फंक्शनच्या मूल्यांचा संच कसा शोधायचा. ठराविक कामांचे निराकरण
आज धड्यात आपण गणिताच्या मूलभूत संकल्पनांपैकी एकाकडे वळू - फंक्शनची संकल्पना; फंक्शनच्या गुणधर्मांपैकी एक - त्याच्या मूल्यांचा संच जवळून पाहू.
वर्ग दरम्यान
शिक्षक. समस्या सोडवताना, आपल्या लक्षात येते की कधीकधी ते फंक्शनच्या मूल्यांचा संच अचूकपणे शोधत असते जे आपल्याला कठीण परिस्थितीत ठेवते. का? असे दिसते की 7 व्या इयत्तेपासून फंक्शनचा अभ्यास केला तर आपल्याला त्याबद्दल बरेच काही माहित आहे. म्हणून, आमच्याकडे पूर्वकल्पित हालचाल करण्याचे प्रत्येक कारण आहे. आगामी परीक्षेत या विषयावरील अनेक प्रश्न सोडवण्यासाठी आज अनेक फंक्शन व्हॅल्यूजसह "प्ले" करूया.
प्राथमिक कार्यांच्या मूल्यांचे संच
शिक्षक. सुरुवातीस, संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनवर आलेख, समीकरणे आणि मूलभूत प्राथमिक कार्यांच्या मूल्यांचे संच पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.
फंक्शन्सचे आलेख स्क्रीनवर प्रक्षेपित केले जातात: रेखीय, चतुर्भुज, अपूर्णांक-परिमेय, त्रिकोणमितीय, घातांक आणि लॉगरिदमिक, त्या प्रत्येकासाठी मूल्यांचा संच मौखिकपणे निर्धारित केला जातो. रेखीय कार्य E(f) = या वस्तुस्थितीकडे लक्ष द्या आरकिंवा एक संख्या, रेखीय अपूर्णांकासाठी
ही आमची वर्णमाला आहे. त्यात भर घालून आलेख बदलांचे आमचे ज्ञान: समांतर भाषांतर, स्ट्रेचिंग, कॉम्प्रेशन, रिफ्लेक्शन, आम्ही पहिल्या भागाच्या समस्या सोडवू शकतो. वापरा आणि थोडे अधिक कठीण. चला ते तपासूया.
स्वतंत्र काम
येथे प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी छापलेले कार्य शब्द आणि समन्वय प्रणाली.
1. व्याख्याच्या संपूर्ण डोमेनवर कार्य मूल्यांचा संच शोधा:
अ) y= 3 पाप एक्स ;
ब) y = 7 – 2 एक्स
;
मध्ये) y= -arccos( x + 5):
जी) y= | arctg x |;
e)
2. फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच शोधा y = x 2 मध्ये जे, तर:
अ) जे = ;
ब) जे = [–1; 5).
3. एखादे कार्य विश्लेषणात्मकपणे परिभाषित करा (समीकरणानुसार) जर त्याच्या मूल्यांचा संच:
1) इ(f(x)) = (–∞; 2] आणि f(x) - कार्य
अ) चौरस
ब) लॉगरिदमिक,
c) प्रात्यक्षिक;
2) इ(f(x)) = आर \{7}.
एखाद्या कामावर चर्चा करताना 2स्वतंत्र कार्य, या वस्तुस्थितीकडे विद्यार्थ्यांचे लक्ष वेधून घ्या की, फंक्शनची एकसूत्रीपणा आणि सातत्य या बाबतीत=f(x)दिलेल्या अंतराने[a;b],त्याच्या अर्थांचा संच-मध्यांतर,ज्याचे टोक f मूल्ये आहेत(a)आणि f(b).
कार्यासाठी उत्तर पर्याय 3.
1.
अ) y = –x 2 + 2 , y = –(x
+ 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 वाजता a < 0.
ब) y= -| लॉग 8 x | + 2,
मध्ये) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.
2.
अ) ब)
मध्ये) y = 12 – 5x, कुठे x ≠ 1 .
व्युत्पन्न वापरून फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधणे
शिक्षक. 10 व्या वर्गात, आम्ही एका खंडावर सतत फंक्शनचा एक्स्ट्रेमा शोधण्यासाठी आणि फंक्शनच्या आलेखावर अवलंबून न राहता त्याची मूल्ये शोधण्यासाठी अल्गोरिदमशी परिचित झालो. आम्ही ते कसे केले ते लक्षात ठेवा? ( व्युत्पन्न च्या मदतीने.) हा अल्गोरिदम आठवूया .
1. फंक्शनची खात्री करा y = f(x) सेगमेंटवर परिभाषित आणि सतत आहे जे = [a; b]. 2. विभागाच्या शेवटी फंक्शन मूल्ये शोधा: f(a) आणि f(b). टिप्पणी. जर आपल्याला माहित असेल की एखादे कार्य सतत आणि मोनोटोनिक चालू असते जे, तर तुम्ही लगेच उत्तर देऊ शकता: इ(f) = [f(a); f(b)] किंवा इ(f) = [f(b); f(a)]. 3. व्युत्पन्न शोधा आणि नंतर गंभीर बिंदू शोधा x kजे. 4. गंभीर बिंदूंवर कार्य मूल्ये शोधा f(x k). 5. कार्य मूल्यांची तुलना करा f(a), f(b) आणि f(x k), फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये निवडा आणि उत्तर द्या: इ(f)= [fभाड्याने घेणे fनायब]. |
हा अल्गोरिदम लागू करण्यासाठीची कार्ये परीक्षेच्या प्रकारांमध्ये आढळतात. उदाहरणार्थ, 2008 मध्ये असे कार्य प्रस्तावित करण्यात आले होते. ते सोडवावे लागेल घरी .
कार्य C1.फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य शोधा
f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2
येथे | x + 1| ≤ 3.
प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी गृहपाठ अटी छापल्या जातात .
जटिल कार्याच्या मूल्यांचा संच शोधणे
शिक्षक. आमच्या धड्याचा मुख्य भाग जटिल फंक्शन्स असलेली गैर-मानक कार्ये असेल, ज्याचे व्युत्पन्न अतिशय जटिल अभिव्यक्ती आहेत. आणि या फंक्शन्सचे आलेख आपल्याला अज्ञात आहेत. म्हणून, सोल्यूशनसाठी, आम्ही जटिल फंक्शनची व्याख्या वापरू, म्हणजेच या फंक्शनमधील त्यांच्या नेस्टिंगच्या क्रमाने व्हेरिएबल्समधील अवलंबित्व आणि त्यांच्या श्रेणीचे मूल्यांकन (त्यांच्या मूल्यांमधील बदलाचा मध्यांतर). या प्रकारच्या समस्या परीक्षेच्या दुसऱ्या भागात आढळतात. चला उदाहरणांकडे वळूया.
व्यायाम १.फंक्शन्ससाठी y = f(x) आणि y = g(x) एक जटिल कार्य लिहा y = f(g(x)) आणि त्याच्या मूल्यांचा संच शोधा:
अ) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = पाप x;
ब) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = लॉग 7 x;
मध्ये)
g(x) = x 2 + 1;
जी)
उपाय.अ) जटिल कार्याचे स्वरूप आहे: y= -पाप २ x+2 पाप x + 3.
इंटरमीडिएट युक्तिवाद सादर करत आहे ट, आपण हे फंक्शन असे लिहू शकतो:
y= –ट 2 + 2ट+ 3, कुठे ट= पाप x.
