Bardziej niezawodna niż metoda graficzna omówiona w poprzednim akapicie.

Metoda substytucyjna

Tę metodę stosowaliśmy w 7. klasie do rozwiązywania układów równań liniowych. Algorytm opracowany w 7. klasie całkiem nadaje się do rozwiązywania układów dowolnych dwóch równań (niekoniecznie liniowych) z dwiema zmiennymi x i y (oczywiście zmienne można oznaczyć innymi literami, co nie ma znaczenia). Faktycznie, zastosowaliśmy ten algorytm w poprzednim akapicie, gdy problem liczby dwucyfrowej doprowadził do modelu matematycznego, który jest układem równań. Rozwiązaliśmy powyższy układ równań, stosując metodę podstawienia (patrz przykład 1 z § 4).

Algorytm stosowania metody podstawieniowej przy rozwiązywaniu układu dwóch równań z dwiema zmiennymi x, y.

1. Wyraź y w postaci x z jednego równania układu.
2. Zastąp powstałe wyrażenie zamiast y do innego równania układu.
3. Rozwiąż powstałe równanie dla x.
4. Podstaw kolejno każdy z pierwiastków równania znalezionego w kroku trzecim zamiast x do wyrażeń od y do x otrzymanych w kroku pierwszym.
5. Zapisz odpowiedź w postaci par wartości (x; y), które znaleziono odpowiednio w trzecim i czwartym kroku.

4) Zastąp jedną po drugiej znalezione wartości y wzorem x = 5 - 3. Jeśli następnie
5) Pary (2; 1) i rozwiązania danego układu równań.

Odpowiedź: (2; 1);

Metoda dodawania algebraicznego

Metodę tę, podobnie jak metodę podstawieniową, znacie z zajęć algebry w klasie VII, gdzie stosowano ją do rozwiązywania układów równań liniowych. Przypomnijmy istotę metody na poniższym przykładzie.

Przykład 2. Rozwiązać układ równań

Pomnóżmy wszystkie wyrazy pierwszego równania układu przez 3, a drugie równanie pozostawmy bez zmian:
Odejmij drugie równanie układu od jego pierwszego równania:

W wyniku algebraicznego dodania dwóch równań układu pierwotnego otrzymano równanie prostsze od pierwszego i drugiego równania danego układu. Tym prostszym równaniem mamy prawo zastąpić dowolne równanie danego układu, np. drugie. Wówczas dany układ równań zostanie zastąpiony prostszym układem:

Układ ten można rozwiązać metodą podstawieniową. Z drugiego równania, które znajdujemy, podstawiając to wyrażenie zamiast y do pierwszego równania układu, otrzymujemy

Pozostaje zastąpić znalezione wartości x we ​​wzorze

Jeśli x = 2 to

W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania systemu:

Metoda wprowadzania nowych zmiennych

Na kursie algebry w ósmej klasie zapoznałeś się ze sposobem wprowadzania nowej zmiennej przy rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną. Istota tej metody rozwiązywania układów równań jest taka sama, ale z technicznego punktu widzenia istnieją pewne cechy, które omówimy w poniższych przykładach.

Przykład 3. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy nową zmienną.Wtedy pierwsze równanie układu można zapisać w prostszej postaci: Rozwiążmy to równanie ze względu na zmienną t:

Obie te wartości spełniają warunek i dlatego są pierwiastkami równania wymiernego o zmiennej t. Ale to oznacza albo miejsce, w którym stwierdzamy, że x = 2y, albo
Tym samym, stosując metodę wprowadzenia nowej zmiennej, udało nam się „rozwarstwić” pierwsze równanie układu, z pozoru dość złożonego, na dwa prostsze równania:

x = 2 lata; y - 2x.

Co dalej? I wtedy każde z dwóch otrzymanych prostych równań należy po kolei rozpatrzyć w układzie z równaniem x 2 - y 2 = 3, o którym jeszcze nie pamiętaliśmy. Inaczej mówiąc, problem sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań:

Musimy znaleźć rozwiązania dla pierwszego układu, drugiego układu i uwzględnić w odpowiedzi wszystkie powstałe pary wartości. Rozwiążmy pierwszy układ równań:

Skorzystajmy z metody podstawieniowej, zwłaszcza, że ​​tutaj wszystko jest na to gotowe: podstawmy wyrażenie 2y zamiast x do drugiego równania układu. Dostajemy

Ponieważ x = 2y, znajdujemy odpowiednio x 1 = 2, x 2 = 2. Otrzymujemy zatem dwa rozwiązania danego układu: (2; 1) i (-2; -1). Rozwiążmy drugi układ równań:

Zastosujmy ponownie metodę podstawienia: wstawmy wyrażenie 2x zamiast y do drugiego równania układu. Dostajemy

Równanie to nie ma pierwiastków, co oznacza, że ​​układ równań nie ma rozwiązań. Zatem w odpowiedzi należy uwzględnić jedynie rozwiązania pierwszego układu.

