Na kursie podstaw geometrii udowodniono, że suma kątów n-kąta wypukłego wynosi 180° (n-2). Okazuje się, że to stwierdzenie jest również prawdziwe dla wielokątów niewypukłych.

Twierdzenie 3. Suma kątów dowolnego n-kąta wynosi 180° (n - 2).

Dowód. Podzielmy wielokąt na trójkąty, rysując przekątne (ryc. 11). Liczba takich trójkątów wynosi n-2, a w każdym trójkącie suma kątów wynosi 180°. Ponieważ kąty trójkątów są kątami wielokąta, suma kątów wielokąta wynosi 180° (n - 2).

Rozważmy teraz dowolne zamknięte linie łamane, być może z samoprzecięciami A1A2…AnA1 (rys. 12, a). Takie samoprzecinające się linie łamane będą nazywane wielokątami w kształcie gwiazdy (ryc. 12, b-d).

Ustalmy kierunek liczenia kątów przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Należy zauważyć, że kąty tworzone przez zamkniętą polilinię zależą od kierunku, w którym jest ona przemierzana. Jeśli kierunek obejścia polilinii zostanie odwrócony, wówczas kąty wielokąta będą kątami, które uzupełniają kąty pierwotnego wielokąta do 360°.

Jeśli M jest wielokątem utworzonym przez prostą zamkniętą linię przerywaną przechodzącą w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (ryc. 13, a), wówczas suma kątów tego wielokąta będzie równa 180 ° (n - 2). Jeśli linia przerywana zostanie minięta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (ryc. 13, b), wówczas suma kątów będzie równa 180 ° (n + 2).

Zatem ogólny wzór na sumę kątów wielokąta utworzonego przez prostą zamkniętą polilinię ma postać = 180 ° (n 2), gdzie jest sumą kątów, n jest liczbą kątów wielokąta, " +” lub „-” jest przyjmowany w zależności od kierunku omijania polilinii.

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na sumę kątów dowolnego wielokąta utworzonego przez zamkniętą (ewentualnie samoprzecinającą się) polilinię. W tym celu wprowadzamy pojęcie stopnia wielokąta.

Stopień wielokąta to liczba obrotów wykonanych przez punkt podczas pełnego sekwencyjnego obejścia jego boków. Ponadto skręty wykonane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są oznaczane znakiem „+”, a skręty w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara - znakiem „-”.

Oczywiste jest, że stopień wielokąta utworzonego przez prostą zamkniętą linię przerywaną wynosi +1 lub -1, w zależności od kierunku przechodzenia. Stopień linii przerywanej na rysunku 12, a jest równy dwa. Stopień siedmiokątów gwiazd (ryc. 12, c, d) jest równy odpowiednio dwóm i trzem.

Pojęcie stopnia definiuje się podobnie dla krzywych zamkniętych na płaszczyźnie. Na przykład stopień krzywej pokazany na rysunku 14 wynosi dwa.

Aby znaleźć stopień wielokąta lub krzywej, możesz postępować w następujący sposób. Załóżmy, że poruszając się po krzywej (ryc. 15, a), zaczynając od miejsca A1, wykonaliśmy pełny obrót i skończyliśmy w tym samym punkcie A1. Usuńmy odpowiedni odcinek z krzywej i kontynuujmy poruszanie się wzdłuż pozostałej krzywej (rys. 15b). Jeśli zaczynając od jakiegoś miejsca A2 ponownie wykonaliśmy pełny obrót i dotarliśmy do tego samego punktu, wówczas usuwamy odpowiedni odcinek krzywej i kontynuujemy ruch (ryc. 15, c). Licząc ilość odległych odcinków ze znakami „+” lub „-”, w zależności od kierunku ich obejścia, uzyskujemy żądany stopień krzywej.

Twierdzenie 4. Dla dowolnego wielokąta formuła

180° (n+2m),

gdzie jest sumą kątów, n jest liczbą kątów, m jest stopniem wielokąta.

