotez (ze względu na to, że zdarzenie A już zaszło). Innymi słowy, będziemy szukać prawdopodobieństw warunkowych

Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo warunkowe. Z twierdzenia o mnożeniu mamy

.

Zastępując tutaj P(A) wzorem (*), otrzymujemy

Podobnie wyprowadzane są wzory określające prawdopodobieństwo warunkowe pozostałych hipotez, tj. Prawdopodobieństwo warunkowe dowolnej hipotezy można obliczyć za pomocą wzoru

Otrzymane formuły są nazywane Formuły Bayesa(nazwany na cześć angielskiego matematyka, który je wyprowadził; opublikowany w 1764 r.). Formuły Bayesa pozwalają na przeszacowanie prawdopodobieństw hipotez po tym, jak poznany zostanie wynik testu, w wyniku którego nastąpiło zdarzenie A.

Przykład. Części wyprodukowane przez sklep fabryczny są wysyłane do jednego z dwóch inspektorów w celu sprawdzenia ich pod kątem standaryzacji. Prawdopodobieństwo, że część trafi do pierwszego kontrolera wynosi 0,6, a do drugiego - 0,4. Prawdopodobieństwo, że dobra część zostanie uznana za standardową przez pierwszego inspektora wynosi 0,94, a przez drugiego 0,98. Dobra część podczas testu została uznana za standard. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta część została sprawdzona przez pierwszego inspektora.
Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie, że dobra część jest uznawana za standardową. Można przyjąć dwa założenia:
1) pozycja została sprawdzona przez pierwszego kontrolera (hipoteza);
2) pozycja została sprawdzona przez drugiego kontrolera (hipoteza). Pożądane prawdopodobieństwo sprawdzenia części przez pierwszego kontrolera można znaleźć za pomocą wzoru Bayesa:

Z warunku problemu mamy:
(prawdopodobieństwo, że część trafi do pierwszego kontrolera);
(prawdopodobieństwo, że część trafi do drugiego kontrolera);
(prawdopodobieństwo, że dobra część zostanie uznana przez pierwszego inspektora za standard);
(prawdopodobieństwo, że dobra część zostanie uznana przez drugiego inspektora za standard).
Pożądane prawdopodobieństwo

Jak widać, przed testem prawdopodobieństwo hipotezy wynosiło 0,6, po poznaniu wyniku testu prawdopodobieństwo tej hipotezy (a dokładniej prawdopodobieństwo warunkowe) zmieniło się i wyniosło 0,59. Tym samym zastosowanie wzoru Bayesa umożliwiło przeszacowanie prawdopodobieństwa rozważanej hipotezy.

praktyczny materiał.
1. (4) Monter otrzymał 3 pudełka z częściami wyprodukowanymi przez fabrykę nr 1 i 2 pudła z częściami wyprodukowanymi przez fabrykę nr 2. Prawdopodobieństwo, że część z fabryki nr 1 jest standardowa, wynosi 0,8, a z fabryki nr 2 wynosi 0,9. Monter losowo wyjął część z losowo wybranego pudełka. Znajdź prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie wyodrębniona.
Reprezentant. 0,84.
2. (5) Pierwsze pudełko zawiera 20 części, z czego 15 jest standardowych; w drugim - 30 części, z czego 24 to standardowe; w trzeciej - 10 części, z czego 6 to standardowe. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przedmiot z losowo wybranego pudełka jest standardowy.
Reprezentant. 43/60.
3. (6) W studiu telewizyjnym znajdują się 4 kineskopy. Prawdopodobieństwo, że kineskop wytrzyma okres gwarancji wynosi odpowiednio 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kineskop wytrzyma okres gwarancji.
Reprezentant. 0,875.
4. (3) W grupie sportowców jest 20 narciarzy, 6 rowerzystów i 4 biegaczy. Prawdopodobieństwo spełnienia normy kwalifikacyjnej wynosi: dla narciarza - 0,9, dla kolarza - 0,8. a dla biegacza – 0,75. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany sportowiec spełni normę.
Reprezentant. 0,86.
5. (C) W białym pudełku jest 12 czerwonych i 6 niebieskich kul. W kolorze czarnym - 15 czerwonych i 10 niebieskich kulek. Rzuć kostką. Jeśli liczba punktów jest wielokrotnością liczby 3, z białego pudełka losowo pobierana jest kula. Jeśli wypadnie jakakolwiek inna liczba punktów, z czarnego pudełka losowo pobierana jest kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się czerwona kula?
Rozwiązanie:
Możliwe są dwie hipotezy:
- przy rzucie kostką spadnie pewna liczba punktów, wielokrotność 3, tj. lub 3 lub 6;
- przy rzucie kostką wypadnie inna ilość oczek, tj. lub 1 lub 2 lub 4 lub 5.
Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa hipotez są następujące:

Ponieważ hipotezy stanowią kompletną grupę zdarzeń, równość musi być zachowana

Niech wydarzeniem A będzie pojawienie się czerwonej kuli. Prawdopodobieństwa warunkowe tego zdarzenia zależą od tego, która hipoteza została zrealizowana i wynoszą odpowiednio:

Wtedy, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite, prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie równe:

6. (7) W dwóch pudełkach znajdują się lampy radiowe. Pierwsze pudełko zawiera 12 lamp, z czego 1 jest niestandardowa; w drugiej znajduje się 10 lamp, w tym 1 niestandardowa. Z pierwszego pudełka wzięto losowo lampę i przeniesiono do drugiego. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana lampa z drugiego pudełka jest niestandardowa.
Reprezentant. 13/132.

