मुलाची जननेंद्रियाची प्रणाली 

शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात संख्यांच्या "ग्रेटेस्ट कॉमन डिव्हिजर (GCD)" आणि "Least Common Multiple (LCD)" या संकल्पना का सादर करायच्या? तीन किंवा अधिक संख्यांचे नोड्स शोधणे.


आता आणि पुढे काय, आपण असे गृहीत धरू की यापैकी किमान एक संख्या शून्यापेक्षा वेगळी आहे. जर दिलेल्या सर्व संख्या शून्याच्या समान असतील, तर त्यांचा सामान्य विभाजक हा कोणताही पूर्णांक आहे, आणि असंख्य पूर्णांक असल्यामुळे, आपण त्यापैकी सर्वात मोठ्या बद्दल बोलू शकत नाही. म्हणून, कोणीही संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाबद्दल बोलू शकत नाही, ज्यापैकी प्रत्येक शून्य आहे.

आता आपण देऊ शकतो सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधत आहेदोन संख्या.

व्याख्या.

श्रेष्ठ सामाईक भाजकऑफ दोन पूर्णांक हा सर्वात मोठा पूर्णांक आहे जो दोन दिलेल्या पूर्णांकांना विभाजित करतो.

GCD हे संक्षेप ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक - ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक लहान करण्यासाठी वापरले जाते. तसेच, a आणि b या दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक सहसा gcd(a, b) म्हणून दर्शविला जातो.

आणूया ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक (gcd) उदाहरणदोन पूर्णांक. 6 आणि −15 चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 3 आहे. चला हे सिद्ध करूया. सहा क्रमांकाचे सर्व विभाजक लिहू: ±6, ±3, ±1 आणि −15 या संख्येचे विभाजक ±15, ±5, ±3 आणि ±1 या संख्या आहेत. आता तुम्ही 6 आणि −15 या संख्यांचे सर्व सामान्य विभाजक शोधू शकता, या −3, −1, 1 आणि 3 संख्या आहेत. −3 पासून<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

तीन किंवा अधिक पूर्णांकांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाची व्याख्या दोन संख्यांच्या gcd च्या व्याख्येसारखीच आहे.

व्याख्या.

श्रेष्ठ सामाईक भाजकतीन किंवा अधिक पूर्णांक हा सर्वात मोठा पूर्णांक आहे जो एकाच वेळी दिलेल्या सर्व संख्यांना विभाजित करतो.

n पूर्णांकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक a 1 , a 2 , …, a n आपण gcd (a 1 , a 2 , …, a n) म्हणून दर्शवू. या संख्यांच्या सर्वात सामान्य विभाजकाचे मूल्य b आढळल्यास, आपण लिहू शकतो GCD(a 1, a 2, …, a n)=b.

उदाहरण म्हणून, −8, 52, 16 आणि −12 या चार पूर्णांकांचे gcd दिले तर ते 4 च्या बरोबरीचे आहे, म्हणजेच gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . दिलेल्या संख्यांचे सर्व विभाजक लिहून, त्यातून सामाईक भाजक निवडून आणि सर्वात मोठा सामाईक भाजक ठरवून हे तपासता येते.

लक्षात घ्या की पूर्णांकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक यापैकी एका संख्येइतका असू शकतो. सर्व दिलेल्या संख्यांना त्यापैकी एकाने भागल्यास हे विधान सत्य आहे (या लेखाच्या पुढील परिच्छेदात पुरावा दिला आहे). उदाहरणार्थ, gcd(15, 60, −45)=15 . हे खरे आहे कारण 15 हा 15 , 60 , आणि −45 ला भागतो आणि 15 , 60 , आणि −45 चा कोणताही सामाईक विभाजक नाही जो 15 पेक्षा मोठा आहे .

विशेष स्वारस्य म्हणजे तथाकथित तुलनेने अविभाज्य संख्या, - अशा पूर्णांक, ज्याचा सर्वात मोठा सामान्य भाजक एक समान आहे.

ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक गुणधर्म, युक्लिडचा अल्गोरिदम

सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकामध्ये अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण परिणाम आहेत, दुसऱ्या शब्दांत, अनेक गुणधर्म आहेत. आम्ही आता मुख्य यादी करू सर्वात सामान्य विभाजक (gcd) चे गुणधर्म, आम्ही ते प्रमेयांच्या स्वरूपात तयार करू आणि लगेच पुरावे देऊ.

आम्ही धन पूर्णांकांसाठी सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाचे सर्व गुणधर्म तयार करू, तर आम्ही या संख्यांच्या फक्त सकारात्मक भागाकारांचा विचार करू.

    a आणि b चा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक b आणि a च्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाच्या बरोबरीचा आहे, म्हणजेच gcd(a, b)=gcd(a, b) .

    ही GCD मालमत्ता थेट सर्वात महान सामान्य विभाजकाच्या व्याख्येपासून अनुसरते.

    a जर b ने भाग जात असेल, तर a आणि b च्या सामाईक विभाजकांचा संच b च्या विभाजकांच्या संचासारखाच असेल, विशेषत: gcd(a, b)=b.

