किमान सामान्य एकाधिक ऑनलाइन शोधा. संख्यांचा नोड आणि nok - अनेक संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि सर्वात कमी सामान्य गुणाकार

गणितीय अभिव्यक्ती आणि कार्यांसाठी बरेच अतिरिक्त ज्ञान आवश्यक आहे. एनओसी हा मुख्य विषयांपैकी एक आहे, विशेषत: विषयामध्ये बहुतेकदा वापरला जातो. हा विषय हायस्कूलमध्ये शिकला जातो, परंतु सामग्री समजून घेणे विशेषतः कठीण नसते, परंतु शक्ती आणि गुणाकार सारणीची ओळख असलेल्या व्यक्तीसाठी ते निवडणे कठीण होणार नाही. आवश्यक संख्या आणि परिणाम शोधा.

व्याख्या

सामान्य गुणक ही अशी संख्या आहे जी एकाच वेळी दोन संख्यांमध्ये पूर्णपणे विभागली जाऊ शकते (a आणि b). बहुतेकदा, ही संख्या मूळ संख्या a आणि b चा गुणाकार करून प्राप्त केली जाते. संख्या विचलनाशिवाय, एकाच वेळी दोन्ही संख्यांनी भागता येण्यासारखी असणे आवश्यक आहे.

NOC हे एक लहान नाव आहे, जे पहिल्या अक्षरांवरून घेतले जाते.

नंबर मिळवण्याचे मार्ग

LCM शोधण्यासाठी, संख्यांचा गुणाकार करण्याची पद्धत नेहमीच योग्य नसते, ती साध्या एक-अंकी किंवा दोन-अंकी संख्यांसाठी अधिक योग्य आहे. घटकांमध्ये विभागण्याची प्रथा आहे, संख्या जितकी मोठी असेल तितके अधिक घटक असतील.

उदाहरण #1

सर्वात सोप्या उदाहरणासाठी, शाळा सहसा साध्या, एक-अंकी किंवा दोन-अंकी संख्या घेतात. उदाहरणार्थ, तुम्हाला खालील कार्य सोडवायचे आहे, संख्या 7 आणि 3 मधील किमान सामान्य गुणाकार शोधा, उपाय अगदी सोपे आहे, फक्त त्यांचा गुणाकार करा. परिणामी, 21 संख्या आहे, तेथे कोणतीही लहान संख्या नाही.

उदाहरण # 2

दुसरा पर्याय अधिक कठीण आहे. 300 आणि 1260 क्रमांक दिले आहेत, LCM शोधणे अनिवार्य आहे. कार्य सोडवण्यासाठी, खालील क्रिया गृहीत धरल्या जातात:

प्रथम आणि द्वितीय क्रमांकांचे सर्वात सोप्या घटकांमध्ये विघटन. ३०० = २ २ * ३ * ५ २ ; १२६० = २ २ * ३ २ * ५ * ७. पहिला टप्पा पूर्ण झाला आहे.

दुस-या टप्प्यात आधीच प्राप्त केलेल्या डेटासह कार्य करणे समाविष्ट आहे. प्राप्त झालेल्या प्रत्येक क्रमांकाने अंतिम निकालाच्या गणनेत भाग घेतला पाहिजे. प्रत्येक घटकासाठी, मूळ संख्यांमधून सर्वात मोठी घटना घेतली जाते. LCM ही एक सामान्य संख्या आहे, त्यामुळे संख्यांमधील घटकांची शेवटपर्यंत पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे, अगदी एका प्रसंगात उपस्थित असलेले घटक देखील. दोन्ही प्रारंभिक संख्यांच्या संरचनेत संख्या 2, 3 आणि 5 आहे, भिन्न अंशांमध्ये, 7 फक्त एका प्रकरणात आहे.

अंतिम निकालाची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला प्रत्येक संख्या त्यांच्या प्रतिनिधित्व केलेल्या शक्तींपैकी सर्वात मोठ्या समीकरणामध्ये घेणे आवश्यक आहे. हे फक्त गुणाकार करणे आणि उत्तर मिळवणे बाकी आहे, योग्य भरणेसह, कार्य स्पष्टीकरणाशिवाय दोन चरणांमध्ये बसते:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

हे संपूर्ण कार्य आहे, जर आपण गुणाकार करून इच्छित संख्या मोजण्याचा प्रयत्न केला तर उत्तर निश्चितपणे बरोबर होणार नाही, कारण 300 * 1260 = 378,000.

परीक्षा:

6300 / 300 = 21 - खरे;

6300 / 1260 = 5 बरोबर आहे.

निकालाची शुद्धता तपासण्याद्वारे निर्धारित केली जाते - LCM ला दोन्ही मूळ संख्यांनी भागून, जर दोन्ही प्रकरणांमध्ये संख्या पूर्णांक असेल तर उत्तर बरोबर आहे.

