महापालिका शैक्षणिक संस्था

"नोवुकोलोव्स्काया माध्यमिक शाळा"

क्रॅस्नेन्स्की जिल्हा, बेल्गोरोड प्रदेश

11 व्या वर्गात बीजगणित धडा

"अनेक परिवर्तनांचा वापर ज्यामुळे परिणामकारक समीकरण होते"

तयार आणि चालते

गणिताचे शिक्षक

खारकोव्स्काया व्हॅलेंटिना ग्रिगोरीव्हना

बीजगणित 11 वी इयत्ता

विषय: परिणाम समीकरणाकडे नेणाऱ्या अनेक परिवर्तनांचा वापर.

लक्ष्य: विषयावरील सामग्री एकत्रित करण्यासाठी परिस्थिती निर्माण करा: "अनेक परिवर्तनांचा अनुप्रयोग ज्यामुळे समीकरण-परिणाम होतो"; आरस्वातंत्र्य विकसित करा, भाषण साक्षरता सुधारा; विद्यार्थ्यांचे संगणकीय कौशल्य विकसित करणे; युनिफाइड स्टेट परीक्षा स्तराशी संबंधित पूर्ण कार्ये.

उपकरणे: पाठ्यपुस्तक, संगणक, कार्ड

धड्याचा प्रकार: ZUN च्या जटिल अनुप्रयोगावरील धडा

वर्ग दरम्यान

संस्थात्मक क्षण (स्लाइड 1)

शुभ दुपार मित्रांनो! ही चित्रे पहा आणि तुम्हाला कोणते सर्वात जास्त आवडले ते निवडा. मी पाहतो की तुम्ही, माझ्याप्रमाणेच, चांगल्या मूडमध्ये वर्गात आला आहात आणि मला वाटते की धडा संपेपर्यंत तो तसाच राहील. मी तुम्हाला फलदायी कार्यासाठी शुभेच्छा देऊ इच्छितो.

मित्रांनो, तुमच्यापैकी प्रत्येकाच्या डेस्कवर मूल्यांकन पत्रके आहेत ज्यामध्ये तुम्ही धड्याच्या प्रत्येक टप्प्यावर स्वतःचे मूल्यांकन कराल.

गृहपाठ तपासत आहे. (स्लाइड 2)

स्लाइडवरील उपाय हायलाइट करा आणि मुले स्वतःला ग्रेड देतात

स्व-नियंत्रण पत्रक. कोणतीही त्रुटी नाही – “5”, 1 त्रुटी असल्यास – “4”, 2

त्रुटी - "3". जर तुम्हाला भरपूर मुले मिळतील ज्यांना 2 आहे

चुका, नंतर बोर्ड येथे हे कार्य सोडवा.

धड्याचा विषय घोषित करणे (स्लाइड 3). धड्याची ध्येये सेट करणे

तुम्ही आमच्या धड्याचा विषय स्लाइडवर पाहू शकता. पेक्षा तुला काय वाटतं

आज आम्ही तुमच्याबरोबर वर्गात अभ्यास करणार आहोत का?

बरं, मित्रांनो, आम्ही कव्हर केलेली सामग्री लक्षात ठेवूया. .

चला तोंडी कामापासून सुरुवात करूया :

तोंडी कार्य (स्लाइड 4)

कोणत्या समीकरणांना परिणाम समीकरण म्हणतात? (जर पहिल्या समीकरणाचे कोणतेही मूळ दुसऱ्याचे मूळ असेल, तर दुसऱ्या समीकरणाला पहिल्याचा परिणाम म्हणतात);

परिणाम समीकरणाच्या संक्रमणास काय म्हणतात? (एका ​​समीकरणाच्या जागी दुसरे समीकरण, जे त्याचा परिणाम आहे);

कोणती परिवर्तने परिणाम समीकरणाकडे नेतात? उदाहरणे द्या. (समीकरण सम बळापर्यंत वाढवणे; लॉगरिदमिक समीकरणाची क्षमता वाढवणे; समीकरण भाजकापासून मुक्त करणे; समीकरणाच्या समान अटी आणणे; सूत्र लागू करणे).

