त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती.

त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या सोल्युशनमध्ये दोन टप्पे असतात: समीकरण परिवर्तनते सोपे करण्यासाठीप्रकार (वर पहा) आणि उपायसर्वात सोपा प्राप्त त्रिकोणमितीय समीकरण.सात आहेत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धती.

1. बीजगणित पद्धत.

(व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत).

2. घटकीकरण.

उदाहरण 1. समीकरण सोडवा:पाप x+ cos x = 1 .

उपाय. समीकरणाच्या सर्व अटी डावीकडे हलवा:

पाप x+ cos x – 1 = 0 ,

मधील अभिव्यक्तीचे रूपांतर आणि घटक करूया

समीकरणाची डावी बाजू:

उदाहरण 2. समीकरण सोडवा:कारण 2 x+ पाप xकारण x = 1.

समाधान cos 2 x+ पाप xकारण x– पाप 2 x- कारण 2 x = 0 ,

पाप xकारण x– पाप 2 x = 0 ,

पाप x(कारण x– पाप x ) = 0 ,

उदाहरण 3. समीकरण सोडवा: cos 2 x- कारण 8 x+ कारण 6 x = 1.

समाधान cos 2 x+ कारण 6 x= 1 + cos8 x,

२ कारण ४ x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

कारण 4 x · (कारण २ x- कारण 4 x) = 0 ,

कारण 4 x 2 पाप 3 xपाप x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). पाप 3 x= ०, ३). पाप x = 0 ,

3. आणणे एकसमान समीकरण. समीकरण म्हणतात पासून एकसंध तुलनेने पापआणि कारण , तर ते सर्व च्या संदर्भात समान पदवीच्या अटी पापआणि कारणसमान कोन. एकसंध समीकरण सोडविण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे: ए) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हलवा; b) सर्व सामान्य घटक कंसाच्या बाहेर ठेवा; व्ही) सर्व घटक आणि कंस शून्यावर समान करा; जी) कंस झिरो वर सेट केला आहे कमी पदवीचे एकसंध समीकरण, ज्याने भागले पाहिजे कारण(किंवा पाप) वरिष्ठ पदवी मध्ये; d) च्या संदर्भात परिणामी बीजगणितीय समीकरण सोडवाटॅन . पाप 2 x+ 4 पाप xकारण x+ 5 cos 2 x = 2. उपाय: 3sin 2 x+ 4 पाप xकारण x+ 5 cos 2 x= 2 पाप 2 x+ 2 cos 2 x , पाप 2 x+ 4 पाप xकारण x+ ३ कारण २ x = 0 , टॅन २ x+ 4tan x + 3 = 0 , येथून y 2 + 4y +3 = 0 , या समीकरणाची मुळे आहेत:y 1 = - 1, y 2 = - 3, म्हणून 1) टॅन x= –1, 2) टॅन x = –3,

4. अर्ध्या कोपर्यात संक्रमण.

उदाहरणासह ही पद्धत पाहू:

उदाहरण समीकरण सोडवा: ३पाप x- 5cos x = 7.

उपाय: 6 पाप ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ २) – ६ पाप ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ २) – ३ टॅन ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. सहायक कोनाचा परिचय.

फॉर्मचे समीकरण विचारात घ्या:

aपाप x + bकारण x = c ,

कुठे a, b, c- गुणांक;x- अज्ञात.

आता समीकरणाच्या गुणांकांमध्ये साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म आहेत, म्हणजे: प्रत्येकाचे मॉड्यूल (निरपेक्ष मूल्य). ज्यापैकी 1 पेक्षा जास्त नाही आणि त्यांच्या वर्गांची बेरीज 1 आहे. मग एक नियुक्त करू शकता त्यांना अनुक्रमे कसे cos आणि sin (येथे - तथाकथित सहायक कोन), आणिआमचे समीकरण आहे

त्रिकोणमितीय समीकरणे

सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण

पदवी आणि रेडियन

त्रिकोणमितीय वर्तुळाचा परिचय

त्रिकोणमितीय वर्तुळावर फिरणे

त्रिकोणमिती या शब्दाशी किती वेदनांचा संबंध आहे. हा विषय 9 व्या वर्गात दिसतो आणि तो कुठेही गायब झालेला नाही. ज्यांना लगेच काही समजत नाही त्यांच्यासाठी हे कठीण आहे. त्रिकोणमिती या शब्दावर हसून तुमचा चेहरा उजळण्यासाठी किंवा किमान "पोकर फेस" मिळवण्यासाठी याचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न करूया.

सुरूवातीस, ज्याप्रमाणे लांबी मीटर किंवा मैलांमध्ये व्यक्त केली जाऊ शकते, तसेच कोन रेडियन किंवा अंशांमध्ये व्यक्त केला जाऊ शकतो.

1 रेडियन = 180/π ≈ 57.3 अंश

परंतु पूर्णांक लक्षात ठेवणे सोपे आहे: 3.14 रेडियन = 180 अंश.हे सर्व π या संख्येचे समान मूल्य आहेत.

लक्षात ठेवा की जर आम्हाला वळायला सांगितले तर आम्हाला 180 अंश वळवावे लागेल आणि आता आम्ही असेही म्हणू शकतो: π वळा!

साइन, कोसाइन आणि टेंजच्या आलेखांबद्दल आपण दुसर्‍या लेखात बोलू.

आणि आता कार्टेशियन (आयताकृती) समन्वय प्रणालीसह प्रारंभ करूया.

पूर्वी, तिने आलेख तयार करण्यास मदत केली आणि आता ती साइन आणि कोसाइनमध्ये मदत करेल.