गणितात NOC चा अर्थ काय

तुम्हाला माहिती आहेच की, गणितात एकही निरुपयोगी कार्य नाही, याला अपवाद नाही. या संख्येचा सर्वात सामान्य हेतू म्हणजे अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणणे. हायस्कूलच्या इयत्ता 5-6 मध्ये सामान्यतः काय शिकले जाते. अशा परिस्थितीमध्ये समस्या असल्यास, सर्व गुणकांसाठी हा एक सामान्य विभाजक देखील आहे. अशी अभिव्यक्ती केवळ दोन संख्यांचाच नव्हे तर त्याहूनही मोठ्या संख्येचा गुणक शोधू शकते - तीन, पाच इ. अधिक संख्या - कार्यामध्ये अधिक क्रिया, परंतु याची जटिलता वाढत नाही.

उदाहरणार्थ, 250, 600 आणि 1500 संख्या दिल्यास, तुम्हाला त्यांचे एकूण LCM शोधणे आवश्यक आहे:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - हे उदाहरण कमी न करता फॅक्टरायझेशनचे तपशीलवार वर्णन करते.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

अभिव्यक्ती तयार करण्यासाठी, सर्व घटकांचा उल्लेख करणे आवश्यक आहे, या प्रकरणात 2, 5, 3 दिले आहेत - या सर्व संख्यांसाठी कमाल पदवी निश्चित करणे आवश्यक आहे.

लक्ष द्या: सर्व गुणकांना पूर्ण सरलीकृत करणे आवश्यक आहे, शक्य असल्यास, एकल अंकांच्या पातळीवर विघटित करणे आवश्यक आहे.

परीक्षा:

1) 3000 / 250 = 12 - खरे;

2) 3000 / 600 = 5 - खरे;

3) 3000/1500 = 2 बरोबर आहे.

या पद्धतीला कोणत्याही युक्त्या किंवा अलौकिक बुद्धिमत्ता पातळीची आवश्यकता नाही, सर्वकाही सोपे आणि स्पष्ट आहे.

दुसरा मार्ग

गणितात, बरेच काही जोडलेले असते, बरेच काही दोन किंवा अधिक मार्गांनी सोडवता येते, तेच कमीत कमी सामान्य मल्टिपल, एलसीएम शोधण्यासाठी जाते. साध्या दोन-अंकी आणि एक-अंकी संख्यांच्या बाबतीत खालील पद्धत वापरली जाऊ शकते. एक सारणी संकलित केली जाते ज्यामध्ये गुणक अनुलंब प्रविष्ट केला जातो, गुणक क्षैतिजरित्या प्रविष्ट केला जातो आणि उत्पादन स्तंभाच्या छेदनबिंदू पेशींमध्ये सूचित केले जाते. आपण एका रेषेद्वारे सारणी प्रतिबिंबित करू शकता, एक संख्या घेतली जाते आणि पूर्णांकांनी या संख्येचा गुणाकार केल्याचे परिणाम 1 ते अनंतापर्यंत एका ओळीत लिहिले जातात, कधीकधी 3-5 गुण पुरेसे असतात, दुसरी आणि त्यानंतरची संख्या अधीन असते. समान संगणकीय प्रक्रियेसाठी. जोपर्यंत एक सामान्य गुणक सापडत नाही तोपर्यंत सर्व काही घडते.

30, 35, 42 क्रमांक दिल्यास, तुम्हाला सर्व संख्यांना जोडणारा LCM शोधणे आवश्यक आहे:

1) 30 चे गुणाकार: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, इ.

2) 35 चे गुणाकार: 70, 105, 140, 175, 210, 245, इ.

3) 42 च्या गुणाकार: 84, 126, 168, 210, 252, इ.

हे लक्षात येण्याजोगे आहे की सर्व संख्या अगदी भिन्न आहेत, त्यापैकी एकमेव सामान्य संख्या 210 आहे, म्हणून ती LCM असेल. या गणनेशी संबंधित प्रक्रियांमध्ये, सर्वात मोठा सामान्य विभाजक देखील आहे, ज्याची गणना समान तत्त्वांनुसार केली जाते आणि बहुतेक वेळा शेजारच्या समस्यांना तोंड द्यावे लागते. फरक लहान आहे, परंतु पुरेसा महत्त्वाचा आहे, LCM मध्ये सर्व दिलेल्या प्रारंभिक मूल्यांद्वारे विभाज्य असलेल्या संख्येची गणना समाविष्ट असते आणि GCD सर्वात मोठ्या मूल्याची गणना गृहित धरते ज्याद्वारे प्रारंभिक संख्या विभाजित केल्या जातात.

दुसरा क्रमांक: b=

अंक विभाजकस्पेस सेपरेटर नाही " ´

परिणाम:

ग्रेटेस्ट कॉमन डिव्हिजर जीसीडी( a,b)=6

LCM चे किमान सामान्य गुणक( a,b)=468

सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या ज्याने a आणि b या संख्यांना उरलेल्या भागाशिवाय भाग जाते त्याला म्हणतात सर्वात मोठा सामान्य विभाजक(gcd) या संख्या. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) किंवा hcf(a,b) दर्शविले.

किमान सामान्य एकाधिक a आणि b या दोन पूर्णांकांची (LCM) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी उर्वरित न करता a आणि b ने भाग जाते. LCM(a,b), किंवा lcm(a,b) दर्शविले.

पूर्णांक a आणि b म्हणतात coprimeजर त्यांच्याकडे +1 आणि −1 व्यतिरिक्त कोणतेही सामान्य विभाजक नसतील.

