हार्मोनिक वेव्ह समीकरण

हार्मोनिक दोलन समीकरण वेळेवर शरीराच्या समन्वयाचे अवलंबित्व स्थापित करते

कोसाइन आलेखाला सुरुवातीच्या क्षणी कमाल मूल्य असते आणि साइन आलेखाला सुरुवातीच्या क्षणी शून्य मूल्य असते. जर आपण समतोल स्थितीतून दोलन तपासण्यास सुरुवात केली, तर दोलन सायनसॉइडची पुनरावृत्ती करेल. जर आपण कमाल विचलनाच्या स्थितीवरून दोलनाचा विचार करू लागलो, तर दोलन कोसाइनचे वर्णन करेल. किंवा अशा दोलनाचे वर्णन प्रारंभिक टप्प्यासह साइन सूत्राद्वारे केले जाऊ शकते.

हार्मोनिक दोलन दरम्यान गती आणि प्रवेग मध्ये बदल

सायन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार केवळ शरीराचे समन्वयच बदलत नाहीत. परंतु बल, वेग आणि प्रवेग यांसारखे प्रमाण देखील अशाच प्रकारे बदलतात. जेव्हा विस्थापन जास्तीत जास्त असते तेव्हा दोलन शरीर अत्यंत स्थितीत असते तेव्हा बल आणि प्रवेग जास्तीत जास्त असतात आणि जेव्हा शरीर समतोल स्थितीतून जाते तेव्हा ते शून्याच्या बरोबरीचे असतात. याउलट, अत्यंत स्थितीत वेग शून्याच्या बरोबरीचा असतो आणि जेव्हा शरीर समतोल स्थिती पार करते तेव्हा ते त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते.

जर दोलन कोसाइनच्या नियमानुसार वर्णन केले असेल

जर दोलन साइन नियमानुसार वर्णन केले असेल

कमाल गती आणि प्रवेग मूल्ये

अवलंबन v(t) आणि a(t) च्या समीकरणांचे विश्लेषण केल्यानंतर, कोणीही अंदाज लावू शकतो की जेव्हा त्रिकोणमितीय घटक 1 किंवा -1 च्या बरोबरीचा असतो तेव्हा गती आणि प्रवेगची कमाल मूल्ये घेतली जातात. सूत्रानुसार ठरवले जाते

हार्मोनिक स्पंदने

कार्य आलेख f(x) = पाप( x) आणि g(x) = कारण( x) कार्टेशियन विमानात.

हार्मोनिक दोलन- चढ-उतार ज्यामध्ये सायनसॉइडल किंवा कोसाइन कायद्यानुसार भौतिक (किंवा इतर कोणतेही) प्रमाण कालांतराने बदलते. हार्मोनिक दोलनांच्या किनेमॅटिक समीकरणाचे स्वरूप आहे

,

कुठे एक्स- समतोल स्थितीतून दोलन बिंदूचे विस्थापन (विचलन) t वेळी; परंतु- दोलन मोठेपणा, हे मूल्य आहे जे समतोल स्थितीपासून दोलन बिंदूचे कमाल विचलन निर्धारित करते; ω - चक्रीय वारंवारता, 2π सेकंदात पूर्ण दोलनांची संख्या दर्शविणारे मूल्य - दोलनांचा पूर्ण टप्पा, - दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा.

विभेदक स्वरूपात सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(या विभेदक समीकरणाचे कोणतेही क्षुल्लक समाधान हे चक्रीय वारंवारता असलेले हार्मोनिक दोलन असते)

कंपनांचे प्रकार

हार्मोनिक मोशनमध्ये विस्थापन, वेग आणि प्रवेग या काळात उत्क्रांती

• मुक्त कंपनेप्रणाली समतोल बाहेर आणल्यानंतर प्रणालीच्या अंतर्गत शक्तींच्या कृती अंतर्गत तयार केली जाते. मुक्त दोलन हार्मोनिक होण्यासाठी, दोलन प्रणाली रेषीय असणे आवश्यक आहे (गतिच्या रेखीय समीकरणांद्वारे वर्णन केलेले), आणि त्यात ऊर्जा अपव्यय नसावी (नंतरचे ओलसर होईल).
• जबरी कंपनेबाह्य नियतकालिक शक्तीच्या प्रभावाखाली केले जाते. त्यांच्यासाठी हार्मोनिक असण्यासाठी, दोलन प्रणाली रेखीय असणे पुरेसे आहे (गतिच्या रेखीय समीकरणांद्वारे वर्णन केलेले), आणि बाह्य शक्ती स्वतःच कालांतराने हार्मोनिक दोलन म्हणून बदलते (म्हणजे, या शक्तीचे वेळेचे अवलंबन सायनसॉइडल आहे) .