आतील कार्यात ट= पाप xयुक्तिवाद कोणतेही मूल्य घेते आणि त्याच्या मूल्यांचा संच हा विभाग आहे [–१; एक].
तर बाह्य कार्यासाठी y = –ट 2 +2ट+ 3 आपण त्याच्या युक्तिवादाच्या मूल्यांच्या बदलाचा मध्यांतर शिकलो आहोत ट: ट[-एक; एक]. फंक्शनचा आलेख पाहू y = –ट 2 +2ट + 3.
साठी चतुर्भुज कार्य लक्षात घ्या ट[-एक; 1] त्याच्या शेवटी सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये घेते: yनियुक्ती = y(–१) = ० आणि yनायब = y(1) = 4. आणि हे फंक्शन मध्यांतर [–1; 1], नंतर ते त्यांच्यामधील सर्व मूल्ये देखील घेते.
उत्तर द्या: y .
ब) या फंक्शन्सची रचना आपल्याला एका जटिल फंक्शनकडे घेऊन जाते, जे मध्यवर्ती युक्तिवाद सादर केल्यानंतर, खालीलप्रमाणे प्रस्तुत केले जाऊ शकते:
y= –ट 2 + 2ट+ 3, कुठे ट= लॉग 7 x,
कार्य ट= लॉग 7 x
x (0; +∞ ), ट (–∞ ; +∞ ).
कार्य y = –ट 2 + 2ट+ 3 (आलेख पहा) युक्तिवाद टकोणतेही मूल्य घेते आणि चतुर्भुज फंक्शन स्वतःच सर्व मूल्ये 4 पेक्षा जास्त घेत नाही.
उत्तर द्या: y (–∞ ; 4].
c) जटिल कार्याचे खालील स्वरूप आहे:
इंटरमीडिएट युक्तिवाद सादर करताना, आम्हाला मिळते:
कुठे ट = x 2 + 1.
आतील कार्यासाठी असल्याने x आर , अ ट .
उत्तर द्या: y (0; 3].
d) या दोन कार्यांची रचना आपल्याला एक जटिल कार्य देते
जे असे लिहिले जाऊ शकते
त्याची नोंद घ्या
तर, येथे
कुठे k झेड , ट [–1; 0) (0; 1].
फंक्शनचा आलेख काढणे या मूल्यांसाठी आपण ते पाहतो ट
y(–∞; –4] c;
b) व्याख्येच्या संपूर्ण क्षेत्रावर.
उपाय.प्रथम, आम्ही मोनोटोनिसिटीसाठी या कार्याचे परीक्षण करतो. कार्य ट= arcctg x- सतत आणि कमी होत आहे आर आणि त्याच्या मूल्यांचा संच (0; π). कार्य y= लॉग 5 टमध्यांतर (0; π) वर परिभाषित केले जाते, ते सतत असते आणि त्यावर वाढते. याचा अर्थ सेटवर हे जटिल कार्य कमी होत आहे आर . आणि ते, दोन सतत फंक्शन्सची रचना म्हणून, सतत चालू राहील आर .
चला "अ" समस्या सोडवू.
फंक्शन संपूर्ण संख्या रेषेवर सतत असल्याने, ते त्याच्या कोणत्याही भागावर, विशेषत: दिलेल्या खंडावर सतत असते. आणि मग या सेगमेंटमध्ये सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी मूल्ये आहेत आणि त्यांच्यामधील सर्व मूल्ये घेते:
f(4) = लॉग 5 arcctg 4.
परिणामी मूल्यांपैकी कोणते मूल्य मोठे आहे? का? आणि मूल्यांचा संच काय असेल?
उत्तर: 
चला "ब" समस्या सोडवू.
उत्तर: येथे(–∞; लॉग ५ π) व्याख्येच्या संपूर्ण क्षेत्रामध्ये.
पॅरामीटरसह कार्य करा
आता फॉर्मच्या पॅरामीटरसह एक साधे समीकरण तयार करण्याचा आणि सोडवण्याचा प्रयत्न करूया f(x) = a, कुठे f(x) - कार्य 4 प्रमाणेच कार्य.
कार्य 5.लॉग 5 समीकरणाच्या मुळांची संख्या निश्चित करा (arcctg x) = aप्रत्येक पॅरामीटर मूल्यासाठी a.
उपाय.जसे आपण टास्क 4 मध्ये आधीच दाखवले आहे, फंक्शन येथे= लॉग 5 (arctg x) कमी होत आहे आणि सतत चालू आहे आर आणि लॉग 5 π पेक्षा कमी मूल्ये घेते. उत्तर देण्यासाठी ही माहिती पुरेशी आहे.
उत्तर:तर a < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;
तर a≥ लॉग 5 π, नंतर मुळे नाहीत.
शिक्षक. आज आपण फंक्शन व्हॅल्यूचा संच शोधण्याशी संबंधित समस्यांचा विचार केला आहे. या मार्गावर, आम्ही समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याची एक नवीन पद्धत शोधली - अंदाजाची पद्धत, म्हणून फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधणे हे उच्च स्तरावरील समस्या सोडवण्याचे एक साधन बनले आहे. त्याच वेळी, अशा समस्या कशा तयार केल्या जातात आणि फंक्शनचे मोनोटोनिसिटी गुणधर्म त्यांचे निराकरण कसे सुलभ करतात हे आम्ही पाहिले.
आणि मी आशा करू इच्छितो की आज विचारात घेतलेल्या कार्यांशी जोडलेल्या तर्काने तुम्हाला आश्चर्यचकित केले किंवा कमीतकमी आश्चर्यचकित केले. हे अन्यथा असू शकत नाही: नवीन शिखरावर चढणे कोणालाही उदासीन ठेवत नाही! आम्ही सुंदर चित्रे, शिल्पे इ. लक्षात घेतो आणि प्रशंसा करतो. परंतु गणिताचे स्वतःचे सौंदर्य, आकर्षक आणि मोहक आहे - तर्कशास्त्राचे सौंदर्य. गणितज्ञांचे म्हणणे आहे की एक सुंदर उपाय हा सहसा योग्य उपाय असतो आणि तो केवळ एक वाक्यांश नाही. आता तुम्हालाच असे उपाय शोधावे लागतील आणि आज आम्ही त्यांचा एक मार्ग सांगितला आहे. तुला शुभेच्छा! आणि लक्षात ठेवा: चालणार्‍याने रस्ता बनविला जाईल!
बर्‍याचदा, समस्या सोडवण्याच्या चौकटीत, आपल्याला परिभाषाच्या डोमेनवर किंवा विभागावरील फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधावा लागतो. उदाहरणार्थ, विविध प्रकारच्या असमानता सोडवताना, अभिव्यक्तींचे मूल्यमापन करताना हे केले पाहिजे.
या सामग्रीचा भाग म्हणून, आम्ही तुम्हाला फंक्शनची श्रेणी काय आहे ते सांगू, मुख्य पद्धती देऊ ज्याद्वारे त्याची गणना केली जाऊ शकते आणि विविध प्रकारच्या जटिलतेच्या समस्यांचे विश्लेषण करू. स्पष्टतेसाठी, वैयक्तिक पोझिशन्स आलेखांद्वारे स्पष्ट केल्या आहेत. हा लेख वाचल्यानंतर, तुम्हाला फंक्शनच्या व्याप्तीची सर्वसमावेशक समज असेल.
चला मूलभूत व्याख्यांसह प्रारंभ करूया.
