Dzisiaj porozmawiamy o formuły logarytmiczne i dać demonstrację przykłady rozwiązań.

Same w sobie implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Przed zastosowaniem formuł logarytmicznych do rozwiązania przypominamy najpierw wszystkie właściwości:

Teraz, w oparciu o te wzory (właściwości), pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.

Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.

Logarytm liczba dodatnia b o podstawie a (oznaczona jako logarytm a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.

Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, więc log a a x = x.

Logarytmy, przykłady:

log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8

log 7 49 = 2 ponieważ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5

Logarytm dziesiętny jest zwykłym logarytmem, którego podstawą jest 10. Oznaczone jako lg.

log 10 100 = 2 ponieważ 10 2 = 100

naturalny logarytm- również zwykły logarytm logarytmiczny, ale z podstawą e (e \u003d 2,71828 ... - liczba niewymierna). Określany jako ln.

Pożądane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.

• Podstawowa tożsamość logarytmiczna
  log a b = b

  8 2 log 8 3 = (8 2 log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Własności stopnia liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu

  Wykładnik liczby logarytmicznej log a b m = mlog a b

  Wykładnik podstawy logarytmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Przejście na nowy fundament
  log a b = log c b / log c a,

  jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1

  następnie zaloguj a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak widać, formuły logarytmiczne nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po rozważeniu przykładów rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Bardziej szczegółowo rozważymy przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych w artykule: „”. Nie przegap!

Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.

Uwaga: zdecydowałem się na wykształcenie innej klasy studiując za granicą jako opcję.

(z greckiego λόγος - „słowo”, „relacja” i ἀριθμός - „liczba”) liczby b z powodu a(logarytm α b) nazywa się taką liczbą c, oraz b= c, czyli log α b=c oraz b=ac są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Innymi słowy logarytm liczby b z powodu a sformułowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a aby uzyskać numer b(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x= log α b, jest równoważne rozwiązaniu równania a x = b.

Na przykład:

log 2 8 = 3, ponieważ 8 = 2 3 .

Zauważamy, że wskazane sformułowanie logarytmu umożliwia natychmiastowe określenie wartość logarytmu gdy liczba pod znakiem logarytmu jest pewną potęgą podstawy. Rzeczywiście, sformułowanie logarytmu umożliwia uzasadnienie, że jeśli b=a do, a następnie logarytm liczby b z powodu a równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmu jest ściśle związany z tematem stopień liczby.

Omówiono obliczanie logarytmu logarytm. Logarytm to matematyczna operacja polegająca na uzyskaniu logarytmu. Przy logarytmowaniu iloczyny czynników są przekształcane w sumy wyrazów.

Wzmocnienie jest operacją matematyczną odwrotną do logarytmu. Podczas wzmacniania dana podstawa jest podnoszona do potęgi wyrażenia, na którym przeprowadzane jest wzmacnianie. W tym przypadku sumy warunków są przekształcane w iloczyn czynników.

Dość często używa się logarytmów rzeczywistych o podstawach 2 (binarnie), e Liczba Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (dziesiętnie).

Na tym etapie warto się nad tym zastanowić próbki logarytmów dziennik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A wpisy lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich liczba ujemna jest umieszczona pod znakiem logarytmu, w drugim - liczba ujemna w podstawa, aw trzeciej - i liczba ujemna pod znakiem logarytmu i jednostki w podstawie.

Warunki wyznaczania logarytmu.

Warto osobno rozważyć warunki a > 0, a ≠ 1, b > 0. Definicja logarytmu. Zastanówmy się, dlaczego wprowadzono te ograniczenia. Pomoże nam to z równością postaci x = log α b, zwaną podstawową tożsamością logarytmiczną, co bezpośrednio wynika z definicji logarytmu podanej powyżej.

Weź warunek a≠1. Ponieważ jeden jest równy jeden do dowolnej potęgi, to równość x=log α b może istnieć tylko wtedy, gdy b=1, ale log 1 1 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Aby wyeliminować tę niejednoznaczność, bierzemy a≠1.

Udowodnijmy konieczność warunku a>0. Na a=0 zgodnie ze sformułowaniem logarytmu, może istnieć tylko wtedy, gdy b=0. A potem odpowiednio dziennik 0 0 może być dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, ponieważ zero do dowolnej niezerowej potęgi wynosi zero. Aby wyeliminować tę niejednoznaczność, warunek a≠0. I kiedy a<0 musielibyśmy odrzucić analizę racjonalnych i niewymiernych wartości logarytmu, ponieważ wykładnik z wykładnikiem wymiernym i niewymiernym jest zdefiniowany tylko dla nieujemnych podstaw. Z tego powodu warunek a>0.

I ostatni warunek b>0 wynika z nierówności a>0, ponieważ x=log α b, a wartość stopnia z dodatnią podstawą a zawsze pozytywny.

Cechy logarytmów.

Logarytmy charakteryzuje się charakterystycznym cechy, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania w celu znacznego ułatwienia żmudnych obliczeń. W przejściu „do świata logarytmów” mnożenie zamienia się w dużo łatwiejsze dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a podnoszenie do potęgi i pierwiastkowanie odpowiednio w mnożenie i dzielenie przez wykładnik.