X-अक्ष आणि Y-अक्षाच्या छेदनबिंदूवर, आपण एक एकक (त्रिज्या 1 आहे) वर्तुळ तयार करतो:

मग कोसाइन अक्ष x सह, साइन अक्ष y सह एकरूप होईल. स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंट्सची अक्ष देखील आकृतीमध्ये दर्शविली आहेत.

आणि आता आपण वर्तुळावरील अंश आणि रेडियनची मुख्य मूल्ये लक्षात घेतो.

चला प्रौढांप्रमाणे आम्ही तुमच्याशी सहमत होऊ:वर्तुळावर, आपण कोन रेडियनमध्ये चिन्हांकित करू, म्हणजेच Pi द्वारे.

हे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे की π = 180°(नंतर π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

आता मंडळांमध्ये फिरूया! अहवालाच्या सुरूवातीस वर्तुळाचा सर्वात उजवा बिंदू (जेथे 0 °) घेण्याची प्रथा आहे:

त्यातून आम्ही आणखी एक वळण सेट केले. आपण सकारात्मक दिशेने (घड्याळाच्या उलट दिशेने) आणि नकारात्मक दिशेने (घड्याळाच्या दिशेने) दोन्ही फिरवू शकतो.

45° वळण्याचे दोन मार्ग आहेत: डाव्या खांद्यावरून 45° (+) बाजूला, किंवा उजव्या खांद्यावर 315° कडे (-).

मुख्य म्हणजे आपण कोनात नाही तर कुठे पाहणार आहोत ही दिशा!

ठिपके असलेली रेषा 100 बिंदूंकडे निर्देशित करणे आवश्यक आहे आणि आपण स्वतःभोवती किती क्रांती आणि कोणत्या दिशेने जाऊ - काही फरक पडत नाही!

तुम्ही 135° किंवा 360°+135°, किंवा -225°, किंवा -225°-360°... वळवून 100 गुण मिळवू शकता.

आणि आता तुमच्याकडे दोन मार्ग आहेत:

संपूर्ण वर्तुळ (त्रिकोनोमीटर) जाणून घ्या. आपल्या स्मरणशक्तीसह सर्वकाही ठीक असल्यास एक चांगला पर्याय, आणि निर्णायक क्षणी आपल्या डोक्यातून काहीही उडणार नाही:

आणि आपण टेबलचे अनेक कोपरे आणि त्यांची संबंधित मूल्ये लक्षात ठेवू शकता आणि नंतर त्यांचा वापर करू शकता.

त्रिकोणमितीय वर्तुळावर समान कोन (अनुलंब, संबंधित) शोधा. दोन सारणी मूल्यांची बेरीज किंवा फरक वापरून तुम्ही कोणत्याही बिंदूवर पोहोचू शकता.

ते एका उदाहरणाने समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया:

उदाहरण #1. cos(x) = ½

1) लक्षात ठेवा cos(x) अक्ष हा क्षैतिज अक्ष आहे. आम्ही त्यावर ½ मूल्य चिन्हांकित करतो आणि वर्तुळासह छेदनबिंदूंना लंब (जांभळा) सरळ रेषा काढतो.

2) वर्तुळासह छेदनबिंदूचे दोन बिंदू मिळाले, या कोनांचे मूल्य हे समीकरणाचे निराकरण होईल.

मुद्दा लहान आहे - हे कोपरे शोधण्यासाठी.

"थोडे रक्त" घेऊन जाणे आणि 30 ° ते 60 ° या कोनांसाठी साइन आणि कोसाइनचे मूल्य जाणून घेणे चांगले आहे.

किंवा ही युक्ती लक्षात ठेवा:

पिंकीपासून अंगठ्यापर्यंत तुमच्या बोटांची संख्या 0 ते 4 करा. कोन करंगळी आणि इतर कोणत्याही बोटाच्या दरम्यान सेट केला जातो (0 ते 90 पर्यंत).

उदाहरणार्थ, पाप शोधणे आवश्यक आहे (π/2): π / 2 हा अंगठा आहे, n = 4 हे साइनच्या सूत्रामध्ये बदलले आहे: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) - ? π/4 मधल्या बोटाशी संबंधित आहे (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

सारणीतील cos (x) = ½ या मूल्यासह किंवा निमोनिक नियम वापरून, आपल्याला x = 60 ° (पहिला बिंदू x = + π / 3 कारण घड्याळाच्या उलट दिशेने (+) होता या वस्तुस्थितीमुळे सापडतो, कोन आहे काळ्या कमानीने दाखवले आहे).

दुसरा बिंदू अगदी त्याच कोनाशी संबंधित आहे, फक्त रोटेशन घड्याळाच्या दिशेने (-) असेल. x = −π/3 (कोन खालच्या काळ्या कमानीने दर्शविला आहे).

आणि शेवटचे, त्रिकोणमितीचे गुप्त ज्ञान शोधण्यापूर्वी:

जेव्हा "100 पॉइंट्स" मारणे आवश्यक असते, तेव्हा आम्ही त्यांना...=-225°=135°=495°=... कडे वळवून मारू शकतो.

इथेही तेच! भिन्न कोन समान दिशा दर्शवू शकतात.

तुम्ही नक्की म्हणू शकता की तुम्हाला आवश्यक कोनाकडे वळण्याची गरज आहे आणि नंतर तुम्ही 360 ° = 2π (निळ्या रंगात) तुम्हाला पाहिजे तितक्या वेळा आणि कोणत्याही दिशेने वळू शकता.

अशा प्रकारे, तुम्ही पहिल्या दिशेने 60°: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

आणि बाकीचे कोन कसे लिहायचे, असंख्य गुण लिहायचे नाहीत? (मी ते पाहू शकले असते ☻)

म्हणून, उत्तर लिहिणे योग्य आहे: x = 60 + 360n, जेथे n पूर्णांक आहे (n∈Ζ) (आम्ही 60 अंश वळतो, आणि नंतर आपल्याला पाहिजे तितक्या वेळा वर्तुळ करतो, मुख्य गोष्ट म्हणजे दिशा तसेच राहते). त्याचप्रमाणे, x = −60 + 360n.