7. (89 D) Białą kulę wrzuca się do urny zawierającej dwie kule, po czym losuje się z niej jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie biała, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące początkowego składu kul (według koloru) są równie możliwe.
Rozwiązanie. Oznacz przez A zdarzenie - wylosowano białą kulę. Możliwe są następujące założenia (hipotezy) co do początkowego składu kul: - nie ma kul białych, - jedna kula biała, - dwie kule białe.
Ponieważ w sumie są trzy hipotezy i pod warunkiem, że są one jednakowo prawdopodobne, a suma prawdopodobieństw hipotez jest równa jeden (ponieważ tworzą one kompletną grupę zdarzeń), prawdopodobieństwo każdej z hipotez jest równe 1/3, tj. .
Warunkowe prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, zakładając, że początkowo w urnie nie było kul białych, .
Warunkowe prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana biała kula, biorąc pod uwagę, że urna pierwotnie zawierała jedną białą kulę, .
Warunkowe prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli, biorąc pod uwagę, że urna pierwotnie zawierała dwie białe kule.
Pożądane prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli można znaleźć za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

8. (10) Standardową część wrzuca się do pudełka zawierającego 3 identyczne części, a następnie losuje jedną część. Znajdź prawdopodobieństwo wylosowania standardowej części, jeśli wszystkie możliwe domysły dotyczące liczby standardowych części znajdujących się pierwotnie w pudełku są jednakowo prawdopodobne.
Reprezentant. 0,625.

9. (6.5.2L) Dwa odbiorniki radiowe służą do poprawy jakości łączności radiowej. Prawdopodobieństwo odebrania sygnału przez każdy odbiornik wynosi 0,8, a zdarzenia te (odbiór sygnału przez odbiornik) są niezależne. Wyznacz prawdopodobieństwo odebrania sygnału, jeśli prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy podczas sesji łączności radiowej dla każdego odbiornika wynosi 0,9.
Rozwiązanie.
Niech zdarzenie A=(sygnał zostanie odebrany). Rozważmy cztery hipotezy:

=(pierwszy odbiornik działa, drugi nie);

=(drugi działa, pierwszy nie);

=(oba odbiorniki działają);

=(oba odbiorniki nie działają).

Zdarzenie A może wystąpić tylko przy jednej z tych hipotez. Znajdźmy prawdopodobieństwo tych hipotez, rozważając następujące zdarzenia:

=(pierwszy odbiornik działa),

=(drugi odbiornik działa).

Kontrola:

.

Prawdopodobieństwa warunkowe wynoszą odpowiednio:

;

;

Teraz, korzystając ze wzoru na całkowite prawdopodobieństwo, znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo

10. (11) W przypadku odchylenia od normalnego trybu pracy maszyny uruchamiany jest sygnalizator C-1 z prawdopodobieństwem 0,8, a sygnalizator C-11 z prawdopodobieństwem 1. Prawdopodobieństwo, że maszyna jest wyposażona w sygnalizator C-1 lub C-11 wynosi odpowiednio 0,6 i 0,4. Odebrano sygnał o przecięciu maszyny. Co jest bardziej prawdopodobne: maszyna jest wyposażona w sygnalizator C-1 lub C-11?
Reprezentant. Prawdopodobieństwo, że maszyna jest wyposażona w sygnalizator C-1 wynosi 6/11, a C-11 5/11

11. (12) 4 studentów z pierwszej grupy kursu, 6 studentów z drugiej grupy i 5 studentów z trzeciej grupy zostało wytypowanych do udziału w studenckich kwalifikacyjnych zawodach sportowych. Prawdopodobieństwo, że uczeń z pierwszej, drugiej i trzeciej grupy dostanie się do zespołu instytutu, wynosi odpowiednio 0,9; 0,7 i 0,8. Losowo wybrany uczeń w wyniku konkursu znalazł się w kadrze narodowej. Do której grupy najprawdopodobniej należał ten uczeń?
Reprezentant. Prawdopodobieństwa wyboru ucznia z pierwszej, drugiej, trzeciej grupy wynoszą odpowiednio: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34K) Firma handlowa otrzymała telewizory od trzech dostawców w stosunku 1:4:5. Praktyka pokazała, że ​​telewizory pochodzące od 1., 2. i 3. dostawcy nie będą wymagały naprawy w okresie gwarancji odpowiednio w 98, 88 i 92% przypadków.
1) Znajdź prawdopodobieństwo, że telewizor otrzymany przez firmę handlową nie będzie wymagał naprawy w okresie gwarancyjnym.
2) Sprzedawany telewizor wymagał naprawy w okresie gwarancyjnym. Od jakiego dostawcy najprawdopodobniej pochodził ten telewizor?
Rozwiązanie.
Wyznaczmy zdarzenia: - telewizor dotarł do firmy handlowej od i-tego dostawcy (i=1,2,3);
A - telewizor nie będzie wymagał naprawy w okresie gwarancyjnym.
Według warunku