    पुरावा.

    a आणि b संख्यांचा कोणताही सामाईक विभाजक हा या प्रत्येक संख्येचा विभाजक असतो, ज्यामध्ये b या संख्येचा समावेश होतो. दुसरीकडे, a हा b चा गुणाकार असल्याने, संख्या b चा कोणताही विभाजक हा देखील a चा विभाजक असतो कारण विभाज्यतेमध्ये संक्रमणाचा गुणधर्म असतो, म्हणून, b संख्याचा कोणताही विभाजक हा a आणि b या संख्यांचा सामाईक विभाजक असतो. यावरून हे सिद्ध होते की जर a ला b ने निःशेष भाग जातो, तर a आणि b या संख्यांच्या भागाकारांचा संच एका संख्येच्या b च्या भागाकारांच्या संचाशी एकरूप होतो. आणि संख्या b चा सर्वात मोठा विभाजक स्वतः b ही संख्या असल्याने, a आणि b संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक देखील b च्या बरोबरीचा आहे, म्हणजे, gcd(a, b)=b.

    विशेषतः, जर a आणि b संख्या समान असतील तर gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. उदाहरणार्थ, gcd(132, 132)=132 .

    सिद्ध झालेला सर्वात मोठा विभाजक गुणधर्म आपल्याला दोन संख्यांची gcd शोधू देतो जेव्हा त्यापैकी एक दुसऱ्याने भाग जातो. या प्रकरणात, GCD ही यापैकी एका संख्येच्या बरोबरीची आहे, ज्याद्वारे दुसरी संख्या विभाज्य आहे. उदाहरणार्थ, gcd(8, 24)=8 पासून 24 हा आठचा गुणाकार आहे.

    जर a=b q+c , जेथे a , b , c आणि q पूर्णांक असतील, तर a आणि b संख्यांच्या सामान्य विभाजकांचा संच b आणि c संख्यांच्या सामान्य विभाजकांच्या संचाशी एकरूप होतो, विशेषतः, gcd(a, b)=gcd(b, c) .

    GCD च्या या गुणधर्माचे औचित्य सिद्ध करूया.

    समानता a=b·q+c धारण करत असल्याने, a आणि b या संख्यांचा कोणताही सामाईक विभाजक c ला देखील भागतो (हे विभाज्यतेच्या गुणधर्मावरून येते). त्याच कारणास्तव, b आणि c चा प्रत्येक सामाईक भाजक a ला भागतो. म्हणून, a आणि b संख्यांच्या सामाईक विभाजकांचा संच b आणि c या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांच्या संचासारखाच आहे. विशेषतः, या सामान्य विभाजकांपैकी सर्वात मोठे देखील जुळले पाहिजेत, म्हणजे, खालील समानता वैध असणे आवश्यक आहे gcd(a, b)=gcd(b, c) .

    आता आपण एक प्रमेय तयार करतो आणि सिद्ध करतो, जे आहे युक्लिडचा अल्गोरिदम. युक्लिडचा अल्गोरिदम तुम्हाला दोन संख्यांचा GCD शोधण्याची परवानगी देतो (युक्लिड अल्गोरिदम वापरून GCD शोधणे पहा). शिवाय, युक्लिडचा अल्गोरिदम आपल्याला सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाचे खालील गुणधर्म सिद्ध करण्यास अनुमती देईल.

    प्रमेयाचे विधान देण्यापूर्वी, आम्ही सिद्धांत विभागातून प्रमेयाची स्मृती रीफ्रेश करण्याची शिफारस करतो, ज्यात असे म्हटले आहे की लाभांश a हा b q + r म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो, जेथे b हा भाजक आहे, q हा काही पूर्णांक आहे, ज्याला अपूर्ण भाग म्हणतात, आणि r हा पूर्णांक आहे जो स्थिती पूर्ण करतो, ज्याला शेष म्हणतात.

    तर, दोन शून्य नसलेल्या धन पूर्णांक a आणि b साठी, समानतेची मालिका सत्य आहे

    r k+1 =0 (जे अपरिहार्य आहे, कारण b>r 1 >r 2 >r 3 , … कमी होत असलेल्या पूर्णांकांची मालिका आहे आणि या मालिकेत मर्यादित संख्येपेक्षा जास्त धन संख्या असू शकत नाही) तेव्हा r k हा a आणि b , म्हणजेच r k, b , म्हणजेच r k , bcd ( b ) या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

    पुरावा.

    प्रथम r k हा a आणि b संख्यांचा सामाईक विभाजक आहे हे सिद्ध करू या, त्यानंतर आपण r k हा केवळ भाजक नसून a आणि b या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक भाजक आहे हे दाखवू.