Dowód. Niech wielokąt M ma stopień m i jest umownie pokazany na rysunku 16. M1, …, Mk to proste zamknięte linie łamane, przez które punkt wykonuje pełne obroty. A1, …, Ak to odpowiednie punkty samoprzecięcia polilinii, które nie są jej wierzchołkami. Oznaczmy liczbę wierzchołków wielokąta M, które są zawarte w wielokątach M1, …, Mk odpowiednio przez n1, …, nk. Ponieważ oprócz wierzchołków wielokąta M do wielokątów tych dodawane są wierzchołki A1, …, Ak, liczba wierzchołków wielokątów M1, …, Mk będzie równa n1+1, …, nk+1, odpowiednio. Wtedy suma ich kątów będzie równa 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus lub minus jest pobierany w zależności od kierunku omijania linii przerywanych. Suma kątów wielokąta M0, pozostałych z wielokąta M po usunięciu wielokątów M1,...,Mk, jest równa 180° (n-n1-...-nk+k2). Sumy kątów wielokątów M0, M1, …, Mk dają sumę kątów wielokąta M, a przy każdym wierzchołku A1, …, Ak otrzymujemy dodatkowo 360°. Mamy więc równość

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

gdzie m jest stopniem wielokąta M.

Jako przykład rozważ obliczenie sumy kątów pięcioramiennej gwiazdki (ryc. 17, a). Stopień odpowiedniej zamkniętej polilinii wynosi -2. Dlatego pożądana suma kątów wynosi 180.

W ósmej klasie na lekcjach geometrii w szkole uczniowie po raz pierwszy stykają się z pojęciem wielokąta wypukłego. Wkrótce dowiedzą się, że ta figura ma bardzo interesującą właściwość. Bez względu na to, jak bardzo jest złożony, suma wszystkich kątów wewnętrznych i zewnętrznych wielokąta wypukłego przyjmuje ściśle określoną wartość. W tym artykule nauczyciel matematyki i fizyki opowiada o tym, jaka jest suma kątów wielokąta wypukłego.

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego

Jak udowodnić tę formułę?

Zanim przejdziemy do dowodu tego stwierdzenia, przypomnijmy sobie, który wielokąt nazywamy wypukłym. Wielokąt nazywamy wypukłym, jeśli leży całkowicie po jednej stronie linii zawierającej którykolwiek z jego boków. Na przykład ten pokazany na tym obrazku:

Jeśli wielokąt nie spełnia wskazanego warunku, nazywa się go niewypukłym. Na przykład tak:

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi , gdzie jest liczbą boków wielokąta.

Dowód tego faktu opiera się na dobrze znanym wszystkim uczniom twierdzeniu o sumie kątów w trójkącie. Jestem pewien, że znasz to twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi .

Chodzi o to, aby podzielić wypukły wielokąt na wiele trójkątów. Można to zrobić na różne sposoby. W zależności od tego, którą metodę wybierzemy, dowody będą nieco inne.

1. Podziel wypukły wielokąt na trójkąty przez wszystkie możliwe przekątne wyprowadzone z jakiegoś wierzchołka. Łatwo zrozumieć, że wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma wszystkich kątów wszystkich otrzymanych trójkątów jest równa sumie kątów naszego n-gonu. W końcu każdy kąt w powstałych trójkątach jest kątem cząstkowym w naszym wielokącie wypukłym. Oznacza to, że wymagana kwota jest równa .

2. Możesz także wybrać punkt wewnątrz wielokąta wypukłego i połączyć go ze wszystkimi wierzchołkami. Wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma kątów naszego wielokąta w tym przypadku będzie równa sumie wszystkich kątów wszystkich tych trójkątów minus kąt środkowy, który jest równy . Oznacza to, że żądana kwota jest ponownie równa .

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego

Zadajmy sobie teraz pytanie: „Jaka jest suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego?” Na to pytanie można odpowiedzieć w następujący sposób. Każdy narożnik zewnętrzny przylega do odpowiedniego narożnika wewnętrznego. Dlatego jest równe:

Wtedy suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi . To znaczy jest równy .

To bardzo zabawny wynik. Jeśli odłożymy po kolei wszystkie zewnętrzne rogi dowolnego n-kąta wypukłego, to w rezultacie wypełni się dokładnie cała płaszczyzna.

Ten interesujący fakt można zilustrować w następujący sposób. Zmniejszmy proporcjonalnie wszystkie boki pewnego wypukłego wielokąta, aż połączy się w punkt. Gdy to nastąpi, wszystkie zewnętrzne rogi zostaną odsunięte jeden od drugiego i tym samym wypełnią całą płaszczyznę.