Odpowiedź: (2; 1); (-2;-1).

Metodę wprowadzania nowych zmiennych przy rozwiązywaniu układów dwóch równań z dwiema zmiennymi zastosowano w dwóch wersjach. Opcja pierwsza: wprowadza się jedną nową zmienną i wykorzystuje się ją tylko w jednym równaniu układu. Dokładnie tak się stało w przykładzie 3. Opcja druga: wprowadza się dwie nowe zmienne i wykorzystuje je jednocześnie w obu równaniach układu. Będzie tak w przykładzie 4.

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy dwie nowe zmienne:

Weźmy to w takim razie pod uwagę

Umożliwi to przepisanie danego układu w znacznie prostszej formie, ale z uwzględnieniem nowych zmiennych aib:

Ponieważ a = 1, to z równania a + 6 = 2 znajdujemy: 1 + 6 = 2; 6=1. Zatem w odniesieniu do zmiennych a i b otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

Wracając do zmiennych x i y, otrzymujemy układ równań

Zastosujmy metodę dodawania algebraicznego do rozwiązania tego układu:

Odtąd z równania 2x + y = 3 znajdujemy:
Zatem w odniesieniu do zmiennych x i y otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

Zakończmy ten akapit krótką, ale dość poważną rozmową teoretyczną. Zdobyłeś już pewne doświadczenie w rozwiązywaniu różnych równań: liniowych, kwadratowych, wymiernych, niewymiernych. Wiesz, że główną ideą rozwiązywania równania jest stopniowe przechodzenie od jednego równania do drugiego, prostszego, ale równoważnego danemu. W poprzednim akapicie wprowadziliśmy pojęcie równoważności równań z dwiema zmiennymi. Pojęcie to jest również stosowane w przypadku układów równań.

Definicja.

Dwa układy równań ze zmiennymi x i y nazywamy równoważnymi, jeśli mają takie same rozwiązania lub oba układy nie mają rozwiązań.

Wszystkie trzy metody (podstawienie, dodawanie algebraiczne i wprowadzenie nowych zmiennych), które omówiliśmy w tej sekcji, są całkowicie poprawne z punktu widzenia równoważności. Innymi słowy, stosując te metody, zastępujemy jeden układ równań innym, prostszym, ale równoważnym układowi pierwotnemu.

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań

Nauczyliśmy się już rozwiązywać układy równań w tak powszechny i ​​niezawodny sposób, jak metoda podstawienia, dodawania algebraicznego i wprowadzanie nowych zmiennych. Przypomnijmy sobie teraz metodę, której nauczyłeś się już na poprzedniej lekcji. Oznacza to, że powtórzmy to, co wiesz o graficznej metodzie rozwiązywania.

Metoda graficznego rozwiązywania układów równań polega na skonstruowaniu wykresu dla każdego z konkretnych równań wchodzących w skład danego układu i znajdujących się w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a także tam, gdzie konieczne jest znalezienie przecięć punktów tych równań wykresy. Do rozwiązania tego układu równań służą współrzędne tego punktu (x; y).

Należy pamiętać, że graficzny układ równań często ma jedno poprawne rozwiązanie, nieskończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.

Przyjrzyjmy się teraz każdemu z tych rozwiązań bardziej szczegółowo. Zatem układ równań może mieć unikalne rozwiązanie, jeśli linie będące wykresami równań układu przecinają się. Jeżeli te linie są równoległe, to taki układ równań nie ma absolutnie żadnych rozwiązań. Jeżeli bezpośrednie wykresy równań układu pokrywają się, to taki układ pozwala na znalezienie wielu rozwiązań.