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

Event TV będzie wymagał naprawy w okresie gwarancyjnym; .
Według warunku

Według wzoru Bayesa

;

Zatem po wystąpieniu zdarzenia prawdopodobieństwo hipotezy wzrosło od do maksimum , a hipotezy - obniżone od maksimum do ; o ile wcześniej (przed początkiem zdarzenia A) hipoteza była najbardziej prawdopodobna, to teraz, w świetle nowych informacji (początek zdarzenia A), najbardziej prawdopodobną hipotezą jest to, że ten telewizor pochodził od drugiego dostawcy.

13. (1,35K) Wiadomo, że normę spełnia średnio 95% produkowanych wyrobów. Uproszczony schemat kontroli uznaje produkt za odpowiedni z prawdopodobieństwem 0,98, jeśli jest standardowy i z prawdopodobieństwem 0,06, jeśli jest niestandardowy. Określ prawdopodobieństwo, że:
1) losowo wybrany produkt przejdzie uproszczoną kontrolę;
2) wyrób jest standardowy, jeżeli: a) przeszedł pozytywnie kontrolę uproszczoną; b) dwukrotnie przeszedł kontrolę uproszczoną.
Rozwiązanie.
1). Oznaczmy zdarzenia:
- wybierany losowo, produkt jest odpowiednio standardowy lub niestandardowy;
- produkt przeszedł kontrolę uproszczoną.

Według warunku

Prawdopodobieństwo, że wylosowany produkt przejdzie kontrolę uproszczoną, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

2a). Prawdopodobieństwo, że produkt, który przeszedł uproszczoną kontrolę, jest standardowy, zgodnie ze wzorem Bayesa:

2b). Niech wydarzenie - produkt dwukrotnie przeszedł uproszczoną kontrolę. Następnie z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa:

Według wzoru Bayesa

jest bardzo mała, to hipotezę, że produkt, który dwukrotnie przeszedł uproszczoną kontrolę, jest niestandardowy, należy odrzucić jako zdarzenie prawie niemożliwe.

14. (1,36K) Dwóch strzelców niezależnie strzela do celu, każdy odda jeden strzał. Prawdopodobieństwo trafienia w cel dla pierwszego strzelca wynosi 0,8; dla drugiego - 0,4. Po strzale w tarczy znaleziono jedną dziurę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do:
a) pierwszy strzelec;
b) Drugi strzelec?
Rozwiązanie.
Oznaczmy zdarzenia:

Obie strzały chybiły celu;

Obie strzały trafiły w cel;

Pierwszy strzelec trafił w cel, drugi nie;

Pierwszy strzelec chybił celu, drugi trafił;

W tarczy jest jedna dziura (jedno trafienie).

Następstwem obu głównych twierdzeń – twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa i twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa – jest tzw. wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Niech będzie wymagane określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, które może wystąpić razem z jednym ze zdarzeń:

tworząc kompletną grupę niekompatybilnych zdarzeń. Nazwiemy te zdarzenia hipotezami.

Udowodnijmy to w tym przypadku

, (3.4.1)

te. prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się jako sumę iloczynów prawdopodobieństwa każdej hipotezy i prawdopodobieństwa zdarzenia w ramach tej hipotezy.

Formuła (3.4.1) nazywana jest formułą prawdopodobieństwa całkowitego.

Dowód. Ponieważ hipotezy tworzą kompletną grupę, zdarzenie może wystąpić tylko w połączeniu z którąkolwiek z tych hipotez:

Ponieważ hipotezy są niespójne, kombinacje również niezgodne; stosując do nich twierdzenie o dodawaniu, otrzymujemy:

Stosując twierdzenie o mnożeniu do zdarzenia, otrzymujemy:

,

co było do okazania

Przykład 1. Istnieją trzy identycznie wyglądające urny; pierwsza urna zawiera dwie kule białe i jedną czarną; w drugim - trzy białe i jeden czarny; w trzeciej - dwie białe i dwie czarne kule. Ktoś wybiera losowo jedną z urn i losuje z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula jest biała.

Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy:

Wybór pierwszej urny,

Wybór drugiej urny,

Wybór trzeciej urny

a wydarzeniem jest pojawienie się białej kuli.

Skoro więc hipotezy, zależnie od stanu problemu, są jednakowo prawdopodobne

.

Warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia przy tych hipotezach są odpowiednio równe:

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

.