समीकरणे सोडवा (स्लाइड 5)

(स्क्रीनवर समीकरणे प्रदर्शित केली जातात):

1) = 6; (उत्तर: ३६)

2) = 3; (उत्तर: 11)

3) = 4; (उत्तर: ६)

4) = - 2; (उत्तर: कोणतेही उपाय नाहीत, कारण समीकरणाची डावी बाजू केवळ नकारात्मक नसलेली मूल्ये घेते)

5) = 9; (उत्तर: -9 आणि 9)

6) = -2; (उत्तर: दोनची बेरीज असल्याने कोणतेही उपाय नाहीत

नकारात्मक नसलेल्या संख्या ऋण असू शकत नाहीत)

मित्रांनो, मला वाटते की तुम्ही गृहपाठ आणि तोंडी कार्य करताना लक्षात आले आहे की, आम्ही डेमो आवृत्ती, तपशील आणि युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन कोडीफायरशी सुसंगत अशी कार्ये पाहिली.

4.कार्ये पूर्ण करणे

मित्रांनो, चला आमच्या नोटबुकमध्ये काम करूया:

№8.26 (a) – ब्लॅकबोर्डवर

№8.14 (c) – ब्लॅकबोर्डवर

डोळ्यांसाठी व्यायाम (संगीत)

№8.8 (c)-बोर्डवर

№8.9-(e)-बोर्डवर

5.स्वतंत्र कार्य (स्लाइड 6)

स्वतंत्र कामासाठी उपाय (स्लाइड 7)

6. गृहपाठ: पूर्ण क्र. 8.14 (d), युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन B5 टास्क 21,23,25 पर्यायांमध्ये (स्लाइड 8)

7. धड्याचा सारांश (स्लाइड 9)

8. प्रतिबिंब (स्लाइड 10)

प्रश्नावली.

1. मी धड्या दरम्यान काम केले

2. वर्ग I मधील माझ्या कामाद्वारे

3. धडा मला वाटला

4. धड्यासाठी I

5. माझा मूड

6. माझ्याकडे धड्याचे साहित्य होते

7. तुम्हाला असे वाटते का की तुम्ही परीक्षेत अशा कामांचा सामना करू शकाल?

8. गृहपाठ मला वाटते

सक्रिय / निष्क्रिय

समाधानी/असंतुष्ट

लहान / लांब

थकलेले/थकलेले नाही

ते चांगले झाले/ते वाईट झाले

स्पष्ट / स्पष्ट नाही

उपयुक्त/निरुपयोगी

मनोरंजक / कंटाळवाणे

होय/नाही/माहित नाही

सोपे / अवघड

मनोरंजक / रसहीन

वापरलेली संसाधने:

निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव्ह के.एम., . बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाची सुरुवात, ग्रेड 11 एम.: प्रोस्वेश्चेनिये, 2010

गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या तयारीसाठी कार्यांचा संग्रह

हे सादरीकरण बीजगणित धडा आयोजित करताना आणि इयत्ता 11 मधील विश्लेषणाची सुरुवात करताना "समीकरण - परिणाम" या विषयाचा अभ्यास करताना लेखक एस.एम. निकोल्स्की, एमके पोटापोव्ह, एन.एन. रेशेत्निकोव्ह, ए.व्ही. शेवकिन यांच्या शिकवणी सामग्रीनुसार वापरला जाऊ शकतो.

दस्तऐवज सामग्री पहा
"परिणामाची समीकरणे. परिणाम समीकरणाकडे नेणारी इतर परिवर्तने"

समीकरण - परिणाम

तोंडी काम

• कोणत्या समीकरणांना परिणाम समीकरण म्हणतात?
• कोरोलरी समीकरणाचे संक्रमण काय म्हणतात
• कोणती परिवर्तने परिणाम समीकरणाकडे नेतात?