    आम्ही लिखित समानतेसह तळापासून वरपर्यंत पुढे जाऊ. शेवटच्या समानतेवरून, आपण असे म्हणू शकतो की r k−1 ला r k ने भाग जातो. ही वस्तुस्थिती, तसेच मागील GCD गुणधर्म लक्षात घेता, उपान्त्य समानता r k−2 =r k−1 q k +r k आम्हाला r k−2 ला r k ने निःशेष भाग जात असल्याचे प्रतिपादन करण्यास अनुमती देते, कारण r k−1 ला r k ने भाग जातो आणि r k ला r k ने भाग जातो. सादृश्यतेने, तळाशी असलेल्या तिसऱ्या समानतेवरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की r k−3 ला r k ने भाग जातो. वगैरे. दुस-या समतेवरून आपल्याला b हा r k ने भाग जातो आणि पहिल्या समानतेवरून a ला r k ने भाग जातो असे समजते. म्हणून, r k हा a आणि b चा सामाईक विभाजक आहे.

    r k =gcd(a, b) हे सिद्ध करणे बाकी आहे. कारण, a आणि b संख्यांचा कोणताही सामाईक विभाजक (आम्ही ते r 0 ने दर्शवतो) r k ला भाग करतो हे दाखवण्यासाठी हे पुरेसे आहे.

    आम्ही वरपासून खालपर्यंत प्रारंभिक समानतेसह पुढे जाऊ. मागील गुणधर्माच्या आधारे, पहिल्या समानतेपासून ते खालीलप्रमाणे होते की r 1 ला r 0 ने भाग जातो. नंतर दुसऱ्या समतेवरून आपल्याला r 2 ला r 0 ने भाग जातो असे समजते. वगैरे. शेवटच्या समानतेवरून आपल्याला समजते की r k ला r 0 ने भाग जातो. अशा प्रकारे, r k =gcd(a, b) .

    सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाच्या मानल्या गेलेल्या गुणधर्मावरून हे लक्षात येते की a आणि b संख्यांच्या सामान्य विभाजकांचा संच या संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाच्या विभाजकांच्या संचाशी एकरूप होतो. युक्लिडच्या अल्गोरिदममधील हा परिणाम आपल्याला या संख्यांच्या gcd चे विभाजक म्हणून दोन संख्यांचे सर्व सामान्य विभाजक शोधण्याची परवानगी देतो.

    a आणि b हे पूर्णांक एकाच वेळी शून्याच्या समान नसावेत, नंतर u 0 आणि v 0 असे पूर्णांक असतील, नंतर समानता gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 वैध आहे. शेवटची समानता ही संख्या a आणि b च्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाचे एक रेषीय प्रतिनिधित्व आहे, या समानतेला बेझआउट गुणोत्तर म्हणतात, आणि संख्या u 0 आणि v 0 हे Bezout गुणांक आहेत.

    पुरावा.

    युक्लिडच्या अल्गोरिदमनुसार आपण खालील समानता लिहू शकतो

    पहिल्या समानतेपासून, आपल्याकडे r 1 =a−b·q 1 आहे, आणि, 1=s 1 आणि −q 1 =t 1 दर्शविल्यास, ही समानता r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b असे रूप घेईल, आणि संख्या s 1 आणि t 1 पूर्णांक आहेत. नंतर दुसऱ्या समानतेतून आपल्याला r 2 =b−r 1 q 2 = मिळेल b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. −s 1 q 2 \u003d s 2 आणि 1−t 1 q 2 \u003d t 2 दर्शविल्यास, शेवटची समानता r 2 \u003d s 2 a+t 2 b म्हणून लिहिता येईल, आणि s 2 आणि t 2 पूर्णांक आहेत (कारण बेरीज, फरक आणि integ चे गुणाकार). त्याचप्रमाणे, तिसऱ्या समानतेतून आपल्याला r 3 = s 3 ·a+t 3 ·b, चौथ्या r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, इ. शेवटी, r k =s k ·a+t k ·b , जेथे s k आणि t k पूर्णांक आहेत. r k =gcd(a, b) , आणि s k =u 0 आणि t k =v 0 दर्शवत असल्याने, आम्हाला आवश्यक स्वरूपाचे gcd चे एक रेषीय प्रतिनिधित्व मिळते: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0.

    m जर कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल तर gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

    सर्वात सामान्य विभाजकाच्या या मालमत्तेचे तर्क खालीलप्रमाणे आहे. जर आपण युक्लिड अल्गोरिदमच्या प्रत्येक समानतेच्या दोन्ही बाजूंना m ने गुणाकार केला, तर आपल्याला gcd(m a, m b)=m r k , आणि r k हा gcd(a, b) मिळेल. त्यामुळे, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

    सर्वात सामान्य विभाजकाचा हा गुणधर्म प्राइम फॅक्टरायझेशन वापरून GCD शोधण्याच्या पद्धतीचा आधार आहे.

    p हा संख्या a आणि b चा कोणताही सामान्य विभाजक असू द्या gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, विशेषतः, जर p=gcd(a, b) आमच्याकडे असेल gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, म्हणजे, संख्या a:gcd(a, b) आणि b:gcd(a, b) coprime आहेत.

    a=p (a:p) आणि b=p (b:p) असल्याने, आणि मागील गुणधर्मामुळे, आपण फॉर्मच्या समानतेची साखळी लिहू शकतो. gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p), जेथून समानता सिद्ध करायची आहे.

