मेनेलॉसचे प्रमेय एक मनोरंजक स्टिरिओमेट्रिक सामान्यीकरण मान्य करते.

टेट्राहेड्रॉनसाठी मेनेलॉसचे प्रमेय.

जर विमान μ बरगड्या ओलांडतात AB, BC, CDआणि डीएटेट्राहेड्रॉन अ ब क डबिंदूंवर A 1, B 1, C 1, D 1, नंतर (2).

याउलट, जर चार गुणांसाठी A 1, B 1, C 1, D 1कडा वर अनुक्रमे प्रसूत होणारी सूतिका AB, BC, CD, DAटेट्राहेड्रॉन, समानता (2) धरून ठेवते, तर हे चार बिंदू एकाच समतलात असतात.

पुरावा.

द्या h 1, h 2, h 3, h 4- बिंदू पासून अंतर अ ब क डविमानात अनुक्रमे μ , नंतर ; ; ; .

प्राप्त गुणोत्तर गुणाकार करणे बाकी आहे.

संभाषण प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, आपण A 1 , B 1 , C 1 एक समतल बांधतो. या विमानाला बिंदू T वर किनारा DA छेदू द्या.

सिद्ध नुसार , आणि अटीनुसार , म्हणून (आणि लेमाद्वारे) बिंदू टआणि D1एकरूप. प्रतिपादन सिद्ध झाले आहे.

§2. Ceva चे प्रमेय

Ceva च्या त्रिकोण प्रमेय.

गुण द्या अ १, ब १, क १बाजूंना अनुक्रमे खोटे बोलणे सूर्य, एसीआणि व्ही.एत्रिकोण ABC(चित्र पहा). विभागांसाठी क्रमाने एए १, BB 1, SS 1एका बिंदूवर छेदतात, ते धारण करण्यासाठी संबंधासाठी आवश्यक आणि पुरेसे आहे: (३) (खंड AA 1, BB 1, SS 1कधीकधी सेव्हियन म्हणतात).

पुरावा.

गरज आहे. खंड करू द्या एए १ , BB 1, SS 1एका बिंदूला छेदणे एमत्रिकोणाच्या आत ABC .

द्वारे सूचित करा S1, S2, S3त्रिकोणाचे क्षेत्र AMS, SMV, AMV, आणि माध्यमातून h 1, h 2- बिंदू पासून अंतर परंतुआणि एटीसरळ करण्यासाठी एमएस. मग त्याचप्रमाणे , . प्राप्त प्रमाणांचा गुणाकार केल्यास, प्रमेयाच्या वैधतेबद्दल आम्हाला खात्री आहे.

पर्याप्तता. गुण द्या अ १, ब १, क १बाजूला झोपा रवि, ​​एसए, एसी त्रिकोण आणि संबंध (3), एम- विभागांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू एए १आणि बीबी १, आणि विभाग सेमीबाजू ओलांडते एबीबिंदूवर प्र.मग, जे आधीच सिद्ध झाले आहे , . लेमा पुन्हा बिंदूंचा योगायोग सूचित करतो Q=C1. पुरेशीता सिद्ध झाली आहे.

आता आपण Ceva च्या प्रमेयाच्या अवकाशीय सामान्यीकरणाकडे वळू.

टेट्राहेड्रॉनसाठी सेव्हाचे प्रमेय.

द्या एम- टेट्राहेड्रॉनच्या आत एक बिंदू अ ब क ड, a A 1, B 1, C 1 आणि D 1- विमानांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू सीएमडी , AMD, AMBआणि SMVफासळ्यांसह एबी, बी सी , सीडीआणि डीएअनुक्रमे मग (चार). उलट: जर गुणांसाठी , नंतर विमाने ABC , बीसीडी १आणि DAB १एका बिंदूतून जा.

पुरावा.

गरज लक्षात आली तर मिळवणे सोपे आहे की गुण A 1, B 1, C 1, D 1त्याच विमानात झोपा (हे विमान रेषांमधून जाते A 1 C 1आणि B 1 D 1, एका बिंदूला छेदत आहे एम), आणि मेनेलॉसचे प्रमेय लागू करा. कॉन्व्हर्स प्रमेय हे अंतराळातील मेनेलॉसच्या संभाषण प्रमेयाप्रमाणेच सिद्ध झाले आहे: आपल्याला बिंदूंमधून एक विमान काढण्याची आवश्यकता आहे अ १, ब १, क १आणि लेमाच्या मदतीने सिद्ध करा की हे विमान काठाला छेदते डीएबिंदूवर D1 .

§3. टेट्राहेड्रॉनच्या मध्यकाचे आणि बिमीडियनचे गुणधर्म

टेट्राहेड्रॉनचा मध्यक हा टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूला विरुद्ध चेहऱ्याच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राशी जोडणारा एक विभाग आहे (मध्यकाचा छेदनबिंदू).

प्रमेय (मेनेलॉसच्या प्रमेयाचा वापर).

टेट्राहेड्रॉनचे मध्यक एका बिंदूवर छेदतात. हा बिंदू प्रत्येक मध्यक 3:1 वरपासून विभाजित करतो.

पुरावा.

चला दोन माध्यमे घेऊ: डीडी 1 आणि सीसी 1 टेट्राहेड्रॉन अ ब क ड. हे मध्यक एका बिंदूवर छेदतील एफ . सीएलकाठाचा मध्यक आहे ABC , डी.एलकाठाचा मध्यक आहे ABD, अ डी 1 , सी 1 - फेस सेंट्रोइड्स ABCआणि ABD. मेनेलॉसच्या प्रमेयानुसार: आणि . चला त्रिकोण प्रमेय लिहू DLD 1 : ; => पुरावा इतर कोणत्याही मध्यकाच्या जोडीसाठी समान आहे.

प्रमेय (सेव्हाच्या प्रमेयाचा वापर).

प्रथम, आम्ही टेट्राहेड्रॉनच्या काही घटकांची व्याख्या देतो. टेट्राहेड्रॉनच्या छेदणार्‍या कडांच्या मध्यबिंदूंना जोडणार्‍या सेगमेंटला बिमिडियन म्हणतात. बिहाइट्स (सादृश्यतेनुसार) ओलांडणाऱ्या कडांचे सामान्य लंब असतात.

प्रमेय.

टेट्राहेड्रॉनचे बाईमीडियन टेट्राहेड्रॉनच्या मध्यकाच्या समान बिंदूला छेदतात.

पुरावा.

त्रिकोणात LDCविभाग डी.सीआणि LFएका बिंदूला छेदणे के. या त्रिकोणासाठी Ceva च्या प्रमेयानुसार: , म्हणजे , CK=KD, LK – द्विमितीय.

टिप्पणी १.

FL = FK. त्रिकोणासाठी मेनेलॉसचे प्रमेय DLK : , , म्हणून LF = FK .

टिप्पणी 2.

डॉट एफटेट्राहेड्रॉनचा मध्यवर्ती भाग आहे. , , म्हणजे.

1.2 टेट्राहेड्राचे विविध प्रकार

एक पायथागोरियन टेट्राहेड्रा

जर त्रिकोणाचा एक काटकोन असेल आणि कोणत्याही बाजूंचे गुणोत्तर परिमेय असेल तर त्याला पायथागोरियन म्हणतात (म्हणजे, समानता वापरून, पूर्णांक बाजूंच्या लांबीसह आपण त्यातून काटकोन त्रिकोण मिळवू शकता).

याच्याशी साधर्म्य दाखवून, टेट्राहेड्रॉनला पायथागोरियन असे म्हणतात जर त्याचे एका शिरोबिंदूवरील समतल कोन बरोबर असतील आणि कोणत्याही दोन कडांचे गुणोत्तर परिमेय असेल (समानतेचा वापर करून, एखाद्या शिरोबिंदूवर उजव्या समतल कोनांसह टेट्राहेड्रॉन मिळवता येतो आणि कडांची पूर्णांक लांबी).

चला "पायथागोरियन टेट्राहेड्राचे समीकरण" काढण्याचा प्रयत्न करूया, म्हणजे. तीन अज्ञात ξ, η, ζ असलेले असे समीकरण जे कोणतेही पायथागोरियन टेट्राहेड्रॉन या समीकरणाला तर्कसंगत समाधान देते आणि त्याउलट, समीकरणाचे कोणतेही तर्कसंगत समाधान पायथागोरियन टेट्राहेड्रॉन देते.

प्रथम, आम्ही सर्व पायथागोरियन त्रिकोणांचे वर्णन करण्याचा मार्ग देतो.

आकृती त्रिकोण दर्शवते OAB- आयताकृती, त्याच्या पायांची लांबी द्वारे दर्शविली जाते aआणि b, आणि कर्ण च्या dyne - माध्यमातून आर. काटकोन त्रिकोणाचे पॅरामीटर क्रमांक (1) ला कॉल करू OAB(किंवा अधिक तंतोतंत, पॅरामीटर "पायाशी संबंधित a"). संबंध वापरणे p 2 \u003d a 2 + b 2, आमच्याकडे आहे:

या समीकरणांमधून आपण थेट काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर त्याच्या पॅरामीटरद्वारे व्यक्त करणारी सूत्रे मिळवतो:

आणि (2).

सूत्रे (1) आणि (2) थेट खालील प्रतिपादन सूचित करतात: काटकोन त्रिकोण पायथागोरियन असण्यासाठी, संख्या ξ परिमेय असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे. खरंच, जर त्रिकोण पायथागोरियन असेल, तर तो (1) पासून पुढे येतो की ξ परिमेय आहे. याउलट, जर ξ परिमेय असेल, तर (2) नुसार बाजूंचे गुणोत्तर परिमेय आहेत, म्हणजे पायथागोरियन त्रिकोण.

आता द्या OABC- शिरोबिंदूवर सपाट कोपरे असलेला टेट्राहेड्रॉन ओसरळ शिरोबिंदू O मधून निघणाऱ्या कडांची लांबी द्वारे दर्शविली जाईल a, b, c, आणि उरलेल्या कडांची लांबी p, q, r .

तीन काटकोन त्रिकोणाच्या पॅरामीटर्सचा विचार करा OAB, OBC, OSA:

त्यानंतर, सूत्र (2) वापरून, आपण या काटकोन त्रिकोणांच्या बाजूंचे गुणोत्तर त्यांच्या पॅरामीटर्सनुसार व्यक्त करू शकतो:

हे थेट (4) पासून पॅरामीटर्सचे अनुसरण करते ξ, η, ζ , नात्याचे समाधान करा (6). हे पायथागोरियन टेट्राहेड्राचे सामान्य समीकरण आहे.

सूत्रे (3) - (5) थेट खालील विधान सूचित करतात: टेट्राहेड्रॉनच्या क्रमाने OABCशिरोबिंदू O वर उजव्या समतल कोनांसह पायथागोरियन आहे, हे पॅरामीटर्स आवश्यक आणि पुरेसे आहेत ξ, η, ζ (समाधानकारक समीकरण (6%) तर्कसंगत होते.

पायथागोरियन टेट्राहेड्रॉनसह पायथागोरियन त्रिकोणाचे साधर्म्य चालू ठेवून, आयताकृती टेट्राहेड्रासाठी पायथागोरियन प्रमेयचे स्थानिक सामान्यीकरण तयार करण्याचा आणि सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करूया, जे पायथागोरियन टेट्राहेड्रासाठी देखील खरे असेल. खालील लेमा आम्हाला यामध्ये मदत करेल.

लेमा १.

जर बहुभुजाचे क्षेत्रफळ असेल एस, नंतर त्याच्या विमानावरील प्रक्षेपणाचे क्षेत्रफळ π आहे, कुठे φ - समतल π आणि बहुभुजाच्या समतल मधील कोन.

पुरावा.

लेमाचे विधान त्रिकोणासाठी स्पष्ट आहे, ज्याची एक बाजू बहुभुजाच्या समतल समतल π च्या छेदनबिंदूच्या रेषेच्या समांतर आहे. खरंच, प्रोजेक्शन दरम्यान या बाजूची लांबी बदलत नाही आणि प्रोजेक्शन दरम्यान कमी केलेल्या उंचीची लांबी यामध्ये बदलते. cosφएकदा

आता आपण सिद्ध करूया की कोणत्याही पॉलिहेड्रॉनला सूचित स्वरूपाच्या त्रिकोणांमध्ये विभागले जाऊ शकते.

हे करण्यासाठी, आम्ही बहुभुजाच्या सर्व शिरोबिंदूंमधून विमानांच्या छेदनबिंदूच्या समांतर सरळ रेषा काढतो, तर बहुभुज त्रिकोण आणि ट्रॅपेझॉइडमध्ये कापला जातो. प्रत्येक ट्रॅपेझॉइड त्याच्या कोणत्याही कर्णांसह कट करणे बाकी आहे.

प्रमेय १(स्थानिक पायथागोरियन प्रमेय).

आयताकृती टेट्राहेड्रॉनमध्ये अ ब क ड, शीर्षस्थानी सपाट कोपरे सह डी, त्याच्या तीन आयताकृती चेहऱ्यांच्या क्षेत्राच्या वर्गांची बेरीज चेहऱ्याच्या क्षेत्रफळाच्या चौरसाइतकी असते ABC .

पुरावा.

α हा विमानांमधील कोन असू द्या ABCआणि डीबीसी, डी"- पॉइंट प्रोजेक्शन डीविमानाकडे ABC. मग S ΔDBC = СosαS ΔАBCआणि S ∆D"BC = c OSαS ΔDBC(लेमा 1 द्वारे), म्हणून c osα = . एस Δ डी " इ.स.पू = .

त्रिकोणासाठी समान समानता मिळवता येते डी "एबीआणि डी "एसी. त्यांना जोडणे आणि त्रिकोणांच्या क्षेत्रांची बेरीज विचारात घेणे डी "सूर्य , डी "एसीआणि डी "एबीत्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाइतका ABC, आम्ही जे आवश्यक आहे ते प्राप्त करतो.

एक कार्य.

शीर्षस्थानी सर्व सपाट कोपरे होऊ द्या डीसरळ; a , b , cशिरोबिंदूमधून बाहेर पडणाऱ्या कडांची लांबी आहे डीविमानाकडे ABC. मग

पुरावा.

आयताकृती टेट्राहेड्रॉनसाठी पायथागोरियन प्रमेयानुसार

दुसरीकडे

1= ) => .

§2. ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रा

त्रिकोणाच्या विपरीत, ज्याची उंची नेहमी एका बिंदूला छेदते - ऑर्थोसेंटर, प्रत्येक टेट्राहेड्रॉनमध्ये समान गुणधर्म नसतात. टेट्राहेड्रॉन ज्याची उंची एका बिंदूला छेदते त्याला ऑर्थोसेन्ट्रिक म्हणतात. आम्ही ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्राचा अभ्यास ऑर्थोसेन्ट्रिकिटीसाठी आवश्यक आणि पुरेशा परिस्थितीसह सुरू करतो, ज्यापैकी प्रत्येक ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनची व्याख्या म्हणून घेतली जाऊ शकते.

(1) टेट्राहेड्रॉनची उंची एका बिंदूला छेदतात.

(२) टेट्राहेड्रॉनच्या उंचीचे तळ हे चेहऱ्यांचे ऑर्थोसेंटर आहेत.

(३) टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक दोन विरुद्ध कडा लंब असतात.

(4) टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध किनार्यांच्या वर्गांची बेरीज समान आहेत.

(5) टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारे विभाग समान आहेत.

(6) विरुद्ध डायहेड्रल कोनांच्या कोसाइनची उत्पादने समान आहेत.

(7) चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांच्या वर्गांची बेरीज विरुद्ध किनार्यांच्या उत्पादनांच्या वर्गांच्या बेरीजपेक्षा चार पट कमी आहे.

चला त्यापैकी काही सिद्ध करूया.

पुरावा (3).

टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक दोन विरुद्ध कडा लंब असू द्या.

म्हणून, टेट्राहेड्रॉनची उंची जोड्यांमध्ये छेदतात. जर अनेक रेषा जोड्यांमध्ये छेदतात, तर त्या एकाच समतलात असतात किंवा एका बिंदूतून जातात. टेट्राहेड्रॉनची उंची एकाच समतलात असू शकत नाही, कारण अन्यथा त्याचे शिरोबिंदू एकाच समतलात असतील, त्यामुळे ते एका बिंदूला छेदतात.

सर्वसाधारणपणे, टेट्राहेड्रॉनची उंची एका बिंदूवर छेदण्यासाठी, विरुद्ध कडांच्या फक्त दोन जोड्या लंब असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे. या प्रस्तावाचा पुरावा खालील समस्येवरून थेट मिळतो.

कार्य १.