परंतु आम्ही सहमत झालो की वर्तुळावरील सर्व काही π द्वारे लिहिलेले आहे, म्हणून cos(x) = ½ साठी x=π/3 + 2πn, n∈Z आणि x = −π/3 + 2πk, k∈Z.

उत्तर: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Z.

उदाहरण # 2. 2sinx = √2

पहिली गोष्ट म्हणजे 2 उजवीकडे हलवा => sinx=√2/2

1) sin(x) Y अक्षाशी एकरूप होतो. sin(x) अक्षावर, √2/2 चिन्हांकित करा आणि ⊥ काढा वर्तुळासह छेदनबिंदूपर्यंत जांभळी सरळ रेषा.

2) टेबलवरून sinx = √2/2 x = π/4 वर, आणि आपण π कडे वळून दुसरा बिंदू शोधू, आणि नंतर आपल्याला π/4 वर परत जावे लागेल.

म्हणून, दुसरा बिंदू x = π − π/4 = 3π/4 असेल, तो लाल बाणांच्या मदतीने किंवा इतर मार्गाने देखील पोहोचू शकतो.

आणि +2πn, n∈Ζ जोडण्यास विसरू नका.

उत्तर: 3π/4 + 2πn आणि π/4 + 2πk, k आणि n हे कोणतेही पूर्णांक आहेत.

उदाहरण #3. tg(x + π/4) = √3

सर्व काही बरोबर असल्याचे दिसते, स्पर्शिका संख्येइतकी आहे, परंतु स्पर्शिकेतील pi / 4 गोंधळात टाकते. मग आपण प्रतिस्थापन करतो: y = x + π/4.

tg(y) = √3 आता इतके वाईट दिसत नाही. स्पर्शिकेचा अक्ष कुठे आहे ते लक्षात ठेवूया.

1) आणि आता स्पर्शिकेच्या अक्षावर आपण √3 हे मूल्य लक्षात घेतो, जे 1 पेक्षा जास्त आहे.

2) मूल्य √3 आणि मूळ द्वारे एक जांभळी रेषा काढा. पुन्हा, वर्तुळाच्या छेदनबिंदूवर, 2 गुण प्राप्त होतात.

निमोनिक नियमानुसार, √3 च्या स्पर्शिकेसह, पहिले मूल्य π/3 आहे.

३) दुसऱ्या बिंदूवर जाण्यासाठी, तुम्ही पहिल्या बिंदूला (π/3) π => y = π/3 + π = 4π/3 जोडू शकता.

4) पण आम्हाला फक्त y सापडला, x वर परत. y = π/3 + 2πn आणि y = x + π/4, नंतर x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Z.

दुसरे मूळ: y = 4π/3 + 2πk आणि y = x + π/4, नंतर x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

आता वर्तुळावरील मुळे येथे असतील:

उत्तर: π/12 + 2πn आणि 13π/12 + 2πk, k आणि n- कोणतीही पूर्ण संख्या.

अर्थात, ही दोन उत्तरे एकामध्ये एकत्र केली जाऊ शकतात. 0 पासून, π / 12 ने वळवा, आणि नंतर प्रत्येक रूट प्रत्येक π (180 °) पुनरावृत्ती होईल.

उत्तर खालीलप्रमाणे देखील लिहिले जाऊ शकते: π/12 + πn, n∈Z.

उदाहरण #4: −10ctg(x) = 10

चला (−10) दुसर्‍या भागाकडे जाऊ: ctg(x) = −1. कोटॅंजंट्स अक्षावरील मूल्य -1 लक्षात घ्या.

1) या बिंदूतून आणि उगमातून सरळ रेषा काढा.

2) कोसाइनला साइनने विभाजित केल्यावर एक एकक मिळेल (हे π/4 ने मिळते) आपल्याला पुन्हा लक्षात ठेवावे लागेल. पण येथे -1, म्हणजे एक बिंदू -π/4 असेल. आणि π पर्यंत वळवून दुसरा शोधतो आणि नंतर π/4 (π − π/4) ने परत करतो.

आपण ते वेगळ्या प्रकारे करू शकता (लाल रंगात), परंतु माझा तुम्हाला सल्ला: नेहमी pi च्या पूर्णांक मूल्यांमधून मोजा(π, 2π, 3π...) त्यामुळे गोंधळ होण्याची शक्यता कमी आहे.

प्रत्येक बिंदूमध्ये 2πk जोडण्यास विसरू नका.

उत्तर: 3π/4 + 2πn आणि −π/4 + 2πk, k आणि n हे कोणतेही पूर्णांक आहेत.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम (उदाहरणार्थ, cos(x) = − √ 3/2) :

1. त्रिकोणमितीय कार्याच्या (कोसाइन, हा X अक्ष आहे) च्या अक्षावर आम्ही मूल्य (−√3/2) चिन्हांकित करतो.
2. आपण वर्तुळासह छेदनबिंदूंना अक्षावर (कोसाइन) लंब रेषा काढतो.
3. वर्तुळासह छेदनबिंदूचे बिंदू समीकरणाचे मूळ असतील.
4. एका बिंदूचे मूल्य (तुम्ही त्यात कसे प्रवेश करता हे महत्त्वाचे नाही)+2pk.

मूलभूत गोष्टी पुरेशा आहेत, तुम्ही पुढे जाण्यापूर्वी, मिळवलेले ज्ञान एकत्र करा.