Formuła logarytmów i tabela ich wartości (dla funkcji trygonometrycznych) została po raz pierwszy opublikowana w 1614 roku przez szkockiego matematyka Johna Napiera. Tablice logarytmiczne, powiększone i uszczegółowione przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynierskich i pozostały aktualne, dopóki nie zaczęto używać kalkulatorów elektronicznych i komputerów.

W związku z

można ustawić zadanie znalezienia dowolnej z trzech liczb z pozostałych dwóch podanych. Biorąc pod uwagę a, a następnie N znajduje się przez potęgowanie. Jeśli podano N, a następnie znaleziono a, wyodrębniając pierwiastek z potęgi x (lub potęgując). Rozważmy teraz przypadek, gdy mając a i N, trzeba znaleźć x.

Niech liczba N będzie dodatnia: liczba a jest dodatnia i nie równa jeden: .

Definicja. Logarytm liczby N do podstawy a to wykładnik, do którego należy podnieść a, aby uzyskać liczbę N; logarytm jest oznaczony przez

Zatem w równości (26.1) wykładnik jest logarytmem N do podstawy a. Wpisy

mieć to samo znaczenie. Równość (26.1) jest czasami nazywana podstawową tożsamością teorii logarytmów; w rzeczywistości wyraża definicję pojęcia logarytmu. Zgodnie z tą definicją podstawa logarytmu a jest zawsze dodatnia i różna od jedności; liczba logarytmiczna N jest dodatnia. Liczby ujemne i zero nie mają logarytmów. Można udowodnić, że każda liczba o danej podstawie ma dobrze zdefiniowany logarytm. Dlatego równość pociąga za sobą . Zauważ, że warunek jest tutaj niezbędny, w przeciwnym razie wniosek nie byłby uzasadniony, ponieważ równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y.

Przykład 1. Znajdź

Decyzja. Aby uzyskać liczbę, musisz podnieść podstawę 2 do potęgi Dlatego.

Możesz nagrywać podczas rozwiązywania takich przykładów w następującej formie:

Przykład 2. Znajdź .

Decyzja. Mamy

W przykładach 1 i 2 łatwo znaleźliśmy żądany logarytm, przedstawiając liczbę logarytmiczną jako stopień podstawy z wykładnikiem wymiernym. W ogólnym przypadku, na przykład dla itp., Nie można tego zrobić, ponieważ logarytm ma wartość niewymierną. Zwróćmy uwagę na jedno pytanie związane z tym stwierdzeniem. W § 12 podaliśmy pojęcie możliwości wyznaczenia dowolnej potęgi rzeczywistej danej liczby dodatniej. Było to konieczne do wprowadzenia logarytmów, które na ogół mogą być liczbami niewymiernymi.

Rozważ niektóre właściwości logarytmów.

Właściwość 1. Jeśli liczba i podstawa są równe, to logarytm jest równy jeden i odwrotnie, jeśli logarytm jest równy jeden, to liczba i podstawa są równe.

Dowód. Niech Z definicji logarytmu mamy i skąd

I odwrotnie, niech Then z definicji

Właściwość 2. Logarytm jedności do dowolnej podstawy jest równy zeru.

Dowód. Zgodnie z definicją logarytmu (zero potęgi dowolnej dodatniej podstawy jest równe jeden, patrz (10.1)). Stąd

co było do okazania

Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli , to N = 1. Rzeczywiście, mamy .

Zanim przedstawimy następującą własność logarytmów, zgódźmy się, że dwie liczby a i b leżą po tej samej stronie trzeciej liczby c, jeśli obie są większe od c lub mniejsze od c. Jeśli jedna z tych liczb jest większa niż c, a druga mniejsza niż c, to mówimy, że leżą one po przeciwnych stronach c.

Właściwość 3. Jeśli liczba i podstawa leżą po tej samej stronie jedności, logarytm jest dodatni; jeśli liczba i podstawa leżą po przeciwnych stronach jedności, to logarytm jest ujemny.

Dowód własności 3 opiera się na fakcie, że stopień a jest większy niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest dodatni, lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest ujemny. Stopień jest mniejszy niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest ujemny, lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest dodatni.

Należy rozważyć cztery przypadki:

Ograniczamy się do analizy pierwszego z nich, resztę czytelnik rozważy sam.

Niech więc wykładnik w równości nie będzie ani ujemny, ani równy zeru, a zatem jest dodatni, tj. co należało udowodnić.

Przykład 3. Dowiedz się, które z poniższych logarytmów są dodatnie, a które ujemne:

Rozwiązanie, a) ponieważ liczba 15 i podstawa 12 znajdują się po tej samej stronie jednostki;

b) , ponieważ 1000 i 2 znajdują się po tej samej stronie jednostki; jednocześnie nie jest konieczne, aby podstawa była większa niż liczba logarytmiczna;

c), ponieważ 3,1 i 0,8 leżą po przeciwnych stronach jedności;

G) ; Dlaczego?

e) ; Dlaczego?