    सर्वात मोठी सामान्य विभाजक मालमत्ता नुकतीच अधोरेखित झाली आहे.

    आता GCD गुणधर्म बोलूया, ज्यामुळे तीन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याची समस्या दोन संख्यांची GCD शोधण्यात कमी होते.

    a 1 , a 2 , ... , a k संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक d k च्या बरोबरीचा आहे , जो अनुक्रमिक गणनेमध्ये आढळतो

    पुरावा युक्लिडच्या अल्गोरिदमच्या परिणामावर आधारित आहे. a 1 आणि a 2 या संख्यांचे सामान्य विभाजक d 2 च्या विभाजकांसारखेच आहेत. मग a 1, a 2 आणि a 3 या संख्यांचे सामाईक विभाजक d 2 आणि a 3 या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांशी एकरूप होतात, म्हणून ते d 3 च्या विभाजकांशी एकरूप होतात. a 1 , a 2 , a 3 आणि a 4 या संख्यांचे सामाईक विभाजक d 3 आणि a 4 च्या सामाईक विभाजकांसारखेच आहेत , त्यामुळे d 4 च्या विभाजकांसारखेच आहेत . वगैरे. शेवटी, a 1 , a 2 , …, a k संख्यांचे सामान्य विभाजक d k च्या विभाजकांशी जुळतात. आणि d k संख्येचा सर्वात मोठा विभाजक d k ही संख्या आहे GCD(a 1 , a 2 , …, a k) = d k.

हे सर्वोत्कृष्ट सामान्य विभाजकाच्या मुख्य गुणधर्मांच्या पुनरावलोकनाचे निष्कर्ष काढते.

संदर्भग्रंथ.

  • Vilenkin N.Ya. इ. गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक.
  • विनोग्राडोव्ह आय.एम. संख्या सिद्धांताची मूलभूत तत्त्वे.
  • मिखेलोविच Sh.Kh. संख्या सिद्धांत.
  • कुलिकोव्ह एल.या. आणि इतर. बीजगणित आणि संख्या सिद्धांतातील समस्यांचे संकलन: fiz.-mat च्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक. शैक्षणिक संस्थांची वैशिष्ट्ये.

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर तुम्हाला दोन किंवा इतर कोणत्याही संख्येचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि कमीत कमी सामाईक गुणाकार शोधण्याची परवानगी देतो.

GCD आणि NOC शोधण्यासाठी कॅल्क्युलेटर

GCD आणि NOC शोधा

GCD आणि NOC आढळले: 5806

कॅल्क्युलेटर कसे वापरावे

  • इनपुट फील्डमध्ये संख्या प्रविष्ट करा
  • चुकीची अक्षरे प्रविष्ट केल्यास, इनपुट फील्ड लाल रंगात हायलाइट केले जाईल
  • "GCD आणि NOC शोधा" बटण दाबा

क्रमांक कसे प्रविष्ट करावे

  • संख्या स्पेस, डॉट्स किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त करून प्रविष्ट केल्या आहेत
  • प्रविष्ट केलेल्या संख्यांची लांबी मर्यादित नाही, त्यामुळे लांब संख्यांचे gcd आणि lcm शोधणे कठीण होणार नाही

NOD आणि NOK म्हणजे काय?

श्रेष्ठ सामाईक भाजकअनेक संख्यांची संख्या ही सर्वात मोठी नैसर्गिक पूर्णांक आहे ज्याद्वारे सर्व मूळ संख्या उर्वरित न भागता येतात. सर्वात मोठा सामान्य विभाजक म्हणून संक्षिप्त केले जाते GCD.
किमान सामान्य एकाधिकअनेक संख्या ही सर्वात लहान संख्या आहे जी मूळ संख्यांपैकी प्रत्येकाने उर्वरित न करता भागता येते. किमान सामान्य गुणक म्हणून संक्षिप्त केले जाते एनओसी.

एखाद्या संख्येला उरलेल्या संख्येशिवाय दुसर्‍या संख्येने भाग जातो का ते कसे तपासायचे?

एका संख्‍येला उरलेल्या संख्‍येशिवाय दुसर्‍या संख्‍येने भाग जातो की नाही हे शोधण्‍यासाठी, तुम्ही संख्‍येच्‍या विभाज्‍यतेचे काही गुणधर्म वापरू शकता. मग, त्यांना एकत्र करून, त्यापैकी काही आणि त्यांच्या संयोगाद्वारे विभाज्यता तपासता येते.

संख्यांच्या विभाज्यतेची काही चिन्हे

1. संख्येच्या 2 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
एखाद्या संख्येला दोन ने भाग जातो की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी (ती सम असली तरी), या संख्येचा शेवटचा अंक पाहणे पुरेसे आहे: जर ती 0, 2, 4, 6 किंवा 8 च्या बरोबरीची असेल, तर ती संख्या सम आहे, म्हणजे ती 2 ने भाग जाते.
उदाहरण: 34938 ही संख्या 2 ने निःशेष भाग जात आहे का ते निश्चित करा.
उपाय:शेवटचा अंक पहा: 8 म्हणजे संख्या दोन ने भाग जाते.

