Używanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Znajdują zastosowanie w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet w sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. W piątej klasie uczniowie matematyki poznają całkiem sporo nowych tematów, wśród których jednym z nich będą równania ułamkowe. Dla wielu jest to dość skomplikowany temat, który rodzice powinni pomóc zrozumieć swoim dzieciom, a jeśli rodzice zapomnieli o matematyce, zawsze mogą skorzystać z internetowych programów do rozwiązywania równań. Tak więc na przykładzie możesz szybko zrozumieć algorytm rozwiązywania równań z ułamkami i pomóc dziecku.

Poniżej, dla jasności, rozwiążemy proste ułamkowe równanie liniowe o następującej postaci:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Aby rozwiązać tego rodzaju równanie, należy wyznaczyć NOZ i pomnożyć przez nią lewą i prawą stronę równania:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

To da nam proste równanie liniowe, ponieważ zarówno wspólny mianownik, jak i mianownik każdego składnika ułamkowego znoszą się:

Przenieśmy wyrazy z nieznanego na lewą stronę:

Podzielmy lewą i prawą część przez -7:

Z otrzymanego wyniku można wyróżnić część całkowitą, która będzie końcowym wynikiem rozwiązania tego równania ułamkowego:

Gdzie mogę rozwiązać równanie z ułamkami online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej https: // site. Darmowy solwer online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Równania ułamkowe. ODZ.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Nadal opanowujemy równania. Wiemy już, jak pracować z równaniami liniowymi i kwadratowymi. Pozostał ostatni widok równania ułamkowe. Lub są również nazywane znacznie bardziej solidnymi - ułamkowe równania wymierne. To jest to samo.

Równania ułamkowe.

Jak sama nazwa wskazuje, te równania koniecznie zawierają ułamki. Ale nie tylko ułamki, ale ułamki, które mają niewiadoma w mianowniku. Przynajmniej w jednym. Na przykład:

Przypomnę, jeśli tylko w mianownikach liczby, to są równania liniowe.

Jak zdecydować równania ułamkowe? Przede wszystkim pozbądź się ułamków! Następnie równanie najczęściej zamienia się w liniowe lub kwadratowe. I wtedy wiemy, co robić... W niektórych przypadkach może to zamienić się w tożsamość, jak 5=5 lub niepoprawne wyrażenie, jak 7=2. Ale to się rzadko zdarza. Poniżej wspomnę o tym.

Ale jak pozbyć się ułamków!? Bardzo prosta. Stosowanie wszystkich tych samych identycznych przekształceń.

Musimy pomnożyć całe równanie przez to samo wyrażenie. Aby wszystkie mianowniki się zmniejszyły! Od razu wszystko stanie się łatwiejsze. Wyjaśniam na przykładzie. Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie:

Jak uczono ich w podstawówce? Przenosimy wszystko w jednym kierunku, sprowadzamy do wspólnego mianownika itp. Zapomnij o złym śnie! Oto, co musisz zrobić, gdy dodajesz lub odejmujesz wyrażenia ułamkowe. Lub pracuj z nierównościami. A w równaniach od razu mnożymy obie części przez wyrażenie, które da nam możliwość zredukowania wszystkich mianowników (tj. w istocie przez wspólny mianownik). A co to za wyrażenie?

Po lewej stronie, aby zmniejszyć mianownik, musisz pomnożyć przez x+2. A po prawej wymagane jest pomnożenie przez 2. Zatem równanie należy pomnożyć przez 2(x+2). Mnożymy:

Jest to zwykłe mnożenie ułamków, ale napiszę szczegółowo:

Proszę zauważyć, że nie otwieram jeszcze nawiasów. (x + 2)! Więc w całości napiszę:

Po lewej stronie jest całkowicie zredukowany (x+2), a po prawej 2. Zgodnie z wymaganiami! Po redukcji otrzymujemy liniowy równanie:

Każdy może rozwiązać to równanie! x = 2.

Rozwiążmy inny przykład, nieco bardziej skomplikowany:

Jeśli pamiętamy, że 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1 można zapisać:

I znowu pozbywamy się tego, czego tak naprawdę nie lubimy - z ułamków.

Widzimy, że aby zmniejszyć mianownik przez x, konieczne jest pomnożenie ułamka przez (x - 2). A jednostki nie są dla nas przeszkodą. No to mnożymy. Wszystko lewa strona i Wszystko prawa strona:

Znowu wsporniki (x - 2) nie zdradzam. Pracuję z nawiasem jako całością, jakby to był jeden numer! Należy to zawsze robić, w przeciwnym razie nic nie zostanie zmniejszone.