Cóż, teraz spójrzmy na algorytm rozwiązywania układu dwóch równań z 2 niewiadomymi metodą graficzną:

Najpierw budujemy wykres pierwszego równania;
Drugim krokiem będzie skonstruowanie wykresu powiązanego z drugim równaniem;
Po trzecie, musimy znaleźć punkty przecięcia wykresów.
W rezultacie otrzymujemy współrzędne każdego punktu przecięcia, który będzie rozwiązaniem układu równań.

Przyjrzyjmy się tej metodzie bardziej szczegółowo na przykładzie. Mamy układ równań, który należy rozwiązać:

Rozwiązywanie równań

1. Najpierw zbudujemy wykres tego równania: x2+y2=9.

Należy jednak zauważyć, że ten wykres równań będzie kołem ze środkiem w początku, a jego promień będzie równy trzy.

2. Następnym krokiem będzie narysowanie równania typu: y = x – 3.

W tym przypadku musimy skonstruować linię prostą i znaleźć punkty (0;−3) i (3;0).

3. Zobaczmy, co mamy. Widzimy, że linia prosta przecina okrąg w dwóch punktach A i B.

Teraz szukamy współrzędnych tych punktów. Widzimy, że współrzędne (3;0) odpowiadają punktowi A, a współrzędne (0;−3) odpowiadają punktowi B.

I co w efekcie otrzymamy?

Liczby (3;0) i (0;−3) otrzymane, gdy prosta przecina okrąg, są dokładnie rozwiązaniami obu równań układu. Z tego wynika, że ​​liczby te są również rozwiązaniami tego układu równań.

Oznacza to, że odpowiedzią na to rozwiązanie są liczby: (3;0) i (0;−3).

Rozwiązywanie równań w liczbach całkowitych jest jednym z najstarszych problemów matematycznych. Już na początku II tysiąclecia p.n.e. mi. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać układy takich równań z dwiema zmiennymi. Ta dziedzina matematyki osiągnęła swój największy rozkwit w starożytnej Grecji. Naszym głównym źródłem jest Arytmetyka Diofantosa, która zawiera różne typy równań. Diofantos (od jego imienia nazwa równań to równania diofantyczne) przewiduje szereg metod badania równań drugiego i trzeciego stopnia, które rozwinęły się dopiero w XIX wieku.

Najprostsze równania diofantyny to ax + y = 1 (równanie z dwiema zmiennymi, pierwszy stopień) x2 + y2 = z2 (równanie z trzema zmiennymi, drugi stopień)

Najpełniej zbadane zostały równania algebraiczne, których rozwiązanie było jednym z najważniejszych problemów algebry XVI i XVII wieku.

Już na początku XIX w. w pracach P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa badano równanie diofantyczne o postaci: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c , d, e, f to liczby; x, y nieznane zmienne.

Jest to równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

K. Gauss opracował ogólną teorię form kwadratowych, która jest podstawą rozwiązywania niektórych typów równań z dwiema zmiennymi (równania diofantyny). Istnieje wiele specyficznych równań diofantyny, które można rozwiązać metodami elementarnymi. /p>

Materiał teoretyczny.

W tej części pracy zostaną opisane podstawowe pojęcia matematyczne, zdefiniowane terminy oraz sformułowane twierdzenie o rozwinięciu metodą współczynników nieokreślonych, które badano i uwzględniono przy rozwiązywaniu równań z dwiema zmiennymi.

Definicja 1: Równanie w postaci ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c, d, e, f są liczbami; x, y nieznane zmienne nazywane są równaniem drugiego stopnia z dwiema zmiennymi.

Na szkolnych zajęciach z matematyki badane jest równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c to liczba x zmienna, z jedną zmienną. Istnieje wiele sposobów rozwiązania tego równania:

1. Znajdowanie pierwiastków za pomocą dyskryminatora;

2. Znalezienie pierwiastków współczynnika parzystego w (wg D1=);

3. Wyszukiwanie pierwiastków z wykorzystaniem twierdzenia Viety;

4. Znajdowanie pierwiastków poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu dwumianu.

Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że nie istnieją.

Definicja 2: Pierwiastkiem równania jest liczba, która po podstawieniu do równania tworzy prawdziwą równość.

Definicja 3: Rozwiązanie równania z dwiema zmiennymi nazywa się parą liczb (x, y), które po podstawieniu do równania daje prawdziwą równość.

Proces znajdowania rozwiązań równania bardzo często polega na zastąpieniu równania równaniem równoważnym, ale łatwiejszym do rozwiązania. Takie równania nazywane są równoważnymi.