Przykład 2. Do samolotu oddano trzy pojedyncze strzały. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszym strzałem wynosi 0,4, drugim 0,5, trzecim 0,7. Oczywiście wystarczą trzy trafienia, aby unieszkodliwić samolot; przy jednym trafieniu samolot ulega awarii z prawdopodobieństwem 0,2, przy dwóch trafieniach z prawdopodobieństwem 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku trzech strzałów samolot zostanie unieruchomiony.

Rozwiązanie. Rozważmy cztery hipotezy:

Ani jeden pocisk nie trafił w samolot,

Jeden pocisk trafił w samolot

Samolot został trafiony dwoma pociskami.

W samolot uderzyły trzy pociski.

Korzystając z twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu, znajdujemy prawdopodobieństwa tych hipotez:

Warunkowe prawdopodobieństwa zdarzenia (awaria samolotu) w ramach tych hipotez są następujące:

Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy:

Należy zauważyć, że pierwsza hipoteza nie mogła zostać wzięta pod uwagę, ponieważ odpowiedni składnik we wzorze na prawdopodobieństwo całkowite znika. Odbywa się to zwykle przy zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając nie całą grupę niespójnych hipotez, a jedynie te, przy których dane zdarzenie jest możliwe.

Przykład 3. Pracą silnika sterują dwa regulatory. Uwzględniany jest pewien okres czasu, w którym pożądane jest zapewnienie bezawaryjnej pracy silnika. Jeśli obecne są oba regulatory, silnik ulega awarii z prawdopodobieństwem , jeżeli działa tylko pierwszy z nich, z prawdopodobieństwem , jeśli działa tylko drugi, jeśli oba regulatory ulegają awarii, z prawdopodobieństwem . Pierwszy z regulatorów ma niezawodność, drugi -. Wszystkie elementy zawodzą niezależnie od siebie. Znajdź całkowitą niezawodność (prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy) silnika.

Niech znane będą ich prawdopodobieństwa i odpowiadające im prawdopodobieństwa warunkowe. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

Ta formuła nazywa się wzory na prawdopodobieństwo całkowite. W podręcznikach jest sformułowany przez twierdzenie, którego dowód jest elementarny: zgodnie z algebra zdarzeń, (zdarzenie miało miejsce I Lub wydarzyło się wydarzenie I po nim nastąpiło wydarzenie Lub wydarzyło się wydarzenie I po nim nastąpiło wydarzenie Lub …. Lub wydarzyło się wydarzenie I obserwowane wydarzenie). Od hipotez są niezgodne, a zatem zdarzenie jest zależne twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych (pierwszy krok) I twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych (drugi krok):

Zapewne wielu przewiduje treść pierwszego przykładu =)

Gdziekolwiek plujesz - wszędzie urna:

Zadanie 1

Istnieją trzy identyczne urny. W pierwszej urnie są 4 kule białe i 7 czarnych, w drugiej urnie są tylko kule białe, a w trzeciej urnie są tylko kule czarne. Wybieramy losowo jedną urnę i losujemy z niej kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula jest czarna?

Rozwiązanie: rozważ zdarzenie - z losowo wybranej urny zostanie wylosowana czarna kula. Zdarzenie to może wystąpić w wyniku realizacji jednej z poniższych hipotez:
– wybrana zostanie 1. urna;
– wybrana zostanie 2. urna;
– wybrana zostanie trzecia urna.

Ponieważ urna jest wybierana losowo, wybór dowolnej z trzech urn równie możliwe, stąd:

Zauważ, że powyższe hipotezy tworzą pełna grupa imprez, czyli zgodnie z warunkiem czarna bila może pojawić się tylko z tych urn, a np. nie odlecieć ze stołu bilardowego. Zróbmy proste pośrednie sprawdzenie:
OK, przejdźmy dalej:

Pierwsza urna zawiera 4 białe + 7 czarnych = 11 kul każda klasyczna definicja:
jest prawdopodobieństwem wylosowania kuli czarnej jeśli się uwzględniże pierwsza urna zostanie wybrana.

W drugiej urnie są tylko kule białe, tzn jeśli wybrano pojawia się czarna kula niemożliwe: .

I wreszcie w trzeciej urnie są tylko czarne kule, co oznacza, że ​​odpowiadają warunkowe prawdopodobieństwo ekstrakcji czarnej kuli będzie (zdarzenie jest pewne).

to prawdopodobieństwo, że z losowo wybranej urny zostanie wylosowana kula czarna.

Odpowiedź:

Analizowany przykład ponownie pokazuje, jak ważne jest ZROZUMIENIE STANU. Weźmy te same problemy z urnami i kulkami - przy ich zewnętrznym podobieństwie metody rozwiązywania mogą być zupełnie inne: gdzieś wymagane jest zastosowanie tylko klasyczna definicja prawdopodobieństwa, gdzieś wydarzenia niezależny, gdzieś zależny, a gdzieś mówimy o hipotezach. Jednocześnie nie ma jasnego formalnego kryterium wyboru ścieżki rozwiązania – prawie zawsze trzeba się nad tym zastanowić. Jak poprawić swoje umiejętności? Rozwiązujemy, rozwiązujemy i jeszcze raz rozwiązujemy!