अर्ज

हार्मोनिक कंपने खालील कारणांमुळे इतर सर्व प्रकारच्या कंपनांपेक्षा वेगळी आहेत:

देखील पहा

नोट्स

साहित्य

• भौतिकशास्त्र. भौतिकशास्त्राचे प्राथमिक पाठ्यपुस्तक / एड. जी.एस. लॅन्सबर्ग. - तिसरी आवृत्ती. - एम., 1962. - टी. 3.
• खायकिन एस. ई.यांत्रिकीचे भौतिक पाया. - एम., 1963.
• ए.एम. अफोनिन.यांत्रिकीचे भौतिक पाया. - एड. MSTU im. बाउमन, 2006.
• गोरेलिक जी.एस.कंपने आणि लाटा. ध्वनीशास्त्र, रेडिओफिजिक्स आणि ऑप्टिक्सचा परिचय. - एम.: फिझमॅटलिट, 1959. - 572 पी.

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010

इतर शब्दकोशांमध्ये "हार्मोनिक कंपन" काय आहेत ते पहा:

आधुनिक विश्वकोश

हार्मोनिक स्पंदने- हार्मोनिक ओस्किलेशन्स, साइन नियमानुसार भौतिक प्रमाणात होणारे नियतकालिक बदल. ग्राफिकदृष्ट्या, हार्मोनिक दोलन साइनसॉइड वक्र द्वारे दर्शविले जातात. हार्मोनिक दोलन हा नियतकालिक गतीचा सर्वात सोपा प्रकार आहे, ज्याचे वैशिष्ट्य आहे ... इलस्ट्रेटेड एनसायक्लोपेडिक डिक्शनरी

उतार-चढ़ाव ज्यामध्ये साइन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार भौतिक प्रमाण वेळोवेळी बदलते. ग्राफिकदृष्ट्या G. ते. हे सायनसॉइड किंवा कोसाइन वक्र द्वारे दर्शविले जाते (अंजीर पहा.); ते फॉर्ममध्ये लिहिले जाऊ शकतात: x = Asin (ωt + φ) किंवा x ... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

हार्मोनिक दोलन, नियतकालिक गती जसे की पेंडुलमची हालचाल, अणु कंपने किंवा इलेक्ट्रिकल सर्किटमधील कंपन. एखादे शरीर एका रेषेने दोलायमान असताना, सारखेच हलते तेव्हा ते बिनधास्त हार्मोनिक दोलन करते ... ... वैज्ञानिक आणि तांत्रिक ज्ञानकोशीय शब्दकोश

दोलन, के ryh भौतिक येथे. (किंवा इतर कोणतेही) मूल्य सायनुसॉइडल कायद्यानुसार कालांतराने बदलते: x=Asin(wt+j), जेथे x हे दिलेल्या मधील दोलन मूल्याचे मूल्य आहे. वेळेचा क्षण (यांत्रिक G. ते., उदाहरणार्थ, विस्थापन किंवा वेग, साठी ... ... भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक कंपने- यांत्रिक कंपने, ज्यामध्ये सामान्यीकृत समन्वय आणि (किंवा) सामान्यीकृत गती एका युक्तिवादासह साइनच्या प्रमाणात बदलते जे वेळेवर रेखीयपणे अवलंबून असते. [शिफारस केलेल्या अटींचा संग्रह. अंक 106. यांत्रिक कंपने. विज्ञान अकादमी... तांत्रिक अनुवादकाचे हँडबुक

दोलन, के ryh भौतिक येथे. (किंवा इतर कोणतेही) प्रमाण सायनसॉइडल कायद्यानुसार वेळेनुसार बदलते, जेथे x हे वेळ t (यांत्रिक G. ते. साठी, उदाहरणार्थ, विस्थापन आणि गती, विद्युत व्होल्टेज आणि वर्तमान सामर्थ्यासाठी) oscillating प्रमाणाचे मूल्य आहे. .. भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन- (पहा), ज्यामध्ये भौतिक. सायन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार मूल्य कालांतराने बदलते (उदाहरणार्थ, दोलन दरम्यान बदल (पहा) आणि गती (पहा) किंवा बदल (पहा) आणि विद्युत G. ते. सह वर्तमान सामर्थ्य ... ग्रेट पॉलिटेक्निक एनसायक्लोपीडिया

ते नियमानुसार वेळेत t मध्ये ऑसीलेटिंग व्हॅल्यू x (उदाहरणार्थ, समतोल स्थितीपासून पेंडुलमचे विचलन, पर्यायी करंट सर्किटमधील व्होल्टेज इ.) मध्ये बदल द्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहेत: x = Asin (?t). +?), कुठे A हा हार्मोनिक दोलनांचे मोठेपणा आहे, ? कोपरा… … मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

हार्मोनिक स्पंदने- 19. हार्मोनिक दोलन दोलन ज्यामध्ये दोलन प्रमाणाची मूल्ये कायद्याच्या स्त्रोतानुसार वेळेनुसार बदलतात ... नियमात्मक आणि तांत्रिक दस्तऐवजीकरणाच्या अटींचे शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