Następujące właściwości 4-6 są często nazywane regułami logarytmu: pozwalają, znając logarytmy niektórych liczb, znaleźć logarytmy ich iloczynu, ilorazu, stopnia każdej z nich.

Właściwość 4 (reguła logarytmu iloczynu). Logarytm iloczynu kilku liczb dodatnich o danej podstawie jest równy sumie logarytmów tych liczb o tej samej podstawie.

Dowód. Niech podane będą liczby dodatnie.

Dla logarytmu ich iloczynu piszemy równość (26,1) definiującą logarytm:

Stąd znajdujemy

Porównując wykładniki pierwszego i ostatniego wyrażenia, otrzymujemy wymaganą równość:

Zauważ, że warunek jest niezbędny; logarytm iloczynu dwóch liczb ujemnych ma sens, ale w tym przypadku otrzymujemy

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli iloczyn kilku czynników jest dodatni, to jego logarytm jest równy sumie logarytmów modułów tych czynników.

Właściwość 5 (reguła ilorazu logarytmu). Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dywidendy i dzielnika, wziętymi w tej samej podstawie. Dowód. Konsekwentnie znajduj

co było do okazania

Właściwość 6 (reguła logarytmu stopnia). Logarytm potęgi dowolnej liczby dodatniej jest równy logarytmowi tej liczby pomnożonemu przez wykładnik.

Dowód. Piszemy ponownie tożsamość główną (26,1) dla liczby:

co było do okazania

Konsekwencja. Logarytm pierwiastka liczby dodatniej jest równy logarytmowi pierwiastka podzielonego przez wykładnik pierwiastka:

Możemy udowodnić słuszność tego wniosku, przedstawiając jak i używając własności 6.

Przykład 4. Logarytm o podstawie a:

a) (zakłada się, że wszystkie wartości b, c, d, e są dodatnie);

b) (zakłada się, że ).

Rozwiązanie, a) Wygodnie jest przekazać to wyrażenie do potęg ułamkowych:

Na podstawie równości (26,5)-(26,7) możemy teraz napisać:

Zauważamy, że na logarytmach liczb wykonuje się prostsze operacje niż na samych liczbach: podczas mnożenia liczb ich logarytmy są dodawane, przy dzieleniu są odejmowane itp.

Dlatego w praktyce obliczeniowej używano logarytmów (zob. rozdz. 29).

Działanie odwrotne do logarytmu nazywa się wzmocnieniem, a mianowicie: wzmocnieniem jest działanie, dzięki któremu sama ta liczba zostaje znaleziona przez dany logarytm liczby. W istocie wzmocnienie nie jest żadną specjalną akcją: sprowadza się do podniesienia podstawy do potęgi (równej logarytmowi liczby). Termin „wzmocnienie” można uznać za synonim terminu „potęgowanie”.

Podczas wzmacniania należy stosować reguły odwrotne do reguł logarytmu: sumę logarytmów zastąpić logarytmem iloczynu, różnicę logarytmów logarytmem ilorazu itp. W szczególności, jeśli istnieje dowolny czynnik przed znakiem logarytmu, to podczas wzmacniania należy go przenieść na stopnie wskaźnika pod znakiem logarytmu.

Przykład 5. Znajdź N, jeśli wiadomo, że

Decyzja. W związku z przed chwilą przedstawioną regułą potęgowania, czynniki 2/3 i 1/3, które znajdują się przed znakami logarytmów po prawej stronie tej równości, zostaną przeniesione na wykładniki pod znakami tych logarytmów; dostajemy

Teraz zastępujemy różnicę logarytmów logarytmem ilorazu:

aby otrzymać ostatni ułamek w tym łańcuchu równości, uwolniliśmy poprzedni ułamek od niewymierności w mianowniku (sekcja 25).

Właściwość 7. Jeśli podstawa jest większa niż jeden, to większa liczba ma większy logarytm (a mniejsza ma mniejszy), jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, to większa liczba ma mniejszy logarytm (a mniejsza jeden ma większy).

Ta właściwość jest również formułowana jako reguła dla logarytmu nierówności, których obie części są dodatnie:

Przy logarytmowaniu nierówności o podstawie większej niż jeden znak nierówności zostaje zachowany, a przy logarytmie o podstawie mniejszej od jedności znak nierówności jest odwrócony (patrz też poz. 80).

Dowód opiera się na własnościach 5 i 3. Rozważmy przypadek, gdy Jeśli , to i, biorąc logarytm, otrzymujemy

(a i N/M leżą po tej samej stronie jedności). Stąd

W przypadku a, czytelnik sam to rozgryzie.

Definicja logarytmu

Logarytm liczby b do podstawy a to wykładnik, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b.

liczba e w matematyce zwyczajowo określa się granicę, do której zmierza wyrażenie

numer e jest Liczba niewymierna- liczba niewspółmierna z jedynką, nie można jej dokładnie wyrazić ani jako całość, ani jako ułamek racjonalny numer.

List mi- pierwsza litera słowa łacińskiego uniewinnić- afiszować się, stąd nazwa w matematyce wykładniczy- funkcja wykładnicza.