Ciekawy fakt, prawda? A takich faktów w geometrii jest bardzo dużo. Uczcie się więc geometrii, drodzy studenci!

Materiał na temat tego, jaka jest suma kątów wielokąta wypukłego, przygotował Siergiej Waleriewicz

Niech będzie danym wielokątem wypukłym i n > 3. Następnie narysuj n-3 przekątnych od jednego wierzchołka do wierzchołków przeciwległych: . Ponieważ wielokąt jest wypukły, te przekątne dzielą go na n - 2 trójkąty: . Suma kątów wielokąta jest równa sumie kątów wszystkich tych trójkątów. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180°, a liczba tych trójkątów wynosi n-2. Zatem suma kątów n-kąta wynosi 180°(n-2). Twierdzenie zostało udowodnione. Komentarz Dla niewypukłego n-kąta suma kątów również wynosi 180°(n-2). Dowód jest podobny, ale wykorzystuje dodatkowo lemat, że dowolny wielokąt można podzielić na trójkąty za pomocą przekątnych. Notatki Twierdzenie o sumie kątów wielokątów nie obowiązuje dla wielokątów na kuli (a także na dowolnej innej zniekształconej płaszczyźnie, z wyjątkiem niektórych przypadków). Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz geometrie nieeuklidesowe. Zobacz też Fundacja Wikimedia. 2010 . Zobacz, czym jest „twierdzenie o sumie kąta wielokąta” w innych słownikach: Trójkąt Twierdzenie o sumie kątów trójkąta jest klasycznym twierdzeniem geometrii euklidesowej. Twierdzi, że… Wikipedia - ... Wikipedii Stwierdza, że ​​dowolne dwa wielokąty o równym polu są równej wielkości. Bardziej formalnie: Niech P i Q będą dwoma wielokątami o tej samej powierzchni. Potem można je pociąć odpowiednio na wielokąty i tak dla dowolnej... Wikipedii Twierdzenie Bolyai Gervina mówi, że dowolne dwa wielokąty o równej powierzchni są równej wielkości. Bardziej formalnie: Niech i będą dwoma wielokątami o tym samym obszarze. Następnie można je pociąć odpowiednio na wielokąty i tak dla……Wikipedii - ... Wikipedii Ten termin ma inne znaczenie, patrz Trójkąt (znaczenia). Trójkąt (w przestrzeni euklidesowej) to figura geometryczna utworzona z trzech odcinków łączących trzy nieliniowe punkty. Trzy kropki, ... ... Wikipedia

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względu na bezpieczeństwo, egzekwowanie prawa lub inne cele interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

przerywana linia

Definicja

przerywana linia lub krócej, przerywana linia, nazywamy skończoną sekwencją segmentów, w której jeden z końców pierwszego segmentu służy jako koniec drugiego, drugi koniec drugiego segmentu służy jako koniec trzeciego i tak dalej. W tym przypadku sąsiednie segmenty nie leżą na tej samej linii prostej. Segmenty te nazywane są połączeniami polilinii.

Rodzaje linii łamanej

Linia przerywana nazywa się Zamknięte jeśli początek pierwszego segmentu pokrywa się z końcem ostatniego.

Linia przerywana może się przecinać, dotykać, opierać się o siebie. Jeśli nie ma takich osobliwości, to taka linia przerywana jest nazywana prosty.

Wielokąty

Definicja

Nazywa się prostą zamkniętą polilinię wraz z częścią płaszczyzny przez nią ograniczoną wielokąt.

Komentarz

W każdym wierzchołku wielokąta jego boki określają pewien kąt wielokąta. Może być mniejsza niż wdrożona lub większa niż wdrożona.

Nieruchomość

Każdy wielokąt ma kąt mniejszy niż $180^\circ$.

Dowód

Niech będzie dany wielokąt $P$.

Narysujmy prostą, która jej nie przecina. Przesuniemy go równolegle do boku wielokąta. W pewnym momencie po raz pierwszy otrzymujemy prostą $a$, która ma co najmniej jeden punkt wspólny z wielokątem $P$. Wielokąt leży po jednej stronie tej prostej (ponadto część jego punktów leży na prostej $a$).