Zadanie 2

Na strzelnicy znajduje się 5 różnych karabinów. Prawdopodobieństwa trafienia w cel dla danego strzelca są odpowiednio równe 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 i 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu?

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W większości problemów tematycznych hipotezy nie są oczywiście równie prawdopodobne:

Zadanie 3

W piramidzie znajduje się 5 karabinów, z których trzy są wyposażone w celownik optyczny. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel, strzelając z karabinu z celownikiem teleskopowym, wynosi 0,95; dla karabinu bez celownika teleskopowego prawdopodobieństwo to wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu.

Rozwiązanie: w tym zadaniu liczba karabinów jest dokładnie taka sama jak w poprzednim, ale są tylko dwie hipotezy:
- strzelec wybierze karabin z celownikiem optycznym;
- strzelec wybierze karabin bez celownika teleskopowego.
Przez klasyczna definicja prawdopodobieństwa: .
Kontrola:

Rozważmy zdarzenie: - strzelec trafia w cel losowo wybranym karabinem.
Według warunku: .

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

Odpowiedź: 0,85

W praktyce skrócony sposób projektowania zadania, który również znasz, jest całkiem do przyjęcia:

Rozwiązanie: zgodnie z klasyczną definicją: to prawdopodobieństwa wyboru odpowiednio karabinu z celownikiem optycznym i bez celownika optycznego.

pod warunkiem, – prawdopodobieństwa trafienia w cel z poszczególnych typów karabinów.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel z losowo wybranego karabinu.

Odpowiedź: 0,85

Następujące zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Zadanie 4

Silnik pracuje w trzech trybach: normalnym, wymuszonym i biegu jałowym. W trybie bezczynności prawdopodobieństwo jego awarii wynosi 0,05, w trybie normalnym - 0,1, aw trybie wymuszonym - 0,7. 70% czasu silnik pracuje w trybie normalnym, a 20% w trybie wymuszonym. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii silnika podczas pracy?

Na wszelki wypadek przypomnę - aby uzyskać prawdopodobieństwo, procenty należy podzielić przez 100. Bądź bardzo ostrożny! Zgodnie z moimi obserwacjami często próbuje się pomylić warunki problemów dla wzoru na prawdopodobieństwo całkowite; i specjalnie wybrałem taki przykład. Zdradzę Ci sekret - sam prawie się pogubiłem =)

Rozwiązanie na koniec lekcji (sformułowane w skrócie)

Zagadnienia dla formuł Bayesa

Materiał jest ściśle powiązany z treścią poprzedniego akapitu. Niech zdarzenie nastąpi w wyniku realizacji jednej z hipotez . Jak określić prawdopodobieństwo, że dana hipoteza miała miejsce?

Jeśli się uwzględni tamto wydarzenie już się stało, prawdopodobieństwa hipotez przeceniony zgodnie z formułami, które otrzymały imię angielskiego księdza Thomasa Bayesa:

- prawdopodobieństwo, że hipoteza miała miejsce;
- prawdopodobieństwo, że hipoteza miała miejsce;
…
jest prawdopodobieństwem, że hipoteza była prawdziwa.

Na pierwszy rzut oka wydaje się to kompletnym absurdem – po co przeliczać prawdopodobieństwa hipotez, skoro są one już znane? Ale w rzeczywistości jest różnica:

- Ten apriorycznie(szacowany zanim testy) prawdopodobieństwa.

- Ten a posteriori(szacowany Po testy) prawdopodobieństwa tych samych hipotez, przeliczone w związku z „nowo odkrytymi okolicznościami” – biorąc pod uwagę fakt, że zdarzenie stało się.

Spójrzmy na tę różnicę na konkretnym przykładzie:

Zadanie 5

Do magazynu trafiły 2 partie produktów: pierwsza - 4000 sztuk, druga - 6000 sztuk. Średni odsetek produktów niestandardowych w pierwszej partii wynosi 20%, aw drugiej - 10%. Wybrany losowo z magazynu produkt okazał się standardowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest to: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Pierwsza część rozwiązania polega na wykorzystaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Innymi słowy, obliczenia przeprowadza się przy założeniu, że test jeszcze nie wyprodukowany i wydarzenie "produkt okazał się standardowy" aż nadejdzie.

Rozważmy dwie hipotezy:
- wybrany losowo produkt będzie pochodził z 1 partii;
- wybrany losowo produkt będzie pochodził z 2 partii.

Razem: 4000 + 6000 = 10000 pozycji w magazynie. Zgodnie z klasyczną definicją:
.

Kontrola:

Rozważmy zdarzenie zależne: – przedmiot pobrany losowo z magazynu będzie standard.

W pierwszej partii 100% - 20% = 80% produktów standardowych, a więc: jeśli się uwzględniże należy do 1. partii.