नियतकालिक उतार-चढ़ाव, काळाच्या शारीरिक बदलासह. साइन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार परिमाण उद्भवते (चित्र पहा): s = Asin (wt + f0), जेथे s हे त्याच्या cf पासून चढउतार मूल्याचे विचलन आहे. (समतोल) मूल्य, A=const मोठेपणा, w= const गोलाकार ... मोठा विश्वकोशीय पॉलिटेक्निक शब्दकोश

हार्मोनिक ऑसिलेशन ही काही प्रमाणातील नियतकालिक बदलाची घटना आहे, ज्यामध्ये युक्तिवादावरील अवलंबित्वात साइन किंवा कोसाइन फंक्शनचे वैशिष्ट्य असते. उदाहरणार्थ, खालीलप्रमाणे वेळेनुसार बदलणारे प्रमाण सुसंवादीपणे चढ-उतार होते:

जिथे x हे बदलत्या प्रमाणाचे मूल्य आहे, t वेळ आहे, उर्वरित मापदंड स्थिर आहेत: A हे दोलनांचे मोठेपणा आहे, ω दोलनांची चक्रीय वारंवारता आहे, दोलनांचा पूर्ण टप्पा आहे, हा प्रारंभिक टप्पा आहे दोलन

विभेदक स्वरूपात सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(या विभेदक समीकरणाचे कोणतेही क्षुल्लक समाधान हे चक्रीय वारंवारता असलेले हार्मोनिक दोलन असते)

कंपनांचे प्रकार

प्रणाली समतोल बाहेर काढल्यानंतर प्रणालीच्या अंतर्गत शक्तींच्या कृती अंतर्गत मुक्त दोलन केले जातात. मुक्त दोलन हार्मोनिक होण्यासाठी, दोलन प्रणाली रेषीय असणे आवश्यक आहे (गतिच्या रेखीय समीकरणांद्वारे वर्णन केलेले), आणि त्यात ऊर्जा अपव्यय नसावी (नंतरचे ओलसर होईल).

सक्तीचे दोलन बाह्य नियतकालिक शक्तीच्या प्रभावाखाली केले जातात. त्यांच्यासाठी हार्मोनिक असण्यासाठी, दोलन प्रणाली रेखीय असणे पुरेसे आहे (गतिच्या रेखीय समीकरणांद्वारे वर्णन केलेले), आणि बाह्य शक्ती स्वतःच कालांतराने हार्मोनिक दोलन म्हणून बदलते (म्हणजे, या शक्तीचे वेळेचे अवलंबन सायनसॉइडल आहे) .

हार्मोनिक कंपन समीकरण

समीकरण (1)

वेळ t वर चढउतार मूल्य S चे अवलंबित्व देते; हे स्पष्ट स्वरूपात मुक्त हार्मोनिक दोलनांचे समीकरण आहे. तथापि, दोलनांचे समीकरण सामान्यतः या समीकरणाचे भिन्न रेकॉर्ड म्हणून, भिन्न स्वरूपात समजले जाते. निश्चिततेसाठी, आपण फॉर्ममध्ये समीकरण (1) घेतो

वेळेच्या संदर्भात दोनदा फरक करा:

हे पाहिले जाऊ शकते की खालील संबंध आहेत:

ज्याला मुक्त हार्मोनिक दोलनांचे समीकरण म्हणतात (अंतर स्वरूपात). समीकरण (1) हे विभेदक समीकरण (2) चे समाधान आहे. समीकरण (2) हे द्वितीय-क्रमाचे विभेदक समीकरण असल्याने, पूर्ण समाधान मिळविण्यासाठी दोन प्रारंभिक परिस्थिती आवश्यक आहेत (म्हणजे, समीकरण (1) मध्ये समाविष्ट असलेली स्थिरांक A आणि   निर्धारित करण्यासाठी); उदाहरणार्थ, t = 0 वर दोलन प्रणालीची स्थिती आणि गती.

एक गणितीय पेंडुलम एक ऑसिलेटर आहे, जी एक यांत्रिक प्रणाली आहे ज्यामध्ये वजनहीन अविभाज्य धाग्यावर किंवा गुरुत्वाकर्षण शक्तींच्या एकसमान क्षेत्रामध्ये वजनहीन रॉडवर स्थित भौतिक बिंदू असतात. l लांबीच्या गणितीय पेंडुलमच्या लहान इजिनोसिलेशन्सचा कालावधी, फ्री फॉल प्रवेग g सह एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्रात गतिहीनपणे निलंबित केला जातो,

आणि पेंडुलमच्या मोठेपणा आणि वस्तुमानावर अवलंबून नाही.

फिजिकल पेंडुलम हे एक ऑसिलेटर आहे, जे एक कठोर शरीर आहे जे कोणत्याही शक्तीच्या क्षेत्रामध्ये या शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र नसलेल्या एका बिंदूबद्दल किंवा बलांच्या दिशेला लंबवत असलेला स्थिर अक्ष आहे आणि त्यामधून जात नाही. या शरीराच्या वस्तुमानाचे केंद्र.