Numer mi szeroko stosowane w matematyce i we wszystkich naukach ścisłych, w taki czy inny sposób wykorzystujące obliczenia matematyczne do swoich potrzeb.

Logarytmy. Własności logarytmów

Definicja: Logarytm bazowy liczby dodatniej b to wykładnik c, do którego należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

7) Formuła przejścia do nowej bazy:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Zadania i testy na temat „Logarytmy. Własności logarytmów»

• Logarytmy - Ważne tematy do powtarzania egzaminu z matematyki

Aby pomyślnie wykonać zadania z tego tematu, musisz znać definicję logarytmu, właściwości logarytmów, podstawową tożsamość logarytmiczną, definicje logarytmów dziesiętnych i naturalnych. Główne typy zadań na ten temat to zadania do obliczania i konwertowania wyrażeń logarytmicznych. Rozważmy ich rozwiązanie na poniższych przykładach.

Decyzja: Korzystając z właściwości logarytmów, otrzymujemy

Decyzja: korzystając z właściwości stopnia, otrzymujemy

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Własności logarytmów, formuły i dowody.

Logarytmy mają szereg charakterystycznych właściwości. W tym artykule przeanalizujemy główne własności logarytmów. Tutaj podajemy ich sformułowania, zapisujemy właściwości logarytmów w postaci wzorów, pokazujemy przykłady ich zastosowania, a także podajemy dowody własności logarytmów.

Nawigacja po stronie.

Podstawowe własności logarytmów, wzory

Dla ułatwienia zapamiętania i użycia przedstawiamy podstawowe własności logarytmów jako lista formuł. W kolejnej części podajemy ich formułę, dowody, przykłady użycia i niezbędne wyjaśnienia.

Właściwość dziennika jednostek: log a 1=0 dla dowolnego a>0 , a≠1 .

Logarytm liczby równej podstawie: log a a=1 dla a>0 , a≠1 .

Właściwość logarytmu stopnia podstawowego: log a a p = p , gdzie a>0 , a≠1 i p jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
oraz właściwość logarytmu iloczynu n liczb dodatnich: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 > 0, …, xn > 0 .

Prywatna właściwość logarytmu: , gdzie a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logarytm potęgi liczby: log a b p = p log a |b| , gdzie a>0 , a≠1 , b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens i b p > 0 .

Konsekwencja: , gdzie a>0 , a≠1 , n jest liczbą naturalną większą od jeden, b>0 .

Wniosek 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Wniosek 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p i q są liczbami rzeczywistymi, q≠0 , w szczególności dla b=a mamy .

Twierdzenia i dowody właściwości

Przechodzimy do sformułowania i udowodnienia zarejestrowanych własności logarytmów. Wszystkie własności logarytmów są udowadniane na podstawie definicji logarytmu i wynikającej z niej podstawowej tożsamości logarytmicznej oraz własności stopnia.

Zacznijmy własności logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zero, to znaczy zaloguj 1=0 dla dowolnego a>0 , a≠1 . Dowód jest prosty: ponieważ a 0 = 1 dla każdego a, który spełnia powyższe warunki a>0 i a≠1 , to logarytm udowodnionej równości a 1 = 0 wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.

Podajmy przykłady zastosowania rozważanej właściwości: log 3 1=0 , lg1=0 i .

Przejdźmy do następnej właściwości: logarytm liczby równej podstawie jest równy jeden, to znaczy, zaloguj a=1 dla a>0 , a≠1 . Rzeczywiście, ponieważ a 1 = a dla dowolnego a , to zgodnie z definicją logarytmu log a a = 1 .

Przykładami wykorzystania tej właściwości logarytmów są log 5 5=1 , log 5.6 5.6 i lne=1 .

Logarytm potęgi liczby równej podstawie logarytmu jest równy wykładnikowi. Ta właściwość logarytmu odpowiada formule postaci zaloguj a p = p, gdzie a>0 , a≠1 i p to dowolna liczba rzeczywista. Właściwość ta wynika bezpośrednio z definicji logarytmu. Zauważ, że pozwala to natychmiast określić wartość logarytmu, jeśli możliwe jest przedstawienie liczby pod znakiem logarytmu jako stopnia podstawy, porozmawiamy o tym więcej w artykule obliczanie logarytmów.

Na przykład log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i .

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Udowodnijmy własność logarytmu produktu. Ze względu na własności stopnia a log a x + log a y =a log a x a log a y , a ponieważ z głównej tożsamości logarytmicznej a log a x = x i log a y = y , to log a x a log a y = x y . Zatem log a x+log a y = x y , skąd wymagana równość wynika z definicji logarytmu.

Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 oraz .

Właściwość logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Tę równość można łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej.

Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4 , e i .

Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Właściwość ilorazu logarytmu odpowiada formule postaci , gdzie a>0 , a≠1 , x i y to pewne liczby dodatnie. Ważność tego wzoru jest udowodniona podobnie jak wzór na logarytm iloczynu: ponieważ , to przez definicję logarytmu .