तोंडी काम

• √ x = ६
• √ x-2 = 3
• ३ √x= ४;
• √ x २ = ९
• √ x+4=-2
• √ x+1+√x+2=-2

उपाय नाहीत

उपाय नाहीत

तोंडी काम

उपाय नाहीत

परिणाम समीकरणाकडे नेणारी परिवर्तने

रूपांतरण

समीकरणाच्या मुळांवर परिणाम

सम शक्तीचे समीकरण वाढवणे

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

लॉगरिदमिक समीकरणांची संभाव्यता, उदा. बदली

लॉग a f(x)=log a g(x) f(x)= g(x)

परदेशी मुळे दिसू शकतात

भाजकांपासून समीकरण मुक्त करणे:

बाह्य मुळांचा देखावा होऊ शकतो, म्हणजे. ते संख्या x i ज्यासाठी किंवा

फरक f(x)-f(x) शून्याने बदलणे, उदा. समान सदस्य आणणे

बाह्य मुळांचा देखावा होऊ शकतो, म्हणजे. फंक्शन f(x) परिभाषित केलेले नाही.

जर, हे समीकरण सोडवताना, कोरोलरी समीकरणामध्ये एक संक्रमण केले असेल, तर, कोरोलरी समीकरणाची सर्व मुळे मूळ समीकरणाची मुळे आहेत की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे.

प्राप्त केलेली मुळे तपासणे हा समीकरण सोडवण्याचा एक अनिवार्य भाग आहे.

№ 8.2 2 (अ) समीकरण सोडवा :

2) क्रमांक ८.२३(अ)

№ 8.24 (a,c) समीकरण सोडवा :

№ 8.25 (a,c) समीकरण सोडवा :

№ 8.28 (a,c) समीकरण सोडवा :

№ ८.२९ (a,c) समीकरण सोडवा :

गृहपाठ

• पूर्ण क्रमांक 8.24 (b,d), पृष्ठ 236
• क्रमांक 8.25(b,d)
• 8.28 (b,d)
• ८.२९ (b,d)

काही परिवर्तने आपल्याला सोडवल्या जाणाऱ्या समीकरणापासून समतुल्य समीकरणाकडे, तसेच मूळ समीकरणाचे निराकरण सुलभ करणाऱ्या परिणाम समीकरणांकडे जाण्याची परवानगी देतात. या सामग्रीमध्ये आम्ही तुम्हाला ही समीकरणे काय आहेत ते सांगू, मूलभूत व्याख्या तयार करू, त्यांना स्पष्ट उदाहरणांसह स्पष्ट करू आणि मूळ समीकरणाची मुळे मूळ समीकरण किंवा समतुल्य समीकरणाच्या मुळांपासून कशी मोजली जातात हे स्पष्ट करू.

Yandex.RTB R-A-339285-1

समतुल्य समीकरणांची संकल्पना

व्याख्या १

समतुल्यअशा समीकरणांना समान मुळे म्हणतात किंवा ज्यामध्ये मुळे नाहीत.

या प्रकारच्या व्याख्या अनेकदा विविध पाठ्यपुस्तकांमध्ये आढळतात. चला काही उदाहरणे देऊ.

व्याख्या २

समीकरण f(x) = g(x) समीकरण r(x) = s(x) या समीकरणाच्या समतुल्य मानले जाते जर त्यांची मुळे समान असतील किंवा दोघांनाही मुळे नसेल.

व्याख्या ३

समान मुळे असलेली समीकरणे समतुल्य मानली जातात. त्यांना समान मुळे नसलेली दोन समीकरणे देखील मानली जातात.

व्याख्या 4

समीकरण f (x) = g (x) मध्ये p (x) = h (x) या समीकरणाप्रमाणेच मुळांचा संच असल्यास, ते एकमेकांशी समतुल्य मानले जातात.

जेव्हा आपण मुळांच्या एकरूप संचाबद्दल बोलतो, तेव्हा आमचा अर्थ असा होतो की जर एखादी विशिष्ट संख्या एका समीकरणाचे मूळ असेल तर ते दुसर्‍या समीकरणासाठी उपाय म्हणून योग्य असेल. समतुल्य असलेल्या कोणत्याही समीकरणाचे मूळ असू शकत नाही जे दुसर्‍यासाठी योग्य नाही.

अशा समीकरणांची अनेक उदाहरणे देऊ.