2. संख्येच्या 3 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
एखाद्या संख्येला 3 ने भाग जातो जेव्हा तिच्या अंकांची बेरीज 3 ने भाग जाते. अशा प्रकारे, एखाद्या संख्येला 3 ने भाग जातो की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी, तुम्हाला अंकांची बेरीज मोजावी लागेल आणि ती 3 ने भागता येईल का ते तपासावे लागेल. जरी अंकांची बेरीज खूप मोठी असली तरीही तुम्ही तीच प्रक्रिया पुन्हा करू शकता.
उदाहरण: 34938 ही संख्या 3 ने निःशेष भाग जात आहे का ते ठरवा.
उपाय:आपण अंकांची बेरीज मोजतो: 3+4+9+3+8 = 27. 27 हा 3 ने भाग जातो, म्हणजे संख्या तीन ने भाग जाते.

3. संख्येच्या 5 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
जेव्हा शेवटचा अंक शून्य किंवा पाच असतो तेव्हा संख्या 5 ने भागते.
उदाहरण: 34938 संख्या 5 ने निःशेष भाग जात आहे का ते निश्चित करा.
उपाय:शेवटचा अंक पहा: 8 म्हणजे संख्या पाच ने भागता येत नाही.

4. संख्येच्या 9 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
हे चिन्ह तीन ने विभाज्यतेच्या चिन्हासारखेच आहे: जेव्हा संख्या 9 ने भागते तेव्हा त्याच्या अंकांची बेरीज 9 ने भाग जाते.
उदाहरण: 34938 ही संख्या 9 ने निःशेष भाग जात आहे का ते ठरवा.
उपाय:आपण अंकांच्या बेरजेची गणना करतो: 3+4+9+3+8 = 27. 27 हा 9 ने भाग जातो, म्हणजे संख्या नऊ ने भाग जाते.

दोन संख्यांचे GCD आणि LCM कसे शोधायचे

दोन संख्यांचा GCD कसा शोधायचा

दोन संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाची गणना करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे या संख्यांचे सर्व संभाव्य विभाजक शोधणे आणि त्यापैकी सर्वात मोठे निवडणे.

GCD(28, 36) शोधण्याचे उदाहरण वापरून या पद्धतीचा विचार करा:

  1. आम्ही दोन्ही संख्यांचे गुणांकन करतो: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
  2. आम्हाला सामान्य घटक सापडतात, म्हणजेच ते दोन्ही संख्यांमध्ये आहेत: 1, 2 आणि 2.
  3. आम्ही या घटकांच्या गुणाकाराची गणना करतो: 1 2 2 \u003d 4 - हा 28 आणि 36 अंकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

दोन संख्यांचा LCM कसा शोधायचा

दोन संख्यांचा सर्वात लहान गुणाकार शोधण्याचे दोन सर्वात सामान्य मार्ग आहेत. पहिला मार्ग असा आहे की तुम्ही दोन संख्यांचे पहिले गुणाकार लिहू शकता आणि नंतर त्यांच्यापैकी अशी संख्या निवडा जी दोन्ही संख्यांसाठी समान असेल आणि त्याच वेळी सर्वात लहान असेल. आणि दुसरे म्हणजे या संख्यांचे GCD शोधणे. चला फक्त त्याचा विचार करूया.

LCM ची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला मूळ संख्यांच्या गुणाकाराची गणना करणे आवश्यक आहे आणि नंतर त्यास पूर्वी सापडलेल्या GCD ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. चला समान संख्या 28 आणि 36 साठी LCM शोधूया:

  1. 28 आणि 36: 28 36 = 1008 या संख्यांचा गुणाकार शोधा
  2. gcd(28, 36) आधीच 4 म्हणून ओळखले जाते
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

एकाधिक संख्यांसाठी GCD आणि LCM शोधणे

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक अनेक संख्यांसाठी आढळू शकतो, फक्त दोनसाठी नाही. यासाठी, सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी शोधल्या जाणार्‍या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन केले जाते, त्यानंतर या संख्यांच्या सामान्य मूळ घटकांचे गुणाकार आढळतात. तसेच, अनेक संख्यांची GCD शोधण्यासाठी, तुम्ही खालील संबंध वापरू शकता: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

समान संबंध संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकारावर देखील लागू होतो: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

उदाहरण:संख्या 12, 32 आणि 36 साठी GCD आणि LCM शोधा.