Podobnie w drugiej partii 100% - 10% = 90% produktów standardowych i jest prawdopodobieństwem, że losowo wybrany towar w magazynie będzie towarem standardowym jeśli się uwzględniże należy do drugiej partii.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
to prawdopodobieństwo, że produkt wybrany losowo z magazynu będzie produktem standardowym.

Część druga. Załóżmy, że produkt pobrany losowo z magazynu okazał się standardem. Ta fraza jest bezpośrednio wyrażona w warunku i stwierdza fakt, że zdarzenie stało się.

Zgodnie ze wzorami Bayesa:

a) - prawdopodobieństwo, że wybrany produkt standardowy należy do partii 1;

b) - prawdopodobieństwo, że wybrany produkt standardowy należy do drugiej partii.

Po przeszacowanie hipotezy oczywiście wciąż się tworzą pełna grupa:
(badanie;-))

Odpowiedź:

Iwan Wasiljewicz, który ponownie zmienił zawód i został dyrektorem zakładu, pomoże nam zrozumieć znaczenie ponownej oceny hipotez. Wie, że dzisiaj 1. sklep wysłał do magazynu 4000 sztuk, a 2. sklep 6000 produktów i przychodzi się upewnić. Załóżmy, że wszystkie produkty są tego samego typu i znajdują się w tym samym pojemniku. Oczywiście Iwan Wasiljewicz wcześniej obliczył, że produkt, który teraz usunie do weryfikacji, najprawdopodobniej zostanie wyprodukowany w pierwszym warsztacie iz prawdopodobieństwem w drugim. Ale gdy wybrany przedmiot okazuje się być standardowy, woła: „Co za fajna śruba! - został raczej wydany przez warsztat 2. Tak więc prawdopodobieństwo drugiej hipotezy jest przeszacowane na lepsze, a prawdopodobieństwo pierwszej hipotezy jest niedoszacowane: . I to przeszacowanie nie jest bezpodstawne - w końcu 2. warsztat nie tylko wyprodukował więcej produktów, ale także działa 2 razy lepiej!

Mówisz, czysty subiektywizm? Częściowo - tak, zresztą sam Bayes zinterpretował a posteriori prawdopodobieństwa jak poziom zaufania. Jednak nie wszystko jest takie proste - w podejściu bayesowskim jest ziarno obiektywne. W końcu prawdopodobieństwo, że produkt będzie standardowy (0,8 i 0,9 odpowiednio dla 1. i 2. sklepu) Ten wstępny(z góry) i średni szacunki. Ale mówiąc filozoficznie, wszystko płynie, wszystko się zmienia, łącznie z prawdopodobieństwem. Całkiem możliwe, że w czasie studiów bardziej udany 2. sklep zwiększył odsetek produktów standardowych (i/lub pierwszy sklep obniżony), a jeśli sprawdzisz więcej lub wszystkie 10 tysięcy pozycji w magazynie, to przeszacowane wartości będą znacznie bliższe prawdy.

Nawiasem mówiąc, jeśli Iwan Wasiljewicz wyodrębni niestandardową część, to odwrotnie - będzie „podejrzewał” coraz mniej pierwszy sklep - drugi. Proponuję sprawdzić to samemu:

Zadanie 6

Do magazynu trafiły 2 partie produktów: pierwsza - 4000 sztuk, druga - 6000 sztuk. Średni procent produktów niestandardowych w pierwszej partii wynosi 20%, w drugiej - 10%. Produkt pobrany losowo z magazynu okazał się być Nie standard. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest to: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Warunek wyróżnią dwie litery, które zaznaczyłem pogrubioną czcionką. Problem można rozwiązać od podstaw lub skorzystać z wyników wcześniejszych obliczeń. W próbce wykonałem kompletne rozwiązanie, ale aby uniknąć formalnego nałożenia z Zadaniem nr 5, zdarzenie „Produkt pobrany losowo z magazynu będzie niestandardowy” Oznaczone symbolem .

Bayesowski schemat ponownej oceny prawdopodobieństwa występuje wszędzie i jest aktywnie wykorzystywany przez różnego rodzaju oszustów. Rozważmy trzyliterową spółkę akcyjną, która stała się powszechnie znana, która przyciąga depozyty ludności, rzekomo gdzieś je inwestuje, regularnie wypłaca dywidendy itp. Co się dzieje? Mija dzień za dniem, miesiąc za miesiącem, a coraz więcej nowych faktów, przekazywanych za pośrednictwem reklamy i ustnie, tylko zwiększa poziom zaufania do piramidy finansowej (ponowna ocena bayesowska z powodu przeszłych wydarzeń!). Oznacza to, że w oczach deponentów istnieje stały wzrost prawdopodobieństwa, że "to poważny urząd"; natomiast prawdopodobieństwo hipotezy przeciwnej („to zwykli oszuści”) oczywiście maleje i maleje. Reszta, jak sądzę, jest jasna. Warto zauważyć, że zdobyta reputacja daje organizatorom czas na skuteczne ukrycie się przed Iwanem Wasiljewiczem, który został nie tylko bez partii śrub, ale także bez spodni.