Z uczuciem głębokiej satysfakcji tniemy (x - 2) i otrzymujemy równanie bez ułamków, na linijce!

A teraz otwieramy nawiasy:

Dajemy podobne, przenosimy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:

Ale wcześniej nauczymy się rozwiązywać inne problemy. Za zainteresowanie. Swoją drogą, te grabie!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

Równania zawierające zmienną w mianowniku można rozwiązać na dwa sposoby:

Sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika

Korzystanie z podstawowej własności proporcji

Niezależnie od wybranej metody, po znalezieniu pierwiastków równania należy wybrać spośród znalezionych wartości akceptowalne wartości, czyli takie, które nie zamieniają mianownika na 0$.

1 sposób. Sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Przykład 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Rozwiązanie:

1. Przenieś ułamek z prawej strony równania na lewą

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Aby zrobić to poprawnie, przypominamy sobie, że podczas przenoszenia elementów do innej części równania znak przed wyrażeniami zmienia się na przeciwny. Tak więc, jeśli po prawej stronie przed ułamkiem był znak „+”, to po lewej stronie przed nim będzie znak „-”. Wtedy po lewej stronie otrzymamy różnicę ułamków.

2. Zauważmy teraz, że ułamki mają różne mianowniki, co oznacza, że ​​w celu uzupełnienia różnicy konieczne jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem będzie iloczyn wielomianów w mianownikach pierwotnych ułamków: $(2x-1)(x+3)$

Aby otrzymać identyczne wyrażenie, należy pomnożyć licznik i mianownik pierwszego ułamka przez wielomian $(x+3)$, a drugiego przez wielomian $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Dokonajmy przekształcenia w liczniku pierwszego ułamka - pomnożymy wielomiany. Przypomnijmy, że w tym celu należy pomnożyć pierwszy wyraz pierwszego wielomianu, pomnożyć przez każdy wyraz drugiego wielomianu, a następnie pomnożyć drugi wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać wyniki

\[\lewo(2x+3\prawo)\lewo(x+3\prawo)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

W otrzymanym wyrażeniu przedstawiamy podobne terminy

\[\lewo(2x+3\prawo)\lewo(x+3\prawo)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Wykonaj podobne przekształcenie w liczniku drugiego ułamka - pomnożymy wielomiany

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Wówczas równanie przyjmie postać:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Teraz ułamki o tym samym mianowniku, więc możesz odjąć. Przypomnijmy, że odejmując ułamki o tym samym mianowniku od licznika pierwszego ułamka, należy odjąć licznik drugiego ułamka, pozostawiając mianownik taki sam

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Przekształćmy wyrażenie w liczniku. Aby otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „-”, należy odwrócić wszystkie znaki przed wyrazami w nawiasach

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Przedstawiamy podobne warunki

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Wtedy ułamek przyjmie formę

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ułamek jest równy 0$, jeśli jego licznik wynosi 0. Dlatego przyrównujemy licznik ułamka do 0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Rozwiążmy równanie liniowe:

4. Spróbujmy korzeni. Oznacza to, że należy sprawdzić, czy mianowniki pierwotnych ułamków zamieniają się w $0$, gdy zostaną znalezione pierwiastki.

Postawiliśmy warunek, że mianowniki nie są równe 0 $

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Oznacza to, że dozwolone są wszystkie wartości zmiennych, z wyjątkiem $-3$ i $0,5$.

Znaleziony pierwiastek jest prawidłową wartością, więc można go bezpiecznie uznać za pierwiastek równania. Gdyby znaleziony pierwiastek nie był prawidłową wartością, wówczas taki pierwiastek byłby obcy i oczywiście nie zostałby uwzględniony w odpowiedzi.

Odpowiedź:$-0,2.$

Teraz możemy napisać algorytm rozwiązywania równania zawierającego zmienną w mianowniku

Algorytm rozwiązywania równania zawierającego zmienną w mianowniku

Przenieś wszystkie elementy z prawej strony równania na lewą stronę. Aby uzyskać identyczne równanie, należy zamienić wszystkie znaki przed wyrażeniami po prawej stronie na przeciwne

Jeśli po lewej stronie otrzymamy wyrażenie o różnych mianownikach, to doprowadzamy je do wspólnego, korzystając z głównej właściwości ułamka. Wykonaj przekształcenia używając identycznych przekształceń i uzyskaj końcowy ułamek równy 0 $.