या धड्यात आपण पाहू मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्ये, त्यांचे गुणधर्म आणि आलेख, आणि सूची देखील त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि प्रणालींचे मुख्य प्रकार. याव्यतिरिक्त, आम्ही सूचित करतो सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची सामान्य निराकरणे आणि त्यांची विशेष प्रकरणे.

हा धडा तुम्हाला असाइनमेंटच्या प्रकारांपैकी एकाची तयारी करण्यास मदत करेल. B5 आणि C1.

गणित विषयाच्या परीक्षेची तयारी

प्रयोग

धडा 10 त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांची प्रणाली.

सिद्धांत

धडा सारांश

"त्रिकोनमितीय कार्य" हा शब्द आम्ही आधीच वारंवार वापरला आहे. या विषयाच्या पहिल्या धड्यात, आम्ही काटकोन त्रिकोण आणि एकक त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून त्यांची व्याख्या केली. त्रिकोणमितीय फंक्शन्स निर्दिष्ट करण्याच्या अशा पद्धतींचा वापर करून, आम्ही आधीच असा निष्कर्ष काढू शकतो की त्यांच्यासाठी युक्तिवादाचे एक मूल्य (किंवा कोन) फंक्शनच्या अगदी एका मूल्याशी संबंधित आहे, म्हणजे. आम्हाला साइन, कोसाइन, टॅन्जेंट आणि कोटॅंजेंट अचूक फंक्शन्स कॉल करण्याचा अधिकार आहे.

या धड्यात, त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी पूर्वी चर्चा केलेल्या पद्धतींमधून गोषवारा घेण्याचा प्रयत्न करण्याची वेळ आली आहे. आज आपण फंक्शन्ससह कार्य करण्यासाठी नेहमीच्या बीजगणितीय दृष्टिकोनाकडे जाऊ, आपण त्यांच्या गुणधर्मांचा विचार करू आणि आलेख काढू.

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणधर्मांबद्दल, विशेष लक्ष दिले पाहिजे:

परिभाषाचे डोमेन आणि मूल्यांची श्रेणी, पासून साइन आणि कोसाइनसाठी मूल्यांच्या श्रेणीवर बंधने आहेत आणि स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटसाठी परिभाषाच्या श्रेणीवर बंधने आहेत;

सर्व त्रिकोणमितीय कार्यांची नियतकालिकता, पासून सर्वात लहान नॉन-झिरो युक्तिवादाची उपस्थिती आम्ही आधीच लक्षात घेतली आहे, ज्याच्या जोडण्याने फंक्शनचे मूल्य बदलत नाही. अशा युक्तिवादाला कार्याचा कालावधी म्हणतात आणि अक्षराने दर्शविला जातो. साइन/कोसाइन आणि स्पर्शिका/कोटॅंजंटसाठी, हे पूर्णविराम भिन्न आहेत.

फंक्शन विचारात घ्या:

1) व्याख्या डोमेन;

2) मूल्यांची श्रेणी ;

3) फंक्शन विषम आहे ;

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, क्षेत्राच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, जे वरील क्रमांक 1 ने आलेख मर्यादित करते आणि खाली क्रमांकाने, जे फंक्शनच्या श्रेणीशी संबंधित आहे. याव्यतिरिक्त, प्लॉटिंगसाठी, अनेक मुख्य सारणी कोनांच्या साइन्सची मूल्ये लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे, उदाहरणार्थ, हे आपल्याला आलेखाची पहिली संपूर्ण "वेव्ह" तयार करण्यास अनुमती देईल आणि नंतर उजवीकडे पुन्हा काढू शकेल. आणि डावीकडे, या वस्तुस्थितीचा फायदा घेऊन चित्राची पुनरावृत्ती एका कालावधीने ऑफसेटसह केली जाईल, उदा. वर

आता फंक्शन पाहू:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्या डोमेन;

2) मूल्यांची श्रेणी ;

3) कार्य सम आहे हे y-अक्षाच्या संदर्भात फंक्शनच्या आलेखाची सममिती सूचित करते;

4) फंक्शन त्याच्या संपूर्ण परिभाषेत मोनोटोन नाही;

फंक्शन प्लॉट करू. तसेच साइन तयार करताना, क्षेत्राच्या प्रतिमेसह प्रारंभ करणे सोयीचे आहे जे वरील क्रमांक 1 ने आलेख मर्यादित करते आणि खाली क्रमांकाने, जे फंक्शनच्या श्रेणीशी संबंधित आहे. आम्ही आलेखावरील अनेक बिंदूंचे निर्देशांक देखील प्लॉट करू, ज्यासाठी अनेक मुख्य सारणी कोनांची कोसाइन मूल्ये लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, या बिंदूंचा वापर करून, आपण प्रथम संपूर्ण "वेव्ह" तयार करू शकतो. आलेख आणि नंतर उजवीकडे आणि डावीकडे पुन्हा काढा, या वस्तुस्थितीचा फायदा घेऊन चित्राची पुनरावृत्ती पीरियड शिफ्टसह होईल, म्हणजे. वर

चला फंक्शन वर जाऊया:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्येचे डोमेन , कुठे . अस्तित्वात नसलेल्या मागील धड्यांमध्ये आम्ही आधीच सूचित केले आहे. हे विधान स्पर्शिकेचा कालावधी लक्षात घेऊन सामान्यीकृत केले जाऊ शकते;

2) मूल्यांची श्रेणी, उदा. स्पर्शिक मूल्ये मर्यादित नाहीत;

3) फंक्शन विषम आहे ;

4) फंक्शन त्याच्या तथाकथित स्पर्शिका शाखांमध्ये मोनोटोनली वाढते, जे आपण आता आकृतीमध्ये पाहू;

5) कार्य कालखंडासह नियतकालिक आहे

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, परिभाषाच्या डोमेनमध्ये समाविष्ट नसलेल्या बिंदूंवर आलेखाच्या अनुलंब लक्षणांच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, म्हणजे. इ. पुढे, आम्ही एसिम्प्टोट्सद्वारे तयार केलेल्या प्रत्येक पट्टीच्या आत स्पर्शिकेच्या शाखांचे चित्रण करतो, त्यांना डाव्या एसिम्प्टोट आणि उजव्या बाजूला दाबतो. त्याच वेळी, प्रत्येक शाखा नीरसपणे वाढत आहे हे विसरू नका. आम्ही सर्व शाखांचे त्याच प्रकारे चित्रण करतो, कारण फंक्शनचा कालावधी समान आहे. हे यावरून दिसून येते की प्रत्येक शाखा शेजारच्या एक्स-अक्षाच्या बाजूने हलवून प्राप्त केली जाते.