Do nie mniej interesujących przykładów wrócimy nieco później, ale na razie być może najczęstszy przypadek z trzema hipotezami jest następny w kolejce:

Zadanie 7

Lampy elektryczne są produkowane w trzech fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 30% ogólnej liczby lamp, druga - 55%, a trzecia - resztę. Produkty 1. zakładu zawierają 1% wadliwych lamp, 2. - 1,5%, 3. - 2%. Sklep otrzymuje produkty ze wszystkich trzech fabryk. Zakupiona przeze mnie lampa okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że została ona wyprodukowana przez zakład nr 2?

Zauważ, że w problemach dotyczących formuł Bayesa w warunku Koniecznie Niektóre co się stało zdarzenie, w tym przypadku zakup lampy.

Wydarzenia wzrosły i rozwiązanie wygodniej jest ułożyć w stylu „szybkim”.

Algorytm jest dokładnie taki sam: w pierwszym kroku znajdujemy prawdopodobieństwo, że zakupiona lampa będzie będzie wadliwy.

Korzystając z danych początkowych, przekładamy procenty na prawdopodobieństwa:
to prawdopodobieństwo, że lampa jest produkowana odpowiednio przez pierwszą, drugą i trzecią fabrykę.
Kontrola:

Podobnie: - prawdopodobieństwa wyprodukowania wadliwej lampy dla poszczególnych fabryk.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

- prawdopodobieństwo, że zakupiona lampa będzie wadliwa.

Krok drugi. Niech zakupiona lampa będzie wadliwa (zdarzenie miało miejsce)

Zgodnie ze wzorem Bayesa:
- prawdopodobieństwo, że zakupiona wadliwa lampa jest wyprodukowana przez drugą fabrykę

Odpowiedź:

Dlaczego początkowe prawdopodobieństwo drugiej hipotezy wzrosło po ponownej ocenie? W końcu drugi zakład produkuje lampy średniej jakości (pierwszy lepszy, trzeci gorszy). Dlaczego więc wzrosła a posteriori prawdopodobieństwo, że wadliwa lampa pochodzi z drugiej fabryki? Nie wynika to już z „reputacji”, ale z wielkości. Ponieważ zakład nr 2 wyprodukował największą liczbę lamp, obwiniają to (przynajmniej subiektywnie): „najprawdopodobniej ta wadliwa lampa jest stamtąd”.

Warto zauważyć, że prawdopodobieństwa pierwszej i trzeciej hipotezy zostały przeszacowane w oczekiwanych kierunkach i zrównały się:

Kontrola: , co należało zweryfikować.

Nawiasem mówiąc, o niedocenianych i przecenianych:

Zadanie 8

W grupie studentów 3 osoby mają wysoki poziom wyszkolenia, 19 osób średni poziom i 3 osoby niski poziom. Prawdopodobieństwo pomyślnego zdania egzaminu dla tych uczniów wynosi odpowiednio: 0,95; 0,7 i 0,4. Wiadomo, że jakiś student zdał egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) był bardzo dobrze przygotowany;
b) był średnio przygotowany;
c) był źle przygotowany.

Wykonaj obliczenia i przeanalizuj wyniki ponownej oceny hipotez.

Zadanie jest bliskie rzeczywistości i jest szczególnie prawdopodobne dla grupy studentów niestacjonarnych, gdzie nauczyciel praktycznie nie zna możliwości tego lub innego ucznia. W takim przypadku wynik może spowodować dość nieoczekiwane konsekwencje. (szczególnie na egzaminy w I semestrze). Jeśli źle przygotowany uczeń ma szczęście dostać bilet, to nauczyciel prawdopodobnie uzna go za dobrego ucznia lub nawet silnego ucznia, co zaprocentuje w przyszłości (oczywiście trzeba „podnosić poprzeczkę” i dbać o swój wizerunek). Jeśli student uczył się, stłoczył, powtarzał przez 7 dni i 7 nocy, ale miał po prostu pecha, to dalsze wydarzenia mogą potoczyć się w najgorszy możliwy sposób – z licznymi powtórkami i balansowaniem na granicy odlotu.

Nie trzeba dodawać, że reputacja jest najważniejszym kapitałem, to nie przypadek, że wiele korporacji nosi imiona i nazwiska swoich ojców założycieli, którzy prowadzili biznes 100-200 lat temu i zasłynęli z nienagannej reputacji.

Tak, podejście bayesowskie jest do pewnego stopnia subiektywne, ale… tak działa życie!

Połączmy materiał z końcowym przykładem przemysłowym, w którym opowiem o technicznych subtelnościach rozwiązania, które jeszcze nie zostały napotkane:

Zadanie 9

Trzy warsztaty zakładu produkują części tego samego typu, które są montowane we wspólnym pojemniku do montażu. Wiadomo, że pierwszy sklep produkuje 2 razy więcej części niż drugi i 4 razy więcej niż trzeci. W pierwszym warsztacie wada wynosi 12%, w drugim 8%, w trzecim 4%. W celu kontroli jedna część jest pobierana z pojemnika. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie wadliwy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęta wadliwa część została wyprodukowana przez trzeci warsztat?