1.18. हार्मोनिक दोलन आणि त्यांची वैशिष्ट्ये

हार्मोनिक कंपनांची व्याख्या. हार्मोनिक दोलनांची वैशिष्ट्ये: समतोल स्थितीपासून विस्थापन, दोलनांचे मोठेपणा, दोलनांचा टप्पा, वारंवारता आणि दोलनांचा कालावधी. दोलन बिंदूचा वेग आणि प्रवेग. हार्मोनिक ऑसिलेटरची ऊर्जा. हार्मोनिक ऑसीलेटर्सची उदाहरणे: गणितीय, स्प्रिंग, टॉर्सनल आणि भौतिक पेंडुलम

ध्वनीशास्त्र, रेडिओ अभियांत्रिकी, ऑप्टिक्स आणि विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या इतर शाखा दोलन आणि लहरींच्या सिद्धांतावर आधारित आहेत. यांत्रिकीमधील दोलनांच्या सिद्धांताद्वारे एक महत्त्वाची भूमिका बजावली जाते, विशेषत: विमान, पूल, विशिष्ट प्रकारच्या मशीन्स आणि असेंब्लीच्या ताकदीच्या गणनेमध्ये.

चढउतार अशा प्रक्रिया आहेत ज्या नियमित अंतराने पुनरावृत्ती होतात (तथापि, सर्व पुनरावृत्ती प्रक्रिया चढ-उतार नसतात!). पुनरावृत्ती प्रक्रियेच्या भौतिक स्वरूपावर अवलंबून, यांत्रिक, इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक, इलेक्ट्रोमेकॅनिकल इ. दोलन वेगळे केले जातात. यांत्रिक कंपने दरम्यान, शरीराची स्थिती आणि समन्वय वेळोवेळी बदलतात.

शक्ती पुनर्संचयित करणे - ज्याच्या कृती अंतर्गत दोलन प्रक्रिया होते. हे बल विश्रांतीच्या स्थितीपासून विचलित झालेले शरीर किंवा भौतिक बिंदू त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत करण्यास प्रवृत्त करते.

दोलायमान शरीरावरील प्रभावाच्या स्वरूपावर अवलंबून, मुक्त (किंवा नैसर्गिक) कंपने आणि सक्तीची कंपने ओळखली जातात.

दोलन प्रणालीवरील प्रभावाच्या स्वरूपावर अवलंबून, मुक्त दोलन, सक्तीचे दोलन, स्व-दोलन आणि पॅरामेट्रिक दोलन वेगळे केले जातात.

फुकट (स्वतःचे) अशा दोलनांना दोलन म्हणतात जे एखाद्या प्रणालीला धक्का दिल्यानंतर स्वतःकडे सोडले जाते किंवा ते समतोल स्थितीतून बाहेर काढले जाते, उदा. जेव्हा केवळ पुनर्संचयित शक्ती दोलन शरीरावर कार्य करते. एक उदाहरण म्हणजे धाग्यावर निलंबित केलेल्या बॉलची कंपन. कंपन निर्माण करण्यासाठी, तुम्ही एकतर बॉलला ढकलणे आवश्यक आहे किंवा, तो बाजूला हलवून, तो सोडला पाहिजे. कोणत्याही उर्जेचा अपव्यय होत नसल्यास, मुक्त दोलन निर्विवाद असतात. तथापि, वास्तविक oscillatory प्रक्रिया ओलसर आहेत, कारण ओस्किलेटिंग बॉडीवर हालचालींना प्रतिकार शक्ती (प्रामुख्याने घर्षण शक्ती) प्रभावित होते.

· सक्ती अशा कंपनांना म्हणतात, ज्या दरम्यान दोलन प्रणाली बाह्य वेळोवेळी बदलणार्‍या शक्तीच्या संपर्कात असते (उदाहरणार्थ, पुलाचे कंपन जे पायरीवर चालणारे लोक त्यावरून जातात तेव्हा उद्भवतात). बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, सिस्टम दोलन करतात ज्याला हार्मोनिक मानले जाऊ शकते.

· स्व-दोलन , तसेच सक्तीचे दोलन, ते दोलन प्रणालीवरील बाह्य शक्तींच्या क्रियेसह असतात, तथापि, जेव्हा हे प्रभाव केले जातात तेव्हाचे क्षण oscillating प्रणालीद्वारेच सेट केले जातात. म्हणजेच, प्रणाली स्वतः बाह्य प्रभाव नियंत्रित करते. स्वयं-दोलन प्रणालीचे उदाहरण म्हणजे एक घड्याळ ज्यामध्ये वाढलेल्या वजनाच्या उर्जेमुळे किंवा वळलेल्या स्प्रिंगमुळे पेंडुलमला झटके येतात आणि हे धक्के पेंडुलमच्या मधल्या स्थितीतून जाणाऱ्या क्षणी होतात.