एक अनियंत्रित tetrahedron दिले अ ब क ड. ते सिद्ध करा.

उपाय.

द्या a= , b= , c=. मग , आणि, या समानता जोडून, ​​आम्हाला आवश्यक ती मिळते.

द्या a= , b= आणि c=. समानता 2 + 2 = 2 + 2 , तुला काय हवंय. (a,c)=0. हे अल्गोरिदम विरुद्ध कडांच्या इतर जोड्यांवर लागू केल्याने, आम्हाला स्पष्टपणे इच्छित विधान प्राप्त होते.

चला मालमत्तेचा पुरावा सादर करूया (6).

पुराव्यासाठी, आम्ही खालील प्रमेये वापरतो:

साइन प्रमेय. "टेट्राहेड्रॉनच्या दोन विरुद्ध किनार्यांच्या लांबीचा गुणाकार, या कडांवरील डायहेड्रल कोनांच्या साइन्सच्या गुणाकाराने भागलेला, टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या तीनही जोड्यांसाठी समान असतो."

Bertschneider चे प्रमेय. "जर ए aआणि bटेट्राहेड्रॉनच्या दोन तिरक्या कडांची लांबी आहे आणि या कडांवर डायहेड्रल कोन आहेत, तर मूल्य स्क्यू कडांच्या जोडीच्या निवडीवर अवलंबून नाही.

tetrahedron आणि Bertschneider प्रमेयासाठी साइन प्रमेय वापरून, आम्ही प्राप्त करतो की विरुद्ध डायहेड्रल कोनांच्या कोसाइनची उत्पादने समान असतात आणि जर विरुद्ध किनार्यांच्या वर्गांची बेरीज समान असेल तरच, जे गुणधर्म (6) च्या वैधतेला सूचित करते ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनवरील परिच्छेदाच्या शेवटी, आम्ही या विषयावरील अनेक समस्या सोडवू.

कार्य २.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन संबंध पूर्ण करतो हे सिद्ध करा OH 2 \u003d 4R 2 -3d 2, कुठे ओ- वर्णन केलेल्या गोलाचे केंद्र, एच- उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू, आरपरिक्रमा केलेल्या गोलाची त्रिज्या आहे, d ही विरुद्ध किनार्यांच्या मध्यबिंदूंमधील अंतर आहे.

उपाय.

द्या लाआणि एल- फास्यांच्या मध्यभागी एबीआणि सीडीअनुक्रमे डॉट एचमधून जाणार्‍या विमानात आहे सीडीलंब एबी, आणि मुद्दा ओ- तेथून जाणाऱ्या विमानात लालंब एबी.

ही विमाने टेट्राहेड्रॉनच्या वस्तुमानाच्या केंद्राविषयी सममितीय आहेत - खंडाच्या मध्यभागी के.एल. सर्व कडांसाठी अशा विमानांचा विचार केल्यास, आम्ही ते गुण प्राप्त करतो एचआणि ओबद्दल सममितीय एम, ज्याचा अर्थ होतो KLMO- समांतरभुज चौकोन. त्याच्या बाजूंचे वर्ग समान आहेत आणि म्हणून. बिंदूमधून जाणारा विभाग विचारात घेणे एमसमांतर एबीआणि सीडी, आम्हाला ते मिळते AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

येथे आपण जोडू शकतो की ज्या ओळीवर बिंदू आहेत अरे एमआणि एच, ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनची यूलर रेषा म्हणतात.

टिप्पणी.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेराहेड्रॉनसाठी यूलरच्या गोलाकारांचे अस्तित्व आपण लक्षात घेऊ शकतो, ज्याची चर्चा पुढील समस्यांमध्ये केली जाईल.

कार्य 3.

हे सिद्ध करा की ऑर्थोसेन्ट्रिक वर्तुळ टेट्राहेड्रॉनसाठी, प्रत्येक चेहऱ्याचे 9 बिंदू एकाच गोलाचे आहेत (24 बिंदूंचा गोल). या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, खालील समस्येची स्थिती सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

कार्य 4.

त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू, उंचीचे तळ आणि शिरोबिंदूपासून त्यांच्या छेदनबिंदूपर्यंतच्या विभागांचे मध्यबिंदू एका वर्तुळावर आहेत - 9 बिंदूंचे वर्तुळ (यूलर).

पुरावा.

द्या ABC- हा त्रिकोण एच- त्याच्या उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू, अ १, ब १, क १- विभागांचे मध्यबिंदू एएन, व्हीएन, सीएच; एए २- उंची, A 3- मधला सूर्य. आम्ही ते सोयीसाठी गृहीत धरू ABC- एक तीव्र त्रिकोण. कारण द B 1 A 1 C 1 \u003d तुम्हीआणि ΔB 1 A 2 C 1 \u003d ΔB 1 NS 1, नंतर B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, म्हणजे गुण A 1, B 1, A 2, C 1त्याच वर्तुळावर झोपा. हे पाहणे देखील सोपे आहे B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, म्हणजे गुण A 1, B 1, A 3, C 1त्याच (आणि म्हणून त्याच) वर्तुळावर देखील झोपा. हे खालीलप्रमाणे आहे की स्थितीत नमूद केलेले सर्व 9 बिंदू एकाच वर्तुळावर आहेत. ओबटस त्रिकोणाचे केस ABCत्याच प्रकारे उपचार केले.

लक्षात घ्या की 9-बिंदूंचे वर्तुळ H आणि गुणांक केंद्र असलेल्या परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाशी एकसंध आहे (अशा प्रकारे त्रिकोणांची मांडणी केली जाते. ABCआणि A 1 B 1 C 1). दुसरीकडे, 9-बिंदू वर्तुळ त्रिकोणाच्या मध्यकाच्या छेदनबिंदूवर केंद्रीत असलेल्या परिमित वर्तुळाशी समरूप आहे. ABCआणि गुणांक (अशा प्रकारे त्रिकोण ABC आणि त्याच्या बाजूंच्या मध्यबिंदूंमध्ये शिरोबिंदू असलेला त्रिकोण स्थित आहेत).

आता, 9 बिंदूंचे वर्तुळ निश्चित केल्यानंतर, आपण समस्या 3 च्या स्थितीच्या पुराव्याकडे जाऊ शकतो.

पुरावा.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनचा विभाग विरुद्ध किनार्यांना समांतर असलेला आणि या किनार्यांपासून समान अंतरावर जाणारा एक आयत आहे ज्याचे कर्ण टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध किनार्यांच्या मध्यबिंदूंमधील अंतराच्या समान आहेत (हे सर्व अंतर समान आहेत. एकमेकांना, ऑर्थोसेन्ट्रीसिटीची आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती पहा (5). त्यामुळे असे दिसून येते की ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनच्या सर्व कडांचे मध्यबिंदू गोलाच्या पृष्ठभागावर असतात ज्याचे केंद्र दिलेल्या टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राशी जुळते आणि व्यास टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या मध्यबिंदूंमधील अंतराच्या बरोबरीचा आहे. म्हणून, 9 बिंदूंची चारही वर्तुळे या गोलाच्या पृष्ठभागावर आहेत.

कार्य 5.

हे सिद्ध करा की ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनसाठी चेहऱ्यांच्या उंचीचे केंद्रबिंदू आणि छेदनबिंदू, तसेच टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक उंचीच्या विभागांना शिरोबिंदूपासून ते उंचीच्या छेदनबिंदूपर्यंत 2:1 च्या प्रमाणात विभाजित करणारे बिंदू. , त्याच गोलावर झोपा (12 बिंदूंचा गोल).

पुरावा.

गुण द्या अरे एमआणि एच- अनुक्रमे, परिक्रमा केलेल्या चेंडूचे केंद्र, गुरुत्वाकर्षण केंद्र आणि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनचे ऑर्थोसेंटर; एम- विभागाच्या मध्यभागी HE(समस्या २ पहा). टेट्राहेड्रॉनच्या चेहऱ्यांचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र बिंदूवर होमोथेटीक केंद्रासह, होमोथेटिक टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदू म्हणून काम करतात एमआणि गुणांक , या समानतेच्या अंतर्गत बिंदू ओमुद्यावर जाईल सुमारे १विभागावर स्थित आहे MNत्यामुळे , सुमारे १चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांमधून जाणारे गोलाचे केंद्र असेल.

दुसरीकडे, टेट्राहेड्रॉनच्या उंचीच्या विभागांना शिरोबिंदूपासून ऑर्थोसेंटरपर्यंत 2:1 या प्रमाणात विभाजित करणारे बिंदू टेट्राहेड्रॉनच्या होमोथेटिकच्या शिरोबिंदू म्हणून काम करतात, ज्याच्या मध्यभागी समरूपता असते. एचआणि गुणांक. या एकरूपतेने, मुद्दा ओ, पाहणे सोपे आहे म्हणून, त्याच बिंदूवर जाईल सुमारे १. अशा प्रकारे, बारा पैकी आठ बिंदू केंद्रस्थानी असलेल्या गोलाच्या पृष्ठभागावर असतात सुमारे १आणि त्रिज्या टेट्राहेड्रॉनभोवती परिक्रमा केलेल्या गोलाच्या त्रिज्यापेक्षा तीन पट लहान आहे.

प्रत्येक चेहऱ्याच्या उंचीचे छेदनबिंदू एकाच गोलाच्या पृष्ठभागावर आहेत हे सिद्ध करूया.

द्या ओ', एन'आणि M`- परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचे केंद्र, उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू आणि कोणत्याही चेहऱ्याच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र. ओ`आणि H`बिंदूंचे अंदाज आहेत ओआणि एचया चेहऱ्याच्या समतल भागाकडे, आणि विभागाकडे M`सेगमेंट विभाजित करते ओ`एन` 1:2 च्या प्रमाणात, पासून मोजत आहे ओ`(सुप्रसिद्ध प्लॅनिमेट्रिक तथ्य). आता हे प्रक्षेपण (आकृती पहा) सत्यापित करणे सोपे आहे सुमारे १या चेहऱ्याच्या विमानात - एक बिंदू ओ` १विभागाच्या मध्यभागी एकरूप आहे M`N`, म्हणजे सुमारे १पासून समान अंतरावर M`आणि H`, जे आवश्यक होते.

§3. कंकाल टेट्राहेड्रा

फ्रेम टेट्राहेड्रॉनला टेट्राहेड्रॉन म्हणतात ज्यासाठी टेट्राहेड्रॉनच्या सर्व सहा कडांना स्पर्श करणारा एक गोल असतो. प्रत्येक टेट्राहेड्रॉन वायरफ्रेम नसतो. उदाहरणार्थ, हे समजणे सोपे आहे की आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनच्या सर्व कडांना गोलाकार स्पर्शिका बांधणे अशक्य आहे जर त्याचा परिमित बॉक्स "लांब" असेल.

फ्रेम टेट्राहेड्रॉनच्या गुणधर्मांची यादी करूया.

(1) टेट्राहेड्रॉनच्या सर्व कडांना एक गोल स्पर्शिका आहे.

(2) ओलांडलेल्या किनार्यांच्या लांबीच्या बेरीज समान आहेत.

(3) विरुद्ध किनार्यांवर असलेल्या डायहेड्रल कोनांची बेरीज समान आहेत.

(4) चेहऱ्यांवर कोरलेली वर्तुळे जोड्यांमध्ये स्पर्श करतात.

(५) टेट्राहेड्रॉनच्या विकासामुळे निर्माण होणारे सर्व चतुर्भुज परिक्रमा केलेले आहेत.

(6) त्यांच्या अंकित वर्तुळांच्या केंद्रांमधून चेहऱ्यांना पुनर्संचयित केलेले लंब एका बिंदूवर छेदतात.

वायरफ्रेम टेराहेड्रॉनचे अनेक गुणधर्म सिद्ध करू.

पुरावा (2).

द्या ओआतील बिंदूंवर चार कडांना स्पर्श करणाऱ्या गोलाचे केंद्र आहे. आता लक्षात घ्या की जर बिंदूपासून एक्सस्पर्शिका काढा XPआणि XQमध्यभागी असलेल्या गोलाकडे ओ, नंतर गुण आरआणि प्रसरळ रेषा पार करणाऱ्या विमानाविषयी सममितीय XOआणि विभागाच्या मध्यभागी PQ, ज्याचा अर्थ विमाने ROHआणि QOXविमानासह फॉर्म XPQसमान कोन.

O बिंदू आणि टेट्राहेड्रॉनच्या मानल्या गेलेल्या कडांमधून जाणारी 4 विमाने काढू. ते प्रत्येक मानल्या गेलेल्या डायहेड्रल कोनांना दोन डायहेड्रल कोनांमध्ये विभाजित करतात. टेट्राहेड्रॉनच्या एका चेहऱ्याला लागून येणारे डायहेड्रल कोन समान आहेत हे वर दर्शविले आहे. एक आणि दुसरा दोन्ही मानल्या जाणार्‍या डायहेड्रल कोनांच्या बेरीजमध्ये टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक चेहऱ्यासाठी एक प्राप्त केलेला कोन समाविष्ट असतो. स्क्यू एजच्या इतर जोड्यांसाठी समान तर्क पाळणे, आम्ही गुणधर्माची वैधता प्राप्त करतो (2).

वर्णन केलेल्या चतुर्भुजाचे काही गुणधर्म आठवा:

a) समतल चतुर्भुज जर आणि फक्त त्याच्या विरुद्ध बाजूंची बेरीज समान असेल तरच परिक्रमा केली जाते;

b) परिक्रमा केलेल्या चौकोनाला कर्णरेषेने दोन त्रिकोणांमध्ये विभागले असल्यास, त्रिकोणामध्ये कोरलेली वर्तुळे स्पर्श करतात

हे गुणधर्म दिल्यास, वायरफ्रेम टेट्राहेड्रॉनचे उर्वरित गुणधर्म सिद्ध करणे सोपे आहे. टेट्राहेड्रॉनची मालमत्ता (3) थेट मालमत्तेपासून (b), आणि मालमत्ता (4) मालमत्ता (a) आणि मालमत्ता (1) टेट्राहेड्रॉनमधून येते. मालमत्ता (5) मालमत्तेपासून (3). खरंच, टेट्राहेड्रॉनच्या चेहऱ्यांवर कोरलेली वर्तुळं हे त्याच्या चेहऱ्यांचे छेदनबिंदू आहेत ज्याच्या गोल गोल कडांना स्पर्श करतात, ज्यावरून हे स्पष्ट आहे की चेहऱ्यांवर कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांवर पुनर्संचयित केलेले लंब अपरिहार्यपणे एकमेकांना छेदतील. या क्षेत्राचे केंद्र.

कार्य १.

गोल कडांना स्पर्श करतो AB, BC, CDआणि डीएटेट्राहेड्रॉन अ ब क डबिंदूंवर एल, एम, एन, के,जे चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत. जर हा गोल एका काठाला स्पर्श करत असेल तर ते सिद्ध करा एसी, नंतर ते काठाला देखील स्पर्श करते बी.डी .

उपाय.

अटींनुसार KLMN- चौरस. चला मुद्दे पार करूया के, एल, एम, एनगोलाला स्पर्श करणारी विमाने. ही सर्व विमाने विमानाकडे सारखीच झुकलेली असल्याने KLMN, नंतर ते एका बिंदूला छेदतात एससरळ रेषेवर स्थित ओओ १, गोलाचे केंद्र कुठे आहे आणि सुमारे १चौकाचे केंद्र आहे. ही विमाने चौरसाच्या पृष्ठभागाला छेदतात KLMNचौरस TUVW, ज्याच्या बाजूचे मध्यबिंदू हे बिंदू आहेत के, एल, एम, एन. शिरोबिंदू S सह टेट्राहेड्रल कोन STUVW मध्ये, सर्व समतल कोन समान असतात आणि बिंदू के, एल, एम, एनत्याच्या सपाट कोनांच्या दुभाजकांवर आडवे, आणि SK=SL=SM=SN. परिणामी,

SA=SCआणि SD=SB, ज्याचा अर्थ होतो AK=AL=CM=CNआणि BL=BM=DN=DK. अटीनुसार एसीबॉलला देखील स्पर्श करते, म्हणून परंतु सी =AK+CN=2AK. आणि तेव्हापासून एस.के- कोन दुभाजक डीएसए, नंतर DK:KA=DS:SA=DB:AC. समतेतून AC=2ACते आता त्याचे अनुसरण करते DB=2DK. द्या आर- विभागाच्या मध्यभागी डीबी, नंतर आरसरळ रेषेत आहे SO. त्रिकोण डी.ओ.के.आणि डीओपीसमान आहेत, कारण DK = DPआणि DKO=DPO=90°.म्हणून OP=OK=R, कुठे आरगोलाची त्रिज्या आहे, म्हणून डी.बी.क्षेत्राला देखील लागू होते.