Definicja 4: Mówi się, że dwa równania są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego równania jest rozwiązaniem drugiego równania i odwrotnie, a oba równania rozpatrywane są w tej samej dziedzinie.

Aby rozwiązać równania z dwiema zmiennymi, należy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie równania na sumę pełnych kwadratów (metodą współczynników nieokreślonych).

Dla równania drugiego rzędu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) ma miejsce rozwinięcie a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Sformułujmy warunki, w jakich zachodzi rozwinięcie (2) równania (1) dwóch zmiennych.

Twierdzenie: Jeżeli współczynniki a, b, c równania (1) spełniają warunki a0 i 4ab – c20, to rozwinięcie (2) wyznacza się w jednoznaczny sposób.

Innymi słowy, równanie (1) z dwiema zmiennymi można sprowadzić do postaci (2) metodą współczynników nieokreślonych, jeśli spełnione są warunki twierdzenia.

Spójrzmy na przykład implementacji metody współczynników nieokreślonych.

METODA nr 1. Rozwiązać równanie metodą współczynników nieokreślonych

2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Sprawdźmy spełnienie warunków twierdzenia a=2, b=1, c=2, co oznacza a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Warunki twierdzenia są spełnione i można je rozwinąć zgodnie ze wzorem (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, w oparciu o warunki twierdzenia obie części tożsamości są równoważne. Uprośćmy prawą stronę tożsamości.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Przyrównujemy współczynniki identycznych zmiennych z ich potęgami.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Zdobądźmy układ równań, rozwiążmy go i znajdź wartości współczynników.

7. Podstaw współczynniki do (2), a równanie przyjmie postać

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Zatem oryginalne równanie jest równoważne równaniu

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), równanie to jest równoważne układowi dwóch równań liniowych.

Odpowiedź: (-1; 1).

Jeśli zwrócisz uwagę na rodzaj rozwinięcia (3), zauważysz, że ma ono identyczną formę, jak wyodrębnienie pełnego kwadratu z równania kwadratowego z jedną zmienną: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Zastosujmy tę technikę przy rozwiązywaniu równania z dwiema zmiennymi. Rozwiążmy, wybierając pełny kwadrat, równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi, które zostało już rozwiązane za pomocą twierdzenia.

METODA nr 2: Rozwiąż równanie 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Rozwiązanie: 1. Wyobraźmy sobie 2x2 jako sumę dwóch wyrazów x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Pogrupujmy wyrazy w taki sposób, aby móc je złożyć korzystając ze wzoru na pełny kwadrat.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Wybierz całe kwadraty z wyrażeń w nawiasach.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. To równanie jest równoważne układowi równań liniowych.

Odpowiedź: (-1;1).

Jeśli porównać wyniki, widać, że równanie rozwiązane metodą nr 1 z wykorzystaniem twierdzenia i metodą współczynników nieokreślonych oraz równanie rozwiązane metodą nr 2 z wykorzystaniem ekstrakcji pełnego kwadratu mają te same pierwiastki.

Wniosek: Równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi można rozszerzyć na sumę kwadratów na dwa sposoby:

➢ Pierwszą metodą jest metoda współczynników nieokreślonych, która opiera się na twierdzeniu i rozwinięciu (2).

➢ Drugi sposób polega na zastosowaniu transformacji tożsamościowych, które pozwalają na sekwencyjne wybieranie pełnych kwadratów.

Oczywiście przy rozwiązywaniu problemów preferowana jest druga metoda, ponieważ nie wymaga zapamiętywania rozwinięć (2) i warunków.

Metodę tę można również zastosować do równań kwadratowych z trzema zmiennymi. Wyodrębnienie idealnego kwadratu w takich równaniach jest bardziej pracochłonne. W przyszłym roku zrobię taką metamorfozę.

Warto zauważyć, że funkcję o postaci: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f nazywamy funkcją kwadratową dwóch zmiennych. Funkcje kwadratowe odgrywają ważną rolę w różnych gałęziach matematyki:

W programowaniu matematycznym (programowanie kwadratowe)

W algebrze liniowej i geometrii (formy kwadratowe)

W teorii równań różniczkowych (sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej).

Rozwiązując te różne problemy, zasadniczo należy zastosować procedurę izolowania pełnego kwadratu z równania kwadratowego (jednej, dwóch lub więcej zmiennych).

