Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanych w temacie.Temat jest studiowany w szkole średniej, podczas gdy zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne, osoba zaznajomiona z potęgami i tabliczką mnożenia nie będzie trudna do wybrania niezbędne liczby i znajdź wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.

NOC to krótka nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.

Sposoby uzyskania numeru

Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład 1

Dla najprostszego przykładu szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.

Przykład nr 2

Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano numery 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczaniu wyniku końcowego. Dla każdego czynnika pobierana jest największa liczba wystąpień z pierwotnych liczb. LCM jest liczbą wspólną, więc czynniki z liczb muszą się w niej powtarzać do końca, nawet te, które występują w jednym przypadku. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie cyfry 2, 3 i 5, w różnym stopniu, 7 występuje tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć wynik końcowy, musisz wziąć każdą liczbę w największej z reprezentowanych przez nią potęg do równania. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie mieści się w dwóch krokach bez wyjaśnienia:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - prawda;

6300/1260 = 5 jest poprawne.

Poprawność wyniku określa się sprawdzając - dzieląc LCM przez obie liczby początkowe, jeśli w obu przypadkach liczba jest liczbą całkowitą, to odpowiedź jest poprawna.

Co oznacza NOC w matematyce

Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzech, pięciu i tak dalej. Im więcej liczb - tym więcej akcji w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby ułożyć wyrażenie należy podać wszystkie czynniki, w tym przypadku podane są 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb należy określić stopień maksymalny.

Uwaga: wszystkie mnożniki należy doprowadzić do pełnego uproszczenia, w miarę możliwości rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - prawda;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Tworzona jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, pobierana jest liczba, a wyniki mnożenia tej liczby przez liczby całkowite są zapisywane w rzędzie, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, druga i kolejne liczby są poddawane do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:

1) Wielokrotność liczby 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności liczby 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności liczby 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyną wspólną liczbą wśród nich jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem znajduje się również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby, która jest podzielna przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielą się liczby początkowe.

Drugi numer: b=

Separator cyfr Brak separatora spacji „ ´

Wynik:

Największy wspólny dzielnik gcd( a,b)=6

Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM( a,b)=468

Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty Największy wspólny dzielnik(gcd) tych liczb. Oznaczane gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) lub hcf(a,b).

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch liczb całkowitych aib to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez aib bez reszty. Oznaczone LCM(a,b) lub lcm(a,b).

Liczby całkowite a i b są nazywane względnie pierwsze jeśli nie mają wspólnych dzielników innych niż +1 i −1.

Największy wspólny dzielnik

Niech dane będą dwie liczby dodatnie a 1 i a 2 1). Należy znaleźć wspólny dzielnik tych liczb, tj. znaleźć taką liczbę λ , która dzieli liczby a 1 i a 2 w tym samym czasie. Opiszmy algorytm.

1) W tym artykule słowo liczba będzie oznaczać liczbę całkowitą.

Pozwalać a 1 ≥ a 2 i niech

gdzie m 1 , a 3 to pewne liczby całkowite, a 3 <a 2 (reszta z podziału a 1 na a 2 powinno być mniej a 2).

Udawajmy, że λ dzieli a 1 i a 2, w takim razie λ dzieli m 1 a 2 i λ dzieli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Twierdzenie 2 artykułu „Podzielność liczb. Znak podzielności”). Wynika z tego, że każdy wspólny dzielnik a 1 i a 2 jest wspólnym dzielnikiem a 2 i a 3 . Odwrotność jest również prawdziwa, jeśli λ wspólny dzielnik a 2 i a 3, w takim razie m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 są również podzielone na λ . Stąd wspólny dzielnik a 2 i a 3 jest również wspólnym dzielnikiem a 1 i a 2. Jak a 3 <a 2 ≤a 1 , to możemy powiedzieć, że rozwiązanie problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb a 1 i a 2 zredukowane do prostszego problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb a 2 i a 3 .

Jeśli a 3 ≠0, to możemy podzielić a 2 na a 3 . Następnie

,

gdzie m 1 i a 4 to niektóre liczby całkowite, ( a 4 reszta z dzielenia a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Z podobnego rozumowania dochodzimy do wniosku, że wspólne dzielniki liczb a 3 i a 4 jest tym samym, co wspólne dzielniki liczb a 2 i a 3 , a także ze wspólnymi dzielnikami a 1 i a 2. Jak a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... liczby, które stale maleją, a ponieważ istnieje skończona liczba liczb całkowitych między nimi a 2 i 0, a następnie w pewnym kroku n, reszta z podziału a n wł a n+1 będzie równe zeru ( a n+2=0).

.

Każdy wspólny dzielnik λ liczby a 1 i a 2 jest również dzielnikiem liczb a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1 . Odwrotność jest również prawdziwa, wspólne dzielniki liczb a n i a n+1 są również dzielnikami liczb a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ale wspólny dzielnik a n i a n+1 to liczba a n+1 , ponieważ a n i a n+1 są podzielne przez a n+1 (pamiętaj, że a n+2=0). w konsekwencji a n+1 jest również dzielnikiem liczb a 1 i a 2 .