व्याख्या १
काही अंतराल x वरील फंक्शन y = f (x) च्या व्हॅल्यूजचा संच हा सर्व व्हॅल्यूजचा संच आहे जो या फंक्शनला x ∈ X या सर्व व्हॅल्यूजवर पुनरावृत्ती करताना लागतो.
व्याख्या २
फंक्शनची श्रेणी y = f (x) हा त्याच्या सर्व मूल्यांचा संच आहे जो x ∈ (f) श्रेणीतील x मूल्यांवर पुनरावृत्ती करताना लागू शकतो.
काही फंक्शनची श्रेणी सामान्यतः E (f) द्वारे दर्शविली जाते.
कृपया लक्षात घ्या की फंक्शनच्या मूल्यांच्या संचाची संकल्पना नेहमी त्याच्या मूल्यांच्या क्षेत्राशी एकसारखी नसते. मूल्यांचा संच शोधताना x मूल्यांची श्रेणी फंक्शनच्या डोमेनशी एकरूप असेल तरच या संकल्पना समतुल्य असतील.
उजव्या बाजूच्या y = f (x) वरील अभिव्यक्तीसाठी व्हेरिएबल x च्या श्रेणी आणि श्रेणीमध्ये फरक करणे देखील महत्त्वाचे आहे. f(x) या अभिव्यक्तीसाठी स्वीकार्य मूल्य x चे क्षेत्रफळ हे या फंक्शनच्या व्याख्येचे क्षेत्र असेल.
खाली काही उदाहरणे दाखवणारे उदाहरण दिले आहे. निळ्या रेषा फंक्शन्सचे आलेख आहेत, लाल रेषा एसिम्प्टोट्स आहेत, लाल ठिपके आणि y-अक्षावरील रेषा या फंक्शनच्या श्रेणी आहेत.
अर्थात, फंक्शनचा आलेख O y अक्षावर प्रक्षेपित करून फंक्शनची श्रेणी मिळवता येते. त्याच वेळी, ते एकतर एकल संख्या किंवा संख्यांचा संच, एक खंड, एक मध्यांतर, एक मुक्त किरण, संख्यात्मक मध्यांतरांचे संघटन इत्यादी असू शकते.
फंक्शनची श्रेणी शोधण्याचे मुख्य मार्ग विचारात घ्या.
ठराविक सेगमेंटवर सतत फंक्शन y = f (x) च्या मूल्यांचा संच परिभाषित करून सुरुवात करूया, नियुक्त [ a ; ब] आपल्याला माहित आहे की ठराविक अंतराने सतत चालणारे फंक्शन त्याच्या किमान आणि कमाल वर पोहोचते, म्हणजेच कमाल m a x x ∈ a ; b f (x) आणि सर्वात लहान मूल्य m i n x ∈ a ; b f (x) . तर, आपल्याला m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , ज्यामध्ये मूळ फंक्शनच्या मूल्यांचे संच असतील. मग आपल्याला फक्त या सेगमेंटवर निर्दिष्ट किमान आणि कमाल गुण शोधायचे आहेत.
चला एक समस्या घेऊ ज्यामध्ये आर्कसिनच्या मूल्यांची श्रेणी निश्चित करणे आवश्यक आहे.
उदाहरण १
परिस्थिती:श्रेणी y = a r c sin x शोधा.
उपाय
सर्वसाधारण बाबतीत, आर्कसिनच्या व्याख्येचे क्षेत्र मध्यांतरावर स्थित आहे [ - 1 ; एक] आपल्याला त्यावरील निर्दिष्ट फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य निर्धारित करणे आवश्यक आहे.
y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2
आम्हाला माहित आहे की फंक्शनचे व्युत्पन्न मध्यांतर [ - 1 ; 1 ] , म्हणजे, संपूर्ण व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये, आर्कसिन फंक्शन वाढेल. याचा अर्थ x जेव्हा - 1 असेल तेव्हा ते सर्वात लहान मूल्य घेईल आणि सर्वात मोठे - जेव्हा x 1 च्या बरोबरीचे असेल.
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
अशा प्रकारे, आर्कसिन फंक्शनची श्रेणी E (a r c sin x) = - π 2 ; π २
उत्तर: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π २
उदाहरण २
परिस्थिती:दिलेल्या विभागावर y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 श्रेणीची गणना करा [ 1 ; चार]
उपाय
दिलेल्या अंतरालमधील फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्याची गणना करायची आहे.
टोकाचे बिंदू निश्चित करण्यासाठी, खालील गणना करणे आवश्यक आहे:
y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 आणि l आणि 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4
आता सेगमेंटच्या शेवटी दिलेल्या फंक्शनची व्हॅल्यू शोधू आणि बिंदू x 2 = 15 - 33 8 ; x ३ \u003d १५ + ३३ ८:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
याचा अर्थ असा की फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच 117 - 165 33 512 या विभागाद्वारे निर्धारित केला जाईल; ३२ .
उत्तर: 117 - 165 33 512 ; 32 .
अंतराल (a ; b) , आणि a मधील सतत फंक्शन y = f (x) च्या मूल्यांचा संच शोधण्यासाठी पुढे जाऊया; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞
सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान बिंदू तसेच दिलेल्या मध्यांतरातील वाढ आणि घट यांचे मध्यांतर ठरवून सुरुवात करूया. त्यानंतर, आम्हाला मध्यांतराच्या शेवटी एकतर्फी मर्यादा आणि/किंवा अनंत मर्यादा मोजण्याची आवश्यकता असेल. दुसऱ्या शब्दांत, दिलेल्या परिस्थितीनुसार फंक्शनचे वर्तन निश्चित करणे आवश्यक आहे. यासाठी आमच्याकडे सर्व आवश्यक डेटा आहे.
उदाहरण ३
परिस्थिती:मध्यांतर (- 2 ; 2) वर फंक्शन y = 1 x 2 - 4 च्या श्रेणीची गणना करा.
उपाय
दिलेल्या अंतरावर फंक्शनचे सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य निश्चित करा
y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)
आम्हाला 0 च्या बरोबरीचे कमाल मूल्य मिळाले, कारण या टप्प्यावर फंक्शनचे चिन्ह बदलते आणि आलेख कमी होऊ लागतो. चित्र पहा:
म्हणजेच, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 हे फंक्शनचे कमाल मूल्य असेल.
आता x साठी फंक्शनचे वर्तन परिभाषित करूया ज्याचा कल - 2 उजवीकडे आणि + 2 डावीकडे आहे. दुसऱ्या शब्दांत, आम्हाला एकतर्फी मर्यादा आढळतात:
लिम x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = लिम x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ लिम x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = लिम x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞
आम्हाला समजले की फंक्शन व्हॅल्यूज वजा अनंत वरून - 1 4 पर्यंत वाढतील जेव्हा वितर्क - 2 वरून 0 मध्ये बदलेल. आणि जेव्हा वितर्क 0 ते 2 पर्यंत बदलते तेव्हा फंक्शनची मूल्ये वजा अनंताकडे कमी होतात. म्हणून, दिलेल्या फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचा संच आपल्याला आवश्यक असलेल्या मध्यांतरावर असेल (- ∞ ; - 1 4 ] .
उत्तर: (- ∞ ; - 1 4 ] .