  1. प्रथम, संख्यांचे फॅक्टराइज करू या: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
  2. चला सामान्य घटक शोधू: 1, 2 आणि 2.
  3. त्यांचे उत्पादन gcd देईल: 1 2 2 = 4
  4. आता LCM शोधूया: यासाठी आपण प्रथम LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 शोधू.
  5. तिन्ही संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 2 3 = 12 शोधणे आवश्यक आहे.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

हा लेख याबद्दल आहे सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (gcd) शोधणेदोन किंवा अधिक संख्या. प्रथम, युक्लिड अल्गोरिदमचा विचार करा, ते आपल्याला दोन संख्यांची GCD शोधण्याची परवानगी देते. त्यानंतर, आम्ही अशा पद्धतीवर लक्ष ठेवू जी आम्हाला संख्यांच्या GCD ची त्यांच्या सामान्य अविभाज्य घटकांचे गुणाकार म्हणून गणना करण्यास अनुमती देते. पुढे, आपण तीन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधू आणि ऋण संख्यांच्या GCD मोजण्याचे उदाहरण देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

GCD शोधण्यासाठी युक्लिडचा अल्गोरिदम

लक्षात घ्या की जर आपण सुरुवातीपासूनच मूळ संख्या सारणीकडे वळलो असतो, तर आपल्याला आढळून आले असते की 661 आणि 113 संख्या अविभाज्य आहेत, ज्यावरून आपण लगेच म्हणू शकतो की त्यांचा सर्वात मोठा सामान्य भाजक 1 आहे.

उत्तर:

gcd(661, 113)=1 .

प्राइम फॅक्टर्समध्ये संख्यांचे फॅक्टरिंग करून GCD शोधणे

GCD शोधण्याचा दुसरा मार्ग विचारात घ्या. सर्वात मोठा सामान्य विभाजक संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टरिंग करून शोधला जाऊ शकतो. चला नियम तयार करूया: दोन सकारात्मक पूर्णांक a आणि b चे gcd हे अ आणि b च्या अविभाज्य घटकांमधील सर्व सामान्य मूळ घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे..

GCD शोधण्याचा नियम स्पष्ट करण्यासाठी उदाहरण देऊ. 220 आणि 600 या संख्यांचा प्राइम फॅक्टर्समध्ये होणारा विस्तार जाणून घेऊया, त्यांना 220=2 2 5 11 आणि 600=2 2 2 3 5 5 असे स्वरूप आहे. 220 आणि 600 संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामायिक मुख्य घटक 2, 2 आणि 5 आहेत. म्हणून gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

अशा प्रकारे, जर आपण a आणि b या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये विघटन केले आणि त्यांच्या सर्व सामाईक घटकांचा गुणाकार शोधला, तर याला a आणि b संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक सापडेल.

घोषित नियमानुसार GCD शोधण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

72 आणि 96 चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा.

उपाय.

चला संख्या 72 आणि 96 चे गुणांकन करूया:

म्हणजे, 72=2 2 2 3 3 आणि 96=2 2 2 2 3 . सामान्य अविभाज्य घटक 2, 2, 2 आणि 3 आहेत. तर gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

उत्तर:

gcd(72, 96)=24 .

या विभागाच्या शेवटी, आम्ही लक्षात घेतो की gcd शोधण्यासाठी वरील नियमाची वैधता सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाच्या मालमत्तेवरून येते, जे असे नमूद करते की GCD(m a 1 , m b 1) =m GCD(a 1 , b 1), जेथे m हा कोणताही सकारात्मक पूर्णांक असतो.

तीन किंवा अधिक संख्यांची GCD शोधणे

तीन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधणे हे दोन संख्यांचे gcd शोधण्यापर्यंत कमी केले जाऊ शकते. GCD च्या गुणधर्मांचा अभ्यास करताना आम्ही याचा उल्लेख केला. तेथे आम्ही प्रमेय तयार केला आणि सिद्ध केला: अनेक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक a 1 , a 2 , ..., a k हा d k या संख्येच्या बरोबरीचा आहे, जो अनुक्रमिक गणनामध्ये आढळतो.

उदाहरणाच्या समाधानाचा विचार करून अनेक संख्यांची GCD शोधण्याची प्रक्रिया कशी दिसते ते पाहू.

उदाहरण.

78 , 294 , 570 आणि 36 या चार संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा.

उपाय.

या उदाहरणात a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

प्रथम, युक्लिड अल्गोरिदम वापरून, आम्ही पहिल्या दोन संख्या 78 आणि 294 पैकी सर्वात मोठा सामान्य विभाजक d 2 निर्धारित करतो. भागाकार करताना, आपल्याला समानता मिळते 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 आणि 18=6 3 . अशा प्रकारे, d 2 =GCD(78, 294)=6 .

आता गणना करूया d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). पुन्हा आपण युक्लिड अल्गोरिदम लागू करतो: 570=6·95 , म्हणून, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

त्याची गणना करणे बाकी आहे d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). 36 ला 6 ने भाग जात असल्याने d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

अशा प्रकारे, दिलेल्या चार संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक d 4 =6 आहे, म्हणजे gcd(78, 294, 570, 36)=6.

उत्तर:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन केल्याने तुम्हाला तीन किंवा अधिक संख्यांच्या GCD ची गणना करता येते. या प्रकरणात, दिलेल्या संख्यांच्या सर्व सामान्य मूळ घटकांचा गुणाकार म्हणून सर्वात मोठा सामान्य भाजक आढळतो.

उदाहरण.

मागील उदाहरणावरून संख्यांच्या GCD ची त्यांची अविभाज्य गुणांक वापरून गणना करा.

उपाय.