Zwróć uwagę, że liczba a n+1 to największy dzielnik liczby a n i a n+1 , od największego dzielnika a n+1 jest sobą a n+1 . Jeśli a n + 1 można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych, wtedy liczby te są również wspólnymi dzielnikami liczb a 1 i a 2. Numer a nazywa się n+1 Największy wspólny dzielnik liczby a 1 i a 2 .

Liczby a 1 i a 2 mogą być zarówno liczbami dodatnimi, jak i ujemnymi. Jeżeli jedna z liczb jest równa zeru, to największy wspólny dzielnik tych liczb będzie równy wartości bezwzględnej drugiej liczby. Największy wspólny dzielnik liczb zerowych nie jest zdefiniowany.

Powyższy algorytm nazywa się Algorytm Euklidesa znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych.

Przykład znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb

Znajdź największy wspólny dzielnik dwóch liczb 630 i 434.

• Krok 1. Podziel liczbę 630 przez 434. Reszta to 196.
• Krok 2. Podziel liczbę 434 przez 196. Reszta to 42.
• Krok 3. Podziel liczbę 196 przez 42. Reszta to 28.
• Krok 4. Podziel liczbę 42 przez 28. Reszta to 14.
• Krok 5. Podziel liczbę 28 przez 14. Reszta to 0.

W kroku 5 reszta z dzielenia wynosi 0. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 630 i 434 jest 14. Zauważ, że liczby 2 i 7 są również dzielnikami liczb 630 i 434.

Liczby względnie pierwsze

Definicja 1. Niech największy wspólny dzielnik liczb a 1 i a 2 równa się jeden. Następnie te numery są wywoływane liczby względnie pierwsze które nie mają wspólnego dzielnika.

Twierdzenie 1. Jeśli a 1 i a 2 względnie pierwsze liczby i λ jakąś liczbę, a następnie dowolny wspólny dzielnik liczb λa 1 i a 2 jest również wspólnym dzielnikiem liczb λ oraz a 2 .

Dowód. Rozważ algorytm Euklidesa do znajdowania największego wspólnego dzielnika liczb a 1 i a 2 (patrz wyżej).

.

Z warunków twierdzenia wynika, że ​​największy wspólny dzielnik liczb a 1 i a 2, a zatem a n i a n+1 to 1. Tj. a n+1=1.

Pomnóżmy wszystkie te równości przez λ , następnie

.

Niech wspólny dzielnik a 1 λ oraz a 2 jest δ . Następnie δ wchodzi jako czynnik a 1 λ , m 1 a 2 λ i w a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Patrz „Podzielność liczb”, Stwierdzenie 2). Dalej δ wchodzi jako czynnik a 2 λ oraz m 2 a 3 λ , a zatem wchodzi jako czynnik w a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Rozumując w ten sposób, jesteśmy o tym przekonani δ wchodzi jako czynnik a n−1 λ oraz m n−1 a n λ , a więc w a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jak a zatem n+1 = 1 δ wchodzi jako czynnik λ . Stąd liczba δ jest wspólnym dzielnikiem liczb λ oraz a 2 .

Rozważ szczególne przypadki Twierdzenia 1.

Konsekwencja 1. Pozwalać a oraz c liczby pierwsze są względne b. Potem ich produkt ak jest liczbą pierwszą względem b.

Naprawdę. Z Twierdzenia 1 ak oraz b mają takie same wspólne dzielniki jak c oraz b. Ale liczby c oraz b względnie pierwsze, tj. mają jeden wspólny dzielnik 1. Wtedy ak oraz b mają również jeden wspólny dzielnik 1. Stąd ak oraz b wzajemnie proste.

Konsekwencja 2. Pozwalać a oraz b liczby względnie pierwsze i niech b dzieli tak. Następnie b dzieli i k.

Naprawdę. Z warunku asercji tak oraz b mają wspólny dzielnik b. Na mocy Twierdzenia 1, b musi być wspólnym dzielnikiem b oraz k. w konsekwencji b dzieli k.

Wniosek 1 można uogólnić.

Konsekwencja 3. 1. Niech liczby a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m są liczbami pierwszymi względem liczby b. Następnie a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , iloczyn tych liczb jest liczbą pierwszą względem tej liczby b.

2. Niech mamy dwa rzędy liczb

tak, że każda liczba w pierwszym rzędzie jest pierwsza względem każdej liczby w drugim rzędzie. Następnie produkt

Wymagane jest znalezienie takich liczb, które są podzielne przez każdą z tych liczb.

Jeżeli liczba jest podzielna przez a 1, tak to wygląda sa 1, gdzie s jakiś numer. Jeśli q jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1 i a 2, w takim razie

gdzie s 1 to pewna liczba całkowita. Następnie

jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 względnie pierwsze, a następnie najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 i a 2:

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Z powyższego wynika, że ​​dowolna wielokrotność liczb a 1 , a 2 , a 3 musi być wielokrotnością liczby ε oraz a 3 i odwrotnie. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε oraz a 3 jest ε 1. Ponadto wielokrotność liczb a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musi być wielokrotnością liczby ε 1 i a cztery . Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε 1 i a 4 jest ε 2. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wszystkie wielokrotności liczb a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m pokrywają się z wielokrotnościami określonej liczby ε n , która jest nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością podanych liczb.