उदाहरण १

उदाहरणार्थ, 4 x = 8, 2 x = 4 आणि x = 2 समतुल्य असतील, कारण त्या प्रत्येकाचे एकच मूळ आहे - दोन. तसेच x · 0 = 0 आणि 2 + x = x + 2 समतुल्य असतील, कारण त्यांची मुळे कोणतीही संख्या असू शकतात, म्हणजेच त्यांचे समाधान संच एकरूप होतात. तसेच समतुल्य x = x + 5 आणि x 4 = − 1 ही समीकरणे असतील, ज्यापैकी प्रत्येकाला एकच समाधान नाही.

स्पष्टतेसाठी, असमान समीकरणांची अनेक उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण २

उदाहरणार्थ, हे x = 2 आणि x 2 = 4 असतील, कारण त्यांची मुळे भिन्न आहेत. हेच समीकरण x x = 1 आणि x 2 + 5 x 2 + 5 या समीकरणांना लागू होते, कारण दुसऱ्यामध्ये समाधान कोणतीही संख्या असू शकते आणि दुसऱ्यामध्ये मूळ 0 असू शकत नाही.

वर दिलेल्या व्याख्या अनेक व्हेरिएबल्स असलेल्या समीकरणांसाठी देखील योग्य आहेत, परंतु जेव्हा आपण दोन, तीन किंवा अधिक मुळांबद्दल बोलत आहोत, तेव्हा "समीकरण सोडवणे" ही अभिव्यक्ती अधिक योग्य आहे. अशाप्रकारे, सारांशित करण्यासाठी: समतुल्य समीकरणे ही अशी समीकरणे आहेत ज्यांचे निराकरण समान आहे किंवा काहीही नाही.

चला अशा समीकरणांची उदाहरणे घेऊ ज्यात अनेक चल असतात आणि ती एकमेकांशी समतुल्य असतात. अशाप्रकारे, x 2 + y 2 + z 2 = 0 आणि 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 प्रत्येकामध्ये तीन चलांचा समावेश आहे आणि तीनही प्रकरणांमध्ये 0 च्या बरोबरीचे एकच समाधान आहे. आणि समीकरणांची जोडी x + y = 5 आणि x · y = 1 एकमेकांशी समतुल्य असणार नाही, कारण, उदाहरणार्थ, 5 आणि 3 ही मूल्ये पहिल्यासाठी योग्य आहेत, परंतु ते निराकरण होणार नाही. दुसरा: त्यांना पहिल्या समीकरणात बदलताना, आपल्याला योग्य समानता मिळेल, आणि दुसऱ्यामध्ये - चुकीची.

परिणाम समीकरणांची संकल्पना

पाठ्यपुस्तकांमधून घेतलेल्या समीकरणांच्या व्याख्यांची अनेक उदाहरणे उद्धृत करूया.

व्याख्या 5

f (x) = g (x) समीकरणाचा परिणाम p (x) = h (x) हे समीकरण असेल, जर पहिल्या समीकरणाचे प्रत्येक मूळ एकाच वेळी दुसऱ्या समीकरणाचे मूळ असेल.

व्याख्या 6

जर पहिल्या समीकरणाची मुळे दुसऱ्या सारखीच असतील तर दुसरे हे पहिल्याचे परिणाम समीकरण असेल.

अशा समीकरणांची काही उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण ३

तर, x · 2 = 32 हा x − 3 = 0 चा परिणाम असेल, कारण पहिल्यामध्ये फक्त एकच मूळ आहे, तीन समान आहे आणि ते दुसऱ्या समीकरणाचे मूळ देखील असेल, म्हणून या व्याख्येच्या संदर्भात , एक समीकरण दुसऱ्याचा परिणाम असेल. दुसरे उदाहरण: समीकरण (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 हे x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 चे परिणाम असेल कारण दुसऱ्या समीकरणात दोन आहेत मुळे, 2 आणि 3 च्या समान, जी एकाच वेळी पहिल्याची मुळे असतील.