· पॅरामेट्रिक दोलन प्रणालीच्या पॅरामीटर्समध्ये नियतकालिक बदलांसह (स्विंगवर स्विंग करणारी व्यक्ती वेळोवेळी त्याचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र वाढवते आणि कमी करते, ज्यामुळे सिस्टमचे पॅरामीटर्स बदलतात) चालते. विशिष्ट परिस्थितींमध्ये, प्रणाली अस्थिर होते - समतोल स्थितीपासून यादृच्छिक विचलनामुळे दोलनांचा उदय आणि वाढ होते. या घटनेला दोलनांचे पॅरामेट्रिक उत्तेजना म्हणतात (म्हणजे, प्रणालीचे पॅरामीटर्स बदलून दोलन उत्तेजित होतात), आणि दोलनांना स्वतःला पॅरामेट्रिक म्हणतात.

भिन्न भौतिक स्वरूप असूनही, दोलन समान नियमिततेद्वारे दर्शविले जातात, ज्याचा सामान्य पद्धतींनी अभ्यास केला जातो. एक महत्त्वाचे किनेमॅटिक वैशिष्ट्य म्हणजे कंपनांचे स्वरूप. हे वेळेच्या कार्याच्या स्वरूपाद्वारे निर्धारित केले जाते, जे दोलन दरम्यान एक किंवा दुसर्या भौतिक प्रमाणातील बदलाचे वर्णन करते. सर्वात महत्वाचे ते चढउतार आहेत ज्यात चढउतार मूल्य वेळेनुसार बदलते साइन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार . त्यांना बोलावले आहे हार्मोनिक .

हार्मोनिक स्पंदने oscillations म्हणतात, ज्यामध्ये oscillating भौतिक प्रमाण साइन (किंवा कोसाइन) नियमानुसार बदलते.

या प्रकारचे दोलन खालील कारणांसाठी विशेषतः महत्वाचे आहे. प्रथम, निसर्ग आणि तंत्रज्ञानातील दोलन अनेकदा हार्मोनिकच्या अगदी जवळचे वर्ण असतात. दुसरे म्हणजे, वेगळ्या स्वरूपाच्या (वेगवेगळ्या वेळेच्या अवलंबनासह) नियतकालिक प्रक्रिया हार्मोनिक दोलनांचे आच्छादन किंवा सुपरपोझिशन म्हणून प्रस्तुत केल्या जाऊ शकतात.

हार्मोनिक ऑसिलेटर समीकरण

हार्मोनिक दोलन नियतकालिक कायद्याद्वारे वर्णन केले आहे:

तांदूळ. १८.१. हार्मोनिक दोलन

प

येथे
- वैशिष्ट्यपूर्ण बदल दोलन दरम्यान कोणतेही भौतिक प्रमाण (समतोल स्थितीतून पेंडुलमच्या स्थितीचे विस्थापन; दोलन सर्किटमधील कॅपेसिटरवरील व्होल्टेज इ.), ए - दोलन मोठेपणा ,
- दोलन टप्पा , - प्रारंभिक टप्पा ,
- चक्रीय वारंवारता ; मूल्य
देखील म्हणतात स्वतःचे दोलन वारंवारता. हे नाव जोर देते की ही वारंवारता दोलन प्रणालीच्या पॅरामीटर्सद्वारे निर्धारित केली जाते. ज्या प्रणालीचा गतीचा नियम (18.1) असतो त्याला म्हणतात एक-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर . वरील प्रमाणांव्यतिरिक्त, दोलनांचे वैशिष्ट्य करण्यासाठी खालील संकल्पना सादर केल्या आहेत: कालावधी , म्हणजे एका दोलनाची वेळ.

(दोलनाचा कालावधी ट याला सर्वात लहान कालावधी म्हणतात ज्यानंतर दोलन प्रणालीच्या अवस्थांची पुनरावृत्ती होते (एक संपूर्ण दोलन केले जाते) आणि दोलनाच्या टप्प्याला 2p वाढ मिळते).

आणि वारंवारता
, जे प्रति युनिट वेळेला दोलनांची संख्या निर्धारित करते. वारंवारतेचे एकक म्हणजे अशा दोलनाची वारंवारता, ज्याचा कालावधी 1 s आहे. या युनिटला म्हणतात हर्ट्झ (Hz ).

दोलन वारंवारताn दोलन कालावधीचा परस्परसंबंध म्हणतात - प्रति युनिट वेळेस पूर्ण दोलनांची संख्या.

मोठेपणा- दोलन किंवा लहरी गती दरम्यान विस्थापन किंवा व्हेरिएबलच्या बदलाचे कमाल मूल्य.

दोलन टप्पा- नियतकालिक कार्याचा युक्तिवाद किंवा हार्मोनिक दोलन प्रक्रियेचे वर्णन करणे (ω - कोणीय वारंवारता, ट- वेळ, - दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा, म्हणजेच वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी दोलनांचा टप्पा ट = 0).

सुसंवादीपणे दोलन प्रमाणाचे पहिल्या आणि दुसऱ्यांदा डेरिव्हेटिव्ह देखील समान वारंवारतेचे हार्मोनिक दोलन करतात:

या प्रकरणात, कोसाइन कायद्यानुसार लिहिलेले हार्मोनिक दोलनांचे समीकरण आधार म्हणून घेतले जाते. या प्रकरणात, पहिले समीकरण (18.2) कायद्याचे वर्णन करते ज्यानुसार दोलन सामग्री बिंदू (शरीर) ची गती बदलते, दुसरे समीकरण कायद्याचे वर्णन करते ज्यानुसार दोलन बिंदू (शरीर) चे प्रवेग बदलते.