उदाहरण ४
परिस्थिती: दिलेल्या मध्यांतरावर y = t g x मूल्यांचा संच दर्शवा - π 2 ; π २
उपाय
आम्हाला माहित आहे की, सर्वसाधारणपणे, स्पर्शिकेचे व्युत्पन्न - π 2; π 2 सकारात्मक असेल, म्हणजेच कार्य वाढेल. आता दिलेल्या सीमांमध्ये फंक्शन कसे वागते ते परिभाषित करूया:
लिम x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ लिम x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
जेव्हा युक्तिवाद - π 2 वरून π 2 पर्यंत बदलतो तेव्हा आम्ही फंक्शनच्या मूल्यांमध्ये वजा अनंतापासून प्लस अनंतापर्यंत वाढ मिळवली आहे आणि आम्ही असे म्हणू शकतो की या फंक्शनच्या सोल्यूशनचा संच सर्व वास्तविकतेचा संच असेल. संख्या
उत्तर: - ∞ ; + ∞ .
उदाहरण 5
परिस्थिती:नैसर्गिक लॉगरिथम फंक्शन y = ln x ची श्रेणी काय आहे हे निर्धारित करा.
उपाय
आम्हाला माहित आहे की हे कार्य वितर्क D (y) = 0 च्या सकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केले आहे; +∞ दिलेल्या मध्यांतरावरील व्युत्पन्न धनात्मक असेल: y " = ln x " = 1 x . याचा अर्थ त्यावर फंक्शन वाढत आहे. पुढे, जेव्हा युक्तिवाद 0 (उजवीकडे) वर जातो आणि जेव्हा x अनंताकडे जातो तेव्हा केससाठी एक-बाजूची मर्यादा परिभाषित करणे आवश्यक आहे:
लिम x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ लिम x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
आम्हाला आढळले आहे की फंक्शनची मूल्ये वजा अनंतापासून प्लस अनंतापर्यंत वाढतील कारण x मूल्ये शून्य ते प्लस अनंतात बदलतात. याचा अर्थ असा की सर्व वास्तविक संख्यांचा संच नैसर्गिक लॉगरिथम कार्याची श्रेणी आहे.
उत्तर:सर्व वास्तविक संख्यांचा संच नैसर्गिक लॉगरिथम कार्याची श्रेणी आहे.
उदाहरण 6
परिस्थिती: y = 9 x 2 + 1 फंक्शनची श्रेणी काय आहे ते ठरवा.
उपाय
हे फंक्शन परिभाषित केले आहे जर x ही वास्तविक संख्या असेल. चला फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये तसेच त्याच्या वाढ आणि घटाच्या मध्यांतरांची गणना करूया:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
परिणामी, आम्ही निर्धारित केले आहे की हे कार्य कमी होईल जर x ≥ 0; x ≤ 0 असल्यास वाढवा; जेव्हा व्हेरिएबल 0 असेल तेव्हा त्याचा कमाल बिंदू y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 असतो.
फंक्शन अनंतात कसे वागते ते पाहू:
लिम x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 लिम x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0
रेकॉर्डवरून असे दिसून येते की या प्रकरणात फंक्शनची मूल्ये अस्पष्टपणे 0 पर्यंत पोहोचतील.
थोडक्यात: जेव्हा वितर्क वजा अनंतापासून शून्यावर बदलतो, तेव्हा फंक्शनची मूल्ये 0 ते 9 पर्यंत वाढतात. आर्ग्युमेंट व्हॅल्यूज 0 ते प्लस इन्फिनिटीवर जाताना, संबंधित फंक्शन व्हॅल्यू 9 ते 0 पर्यंत कमी होतील. आम्ही आकृतीमध्ये हे चित्रित केले आहे:
हे दर्शविते की फंक्शनची श्रेणी मध्यांतर E (y) = (0 ; 9 ] असेल.
उत्तर: E (y) = (0 ; 9 ]
जर आपल्याला मध्यांतरांवर y = f (x) फंक्शनच्या मूल्यांचा संच निश्चित करायचा असेल तर [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , (- ∞ ; b ] , नंतर आपल्याला तंतोतंत समान अभ्यास करणे आवश्यक आहे. आम्ही अद्याप या प्रकरणांचे विश्लेषण करणार नाही: आम्ही त्यांना नंतर समस्यांमध्ये भेटू. .
परंतु एखाद्या विशिष्ट फंक्शनचे डोमेन अनेक अंतरालांचे एकत्रीकरण असल्यास काय? मग आपल्याला या प्रत्येक मध्यांतरावरील मूल्यांचे संच मोजावे लागतील आणि ते एकत्र करावे लागतील.
उदाहरण 7
परिस्थिती: y = x x - 2 ची श्रेणी काय असेल ते ठरवा.
उपाय
कारण फंक्शनचा भाजक 0 मध्ये बदलू नये, तर D (y) = - ∞ ; २ ∪ २ ; +∞
पहिल्या सेगमेंटवर फंक्शन व्हॅल्यूजचा सेट परिभाषित करून सुरुवात करूया - ∞ ; 2, जे एक ओपन बीम आहे. आपल्याला माहित आहे की त्यावरील फंक्शन कमी होईल, म्हणजेच या फंक्शनचे व्युत्पन्न नकारात्मक असेल.
लिम x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ लिम x → - ∞ x x - 2 = लिम x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = लिम x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
मग, ज्या प्रकरणांमध्ये युक्तिवाद वजा अनंताकडे बदलतो, फंक्शनची मूल्ये अस्पष्टपणे 1 कडे जातील. जर x ची मूल्ये उणे अनंत वरून 2 वर बदलली, तर मूल्ये 1 वरून अनंतापर्यंत कमी होतील, म्हणजे. या विभागावरील फंक्शन मध्यांतर पासून मूल्ये घेईल - ∞ ; एक आम्ही आमच्या तर्कातून ऐक्य वगळतो, कारण फंक्शनची मूल्ये त्याच्यापर्यंत पोहोचत नाहीत, परंतु केवळ अस्पष्टपणे त्याच्याकडे जातात.
ओपन बीम 2 साठी; + ∞ आम्ही अगदी त्याच क्रिया करतो. त्यावरील कार्य देखील कमी होत आहे:
लिम x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ लिम x → + ∞ x x - 2 = लिम x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = लिम x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
या विभागावरील फंक्शनची मूल्ये सेट 1 द्वारे निर्धारित केली जातात; +∞ याचा अर्थ आपल्याला आवश्यक असलेल्या स्थितीत निर्दिष्ट केलेल्या फंक्शनच्या मूल्यांची श्रेणी संचांची युनियन असेल - ∞; 1 आणि 1; +∞
उत्तर: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1; +∞
हे चार्टवर पाहिले जाऊ शकते:
एक विशेष बाब म्हणजे नियतकालिक कार्ये. त्यांचे मूल्य क्षेत्र या कार्याच्या कालावधीशी संबंधित असलेल्या मध्यांतरावरील मूल्यांच्या संचाशी जुळते.
उदाहरण 8
परिस्थिती: sine y = sin x ची श्रेणी निश्चित करा.