Oto przykład użycia tej właściwości logarytmu: .

Przejdźmy do własność logarytmu stopnia. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Piszemy tę właściwość logarytmu stopnia w postaci wzoru: log a b p =p log a |b|, gdzie a>0 , a≠1 , b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens i b p > 0 .

Najpierw udowodnimy tę własność dla pozytywnego b . Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , wtedy b p = (a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, ze względu na właściwość potęgi, jest równe a p log a b . Dochodzimy więc do równości b p = a p log a b , z której na podstawie definicji logarytmu wnioskujemy, że log a b p = p log a b .

Pozostaje udowodnić tę własność dla ujemnego b . Zauważmy tutaj, że wyrażenie log a b p dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia b p musi być większa od zera, inaczej logarytm nie będzie miał sensu), iw tym przypadku b p =|b| p . Wtedy bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , skąd log a b p =p log a |b| .

Na przykład, oraz ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Wynika to z poprzedniej własności właściwość logarytmu od pierwiastka: logarytm pierwiastka n-tego stopnia jest równy iloczynowi ułamka 1/n i logarytmu pierwiastka wyrażenia, czyli gdzie a>0, a≠1, n jest liczbą naturalną większą od jeden, b>0.

Dowód opiera się na równości (patrz definicja wykładnika z wykładnikiem ułamkowym), która obowiązuje dla dowolnego dodatniego b oraz własności logarytmu stopnia: .

Oto przykład użycia tej właściwości: .

Teraz udowodnijmy formułę konwersji na nową podstawę logarytmu dobry . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić poprawność równości log c b=log a b log c a . Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , a następnie log c b = log c a log a b . Pozostaje skorzystać z własności logarytmu stopnia: log c a log a b = log a b log c a . W ten sposób udowodniono równość log c b=log a b log c a, co oznacza, że ​​udowodniono również wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu .

Pokażmy kilka przykładów zastosowania tej właściwości logarytmów: i .

Formuła przejścia do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Na przykład można go użyć do przełączenia na logarytmy naturalne lub dziesiętne, aby można było obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Formuła przejścia do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.

Często używany jest szczególny przypadek formuły przejścia do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci. To pokazuje, że log a b i log b a są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Na przykład, .

Formuła jest również często używana, co jest wygodne przy znajdowaniu wartości logarytmu. Na potwierdzenie naszych słów pokażemy, jak obliczana jest za jego pomocą wartość logarytmu formularza. Mamy . Aby udowodnić wzór, wystarczy użyć wzoru przejścia do nowej podstawy logarytmu a: .

Pozostaje udowodnić właściwości porównawcze logarytmów.

Użyjmy odwrotnej metody. Załóżmy, że dla a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 2 oraz dla 0 1 log a 1 b≤ log a 2 b jest prawdziwe. Dzięki właściwościom logarytmów nierówności te można zapisać jako oraz odpowiednio, az nich wynika, że ​​odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2. Wtedy z własności potęg o tych samych podstawach muszą być spełnione równości b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, czyli a 1 ≥a 2 . W ten sposób doszliśmy do sprzeczności z warunkiem a 1 2 . To kończy dowód.

Podstawowe własności logarytmów

• Materiały do ​​lekcji
• Pobierz wszystkie formuły

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które są nazywane podstawowe właściwości.

Te zasady muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. Ponadto jest ich bardzo mało - wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: log a x i log a y . Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Formuły te pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady - i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 6 4 + log 6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach pojawiają się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, ta kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usuwanie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli obserwuje się logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

[Podpis ilustracji]

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:

[Podpis ilustracji]

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - 2/4 pozostanie w mianowniku. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, wyraźnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A co jeśli podstawy są inne? Co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech logarytm logarytmiczny a x będzie dany. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

[Podpis ilustracji]

W szczególności, jeśli wstawimy c = x , otrzymamy:

[Podpis ilustracji]

Z drugiej formuły wynika, że ​​można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy rozwiązywaniu logarytmicznych równań i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4 log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

[Podpis ilustracji]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis ilustracji]

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis ilustracji]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:

1. n = log a a n

2. W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

   Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to podstawową tożsamością logarytmiczną.

   Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczbę b podniesiemy do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: to jest ta sama liczba a . Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz - wiele osób się na nim "wiesza".

   Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasem jedynym możliwym rozwiązaniem.

   [Podpis ilustracji]

   Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu weź kwadrat podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

   [Podpis ilustracji]

   Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Jednolitego Egzaminu Państwowego 🙂

   Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

   Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami – są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

   1. log a a = 1 to jednostka logarytmiczna. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
   2. log a 1 = 0 to zero logarytmiczne. Podstawa a może być dowolna, ale jeśli argumentem jest jeden - logarytm wynosi zero! Ponieważ 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

   To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją - i rozwiąż zadania.

   Logarytm. Własności logarytmu (dodawanie i odejmowanie).

   Własności logarytmu wynikać z jego definicji. I tak logarytm liczby b z powodu a zdefiniowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a aby uzyskać numer b(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

   Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x=log a b, jest równoważne rozwiązaniu równania topór=b. Na przykład, log 2 8 = 3 dlatego 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=a do, a następnie logarytm liczby b z powodu a równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmu jest ściśle powiązany z tematem potęgi liczby.