श्रेष्ठ सामाईक भाजक

दोन सकारात्मक संख्या द्या a 1 आणि a२ १). या संख्यांचा एक सामान्य विभाजक शोधणे आवश्यक आहे, उदा. अशी संख्या शोधा λ , जे संख्यांना विभाजित करते a 1 आणि a 2 एकाच वेळी. चला अल्गोरिदमचे वर्णन करूया.

१) या लेखात संख्या या शब्दाचा अर्थ पूर्णांक असेल.

द्या a 1 ≥ a 2 आणि द्या

कुठे मी 1 , a 3 काही पूर्णांक आहेत, a 3 <a 2 (विभागामधून उर्वरित a 1 वर a 2 कमी असावे a 2).

चला ते ढोंग करूया λ विभाजित करते a 1 आणि a 2, नंतर λ विभाजित करते मी 1 a 2 आणि λ विभाजित करते a 1 −मी 1 a 2 =a 3 ("संख्यांची विभाज्यता. विभाज्यतेचे चिन्ह" या लेखातील प्रतिपादन 2). हे प्रत्येक सामान्य विभाजकाचे अनुसरण करते a 1 आणि a 2 हा सामाईक विभाजक आहे a 2 आणि a३ . संभाषण देखील खरे आहे जर λ सामान्य विभाजक a 2 आणि a 3, नंतर मी 1 a 2 आणि a 1 =मी 1 a 2 +a 3 मध्ये देखील विभागले आहेत λ . म्हणून सामाईक विभाजक a 2 आणि a 3 हा देखील सामाईक विभाजक आहे a 1 आणि a 2. कारण a 3 <a 2 ≤a 1 , तर आपण असे म्हणू शकतो की संख्यांचा समान विभाजक शोधण्याच्या समस्येचे निराकरण आहे a 1 आणि aसंख्यांचा सामान्य विभाजक शोधण्याच्या सोप्या समस्येवर 2 कमी केले a 2 आणि a 3 .

जर ए a 3 ≠0, नंतर आपण भागू शकतो a 2 वर a३ . मग

कुठे मी 1 आणि a 4 काही पूर्णांक आहेत, ( a 4 भागाकार उर्वरित a 2 वर a 3 (a 4 <a३)). तत्सम तर्काने, आपण या निष्कर्षावर पोहोचतो की संख्यांचे सामान्य विभाजक a 3 आणि a 4 हा संख्यांच्या सामान्य विभाजकांसारखाच आहे a 2 आणि a 3 , आणि सामान्य विभाजकांसह देखील a 1 आणि a 2. कारण a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... ज्या संख्या सतत कमी होत आहेत आणि त्या दरम्यान पूर्णांकांची मर्यादित संख्या आहे a 2 आणि 0, नंतर काही टप्प्यावर n, विभागातील उर्वरित aन a n+1 शून्य असेल ( a n+2=0).

प्रत्येक सामान्य विभाजक λ संख्या a 1 आणि a 2 हा संख्यांचा विभाजक देखील आहे a 2 आणि a 3 , a 3 आणि a 4 , .... a n आणि a n+1 . संभाषण देखील सत्य आहे, संख्यांचे सामान्य विभाजक a n आणि a n+1 हे देखील संख्यांचे विभाजक आहेत a n−1 आणि a n, ...., a 2 आणि a 3 , a 1 आणि a 2. पण सामाईक विभाजक a n आणि a n+1 ही एक संख्या आहे a n+1 , कारण a n आणि a n+1 ने भाग जातो a n+1 (ते लक्षात ठेवा a n+2=0). परिणामी a n+1 हा देखील संख्यांचा विभाजक आहे a 1 आणि a 2 .

संख्या लक्षात घ्या a n+1 हा सर्वात मोठा भाजक आहे a n आणि a n+1 , सर्वात मोठा भाजक असल्याने a n+1 स्वतः आहे a n+1 . जर ए a n + 1 हे पूर्णांकांचे गुणाकार म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, नंतर या संख्या देखील संख्यांचे सामान्य विभाजक आहेत a 1 आणि a 2. क्रमांक a n+1 म्हणतात सर्वात मोठा सामान्य विभाजकसंख्या a 1 आणि a 2 .

संख्या a 1 आणि a 2 ही सकारात्मक आणि ऋण संख्या असू शकते. जर संख्यांपैकी एक शून्य असेल, तर या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक इतर संख्येच्या निरपेक्ष मूल्याच्या बरोबरीचा असेल. शून्य संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक परिभाषित केलेला नाही.

वरील अल्गोरिदम म्हणतात युक्लिडचा अल्गोरिदमदोन पूर्णांकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी.

दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचे उदाहरण

630 आणि 434 या दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा.

पायरी 1. संख्या 630 ला 434 ने भागा. उर्वरित 196 आहे.
पायरी 2. 434 क्रमांकाला 196 ने भागा. उर्वरित 42 आहे.
पायरी 3. 196 या संख्येला 42 ने विभाजित करा. उर्वरित 28 आहे.
पायरी 4. संख्या 42 ला 28 ने विभाजित करा. उर्वरित 14 आहे.
पायरी 5. संख्या 28 ला 14 ने विभाजित करा. उर्वरित 0 आहे.