उपाय
साइन हे नियतकालिक कार्याचा संदर्भ देते आणि त्याचा कालावधी 2 pi आहे. आम्ही सेगमेंट 0 घेतो; 2 π आणि त्यावरील मूल्यांचा संच काय असेल ते पहा.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
0 च्या आत; 2 π फंक्शनमध्ये अत्यंत बिंदू असतील π 2 आणि x = 3 π 2. त्यामध्ये फंक्शनची व्हॅल्यू काय समान असतील, तसेच सेगमेंटच्या सीमारेषेवर आपण गणना करू या, त्यानंतर आपण सर्वात मोठे आणि सर्वात लहान मूल्य निवडू.
y (0) = पाप 0 = 0 y π 2 = पाप π 2 = 1 y 3 π 2 = पाप 3 π 2 = - 1 y (2 π) = पाप (2 π) = 0 ⇔ मिनिट x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , कमाल x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1
उत्तर: E (sinx) = - 1 ; एक
तुम्हाला घातांक, घातांक, लॉगरिदमिक, त्रिकोणमितीय, व्यस्त त्रिकोणमिती यासारख्या कार्यांच्या श्रेणी जाणून घ्यायच्या असल्यास, आम्ही तुम्हाला मूलभूत प्राथमिक कार्यांवरील लेख पुन्हा वाचण्याचा सल्ला देतो. आम्ही येथे सादर केलेला सिद्धांत आम्हाला तेथे निर्दिष्ट केलेल्या मूल्यांची चाचणी घेण्यास अनुमती देतो. ते शिकणे इष्ट आहे, कारण समस्या सोडवण्यासाठी त्यांची आवश्यकता असते. जर तुम्हाला मुख्य फंक्शन्सच्या रेंज माहित असतील, तर तुम्ही भौमितिक ट्रान्सफॉर्मेशन वापरून प्राथमिक फंक्शन्समधून मिळवलेल्या फंक्शन्सच्या रेंज सहज शोधू शकता.
उदाहरण ९
परिस्थिती:श्रेणी निश्चित करा y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
उपाय
आपल्याला माहित आहे की 0 ते pi खंड ही व्यस्त कोसाइनची श्रेणी आहे. दुसऱ्या शब्दांत, E (a r c cos x) = 0 ; π किंवा 0 ≤ a r c cos x ≤ π . आपण चाप कोसाइनमधून a r c cos x 3 + 5 π 7 फंक्शन O x अक्षाच्या बाजूने हलवून आणि ताणून मिळवू शकतो, परंतु अशा परिवर्तनांमुळे आपल्याला काहीही मिळणार नाही. म्हणून, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.
फंक्शन 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 हे व्यस्त कोसाइन a r c cos x 3 + 5 π 7 मधून y-अक्षावर ताणून मिळवता येते, म्हणजे. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . अंतिम परिवर्तन हे O y अक्षाच्या बाजूने 4 मूल्यांनी केलेले एक शिफ्ट आहे. परिणामी, आम्हाला दुहेरी असमानता मिळते:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 अर्कोस x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
आम्हाला समजले की आम्हाला आवश्यक असलेली श्रेणी E (y) = - 4 च्या बरोबरीची असेल; 3 pi - 4 .
उत्तर: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .
स्पष्टीकरणाशिवाय आणखी एक उदाहरण लिहूया, कारण हे पूर्णपणे मागील सारखेच आहे.
उदाहरण 10
परिस्थिती: y = 2 2 x - 1 + 3 फंक्शनची श्रेणी काय असेल याची गणना करा.
उपाय
कंडिशनमध्ये दिलेले फंक्शन y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 असे पुन्हा लिहू. पॉवर फंक्शन y = x - 1 2 साठी अंतराल 0 वर श्रेणी परिभाषित केली जाईल; + ∞ , म्हणजे x - 1 2 > 0 . या प्रकरणात:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
तर E (y) = 3 ; +∞
उत्तर: E (y) = 3 ; +∞
आता सतत नसलेल्या फंक्शनची रेंज कशी शोधायची ते पाहू. हे करण्यासाठी, आपल्याला संपूर्ण क्षेत्र मध्यांतरांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे आणि त्या प्रत्येकावर मूल्यांचे संच शोधणे आवश्यक आहे आणि नंतर आपल्याकडे जे आहे ते एकत्र करणे आवश्यक आहे. हे अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, आम्ही तुम्हाला मुख्य प्रकारच्या फंक्शन ब्रेकपॉइंट्सचे पुनरावलोकन करण्याचा सल्ला देतो.
उदाहरण 11
परिस्थिती: y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 फंक्शन दिले आहे< x ≤ 3 1 x - 3 , x >३ . त्याची श्रेणी मोजा.
उपाय
हे कार्य सर्व x मूल्यांसाठी परिभाषित केले आहे. 3 आणि 3 च्या बरोबरीच्या युक्तिवादाच्या मूल्यांसह सातत्य राखण्यासाठी त्याचे विश्लेषण करूया:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = लिम x → - 3 (1) = - 1 ⇒ लिम x → - 3 - 0 f (x) ≠ लिम x → - 3 + 0 f (x)
आमच्याकडे वितर्क - 3 च्या मूल्यासह पहिल्या प्रकारची एक अप्राप्य खंडितता आहे. जसजसे तुम्ही त्याच्याकडे जाल तसतसे फंक्शनची व्हॅल्यूज - 2 sin 3 2 - 4 कडे झुकतात आणि x उजवीकडे - 3 कडे झुकतात, व्हॅल्यू - 1 कडे झुकतात.
लिम x → 3 - 0 f(x) = लिम x → 3 - 0 (- 1) = 1 लिम x → 3 + 0 f(x) = लिम x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
आमच्याकडे बिंदू 3 वर दुसर्‍या प्रकारची एक न काढता येणारी विसंगती आहे. जेव्हा फंक्शन त्याच्याकडे झुकते तेव्हा त्याची मूल्ये - 1 जवळ येतात, तर उजवीकडील त्याच बिंदूकडे - अनंततेकडे झुकतात.
याचा अर्थ असा की या फंक्शनच्या व्याख्येचे संपूर्ण क्षेत्र 3 अंतरांमध्ये विभागलेले आहे (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .
त्यापैकी पहिल्यावर, आम्हाला y \u003d 2 sin x 2 - 4 फंक्शन मिळाले. पासून - 1 ≤ sin x ≤ 1, आम्हाला मिळते:
1 ≤ पाप x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
याचा अर्थ या मध्यांतरावर (- ∞ ; - 3 ] फंक्शनच्या मूल्यांचा संच [ - 6 ; 2 ] आहे.
अर्ध-मांतरावर (- 3 ; 3 ] आपल्याला स्थिर फंक्शन y = - 1 मिळेल. परिणामी, या प्रकरणात त्याच्या मूल्यांचा संपूर्ण संच एक संख्या - 1 वर कमी होईल.
दुसऱ्या मध्यांतरावर 3 ; + ∞ आपल्याकडे y = 1 x - 3 फंक्शन आहे. ते कमी होत आहे कारण y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
लिम x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ लिम x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
म्हणून, x > 3 साठी मूळ फंक्शनच्या मूल्यांचा संच 0 आहे; +∞ आता परिणाम एकत्र करूया: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞
उत्तर: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞
उपाय आलेखामध्ये दर्शविले आहे:
उदाहरण 12
अट: एक फंक्शन आहे y = x 2 - 3 e x . त्याच्या मूल्यांचा संच निश्चित करा.
उपाय
हे सर्व वितर्क मूल्यांसाठी परिभाषित केले आहे जे वास्तविक संख्या आहेत. हे कार्य कोणत्या अंतराने वाढेल आणि कोणत्या मध्ये ते कमी होईल हे ठरवूया:
y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
आपल्याला माहित आहे की x = - 1 आणि x = 3 असल्यास व्युत्पन्न 0 होईल. आम्ही हे दोन बिंदू अक्षावर ठेवतो आणि परिणामी मध्यांतरांवर व्युत्पन्नाची कोणती चिन्हे असतील ते शोधतो.
फंक्शन (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) ने कमी होईल आणि [ - 1 ; 3]. किमान बिंदू असेल - 1 , कमाल - 3 .