Prosta $a$ zawiera co najmniej jeden wierzchołek wielokąta. Zbiegają się w nim jego dwa boki, znajdujące się po tej samej stronie prostej $a$ (także przypadek, gdy jeden z nich leży na tej prostej). Tak więc w tym wierzchołku kąt jest mniejszy niż kąt rozwinięty.

Definicja

Wielokąt nazywa się wypukły jeśli leży po jednej stronie każdej linii zawierającej jego bok. Jeśli wielokąt nie jest wypukły, nazywa się go niewypukłe.

Komentarz

Wielokąt wypukły to przecięcie półpłaszczyzn ograniczonych liniami zawierającymi boki wielokąta.

Własności wielokąta wypukłego

Wielokąt wypukły ma wszystkie kąty mniejsze niż $180^\circ$.

Segment linii łączący dowolne dwa punkty wielokąta wypukłego (w szczególności dowolną z jego przekątnych) jest zawarty w tym wielokącie.

Dowód

Udowodnijmy pierwszą własność

Weź dowolny róg $A$ wielokąta wypukłego $P$ i jego bok $a$ wychodzący z wierzchołka $A$. Niech $l$ będzie linią zawierającą bok $a$. Ponieważ wielokąt $P$ jest wypukły, leży po jednej stronie prostej $l$. Zatem jego kąt $A$ również leży po tej samej stronie tej prostej. Stąd kąt $A$ jest mniejszy niż kąt wyprostowany, czyli mniejszy niż $180^\circ$.

Udowodnijmy drugą własność

Weź dowolne dwa punkty $A$ i $B$ wielokąta wypukłego $P$. Wielokąt $P$ jest przecięciem kilku półpłaszczyzn. Segment $AB$ jest zawarty w każdej z tych półpłaszczyzn. Dlatego też jest zawarty w wielokącie $P$.

Definicja

Ukośny wielokąt nazywa się segmentem łączącym jego niesąsiadujące wierzchołki.

Twierdzenie (o liczbie przekątnych n-kąta)

Liczbę przekątnych wypukłej $n$-gon oblicza się ze wzoru $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Dowód

Z każdego wierzchołka n-kąta można poprowadzić $n-3$ przekątnych (nie można narysować przekątnej do sąsiednich wierzchołków i do samego tego wierzchołka). Jeśli policzymy wszystkie takie możliwe segmenty, to będzie $n\cdot(n-3)$, ponieważ jest $n$ wierzchołków. Ale każda przekątna będzie liczona dwukrotnie. Zatem liczba przekątnych n-kąta wynosi $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Twierdzenie (o sumie kątów n-kąta)

Suma kątów wypukłej $n$-gon wynosi 180^\circ(n-2)$.

Dowód

Rozważmy $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Weź dowolny punkt $O$ wewnątrz tego wielokąta.

Suma kątów wszystkich trójkątów $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ wynosi 180 $^\circ\cdot n$.

Z drugiej strony suma ta jest sumą wszystkich kątów wewnętrznych wielokąta i kąta całkowitego $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Wtedy suma kątów rozpatrywanego $n$-gon jest równa $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Konsekwencja

Suma kątów niewypukłego $n$-gon wynosi 180^\circ(n-2)$.

Dowód

Rozważmy wielokąt $A_1A_2\ldots A_n$, którego jedyny kąt $\angle A_2$ nie jest wypukły, to znaczy $\angle A_2>180^\circ$.

Oznaczmy sumę jego połowu $S$.

Połącz punkty $A_1A_3$ i rozważ wielokąt $A_1A_3\ldots A_n$.

Suma kątów tego wielokąta wynosi:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Zatem $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jeżeli pierwotny wielokąt ma więcej niż jeden niewypukły narożnik, to operację opisaną powyżej można wykonać dla każdego takiego narożnika, co doprowadzi do udowodnienia twierdzenia.

Twierdzenie (o sumie kątów zewnętrznych wypukłego n-kąta)

Suma kątów zewnętrznych wypukłego $n$-gon wynosi $360^\circ$.

Dowód

Kąt zewnętrzny przy wierzchołku $A_1$ wynosi $180^\circ-\angle A_1$.

Suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\okr$.