आपण 78 , 294 , 570 आणि 36 या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करतो, आपल्याला 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 3 मिळतात. दिलेल्या चारही संख्यांचे सामान्य मूळ घटक म्हणजे 2 आणि 3. त्यामुळे, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

नैसर्गिक संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य मल्टिपल (LCM) आणि सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (GCD) शोधणे.

2

5

2

5

3

3

5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) यातील पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक आम्ही लिहितो आणि त्यांना दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून गहाळ घटक 5 जोडतो. आम्हाला मिळते: 2*2*3*5*5=300. NOC आढळले, म्हणजे ही बेरीज = 300. परिमाण विसरू नका आणि उत्तर लिहा:
उत्तरः आई प्रत्येकी 300 रूबल देते.

GCD ची व्याख्या:ग्रेटेस्ट कॉमन विभाजक (GCD)नैसर्गिक संख्या एआणि व्हीसर्वात मोठ्या नैसर्गिक संख्येचे नाव द्या c, ज्यासाठी आणि a, आणि bउर्वरित न करता विभागले. त्या. cसर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे ज्यासाठी आणि एआणि bगुणाकार आहेत.

स्मरणपत्र:नैसर्गिक संख्यांच्या व्याख्येसाठी दोन दृष्टिकोन आहेत

  • यामध्ये वापरलेली संख्या: वस्तूंची गणन (क्रमांक) (प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ...); - शाळांमध्ये, सहसा.
  • आयटमची संख्या दर्शवत आहे (पोकेमॉन नाही - शून्य, एक पोकेमॉन, दोन पोकेमॉन, ...).

नकारात्मक आणि पूर्णांक नसलेल्या (परिमेय, वास्तविक, ...) संख्या नैसर्गिक नाहीत. काही लेखक नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये शून्य समाविष्ट करतात, तर काही करत नाहीत. सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच सहसा चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो एन

स्मरणपत्र:नैसर्गिक संख्येचा विभाजक aनंबर वर कॉल करा ब,ज्याला aउर्वरित न करता विभागले. नैसर्गिक संख्येचे अनेक bनैसर्गिक संख्या म्हणतात a, ज्याने विभाजित केले आहे bकाहीही माग न सोडता. जर संख्या b- संख्या विभाजक a, ते aच्या एकाधिक b. उदाहरण: 2 हा 4 चा विभाजक आहे आणि 4 हा 2 चा गुणाकार आहे. 3 हा 12 चा विभाजक आहे आणि 12 हा 3 चा गुणाकार आहे.
स्मरणपत्र:नैसर्गिक संख्यांना अविभाज्य म्हटले जाते जर त्या केवळ स्वतःहून आणि 1 ने निःशेष भाग न घेता. कॉप्राइम अशा संख्या आहेत ज्यांचा फक्त एक समान भाजक 1 असतो.

सामान्य प्रकरणात GCD कसा शोधायचा याची व्याख्या: GCD (सर्वोत्तम सामान्य विभाजक) शोधण्यासाठीअनेक नैसर्गिक संख्या आवश्यक आहेत:
1) त्यांचे मुख्य घटकांमध्ये विघटन करा. (प्राइम नंबर चार्ट यासाठी खूप उपयुक्त ठरू शकतो.)
2) त्यापैकी एकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा.
3) उर्वरित संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेले ते हटवा.
4) परिच्छेद 3 मध्ये मिळालेल्या घटकांचा गुणाकार करा).

कार्य 2 चालू (NOK):नवीन वर्षापर्यंत, कोल्या पुझाटोव्हने शहरात 48 हॅमस्टर आणि 36 कॉफी पॉट विकत घेतले. वर्गातील सर्वात प्रामाणिक मुलगी म्हणून फेक्ला डॉर्मिडोंटोव्हाला शिक्षकांसाठी भेटवस्तू सेटच्या सर्वात मोठ्या संख्येत या मालमत्तेचे विभाजन करण्याचे काम देण्यात आले. संचांची संख्या किती आहे? संचांची रचना काय आहे?

उदाहरण 2.1. GCD शोधण्याच्या समस्येचे निराकरण. निवडीनुसार GCD शोधत आहे.
उपाय: 48 आणि 36 पैकी प्रत्येक संख्या भेटवस्तूंच्या संख्येने विभाज्य असणे आवश्यक आहे.
१) विभाजक ४८:४८, २४, १६, लिहा. 12 , 8, 6, 3, 2, 1
२) भाजक ३६:३६, १८, लिहा. 12 , 9, 6, 3, 2, 1 सर्वात मोठा सामान्य विभाजक निवडा. ओप-ला-ला! आढळले, ही 12 तुकड्यांच्या संचांची संख्या आहे.
3) 48 ला 12 ने भागा, आम्हाला 4 मिळेल, 36 ला 12 ने भागा, आम्हाला 3 मिळेल. परिमाण विसरू नका आणि उत्तर लिहा:
उत्तर: तुम्हाला प्रत्येक सेटमध्ये 4 हॅमस्टरचे 12 संच आणि 3 कॉफी पॉट्स मिळतील.