मोठेपणा
आणि
अनुक्रमे समान
आणि
. संकोच
च्या पुढे
च्या टप्प्यात; आणि संकोच
च्या पुढे
वर . मूल्ये एआणि दिलेल्या सुरुवातीच्या अटींवरून ठरवता येते
आणि
:

,
. (18.3)

ऑसिलेटर दोलन ऊर्जा

पी

तांदूळ. १८.२. स्प्रिंग पेंडुलम

आता काय होते ते पाहूया कंपन ऊर्जा . हार्मोनिक दोलनांचे उदाहरण म्हणून, वस्तुमानाच्या शरीराद्वारे केलेल्या एक-आयामी दोलनांचा विचार करा मी च्या प्रभावाखाली लवचिक शक्ती
(उदाहरणार्थ, स्प्रिंग पेंडुलम, अंजीर 18.2 पहा). लवचिक पेक्षा भिन्न स्वरूपाचे बल, परंतु ज्या स्थितीत F = -kx समाधानी आहे, त्यांना म्हणतात अर्ध-लवचिक.या शक्तींच्या प्रभावाखाली, शरीरे देखील हार्मोनिक दोलन करतात. द्या:

पक्षपात
गती:
प्रवेग:

त्या. अशा दोलनांच्या समीकरणाचे स्वरूप (18.1) नैसर्गिक वारंवारतेसह असते
. अर्ध-लवचिक बल आहे पुराणमतवादी . म्हणून, अशा हार्मोनिक दोलनांची एकूण ऊर्जा स्थिर राहिली पाहिजे. दोलनांच्या प्रक्रियेत, गतीज ऊर्जेचे परिवर्तन होते इ करण्यासाठीसंभाव्य मध्ये इ पीआणि त्याउलट, शिवाय, समतोल स्थितीपासून सर्वात मोठ्या विचलनाच्या क्षणी, एकूण ऊर्जा संभाव्य ऊर्जेच्या कमाल मूल्याच्या बरोबरीची असते आणि जेव्हा प्रणाली समतोल स्थितीतून जाते, तेव्हा एकूण ऊर्जा जास्तीत जास्त असते. गतीज उर्जेचे मूल्य. गतीज आणि संभाव्य उर्जा वेळेनुसार कशी बदलते ते शोधूया:

गतीज ऊर्जा:

संभाव्य ऊर्जा:

(18.5)

हे लक्षात घेऊन म्हणजे. , शेवटची अभिव्यक्ती असे लिहिले जाऊ शकते:

अशा प्रकारे, हार्मोनिक दोलनाची एकूण ऊर्जा स्थिर असल्याचे दिसून येते. हे संबंध (18.4) आणि (18.5) वरून देखील दिसून येते की गतीज आणि संभाव्य उर्जांची सरासरी मूल्ये एकमेकांच्या समान असतात आणि एकूण उर्जेच्या अर्ध्या असतात, कारण सरासरी मूल्ये
आणि
कालावधीसाठी 0.5 आहेत. त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून, गतीज आणि संभाव्य ऊर्जा वारंवारतेसह बदलते हे मिळवता येते
, म्हणजे हार्मोनिक वारंवारतेच्या दुप्पट वारंवारतेसह.

स्प्रिंग पेंडुलम, फिजिकल पेंडुलम, मॅथेमॅटिकल पेंडुलम आणि टॉर्सनल पेंडुलम ही हार्मोनिक ऑसिलेटरची उदाहरणे आहेत.

1. स्प्रिंग पेंडुलम- हे वस्तुमान m चे भार आहे, जे पूर्णपणे लवचिक स्प्रिंगवर निलंबित केले जाते आणि लवचिक शक्ती F = -kx च्या कृती अंतर्गत हार्मोनिक दोलन करते, जेथे k हा स्प्रिंगचा कडकपणा आहे. पेंडुलमच्या गतीच्या समीकरणाचे स्वरूप आहे किंवा (18.8) सूत्र (18.8) वरून असे दिसून येते की स्प्रिंग पेंडुलम चक्रीय वारंवारतेसह x \u003d Acos (ω 0 t + φ) नियमानुसार हार्मोनिक दोलन करते.

(18.9) आणि कालावधी

(18.10) फॉर्म्युला (18.10) ज्या मर्यादेत हूकचा नियम पाळला जातो त्या मर्यादेतील लवचिक दोलनांसाठी सत्य आहे, म्हणजे स्प्रिंगचे वस्तुमान शरीराच्या वस्तुमानाच्या तुलनेत लहान असल्यास. स्प्रिंग पेंडुलमची संभाव्य ऊर्जा, (18.9) वापरून आणि मागील विभागातील संभाव्य ऊर्जा सूत्र, आहे (18.5 पहा)

2. भौतिक पेंडुलम- हे एक कठोर शरीर आहे जे एका निश्चित क्षैतिज अक्षाभोवती गुरुत्वाकर्षणाच्या क्रियेखाली फिरते जे O बिंदूमधून जाते, जे शरीराच्या C वस्तुमानाच्या केंद्राशी एकरूप होत नाही (चित्र 1).