पायरी 5 वर, भागाकाराचा उरलेला भाग 0 आहे. म्हणून, 630 आणि 434 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 14 आहे. लक्षात घ्या की 2 आणि 7 हे संख्या 630 आणि 434 चे देखील विभाजक आहेत.

कॉप्राइम क्रमांक

व्याख्या 1. संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक समजा a 1 आणि a 2 एक समान आहे. मग या क्रमांकांवर कॉल केला जातो कॉप्राइम क्रमांकज्याला सामाईक भाजक नाही.

प्रमेय 1. जर ए a 1 आणि a 2 तुलनेने अविभाज्य संख्या, आणि λ काही संख्या, नंतर संख्यांचा कोणताही सामान्य विभाजक λa 1 आणि a 2 हा संख्यांचा सामान्य विभाजक देखील आहे λ आणि a 2 .

पुरावा. संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी युक्लिडच्या अल्गोरिदमचा विचार करा a 1 आणि a 2 (वर पहा).

हे प्रमेयाच्या अटींनुसार संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे a 1 आणि a 2, आणि म्हणून a n आणि a n+1 हे 1 आहे. म्हणजे a n+1=1.

या सर्व समानतेने गुणाकार करू λ , नंतर

सामान्य विभाजक द्या a 1 λ आणि a 2 आहे δ . मग δ मध्ये एक घटक म्हणून प्रवेश करतो a 1 λ , मी 1 a 2 λ आणि मध्ये a 1 λ -मी 1 a 2 λ =a 3 λ ("संख्यांची विभाज्यता", विधान 2 पहा). पुढील δ मध्ये एक घटक म्हणून प्रवेश करतो a 2 λ आणि मी 2 a 3 λ , आणि म्हणून मध्ये एक घटक म्हणून प्रवेश करते a 2 λ -मी 2 a 3 λ =a 4 λ .

अशा प्रकारे युक्तिवाद केल्याने आपल्याला खात्री पटते δ मध्ये एक घटक म्हणून प्रवेश करतो a n−1 λ आणि मी n−1 a n λ , आणि म्हणून मध्ये a n−1 λ −मी n−1 a n λ =a n+1 λ . कारण a n+1 =1, नंतर δ मध्ये एक घटक म्हणून प्रवेश करतो λ . त्यामुळे संख्या δ संख्यांचा सामान्य विभाजक आहे λ आणि a 2 .

प्रमेय 1 च्या विशेष प्रकरणांचा विचार करा.

परिणाम 1. द्या aआणि cमूळ संख्या तुलनेने आहेत b. मग त्यांचे उत्पादन एसीच्या संदर्भात अविभाज्य संख्या आहे b.

खरंच. प्रमेय 1 पासून एसीआणि bसारखे समान विभाजक आहेत cआणि b. पण संख्या cआणि b coprime, i.e. एकच सामाईक भाजक ठेवा 1. नंतर एसीआणि bएकच सामाईक भाजक 1. म्हणून एसीआणि bपरस्पर साधे.

परिणाम 2. द्या aआणि b coprime numbers आणि let bविभाजित करते ak. मग bविभाजित करते आणि k.

खरंच. प्रतिपादन स्थिती पासून akआणि bएक सामाईक विभाजक आहे b. प्रमेय 1 च्या सद्गुणानुसार, bएक सामान्य विभाजक असणे आवश्यक आहे bआणि k. परिणामी bविभाजित करते k.

परिणाम 1 सामान्यीकृत केले जाऊ शकते.

परिणाम 3. 1. संख्या द्या a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m संख्या सापेक्ष अविभाज्य आहेत b. मग a 1 a 2 , a 1 a२ · a 3 , ..., a 1 a 2 a३··· a m , या संख्यांचा गुणाकार क्रमांकाच्या संदर्भात अविभाज्य आहे b.

2. आपल्याकडे संख्यांच्या दोन ओळी आहेत

जसे की पहिल्या रांगेतील प्रत्येक संख्या दुसऱ्या रांगेतील प्रत्येक संख्येच्या संदर्भात अविभाज्य आहे. मग उत्पादन

या प्रत्येक संख्येने भागाकार अशा संख्या शोधणे आवश्यक आहे.

जर संख्या याने भाग जात असेल a 1 , नंतर असे दिसते सा 1, कुठे sकाही संख्या. जर ए qसंख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे a 1 आणि a 2, नंतर

कुठे s 1 हा काही पूर्णांक आहे. मग

आहे संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार a 1 आणि a 2 .

a 1 आणि a 2 coprime, नंतर संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणाकार a 1 आणि a 2:

या संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

हे वरील वरून येते की संख्यांचा कोणताही गुणाकार a 1 , a 2 , a 3 हा संख्यांचा गुणाकार असणे आवश्यक आहे ε आणि a 3 आणि उलट. संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार द्या ε आणि a 3 आहे ε एक पुढे, संख्यांचा एक पट a 1 , a 2 , a 3 , a 4 हा संख्यांचा गुणाकार असावा ε 1 आणि aचार संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार द्या ε 1 आणि a 4 आहे ε 2. अशा प्रकारे, आम्हाला आढळले की संख्यांचे सर्व गुणाकार a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m काही विशिष्ट संख्येच्या गुणाकारांशी एकरूप होतो ε n , ज्याला दिलेल्या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक म्हणतात.