   Z logarytmami, jak z dowolnymi liczbami, możesz wykonać operacje dodawania, odejmowania i przekształcać w każdy możliwy sposób. Ale ze względu na fakt, że logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, zwane podstawowe właściwości.

   Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

   Weź dwa logarytmy o tej samej podstawie: dziennik x oraz zaloguj się. Następnie usuń możliwe jest wykonywanie operacji dodawania i odejmowania:

   jak widzimy, suma logarytmów jest równy logarytmowi iloczynu, oraz różnica logarytmy- logarytm ilorazu. I to prawda, jeśli liczby a, X oraz w pozytywne i a ≠ 1.

   Należy zauważyć, że głównym aspektem tych formuł są te same zasady. Jeśli podstawy różnią się od siebie, te zasady nie mają zastosowania!

   Zasady dodawania i odejmowania logarytmów o tych samych podstawach są odczytywane nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie. W rezultacie mamy twierdzenia dotyczące logarytmu iloczynu i logarytmu ilorazu.

   Logarytm produktu dwie liczby dodatnie są równe sumie ich logarytmów ; parafrazując to twierdzenie, otrzymujemy, jeśli liczby a, x oraz w pozytywne i a ≠ 1, następnie:

   Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równa różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnej. Innymi słowy, jeśli liczby a, X oraz w pozytywne i a ≠ 1, następnie:

   Powyższe twierdzenia stosujemy do rozwiązania przykłady:

   Jeśli liczby x oraz w są wtedy ujemne formuła logarytmu iloczynu staje się bez sensu. Zabrania się więc pisania:

   ponieważ wyrażenia log 2 (-8) i log 2 (-4) nie są w ogóle zdefiniowane (funkcja logarytmiczna w= dziennik 2 X zdefiniowane tylko dla dodatnich wartości argumentu X).

   Twierdzenie o produkcie ma zastosowanie nie tylko do dwóch, ale także do nieograniczonej liczby czynników. Oznacza to, że dla każdego naturalnego k i dowolne liczby dodatnie x 1 , x 2 , . . . ,x rz istnieje tożsamość:

   Od Twierdzenia o logarytmach ilorazowych można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Ten dziennik jest dobrze znany a 1= 0, zatem

   Istnieje więc równość:

   Logarytmy dwóch wzajemnie odwrotnych liczb na tej samej podstawie będą się różnić od siebie tylko znakiem. Więc:

   Logarytm. Własności logarytmów

   Logarytm. Własności logarytmów

   Rozważ równość. Daj nam znać wartości i chcemy znaleźć wartość .

   Oznacza to, że szukamy wykładnika, do którego trzeba się nagiąć, aby uzyskać .

   Pozwalać zmienna może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, wówczas na zmienne nakładane są następujące ograniczenia: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Jeśli znamy wartości i , a przed nami zadanie znalezienia nieznanego, to w tym celu wprowadzana jest operacja matematyczna, która nazywa się logarytm.

   Aby znaleźć wartość, którą bierzemy logarytm liczby na Fundacja :

   Logarytm liczby do podstawy to wykładnik, do którego należy podnieść, aby uzyskać .

   To znaczy podstawowa tożsamość logarytmiczna:

   o” tytuł=”a>o”/> , 1″ tytuł=”a1″/>, 0″ tytuł=”b>0″/>

   jest zasadniczo zapisem matematycznym definicje logarytmów.

   Logarytm operacji matematycznej jest odwrotnością potęgowania, więc własności logarytmów są ściśle związane z właściwościami stopnia.

   Wymieniamy główne własności logarytmów:

   (o” tytuł=”a>o”/> , 1″ tytuł=”a1″/>, 0″ tytuł=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ tytuł=”d1″/>

   4.

   5.

   Poniższa grupa właściwości pozwala przedstawić wykładnik wyrażenia pod znakiem logarytmu lub stojący u podstawy logarytmu jako współczynnik przed znakiem logarytmu:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Kolejna grupa wzorów pozwala przejść od logarytmu o podanej podstawie do logarytmu o dowolnej podstawie i nazywa się formuły przejścia do nowej bazy:

   10.

   12. (wynik z właściwości 11)

   

   Następujące trzy właściwości nie są dobrze znane, ale są często używane podczas rozwiązywania równań logarytmicznych lub podczas upraszczania wyrażeń zawierających logarytmy:

   13.

   14.

   15.

   Przypadki specjalne:

   — logarytm dziesiętny

   — naturalny logarytm

   Podczas upraszczania wyrażeń zawierających logarytmy stosuje się ogólne podejście:

   1. Reprezentujemy ułamki dziesiętne w postaci zwykłych.

   2. Liczby mieszane przedstawiamy jako ułamki niewłaściwe.

   3. Liczby u podstawy logarytmu i pod znakiem logarytmu rozkłada się na czynniki pierwsze.

   4. Staramy się sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy.

   5. Zastosuj własności logarytmów.

   Przyjrzyjmy się przykładom upraszczania wyrażeń zawierających logarytmy.