आणि आम्ही फंक्शनवर नजर टाकून निष्कर्ष काढतो:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्येचे डोमेन , कुठे . त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांच्या सारणीनुसार, आम्हाला आधीच माहित आहे की ते अस्तित्वात नाही. हे विधान कोटॅंजेंटचा कालावधी लक्षात घेऊन सामान्यीकृत केले जाऊ शकते;

2) मूल्यांची श्रेणी, उदा. कोटॅंजेंट मूल्ये मर्यादित नाहीत;

3) फंक्शन विषम आहे ;

4) फंक्शन मोनोटोनिकरीत्या त्याच्या शाखांमध्ये कमी होते, जे स्पर्शिका शाखांसारखे असतात;

5) कार्य कालखंडासह नियतकालिक आहे

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, स्पर्शिकेसाठी, व्याख्या क्षेत्रामध्ये समाविष्ट नसलेल्या बिंदूंवर आलेखाच्या अनुलंब लक्षणांच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, म्हणजे. इ. पुढे, आम्ही एसिम्प्टोट्सने तयार केलेल्या प्रत्येक पट्ट्यामध्ये कोटॅंजेंटच्या शाखांचे चित्रण करतो, त्यांना डावीकडे आणि उजव्या बाजूला दाबतो. या प्रकरणात, आम्ही लक्षात घेतो की प्रत्येक शाखा नीरसपणे कमी होत आहे. सर्व शाखा, स्पर्शिकेप्रमाणेच, त्याच प्रकारे चित्रित केल्या आहेत, कारण फंक्शनचा कालावधी समान आहे.

स्वतंत्रपणे, हे लक्षात घेतले पाहिजे की जटिल युक्तिवादासह त्रिकोणमितीय फंक्शन्समध्ये मानक नसलेला कालावधी असू शकतो. ही फॉर्मची कार्ये आहेत:

त्यांचा कालावधी समान आहे. आणि फंक्शन्सबद्दल:

त्यांचा कालावधी समान आहे.

तुम्ही पाहू शकता की, नवीन कालावधीची गणना करण्यासाठी, मानक कालावधी फक्त युक्तिवादातील घटकाद्वारे विभागला जातो. हे फंक्शनच्या इतर बदलांवर अवलंबून नाही.

फंक्शन आलेख तयार करणे आणि रूपांतरित करणे या धड्यात ही सूत्रे कोठून येतात ते तुम्ही अधिक तपशीलाने समजू आणि समजू शकता.

आम्ही "त्रिकोणमिती" या विषयाच्या सर्वात महत्वाच्या भागांपैकी एकावर आलो आहोत, जो आम्ही त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी समर्पित करू. अशी समीकरणे सोडवण्याची क्षमता महत्त्वाची आहे, उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रातील दोलन प्रक्रियांचे वर्णन करताना. चला कल्पना करूया की तुम्ही स्पोर्ट्स कारमध्ये कार्टवर काही लॅप चालवले आहेत, त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवल्याने तुम्ही आधीच किती काळ शर्यतीत भाग घेत आहात हे निर्धारित करण्यात मदत होईल, ट्रॅकवरील कारच्या स्थितीनुसार.

चला सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण लिहू:

अशा समीकरणाचे समाधान म्हणजे वितर्क, ज्याची साइन समान आहे. परंतु आपल्याला आधीच माहित आहे की साइनच्या नियतकालिकतेमुळे, अशा वितर्कांची संख्या असीम आहे. अशा प्रकारे, या समीकरणाचे निराकरण होईल, इ. हेच इतर कोणत्याही साध्या त्रिकोणमितीय समीकरण सोडविण्यास लागू होते, त्यांची संख्या असीम असेल.

त्रिकोणमितीय समीकरणे अनेक मूलभूत प्रकारांमध्ये विभागली जातात. स्वतंत्रपणे, एखाद्याने सर्वात सोप्या गोष्टींवर लक्ष केंद्रित केले पाहिजे, कारण. बाकी सर्व त्यांच्यासाठी कमी केले जातात. अशी चार समीकरणे आहेत (मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्यांच्या संख्येनुसार). त्यांच्यासाठी, सामान्य उपाय ज्ञात आहेत, ते लक्षात ठेवले पाहिजेत.

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांचे सामान्य निराकरणयासारखे पहा:

कृपया लक्षात घ्या की साइन आणि कोसाइन मूल्यांनी आम्हाला ज्ञात असलेल्या मर्यादा लक्षात घेतल्या पाहिजेत. जर, उदाहरणार्थ, , तर समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत आणि हे सूत्र लागू केले जाऊ नये.

याव्यतिरिक्त, या मूळ सूत्रांमध्ये अनियंत्रित पूर्णांकाच्या स्वरूपात एक पॅरामीटर असतो. शालेय अभ्यासक्रमात, हे एकमेव प्रकरण आहे जेव्हा पॅरामीटरशिवाय समीकरणाच्या समाधानामध्ये पॅरामीटर असतो. हा अनियंत्रित पूर्णांक दर्शवितो की कोणत्याही दर्शविलेल्या समीकरणांच्या मुळांची अनंत संख्या लिहिणे शक्य आहे फक्त सर्व पूर्णांक बदलून.