वर दिलेल्या व्याख्येवरून, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की ज्या समीकरणाची मुळे नसतील त्या समीकरणाचा परिणाम देखील समीकरण असेल. या लेखात तयार केलेल्या सर्व नियमांचे इतर काही परिणाम येथे आहेत:

व्याख्या 7

1. जर एक समीकरण दुस-या समीकरणाशी समतुल्य असेल, तर त्या प्रत्येकाचा परिणाम दुसर्‍याचा परिणाम असेल.
2. जर दोन समीकरणांपैकी प्रत्येक समीकरण दुसर्‍याचा परिणाम असेल, तर ही समीकरणे एकमेकांशी समतुल्य असतील.
3. समीकरणे एकमेकांच्या संबंधात समतुल्य असतील तरच ती प्रत्येक दुसऱ्याचा परिणाम असेल.

समीकरणाची मुळे समीकरण समीकरण किंवा समतुल्य समीकरणाच्या मुळांपासून कशी शोधायची

आम्ही व्याख्यांमध्ये काय लिहिले आहे यावर आधारित, जेव्हा आम्हाला एका समीकरणाची मुळे माहित असतात, तेव्हा आम्हाला समतुल्यांची मुळे देखील माहित असतात, कारण ते एकरूप होतील.

जर आपल्याला परिणाम समीकरणाची सर्व मुळे माहित असतील, तर आपण दुसऱ्या समीकरणाची मुळे ठरवू शकतो ज्याचा तो परिणाम आहे. हे करण्यासाठी, आपल्याला केवळ बाह्य मुळे बाहेर काढण्याची आवश्यकता आहे. हे कसे केले जाते याबद्दल आम्ही एक स्वतंत्र लेख लिहिला. आम्ही तुम्हाला ते वाचण्याचा सल्ला देतो.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

समीकरणे सोडवताना खालील परिवर्तने बहुधा वापरली जातात:

इतर परिवर्तने

मागील परिच्छेदात सादर केलेल्या सूचीमध्ये, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान नैसर्गिक शक्ती, लॉगरिदम, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना सामर्थ्यवान करणे, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान अंशाचे मूळ काढणे यासारख्या परिवर्तनांचा आम्ही मुद्दाम समावेश केलेला नाही. समीकरण, बाह्य कार्य सोडणे आणि इतर. वस्तुस्थिती अशी आहे की ही परिवर्तने इतकी सामान्य नाहीत: वरील यादीतील परिवर्तने सर्व प्रकारची समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरली जातात आणि नुकतीच नमूद केलेली परिवर्तने विशिष्ट प्रकारची समीकरणे (अतार्किक, घातांक, लॉगरिदमिक इ.) सोडवण्यासाठी वापरली जातात. संबंधित प्रकारची समीकरणे सोडवण्यासाठी संबंधित पद्धतींच्या चौकटीत त्यांची तपशीलवार चर्चा केली आहे. त्यांच्या तपशीलवार वर्णनाचे दुवे येथे आहेत:

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान नैसर्गिक सामर्थ्याकडे वाढवणे.
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे लॉगरिदम घेणे.
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना संभाव्यता.
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान शक्तीचे मूळ काढणे.
• मूळ समीकरणाच्या एका भागाशी संबंधित अभिव्यक्ती मूळ समीकरणाच्या दुसर्‍या भागाच्या अभिव्यक्तीसह बदलणे.

प्रदान केलेल्या दुव्यांमध्ये सूचीबद्ध परिवर्तनांबद्दल सर्वसमावेशक माहिती आहे. म्हणून, आम्ही या लेखात त्यांच्यावर यापुढे राहणार नाही. त्यानंतरची सर्व माहिती मूलभूत परिवर्तनांच्या सूचीतील परिवर्तनांवर लागू होते.

समीकरण बदलल्याने काय होते?

वरील सर्व परिवर्तने पार पाडल्याने एकतर मूळ समीकरणासारखीच मुळे असलेले समीकरण मिळू शकते किंवा असे समीकरण ज्याच्या मुळांमध्ये मूळ समीकरणाची सर्व मुळे असतात, परंतु ज्यात इतर मुळे देखील असू शकतात किंवा असे समीकरण मिळू शकते ज्याची मुळे नसतील. बदललेल्या समीकरणाची सर्व मुळे समाविष्ट करा. पुढील परिच्छेदांमध्ये आपण यापैकी कोणते परिवर्तन, कोणत्या परिस्थितीत, कोणत्या समीकरणांकडे नेले याचे विश्लेषण करू. समीकरणे यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी हे जाणून घेणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.