   Przykład 1

   Oblicz:

   Uprośćmy wszystkie wykładniki: naszym zadaniem jest doprowadzić je do logarytmów, których podstawa jest taka sama jak podstawa wykładnika.

   ==(według właściwości 7)=(według właściwości 6) =

   Zastąp wskaźniki, które uzyskaliśmy w oryginalnym wyrażeniu. Otrzymujemy:

   Odpowiedź: 5.25

   Przykład 2 Oblicz:

   

   Doprowadzamy wszystkie logarytmy do podstawy 6 (w tym przypadku logarytmy z mianownika ułamka „migrują” do licznika):

   Rozłóżmy liczby pod znakiem logarytmu na czynniki pierwsze:

   Zastosuj właściwości 4 i 6:

   Przedstawiamy zamiennik

   Otrzymujemy:

   Odpowiedź 1

   Logarytm . Podstawowa tożsamość logarytmiczna.

   Własności logarytmów. Logarytm dziesiętny. naturalny logarytm.

   logarytm liczba dodatnia N w bazie (b > 0, b 1) nazywa się wykładnikiem x, do którego należy podnieść b, aby otrzymać N .

   Ten wpis jest równoważny następującemu: b x = N .

   PRZYKŁADY: log 3 81 = 4 ponieważ 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 ponieważ (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Powyższą definicję logarytmu można zapisać jako tożsamość:

   

   Podstawowe własności logarytmów.

   2) log 1 = 0, ponieważ b 0 = 1 .

   3) Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników:

   4) Logarytm ilorazu jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnikiem:

   5) Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu jego podstawy:

   Konsekwencja tej właściwości jest następująca: katalog główny równa się logarytmowi liczby pierwiastkowej podzielonej przez potęgę pierwiastka:

   

   6) Jeśli podstawą logarytmu jest potęga, to wartość odwrotność wykładnika można wyjąć ze znaku dziennika rymów:

   

   Dwie ostatnie właściwości można połączyć w jedną:

   

   7) Wzór na moduł przejściowy (tj. przejście od jednej podstawy logarytmu do drugiej podstawy):

   

   W konkretnym przypadku, kiedy N = za mamy:

   

   Logarytm dziesiętny zwany logarytm bazowy 10. Oznacza się lg, tj. dziennik 10 N= dziennik N. Logarytmy liczb 10, 100, 1000, . p to odpowiednio 1, 2, 3, …, tj. mieć tyle pozytywów

   jednostki, ile zer jest w liczbie logarytmicznej po jedynki. Logarytmy liczb 0,1, 0,01, 0,001, . p to odpowiednio –1, –2, –3, …, tj. mieć tyle jedynek ujemnych, ile jest zer w logarytmie przed jedynką (wliczając zera). Logarytmy pozostałych liczb mają część ułamkową tzw mantysa. Nazywa się część całkowitą logarytmu Charakterystyka. W zastosowaniach praktycznych najwygodniejsze są logarytmy dziesiętne.

   naturalny logarytm zwany logarytm bazowy mi. Jest oznaczony przez ln, tj. dziennik mi N= ln N. Numer mi jest irracjonalny, jego przybliżona wartość to 2,718281828. Jest to granica, do której zbliża się liczba (1 + 1 / n) n z nieograniczonym wzrostem n(cm. pierwsza cudowna granica na stronie Limity sekwencji numerów).
   Choć może się to wydawać dziwne, logarytmy naturalne okazały się bardzo wygodne przy przeprowadzaniu różnych operacji związanych z analizą funkcji. Obliczanie logarytmów bazowych mi znacznie szybciej niż jakakolwiek inna baza.

• Czego potrzebujesz dzisiaj, aby adoptować dziecko w Rosji? Adopcja w Rosji, oprócz odpowiedzialnej decyzji personalnej, wiąże się z szeregiem procedur państwowej weryfikacji kandydatów. Sztywna selekcja na etapie przygotowawczym przyczynia się do […]
• Informacje bezpłatne według NIP lub OGRN z rejestru podatkowego w całej Rosji - online Na ujednoliconym portalu usług podatkowych informacje o państwowej rejestracji osób prawnych, indywidualnych przedsiębiorców, […]
• Kara za jazdę bez dokumentów (prawo jazdy, ubezpieczenie, STS) Czasami z powodu zapomnienia kierowcy wsiadają za kierownicę bez prawa jazdy i otrzymują mandat za jazdę bez dokumentów. Przypomnij sobie, że jadący z nim kierowca bez wątpienia […]
• Kwiaty dla mężczyzn. Jakie kwiaty można podarować mężczyźnie? Jakie kwiaty można podarować mężczyźnie? Nie ma tak wielu „męskich” kwiatów, ale są takie, które są dane mężczyznom. Mała lista kwiatów przed tobą: Chryzantemy. róże. Goździki. […]
• Notatka to specjalna forma dokumentu, która jest wykorzystywana w wewnętrznym środowisku przedsiębiorstwa i służy do szybkiego rozwiązywania bieżących problemów produkcyjnych. Zwykle dokument ten jest sporządzany w celu dokonania pewnych […]
• Kiedy i jak uzyskać finansowaną część emerytury w Sbierbanku? Sberbank jest bankiem partnerskim państwowego funduszu emerytalnego. Na tej podstawie obywatele, którzy wyemitowali kapitałową emeryturę, mogli przenieść kapitałową […]
• Zasiłki na dzieci w Uljanowsku i obwodzie uljanowskim w 2018 r. Ponadto we wszystkich regionach działają programy zatwierdzone przez prawo federalne. Zobaczmy, na kogo i na jakie świadczenia mogą liczyć. Ponieważ władze regionalne […]
• Szczegółowy poradnik, jak sporządzić pełnomocnictwo do reprezentowania interesów osoby fizycznej w sądzie W procesie cywilnym, arbitrażowym, administracyjnym lub karnym interesy zarówno powoda, jak i pozwanego mogą być reprezentowane przez pełnomocnika: […]