Proste, których równania są opisane równaniem kwadratowym dwóch zmiennych, nazywane są krzywymi drugiego rzędu.

To jest okrąg, elipsa, hiperbola.

Przy konstruowaniu wykresów tych krzywych stosuje się również metodę sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.

Przyjrzyjmy się, jak działa metoda sekwencyjnego wybierania całego kwadratu na konkretnych przykładach.

Część praktyczna.

Rozwiązuj równania metodą sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Odpowiedź:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odpowiedź:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odpowiedź:(-1;1).

Rozwiąż równania:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(sprowadź do postaci: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odpowiedź: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(sprowadź do postaci: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Odpowiedź: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(sprowadź do postaci: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Odpowiedź: (7; -7)

Wniosek.

W tej pracy naukowej zbadano równania z dwiema zmiennymi drugiego stopnia i rozważono metody ich rozwiązywania. Zadanie zostało zrealizowane, sformułowano i opisano krótszą metodę rozwiązania, polegającą na wyodrębnieniu pełnego kwadratu i zastąpieniu równania równoważnym układem równań, w wyniku czego procedura znajdowania pierwiastków równania z dwiema zmiennymi została zostało uproszczone.

Ważnym punktem pracy jest to, że rozważaną technikę stosuje się przy rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych związanych z funkcją kwadratową, konstruowaniu krzywych drugiego rzędu i znajdowaniu największej (najmniejszej) wartości wyrażeń.

Zatem najliczniejsze zastosowania w matematyce ma technika rozkładania równania drugiego rzędu z dwiema zmiennymi na sumę kwadratów.

Przeanalizujmy dwa rodzaje rozwiązań układów równań:

1. Rozwiązanie układu metodą podstawieniową.
2. Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu.

Aby rozwiązać układ równań metodą podstawieniową musisz postępować zgodnie z prostym algorytmem:
1. Ekspresowy. Z dowolnego równania wyrażamy jedną zmienną.
2. Zastępca. Zamiast wyrażonej zmiennej zastępujemy wynikową wartość innym równaniem.
3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną. Znajdujemy rozwiązanie systemu.

Rozwiązać metodą dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie potrzebować:
1. Wybierz zmienną, dla której stworzymy identyczne współczynniki.
2. Dodajemy lub odejmujemy równania, w wyniku czego otrzymujemy równanie z jedną zmienną.
3. Rozwiąż powstałe równanie liniowe. Znajdujemy rozwiązanie systemu.

Rozwiązaniem układu są punkty przecięcia wykresów funkcji.

Rozważmy szczegółowo rozwiązanie systemów na przykładach.

Przykład 1:

Rozwiążmy metodą podstawieniową

Rozwiązywanie układu równań metodą podstawieniową

2x+5y=1 (1 równanie)
x-10y=3 (drugie równanie)

1. Ekspresowy
Widać, że w drugim równaniu występuje zmienna x o współczynniku 1, co oznacza, że ​​najłatwiej jest wyrazić zmienną x z drugiego równania.
x=3+10 lat

2. Po wyrażeniu podstawiamy 3+10y do pierwszego równania zamiast zmiennej x.
2(3+10 lat)+5 lat=1

3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną.
2(3+10y)+5y=1 (otwórz nawiasy)
6+20 lat+5 lat=1
25 lat=1-6
25 lat=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rozwiązaniem układu równań są punkty przecięcia wykresów, dlatego musimy znaleźć x i y, ponieważ punkt przecięcia składa się z x i y. Znajdźmy x, w pierwszym punkcie, w którym to wyraziliśmy, podstawiamy y.
x=3+10 lat
x=3+10*(-0,2)=1

Zwyczajowo zapisuje się punkty, w pierwszej kolejności zapisujemy zmienną x, a w drugiej kolejności zmienną y.
Odpowiedź: (1; -0,2)

Przykład nr 2:

Rozwiążmy to za pomocą metody dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie.

Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania

3x-2y=1 (1 równanie)
2x-3y=-10 (drugie równanie)

1. Wybieramy zmienną, powiedzmy, że wybieramy x. W pierwszym równaniu zmienna x ma współczynnik 3, w drugim - 2. Musimy ustawić takie same współczynniki, w tym celu mamy prawo pomnożyć równania lub podzielić przez dowolną liczbę. Mnożymy pierwsze równanie przez 2, a drugie przez 3 i otrzymujemy całkowity współczynnik 6.