§ चार. आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रा

टेट्राहेड्रॉनचे सर्व चेहरे समान असल्यास त्याला समतुल्य म्हणतात. आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनची कल्पना करण्यासाठी, कागदावरून एक अनियंत्रित तीव्र-कोन त्रिकोण घेऊ आणि आपण त्याला मधल्या रेषांसह वाकवू. मग तीन शिरोबिंदू एका बिंदूवर भेटतील, आणि बाजूंचे अर्धे भाग बंद होतील, टेट्राहेड्रॉनच्या बाजूच्या कडा तयार होतील.

(0) चेहरे एकरूप आहेत.

(1) क्रॉसिंग कडा जोडीने समान आहेत.

(२) त्रिभुज कोन समान असतात.

(3) विरुद्ध द्विमुखी कोन समान असतात.

(4) एकाच काठावर आधारित दोन समतल कोन समान आहेत.

(5) प्रत्येक शिरोबिंदूवरील समतल कोनांची बेरीज 180° आहे.

(6) टेट्राहेड्रॉनचा विकास - त्रिकोण किंवा समांतरभुज चौकोन.

(7) वर्णित समांतर पाईप आयताकृती आहे.

(8) टेट्राहेड्रॉनमध्ये सममितीचे तीन अक्ष असतात.

(9) जोड्यांमध्ये ओलांडणाऱ्या कडांचे सामान्य लंब

लंब आहेत.

(१०) मध्य रेषा जोडीने लंब असतात.

(11) चेहऱ्यांचे परिमिती समान आहेत.

(12) चेहऱ्यांचे क्षेत्र समान आहेत.

(13) टेट्राहेड्रॉनची उंची समान आहे.

(14) विरुद्ध चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांसह शिरोबिंदूंना जोडणारे विभाग समान आहेत.

(15) चेहऱ्यांजवळ वर्णन केलेल्या वर्तुळांची त्रिज्या समान आहेत.

(१६) टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र परिक्रमा केलेल्या गोलाच्या केंद्राशी एकरूप होते.

(17) गुरुत्वाकर्षण केंद्र कोरलेल्या गोलाच्या केंद्राशी एकरूप आहे.

(18) परिक्रमा केलेल्या गोलाचे केंद्र कोरलेल्या गोलाच्या केंद्राशी जुळते.

(19) कोरलेला गोल त्यांच्या जवळ वर्णन केलेल्या केंद्रांवर चेहऱ्यांना स्पर्श करतो

वर्तुळाचे चेहरे.

(२०) बाह्य युनिट नॉर्मलची बेरीज (युनिट वेक्टर,

चेहऱ्यांना लंब) शून्याच्या समान आहे.

(21) सर्व डायहेड्रल कोनांची बेरीज शून्य असते.

आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनचे जवळजवळ सर्व गुणधर्म त्याचे अनुसरण करतात

व्याख्या, म्हणून आम्ही त्यापैकी फक्त काही सिद्ध करतो.

पुरावा (16).

कारण टेट्राहेड्रॉन अ ब क डसमस्थानिक, नंतर मालमत्तेनुसार (1) AB=CD. मुद्दा द्या लाविभाग एबी, आणि मुद्दा एलमध्यबिंदू डी.सी, म्हणून विभाग के.एलद्विमध्य टेट्राहेड्रॉन अ ब क ड, जेथून ते टेट्राहेड्रॉनच्या मध्यकाच्या गुणधर्मावरून बिंदूचे अनुसरण करते ओ- विभागाच्या मध्यभागी के.एल, टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र आहे अ ब क ड .

याव्यतिरिक्त, टेट्राहेड्रॉनचे मध्यक गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रस्थानी, बिंदूला छेदतात ओ, आणि हा बिंदू 3:1 च्या गुणोत्तराने सामायिक करा, वरपासून मोजा. पुढे, आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनचे वरील आणि गुणधर्म (14) विचारात घेऊन, आम्ही विभागांची खालील समानता प्राप्त करतो AO=BO=CO=DO, ज्यावरून ते त्या बिंदूचे अनुसरण करते ओपरिक्रमा केलेल्या गोलाचे केंद्र आहे (व्याख्यानुसार, पॉलिहेड्रॉनच्या भोवती परिक्रमा केलेला गोल).

मागे. द्या लाआणि एल- फास्यांच्या मध्यभागी एबीआणि सीडीअनुक्रमे, बिंदू ओ- टेट्राहेड्रॉनच्या वर्णित गोलाचे केंद्र, म्हणजे. मध्यबिंदू के.एल. कारण ओटेट्राहेड्रॉनच्या परिमित गोलाचे केंद्र आहे, नंतर त्रिकोण AOBआणि सीओडी- समान बाजू आणि समान मध्यकांसह समद्विभुज ठीक आहेआणि ओएल. म्हणून ΔAOB =∆COD. तर AB=CD. त्याचप्रमाणे, विरुद्ध कडांच्या इतर जोड्यांची समानता सिद्ध झाली आहे, ज्यामधून, आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनच्या मालमत्तेद्वारे (1) इच्छित गोष्टींचे अनुसरण केले जाईल.

पुरावा (17).

काठावरील डायहेड्रल कोनाच्या दुभाजकाचा विचार करा एबी, ते चेहऱ्याच्या क्षेत्रांच्या संदर्भात DC विभागाचे विभाजन करेल ABDआणि ABC .

कारण टेट्राहेड्रॉन अ ब क डसमस्थानिक, नंतर मालमत्तेनुसार (12) S ΔABD =S ΔABD =>DL=LC, तेथून ते दुभाजकाचे अनुसरण करते ABLद्विमितीय समाविष्टीत आहे के.एल. उर्वरित डायहेड्रल कोनांसाठी समान तर्क लागू करणे, आणि टेट्राहेड्रॉनचे दुभाजक एका बिंदूला छेदतात, जे कोरलेल्या गोलाचे केंद्र आहे हे लक्षात घेऊन, आपल्याला असे दिसून येते की हा बिंदू अनिवार्यपणे या समद्विभुजाच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र असेल. टेट्राहेड्रॉन

मागे. गुरुत्वाकर्षण केंद्र आणि शिलालेखित गोलाचे केंद्र एकसमान आहे या वस्तुस्थितीवरून, आपल्याकडे खालील गोष्टी आहेत: DL=LC=>SABD=SADC. सर्व चेहरे आकारात समान आहेत हे सिद्ध करून आणि आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म (१२) लागू केल्याने, आम्ही जे शोधत आहोत ते प्राप्त करतो.

आता मालमत्ता सिद्ध करूया (२०). हे करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम अनियंत्रित टेट्राहेड्रॉनच्या गुणधर्मांपैकी एक सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

टेट्राहेड्रॉन प्रमेय पाठ्यपुस्तक

लेमा १.

जर टेट्राहेड्रॉनच्या चेहऱ्यांना लंब असलेल्या वेक्टरची लांबी संख्यात्मकदृष्ट्या संबंधित चेहऱ्यांच्या क्षेत्राच्या समान असेल, तर या वेक्टरची बेरीज शून्य असेल.

पुरावा.

द्या एक्स- आतील बिंदू आणि पॉलिहेड्रॉन, h i (i=1,2,3,4)- त्यापासून विमानापर्यंतचे अंतर i-वी धार.

आम्ही पॉलीहेड्रॉनला शिरोबिंदूसह पिरॅमिडमध्ये कापतो एक्सज्याचे तळ त्याचे चेहरे आहेत. टेट्राहेड्रॉनची मात्रा व्हीया पिरॅमिड्सच्या खंडांच्या बेरजेइतके आहे, म्हणजे 3 V=∑h i S i, कुठे सिचौरस i-वी धार. पुढे जाऊ द्या n iबाह्य सामान्य ते i-व्या चेहऱ्याचा एकक वेक्टर आहे, M i या चेहऱ्याचा अनियंत्रित बिंदू आहे. मग h i \u003d (ХM i , S i n i), म्हणून 3V=∑h i S i =∑(XM i , S i n i)=(XO, S i n i)+(OM i , S i n i)=(XO, ∑S i n i)+3V, कुठे ओ- टेट्राहेड्रॉनचे काही निश्चित बिंदू, म्हणून, ∑ S i n i =0 .

पुढे, हे स्पष्ट आहे की आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनची मालमत्ता (20) वरील लेमाची एक विशेष बाब आहे, जिथे S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4, आणि चेहऱ्यांचे क्षेत्र शून्याच्या समान नसल्यामुळे, आम्हाला योग्य समानता मिळते n 1 + n 2 + n 3 + n 4 =0 .

आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनबद्दलच्या कथेच्या शेवटी, आम्ही या विषयावर अनेक समस्या सादर करतो.

कार्य १.

टेट्राहेड्रॉनच्या वस्तुमानाच्या मध्यभागी जाणारी सरळ रेषा आणि त्याच्या जवळ परिक्रमा केलेल्या गोलाच्या मध्यभागी असलेल्या कडांना छेदते. एबीआणि सीडी. ते सिद्ध करा AC=BDआणि AD=BC .

उपाय.

टेट्राहेड्रॉनच्या वस्तुमानाचे केंद्र कडांच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या सरळ रेषेवर असते. एबीआणि सीडी .

म्हणून, टेट्राहेड्रॉनच्या परिक्रमा केलेल्या गोलाचे केंद्र या रेषेवर आहे, याचा अर्थ सूचित रेषा कडांना लंब आहे. एबीआणि सीडी. द्या C`आणि डी'- बिंदू अंदाज सीआणि डीसरळ रेषेतून जाणार्‍या विमानाकडे एबीसमांतर सीडी. कारण AC`BD`- समांतरभुज चौकोन (बांधकामानुसार), नंतर AC=BDआणि AD=BC .

कार्य २.

द्या hआयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनची उंची आहे, h1आणि h2- विभाग ज्यामध्ये चेहऱ्याच्या उंचीपैकी एक भाग या चेहऱ्याच्या उंचीच्या छेदनबिंदूने विभागलेला आहे. ते सिद्ध करा ता 2 \u003d 4 ता 1 ता 2; हे देखील सिद्ध करा की टेट्राहेड्रॉनच्या उंचीचा पाया आणि चेहऱ्याच्या उंचीचा छेदनबिंदू ज्यावर ही उंची कमी केली जाते ते या चेहऱ्यावर परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या केंद्राच्या संदर्भात सममितीय आहेत.

पुरावा.

द्या अ ब क ड- हा टेट्राहेड्रॉन, डी एच.- त्याचे उच्च, DA 1, DВ 1, DC 1- शिरोबिंदू पासून चेहरा उंची कमी डीबाजूंना BC, SA आणि AB .

टेट्राहेड्रॉनची पृष्ठभाग कडा बाजूने कट करा DA, DB, DC, आणि स्वीप करा. हे उघड आहे एचत्रिकोणाच्या उंचीचा छेदनबिंदू आहे D 1 D 2 D 3. द्या एफ- त्रिकोणाच्या उंचीच्या छेदनबिंदूचा बिंदू ABC, AKया त्रिकोणाची उंची आहे, АF=h 1 , FК=h 2. मग D 1 H \u003d 2h 1, D 1 A 1 \u003d h 1 -h 2 .

तर, कारण h- आमच्या टेट्राहेड्रॉनची उंची, h 2 \u003d DH 2 \u003d DA 2 - HA 1 2 \u003d (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 \u003d 4h 1 h 2.आता द्या एम- त्रिकोणाच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र ABC(उर्फ त्रिकोणाचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र D 1 D 2 D 3), ओपरिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचे केंद्र आहे. अशी माहिती आहे एफ, एमआणि ओएका सरळ रेषेवर झोपा (युलर रेषा), आणि एम- यांच्यातील एफआणि ओ , एफएम =2MO, दुसरीकडे, त्रिकोण D 1 D 2 D 3होमोथेटिक ते त्रिकोण ABCकेंद्रीत एमआणि गुणांक (-2), म्हणून МН=2FM. ते त्याचे पालन करते OH=FO .

कार्य 3.

हे सिद्ध करा की आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनमध्ये उंचीचे तळ, उंचीचे मध्यबिंदू आणि चेहऱ्यांच्या उंचीचे छेदनबिंदू एका गोलाच्या पृष्ठभागावर (12 बिंदूंचा गोल) आहेत.

पुरावा.

समस्या 2 सोडवताना, आम्ही हे सिद्ध केले की टेट्राहेड्रॉनभोवती परिक्रमा केलेल्या गोलाच्या मध्यभागी प्रत्येक चेहऱ्यावर विभागाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केले जाते, ज्याचे टोक या चेहऱ्यावर खालच्या उंचीचा पाया आणि उंचीच्या छेदनबिंदू आहेत. हा चेहरा. आणि गोलाच्या मध्यभागापासून चेहऱ्यापर्यंतचे टेट्राहेड्रॉनचे परिक्रमा केलेले अंतर आहे, जेथे h- टेट्राहेड्रॉनची उंची, परिक्रमा केलेल्या गोलाचे केंद्र या बिंदूंपासून काही अंतरावर काढले जाते, जेथे a- उंचीच्या छेदनबिंदूच्या बिंदू आणि काठाच्या जवळ परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी अंतर.

§5. अकेंद्रित टेट्राहेड्रा

टेट्राहेड्रॉनच्या चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांना विरुद्ध शिरोबिंदूंशी जोडणारे विभाग (टेट्राहेड्रॉनचे मध्यक) नेहमी एका बिंदूला छेदतात, हा बिंदू टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाचा केंद्र आहे. जर या स्थितीत आपण चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांना चेहऱ्याच्या ऑर्थोसेंटर्सने बदलले तर ते ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनच्या नवीन व्याख्येमध्ये बदलेल. जर आपण त्यांना चेहऱ्यावर कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांसह बदलले, ज्याला कधीकधी इनसेंटर्स म्हणतात, तर आपल्याला टेट्राहेड्राच्या नवीन वर्गाची व्याख्या मिळेल - इनसेंट्रिक.

इनसेंट्रिक टेट्राहेड्राच्या वर्गाची वैशिष्ट्ये देखील खूप मनोरंजक आहेत.

(1) टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंना विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांसह जोडणारे विभाग एका बिंदूवर छेदतात.

(२) या चेहर्‍यांच्या एका सामाईक काठावर काढलेल्या दोन चेहऱ्यांच्या कोन दुभाजकांना एक समान आधार असतो.

(3) विरुद्ध किनार्यांच्या लांबीची उत्पादने समान आहेत.

(4) या कडांच्या तीन टोकांमधून जाणाऱ्या कोणत्याही गोलासह समान शिरोबिंदूपासून बाहेर जाणार्‍या तीन कडांच्या छेदनबिंदूच्या दुसऱ्या बिंदूंनी तयार केलेला त्रिकोण समभुज आहे.

पुरावा (2).

मालमत्तेनुसार (1), जर DF, BE, CF, AM- त्रिकोणांमधील संबंधित कोनांचे दुभाजक ABCआणि FBD, नंतर विभाग के.एसआणि एलडीएक समान मुद्दा असेल आय(चित्र पहा). जर थेट डीकेआणि सीएलएका बिंदूला छेदू नका एफ, नंतर स्पष्टपणे के.एसआणि डी.एलएकमेकांना छेदू नका, जे असू शकत नाही (अकेंद्रित टेट्राहेड्रॉनच्या व्याख्येनुसार).

पुरावा (3).

मालमत्ता (2) आणि दुभाजकाची मालमत्ता लक्षात घेऊन, आम्ही संबंध प्राप्त करतो:

; .

§6. तुलनात्मक टेट्राहेड्रा

टेट्राहेड्रा त्यांच्याकडे असल्यास अनुरूप असल्याचे म्हटले जाते

(1) द्वि-उंची समान आहेत.

(2) टेट्राहेड्रॉनचे प्रक्षेपण कोणत्याही द्विमिडीयाच्या लंबवत समतलावर समभुज चौकोन असते.

(३) परिक्रमा केलेल्या समांतर नलिका असलेले चेहरे समान असतात.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 \u003d 4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 \u003d 4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, कुठे aआणि a 1 , bआणि b 1 , सहआणि 1 पासून- विरुद्ध कडांची लांबी.

व्याख्यांची समतुल्यता सिद्ध करण्यासाठी (1) - (4), हे लक्षात घेणे पुरेसे आहे की टेट्राहेड्रॉनची द्विउच्चता समांतरभुज चौकोनाच्या उंचीइतकी आहे, जे त्याचे प्रक्षेपण आहे, गुणधर्म (2) मध्ये नमूद केले आहे आणि त्याची उंची परिक्रमा केलेले समांतर नलिका, आणि समांतर पट्टीच्या क्षेत्रफळाचा चौरस ज्यामध्ये, म्हणा, एक किनार आहे सह,समान आहे, आणि स्केलर उत्पादन हे सूत्र (4) नुसार टेट्राहेड्रॉनच्या कडांद्वारे व्यक्त केले जाते.