podstawowe właściwości.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

te same podstawy

log6 4 + log6 9.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzega się logarytmu ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik to 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik to 2,7 i dwa razy rok urodzenia Lwa Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

2.

3.

4. gdzie .

Przykład 2 Znajdź x, jeśli

Przykład 3. Niech będzie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które są nazywane podstawowe właściwości.

Te zasady muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. Ponadto jest ich bardzo mało - wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Formuły te pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach pojawiają się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usuwanie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli obserwuje się logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Formuły logarytmów. Przykładami rozwiązań są logarytmy.

Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - 2/4 pozostanie w mianowniku. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, wyraźnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A co jeśli podstawy są inne? Co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli wstawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że ​​można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy rozwiązywaniu logarytmicznych równań i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2 log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że ​​liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasem jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Jednolitego Egzaminu Państwowego 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami – są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. loga = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawa a może być dowolna, ale jeśli argument wynosi jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz też:

Logarytm liczby b do podstawy a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie takiej potęgi x (), przy której równość jest prawdziwa

Podstawowe własności logarytmu

Powyższe właściwości muszą być znane, ponieważ na ich podstawie prawie wszystkie problemy i przykłady są rozwiązywane w oparciu o logarytmy. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić za pomocą matematycznych manipulacji tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Podczas obliczania wzorów na sumę i różnicę logarytmów (3.4) spotyka się dość często. Reszta jest nieco skomplikowana, ale w wielu zadaniach są one niezbędne do upraszczania złożonych wyrażeń i obliczania ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, w których podstawa wynosi nawet dziesięć, wykładniczy lub dwójka.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem o podstawie dziesiątej i jest po prostu oznaczany jako lg(x).

Z protokołu widać, że podstawy nie są zapisane w protokole. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawą jest wykładnik (oznaczony ln(x)).

Wykładnik to 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik to 2,7 i dwa razy rok urodzenia Lwa Tołstoja. Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Kolejnym ważnym logarytmem o podstawie dwa jest

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Całkowy lub pierwotny logarytm jest określany przez zależność

Powyższy materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Dla przyswojenia materiału podam tylko kilka typowych przykładów z programu szkolnego i uczelni.

Przykłady logarytmów

Weź logarytm wyrażeń

Przykład 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Według właściwości 3,5 obliczamy

2.
Dzięki właściwości różnicowej logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. gdzie .

Z pozoru złożone wyrażenie wykorzystujące szereg reguł zostaje uproszczone do formy

Znajdowanie wartości logarytmu

Przykład 2 Znajdź x, jeśli

Decyzja. Do obliczeń stosujemy właściwości 5 i 13 aż do ostatniego wyrazu

Zastąp w protokole i opłakuj

Ponieważ podstawy są równe, zrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech podane zostaną wartości logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weź logarytm zmiennej, aby zapisać logarytm przez sumę warunków

To dopiero początek znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogać swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza będzie Ci wkrótce potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny równie ważny temat - nierówności logarytmiczne ...

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować na wszelkie możliwe sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które są nazywane podstawowe właściwości.

Te zasady muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. Ponadto jest ich bardzo mało - wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Formuły te pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli jego poszczególne części nie są brane pod uwagę (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie, podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się z „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane osobno. Ale po przekształceniach pojawiają się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usuwanie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Co jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyjąć ze znaku logarytmu zgodnie z następującymi zasadami:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli obserwuje się logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszego wzoru:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są potęgi dokładne: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - 2/4 pozostanie w mianowniku. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Wynikiem jest odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, wyraźnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A co jeśli podstawy są inne? Co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech dany będzie logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli wstawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że ​​można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są tylko przy rozwiązywaniu logarytmicznych równań i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie można rozwiązać, chyba że przeprowadzi się do nowego fundamentu. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2 log2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku formuły pomogą nam:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest w rzeczywistości sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że ​​liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasem jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Jednolitego Egzaminu Państwowego 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami – są to raczej konsekwencje z definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. loga = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawa a może być dowolna, ale jeśli argument wynosi jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby ćwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.