3x-2 lata=1 |*2
6x-4 lata=2

2x-3 lata=-10 |*3
6x-9 lat=-30

2. Odejmij drugie od pierwszego równania, aby pozbyć się zmiennej x. Rozwiąż równanie liniowe.
__6x-4 lata=2

5 lat=32 | :5
y=6,4

3. Znajdź x. Podstawiamy znalezione y do dowolnego z równań, powiedzmy do pierwszego równania.
3x-2 lata = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punktem przecięcia będzie x=4,6; y=6,4
Odpowiedź: (4,6; 6,4)

Chcesz bezpłatnie przygotować się do egzaminów? Korepetytor online za darmo. Bez żartów.

Instrukcje

Metoda podstawieniaWyraź jedną zmienną i podstaw ją do innego równania. Możesz wyrazić dowolną zmienną według własnego uznania. Na przykład wyraź y z drugiego równania:
x-y=2 => y=x-2Następnie podstaw wszystko do pierwszego równania:
2x+(x-2)=10 Przesuń wszystko bez „x” na prawą stronę i oblicz:
2x+x=10+2
3x=12 Następnie, aby otrzymać x, podziel obie strony równania przez 3:
x = 4. Znalazłeś więc „x. Znajdź „y. Aby to zrobić, podstaw „x” do równania, z którego wyraziłeś „y”:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Sprawdź. Aby to zrobić, podstaw wynikowe wartości do równań:
2*4+2=10
4-2=2
Niewiadome zostały znalezione poprawnie!

Sposób dodawania lub odejmowania równań Pozbądź się natychmiast dowolnej zmiennej. W naszym przypadku łatwiej to zrobić za pomocą „y.
Ponieważ w „y” znajduje się znak „+”, a w drugim „-”, to można wykonać operację dodawania, tj. złóż lewą stronę z lewą i prawą z prawą:
2x+y+(x-y)=10+2Przelicz:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Podstaw „x” do dowolnego równania i znajdź „y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Dzięki pierwszej metodzie możesz sprawdzić, czy zostały znalezione poprawnie.

Jeśli nie ma jasno określonych zmiennych, konieczne jest nieznaczne przekształcenie równań.
W pierwszym równaniu mamy „2x”, a w drugim po prostu „x”. Aby podczas dodawania zmniejszyć x, należy pomnożyć drugie równanie przez 2:
x-y=2
2x-2y=4Następnie odejmij drugą wartość od pierwszego równania:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Zauważ, że jeśli przed nawiasem jest minus, to po otwarciu zmień go na przeciwny:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
znajdź y=2x, wyrażając je z dowolnego równania, tj.
x=4

Wideo na ten temat

Wskazówka 2: Jak rozwiązać równanie liniowe z dwiema zmiennymi

Równanie, zapisane w ogólnej postaci ax+bу+c=0, nazywane jest równaniem liniowym z dwójką zmienne. Takie równanie samo w sobie zawiera nieskończoną liczbę rozwiązań, więc w problemach zawsze jest uzupełniane o coś - inne równanie lub warunki ograniczające. W zależności od warunków dostarczonych przez problem rozwiąż równanie liniowe z dwójką zmienne następuje na różne sposoby.

Będziesz potrzebować

• - równanie liniowe z dwiema zmiennymi;
• - drugie równanie lub dodatkowe warunki.

Instrukcje

Mając dany układ dwóch równań liniowych, rozwiąż go w następujący sposób. Wybierz jedno z równań, w którym występują współczynniki zmienne mniejszy i wyraża jedną ze zmiennych, na przykład x. Następnie podstaw tę wartość zawierającą y do drugiego równania. W wynikowym równaniu będzie tylko jedna zmienna y, przesuń wszystkie części z y na lewą stronę, a wolne na prawą. Znajdź y i podstaw do dowolnego z oryginalnych równań, aby znaleźć x.

Istnieje inny sposób rozwiązania układu dwóch równań. Pomnóż jedno z równań przez liczbę, tak aby współczynnik jednej ze zmiennych, np. x, był taki sam w obu równaniach. Następnie odejmij jedno z równań od drugiego (jeśli prawa strona nie jest równa 0, pamiętaj, aby w ten sam sposób odjąć prawe strony). Zobaczysz, że zmienna x zniknęła i pozostała tylko jedna zmienna y. Rozwiąż powstałe równanie i podstaw znalezioną wartość y do dowolnej z pierwotnych równości. Znajdź x.