आम्ही येथे समानतेच्या आणखी दोन अटी जोडतो:

(५) टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या प्रत्येक जोडीसाठी, त्यांपैकी एकाद्वारे काढलेली विमाने आणि दुसऱ्याचा मध्यबिंदू लंब आहेत.

(6) समतुल्य टेट्राहेड्रॉनच्या गोलाकार समांतर नीलमध्ये एक गोल कोरला जाऊ शकतो.

§7. नियमित टेट्राहेड्रा

जर टेट्राहेड्रॉनच्या कडा एकमेकांच्या समान असतील, तर त्रिहेड्रल, डायहेड्रल आणि सपाट कोन एकमेकांच्या समान असतील. या प्रकरणात, टेट्राहेड्रॉनला नियमित म्हणतात. हे देखील लक्षात घ्या की असा टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक आणि वायरफ्रेम आणि समस्थानिक आणि अकेंद्रित आणि समतुल्य दोन्ही आहे.

टिप्पणी १.

जर टेट्राहेड्रॉन आयसोहेड्रल असेल आणि खालीलपैकी एका प्रकारच्या टेट्राहेड्राशी संबंधित असेल: ऑर्थोसेन्ट्रिक, वायरफ्रेम, इनसेंट्रिक, समतुल्य, तर ते नियमित असेल.

टिप्पणी 2.

टेट्राहेड्रॉन जर सूचीबद्ध केलेल्या कोणत्याही दोन प्रकारच्या टेट्राहेड्राशी संबंधित असेल तर ते नियमित असते: ऑर्थोसेन्ट्रिक, वायरफ्रेम, इनसेंट्रिक, समतुल्य, आयसोहेड्रल.

नियमित टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

त्याचा प्रत्येक शिरोबिंदू तीन त्रिकोणांचा शिरोबिंदू आहे. तर, प्रत्येक शिरोबिंदूवरील समतल कोनांची बेरीज 180º इतकी असेल

(0) एका नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये एक अष्टाहेड्रॉन कोरला जाऊ शकतो, शिवाय, अष्टाहेड्रॉनचे चार (आठ पैकी) चेहरे टेट्राहेड्रॉनच्या चार मुखांसह एकत्र केले जातील, अष्टाध्वनीचे सर्व सहा शिरोबिंदू सहा कडांच्या केंद्रांसह एकत्र केले जातील. टेट्राहेड्रॉनचे.

(१) नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये एक कोरलेला अष्टाहेड्रॉन (मध्यभागी) आणि चार टेट्राहेड्रा (शिर्षस्थानी) असतात आणि या टेट्राहेड्राच्या कडा आणि अष्टाहेड्रॉन नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या अर्ध्या कडा असतात.

(२) एक नियमित टेट्राहेड्रॉन एका घनामध्ये दोन प्रकारे कोरला जाऊ शकतो, शिवाय, टेट्राहेड्रॉनचे चार शिरोबिंदू घनाच्या चार शिरोबिंदूंसह एकत्र केले जातील.

(३) आयकोसेड्रॉनमध्ये नियमित टेट्राहेड्रॉन कोरले जाऊ शकते, शिवाय, टेट्राहेड्रॉनचे चार शिरोबिंदू आयकोसाहेड्रॉनच्या चार शिरोबिंदूंसह एकत्र केले जातील.

कार्य १.

नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या तिरक्या कडा परस्पर लंब असतात हे सिद्ध करा.

उपाय:

द्या डी एच-रेग्युलर टेट्राहेड्रॉनची उंची, बिंदू H हा रेग्युलरचा केंद्र आहे Δ ABC . नंतर बेस ABC च्या समतल भागावर AD चा प्रक्षेपण हा विभाग असेल BH . कारण BH एसी , नंतर तीन लंब प्रमेयाने तिरकस बी.डी एसी .

कार्य २.

नियमित टेट्राहेड्रॉन दिले IAWSकाठासह 1. रेषांमधील अंतर शोधा ALआणि मो, कुठे एल- बरगडीच्या मध्यभागी एमएस , ओ- चेहरा केंद्र ABC.

उपाय:

1. दोन छेदणार्‍या रेषांमधील अंतर लंबाची लांबी आहे, एका रेषेतून सोडलेली, या रेषेच्या समांतर आणि दुसरी ओळ असलेली समतल.

2. प्रोजेक्शन तयार करणे एकेविभाग ALविमानाकडे ABC. विमान AKLविमानाला लंब ABC, रेषेच्या समांतर मोआणि त्यात एक ओळ आहे AL. तर, इच्छित लांबी लंबाची लांबी आहे चालू, बिंदू पासून कमी ओकरण्यासाठी एके .

3. शोधा एस Δ खा दोन मार्ग.

एस Δ = .

दुसरीकडे: एस Δ खा =

त्यामुळे p.

चला शोधूया चालू : ρ= .

कार्य 3.

त्रिकोणी पिरॅमिडची प्रत्येक धार PABC 1 च्या बरोबरीचे आहे; बी.डी- त्रिकोणाची उंची ABC. समभुज त्रिकोण bdeकोन तयार करणाऱ्या विमानात आहे ϕ एक बरगडी सह एसी, आणि गुण पीआणि इविमानाच्या एका बाजूला झोपा ABC. बिंदूंमधील अंतर शोधा पीआणि इ .

उपाय.पिरॅमिडच्या सर्व कडा असल्याने PABCसमान आहेत, ते नियमित टेट्राहेड्रॉन आहे. द्या एम- बेस सेंटर ABC , एन- शिरोबिंदूचे ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन इसमभुज त्रिकोण bdeविमानाकडे ABC ,के- मधला बी.डी ,एफबिंदूपासून काढलेल्या लंबाचा पाया आहे इउंचीपर्यंत पीएमटेट्राहेड्रॉन PABC. कारण इ.के बी.डी, नंतर तीन लंब प्रमेयाद्वारे एन.के बी.डी, म्हणून EKNविमानांनी तयार केलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन आहे ABCआणि bde, आणि पासून एनके || एसी, नंतर EKN= ϕ . पुढे आमच्याकडे आहे:

बी.डी = , एमडी = , केडी = , बी.डी = , पीएम = ,

किमी = केडी - एमडी = - = , इ.के = बी.डी · = , EN = इ.के पाप ϕ = पाप ϕ ,

NK = EK cos ϕ = कारण ϕ , MN 2= एनके 2+KM 2 = कारण 2ϕ + ,

पीई 2= EF 2+ पीएफ 2= MN 2 + (पीएम-एमएफ)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= कारण 2ϕ + + ( - पाप ϕ )2 = कारण 2ϕ + + - पाप ϕ + पाप 2ϕ == + + - पाप ϕ = - पाप ϕ = - पाप ϕ .

परिणामी,

PE= = .

कार्य 4.

टेट्राहेड्रॉनच्या समीप चेहऱ्यांच्या स्क्यू हाइट्समधील कोन शोधा.

उपाय.

प्रकरण क्रमांक १.

द्या बी.केआणि डी.एफ.- चेहऱ्याची उंची ABCआणि BCD. BK, FD= α . टेट्राहेड्रॉनच्या काठाची लांबी असे दर्शवा a. चला खर्च करूया FL || बी.के, नंतर α = डीएफएल . , KL=LC.

Δ डीएलएफ :

; ; ; .

केस क्रमांक 2 (उंची वेगळ्या प्रकारे स्थित आहे).

बी.केआणि CN- चेहऱ्याची उंची ABCआणि BCD. चला खर्च करूया FP || CNआणि FL || बी.के . ; . चला शोधूया एल.पी .करानियमित टेट्राहेड्रॉनची उंची आहे, करा = , प्र- प्रक्षेपण पीविमानाकडे ABC , . ,

यासाठी कोसाइन प्रमेय लिहू Δ LFP :

सरळ रेषांमधील कोन व्याख्येनुसार तीव्र असल्याने

धडा दुसरा. हायस्कूल गणित अभ्यासक्रमात टेट्राहेड्रॉन

एक शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाच्या सादरीकरणाची तुलनात्मक वैशिष्ट्ये

शालेय भूमिती अभ्यासक्रमात, टेट्राहेड्रॉन विषयाच्या मूलभूत गोष्टींचा अभ्यास करण्यासाठी बराच वेळ दिला जातो. हा विषय पार पाडण्यात व्यावहारिकदृष्ट्या कोणतीही पद्धतशीर समस्या नाहीत, कारण विद्यार्थ्यांना पिरॅमिड म्हणजे काय हे माहित असते (त्रिकोणीसह), गणित शिकवण्याच्या मागील वर्षांच्या प्रोपेड्युटिक अभ्यासक्रमांमधून आणि जीवनाच्या अनुभवावरून. एक नियमित टेट्राहेड्रॉन त्याच्या सपाट भागाशी संबंधित आहे - एक नियमित त्रिकोण आणि कडा किंवा चेहऱ्यांच्या समानतेसह बाजूंची समानता.

तथापि, विद्यार्थ्यांसाठी विषयाचा अभ्यास करण्यात समस्या आहेत आणि भिन्न पाठ्यपुस्तके वेगवेगळ्या मार्गांनी त्यांचे निराकरण करण्याचा प्रयत्न करतात (सैद्धांतिक सामग्री ज्या क्रमाने सादर केली जाते, कार्यांच्या जटिलतेची पातळी इ.). टेट्राहेड्रॉनचा अभ्यास करण्याच्या दृष्टीने सामान्य भूमितीच्या पाठ्यपुस्तकांचे थोडक्यात वर्णन देऊ.

इयत्ता 10-11 अटानास्यन एलएस आणि इतरांसाठी "भूमिती" पाठ्यपुस्तकातील "टेट्राहेड्रॉन" विषयाचे सादरीकरण.

एटी मूलभूतमाध्यमिक शाळेच्या अटानास्यन एल.एस.च्या इयत्ते 10-11 साठी "भूमिती" पाठ्यपुस्तक आणि टेट्राहेड्रॉनबद्दलची इतर माहिती 7 परिच्छेदांमध्ये आढळू शकते (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

पाठ्यपुस्तकातील लेखक टेट्राहेड्रॉनची व्याख्या चार त्रिकोणांनी बनलेली पृष्ठभाग म्हणून करतात. इयत्ता 10 च्या पाठ्यपुस्तकाच्या सैद्धांतिक आधारावरून, कोणीही टेट्राहेड्रॉनचे चेहरे, कडा आणि शिरोबिंदू, विमानाद्वारे टेट्राहेड्रॉनचे विभाग तयार करण्याबद्दल, एकूण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याबद्दल ज्ञान मिळवू शकतो. टेट्राहेड्रॉन, समावेश. आणि कापलेले (धडा III, § 2 "पिरॅमिड").

पाठ्यपुस्तकाची सैद्धांतिक सामग्री संक्षिप्तपणे आणि शैलीत्मकदृष्ट्या एकसमानपणे सादर केली गेली आहे. काही सैद्धांतिक साहित्य पाठ्यपुस्तकाच्या व्यावहारिक भागात स्थित आहे (काही प्रमेये समस्यांमध्ये सिद्ध होतात). पाठ्यपुस्तकाची व्यावहारिक सामग्री अडचणीच्या दोन स्तरांमध्ये विभागली गेली आहे (तेथे तथाकथित "वाढीव अडचणीची कार्ये" आहेत, विशेष चिन्ह "*" सह चिन्हांकित). याव्यतिरिक्त, पाठ्यपुस्तकाच्या शेवटी उच्च जटिलतेच्या समस्यांसह एक समस्या पुस्तक आहे, ज्यापैकी काही टेट्राहेड्रॉनशी संबंधित आहेत. पाठ्यपुस्तकातील काही कार्ये पाहू.

समस्या सोडवणे.

टास्क १ (#३००). नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडमध्ये DABCगुण ई, एफ आणि पी- बाजूंचे मध्यबिंदू इ.स.पू , एबी आणि एड. विभागाचा प्रकार निश्चित करा आणि पिरॅमिडच्या पायाची बाजू असल्यास त्याचे क्षेत्र शोधा a, बाजूची धार समान आहे b

उपाय.

आम्ही पॉइंट्समधून जाणाऱ्या विमानाने एक विभाग तयार करतो ई, एफ, पी. त्रिकोणाची मधली रेषा काढा ABC , EF || एसी ,

EF || एसी, a ए सीच्याआत चौ. डी सीए, म्हणजे EF || चौ. DCA.सेक्शन प्लेन चेहऱ्याला छेदते DCAसरळ रेषेत पीसी.

कारण विभागाचे विमान सरळ रेषेतून जाते EFविमानाला समांतर DCAआणि विमान पार करतो DCA,नंतर छेदनबिंदूची ओळ पीकेसरळ रेषेच्या समांतर EF.

चला काठावर बांधूया BDAरेषाखंड FP,पण काठावर BDC-रेषाखंड इ.के.चतुर्भुज ईएफओकेआणि आवश्यक विभाग आहे. EF || एसी, पीके || EF || एसी, , , म्हणजे

कारण पीके || EF आणि PK = EF,नंतर EFPC-समांतरभुज चौकोन अशा प्रकारे, EK || EP, EP-त्रिकोणाची मध्यरेषा BCD, .

स्क्यू रेषांमधील कोन डी.बी.आणि सीएसमान 90 ° चला सिद्ध करूया. पिरॅमिडची उंची बांधणे करा. डॉट ओ- समभुज त्रिकोणाचे केंद्र ABC. चला विभाग चालू ठेवूया बीओबाजूने छेदनबिंदूकडे एसीबिंदूवर एम. काटकोन त्रिकोणात ABC:BM- उंची, मध्य आणि दुभाजक, म्हणून. आपल्याकडे ते आहे , , नंतर रेषा आणि समतल लंबकतेच्या निकषानुसार , नंतर .

कारण , पीके || सीएआणि इ.के || बी.डी, नंतर आणि EFPC- आयत.

.

समस्या 2 (#692).

पिरॅमिडचा पाया पाय असलेला काटकोन त्रिकोण आहे aआणि b. त्याची प्रत्येक बाजूकडील कडा एका कोनात बेसच्या समतलतेकडे झुकलेली असते φ . पिरॅमिडची मात्रा शोधा

उपाय:

अ ब क ड-पिरॅमिड, कोपरा ABC-आयताकृती , AC = b, BC = a,कोपरे DAO, DBO, DCOसमान आहेत. चला शोधूया V DABC0 .

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBOपाय बाजूने आणि एक तीव्र कोन, याचा अर्थ AO=OC=OB=Rद्वारे परिक्रमा केलेले वर्तुळ ∆ABC.कारण . ∆ABC-आयताकृती, नंतर .

2) पासून ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

इयत्ता 7-11 पोगोरेलोवा ए.व्ही.साठी पाठ्यपुस्तक "भूमिती" मध्ये "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाचे सादरीकरण.

दुसर्या मूलभूत पाठ्यपुस्तकात, ए.व्ही. पोगोरेलोवा आणि "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाशी कमी-अधिक प्रमाणात संबंधित इतर सैद्धांतिक सामग्री परिच्छेद 176-180, 186, 192, 199, 200 मध्ये समाविष्ट आहे.

परिच्छेद 180 "रेगुलर पॉलीहेड्रा" मध्ये "नियमित टेट्राहेड्रॉन" ("टेट्राहेड्रॉन एक त्रिकोणी पिरॅमिड आहे ज्यामध्ये सर्व कडा समान असतात") च्या संकल्पनेची व्याख्या आहे, पिरॅमिडबद्दल काही गुणधर्म आणि प्रमेयांचा पुरावा रेखाचित्रांद्वारे स्पष्ट केला आहे. टेट्राहेड्रॉन तथापि, हे ट्यूटोरियल आकृतीच्या अभ्यासावर लक्ष केंद्रित करत नाही, आणि या अर्थाने, त्यातील माहिती सामग्री (टेट्राहेड्रॉनच्या संदर्भात) कमी म्हणून मूल्यांकन केले जाऊ शकते. पाठ्यपुस्तकातील व्यावहारिक सामग्रीमध्ये पिरॅमिडशी संबंधित कार्यांची एक समाधानकारक संख्या आहे, ज्याच्या पायथ्याशी एक त्रिकोण आहे (जे खरं तर टेट्राहेड्रॉन आहे). काही समस्या सोडवण्याची उदाहरणे देऊ.

समस्या सोडवणे.