समीकरणांचे समतुल्य रूपांतर

विशेष स्वारस्य म्हणजे समीकरणांचे परिवर्तन जे समतुल्य समीकरणांमध्ये परिणत होतात, म्हणजेच मूळ समीकरणाप्रमाणेच मुळांचा संच असलेली समीकरणे. अशा परिवर्तनांना म्हणतात समतुल्य परिवर्तने. शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये, संबंधित व्याख्या स्पष्टपणे दिलेली नाही, परंतु संदर्भातून वाचणे सोपे आहे:

व्याख्या

समीकरणांचे समतुल्य रूपांतरसमतुल्य समीकरणे देणारे परिवर्तन आहेत.

मग समतुल्य परिवर्तने मनोरंजक का आहेत? वस्तुस्थिती अशी आहे की जर त्यांच्या मदतीने सोडवल्या जाणाऱ्या समीकरणातून अगदी सोप्या समीकरणापर्यंत येणे शक्य असेल, तर हे समीकरण सोडवल्याने मूळ समीकरणाला अपेक्षित समाधान मिळेल.

मागील परिच्छेदामध्ये सूचीबद्ध केलेल्या परिवर्तनांपैकी, सर्व नेहमीच समतुल्य नसतात. काही परिवर्तने काही विशिष्ट परिस्थितींमध्येच समतुल्य असतात. समीकरणाचे समतुल्य रूपांतर कोणते परिवर्तन आणि कोणत्या परिस्थितीत होते हे ठरवणाऱ्या विधानांची सूची बनवू. हे करण्यासाठी, आम्ही वरील यादी एक आधार म्हणून घेऊ, आणि नेहमी समतुल्य नसलेल्या परिवर्तनांमध्ये आम्ही त्यांना समतुल्यता देणार्‍या अटी जोडू. ही यादी आहे:

• समीकरणाच्या डावीकडे किंवा उजव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तीसह समीकरणासाठी चल बदलत नाही अशा अभिव्यक्तीसह बदलणे हे समीकरणाचे समतुल्य परिवर्तन आहे.

हे असे का आहे ते स्पष्ट करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही A(x)=B(x) फॉर्मचे एका व्हेरिएबलसह समीकरण घेतो (अनेक व्हेरिएबल्ससह समीकरणांसाठी समान तर्क केले जाऊ शकतात), आम्ही त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना A( असे दर्शवितो. x) आणि B(x), अनुक्रमे . अभिव्यक्ती C(x) ही अभिव्यक्ती A(x) सारखीच असू द्या, आणि C(x)=B(x) या समीकरणाच्या x व्हेरिएबलचा ODZ मूळ समीकरणासाठी x व्हेरिएबलच्या ODZ शी एकरूप होतो. A(x)=B(x) या समीकरणाचे C(x)=B(x) या समीकरणात होणारे रूपांतर समतुल्य रूपांतर आहे, हे आपण सिद्ध करूया की A(x)=B ही समीकरणे आहेत. (x) आणि C(x) =B(x) समतुल्य आहेत.

हे करण्यासाठी, मूळ समीकरणाचे कोणतेही मूळ हे C(x)=B(x) समीकरणाचे मूळ आहे आणि C(x)=B(x) या समीकरणाचे कोणतेही मूळ हे मूळ आहे हे दाखवणे पुरेसे आहे. मूळ समीकरणाचे.

चला पहिल्या भागापासून सुरुवात करूया. q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ असू द्या, नंतर जेव्हा आपण त्याला x ने बदलू तेव्हा आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता A(q)=B(q) मिळेल. अभिव्यक्ती A(x) आणि C(x) समान रीतीने समान असल्याने आणि C(q) अभिव्यक्ती अर्थपूर्ण आहे (हे या स्थितीवरून येते की C(x)=B(x) समीकरणासाठी OD साठी OD शी एकरूप होतो मूळ समीकरण) , तर संख्यात्मक समानता A(q)=C(q) सत्य आहे. पुढे आपण संख्यात्मक समानतेचे गुणधर्म वापरतो. सममिती गुणधर्मामुळे, समानता A(q)=C(q) पुन्हा C(q)=A(q) असे लिहिता येते. नंतर, संक्रमण गुणधर्मामुळे, समानता C(q)=A(q) आणि A(q)=B(q) समानता C(q)=B(q) सूचित करतात. यावरून हे सिद्ध होते की q हे C(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

दुसरा भाग, आणि त्यासह संपूर्ण विधान, अगदी समानतेने सिद्ध केले आहे.