Trzeci sposób rozwiązania układu dwóch równań liniowych jest graficzny. Narysuj układ współrzędnych i wykreśl dwie linie proste, których równania są podane w twoim układzie. Aby to zrobić, podstaw do równania dowolne dwie wartości x i znajdź odpowiadające im y - będą to współrzędne punktów należących do prostej. Najwygodniejszym sposobem znalezienia przecięcia z osiami współrzędnych jest po prostu podstawienie wartości x=0 i y=0. Zadaniami będą współrzędne punktu przecięcia tych dwóch linii.

Jeśli w warunkach problemu występuje tylko jedno równanie liniowe, wówczas podano dodatkowe warunki, dzięki którym można znaleźć rozwiązanie. Przeczytaj uważnie problem, aby znaleźć te warunki. Jeśli zmienne x i y oznaczają odległość, prędkość, wagę - możesz ustawić limit x≥0 i y≥0. Jest całkiem możliwe, że x lub y ukrywa liczbę jabłek itp. – wtedy wartości mogą być tylko . Jeżeli x jest wiekiem syna, to jasne jest, że nie może on być starszy od ojca, dlatego należy to wskazać w warunkach zadania.

Źródła:

• jak rozwiązać równanie z jedną zmienną

Samodzielnie równanie z trzema nieznany ma wiele rozwiązań, dlatego najczęściej uzupełnia się go o dwa kolejne równania lub warunki. W zależności od tego, jakie będą dane wyjściowe, w dużej mierze zależeć będzie od przebiegu decyzji.

Będziesz potrzebować

• - układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Instrukcje

Jeśli dwa z trzech systemów mają tylko dwie z trzech niewiadomych, spróbuj wyrazić niektóre zmienne w kategoriach innych i podstaw je do równanie z trzema nieznany. Twoim celem w tym przypadku jest przekształcenie go w normalność równanie z nieznaną osobą. Jeśli tak jest, dalsze rozwiązanie jest dość proste - podstaw znalezioną wartość do innych równań i znajdź wszystkie pozostałe niewiadome.

Niektóre układy równań można odjąć od jednego równania przez drugie. Sprawdź, czy można pomnożyć jedną z lub zmienną, aby jednocześnie anulować dwie niewiadome. Jeśli jest taka możliwość, skorzystaj z niej, najprawdopodobniej późniejsze rozwiązanie nie będzie trudne. Pamiętaj, że mnożąc przez liczbę, musisz pomnożyć zarówno lewą, jak i prawą stronę. Podobnie przy odejmowaniu równań należy pamiętać, że należy odjąć także prawą stronę.

Jeśli poprzednie metody nie pomogły, zastosuj ogólną metodę rozwiązywania dowolnych równań z trzema nieznany. W tym celu należy przepisać równania w postaci a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Utwórz teraz macierz współczynników dla x (A), macierz niewiadomych (X) i macierz zmiennych wolnych (B). Należy pamiętać, że mnożąc macierz współczynników przez macierz niewiadomych otrzymamy macierz wyrazów wolnych, czyli A*X=B.

Znajdź macierz A do potęgi (-1), znajdując najpierw , pamiętaj, że nie powinna ona być równa zeru. Następnie pomnóż otrzymaną macierz przez macierz B, w wyniku czego otrzymasz żądaną macierz X, wskazującą wszystkie wartości.

Rozwiązanie układu trzech równań można także znaleźć metodą Cramera. Aby to zrobić, znajdź wyznacznik trzeciego rzędu ∆ odpowiadający macierzy układu. Następnie znajdź kolejno trzy kolejne wyznaczniki ∆1, ∆2 i ∆3, podstawiając wartości wolnych terminów zamiast wartości odpowiednich kolumn. Teraz znajdź x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Źródła:

• rozwiązania równań z trzema niewiadomymi

Rozwiązywanie układu równań jest trudne i ekscytujące. Im bardziej złożony system, tym ciekawsze jest jego rozwiązanie. Najczęściej w matematyce w szkole średniej występują układy równań z dwiema niewiadomymi, ale w matematyce wyższej zmiennych może być więcej. Systemy można rozwiązać kilkoma metodami.