W szczególnym przypadku, gdy liczby a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m względnie pierwsza, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 , a 2, jak pokazano powyżej, ma postać (3). Dalej, ponieważ a 3 pierwsze w odniesieniu do liczb a 1 , a 2, w takim razie a 3 to pierwsza liczba względna a 1 · a 2 (Wniosek 1). Czyli najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 ,a 2 ,a 3 to liczba a 1 · a 2 · a 3 . Argumentując w podobny sposób, dochodzimy do następujących twierdzeń.

Oświadczenie 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jest równe ich iloczynowi a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Oświadczenie 2. Dowolna liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb względnie pierwszych a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jest również podzielna przez ich iloczyn a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, zależność pomiędzy LCM a NWD. Tutaj porozmawiamy o znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, jak oblicza się LCM dwóch liczb na podstawie NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja po stronie.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i NWD. Istniejąca zależność między LCM i NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Rozważ przykłady znajdowania LCM według powyższego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

Decyzja.

W tym przykładzie a=126 , b=70 . Skorzystajmy z zależności między LCM i NWD wyrażonej wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

Znajdź gcd(126, 70) za pomocą algorytmu Euklidesa: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: LM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odpowiedź:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Co to jest LCM(68, 34)?

Decyzja.

Jak 68 jest równo podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odpowiedź:

LCM(68, 34)=68 .

Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b : jeśli liczba a jest podzielna przez b , to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to wynikowy iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb aib. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w części dotyczącej znajdowania gcd z rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

Weźmy przykład. Powiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wyłączymy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takimi czynnikami są 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Przykład.

Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Decyzja.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki występujące jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . W ten sposób, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpowiedź:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM na podstawie rozkładu liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli do czynników z rozwinięcia liczby a dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodamy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymamy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 84 i 648.

Decyzja.

Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co równa się 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84, 648)=4 536 .

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k to najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , za k) .

Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Decyzja.

W tym przykładzie a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140, 9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To znaczy m 2 = 1 260 .

Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą funkcji gcd(1 260, 54) , która jest również określona przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.

Pozostało znaleźć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To znaczy m 4 \u003d 94 500.

Tak więc najmniejszą wspólną wielokrotnością czterech oryginalnych liczb jest 94 500.

Odpowiedź:

LCM(140, 9, 54, 250)=94500.

W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następujących elementów: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodaje się do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych współczynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Rozważmy przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Decyzja.

Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .

Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zbiór czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , co jest równe 48 048 .

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw ustalić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność liczby A jest liczbą naturalną podzielną bez reszty przez A. Zatem 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności liczby 5.

Może istnieć ograniczona liczba dzielników określonej liczby, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, która jest przez nie podzielna bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która jest równo podzielna przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać w wierszu wszystkie wielokrotności tych liczb, aż znajdzie się wśród nich wspólny. Wielokrotności są oznaczane w rekordzie dużą literą K.

Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Wpis ten wykonywany jest w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej jest użyć innego sposobu obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć zaproponowane liczby na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz napisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.

W rozwinięciu każdej liczby może występować inna liczba czynników.

Na przykład rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

W rozwinięciu mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których brakuje w rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie je do niej dodać. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie wchodzą w skład rozkładu większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu nie zostały uwzględnione w rozkładzie na czynniki większej liczby (jedna jest w rozkładzie dwudziestu czterech).

Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Tak więc, jeśli jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład NOC liczące dwanaście i dwadzieścia cztery osoby miałyby dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają tych samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.

Na przykład LCM(10, 11) = 110.

Największy wspólny dzielnik

Definicja 2

Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ nazywamy wielokrotnością $b$.

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ jest nazywana wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i dla $b$.

Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia służy notacja:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​lub \ D \ (a;b)$

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:

1. Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1

Znajdź gcd liczb $121$ i $132.$

242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$

$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$

Wybierz liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$

$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=2\cdot 11=22$

Przykład 2

Znajdź NWD jednomianów $63$ i $81$.

Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego:

Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$

Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$

Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=3\cdot 3=9$

Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.

Przykład 3

Znajdź gcd liczb $48$ i $60$.

Decyzja:

Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Więc największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.

Definicja NOC

Definicja 3

wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.

Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty. Na przykład dla liczb 25 $ i 50 $ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 $ itd.

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczona jako LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$

Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:

1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
2. Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodzą do pierwszej

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.

Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

99 $=3\ckropka 3\ckropka 11$

Zapisz czynniki zawarte w pierwszym

dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodzą do pierwszego

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sporządzanie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euclida.

Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b

Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do takiej pary liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.

Własności NWD i LCM

1. Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
2. Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$

Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$

Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$

Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$