आता संबंधित फंक्शन व्हॅल्यूज शोधूया:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
अनंतात फंक्शनचे वर्तन पाहू:
लिम x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ लिम x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = लिम x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = लिम x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = लिम x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 लिम x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
दुसरी मर्यादा मोजण्यासाठी, L'Hopital चा नियम वापरला गेला. चला आपले समाधान आलेखावर प्लॉट करू.
हे दर्शविते की जेव्हा वितर्क मायनस इन्फिनिटी वरून - 1 वर बदलतो तेव्हा फंक्शनची मूल्ये प्लस अनंत वरून - 2 e पर्यंत कमी होतील. जर ते 3 ते अधिक अनंतात बदलले, तर मूल्ये 6 e - 3 वरून 0 पर्यंत कमी होतील, परंतु 0 पर्यंत पोहोचणार नाही.
अशा प्रकारे, E (y) = [ - 2 e ; +∞).
उत्तर: E (y) = [ - 2 e ; +∞)
तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा
फंक्शनची संकल्पना आणि त्याच्याशी जोडलेली प्रत्येक गोष्ट पारंपारिकपणे जटिल आहे, पूर्णपणे समजलेली नाही. फंक्शनचा अभ्यास आणि परीक्षेच्या तयारीमध्ये एक विशेष अडथळे म्हणजे परिभाषाचे क्षेत्र आणि कार्याच्या मूल्यांची श्रेणी (बदल).
बर्‍याचदा, विद्यार्थ्यांना फंक्शनचे डोमेन आणि त्याच्या व्हॅल्यूजच्या डोमेनमधील फरक दिसत नाही.
आणि जर विद्यार्थी फंक्शनच्या परिभाषाचे डोमेन शोधण्याच्या कार्यात प्रभुत्व मिळवतात, तर फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधण्याच्या कार्यांमुळे त्यांना मोठ्या अडचणी येतात.
या लेखाचा उद्देशः फंक्शनची मूल्ये शोधण्याच्या पद्धतींशी परिचित होणे.
या विषयाच्या विचाराच्या परिणामी, सैद्धांतिक सामग्रीचा अभ्यास केला गेला, कार्य मूल्यांचे संच शोधण्यासाठी समस्या सोडवण्याच्या पद्धतींचा विचार केला गेला, विद्यार्थ्यांच्या स्वतंत्र कार्यासाठी उपदेशात्मक सामग्री निवडली गेली.
हा लेख शिक्षक विद्यार्थ्यांना अंतिम आणि प्रवेश परीक्षांसाठी तयार करताना, गणिताच्या वैकल्पिक अभ्यासक्रमांमधील पर्यायी वर्गांमध्ये “कार्यक्षेत्राची व्याप्ती” या विषयाचा अभ्यास करताना वापरू शकतो.
I. फंक्शनची व्याप्ती निश्चित करणे.
y = f(x) फंक्शनच्या E(y) मूल्यांचे क्षेत्रफळ (संच) y 0 अशा संख्यांचा संच आहे, ज्यापैकी प्रत्येकासाठी x 0 अशी संख्या आहे की: f(x 0) = y 0 .
मुख्य प्राथमिक फंक्शन्सच्या रेंज आठवूया.
एका टेबलचा विचार करा.
| कार्य | अनेक मूल्ये |
| y = kx + b | E(y) = (-∞;+∞) |
| y=x2n | E(y) = |
| y = cos x | E(y) = [-1;1] |
| y = tg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = ctg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcsin x | E(y) = [-π/2 ; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = आर्कटान x | E(y) = (-π/2; π/2) |
| y = arcctg x | E(y) = (0; π) |
हे देखील लक्षात घ्या की सम डिग्रीच्या कोणत्याही बहुपदीची श्रेणी मध्यांतर आहे, जिथे n हे या बहुपदीचे सर्वात मोठे मूल्य आहे.
II. फंक्शनची श्रेणी शोधण्यासाठी वापरलेले फंक्शन गुणधर्म
फंक्शनच्या मूल्यांचा संच यशस्वीरित्या शोधण्यासाठी, एखाद्याला मूलभूत प्राथमिक फंक्शन्सच्या गुणधर्मांचे चांगले ज्ञान असणे आवश्यक आहे, विशेषत: त्यांच्या परिभाषाचे डोमेन, मूल्यांच्या श्रेणी आणि मोनोटोनिसिटीचे स्वरूप. आपण सतत, मोनोटोन डिफरेंशिएबल फंक्शन्सचे गुणधर्म सादर करूया, जे बहुतेक वेळा फंक्शन्सच्या व्हॅल्यूजचा सेट शोधण्यासाठी वापरले जातात.
गुणधर्म 2 आणि 3 सामान्यतः प्राथमिक कार्याच्या गुणधर्मासह त्याच्या डोमेनमध्ये सतत वापरल्या जातात. या प्रकरणात, फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधण्याच्या समस्येचा सर्वात सोपा आणि सर्वात लहान उपाय गुणधर्म 1 च्या आधारावर प्राप्त केला जातो, जर सोप्या पद्धतींचा वापर करून फंक्शनची मोनोटोनिसिटी निर्धारित करणे शक्य असेल. फंक्शन, व्यतिरिक्त, सम किंवा विषम, नियतकालिक इ. असल्यास समस्येचे निराकरण आणखी सोपे केले जाते. अशा प्रकारे, फंक्शन व्हॅल्यूजचे संच शोधण्याच्या समस्या सोडवताना, फंक्शनचे खालील गुणधर्म तपासले पाहिजेत आणि आवश्यकतेनुसार वापरले पाहिजेत:
- सातत्य
- मोनोटोन;
- भिन्नता;
- सम, विषम, नियतकालिक इ.
फंक्शन व्हॅल्यूचा संच शोधण्यासाठी सोपी कार्ये मुख्यतः अभिमुख असतात:
अ) सर्वात सोप्या अंदाज आणि निर्बंधांचा वापर: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, इ.);
b) पूर्ण वर्ग निवडण्यासाठी: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;
c) त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तींच्या परिवर्तनासाठी: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;
d) फंक्शनची मोनोटोनिसिटी x 1/3 + 2 x-1 वापरून R ने वाढते.
III. फंक्शन्सच्या श्रेणी शोधण्याचे मार्ग विचारात घ्या.
अ) जटिल फंक्शन वितर्कांच्या मूल्यांचा अनुक्रमिक शोध;
ब) मूल्यांकन पद्धत;
c) फंक्शनची सातत्य आणि मोनोटोनिसिटीचे गुणधर्म वापरणे;
ड) डेरिव्हेटिव्हचा वापर;
e) फंक्शनच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यांचा वापर;
f) ग्राफिकल पद्धत;
g) पॅरामीटर परिचय पद्धत;
h) व्यस्त कार्य पद्धत.
आम्ही विशिष्ट उदाहरणांवर या पद्धतींचे सार प्रकट करू.
उदाहरण 1: श्रेणी शोधा E(y)फंक्शन्स y = लॉग 0.5 (4 - 2 3 x - 9 x).