Instrukcje

Najpopularniejszą metodą rozwiązywania układu równań jest podstawienie. Aby to zrobić, musisz wyrazić jedną zmienną w kategoriach drugiej i zastąpić ją drugą równanie systemów, wiodąc tym samym równanie do jednej zmiennej. Na przykład, biorąc pod uwagę następujące równania: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Z drugiego wyrażenia wygodnie jest wyrazić jedną ze zmiennych, przenosząc wszystko inne na prawą stronę wyrażenia, nie zapominając o zmianie znaku współczynnika: x = 3-y.

Otwórz nawiasy: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Otrzymaną wartość y podstawiamy do wyrażenia: x=3-y;x=3-1;x=2 .

W pierwszym wyrażeniu wszystkie wyrazy mają wartość 2, można wyjąć 2 z nawiasu i uzyskać rozdzielność mnożenia: 2*(2x-y-3)=0. Teraz obie części wyrażenia można zmniejszyć o tę liczbę, a następnie wyrazić jako y, ponieważ współczynnik modułu dla niego jest równy jeden: -y = 3-2x lub y = 2x-3.

Podobnie jak w pierwszym przypadku, podstawiamy to wyrażenie do drugiego równanie i otrzymujemy: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Otrzymaną wartość podstawiamy do wyrażenia: y=2x -3;y=4-3=1.

Widzimy, że współczynnik dla y ma tę samą wartość, ale inny znak, dlatego jeśli dodamy te równania, całkowicie pozbędziemy się y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0;7x- 14 = 0, x = 2. Podstaw wartość x do dowolnego z dwóch równań układu i otrzymaj y = 1.

Wideo na ten temat

Bikwadratowy równanie reprezentuje równanie stopień czwarty, którego ogólną postać reprezentuje wyrażenie ax^4 + bx^2 + c = 0. Jego rozwiązanie opiera się na zastosowaniu metody podstawienia niewiadomych. W tym przypadku x^2 zostaje zastąpione inną zmienną. Rezultatem jest zwykły kwadrat równanie, które trzeba rozwiązać.

Instrukcje

Rozwiąż kwadrat równanie, wynikające z wymiany. W tym celu należy najpierw obliczyć wartość zgodnie ze wzorem: D = b^2? 4ac. W tym przypadku zmienne a, b, c są współczynnikami naszego równania.

Znajdź pierwiastki równania dwukwadratowego. Aby to zrobić, weź pierwiastek kwadratowy z otrzymanych rozwiązań. Jeśli było jedno rozwiązanie, będą dwa - dodatnia i ujemna wartość pierwiastka kwadratowego. Jeśli były dwa rozwiązania, równanie dwukwadratowe będzie miało cztery pierwiastki.

Wideo na ten temat

Jedną z klasycznych metod rozwiązywania układów równań liniowych jest metoda Gaussa. Polega na sekwencyjnej eliminacji zmiennych, gdy układ równań za pomocą prostych przekształceń przekształca się w układ krokowy, z którego kolejno wyszukuje się wszystkie zmienne, zaczynając od ostatnich.

Instrukcje

Najpierw doprowadź układ równań do postaci, w której wszystkie niewiadome są w ściśle określonej kolejności. Na przykład wszystkie nieznane X pojawią się jako pierwsze w każdym wierszu, wszystkie Y pojawią się po X, wszystkie Z pojawią się po Y i tak dalej. Po prawej stronie każdego równania nie powinno być niewiadomych. W myślach określ współczynniki przed każdą niewiadomą, a także współczynniki po prawej stronie każdego równania.

Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi

Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y, jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.

Określenie funkcji numerycznej z dwóch zmiennych x i y jest częste oznaczać Więc:

Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja

F (X , y) = topór+by+c ,

gdzie a, b, c są danymi liczbami.

Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że ​​niewiadome x i y spełniają układ równań

którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).

Odpowiedź: (6; 3)

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończona liczba par liczb Uprzejmy

(1 + y ; y) ,

gdzie y jest dowolną liczbą.

liniowy

Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań

zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, uzyskuje się poprawną równość.

Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać

G(X , y)

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:

Rozwiązanie równania

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Stąd,

y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać

gdzie a, b, c są podane liczby, i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.

Przykład 6. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne

3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:

.

W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

5y 2 = - 20 ,

który nie ma korzeni.

W razie

z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

,

którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).

Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)

Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów

Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)

Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:

Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że

Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:

• Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
• od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.

W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny

z którego znajdujemy

Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci

Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.