विशिष्ट बाबतीत जेव्हा संख्या a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, नंतर संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणाकार a 1 , aवर दर्शविल्याप्रमाणे 2 मध्ये फॉर्म (3) आहे. पुढे, पासून aसंख्यांच्या संदर्भात 3 अविभाज्य a 1 , a 2, नंतर a 3 ही मूळ सापेक्ष संख्या आहे aएक · a 2 (कोरोलरी 1). तर संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणाकार a 1 ,a 2 ,a 3 ही संख्या आहे aएक · a२ · a३ . अशाच प्रकारे युक्तिवाद करत आपण खालील विधानांवर पोहोचतो.

विधान 1. कॉप्राइम संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m त्यांच्या उत्पादनाप्रमाणे आहे aएक · a२ · a३··· aमी

विधान 2. कोणतीही संख्या जी प्रत्येक कॉप्राइम संख्यांनी भागता येते a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m देखील त्यांच्या गुणाकाराने विभाज्य आहे aएक · a२ · a३··· aमी

खाली सादर केलेली सामग्री ही LCM या शीर्षकाखालील लेखातील सिद्धांताची तार्किक निरंतरता आहे - किमान सामान्य एकाधिक, व्याख्या, उदाहरणे, LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध. येथे आपण याबद्दल बोलू किमान सामान्य एकाधिक (एलसीएम) शोधणे, आणि उदाहरणे सोडवण्याकडे विशेष लक्ष द्या. या संख्यांच्या GCD नुसार दोन संख्यांचा LCM कसा काढला जातो ते प्रथम दाखवू. पुढे, अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे गुणांकन करून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा विचार करा. त्यानंतर, आम्ही तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधण्यावर लक्ष केंद्रित करू आणि ऋण संख्यांच्या LCM च्या गणनेकडे देखील लक्ष देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

gcd द्वारे किमान सामान्य एकाधिक (LCM) ची गणना

LCM आणि GCD मधील संबंधांवर आधारित किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा एक मार्ग आहे. LCM आणि GCD मधील विद्यमान संबंध तुम्हाला ज्ञात सर्वात सामान्य विभाजकाद्वारे दोन सकारात्मक पूर्णांकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना करण्यास अनुमती देतात. संबंधित सूत्रात फॉर्म आहे LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . वरील सूत्रानुसार LCM शोधण्याची उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण.

126 आणि 70 या दोन संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

या उदाहरणात a=126 , b=70 . सूत्राद्वारे व्यक्त केलेले LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध वापरू LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). म्हणजेच, प्रथम आपल्याला 70 आणि 126 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधावा लागेल, त्यानंतर आपण लिखित सूत्रानुसार या संख्यांचा LCM काढू शकतो.

युक्लिडचे अल्गोरिदम वापरून gcd(126, 70) शोधा: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , म्हणून gcd(126, 70)=14 .

आता आम्हाला आवश्यक किमान सामान्य गुणाकार सापडतो: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)=१२६ ७०:१४=६३० .

उत्तर:

LCM(126, 70)=630 .

उदाहरण.

LCM (68, 34) म्हणजे काय?

उपाय.

कारण 68 हा 34 ने समान रीतीने भाग जातो, नंतर gcd(68, 34)=34. आता आम्ही किमान सामान्य गुणकांची गणना करतो: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)=६८ ३४:३४=६८ .

उत्तर:

LCM(68, 34)=68 .

लक्षात घ्या की मागील उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक a आणि b साठी LCM शोधण्यासाठी खालील नियमात बसते: जर a संख्या b ने भाग जात असेल, तर या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आहे.

प्राइम फॅक्टरमध्ये संख्यांचे फॅक्टरिंग करून LCM शोधणे

कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्याचा आणखी एक मार्ग म्हणजे मूळ घटकांमध्ये फॅक्टरिंग संख्यांवर आधारित. जर आपण या संख्यांच्या सर्व अविभाज्य घटकांचे गुणांकन केले, त्यानंतर या संख्यांच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व सामान्य मूळ घटक या गुणाकारातून वगळले, तर परिणामी उत्पादन या संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल.

एलसीएम शोधण्यासाठी घोषित केलेला नियम समानतेचे अनुसरण करतो LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). खरंच, a आणि b संख्यांचा गुणाकार हा a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे. या बदल्यात, gcd(a, b) हे सर्व अविभाज्य घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे जे a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये एकाच वेळी उपस्थित असतात (ज्याचे वर्णन अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून gcd शोधण्याच्या विभागात केले आहे. ).

एक उदाहरण घेऊ. कळू द्या की 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. या विस्ताराच्या सर्व घटकांचे गुणाकार तयार करा: 2 3 3 5 5 5 7 . आता आम्ही या उत्पादनातून 75 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये आणि 210 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व घटक वगळले आहेत (असे घटक 3 आणि 5 आहेत), नंतर उत्पादन 2 3 5 5 7 फॉर्म घेईल. या उत्पादनाचे मूल्य 75 आणि 210 क्रमांकाच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण.