Taki Ivan Vasilyevich znowu na koniu =) Film musi mieć szczęśliwe zakończenie =)

Rozwiązanie: w przeciwieństwie do zadań nr 5-8, tutaj postawione jest wprost pytanie, które rozwiązuje się za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Ale z drugiej strony warunek jest trochę „zaszyfrowany”, a szkolna umiejętność układania najprostszych równań pomoże nam rozwiązać ten rebus. Dla „x” wygodnie jest przyjąć najmniejszą wartość:

Niech będzie udziałem części wyprodukowanych przez trzeci warsztat.

Zgodnie z warunkiem pierwszy warsztat produkuje 4 razy więcej niż trzeci warsztat, więc udział pierwszego warsztatu wynosi .

Ponadto pierwszy warsztat wytwarza 2 razy więcej produktów niż drugi warsztat, co oznacza, że ​​udział tego drugiego: .

Zróbmy i rozwiążmy równanie:

A więc: - prawdopodobieństwo, że część wyjęta z pojemnika została wydana odpowiednio przez 1., 2. i 3. warsztat.

Sterowanie: . Ponadto ponowne spojrzenie na frazę nie będzie zbyteczne „Wiadomo, że pierwszy warsztat wytwarza produkty 2 razy więcej niż drugi warsztat i 4 razy więcej niż trzeci warsztat” i upewnij się, że otrzymane prawdopodobieństwa rzeczywiście odpowiadają temu warunkowi.

Dla „X” początkowo można było wziąć udział 1. sklepu lub udział 2. sklepu - prawdopodobieństwa wyjdą takie same. Ale w ten czy inny sposób najtrudniejszy odcinek został zaliczony, a rozwiązanie jest na dobrej drodze:

Z warunku znajdujemy:
- prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej części dla odpowiednich warsztatów.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
jest prawdopodobieństwem, że część wylosowana z pojemnika będzie niestandardowa.

Pytanie drugie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wymontowana wadliwa część została wyprodukowana przez trzeci warsztat? W tym pytaniu zakłada się, że część została już usunięta i została uznana za wadliwą. Ponownie oceniamy hipotezę za pomocą wzoru Bayesa:
jest pożądanym prawdopodobieństwem. Całkiem oczekiwane - w końcu trzeci warsztat produkuje nie tylko najmniejszy udział części, ale także prowadzi jakością!

W tym przypadku musiałem uprościć ułamek czteropiętrowy, co w problemach ze wzorami Bayesa trzeba robić dość często. Ale na tę lekcję jakoś przypadkowo wybrałem przykłady, w których można wykonać wiele obliczeń bez zwykłych ułamków.

Ponieważ w warunku nie ma punktów „a” i „be”, lepiej opatrzyć odpowiedź komentarzem tekstowym:

Odpowiedź: - prawdopodobieństwo, że wyjęta z pojemnika część będzie wadliwa; - prawdopodobieństwo, że wymontowana wadliwa część została wydana przez 3. warsztat.

Jak widać, zadania dotyczące formuły prawdopodobieństwa całkowitego i formuły Bayesa są dość proste i prawdopodobnie z tego powodu tak często próbują skomplikować warunek, o którym wspomniałem już na początku artykułu.

Dodatkowe przykłady znajdują się w pliku z gotowe rozwiązania dla F.P.V. i wzory Bayesa, ponadto są zapewne tacy, którzy pragną głębiej zapoznać się z tym tematem w innych źródłach. A temat jest naprawdę bardzo ciekawy - ile jest wart sam paradoks Bayesa, co uzasadnia codzienną radę, że jeśli u człowieka zdiagnozowano rzadką chorobę, to ma sens, aby przeprowadził drugie, a nawet dwa powtórne niezależne badania. Wydawać by się mogło, że robią to wyłącznie z desperacji… – ale nie! Ale nie mówmy o smutnych rzeczach.

jest prawdopodobieństwem, że losowo wybrany student zda egzamin.
Pozwól studentowi zdać egzamin. Zgodnie ze wzorami Bayesa:
A) - prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin, był bardzo dobrze przygotowany. Obiektywne prawdopodobieństwo początkowe jest przeszacowane, ponieważ prawie zawsze jakiś „przeciętny” ma szczęście z pytaniami i odpowiada bardzo mocno, co daje mylne wrażenie nienagannego przygotowania.
B) jest prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin, był średnio przygotowany. Początkowe prawdopodobieństwo okazuje się być nieco przeszacowane, ponieważ uczniowie o średnim poziomie przygotowania są zazwyczaj większością, dodatkowo nauczyciel uwzględni tu bezskutecznie udzielonych „doskonałych uczniów”, a czasami słabo radzącego sobie ucznia, który miał dużo szczęścia z biletem.
V) - prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin był słabo przygotowany. Początkowe prawdopodobieństwo zostało przeszacowane na gorsze. Nie zaskakujący.
Badanie:
Odpowiedź :