10 व्या वर्गातील बीजगणित कार्यक्रमातील "त्रिकोणमितीय समीकरणे" या धड्याची पुनरावृत्ती करून तुम्ही या सूत्रांच्या तपशीलवार पावतीशी परिचित होऊ शकता.

स्वतंत्रपणे, साइन आणि कोसाइनसह सर्वात सोप्या समीकरणांच्या विशिष्ट प्रकरणांच्या निराकरणाकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. ही समीकरणे अशी दिसतात:

सामान्य उपाय शोधण्याची सूत्रे त्यांना लागू करू नयेत. अशी समीकरणे त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून सर्वात सोयीस्करपणे सोडवली जातात, जे सामान्य समाधान सूत्रांपेक्षा सोपे परिणाम देते.

उदाहरणार्थ, समीकरणाचा उपाय आहे . हे उत्तर स्वतः मिळवण्याचा प्रयत्न करा आणि बाकीची सूचित समीकरणे सोडवा.

दर्शविलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या सर्वात सामान्य प्रकाराव्यतिरिक्त, आणखी अनेक मानक समीकरणे आहेत. आम्ही आधीच सूचित केलेल्या गोष्टी लक्षात घेऊन आम्ही त्यांची यादी करतो:

1) प्रोटोझोआ, उदाहरणार्थ, ;

2) सर्वात सोप्या समीकरणांची विशेष प्रकरणे, उदाहरणार्थ, ;

3) जटिल युक्तिवाद समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

4) एक सामान्य घटक काढून समीकरणे त्यांच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी केली जातात, उदाहरणार्थ, ;

5) त्रिकोणमितीय कार्ये बदलून समीकरणे त्यांच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी झाली, उदाहरणार्थ, ;

6) प्रतिस्थापनाद्वारे सर्वात सोपी ते कमी करता येणारी समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

7) एकसंध समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

8) फंक्शन्सचे गुणधर्म वापरून सोडवलेली समीकरणे, उदाहरणार्थ, . या समीकरणात दोन चल आहेत, ते एकाच वेळी सोडवले जाते या वस्तुस्थितीमुळे घाबरू नका;

तसेच विविध पद्धती वापरून सोडवलेली समीकरणे.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याव्यतिरिक्त, त्यांची प्रणाली सोडविण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

सिस्टमचे सर्वात सामान्य प्रकार आहेत:

1) ज्यामध्ये एक समीकरण शक्ती कायदा आहे, उदाहरणार्थ, ;

2) साध्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची प्रणाली, उदाहरणार्थ, .

आजच्या धड्यात, आपण मूळ त्रिकोणमितीय कार्ये, त्यांचे गुणधर्म आणि आलेख पाहिले. आणि सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी सामान्य सूत्रांशी देखील परिचित झाले, अशा समीकरणांचे मुख्य प्रकार आणि त्यांची प्रणाली दर्शविली.

धड्याच्या व्यावहारिक भागात, आम्ही त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांच्या प्रणालींचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींचे विश्लेषण करू.

बॉक्स १.सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या विशेष प्रकरणांचे निराकरण.

आम्ही धड्याच्या मुख्य भागात म्हटल्याप्रमाणे, फॉर्मच्या साइन आणि कोसाइनसह त्रिकोणमितीय समीकरणांची विशेष प्रकरणे:

सामान्य सोल्यूशन फॉर्म्युल्यांपेक्षा सोपे उपाय आहेत.

यासाठी त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरले जाते. उदाहरण म्हणून समीकरण वापरून ते सोडवण्याच्या पद्धतीचे विश्लेषण करू.

त्रिकोणमितीय वर्तुळावर एक बिंदू काढा ज्यावर कोसाइन मूल्य शून्य आहे, जो x-अक्षासह समन्वय देखील आहे. तुम्ही बघू शकता, असे दोन मुद्दे आहेत. वर्तुळावरील या बिंदूंशी जुळणारा कोन कोणता आहे हे दर्शविणे हे आमचे कार्य आहे.

आम्ही अॅब्सिसा अक्ष (कोसाइन अक्ष) च्या सकारात्मक दिशेपासून मोजणे सुरू करतो आणि, कोन पुढे ढकलताना, आम्ही दर्शविलेल्या पहिल्या बिंदूवर पोहोचतो, म्हणजे. एक उपाय हे कोन मूल्य असेल. पण दुसऱ्या मुद्द्याशी सुसंगत असलेल्या कोनाबाबत आम्ही अजूनही समाधानी आहोत. त्यात कसे जायचे?

आपण आपल्या समस्येचे तपशीलवार निराकरण ऑर्डर करू शकता !!!

त्रिकोणमितीय फंक्शन (`sin x, cos x, tg x` किंवा `ctg x`) च्या चिन्हाखाली अज्ञात असलेल्या समानतेला त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणतात, आणि आपण त्यांच्या सूत्रांचा पुढे विचार करू.

सर्वात सोपी समीकरणे म्हणजे `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जेथे `x` हा शोधायचा कोन आहे, `a` ही कोणतीही संख्या आहे. चला त्या प्रत्येकासाठी मूळ सूत्रे लिहू.

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` साठी त्याला कोणतेही उपाय नाहीत.

`|a| सह \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` साठी - साइनच्या बाबतीत, वास्तविक संख्यांमध्ये कोणतेही निराकरण नाहीत.

`|a| सह \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

आलेखामध्ये साइन आणि कोसाइनसाठी विशेष केस.