Przyrównaj licznik do 0 $ i znajdź pierwiastki wynikowego równania.

Spróbujmy korzeni, tj. znajdź prawidłowe wartości zmiennych, które nie zamieniają mianownika na $0$.

2 sposoby. Korzystanie z podstawowej własności proporcji

Główną właściwością proporcji jest to, że iloczyn skrajnych wyrazów proporcji jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

Przykład 2

Użyjemy tej właściwości do rozwiązania tego zadania

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Znajdźmy i zrównajmy iloczyn skrajnych i środkowych członków proporcji.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Rozwiązując wynikowe równanie, znajdujemy pierwiastki oryginału

2. Znajdźmy dopuszczalne wartości zmiennej.

Z poprzedniego rozwiązania (1. sposób) już stwierdziliśmy, że dozwolone są dowolne wartości poza $-3$ i $0.5$.

Następnie, po ustaleniu, że znaleziony pierwiastek jest prawidłową wartością, dowiedzieliśmy się, że pierwiastkiem będzie -0,2 $.

Rozwiązywanie równań z ułamkami spójrzmy na przykłady. Przykłady są proste i obrazowe. Z ich pomocą możesz zrozumieć w najbardziej zrozumiały sposób.
Na przykład musisz rozwiązać proste równanie x/b + c = d.

Równanie tego typu nazywa się liniowym, ponieważ mianownik zawiera tylko liczby.

Rozwiązanie wykonuje się mnożąc obie strony równania przez b, wówczas równanie przyjmuje postać x = b*(d – c), tj. mianownik ułamka po lewej stronie jest zmniejszony.

Na przykład, jak rozwiązać równanie ułamkowe:
x/5+4=9
Mnożymy obie części przez 5. Otrzymujemy:
x+20=45
x=45-20=25

Inny przykład, w którym niewiadoma jest w mianowniku:

Równania tego typu nazywane są ułamkowymi wymiernymi lub po prostu ułamkowymi.

Rozwiązalibyśmy równanie ułamkowe, pozbywając się ułamków, po czym to równanie najczęściej zamienia się w równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązuje się w zwykły sposób. Należy wziąć pod uwagę tylko następujące punkty:

• wartość zmiennej, która zmienia mianownik na 0, nie może być pierwiastkiem;
• nie można podzielić ani pomnożyć równania przez wyrażenie =0.

Tutaj wchodzi w życie taka koncepcja, jak obszar dopuszczalnych wartości (ODZ) - są to wartości pierwiastków równania, dla których równanie ma sens .

Tak więc, rozwiązując równanie, konieczne jest znalezienie korzeni, a następnie sprawdzenie ich pod kątem zgodności z ODZ. Te korzenie, które nie odpowiadają naszemu DHS, są wyłączone z odpowiedzi.

Na przykład musisz rozwiązać równanie ułamkowe:

W oparciu o powyższą regułę x nie może być = 0, tj. ODZ w tym przypadku: x - dowolna wartość inna niż zero.

Pozbywamy się mianownika, mnożąc wszystkie wyrazy równania przez x

I rozwiąż zwykłe równanie

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Odpowiedź: x = 1/3

Rozwiążmy równanie bardziej skomplikowane:

Występuje tu także ODZ: x -2.

Rozwiązując to równanie, nie przeniesiemy wszystkiego w jednym kierunku i sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika. Natychmiast mnożymy obie strony równania przez wyrażenie, które zmniejszy jednocześnie wszystkie mianowniki.

Aby zmniejszyć mianowniki, należy pomnożyć lewą stronę przez x + 2, a prawą przez 2. Zatem obie strony równania należy pomnożyć przez 2 (x + 2):

Jest to najczęstsze mnożenie ułamków, które już omówiliśmy powyżej.

Piszemy to samo równanie, ale w nieco inny sposób.

Lewa strona jest zmniejszona o (x + 2), a prawa strona o 2. Po redukcji otrzymujemy zwykłe równanie liniowe:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, co odpowiada naszemu ODZ

Odpowiedź: x = 2.

Rozwiązywanie równań z ułamkami nie tak trudne, jak mogłoby się wydawać. W tym artykule pokazaliśmy to na przykładach. Jeśli masz jakiekolwiek trudności z jak rozwiązywać równania z ułamkami, a następnie anuluj subskrypcję w komentarzach.