441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये गुणांकन केल्यानंतर, या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक शोधा.

उपाय.

चला 441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये विघटन करूया:

आपल्याला 441=3 3 7 7 आणि 700=2 2 5 5 7 मिळतात.

आता या संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांचे गुणांकन करू या: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . दोन्ही विस्तारांमध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेले सर्व घटक या उत्पादनातून वगळूया (असा एकच घटक आहे - हा क्रमांक 7 आहे): 2 2 3 3 5 5 7 7 . अशा प्रकारे, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

LCM(441, 700) = 44 100 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन करून LCM शोधण्याचा नियम थोड्या वेगळ्या पद्धतीने तयार केला जाऊ शकतो. जर आपण संख्या b च्या विस्तारातील गहाळ घटक संख्या a च्या विस्तारातील घटकांमध्ये जोडले, तर परिणामी उत्पादनाचे मूल्य a आणि b संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल..

उदाहरणार्थ, सर्व समान संख्या 75 आणि 210 घेऊ, त्यांचा विस्तार मूळ घटकांमध्ये खालीलप्रमाणे आहे: 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. संख्या 75 च्या विघटनापासून 3, 5 आणि 5 या घटकांमध्ये, 210 क्रमांकाच्या विघटनापासून गहाळ घटक 2 आणि 7 जोडतो, आम्हाला 2 3 5 5 7 हे गुणक मिळतात, ज्याचे मूल्य LCM(75) आहे. , 210).

उदाहरण.

84 आणि 648 चा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

आम्ही प्रथम क्रमांक 84 आणि 648 चे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये प्राप्त करतो. ते 84=2 2 3 7 आणि 648=2 2 2 3 3 3 सारखे दिसतात. 84 क्रमांकाच्या विघटनापासून घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आपण 2, 3, 3 आणि 3 या संख्या 648 च्या विघटनातून गहाळ घटक जोडतो, आपल्याला 2 2 2 3 3 3 3 7 हे गुण मिळतात. जे 4 536 च्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, 84 आणि 648 संख्यांचा इच्छित किमान सामान्य गुणक 4,536 आहे.

उत्तर:

LCM(84, 648)=4 536 .

तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधणे

तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार दोन संख्यांचा LCM क्रमाने शोधून शोधता येतो. संबंधित प्रमेय आठवा, जे तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्याचा मार्ग देते.

प्रमेय.

a 1 , a 2 , …, a k ची सकारात्मक पूर्णांक द्या, या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य अनेक m k अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a) मध्ये आढळतात. ३) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याच्या उदाहरणावर या प्रमेयाच्या वापराचा विचार करा.

उदाहरण.

140 , 9 , 54 आणि 250 या चार संख्यांचे LCM शोधा.

उपाय.

या उदाहरणात a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

प्रथम आपण शोधतो m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). हे करण्यासाठी, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही gcd(140, 9) निर्धारित करतो, आमच्याकडे 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 आहे, म्हणून, gcd( 140, 9)=1 , कुठून LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . म्हणजे, m 2 = 1 260 .

आता आम्ही शोधतो m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). चला gcd(1 260, 54) द्वारे गणना करूया, जे युक्लिड अल्गोरिदमद्वारे देखील निर्धारित केले जाते: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . नंतर gcd(1 260, 54)=18 , जेथून LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . म्हणजे, m 3 \u003d 3 780.

शोधण्यासाठी बाकी m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). हे करण्यासाठी, आम्ही युक्लिड अल्गोरिदम वापरून GCD(3 780, 250) शोधतो: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . म्हणून, gcd(3 780, 250)=10 , जिथून gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)=३ ७८० २५०:१०=९४ ५०० . म्हणजे, m 4 \u003d 94 500.

तर मूळ चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक 94,500 आहे.

उत्तर:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, तीन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक हे दिलेल्या संख्यांचे अविभाज्य गुणांकन वापरून सोयीस्करपणे आढळतात. या प्रकरणात, खालील नियमांचे पालन केले पाहिजे. अनेक संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक हा गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो, जो खालील प्रमाणे बनलेला असतो: दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारातील गहाळ घटक पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून सर्व घटकांमध्ये जोडले जातात, च्या विस्तारातील गहाळ घटक तिसरा क्रमांक प्राप्त घटकांमध्ये जोडला जातो, आणि असेच.

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 या पाच संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

उपाय.

प्रथम, आम्ही या संख्यांचा विस्तार अविभाज्य घटकांमध्ये मिळवतो: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अविभाज्य घटक) आणि 143=11 13.

या संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, पहिल्या क्रमांक 84 च्या घटकांमध्ये (ते 2 , 2 , 3 आणि 7 आहेत ) तुम्हाला दुसऱ्या क्रमांक 6 च्या विस्तारापासून गहाळ घटक जोडणे आवश्यक आहे. क्रमांक 6 च्या विस्तारामध्ये गहाळ घटक नसतात, कारण पहिल्या क्रमांक 84 च्या विस्तारामध्ये 2 आणि 3 दोन्ही आधीच उपस्थित आहेत. 2 , 2 , 3 आणि 7 च्या पुढे आपण तिस-या क्रमांक 48 च्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडतो , आपल्याला 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 घटकांचा संच मिळतो . पुढील चरणात या संचामध्ये घटक जोडण्याची गरज नाही, कारण त्यात 7 आधीच समाविष्ट आहे. शेवटी, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 या घटकांमध्ये आपण 143 क्रमांकाच्या विस्तारातून 11 आणि 13 गहाळ घटक जोडतो. आम्हाला उत्पादन मिळते 2 2 2 2 3 7 11 13 , जे 48 048 च्या बरोबरीचे आहे.

LCM ची गणना कशी करायची हे समजून घेण्यासाठी, आपण प्रथम "एकाधिक" शब्दाचा अर्थ निश्चित केला पाहिजे.

A चा गुणाकार ही नैसर्गिक संख्या आहे जी A ने उर्वरित न भागता येते. अशा प्रकारे, 15, 20, 25, आणि असेच 5 चे गुणाकार मानले जाऊ शकतात.

विशिष्ट संख्येचे विभाजक मर्यादित असू शकतात, परंतु गुणाकारांची संख्या असीम आहे.

नैसर्गिक संख्यांचा एक सामान्य गुणक ही अशी संख्या आहे जी त्यांच्याद्वारे उर्वरित भागाशिवाय भागली जाऊ शकते.

संख्यांचा किमान सामान्य गुणक कसा शोधायचा

संख्यांची (दोन, तीन किंवा अधिक) किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी या सर्व संख्यांनी समान रीतीने भाग जाते.

NOC शोधण्यासाठी, तुम्ही अनेक पद्धती वापरू शकता.

लहान संख्यांसाठी, या संख्येच्या सर्व गुणाकार एका ओळीत लिहिणे सोयीचे आहे जोपर्यंत त्यांच्यामध्ये एक सामान्य सापडत नाही. कॅपिटल अक्षर K ने रेकॉर्डमध्ये गुणाकार दर्शविला जातो.

उदाहरणार्थ, 4 चे गुणाकार असे लिहिले जाऊ शकतात:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

तर, तुम्ही पाहू शकता की 4 आणि 6 मधील सर्वात कमी सामान्य गुणक ही संख्या 24 आहे. ही नोंद खालीलप्रमाणे केली जाते:

LCM(4, 6) = 24

जर संख्या मोठी असेल तर, तीन किंवा अधिक संख्यांचा सामान्य गुणाकार शोधा, नंतर LCM ची गणना करण्यासाठी दुसरा मार्ग वापरणे चांगले.

कार्य पूर्ण करण्यासाठी, प्रस्तावित संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे.

प्रथम आपल्याला एका ओळीतील सर्वात मोठ्या संख्येचा विस्तार लिहिण्याची आवश्यकता आहे आणि त्याखाली - उर्वरित.

प्रत्येक संख्येच्या विस्तारामध्ये, भिन्न संख्येचे घटक असू शकतात.

उदाहरणार्थ, 50 आणि 20 या संख्यांचा अविभाज्य घटकांमध्ये घटक करू.

लहान संख्येच्या विस्तारामध्ये, प्रथम मोठ्या संख्येच्या विस्तारामध्ये गहाळ असलेले घटक अधोरेखित केले पाहिजेत आणि नंतर त्यास जोडले पाहिजेत. सादर केलेल्या उदाहरणात, एक ड्यूस गहाळ आहे.

आता आपण 20 आणि 50 चा किमान सामान्य गुणाकार काढू शकतो.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

अशा प्रकारे, मोठ्या संख्येच्या अविभाज्य घटकांचे गुणाकार आणि दुसर्‍या संख्येचे घटक, जे मोठ्या संख्येच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसतात, ते सर्वात कमी सामान्य गुणाकार असतील.

तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यासाठी, त्या सर्वांचे विघटन मागील प्रकरणाप्रमाणेच अविभाज्य घटकांमध्ये केले पाहिजे.

उदाहरण म्हणून, आपण 16, 24, 36 या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक शोधू शकता.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

अशा प्रकारे, सोळा च्या विघटनातून फक्त दोन ड्यूसेस मोठ्या संख्येच्या फॅक्टरायझेशनमध्ये समाविष्ट केले गेले नाहीत (एक चोवीसच्या विघटनामध्ये आहे).

अशा प्रकारे, त्यांना मोठ्या संख्येच्या विघटनामध्ये जोडणे आवश्यक आहे.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

किमान सामान्य गुणाकार निर्धारित करण्यासाठी विशेष प्रकरणे आहेत. म्हणून, जर एका संख्येला उरल्याशिवाय दुसर्‍या संख्येने भागता येत असेल, तर यापैकी मोठी संख्या ही सर्वात कमी सामान्य गुणाकार असेल.

उदाहरणार्थ, बारा आणि चोवीसच्या एनओसी चोवीस असतील.

समान विभाजक नसलेल्या कॉप्राइम संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधणे आवश्यक असल्यास, त्यांचे LCM त्यांच्या गुणाकाराच्या समान असेल.