समस्या 1 ("पॉलीहेड्रा" परिच्छेदातील क्रमांक 41).

पिरॅमिडचा पाया एक समद्विभुज त्रिकोण आहे, ज्यामध्ये पाया 12 सेमी आहे, आणि बाजू 10 सेमी आहे. बाजूचे चेहरे बेससह समान डायहेड्रल कोन तयार करतात, ज्यामध्ये प्रत्येकी 45 ° असतात. पिरॅमिडची उंची शोधा.

उपाय:

चला लंब काढू SOपाया आणि लंबांच्या समतलतेकडे एस.के., एस.एमआणि एस.एनबाजूंना ΔABS.नंतर तीन लंब प्रमेयाने ठीक आहे बीसी, ओएम एसी आणि चालू एबी.

मग, SKO = SMO = SNO = 45° -दिलेल्या डायहेड्रल कोनांचे रेखीय कोन म्हणून. म्हणून, काटकोन त्रिकोण SKO, SMOआणि SNO लेग आणि तीव्र कोनात समान आहेत . त्यामुळे OK=OM=चालू,तो मुद्दा आहे ओमध्ये कोरलेले वर्तुळाचे केंद्र आहे ΔABC.

आयताचे क्षेत्रफळ व्यक्त करा ABC:

दुसरीकडे , . त्यामुळे ; ok=r=3 सेमी.काटकोन त्रिकोणात असल्याने S.O.K.तीव्र कोन 45° आहे , नंतर ∆SOKसमद्विभुज आहे आणि SO=OK=३(सेमी) .

समस्या 2 ("पॉलीहेड्राचे खंड" परिच्छेदातील क्रमांक 43).

पिरॅमिडचा आकार शोधा ज्याचा पाया दोन कोन असलेला त्रिकोण आहे a आणि β; परिमित वर्तुळ त्रिज्या आर.पिरॅमिडच्या बाजूच्या कडा एका कोनात त्याच्या पायाच्या विमानाकडे झुकलेल्या आहेत γ.

उपाय.

पिरॅमिडच्या सर्व बाजूच्या कडा एकाच कोनात पायाच्या समतलाकडे झुकलेल्या असल्याने, पिरॅमिडची उंची O 1 Oपायाजवळ परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागातून जाते. त्यामुळे

ΔABC मध्ये.मग साइन प्रमेयानुसार

त्यामुळे , , =

=.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ :

मग .

इयत्ता 10-11 अलेक्झांड्रोव्हा AD साठी पाठ्यपुस्तक "भूमिती" मध्ये "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाचे सादरीकरण.

अलेक्झांड्रोव्ह ए.डी. या पाठ्यपुस्तकाचा विचार करा. इ. “भूमिती: इयत्ता 11 मधील विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक. गणिताच्या सखोल अभ्यासासह. या पाठ्यपुस्तकात टेट्राहेड्रॉनला समर्पित कोणतेही स्वतंत्र परिच्छेद नाहीत, तथापि, हा विषय इतर परिच्छेदांच्या तुकड्यांच्या स्वरूपात उपस्थित आहे.

टेट्राहेड्रॉनचा प्रथम उल्लेख §21.3 मध्ये केला आहे. परिच्छेदाची सामग्री पॉलिहेड्रॉनच्या त्रिकोणाच्या प्रमेयचा विचार करते, उदाहरणार्थ, उत्तल पिरॅमिडचे त्रिकोणीकरण केले जाते. पाठ्यपुस्तकातील "पॉलीहेड्रॉन" या संकल्पनेचा अर्थ दोन प्रकारे केला गेला आहे, संकल्पनेची दुसरी व्याख्या थेट टेट्राहेड्रॉनशी संबंधित आहे: "पॉलीहेड्रॉन ही एक आकृती आहे जी टेट्राहेड्राच्या मर्यादित संख्येचे संघटन आहे ...". नियमित पिरॅमिड आणि टेट्राहेड्रॉनच्या सममितीच्या काही पैलूंबद्दलचे ज्ञान §23 मध्ये आढळू शकते.

§26.2 नियमित पॉलिहेड्रा (टेट्राहेड्रॉनसह) साठी यूलरच्या प्रमेयाच्या (“नियमित नेटवर्कवर”) वापराचे वर्णन करते आणि §26.4 या आकृत्यांच्या वैशिष्ट्यपूर्ण सममितीच्या प्रकारांची चर्चा करते.

तसेच, पाठ्यपुस्तकात तुम्हाला टेट्राहेड्रॉनची मध्यरेषा, वस्तुमानाचे केंद्र (§35.5) आणि आयसोहेड्रल टेट्राहेड्राच्या वर्गाविषयी माहिती मिळू शकते. टेट्राहेड्रावरील समस्या सोडवताना पहिल्या आणि दुसऱ्या प्रकारच्या हालचाली दाखवल्या जातात.

पाठ्यपुस्तकाचे एक विशिष्ट वैशिष्ट्य म्हणजे त्यातील उच्च वैज्ञानिक सामग्री, ज्याला लेखकांनी प्रवेशयोग्य भाषा आणि सादरीकरणाच्या स्पष्ट संरचनेसह एकत्र केले. काही समस्या सोडवण्याची उदाहरणे देऊ.

समस्या सोडवणे.

कार्य १.

बाजूच्या काठासह दिलेल्या नियमित त्रिकोणी कापलेल्या पिरॅमिडमध्ये, सर्व चेहऱ्यांना स्पर्श करणारा गोल आणि सर्व कडांना स्पर्श करणारा गोल ठेवता येतो. पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू शोधा.

उपाय.

रेखांकनामध्ये "पूर्ण" पिरॅमिडचे चित्रण करूया. हा पिरॅमिड, - "पूर्ण" पिरॅमिडची उंची, - त्याचा वरच्या पायथ्यापर्यंतचा भाग कापलेला आहे. कार्य प्लॅनिमेट्रिकमध्ये कमी केले आहे आणि यापैकी कोणतेही गोलाकार काढणे आवश्यक नाही. कारण सर्व कडांना स्पर्श करणारा गोल कापलेल्या पिरॅमिडमध्ये कोरला जाऊ शकतो, त्यानंतर त्याच्या बाजूच्या चेहऱ्यावर वर्तुळ कोरले जाऊ शकते. , (अर्ध्यात विभागण्याच्या सोयीसाठी) आणि वर्णन केलेल्या चतुर्भुजासाठी आपण ते कोठून प्राप्त करू.

कोरलेल्या गोलाच्या अस्तित्वावरून असे दिसून येते की ट्रॅपेझियममध्ये एक अर्धवर्तुळ आहे (- "पूर्ण" पिरॅमिडचे एपोथेम) जेणेकरून त्याचे केंद्र मध्यभागी असते आणि ते स्वतः ट्रॅपेझॉइडच्या इतर तीन बाजूंना स्पर्श करते. .

चेंडूचे केंद्र, आणि संपर्काचे बिंदू आहेत. मग . आम्ही या परिमाणांना आणि च्या संदर्भात व्यक्त करतो. कडून:. कडून:. ट्रॅपेझॉइड पासून: . आम्हाला समीकरण मिळते:

.(2)

समीकरणे (1) आणि (2) च्या प्रणालीचे निराकरण केल्यावर, आम्ही प्राप्त करतो की पायाच्या बाजू समान आहेत.

कार्य २ .

एका काठासह नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या आत aचार समान गोलांची मांडणी केली जाते जेणेकरून प्रत्येक गोल इतर तीन गोलांना आणि टेट्राहेड्रॉनच्या तीन मुखांना स्पर्श करेल. या गोलांची त्रिज्या शोधा.

उपाय .

हा टेट्राहेड्रॉन, - त्याची उंची, - गोलांची केंद्रे, - विमानासह सरळ रेषेच्या छेदनबिंदूचा बिंदू. लक्षात घ्या की समतलाला स्पर्श करणार्‍या समान गोलाकारांची केंद्रे त्यातून समान अंतराने काढून टाकली जातात, त्यातील प्रत्येक बॉलच्या त्रिज्याएवढी असते (त्याला असे दर्शवितात. x). तर विमाने समांतर आहेत, आणि म्हणून.

परंतु धार असलेल्या नियमित टेट्राहेड्रॉनची उंची कशी आहे; धार २ सह नियमित टेट्राहेड्रॉनची उंची म्हणून x ; .

ते व्यक्त करायचे राहते लक्षात घ्या की बिंदू त्रिभुज कोनाच्या आत आहे आणि त्याच्या चेहऱ्यापासून काही अंतरावर आहे आणि त्रिहेड्रल कोनाचे समतल कोन समान आहेत. काय मिळवणे कठीण नाही. आम्ही समीकरणावर येतो:

, जेथून, सरलीकरणानंतर, आम्ही प्राप्त करतो.

इयत्ता 10-11 स्मरनोव्हा I.M साठी पाठ्यपुस्तक "भूमिती" मध्ये "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाचे सादरीकरण.

मानवतावादी प्रोफाइल स्मिर्नोव्हा I.M. च्या ग्रेड 10-11 च्या पाठ्यपुस्तकात "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाचे सादरीकरण. खालील वर्ग समर्पित आहेत: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

“कोणताही बहिर्वक्र पॉलीहेड्रॉन पिरॅमिड्सचा एक सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या पिरॅमिडचा बनलेला असू शकतो, ज्याचे तळ पॉलिहेड्रॉनची पृष्ठभाग बनवतात” या प्रमेयाचा अभ्यास केल्यानंतर, यूलरचे प्रमेय अशा काही पॉलीहेड्रासाठी विचारात घेतले जाते, विशेषतः, अटींची पूर्तता. प्रमेय त्रिकोणी पिरॅमिडसाठी देखील मानला जातो, जो थोडक्यात , आणि एक टेट्राहेड्रॉन आहे.

पाठ्यपुस्तक मनोरंजक आहे कारण ते टोपोलॉजी आणि टोपोलॉजिकल रीतीने नियमित पॉलीहेड्रा (टेट्राहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन, आयकोसेड्रॉन, क्यूब, डोडेकाहेड्रॉन) यांच्याशी संबंधित आहे, ज्यांचे अस्तित्व समान यूलर प्रमेय वापरून न्याय्य आहे.

याव्यतिरिक्त, पाठ्यपुस्तक "योग्य पिरामिड" च्या संकल्पनेची व्याख्या प्रदान करते; टेट्राहेड्रॉनच्या कोरलेल्या आणि परिक्रमा केलेल्या गोलांच्या अस्तित्वावरील प्रमेये, टेट्राहेड्रॉनशी संबंधित काही सममिती गुणधर्मांचा विचार केला जातो. शेवटच्या धड्यात (३५), त्रिकोणी पिरॅमिडचे आकारमान शोधण्याचे सूत्र दिले आहे.

हे पाठ्यपुस्तक पाठ्यपुस्तकाच्या अभिमुखतेमुळे मोठ्या प्रमाणात स्पष्टीकरणात्मक आणि ऐतिहासिक साहित्य, तसेच थोड्या प्रमाणात व्यावहारिक साहित्याद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे. Smirnova I.M चे पाठ्यपुस्तक देखील विचारात घ्या. आणि इतर नैसर्गिक विज्ञान प्रोफाइलच्या ग्रेड 10-11 साठी.

इयत्ता 10-11 स्मरनोव्हा I.M साठी पाठ्यपुस्तक "भूमिती" मध्ये "टेट्राहेड्रॉन" या विषयाचे सादरीकरण. आणि इ.

हे पाठ्यपुस्तक विषयांच्या मांडणीमध्ये आणि सोडवण्यासाठी प्रस्तावित केलेल्या कार्यांच्या जटिलतेच्या पातळीमध्ये मागील ट्यूटोरियलपेक्षा वेगळे आहे. सामग्रीच्या सादरीकरणाचे एक विशिष्ट वैशिष्ट्य म्हणजे त्याचे "सेमेस्टर" मध्ये विभागणे, ज्यापैकी चार पाठ्यपुस्तकात आहेत. टेट्राहेड्रॉनचा उल्लेख अगदी पहिल्या परिच्छेदात केला आहे ("घन भूमितीचा परिचय"), "पिरॅमिड" ची संकल्पना §3 मध्ये परिभाषित केली आहे.

मागील पाठ्यपुस्तकाप्रमाणे, व्यावहारिक साहित्य स्टिरिओमेट्रिक आकृत्यांच्या विकासासह कार्यांसह पूरक आहे. §26 च्या सामग्रीमध्ये टेट्राहेड्रॉनमध्ये कोरलेल्या गोलाबद्दल एक प्रमेय आढळू शकतो. टेट्राहेड्रॉनशी संबंधित उर्वरित सैद्धांतिक सामग्री वर वर्णन केलेल्या पाठ्यपुस्तकातील सामग्रीशी एकरूप आहे.

समस्या सोडवणे.

कार्य १.

नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या पृष्ठभागावर सर्वात लहान मार्ग शोधा अ ब क डठिपके जोडणे इआणि एफटेट्राहेड्रॉनच्या संबंधित शिरोबिंदूंपासून बाजूच्या चेहऱ्याच्या उंचीवर 7 सेमी अंतरावर स्थित आहे. टेट्राहेड्रॉनची धार 20 सें.मी.

उपाय.

टेट्राहेड्रॉनच्या तीन चेहऱ्यांच्या विकासाचा विचार करा. सर्वात लहान मार्ग बिंदूंना जोडणारा विभाग आहे इआणि एफ. त्याची लांबी 20 सेमी आहे.

कार्य २.

पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक काटकोन त्रिकोण आहे, ज्याचा एक पाय 3 सेमी आहे आणि त्याला लागून असलेला तीव्र कोन 30 अंश आहे. पिरॅमिडच्या सर्व बाजूच्या कडा 60 अंशांच्या कोनात बेसच्या समतलतेकडे झुकलेल्या आहेत. पिरॅमिडची मात्रा शोधा.

उपाय.

ABC त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे. उंचीचा पाया मध्यम आहे. त्रिकोण SAC समभुज आहे. .

येथून आणि, म्हणून, पिरॅमिडची मात्रा समान आहे.

निष्कर्ष.

पाठ्यपुस्तकातील एक विशिष्ट वैशिष्ट्य Atanasyan L.S. आणि इतर म्हणजे टेट्राहेड्रॉनचा अभ्यास खूप लवकर सुरू होतो, सामग्री संपूर्ण अभ्यासक्रमात विखुरलेली असते आणि जटिलतेच्या विविध स्तरांवर सादर केली जाते. पाठ्यपुस्तकात पोगोरेलोव्ह ए.व्ही. सामग्री संक्षिप्तपणे स्थित आहे, "टेट्राहेड्रॉन" ची संकल्पना, तसेच इतर अवकाशीय आकृत्यांच्या संकल्पना, खूप उशीरा (इयत्ता 10 च्या शेवटी) सादर केल्या गेल्या आहेत, पाठ्यपुस्तकात सादर केलेली व्यावहारिक सामग्री लहान आहे. पाठ्यपुस्तक मध्ये Smirnova I.M. आणि इतर सैद्धांतिक सामग्री, तसेच व्यावहारिक, एक लहान खंड आहे, कमी पातळीच्या जटिलतेची व्यावहारिक कार्ये, पाठ्यपुस्तक गणिताच्या इतिहासातील मोठ्या प्रमाणात सामग्रीद्वारे ओळखले जाते. पाठ्यपुस्तकात अलेक्झांड्रोव्ह ए.डी. आणि इतर. सामग्रीच्या जटिलतेची पातळी जास्त आहे, सामग्री स्वतःच अधिक वैविध्यपूर्ण आहे, बर्‍याच व्यावहारिक कार्यांमध्ये सिद्धांताचा काही भाग असतो, प्रश्नांच्या रूपात अत्यंत कार्ये आणि कार्ये असतात, जी त्यास इतरांपेक्षा वेगळे करतात.

§2. माध्यमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांमध्ये अवकाशीय विचारांच्या विकासाच्या पातळीची चाचणी

बुद्धिमत्ता ही शिकण्याची किंवा समजून घेण्याची क्षमता आहे, जी सर्व लोकांमध्ये अंतर्भूत असते. काही लोकांकडे ते जास्त प्रमाणात असते, तर काहींना कमी प्रमाणात, परंतु प्रत्येक व्यक्तीमध्ये ही क्षमता आयुष्यभर व्यावहारिकदृष्ट्या अपरिवर्तित राहते. बुद्धीमुळेच आपण बरोबर वागू शकतो आणि आपल्या चुकांमधून शिकू शकतो.