Fig.18.3 भौतिक पेंडुलम

जर पेंडुलम समतोल स्थितीपासून एका विशिष्ट कोनाने विचलित झाला असेल तर α, तर, कठोर शरीराच्या घूर्णन गतीच्या गतिशीलतेचे समीकरण वापरून, पुनर्संचयित करणा-या बलाचा क्षण (18.11) जेथे J हा जडत्वाचा क्षण आहे. निलंबन बिंदू O मधून जाणार्‍या अक्षाबद्दलचा पेंडुलम, l अक्ष आणि पेंडुलमच्या वस्तुमानाच्या केंद्रामधील अंतर आहे, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα हे पुनर्संचयित करणारे बल आहे (वजा चिन्ह F τ दिशा दर्शवते. आणि α नेहमी विरुद्ध असतात; sinα ≈ α कारण पेंडुलमचे दोलन लहान मानले जातात, म्हणजे पेंडुलम समतोल स्थितीपासून लहान कोनांनी विचलित होतो). आम्ही समीकरण (18.11) असे लिहितो

किंवा घेऊन (18.12) हे समीकरण मिळते

(18.8) सारखेच, ज्याचे समाधान आम्ही शोधतो आणि लिहितो:

(18.13) सूत्र (18.13) वरून असे दिसते की लहान दोलनांसाठी भौतिक पेंडुलम चक्रीय वारंवारता ω 0 आणि कालावधीसह हार्मोनिक दोलन करते

(18.14) जेथे मूल्य L=J/(m l) - . कमी लांबीच्या L च्या अंतरावर पेंडुलमच्या निलंबनाच्या O बिंदूपासून विभक्त झालेल्या सरळ रेषेच्या ओएसच्या निरंतरतेवरील बिंदू O" म्हणतात. स्विंग केंद्रभौतिक पेंडुलम (चित्र 18.3). अक्षाच्या जडत्वाच्या क्षणासाठी स्टीनर प्रमेय लागू केल्यास, आपल्याला आढळते

म्हणजेच OO "ओएस पेक्षा नेहमीच मोठा असतो. पेंडुलमचा निलंबन बिंदू O आणि स्विंग सेंटर O" मध्ये असतो अदलाबदल क्षमता: जर सस्पेंशन पॉइंट स्विंग सेंटरमध्ये हलवला गेला तर जुना सस्पेन्शन पॉइंट O हा नवीन स्विंग सेंटर असेल आणि फिजिकल पेंडुलमचा दोलन कालावधी बदलणार नाही.

3. गणिती पेंडुलमही एक आदर्श प्रणाली आहे ज्यामध्ये वस्तुमान m च्या भौतिक बिंदूचा समावेश आहे, जो एका अविभाज्य वजनहीन धाग्यावर निलंबित केला जातो आणि जो गुरुत्वाकर्षणाच्या क्रियेखाली दोलायमान होतो. गणितीय पेंडुलमचे अंदाजे अंदाज हा एक लहान, जड चेंडू आहे जो लांब, पातळ धाग्याने लटकलेला असतो. गणितीय पेंडुलमच्या जडत्वाचा क्षण

(8) कुठे lपेंडुलमची लांबी आहे.

गणितीय पेंडुलम हे भौतिक पेंडुलमचे एक विशेष प्रकरण असल्याने, जर आपण असे गृहीत धरले की त्याचे सर्व वस्तुमान एका बिंदूवर केंद्रित आहे - वस्तुमानाचे केंद्र, तर, (8) च्या जागी (7), आपल्याला कालावधीसाठी एक अभिव्यक्ती सापडते. गणितीय पेंडुलमच्या लहान दोलनांची (18.15) सूत्रे (18.13 ) आणि (18.15) यांची तुलना करताना, आपण पाहतो की भौतिक लोलकाची कमी केलेली लांबी L लांबीच्या समान असल्यास lएक गणितीय पेंडुलम, नंतर या पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी समान असतो. म्हणजे, भौतिक पेंडुलमची कमी झालेली लांबीअशा गणितीय पेंडुलमची लांबी आहे, ज्यामध्ये दोलन कालावधी दिलेल्या भौतिक पेंडुलमच्या दोलन कालावधीशी एकरूप होतो. गणितीय पेंडुलमसाठी (वस्तुमानाचा बिंदू मीलांबीच्या वजनहीन अभेद्य धाग्यावर निलंबित lगुरुत्वाकर्षणाच्या क्षेत्रात फ्री फॉल प्रवेग समतुल्य g) समतोल स्थितीपासून विचलनाच्या लहान कोनांवर (5-10 कोनीय अंशांपेक्षा जास्त नाही), नैसर्गिक दोलन वारंवारता:
.