3. समीकरण `tg x=a`

`a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

त्यात `a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

टेबलमधील त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या मुळांसाठी सूत्रे

सायनससाठी:
कोसाइनसाठी:
स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटसाठी:
व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये असलेली समीकरणे सोडवण्यासाठी सूत्रे:

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

कोणत्याही त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या सोल्युशनमध्ये दोन टप्पे असतात:

• ते सर्वात सोप्यामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी वापरणे;
• मुळे आणि तक्त्यांसाठी वरील सूत्रे वापरून परिणामी साधे समीकरण सोडवा.

उदाहरणे वापरून समाधानाच्या मुख्य पद्धतींचा विचार करूया.

बीजगणित पद्धत.

या पद्धतीत, व्हेरिएबलची पुनर्स्थापना आणि समानतेमध्ये त्याचे प्रतिस्थापन केले जाते.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

बदली करा: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, नंतर `2y^2-3y+1=0`,

आम्हाला मुळे सापडतात: `y_1=1, y_2=1/2`, ज्यावरून दोन प्रकरणे पुढे येतात:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

फॅक्टरीकरण.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `sin x+cos x=1`.

उपाय. समानतेच्या सर्व अटी डावीकडे हलवा: `sin x+cos x-1=0`. वापरून, आम्ही डाव्या बाजूचे रूपांतर आणि फॅक्टराइज करतो:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एकसंध समीकरणात घट

प्रथम, तुम्हाला हे त्रिकोणमितीय समीकरण दोनपैकी एकावर आणावे लागेल:

`a sin x+b cos x=0` (प्रथम अंशाचे एकसमान समीकरण) किंवा `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

नंतर दोन्ही भागांना पहिल्या केससाठी `cos x \ne 0` आणि दुसऱ्यासाठी `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित करा. आम्हाला `tg x`: `a tg x+b=0` आणि `a tg^2 x + b tg x +c =0` साठी समीकरणे मिळतात, जी ज्ञात पद्धती वापरून सोडवली पाहिजेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

उपाय. चला उजवी बाजू `1=sin^2 x+cos^2 x` असे लिहू:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

हे दुस-या अंशाचे एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरण आहे, त्याचे डावे आणि उजवे भाग `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित केल्यास, आम्हाला मिळते:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. चला बदली `tg x=t` सादर करू, परिणामी `t^2 + t - 2=0`. या समीकरणाची मुळे `t_1=-2` आणि `t_2=1` आहेत. मग:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

हाफ कॉर्नरवर जा

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

उपाय. दुहेरी कोन सूत्रे लागू केल्यास, परिणाम होतो: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

वर वर्णन केलेल्या बीजगणित पद्धतीचा अवलंब केल्याने, आम्हाला मिळते:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

सहायक कोनाचा परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरणात `a sin x + b cos x =c`, जेथे a,b,c गुणांक आहेत आणि x हे चल आहे, आम्ही दोन्ही भागांना `sqrt (a^2+b^2)` ने विभाजित करतो:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

डाव्या बाजूला असलेल्या गुणांकांमध्ये साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म आहेत, म्हणजे, त्यांच्या वर्गांची बेरीज 1 आहे आणि त्यांचे मॉड्यूलस 1 पेक्षा जास्त नाही. त्यांना खालीलप्रमाणे दर्शवा: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, नंतर:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

चला पुढील उदाहरणाकडे जवळून पाहूया:

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `3 sin x+4 cos x=2`.

उपाय. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना `sqrt (3^2+4^2)` ​​ने भागल्यास, आपल्याला मिळते:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` दर्शवा. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` असल्याने, आपण `\varphi=arcsin 4/5` हा सहायक कोन म्हणून घेतो. मग आम्ही आमची समानता फॉर्ममध्ये लिहितो:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

साइनसाठी कोनांच्या बेरजेसाठी सूत्र लागू करून, आम्ही आमची समानता खालील स्वरूपात लिहितो:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

अपूर्णांक-परिमेय त्रिकोणमितीय समीकरणे

या अपूर्णांकांसह समानता आहेत, ज्यामध्ये त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

उपाय. समीकरणाची उजवी बाजू `(1+cos x)` ने गुणा आणि भागा. परिणामी, आम्हाला मिळते:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

भाजक शून्य असू शकत नाही हे दिल्यास, आपल्याला `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिळेल.

अपूर्णांकाच्या अंशाची शून्याशी बरोबरी करा: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. नंतर `sin x=0` किंवा `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` दिल्यास, `x=2\pi n, n \in Z` आणि `x=\pi /2+2\pi n` आहेत. , `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

त्रिकोणमिती आणि विशेषतः त्रिकोणमितीय समीकरणे भूमिती, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये वापरली जातात. अभ्यास 10 व्या वर्गात सुरू होतो, परीक्षेसाठी नेहमीच कार्ये असतात, म्हणून त्रिकोणमितीय समीकरणांची सर्व सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा प्रयत्न करा - ते निश्चितपणे आपल्यासाठी उपयुक्त ठरतील!

तथापि, आपल्याला ते लक्षात ठेवण्याची देखील आवश्यकता नाही, मुख्य गोष्ट म्हणजे सार समजून घेणे आणि निष्कर्ष काढण्यास सक्षम असणे. हे दिसते तितके अवघड नाही. व्हिडिओ पाहून तुम्हीच बघा.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची संकल्पना.

• त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, ते एक किंवा अधिक मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये रूपांतरित करा. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवणे शेवटी चार मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते.

मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण.

• मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे 4 प्रकार आहेत:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यामध्ये एकक वर्तुळावरील विविध x पोझिशन्स पाहणे, तसेच रूपांतरण तक्ता (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरणे समाविष्ट आहे.
• उदाहरण 1. sin x = 0.866. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = π/3. युनिट वर्तुळ दुसरे उत्तर देते: 2π/3. लक्षात ठेवा: सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक असतात, म्हणजेच त्यांची मूल्ये पुनरावृत्ती केली जातात. उदाहरणार्थ, sin x आणि cos x ची नियतकालिकता 2πn आहे आणि tg x आणि ctg x ची नियतकालिकता πn आहे. तर उत्तर असे लिहिले आहे:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• उदाहरण 2 cos x = -1/2. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = 2π/3. युनिट वर्तुळ दुसरे उत्तर देते: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• उदाहरण 3. tg (x - π/4) = 0.
• उत्तर: x \u003d π / 4 + πn.
• उदाहरण 4. ctg 2x = 1.732.
• उत्तर: x \u003d π / 12 + πn.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरलेली परिवर्तने.

• त्रिकोणमितीय समीकरणे बदलण्यासाठी, बीजगणितीय परिवर्तने (फॅक्टरिंग, एकसंध संज्ञा कमी करणे इ.) आणि त्रिकोणमितीय ओळख वापरली जातात.
• उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 हे समीकरण 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 मध्ये रूपांतरित केले जाते. अशा प्रकारे, खालील मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे निराकरण करणे आवश्यक आहे: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन शोधणे.

  • त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे शिकण्यापूर्वी, तुम्हाला फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन कसे शोधायचे हे शिकणे आवश्यक आहे. हे रूपांतरण टेबल किंवा कॅल्क्युलेटर वापरून केले जाऊ शकते.
  • उदाहरण: cos x = 0.732. कॅल्क्युलेटर उत्तर देईल x = 42.95 अंश. एकक वर्तुळ अतिरिक्त कोन देईल, ज्याचा कोसाइन देखील 0.732 च्या समान आहे.

• युनिट वर्तुळावरील द्रावण बाजूला ठेवा.

  • तुम्ही एकक वर्तुळावर त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण करू शकता. एकक वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण हे नियमित बहुभुजाचे शिरोबिंदू आहेत.
  • उदाहरण: एकक वर्तुळावरील x = π/3 + πn/2 हे द्रावण हे चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत.
  • उदाहरण: एकक वर्तुळावरील x = π/4 + πn/3 हे द्रावण हे नियमित षटकोनीचे शिरोबिंदू आहेत.

• त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती.

  • दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणामध्ये फक्त एक त्रिकोणमितीय कार्य असल्यास, हे समीकरण मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवा. दिलेल्या समीकरणामध्ये दोन किंवा अधिक त्रिकोणमितीय कार्ये समाविष्ट असल्यास, असे समीकरण सोडवण्यासाठी 2 पद्धती आहेत (त्याच्या परिवर्तनाच्या शक्यतेवर अवलंबून).
    • पद्धत 1
  • या समीकरणाचे रुपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: f(x)*g(x)*h(x) = 0, जिथे f(x), g(x), h(x) ही मूळ त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत.
  • उदाहरण 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • उपाय. दुहेरी कोन सूत्र sin 2x = 2*sin x*cos x वापरून, sin 2x बदला.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos x = 0 आणि (sin x + 1) = 0.
  • उदाहरण 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, या समीकरणाचे रूपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: cos 2x(2cos x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2cos x + 1) = 0.
  • उदाहरण 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, या समीकरणाचे रूपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2sin x + 1) = 0.
    • पद्धत 2
  • दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणाला फक्त एक त्रिकोणमितीय कार्य असलेल्या समीकरणात रूपांतरित करा. नंतर हे त्रिकोणमितीय फंक्शन काही अज्ञातांसह बदला, उदाहरणार्थ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, इ.).
  • उदाहरण 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • उपाय. या समीकरणामध्ये, (cos^2 x) ला (1 - sin^2 x) (ओळखानुसार) बदला. बदललेले समीकरण असे दिसते:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ला t ने बदला. आता समीकरण असे दिसते: 5t^2 - 4t - 9 = 0. हे दोन मुळे असलेले द्विघात समीकरण आहे: t1 = -1 आणि t2 = 9/5. दुसरा रूट t2 फंक्शनची श्रेणी पूर्ण करत नाही (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • उदाहरण 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • उपाय. tg x ला t ने बदला. खालीलप्रमाणे मूळ समीकरण पुन्हा लिहा: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. आता t शोधा आणि नंतर t = tg x साठी x शोधा.

• विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे.

  • अनेक विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत ज्यांना विशिष्ट परिवर्तनांची आवश्यकता असते. उदाहरणे:
  • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• त्रिकोणमितीय कार्यांची आवर्तता.

  • आधी सांगितल्याप्रमाणे, सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक असतात, म्हणजेच त्यांची मूल्ये एका विशिष्ट कालावधीनंतर पुनरावृत्ती होते. उदाहरणे:
    • फंक्शन f(x) = sin x 2π आहे.
    • फंक्शनचा कालावधी f(x) = tg x π च्या बरोबरीचा आहे.
    • फंक्शन f(x) = sin 2x चा कालावधी π च्या बरोबरीचा आहे.
    • फंक्शनचा कालावधी f(x) = cos (x/2) 4π आहे.
  • समस्येमध्ये कालावधी निर्दिष्ट केला असल्यास, त्या कालावधीतील x मूल्याची गणना करा.
  • टीप: त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे सोपे काम नाही आणि त्यामुळे अनेकदा चुका होतात. त्यामुळे तुमची उत्तरे काळजीपूर्वक तपासा. हे करण्यासाठी, दिलेले समीकरण R(x) = 0 प्लॉट करण्यासाठी तुम्ही आलेख कॅल्क्युलेटर वापरू शकता. अशा प्रकरणांमध्ये, समाधाने दशांश म्हणून दर्शविली जातील (म्हणजे, π ची जागा 3.14 ने घेतली आहे).