मानसशास्त्रात, बुद्धिमत्तेची व्याख्या ज्ञान समजून घेण्याची आणि इतर, मूलभूतपणे नवीन परिस्थितींमध्ये वापरण्याची क्षमता म्हणून केली जाते. चाचणी परिस्थितीत, एखादी व्यक्ती असामान्य परिस्थितीशी किती यशस्वीपणे जुळवून घेते हे निर्धारित करणे शक्य आहे. चाचणीद्वारे सामान्य बौद्धिक विकासाची पातळी निश्चित करणे हे एक कठीण आणि वेळ घेणारे काम आहे, म्हणूनच, या कामाच्या मजकुरात, स्थानिक विकासाच्या पातळीबद्दलच्या प्रश्नाचे उत्तर देऊन, बुद्धिमत्ता चाचणी पद्धतीचा एक भाग वापरला जाईल. विचार अवकाशीय विचार ही एक विशिष्ट प्रकारची मानसिक क्रिया आहे जी व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक जागेत (दृश्यमान आणि काल्पनिक दोन्ही) अभिमुखता आवश्यक असलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी होते. त्याच्या सर्वात विकसित स्वरूपात, हे नमुन्यांद्वारे विचार करणे आहे ज्यामध्ये स्थानिक गुणधर्म आणि संबंध निश्चित केले जातात. विविध व्हिज्युअल बेस्सवर तयार केलेल्या प्रारंभिक प्रतिमांसह कार्य करणे, विचार त्यांच्या सुधारणे, परिवर्तन आणि मूळ प्रतिमांपेक्षा भिन्न असलेल्या नवीन प्रतिमा तयार करणे सुनिश्चित करते.

एफ. कार्टर, के. रसेल यांच्या "बुद्धिमत्तेच्या विकासाच्या गुणांकासाठी प्रथम चाचणी" मधील ("स्थानिक विचारांच्या विकासाच्या पातळीची लघु-चाचणी") ही सर्व वयोगटांसाठी सार्वत्रिक आहे आणि ती थोड्या प्रमाणात घेते. वेळ (30 मिनिटे). परीक्षेचा मजकूर आणि त्याच्या कळा डिप्लोमाच्या "परिशिष्ट क्रमांक 1" मध्ये आढळू शकतात.

ग्रीक भाषेतील टेट्राहेड्रॉन म्हणजे "टेट्राहेड्रॉन". या भौमितिक आकृतीला चार मुखे, चार शिरोबिंदू आणि सहा कडा आहेत. कडा त्रिकोण आहेत. खरं तर, टेट्राहेड्रॉन म्हणजे पॉलिहेड्राचा पहिला उल्लेख प्लेटोच्या अस्तित्वाच्या खूप आधीपासून दिसून आला.

आज आपण टेट्राहेड्रॉनच्या घटकांबद्दल आणि गुणधर्मांबद्दल बोलू आणि या घटकांसाठी क्षेत्रफळ, व्हॉल्यूम आणि इतर पॅरामीटर्स शोधण्याची सूत्रे देखील शिकू.

टेट्राहेड्रॉनचे घटक

टेट्राहेड्रॉनच्या कोणत्याही शिरोबिंदूपासून मुक्त झालेल्या आणि विरुद्ध चेहऱ्याच्या मध्यकाच्या छेदनबिंदूपर्यंत खाली आणलेल्या भागाला मध्यक म्हणतात.

बहुभुजाची उंची विरुद्ध शिरोबिंदूपासून सोडलेला एक सामान्य विभाग आहे.

बाईमिडियन हा क्रॉसिंग एजच्या केंद्रांना जोडणारा विभाग आहे.

टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म

1) समांतर समतल जे दोन तिरकस किनार्यांमधून जातात ते एक परिक्रमाबद्ध समांतर पाईप बनवतात.

2) टेट्राहेड्रॉनचा एक विशिष्ट गुणधर्म असा आहे की आकृतीचे मध्यक आणि द्विमीडिया एका बिंदूवर एकत्र होतात. हे महत्वाचे आहे की नंतरचे मध्यभागी 3: 1 च्या गुणोत्तरात आणि बाईमेडियन्स - अर्ध्यामध्ये विभाजित करते.

3) समतल टेट्राहेड्रॉनला दोन भागांमध्ये विभागते जर ते दोन ओलांडलेल्या कडांच्या मध्यभागी गेले.

टेट्राहेड्रॉनचे प्रकार

आकृतीची प्रजाती विविधता बरीच विस्तृत आहे. टेट्राहेड्रॉन हे असू शकते:

• बरोबर, म्हणजेच पायावर एक समभुज त्रिकोण आहे;
• isohedral, ज्यामध्ये सर्व चेहरे लांबी समान आहेत;
• ऑर्थोसेन्ट्रिक, जेव्हा हाइट्समध्ये एक सामान्य छेदनबिंदू असतो;
• आयताकृती, जर शीर्षस्थानी सपाट कोन सामान्य असतील;
• आनुपातिक, सर्व द्वि उंची समान आहेत;
• वायरफ्रेम, जर कडांना स्पर्श करणारा गोल असेल;
• इनसेंट्रिक, म्हणजेच, विरुद्ध चेहऱ्याच्या अंकित वर्तुळाच्या मध्यभागी शिरोबिंदूपासून खालच्या भागांमध्ये एक सामान्य छेदनबिंदू आहे; या बिंदूला टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र म्हणतात.

चला नियमित टेट्राहेड्रॉनवर तपशीलवार राहू या, ज्याचे गुणधर्म व्यावहारिकदृष्ट्या भिन्न नाहीत.

नावाच्या आधारे, आपण समजू शकता की चेहरे नियमित त्रिकोण आहेत म्हणून असे म्हटले जाते. या आकृतीच्या सर्व कडा लांबीमध्ये एकरूप आहेत आणि चेहरे क्षेत्रफळात एकरूप आहेत. नियमित टेट्राहेड्रॉन पाच समान पॉलीहेड्रापैकी एक आहे.

टेट्राहेड्रॉन सूत्रे

टेट्राहेड्रॉनची उंची 2/3 च्या मुळाच्या गुणाकार आणि काठाच्या लांबीच्या समान असते.

टेट्राहेड्रॉनची मात्रा पिरॅमिडच्या खंडाप्रमाणेच आढळते: 2 चे वर्गमूळ 12 ने भागले जाते आणि घनदाट काठाच्या लांबीने गुणाकार केला जातो.

वर्तुळांचे क्षेत्रफळ आणि त्रिज्या मोजण्यासाठी उर्वरित सूत्रे वर दिली आहेत.

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, प्रतिक्रिया, सूचना द्यायला विसरू नका. सर्व सामग्री अँटीव्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासली जाते.

ऑनलाइन स्टोअर "इंटग्रल" मधील ग्रेड 1 साठी शिकवण्याचे साधन आणि सिम्युलेटर
गणित, इयत्ता 1-4, पीटरसन एलजी, पाठ्यपुस्तकांसाठी इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक

इतिहासातून

टेट्राहेड्रॉन ही आणखी एक आश्चर्यकारक आकृती आहे जी आपल्या जीवनात सामान्य आहे, परंतु सामान्यतः त्याबद्दलचे आपले ज्ञान शालेय भूमिती अभ्यासक्रमातील व्याख्या, गुणधर्म आणि सूत्रांपुरते मर्यादित असते.

"टेट्राहेड्रॉन" हा शब्द दोन ग्रीक शब्दांपासून तयार झाला आहे: टेट्रा - चार म्हणून अनुवादित आणि हेड्रा - म्हणजे पाया, किनार; टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक शिरोबिंदूवर 3 चेहरे एकत्र होतात. या आकारात 4 चेहरे, 6 कडा आणि 4 शिरोबिंदू आहेत.

प्राचीन काळापासून, सौंदर्याबद्दलच्या लोकांच्या कल्पना सममितीशी संबंधित आहेत. कदाचित हे पॉलीहेड्रामधील लोकांच्या स्वारस्याचे स्पष्टीकरण देते - सममितीचे आश्चर्यकारक प्रतीक ज्याने प्रमुख विचारवंत आणि सर्व युगातील लोकांचे लक्ष वेधले. आधीच पायथागोरसच्या काळात त्यांचे सौंदर्य आणि सममिती पाहून आश्चर्यचकित झाले. पायथागोरसच्या विद्यार्थ्यांचा असा विश्वास होता की नियमित पॉलीहेड्रा दैवी आकृत्या होत्या आणि त्यांचा उपयोग दार्शनिक लेखनात केला. अस्तित्वाची मूलभूत तत्त्वे - अग्नी, वायु, पाणी, पृथ्वी यांना अनुक्रमे अष्टहेड्रॉन, आयकोसेड्रॉन, टेट्राहेड्रॉन, क्यूबचे स्वरूप दिले गेले आणि विश्वाला डोडेकहेड्रॉनच्या रूपात सादर केले गेले. प्लेटोच्या विद्यार्थ्यांनी सूचीबद्ध बॉडींचा अभ्यास करणे सुरू ठेवले, म्हणून या पॉलिहेड्राला प्लेटोनिक सॉलिड्स म्हणतात.

शाळकरी मुलांच्या गणितीय विचारांच्या विकासामध्ये टेट्राहेड्राच्या समस्यांची भूमिका खूप जास्त आहे. ही कार्ये भौमितिक प्रतिनिधित्व आणि ज्ञानाच्या संचयनास उत्तेजित करतात, स्थानिक विचारांच्या विकासास हातभार लावतात, जे स्टिरिओमेट्रीचा अभ्यास करण्याच्या प्रक्रियेत विशेषतः महत्वाचे आहे.

तुम्हाला टेट्राहेड्रॉन कुठे मिळेल? टेट्राहेड्रॉन, अशी आश्चर्यकारक भौमितीय आकृती जी आपण सर्वत्र पाहतो, परंतु पहिल्या दृष्टीक्षेपात ती लक्षात घेणे इतके सोपे नाही. टेट्राहेड्रॉन एक कठोर रचना तयार करू शकते. रॉड्सपासून बनविलेले, ते बहुतेक वेळा बीम, ब्रिज ट्रस, बिल्डिंग स्पॅन्स, सिलिंग्स इत्यादींच्या अवकाशीय संरचनांसाठी आधार म्हणून वापरले जाते. आयताकृती टेट्राहेड्रॉन दीर्घकाळापासून ऑप्टिक्समध्ये वापरला जात आहे. सायकलींवर रिफ्लेक्टर रिफ्लेक्टरचा आकार टेट्राहेड्रॉनचा असतो. टेट्राहेड्रॉनच्या गुणधर्मांमुळे, परावर्तक प्रकाश प्रतिबिंबित करतात आणि इतर लोक आणि चालक सायकलस्वार पाहू शकतात. आपण बारकाईने पाहिल्यास, आपण परावर्तकाच्या आत टेट्राहेड्रॉनची अनेक रूपे पाहू शकता.

टेट्राहेड्रॉनचे प्रकार

टेट्राहेड्रॉनची आकृती अनेक प्रकारांमध्ये विभागली जाऊ शकते, ते काय आहेत?

आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉन, त्याचे सर्व चेहरे एकमेकांच्या समान त्रिकोण आहेत;

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन, शिरोबिंदूंपासून विरुद्ध चेहऱ्यांपर्यंत घसरलेली उंची एका बिंदूवर छेदतात;

आयताकृती टेट्राहेड्रॉन, एका शिरोबिंदूला लागून असलेल्या कडा एकमेकांना लंब असतात;

नियमित टेट्राहेड्रॉन, एक टेट्राहेड्रॉन आहे ज्याचे चेहरे समभुज त्रिकोण आहेत,

अकेंद्रित टेट्राहेड्रॉन, त्याचे विभाग शिरोबिंदूंना वर्तुळांच्या केंद्रांशी जोडतात जे विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये कोरलेले असतात आणि एका बिंदूला छेदतात.

समान वाटप करा फ्रेम टेट्राहेड्रॉन, समतुल्य टेट्राहेड्रॉन.

टेट्राहेड्रॉन हे निसर्गाद्वारे सूचित केलेले आदर्श संतुलन आहे, जे समद्विभुज त्रिकोणाच्या आदर्शतेवर आधारित आहे. टेट्राहेड्रॉन एक त्रिकोण आहे, परंतु केवळ व्हॉल्यूमेट्रिक स्वरूपात, आमच्या काळात त्याला 3D त्रिकोण म्हटले जाऊ शकते.

आमच्या वेबसाइटवर सादर केलेल्या स्वीपचा वापर करून तुम्ही तुमचा भौमितिक आकारांचा संग्रह नवीन आकृती - टेट्राहेड्रॉनसह भरून काढू शकता. या स्कॅनमधून एकत्रित केलेले टेट्राहेड्रॉन शिकण्यासाठी वापरले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, मुलांना मोजणे, रंग ओळखणे शिकवणे, आपण प्लेन आणि व्हॉल्यूम म्हणजे काय, त्रिकोण काय आहे हे स्पष्ट करू शकता.

कागद किंवा पुठ्ठ्यापासून बनवलेल्या टेट्राहेड्रॉनचा विकास

अरबी अंकांसह टेट्राहेड्रॉनची योजना 1,2,3,4 (चेहरा 10 सेमी)	5,6,7,8 अरबी अंकांसह टेट्राहेड्रॉनची योजना (चेहरा 10 सेमी)	0,1,2,9 अरबी अंकांसह टेट्राहेड्रॉनची योजना (चेहरा 10 सेमी)
JPG	JPG	JPG

बहु-रंगीत टेट्राहेड्रॉन क्रमांक 1 ची योजना (चेहरा 10 सेमी)	बहु-रंगीत टेट्राहेड्रॉन क्रमांक 2 ची योजना (चेहरा 10 सेमी)	बहु-रंगी टेट्राहेड्रॉन क्रमांक 3 ची योजना (चेहरा 10 सेमी)
JPG	JPG	JPG

साध्या टेट्राहेड्रॉनची योजना (चेहरा - 10 सेमी)	सूत्रांसह टेट्राहेड्रॉनचे आकृती (चेहरा 10 सेमी)	सोव्हिएत कार्टूनच्या नायकांसह टेट्राहेड्रॉनची योजना (चेहरा - 10 सेमी)

त्याचे सर्व चेहरे एकमेकांच्या बरोबरीचे त्रिकोण आहेत. स्वीप कराआयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉन हा तीन ने भागलेला त्रिकोण आहे मधल्या ओळीचार समान त्रिकोण. आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनमध्ये, उंचीचे तळ, उंचीचे मध्यबिंदू आणि चेहऱ्यांच्या उंचीचे छेदनबिंदू एका गोलाच्या पृष्ठभागावर असतात (12 बिंदूंचा एक गोल) (अॅनालॉग यूलर मंडळेच्या साठी त्रिकोण).

आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

• त्याचे सर्व चेहरे समान आहेत (एकरूप).
• क्रॉसिंग कडा जोड्यांमध्ये समान आहेत.
• त्रिभुज कोन समान आहेत.
• विरुद्ध डायहेड्रल कोन समान आहेत.
• एकाच काठावर आधारित दोन समतल कोन समान आहेत.
• प्रत्येक शिरोबिंदूवरील समतल कोनांची बेरीज 180° आहे.
• टेट्राहेड्रॉनचा विकास हा त्रिकोण किंवा समांतरभुज चौकोन आहे.
• वर्णित समांतर पाईप आयताकृती आहे.
• टेट्राहेड्रॉनमध्ये सममितीचे तीन अक्ष असतात.
• ओलांडलेल्या कडांचे सामान्य लंब जोडीने लंब असतात.
• मध्य रेषा जोडीने लंब असतात.
• चेहर्याचे परिमिती समान आहेत.
• चेहर्याचे क्षेत्र समान आहेत.
• टेट्राहेड्रॉनची उंची समान आहे.
• विरुद्ध चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांसह शिरोबिंदूंना जोडणारे विभाग समान आहेत.
• चेहऱ्यांजवळ वर्णन केलेल्या वर्तुळांची त्रिज्या समान आहेत.
• टेट्राहेड्रॉनचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र परिक्रमा केलेल्या गोलाच्या केंद्राशी जुळते.
• गुरुत्वाकर्षण केंद्र कोरलेल्या गोलाच्या केंद्राशी जुळते.
• परिक्रमा केलेल्या गोलाचे केंद्र कोरलेल्या गोलाच्या केंद्राशी जुळते.
• अंकित गोलाकार या चेहऱ्यांभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रस्थानी असलेल्या चेहऱ्यांना स्पर्श करतो.
• बाह्य युनिट नॉर्मलची बेरीज (मुख्यांवर लंब असलेले एकक वेक्टर) शून्य आहे.
• सर्व डायहेड्रल कोनांची बेरीज शून्य आहे.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन

शिरोबिंदूपासून विरुद्ध चेहऱ्यांपर्यंत खाली पडलेल्या सर्व उंची एका बिंदूवर छेदतात.