जटिल फंक्शन आर्ग्युमेंट्सची मूल्ये क्रमशः शोधून हे उदाहरण सोडवू. लॉगरिदम अंतर्गत पूर्ण चौरस निवडल्यानंतर, आम्ही फंक्शनचे रूपांतर करतो
y = लॉग 0.5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = लॉग 0.5 (5 - (3 x + 1) 2)
आणि क्रमशः त्याच्या जटिल वितर्कांच्या मूल्यांचे संच शोधा:
E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)
सूचित करा ट= 5 – (3 x +1) 2 , जेथे -∞≤ t≤4. अशाप्रकारे, किरणांवर y = log 0.5 t फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधण्यात समस्या कमी होते. (-∞;4) . फंक्शन y = log 0.5 t फक्त येथे परिभाषित केले असल्याने, किरण (-∞;4) वरील त्याच्या मूल्यांचा संच मध्यांतर (0;4) वरील कार्य मूल्यांच्या संचाशी एकरूप होतो, जे लॉगरिदमिक फंक्शनच्या परिभाषा (0;+∞) डोमेनसह किरण (-∞;4) चे छेदनबिंदू. मध्यांतरावर (0;4) हे कार्य सतत आणि कमी होत आहे. येथे ट> 0, ते +∞ कडे झुकते आणि कधी t = 4 हे मूल्य -2 घेते, म्हणून E(y) =(-2, +∞).
उदाहरण 2: फंक्शनची श्रेणी शोधा
y = cos7x + 5cosx
आम्ही हे उदाहरण अंदाजांच्या पद्धतीद्वारे सोडवू, ज्याचा सार खालील आणि वरून सतत फंक्शनचा अंदाज लावणे आणि फंक्शन अंदाजांच्या खालच्या आणि वरच्या सीमेपर्यंत पोहोचते हे सिद्ध करणे आहे. या प्रकरणात, अंदाजाच्या खालच्या सीमेपासून वरच्या भागापर्यंतच्या मध्यांतरासह फंक्शनच्या मूल्यांच्या संचाचा योगायोग फंक्शनच्या सातत्य आणि त्यासाठी इतर मूल्यांच्या अनुपस्थितीद्वारे निर्धारित केला जातो.
असमानता -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 वरून आम्हाला -6≤y?6 अंदाज येतो. x = p आणि x = 0 साठी, फंक्शन -6 आणि 6 मूल्ये घेते, म्हणजे. खालच्या आणि वरच्या सीमांवर पोहोचते. सतत फंक्शन्स cos7x आणि cosx चे एक रेषीय संयोजन म्हणून, फंक्शन y संपूर्ण संख्या अक्षाच्या बाजूने सतत असते, म्हणून, सतत फंक्शनच्या गुणधर्मानुसार, ते -6 ते 6 पर्यंतची सर्व मूल्ये घेते आणि फक्त त्यांना, पासून , असमानता -6≤y?6, इतर मूल्यांमुळे ती अशक्य आहे. परिणामी, E(y)= [-6;6].
उदाहरण 3: श्रेणी शोधा E(f)कार्ये f(x)= cos2x + 2cosx.
दुहेरी कोन कोसाइन सूत्र वापरून, आपण फंक्शनचे रूपांतर करतो f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 आणि दर्शवा ट= cosx. मग f(x)= 2t 2 + 2t – 1. पासून E(cosx) =
[-1;1], नंतर फंक्शनची श्रेणी f(x)फंक्शन g च्या मूल्यांच्या संचाशी एकरूप आहे (ट)\u003d 2t 2 + 2t - 1 विभागावर [-1; 1], जे आपण ग्राफिकल पद्धतीने शोधू. मध्यांतर [-1; 1] वर y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0.5) 2 - 1.5 फंक्शन प्लॉट केल्यावर, आम्हाला आढळते E(f) = [-1,5; 3].
टीप - पॅरामीटरच्या अनेक समस्या फंक्शनच्या मूल्यांचा संच शोधण्यात कमी केल्या जातात, मुख्यतः सोडविण्याची क्षमता आणि समीकरण आणि असमानतेच्या समाधानांच्या संख्येशी संबंधित. उदाहरणार्थ, समीकरण f(x)= a जर आणि फक्त तरच सोडवता येण्याजोगा आहे
aE(f)असेच समीकरण f(x)= a मध्ये काही अंतराल X वर कमीत कमी एक रूट आहे, किंवा या मध्यांतरावर कोणतेही रूट नाही जर आणि फक्त फंक्शनच्या मूल्यांच्या संचाशी संबंधित असेल किंवा नसेल तर f(x)अंतराल X वर. आम्ही फंक्शनच्या मूल्यांचा संच आणि असमानता वापरून देखील अभ्यास करतो f(x)≠एक f(x)>एक इ. विशेषतः, f(x)≠आणि x च्या सर्व स्वीकार्य मूल्यांसाठी, जर एक E(f)
उदाहरण 4. पॅरामीटर a च्या कोणत्या मूल्यांसाठी, समीकरण (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) खंडावर एकच मूळ आहे [-4;-1].
चला समीकरण (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a या स्वरूपात लिहू. शेवटच्या समीकरणामध्ये सेगमेंटवर किमान एक रूट आहे [-4;-1] जर आणि फक्त जर ए फंक्शनच्या मूल्यांच्या संचाशी संबंधित असेल तर f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) विभागावर [-4;-1]. फंक्शनच्या सातत्य आणि मोनोटोनिसिटीचा गुणधर्म वापरून हा संच शोधू.
खंड [-4;-1] वर फंक्शन y = xІ + 4 हे सतत, कमी होत जाणारे आणि धनात्मक असते, म्हणून फंक्शन g(x) = 1/(x 2 + 4) सतत आहे आणि या विभागावर वाढते, कारण जेव्हा सकारात्मक कार्याने विभाजित केले जाते, तेव्हा फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचे स्वरूप उलट बदलते. कार्य h(x) =(x + 5) 1/2 त्याच्या डोमेनमध्ये सतत आणि वाढत आहे D(h) =[-5;+∞) आणि, विशेषतः, मध्यांतर [-4;-1] वर, जेथे ते देखील सकारात्मक आहे. मग फंक्शन f(x)=g(x) h(x), दोन सतत, वाढत्या आणि सकारात्मक कार्यांचे उत्पादन म्हणून, हे देखील सतत असते आणि सेगमेंट [-4;-1] वर वाढते, म्हणून [-4;-1] वरील त्याच्या मूल्यांचा संच हा विभाग आहे [-4;-1] f(-4); f(-1)] = म्हणून, समीकरणाचे मध्यांतर [-4;-1] वर समाधान आहे, आणि 0.05 ≤ a ≤ 0.4 साठी फक्त एक (सतत मोनोटोन फंक्शनच्या गुणधर्मानुसार).
टिप्पणी. समीकरणाची निराकरणक्षमता f(x) = aकाही अंतरावर X हे पॅरामीटरच्या मूल्यांच्या समतुल्य आहे aकार्य मूल्यांचा संच f(x) X वर. म्हणून, फंक्शनच्या मूल्यांचा संच f(x)मध्यांतरावर X पॅरामीटर मूल्यांच्या संचाशी एकरूप होतो a, ज्यासाठी समीकरण f(x) = aअंतराल X वर किमान एक रूट आहे. विशेषतः, मूल्यांची श्रेणी E(f)कार्ये f(x)पॅरामीटर मूल्यांच्या संचाशी जुळते a, ज्यासाठी समीकरण f(x) = aकिमान एक रूट आहे.
उदाहरण 5: श्रेणी शोधा E(f)कार्ये
एक पॅरामीटर सादर करून उदाहरण सोडवू या, त्यानुसार E(f)पॅरामीटर मूल्यांच्या संचाशी जुळते a, ज्यासाठी समीकरण
किमान एक रूट आहे.
जेव्हा a=2, समीकरण रेखीय असते - 4x - 5 = 0 अज्ञात x साठी शून्य नसलेल्या गुणांकासह, म्हणून त्याला एक उपाय आहे. a≠2 साठी, समीकरण चतुर्भुज आहे, म्हणून ते सोडवता येण्याजोगे आहे जर आणि फक्त त्याचा भेदभाव असेल तर
बिंदू a = 2 विभागातील असल्याने
नंतर पॅरामीटर मूल्यांचा इच्छित संच एकम्हणून मूल्यांची श्रेणी E(f)संपूर्ण विभाग असेल.
फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचा संच शोधताना पॅरामीटर सादर करण्याच्या पद्धतीचा थेट विकास म्हणून, x साठी समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे हे शोधण्यासाठी आपण व्यस्त फंक्शनच्या पद्धतीचा विचार करू शकतो. f(x)=y, पॅरामीटर म्हणून y विचारात घ्या. जर या समीकरणाला एक अनोखा उपाय असेल x=g(y), नंतर श्रेणी E(f)मूळ कार्य f(x)व्याख्येच्या डोमेनशी जुळते D(g)व्यस्त कार्य g(y). जर समीकरण f(x)=yअनेक उपाय आहेत x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y)इत्यादी, नंतर E(f)फंक्शन व्याख्यांच्या व्याप्तीच्या युनियनच्या समान आहे g 1 (y), g 2 (y)इ.
उदाहरण 6: श्रेणी शोधा E(y)फंक्शन्स y = 5 2/(1-3x).
समीकरणातून
व्यस्त कार्य x = लॉग 3 (लॉग 5 y – 2)/(लॉग 5 y)) आणि त्याचे डोमेन शोधा D(x):
कारण x साठी समीकरण एक अद्वितीय समाधान आहे
E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ )
जर एखाद्या फंक्शनच्या डोमेनमध्ये अनेक इंटरव्हल्स असतील किंवा वेगवेगळ्या इंटरव्हलवरील फंक्शन वेगवेगळ्या सूत्रांद्वारे दिलेले असेल, तर फंक्शनचे डोमेन शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रत्येक इंटरव्हलवर फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचे संच शोधावे लागतील. संघ
उदाहरण 7: श्रेणी शोधा f(x)आणि f(f(x)), कुठे
f(x)किरण (-∞;1] वर, जेथे ते 4 x + 9 4 -x + 3 या अभिव्यक्तीशी एकरूप होते. t = 4 x. मग f(x) = t + 9/t + 3, जेथे 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)किरणांवर (-∞;1] फंक्शनच्या मूल्यांच्या संचाशी एकरूप होतो g(t) = t + 9/t + 3, मध्यांतरावर (0;4], जे आपण व्युत्पन्न वापरून शोधतो g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. मध्यांतरावर (0;4] व्युत्पन्न g'(t)येथे परिभाषित केले आहे आणि तेथे अदृश्य होते t=3. 0 वाजता<ट<3 она отрицательна, а при 3<ट<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)कमी होते, आणि मध्यांतरात (3;4) ते वाढते, संपूर्ण मध्यांतर (0;4) वर सतत राहते, त्यामुळे g (3)= 9 - मध्यांतरावरील या फंक्शनचे सर्वात लहान मूल्य (0; 4], त्याचे सर्वात मोठे मूल्य अस्तित्वात नसताना, तेव्हा t→0योग्य कार्य g(t)→+∞.त्यानंतर, सतत फंक्शनच्या गुणधर्माद्वारे, फंक्शनच्या मूल्यांचा संच g(t)मध्यांतरावर (0;4], आणि म्हणून मूल्यांचा संच f(x)(-∞;-1] वर, एक किरण असेल.
आता, अंतराल एकत्र करून - फंक्शन व्हॅल्यूजचे संच f(f(x)), सूचित करा t = f(x). मग f(f(x)) = f(t), कुठे टकार्य f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 आणि ते पुन्हा 5 ते 9 पर्यंत सर्व मूल्ये घेते, उदा. श्रेणी E(fІ) = E(f(f(x))) =.
त्याचप्रमाणे, सूचित करणे z = f(f(x)), आपण श्रेणी शोधू शकता E(f3)कार्ये f(f(f(x))) = f(z), जेथे 5 ≤ z ≤ 9, इ. याची खात्री करा E(f 3) = .
फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच शोधण्याची सर्वात सार्वत्रिक पद्धत म्हणजे दिलेल्या अंतराने फंक्शनची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान व्हॅल्यू वापरणे.
उदाहरण 8. पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यांसाठी आरअसमानता 8 x - p ≠ 2x+1 – 2xसर्वांसाठी धरून ठेवते -1 ≤ x< 2.
सूचित करणे t = 2 x, आम्ही असमानता म्हणून लिहितो p ≠ t 3 - 2t 2 + t. कारण t = 2 xवर सतत वाढणारे कार्य आहे आर,नंतर -1 ≤ x साठी< 2 переменная
2 -1 ≤ टी<2 2 ↔
0.5 ≤ टी< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда आरकार्य मूल्यांपेक्षा भिन्न f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t 0.5 ≤ t वर< 4.
प्रथम फंक्शनच्या व्हॅल्यूजचा संच शोधू f(t)मध्यांतरावर जेथे त्याचे सर्वत्र व्युत्पन्न आहे f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. परिणामी, f(t)वेगळे करण्यायोग्य आहे, आणि म्हणून सेगमेंटवर सतत आहे. समीकरणातून f'(t) = 0फंक्शनचे महत्त्वपूर्ण मुद्दे शोधा t=1/3, t=1,त्यापैकी पहिला विभागाचा नाही आणि दुसरा त्याचा आहे. कारण f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,नंतर, भिन्नता असलेल्या फंक्शनच्या गुणधर्मानुसार, 0 हे सर्वात लहान आहे आणि 36 हे फंक्शनचे सर्वात मोठे मूल्य आहे f(t)विभागावर. मग f(t),सतत फंक्शन म्हणून, 0 ते 36 पर्यंतची सर्व मूल्ये सेगमेंटवर घेते, आणि मूल्य 36 तेव्हाच घेते जेव्हा t=4, म्हणून 0.5 ≤ t साठी< 4, она принимает все значения из промежутка
ई( y) = (– ∞, + ∞)
ई( y) = (– ∞, + ∞)
ई( y) = (– ∞, + ∞)
ई( y) = (0, + ∞)
या ज्ञानाचा वापर करून आपण ब्लॅकबोर्डवर लिहिलेल्या फंक्शन्सच्या व्हॅल्यूजचा संच त्वरित शोधू शकतो का? (टेबल 2 पहा).
या प्रश्नाचे उत्तर देण्यास काय मदत करू शकते? (या फंक्शन्सचे आलेख).
पहिले फंक्शन कसे प्लॉट करायचे? (पॅराबोला 4 युनिट खाली करा).
= | cos(x + /4) | 
– 1 =
– 1.
, म्हणजे E (y) = .
,
, 8].
ते आहे एक्सपहिल्या तिमाहीशी संबंधित आहे.
पासून सर्व मूल्ये घेते 
आधी 
.
. ने गुणाकार केल्यावर 
हा विभाग सेगमेंटमध्ये जाईल 
.
.
आम्हाला मिळते 
.
.
.
आधी 
युक्तिवाद 2 एक्सपासून वाढते 
आधी 
. अशा मध्यांतरावरील साइन वाढत असल्याने, कार्य 
1 पर्यंत.
युक्तिवाद 2 एक्सपासून वाढते 
. अशा मध्यांतरावर साइन कमी होत असल्याने, कार्य 
1 पर्यंत.
.
आणि 
, म्हणजे, विभाग 
= 
= 25.
) = 25 () =
), जेथे cos 
sin (2x + 
) आणि, a > 0 असल्यास, या किरणांवर नीरसपणे वाढते.
.