नैसर्गिक संख्यांच्या विभाज्यतेची चिन्हे.

उरलेल्या संख्यांना 2 ने निःशेष भाग जाणार्‍या संख्या म्हणतातअगदी .

ज्या संख्यांना 2 ने समान भाग जात नाही त्यांना म्हणतातविषम .

२ ने विभाज्यतेचे चिन्ह

जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येची नोंद सम अंकाने संपत असेल, तर या संख्येला उरलेल्या अंकाशिवाय 2 ने भाग जात नाही आणि जर एखाद्या संख्येची नोंद विषम अंकाने संपत असेल, तर ही संख्या उरलेल्या शिवाय 2 ने भागता येणार नाही.

उदाहरणार्थ, संख्या 60 , 30 8 , 8 4 उर्वरित 2 आणि संख्या 5 न भागता1 , 8 5 , 16 7 उर्वरित शिवाय 2 ने भाग जात नाही.

3 ने विभाज्यतेचे चिन्ह

जर एखाद्या संख्येच्या अंकांची बेरीज 3 ने भाग जात असेल, तर संख्या देखील 3 ने भाग जाईल; जर एखाद्या संख्येच्या अंकांची बेरीज 3 ने भाग जात नसेल तर ती संख्या 3 ने भागणार नाही.

उदाहरणार्थ, 2772825 या संख्येला 3 ने भाग जातो का ते शोधू या. हे करण्यासाठी, आम्ही या संख्येच्या अंकांची बेरीज काढतो: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3 ने भाग जातो. तर, 2772825 ही संख्या 3 ने भाग जाते.

5 ने विभाज्यतेचे चिन्ह

जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येची नोंद 0 किंवा 5 या संख्येने संपत असेल, तर ही संख्या 5 ने निःशेष भागाशिवाय पूर्ण होते. जर एखाद्या संख्येची नोंद वेगळ्या अंकाने संपत असेल, तर उर्वरित नसलेल्या संख्येला 5 ने भाग जात नाही.

उदाहरणार्थ, संख्या 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5 आणि संख्या 1 शिवाय उरलेल्या भागाशिवाय भाग जातात7 , 37 8 , 9 1 शेअर करू नका.

9 ने विभाज्यतेचे चिन्ह

जर एखाद्या संख्येच्या अंकांची बेरीज 9 ने भाग जात असेल, तर संख्या देखील 9 ने भाग जाईल; जर एखाद्या संख्येच्या अंकांची बेरीज 9 ने भाग जात नसेल तर ती संख्या 9 ने भागणार नाही.

उदाहरणार्थ, 5402070 या संख्येला 9 ने भाग जातो का ते शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही या संख्येच्या अंकांची बेरीज काढतो: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9 ने भाग जात नाही. याचा अर्थ असा की 5402070 ही संख्या 9 ने भाग जात नाही.

10 ने विभाज्यतेचे चिन्ह

जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येची नोंद अंक 0 ने संपत असेल, तर ही संख्या उर्वरित शिवाय 10 ने निःशेष भाग जाते. जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येची नोंद दुसर्‍या अंकाने संपत असेल, तर ती उर्वरित अंकाशिवाय 10 ने भागता येत नाही.

उदाहरणार्थ, संख्या 40 , 17 0 , 1409 0 10 आणि संख्या 1 शिवाय उरलेल्या भागाशिवाय आहेत7 , 9 3 , 1430 7 - शेअर करू नका.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (gcd) शोधण्याचा नियम.

अनेक नैसर्गिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी, तुम्हाला हे करणे आवश्यक आहे:

2) यापैकी एका संख्येच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या घटकांमधून, इतर संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेल्या घटकांमधून बाहेर पडा;

3) उर्वरित घटकांचे उत्पादन शोधा.

उदाहरण. चला GCD (48;36) शोधू. चला नियम वापरुया.

1. आम्ही 48 आणि 36 संख्यांचे विघटन मूळ घटकांमध्ये करतो.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. क्रमांक 48 च्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या घटकांमधून, आम्ही 36 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेल्या घटकांना हटवतो.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

2, 2 आणि 3 घटक आहेत.

3. उर्वरित घटकांचा गुणाकार करा आणि 12 मिळवा. ही संख्या 48 आणि 36 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधण्याचा नियम.

अनेक नैसर्गिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्यासाठी, तुम्हाला हे करणे आवश्यक आहे:

1) त्यांना मुख्य घटकांमध्ये विघटित करा;

2) एका संख्येच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा;

3) त्यांना उर्वरित संख्यांच्या विस्तारातून गहाळ घटक जोडा;

4) परिणामी घटकांचे उत्पादन शोधा.

उदाहरण.चला LCM (75;60) शोधू. चला नियम वापरुया.

1. आम्ही 75 आणि 60 संख्यांचे विघटन मूळ घटकांमध्ये करतो.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. संख्या 75: 3, 5, 5 च्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. त्यांना संख्या 60 च्या विघटनापासून गहाळ घटक जोडा, म्हणजे. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. परिणामी घटकांचे उत्पादन शोधा

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.