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

• टेट्राहेड्रॉनची उंची एका बिंदूवर छेदतात.
• टेट्राहेड्रॉनच्या उंचीचे पायथ्या चेहऱ्यांचे ऑर्थोसेंटर आहेत.
• टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक दोन विरुद्ध कडा लंब असतात.
• टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या चौरसांची बेरीज समान आहेत.
• टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या मध्यबिंदूंना जोडणारे विभाग समान आहेत.
• विरुद्ध डायहेड्रल कोनांच्या कोसाइनची उत्पादने समान असतात.
• चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांच्या वर्गांची बेरीज विरुद्ध किनार्यांच्या उत्पादनांच्या वर्गांच्या बेरीजपेक्षा चार पट कमी आहे.
• येथे ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनवर्तुळ 9 गुण ( यूलर मंडळे) प्रत्येक चेहरा एका गोलाशी संबंधित आहे (24 गुणांचा गोल).
• येथे ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनगुरुत्वाकर्षणाची केंद्रे आणि चेहऱ्यांच्या उंचीचे छेदनबिंदू, तसेच टेट्राहेड्रॉनच्या प्रत्येक उंचीच्या विभागांना शिरोबिंदूपासून उंचीच्या छेदनबिंदूपर्यंत 2:1 च्या गुणोत्तराने विभाजित करणारे बिंदू, खोटे बोलतात. एका गोलावर (12 बिंदूंचा गोल).

आयताकृती टेट्राहेड्रॉन

एका शिरोबिंदूला लागून असलेल्या सर्व कडा एकमेकांना लंब असतात. आयताकृती टेट्राहेड्रॉन आयताकृतीवरून विमानासह टेट्राहेड्रॉन कापून प्राप्त केला जातो. समांतर पाईप केलेले.

वायरफ्रेम टेट्राहेड्रॉन

हे टेट्राहेड्रॉन आहे जे खालीलपैकी कोणत्याही अटी पूर्ण करते:

• सर्व कडांना स्पर्श करणारा एक गोल आहे,
• क्रॉसिंग कडांच्या लांबीची बेरीज समान आहेत,
• विरुद्ध किनार्यांवर डायहेड्रल कोनांची बेरीज समान आहेत,
• चेहऱ्यावर कोरलेली मंडळे जोड्यांमध्ये स्पर्श करतात,
• टेट्राहेड्रॉनच्या विकासावर प्राप्त झालेले सर्व चतुर्भुज परिक्रमा केलेले आहेत,
• त्यामध्ये कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांमधून चेहऱ्यांना उभे केलेले लंब एका बिंदूला छेदतात.

तुलनात्मक टेट्राहेड्रॉन

समतुल्य टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

• द्वि-उंची समान आहेत. टेट्राहेड्रॉनची द्विउच्चता ही दोन छेदणाऱ्या कडांना (ज्या कडांना सामान्य शिरोबिंदू नसतात) सामान्य लंब असतात.
• टेट्राहेड्रॉनचे प्रक्षेपण कोणत्याही लंबवत असलेल्या विमानावर बाईमिडीयन, तेथे आहे समभुज चौकोन. Bimediansटेट्राहेड्रॉन ज्याला त्याच्या छेदनबिंदूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारे खंड म्हणतात (सामान्य शिरोबिंदू नसतात).
• वर्णनाचे पैलू समांतर पाईप केलेलेसमान आहेत.
• खालील संबंध पूर्ण होतात: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, कुठे $a$आणि $a\_1$, $b$आणि $b\_1$, $c$आणि $c\_1$- विरुद्ध कडांची लांबी.
• टेट्राहेड्रॉनच्या विरुद्ध कडांच्या प्रत्येक जोडीसाठी, त्यापैकी एकाद्वारे काढलेली विमाने आणि दुसऱ्याचा मध्यबिंदू लंब असतो.
• समतुल्य टेट्राहेड्रॉनच्या वर्णन केलेल्या समांतर पाईपमध्ये एक गोल कोरला जाऊ शकतो.

अकेंद्रित टेट्राहेड्रॉन

या प्रकारात, टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंना विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांसह जोडणारे विभाग एका बिंदूवर एकमेकांना छेदतात. इनसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

• टेट्राहेड्रॉनच्या चेहऱ्यांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांना विरुद्ध शिरोबिंदू (टेट्राहेड्रॉनचे मध्य) जोडणारे विभाग नेहमी एका बिंदूवर छेदतात. हा बिंदू टेट्राहेड्रॉनच्या गुरुत्वाकर्षणाचा केंद्र आहे.
• टिप्पणी. जर शेवटच्या स्थितीत आम्ही चेहर्यावरील गुरुत्वाकर्षण केंद्रे बदलतो ऑर्थोसेंटर्सचेहरे, नंतर ते नवीन व्याख्येमध्ये बदलेल ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन. जर आम्ही त्यांना चेहऱ्यावर कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांसह पुनर्स्थित केले तर, कधीकधी म्हणतात केंद्रे, आम्हाला टेट्राहेड्राच्या नवीन वर्गाची व्याख्या मिळते - केंद्रित.
• टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंना विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये कोरलेल्या वर्तुळांच्या केंद्रांसह जोडणारे विभाग एका बिंदूवर एकमेकांना छेदतात.
• या चेहऱ्यांच्या एका सामान्य काठावर काढलेल्या दोन चेहऱ्यांच्या कोनांच्या दुभाजकांना समान आधार असतो.
• विरुद्ध कडांच्या लांबीची उत्पादने समान आहेत.
• या कडांच्या तीन टोकांमधून जाणाऱ्या कोणत्याही गोलासह एका शिरोबिंदूपासून बाहेर जाणार्‍या तीन कडांच्या छेदनबिंदूच्या दुसऱ्या बिंदूंनी तयार केलेला त्रिकोण समभुज आहे.

नियमित टेट्राहेड्रॉन

हे सर्व चेहऱ्यांसह आयसोहेड्रल टेट्राहेड्रॉन आहे नियमित त्रिकोण. पाचपैकी एक आहे प्लेटोचे घन पदार्थ.

नियमित टेट्राहेड्रॉनचे गुणधर्म:

• टेट्राहेड्रॉनच्या सर्व कडा समान आहेत
• टेट्राहेड्रॉनचे सर्व चेहरे समान असतात
• सर्व चेहऱ्यांचे परिमिती आणि क्षेत्र समान आहेत.
• नियमित टेट्राहेड्रॉन एकाच वेळी आहे ऑर्थोसेन्ट्रिक, वायरफ्रेम, आइसोहेड्रल, इनसेंट्रिक आणि अनुरूप.
• टेट्राहेड्रॉन हे सूचीबद्ध केलेल्या कोणत्याही दोन प्रकारच्या टेट्राहेड्राचे असल्यास ते नियमित असते: orthocentric, wireframe, incentric, proportionate, isohedral.
• जर टेट्राहेड्रॉन नियमित असेल तर समभुजआणि खालीलपैकी एका प्रकारच्या टेट्राहेड्राशी संबंधित आहे: ऑर्थोसेन्ट्रिक, वायरफ्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक.
• नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये एक अष्टाहेड्रॉन कोरला जाऊ शकतो, शिवाय, अष्टाहेड्रॉनचे चार (आठ पैकी) चेहरे टेट्राहेड्रॉनच्या चार चेहऱ्यांसह संरेखित केले जातील, अष्टाहेड्रॉनचे सर्व सहा शिरोबिंदू टेट्राहेड्रॉनच्या सहा कडांच्या केंद्रांसह संरेखित केले जातील. .
• नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये एक अंकित ऑक्टाहेड्रॉन (मध्यभागी) आणि चार टेट्राहेड्रा (शिरोबिंदूंसह) असतात आणि या टेट्राहेड्राच्या कडा आणि अष्टाहेड्रॉन नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या कडांच्या आकाराच्या अर्ध्या असतात.
• एक नियमित टेट्राहेड्रॉन एका क्यूबमध्ये दोन प्रकारे कोरला जाऊ शकतो, शिवाय, टेट्राहेड्रॉनचे चार शिरोबिंदू घनाच्या चार शिरोबिंदूंशी संरेखित केले जातील.
• आयकोसेड्रॉनमध्ये नियमित टेट्राहेड्रॉन कोरले जाऊ शकते, शिवाय, टेट्राहेड्रॉनचे चार शिरोबिंदू आयकोसेड्रॉनच्या चार शिरोबिंदूंसह एकत्र केले जातील.
• नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या क्रॉसिंग कडा परस्पर लंब असतात.

टेट्राहेड्रॉनची मात्रा

• टेट्राहेड्रॉनची मात्रा (चिन्ह लक्षात घेऊन) ज्याचे शिरोबिंदू बिंदूंवर आहेत $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$समान

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 आणि y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 आणि y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),किंवा

$V\; =\; frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

कुठे $एस$कोणत्याही चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ आहे आणि $एच$या चेहऱ्याची उंची कमी झाली आहे.

• काठाच्या लांबीच्या दृष्टीने टेट्राहेड्रॉनची मात्रा वापरून व्यक्त केली जाते Cayley-Menger निर्धारक :

0 आणि 1 आणि 1 आणि 1 आणि 1 \\ 1 आणि 0 आणि d_(12)^2 आणि d_(13)^2 आणि d_(14)^2 \\ 1 आणि d_(12)^2 आणि 0 आणि d_( 23)^2 आणि d_(24)^2 \\ 1 आणि d_(13)^2 आणि d_(23)^2 आणि 0 आणि d_(34)^2 \\ 1 आणि d_(14)^2 आणि d_( 24)^2 आणि d_(34)^2 आणि 0

\end(vmatrix).

• या फॉर्म्युलामध्ये त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी वेरिएंटच्या स्वरूपात एक सपाट अॅनालॉग आहे हेरॉनची सूत्रेसमान निर्धारकाद्वारे.
• दोन विरुद्ध कडांच्या लांबीच्या दृष्टीने टेट्राहेड्रॉनचे आकारमान aआणि bअंतरावर काढलेल्या क्रिस-क्रॉसिंग रेषा hएकमेकांपासून आणि एकमेकांशी एक कोन तयार करा $\backslash phi$, सूत्रानुसार आढळते:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

कुठे $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 आणि \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 आणि \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• शेवटच्या सूत्राच्या समतलासाठी एक अॅनालॉग म्हणजे त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासाठी त्याच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या दृष्टीने सूत्र आहे. aआणि b, एका शिरोबिंदूतून बाहेर पडणे आणि त्यांच्या दरम्यान एक कोन तयार करणे $\backslash गामा$:

कुठे $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 आणि \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

सूक्ष्म जगामध्ये टेट्राहेड्रा

• एक नियमित टेट्राहेड्रॉन sp 3 वर तयार होतो - अणू कक्षाचे संकरीकरण(त्यांचे अक्ष नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंकडे निर्देशित केले जातात आणि मध्यवर्ती अणूचे केंद्रक नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या वर्णित गोलाच्या मध्यभागी स्थित आहे), म्हणून, अनेक रेणू ज्यामध्ये मध्य अणूचे असे संकरण होते. या पॉलिहेड्रॉनचे स्वरूप
• रेणू मिथेन CH 4
• सल्फेट आयन SO ४ २-, फॉस्फेट आयन PO ४ ३-, पर्क्लोरेट आयन ClO 4 - आणि इतर अनेक आयन
• हिरा C - 2.5220 च्या बरोबरीची किनार असलेला टेट्राहेड्रॉन angstrom
• फ्लोराईट CaF 2 , 3, 8626 च्या बरोबरीची किनार असलेला टेट्राहेड्रॉन angstrom
• स्फॅलेराइट, ZnS, 3.823 च्या बरोबरीने धार असलेला टेट्राहेड्रॉन angstrom
• जटिल आयन - , 2- , 2- , 2+
• सिलिकेट, ज्याची रचना सिलिकॉन-ऑक्सिजन टेट्राहेड्रॉनवर आधारित आहे 4-

निसर्गात टेट्राहेड्रा

काही फळे, एकीकडे चार असतात, टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूवर रेग्युलरच्या जवळ असतात. हे डिझाइन या वस्तुस्थितीमुळे आहे की एकमेकांना स्पर्श करणार्‍या चार समान बॉलची केंद्रे नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूंवर स्थित आहेत. म्हणून, बॉलसारखी फळे समान परस्पर व्यवस्था तयार करतात. उदाहरणार्थ, अशा प्रकारे स्थित केले जाऊ शकते अक्रोड.

अभियांत्रिकी मध्ये टेट्राहेड्रा

देखील पहा

• सिम्प्लेक्स- n-आयामी टेट्राहेड्रॉन

"टेट्राहेड्रॉन" लेखावर पुनरावलोकन लिहा

नोट्स

साहित्य

• मॅटिझेन व्ही. ई., डबरोव्स्की. टेट्राहेड्रॉनच्या भूमितीपासून "क्वांटम", क्रमांक 9, 1988. पी.66.
• Zaslavsky A. A. // गणितीय शिक्षण, ser. 3 (2004), क्रमांक 8, पृ. 78-92.