उदाहरणार्थ, LCM(10, 11) = 110.

श्रेष्ठ सामाईक भाजक

व्याख्या २

जर नैसर्गिक संख्या a ला $b$ ने भाग जात असेल तर $b$ ला $a$ चा विभाजक म्हणतात आणि $a$ ला $b$ चा गुणाकार म्हणतात.

$a$ आणि $b$ या नैसर्गिक संख्या असू द्या. $c$ या संख्येला $a$ आणि $b$ दोन्हीसाठी सामाईक भाजक म्हणतात.

$a$ आणि $b$ या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांचा संच मर्यादित आहे, कारण यापैकी कोणताही विभाजक $a$ पेक्षा मोठा असू शकत नाही. याचा अर्थ असा की या विभाजकांमध्ये सर्वात मोठा आहे, ज्याला $a$ आणि $b$ या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक म्हणतात आणि ते दर्शविण्यासाठी नोटेशन वापरले जाते:

$gcd \ (a;b) \ किंवा \ D \ (a;b)$

दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी:

पायरी 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित सर्वात सामान्य विभाजक असेल.

उदाहरण १

$121$ आणि $132.$ या अंकांची gcd शोधा

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

या संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या संख्या निवडा

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

पायरी 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित सर्वात सामान्य विभाजक असेल.

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण २

$63$ आणि $81$ चे GCD शोधा.

आम्ही सादर केलेल्या अल्गोरिदमनुसार शोधू. यासाठी:

चला संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करू

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आम्ही या संख्यांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेल्या संख्यांची निवड करतो

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

चरण 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधू या. परिणामी संख्या हा इच्छित सर्वात मोठा सामान्य भाजक असेल.

$gcd=3\cdot 3=9$

संख्यांच्या विभाजकांचा संच वापरून तुम्ही दोन संख्यांचा GCD दुसर्‍या मार्गाने शोधू शकता.

उदाहरण ३

$48$ आणि $60$ या अंकांची gcd शोधा.

उपाय:

$48$ च्या विभाजकांचा संच शोधा: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

आता $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$ च्या विभाजकांचा संच शोधू.

चला या संचांचे छेदनबिंदू शोधू या: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - हा संच $48$ आणि $60 या संख्यांच्या सामाईक विभाजकांचा संच ठरवेल. $. या संचातील सर्वात मोठा घटक $12$ हा क्रमांक असेल. तर $48$ आणि $60$ चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक $12$ आहे.

NOC ची व्याख्या

व्याख्या ३

नैसर्गिक संख्यांचा सामान्य गुणाकार$a$ आणि $b$ ही एक नैसर्गिक संख्या आहे जी $a$ आणि $b$ दोन्हीचा गुणाकार आहे.

संख्यांच्या सामान्य गुणाकार ही संख्या आहेत ज्यांना मूळ भागाशिवाय भाग नाही. उदाहरणार्थ, $25$ आणि $50$ या संख्यांसाठी, सामान्य गुणाकार $50,100,150,200$, इत्यादी संख्या असतील.

किमान सामान्य गुणाकाराला सर्वात कमी सामान्य गुणाकार म्हटले जाईल आणि LCM$(a;b)$ किंवा K$(a;b) द्वारे दर्शविले जाईल.$

दोन संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे:

संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करा
पहिल्या क्रमांकाचा भाग असलेले घटक लिहा आणि त्यात दुसऱ्या क्रमांकाचा भाग असलेले घटक जोडा आणि पहिल्या क्रमांकावर जाऊ नका.

उदाहरण ४

$99$ आणि $77$ या संख्यांचे LCM शोधा.

आम्ही सादर केलेल्या अल्गोरिदमनुसार शोधू. यासाठी एस

संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करा

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहिल्यामध्ये समाविष्ट असलेले घटक लिहा

त्यांना घटक जोडा जे दुसऱ्याचा भाग आहेत आणि पहिल्याकडे जात नाहीत

चरण 2 मध्ये आढळलेल्या संख्यांचा गुणाकार शोधा. परिणामी संख्या इच्छित किमान सामान्य गुणाकार असेल

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्यांच्या विभाजकांच्या याद्या संकलित करणे बहुतेक वेळा खूप वेळ घेणारे असते. युक्लिडचा अल्गोरिदम नावाचा GCD शोधण्याचा एक मार्ग आहे.

विधाने ज्यावर युक्लिडचे अल्गोरिदम आधारित आहे:

जर $a$ आणि $b$ नैसर्गिक संख्या असतील आणि $a\vdots b$ असतील तर $D(a;b)=b$

जर $a$ आणि $b$ नैसर्गिक संख्या आहेत जसे की $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ वापरून, आम्ही विचाराधीन संख्या क्रमाक्रमाने कमी करू शकतो जोपर्यंत आम्ही संख्यांच्या जोडीपर्यंत पोहोचत नाही की त्यापैकी एक दुसऱ्याने भागतो. नंतर यापैकी लहान संख्या $a$ आणि $b$ या संख्यांसाठी इच्छित सर्वात मोठा सामान्य विभाजक असेल.