4. लवचिक धागा किंवा इतर लवचिक घटकांवर लटकलेले शरीर म्हणजे आडव्या समतल भागामध्ये टॉर्शन पेंडुलम.

ही एक यांत्रिक दोलन प्रणाली आहे जी लवचिक विकृतीच्या शक्तींचा वापर करते. अंजीर वर. 18.4 रेखीय हार्मोनिक ऑसिलेटरचे कोनीय अॅनालॉग दाखवते जे टॉर्शनल कंपन करते. क्षैतिजरित्या स्थित डिस्क त्याच्या वस्तुमानाच्या मध्यभागी निश्चित केलेल्या लवचिक धाग्यावर लटकते. जेव्हा डिस्क θ कोनातून फिरते तेव्हा शक्तींचा एक क्षण उद्भवतो एमलवचिक टॉर्शन ताण:

कुठे आय = आयसीवस्तुमानाच्या केंद्रातून जाणार्‍या अक्षाबद्दल डिस्कच्या जडत्वाचा क्षण आहे, ε हा कोनीय प्रवेग आहे.

वसंत ऋतु वर लोड सह सादृश्य करून, आपण मिळवू शकता.

(lat. मोठेपणा- परिमाण) - हे समतोल स्थितीपासून दोलन शरीराचे सर्वात मोठे विचलन आहे.

पेंडुलमसाठी, बॉल त्याच्या समतोल स्थितीपासून (खालील आकृती) हलवणारे हे जास्तीत जास्त अंतर आहे. लहान मोठेपणा असलेल्या दोलनांसाठी, हे अंतर कंस 01 किंवा 02 ची लांबी, तसेच या खंडांची लांबी म्हणून घेतले जाऊ शकते.

दोलन मोठेपणा हे लांबीच्या एककांमध्ये मोजले जाते - मीटर, सेंटीमीटर, इ. दोलन आलेखावर, मोठेपणा हे सायनसॉइडल वक्र, (खालील आकृती पहा) चे कमाल (निरपेक्ष मूल्यानुसार) ऑर्डिनेट म्हणून परिभाषित केले जाते.

दोलन कालावधी.

दोलन कालावधी- हा सर्वात लहान कालावधी आहे ज्यानंतर सिस्टम, दोलन बनवून, अनियंत्रितपणे निवडलेल्या वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी त्याच स्थितीत परत येते.

दुसऱ्या शब्दांत, दोलन कालावधी ( ट) ही वेळ आहे ज्यासाठी एक संपूर्ण दोलन होते. उदाहरणार्थ, खालील आकृतीमध्ये, पेंडुलमचे वजन समतोल बिंदूमधून उजव्या बिंदूपासून पुढे जाण्यासाठी लागणारा हा वेळ आहे. ओसर्वात डावीकडे आणि बिंदूमधून परत ओपुन्हा उजवीकडे.

दोलनाच्या पूर्ण कालावधीसाठी, म्हणून, शरीर चार मोठेपणाच्या समान मार्गाने प्रवास करते. दोलन कालावधी वेळेच्या एककांमध्ये मोजला जातो - सेकंद, मिनिटे, इ. दोलन कालावधी सुप्रसिद्ध दोलन आलेखावरून निर्धारित केला जाऊ शकतो, (खालील आकृती पहा).

"ऑसिलेशन कालावधी" ची संकल्पना, काटेकोरपणे बोलणे, फक्त तेव्हाच वैध आहे जेव्हा दोलन प्रमाणाची मूल्ये विशिष्ट कालावधीनंतर, म्हणजे हार्मोनिक दोलनांसाठी पुनरावृत्ती केली जातात. तथापि, ही संकल्पना अंदाजे पुनरावृत्ती केलेल्या प्रमाणांच्या प्रकरणांवर देखील लागू केली जाते, उदाहरणार्थ, साठी ओलसर दोलन.

दोलन वारंवारता.

दोलन वारंवारताप्रति युनिट वेळेच्या दोलनांची संख्या आहे, उदाहरणार्थ, 1 से.

वारंवारतेच्या SI युनिटला नाव दिले आहे हर्ट्झ(Hz) जर्मन भौतिकशास्त्रज्ञ जी. हर्ट्झ (1857-1894) यांच्या सन्मानार्थ. जर दोलन वारंवारता ( वि) च्या बरोबरीचे आहे 1 Hz, तर याचा अर्थ असा की प्रत्येक सेकंदाला एक दोलन केले जाते. दोलनांची वारंवारता आणि कालावधी संबंधांद्वारे संबंधित आहेत:

दोलनांच्या सिद्धांतामध्ये, संकल्पना देखील वापरली जाते चक्रीय, किंवा परिपत्रक वारंवारता ω . हे सामान्य वारंवारतेशी संबंधित आहे विआणि दोलन कालावधी टगुणोत्तर

.

चक्रीय वारंवारताप्रति दोलनांची संख्या आहे 2πसेकंद