टेट्राहेड्रॉनचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा

एक्स
8 सप्टेंबर रोजी, एक अतिशय महत्त्वाचा अधिकारी कैद्यांच्या कोठारात प्रवेश केला, रक्षकांनी त्याच्याशी ज्या आदराने वागले ते पाहून. हा अधिकारी, बहुधा कर्मचारी अधिकारी, त्याच्या हातात यादी घेऊन, सर्व रशियन लोकांना एक रोल कॉल केला, पियरे: celui qui n "avue pas son nom [जो त्याचे नाव बोलत नाही]. आणि, उदासीनपणे आणि आळशीपणे सर्व कैद्यांकडे पाहून त्याने रक्षकाला आदेश दिला की अधिकाऱ्याने त्यांना मार्शलकडे नेण्यापूर्वी त्यांना व्यवस्थित कपडे घालणे आणि नीटनेटके करणे योग्य आहे.एक तासानंतर सैनिकांची एक टोळी आली आणि पियरे आणि इतर तेरा जणांना मेडन्सकडे नेण्यात आले. फील्ड. दिवस स्वच्छ होता, पावसानंतर सूर्यप्रकाश होता आणि हवा विलक्षण स्वच्छ होती. धूर खाली सरकत नव्हता, ज्या दिवशी पियरेला झुबोव्स्की शाफ्टच्या गार्डहाऊसमधून बाहेर काढले गेले होते त्या दिवशी, स्वच्छ हवेत खांबांवर धूर निघत होता. , शेकोटीची आग कोठेही दिसत नव्हती, परंतु सर्व बाजूंनी धुराचे खांब उठले होते आणि संपूर्ण मॉस्को, जे पियरे पाहू शकत होते, ते सर्व एक आग होते. स्टोव्ह आणि चिमणी असलेली पडीक जमीन आणि दगडी घरांच्या अधूनमधून जळलेल्या भिंती दृश्यमान होत्या. सर्व बाजूंनी. पियरेने जळजळीकडे पाहिले आणि शहराच्या ओळखीचे ठिकाण ओळखले नाही. काही ठिकाणी जिवंत चर्च दिसू शकतात. क्रेमलिन, नष्ट न झालेले, त्याचे टॉवर्स आणि इव्हान वेने दुरून पांढरे होते. चेहरा जवळच, नोव्हो डेविची कॉन्व्हेंटचा घुमट आनंदाने चमकत होता आणि तेथून विशेषत: मोठ्याने घंटा आणि शिट्ट्या ऐकू येत होत्या. या ब्लागोव्हेस्टने पियरेला आठवण करून दिली की तो रविवार होता आणि व्हर्जिनच्या जन्माचा उत्सव. परंतु असे दिसते की ही सुट्टी साजरी करण्यासाठी कोणीही नव्हते: जळजळीचा नाश सर्वत्र होता आणि रशियन लोकांकडून फक्त अधूनमधून चिंधी, घाबरलेले लोक होते जे फ्रेंच लोकांच्या नजरेत लपले होते.
साहजिकच, रशियन घरटे उद्ध्वस्त आणि नष्ट झाले; परंतु या रशियन जीवनाच्या व्यवस्थेच्या नाशाच्या मागे, पियरेला नकळत असे वाटले की या उद्ध्वस्त घरट्यावर त्याचा स्वतःचा, पूर्णपणे वेगळा, परंतु पक्का फ्रेंच ऑर्डर स्थापित झाला आहे. इतर गुन्हेगारांसोबत त्याला घेऊन जाणार्‍या सैनिकांच्या नियमित रांगेत कूच करत असलेल्या, आनंदाने आणि आनंदाने, त्यांच्या नजरेतून त्याला ते जाणवले; त्याच्याकडे स्वार झालेल्या एका सैनिकाने चालवलेल्या एका दुहेरी गाडीतील काही महत्त्वाच्या फ्रेंच अधिकाऱ्याच्या नजरेतून त्याला हे जाणवले. मैदानाच्या डाव्या बाजूने येणाऱ्या रेजिमेंटल म्युझिकच्या आनंदी आवाजावरून त्याला हे जाणवले आणि त्याला विशेषत: या यादीतून जाणवले आणि समजले की, कैद्यांना बोलावणे, आज सकाळी आलेल्या फ्रेंच अधिकाऱ्याने वाचले. पियरेला काही सैनिकांनी एका ठिकाणी, इतर डझनभर लोकांसह नेले; असे दिसते की ते त्याच्याबद्दल विसरू शकतात, त्याला इतरांसोबत मिसळू शकतात. पण नाही: चौकशीदरम्यान दिलेली त्याची उत्तरे त्याच्या नावाच्या रूपात परत आली: celui qui n "avue pas son nom. आणि या नावाखाली, जे पियरेसाठी भयंकर होते, त्याला आता कुठेतरी नेले गेले होते, निःसंशय आत्मविश्वासाने, त्यावर लिहिलेले त्यांचे चेहरे की इतर सर्व कैदी आणि तो तेच होते ज्यांची गरज होती आणि त्यांना आवश्यक तेथे नेले जात होते. पियरेला एक क्षुल्लक चिप वाटली जी त्याच्यासाठी अज्ञात, परंतु योग्यरित्या कार्यरत मशीनच्या चाकांमध्ये पडली.
पियरे आणि इतर गुन्हेगारांना मेडन फील्डच्या उजव्या बाजूला, मठापासून फार दूर, एका मोठ्या बागेसह एका मोठ्या पांढर्‍या घराकडे नेण्यात आले. हे प्रिन्स शेरबॅटोव्हचे घर होते, ज्यामध्ये पियरे सहसा मालकाला भेट देत असे आणि ज्यामध्ये आता त्याला सैनिकांच्या संभाषणातून समजले, मार्शल, ड्यूक ऑफ एकमुल्स्की उभा होता.
त्यांना पोर्चमध्ये आणले आणि एक एक करून ते घरात शिरू लागले. पियरेला सहाव्या क्रमांकावर आणले. काचेच्या गॅलरीतून, व्हॅस्टिब्युलमधून, पियरेला परिचित असलेला समोरचा हॉल, त्याला एका लांब, खालच्या कार्यालयात नेण्यात आले, ज्याच्या दारात एक सहायक उभा होता.
दाऊट खोलीच्या शेवटी, टेबलाच्या वर, नाकावर चष्मा घालून बसला. पियरे त्याच्या जवळ आला. दाऊटने डोळे न उठवता, समोर पडलेल्या काही कागदाशी सामना करत असल्याचे दिसले. डोळे न उठवता त्याने शांतपणे विचारले:
आपण काय करू शकता? [तू कोण आहेस?]
पियरे गप्प बसले कारण तो शब्द बोलू शकत नव्हता. पियरेसाठी डेव्हआउट हे केवळ फ्रेंच जनरल नव्हते; कारण पियरे डेवाउट हा त्याच्या क्रूरतेसाठी ओळखला जाणारा माणूस होता. दाऊटच्या थंड चेहऱ्याकडे पाहून, जो एका कठोर शिक्षकाप्रमाणे, संयम बाळगण्यास आणि काही काळ उत्तराची वाट पाहण्यास सहमत होता, पियरेला वाटले की प्रत्येक सेकंदाच्या विलंबामुळे त्याचा जीव जाऊ शकतो; पण त्याला काय बोलावे ते कळत नव्हते. पहिल्या चौकशीत जे बोलले होते, तेच सांगण्याची त्याची हिंमत नव्हती; एखाद्याचे पद आणि स्थान उघड करणे धोकादायक आणि लज्जास्पद होते. पियरे गप्प होते. पण पियरेला काहीही ठरवायला वेळ येण्याआधी, डेव्हाउटने डोके वर केले, कपाळावर चष्मा लावला, डोळे अरुंद केले आणि पियरेकडे लक्षपूर्वक पाहिले.
"मी या माणसाला ओळखतो," तो मोजलेल्या, थंड आवाजात म्हणाला, पियरेला घाबरवण्यासाठी निश्चितपणे गणना केली गेली. पूर्वी पियरेच्या पाठीवरून वाहून गेलेल्या थंडीने त्याचे डोके एखाद्या विसासारखे पकडले.
– Mon General, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [तू मला ओळखू शकला नाहीस, जनरल, मी तुला कधीच पाहिले नाही.]
- C "est un espion russe, [हा एक रशियन गुप्तहेर आहे,] - Davout ने त्याला व्यत्यय आणला, खोलीत असलेल्या दुसर्या जनरलकडे वळले आणि ज्याच्याकडे पियरेने लक्ष दिले नाही. आणि Davout मागे वळले. त्याच्या आवाजात अनपेक्षित बूम आली. पियरे अचानक पटकन बोलला.
"नॉन, मोन्सेग्नेर," तो म्हणाला, अचानक आठवले की Davout एक ड्यूक होता. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un official militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [नाही, युवर हायनेस… नाही, युवर हायनेस, तुम्ही मला ओळखू शकले नसते. मी एक पोलीस अधिकारी आहे आणि मी मॉस्को सोडलेला नाही.]
- मतदानाचे नाव? [तुमचे नाव?] पुनरावृत्ती Davout.
- बेसोहॉफ. [बेझुखोव्ह.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [तू खोटे बोलत नाहीस हे मला कोण सिद्ध करेल?]
- महाशय! [आपले महामहिम!] पियरे नाराज न होता ओरडले, परंतु विनवणी करणाऱ्या आवाजात.
दाऊटने डोळे वर केले आणि पियरेकडे लक्षपूर्वक पाहिले. काही सेकंदांसाठी त्यांनी एकमेकांकडे पाहिले आणि या नजरेने पियरेला वाचवले. या दृष्टिकोनातून, युद्ध आणि न्यायाच्या सर्व परिस्थितींव्यतिरिक्त, या दोन लोकांमध्ये मानवी संबंध स्थापित केले गेले. त्या एका मिनिटात दोघांनाही असंख्य गोष्टी अस्पष्टपणे जाणवल्या आणि लक्षात आले की ते दोघेही मानवतेची मुले आहेत, ते भाऊ आहेत.
पहिल्या दृष्टीक्षेपात, Davout साठी, ज्याने फक्त त्याच्या यादीतून डोके वर काढले, जिथे मानवी घडामोडी आणि जीवनाला संख्या म्हटले जाते, पियरे फक्त एक परिस्थिती होती; आणि, वाईट कृत्य त्याच्या विवेकबुद्धीमध्ये न घेता, Davout ने त्याला गोळ्या घातल्या असत्या; पण आता त्याने त्याला माणूस म्हणून पाहिले. त्याने क्षणभर विचार केला.
- मला टिप्पणी द्या प्रॉव्हेरेझ व्हॉस ला व्हेरिटे डी सीई क्यू व्हॉस मी डायट्स? [तुम्ही मला तुमच्या शब्दांचा न्याय कसा सिद्ध कराल?] - दाऊट थंडपणे म्हणाला.
पियरेला रामबलची आठवण झाली आणि त्याने त्याच्या रेजिमेंटचे नाव ठेवले आणि त्याचे आडनाव आणि घर ज्या रस्त्यावर होते.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [तुम्ही म्हणता तसे नाही.] - Davout पुन्हा म्हणाला.
पियरे, थरथरत्या, तुटलेल्या आवाजात, त्याच्या साक्षीच्या वैधतेचा पुरावा देऊ लागला.
पण त्याच क्षणी एडज्युटंट आत आला आणि त्याने Davout ला काहीतरी कळवले.
अॅडज्युटंटने दिलेल्या बातमीने दाऊट अचानक बेम झाला आणि बटन वर करू लागला. तो वरवर पाहता पियरेबद्दल पूर्णपणे विसरला होता.
जेव्हा सहायकाने त्याला कैद्याची आठवण करून दिली, तेव्हा त्याने भुसभुशीतपणे पियरेच्या दिशेने होकार दिला आणि त्याला नेतृत्व करण्यास सांगितले. पण त्याला कोठे नेले जाणार होते - पियरेला माहित नव्हते: बूथवर परत किंवा फाशीच्या तयार ठिकाणी, जे मेडन फील्डमधून जात होते, त्याच्या साथीदारांनी त्याला दाखवले होते.
त्याने डोके फिरवले आणि पाहिलं की अॅडज्युटंट पुन्हा काहीतरी विचारत आहे.
- अरे, बिनधास्त! [होय, नक्कीच!] - डेव्हाउट म्हणाला, परंतु पियरेला "होय" म्हणजे काय हे माहित नव्हते.
तो कसा, किती वेळ आणि कुठे चालला हे पियरेला आठवत नव्हते. त्याच्या आजूबाजूला काहीही न दिसणार्‍या पूर्ण बेशुद्धावस्थेत आणि स्तब्ध अवस्थेत, सर्वजण थांबेपर्यंत त्याने इतरांबरोबर आपले पाय हलवले आणि तो थांबला. एवढ्या वेळात एकच विचार पियरेच्या डोक्यात होता. शेवटी त्याला फाशीची शिक्षा कोणी दिली, हा विचार होता. हे तेच लोक नव्हते ज्यांनी कमिशनमध्ये त्याची चौकशी केली: त्यापैकी कोणालाही नको होते आणि स्पष्टपणे हे करू शकत नव्हते. त्याच्याकडे इतक्या माणुसकीने पाहणारे दाऊट नव्हते. आणखी एक मिनिट, आणि ते काय वाईट रीतीने करत आहेत हे Davout ला समजले असते, परंतु या मिनिटाला प्रवेश करणाऱ्या सहायकाने रोखले. आणि या सहायकाला, अर्थातच, काहीही वाईट नको होते, परंतु त्याने कदाचित प्रवेश केला नसेल. शेवटी, कोणी मारले, मारले, त्याचा जीव घेतला - पियरेला त्याच्या सर्व आठवणी, आकांक्षा, आशा, विचार? हे कोणी केले? आणि पियरेला वाटले की ते कोणीही नव्हते.
ती एक ऑर्डर होती, परिस्थितीचे कोठार होते.
एक प्रकारचा आदेश त्याला मारत होता - पियरे, त्याला त्याच्या आयुष्यापासून, सर्व गोष्टींपासून वंचित ठेवत, त्याचा नाश करत होता.

प्रिन्स शेरबातोव्हच्या घरातून, कैद्यांना थेट मेडेन फील्डच्या खाली, मेडेन मठाच्या डावीकडे नेले गेले आणि बागेकडे नेले, ज्यावर एक खांब उभा होता. पोस्टच्या मागे नुकताच खोदलेला एक मोठा खड्डा होता आणि खड्डा आणि पोस्टभोवती अर्धवर्तुळात लोकांचा मोठा जमाव उभा होता. जमावामध्ये थोड्या प्रमाणात रशियन आणि मोठ्या संख्येने नेपोलियन सैन्याचा समावेश होता: जर्मन, इटालियन आणि फ्रेंच विषम गणवेशात. स्तंभाच्या उजवीकडे आणि डावीकडे निळ्या रंगाच्या गणवेशात फ्रेंच सैन्याचे मोर्चे लाल इपॉलेट, बूट आणि शाकोसह उभे होते.
गुन्हेगारांना एका विशिष्ट क्रमाने ठेवण्यात आले होते, जे यादीत होते (पियर सहावे होते) आणि पोस्टवर आणले गेले. दोन्ही बाजूंनी अचानक अनेक ड्रम वाजले आणि पियरेला असे वाटले की या आवाजाने त्याच्या आत्म्याचा एक भाग फाटला आहे. त्याने विचार करण्याची आणि तर्क करण्याची क्षमता गमावली. तो फक्त पाहू आणि ऐकू शकत होता. आणि त्याची एकच इच्छा होती - काहीतरी भयंकर शक्य तितक्या लवकर व्हावे ही इच्छा, जी करायची होती. पियरेने त्याच्या साथीदारांकडे मागे वळून पाहिले आणि त्यांची तपासणी केली.
काठावरून दोन लोक मुंडण रक्षक होते. एक उंच, पातळ आहे; दुसरे काळे, केसाळ, स्नायुयुक्त, चपटे नाक असलेले. तिसरा एक अंगण होता, जो सुमारे पंचेचाळीस वर्षांचा होता, केस पांढरे झाले होते आणि भरलेले शरीर होते. चौथा एक शेतकरी होता, अतिशय देखणा, झाडीदार दाढी आणि काळे डोळे. पाचवा कारखाना कामगार होता, पिवळा, पातळ सहकारी, अठरा वर्षांचा, ड्रेसिंग गाऊनमध्ये.
पियरेने ऐकले की फ्रेंच कसे शूट करायचे यावर चर्चा करत आहेत - एका वेळी एक किंवा दोन? “दोन,” वरिष्ठ अधिकाऱ्याने थंडपणे आणि शांतपणे उत्तर दिले. सैनिकांच्या पंक्तीमध्ये एक हालचाल होती, आणि हे लक्षात येते की प्रत्येकजण घाईत होता - आणि ते घाईत होते ज्या प्रकारे ते प्रत्येकाला समजण्यासारखे कार्य करण्याची घाई करतात तसे नाही, परंतु आवश्यक, परंतु अप्रिय आणि न समजण्याजोगे कार्य पूर्ण करण्याची त्यांना घाई आहे त्याच प्रकारे.
स्कार्फमधील एक फ्रेंच अधिकारी गुन्हेगारांच्या ओळीच्या उजव्या बाजूला गेला आणि रशियन आणि फ्रेंचमध्ये निकाल वाचला.
मग फ्रेंच लोकांच्या दोन जोड्या गुन्हेगारांजवळ गेल्या आणि अधिकाऱ्याच्या निर्देशानुसार, काठावर उभे असलेले दोन रक्षक घेतले. चौकीवर जाताना पहारेकरी थांबले आणि त्यांनी पिशव्या आणत असताना शांतपणे त्यांच्या आजूबाजूला पाहिले, जसे खाली पडलेला प्राणी एखाद्या योग्य शिकारीला पाहतो. एकाने स्वत:ला ओलांडत राहिलो, दुसऱ्याने पाठ खाजवली आणि ओठांनी हसू आल्यासारखी हालचाल केली. सैनिक, घाईघाईने त्यांच्या हातांनी, त्यांच्या डोळ्यांवर पट्टी बांधू लागले, पिशव्या घालू लागले आणि त्यांना एका पोस्टवर बांधू लागले.
रायफलसह नेमबाजांचे बारा माणसे मोजमाप, भक्कम पावलांनी रँकच्या मागून बाहेर पडले आणि पोस्टवरून आठ वेग थांबवले. काय येणार आहे ते पाहू नये म्हणून पियरेने पाठ फिरवली. अचानक एक क्रॅश आणि गर्जना झाली, जी पियरेला सर्वात भयंकर मेघगर्जनेपेक्षा मोठ्याने वाटली आणि त्याने आजूबाजूला पाहिले. धूर होता, आणि फिकट चेहरे आणि थरथरत्या हातांनी फ्रेंच खड्ड्याजवळ काहीतरी करत होते. त्यांनी इतर दोघांना घेतले. त्याच प्रकारे, त्याच डोळ्यांनी, या दोघांनी सर्वांकडे पाहिले, निरर्थकपणे, त्याच डोळ्यांनी, शांतपणे, संरक्षणाची विनंती केली आणि वरवर पाहता, काय होईल ते समजत नाही आणि विश्वास ठेवत नाही. ते विश्वास ठेवू शकले नाहीत, कारण त्यांचे जीवन त्यांच्यासाठी कसे आहे हे त्यांना एकट्यालाच ठाऊक होते, आणि म्हणून ते समजले नाही आणि ते काढून घेतले जाऊ शकते यावर विश्वास ठेवला नाही.
पियरेला पाहू नये असे वाटले आणि पुन्हा मागे फिरले; पण पुन्हा, जणू एक भयानक स्फोट त्याच्या कानावर पडला, आणि या आवाजांसह त्याला धूर, कोणाचे तरी रक्त आणि फ्रेंचचे फिकट, घाबरलेले चेहरे दिसले, पुन्हा पोस्टवर काहीतरी करत, थरथरत्या हातांनी एकमेकांना ढकलले. पियरे, जोरदार श्वास घेत, त्याच्या सभोवताली पाहिले, जसे की विचारत आहे: हे काय आहे? पियरेला भेटलेल्या सर्व लूकमध्ये हाच प्रश्न होता.