विश्लेषण केलेल्या समतुल्य परिवर्तनाचे सार खालीलप्रमाणे आहे: ते आपल्याला समीकरणांच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अभिव्यक्तीसह स्वतंत्रपणे कार्य करण्यास अनुमती देते, त्यांना व्हेरिएबल्सच्या मूळ ODZ वर समान समान अभिव्यक्तीसह पुनर्स्थित करते.

सर्वात सामान्य उदाहरण: आपण x=2+1 समीकरणाच्या उजव्या बाजूला असलेल्या संख्यांची बेरीज त्याच्या मूल्यासह बदलू शकतो, ज्याचा परिणाम x=3 फॉर्मचे समतुल्य समीकरण होईल. खरंच, आम्ही अभिव्यक्ती 2+1 ची जागा समान समान अभिव्यक्ती 3 ने बदलली आणि समीकरणाचा ODZ बदलला नाही. दुसरे उदाहरण: 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 या समीकरणाच्या डाव्या बाजूला आपण करू शकतो आणि उजवीकडे – , जे आपल्याला 3·x+ या समीकरणाकडे घेऊन जाईल. ६=५·x+ ३. परिणामी समीकरण खरोखरच समतुल्य आहे, कारण आम्ही अभिव्यक्ती समान समान अभिव्यक्तींनी बदलल्या आणि त्याच वेळी मूळ समीकरणासाठी OD शी एकरूप असणारे OD असलेले समीकरण प्राप्त केले.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा करणे हे समीकरणाचे समतुल्य परिवर्तन आहे.

A(x)=B(x) या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना c समान संख्या जोडल्यास A(x)+c=B(x)+c असे समीकरण मिळते आणि समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून वजाबाकी होते हे सिद्ध करू. समान संख्या c चे A(x) =B(x) समान समीकरण A(x)−c=B(x)−c देते.

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ मानू, तर समानता A(q)=B(q) सत्य आहे. संख्यात्मक समानतेचे गुणधर्म आपल्याला खर्‍या संख्यात्मक समानतेच्या दोन्ही बाजू जोडू देतात किंवा त्याच्या भागांमधून समान संख्या वजा करू शकतात. ही संख्या c म्हणून दर्शवू, नंतर A(q)+c=B(q)+c आणि A(q)−c=B(q)−c या समानता वैध आहेत. या समानतांवरून असे दिसून येते की q हे समीकरण A(x)+c=B(x)+c आणि A(x)−c=B(x)−c समीकरणाचे मूळ आहे.

आता परत. q हे समीकरण A(x)+c=B(x)+c आणि A(x)−c=B(x)−c या समीकरणाचे मूळ असू द्या, नंतर A(q)+c=B(q) +c आणि A (q)−c=B(q)−c . आपल्याला माहित आहे की खऱ्या संख्यात्मक समानतेच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा केल्याने खरी संख्यात्मक समानता निर्माण होते. आपल्याला हे देखील माहित आहे की दोन्ही बाजूंना योग्य संख्यात्मक समानता जोडल्यास योग्य संख्यात्मक समानता मिळते. योग्य संख्यात्मक समानता A(q)+c=B(q)+c च्या दोन्ही बाजूंमधून c ही संख्या वजा करू आणि A(x)−c=B(x) समानतेच्या दोन्ही बाजूंना c संख्या जोडू. −c. हे आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता A(q)+c−c=B(q)+c−c आणि A(q)−c+c=B(q)+c−c देईल, ज्यावरून आपण A असा निष्कर्ष काढतो. (q) =B(q) . शेवटच्या समानतेवरून असे दिसून येते की q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

हे एकंदर मूळ विधान सिद्ध करते.

अशा समीकरणांच्या परिवर्तनाचे उदाहरण देऊ. चला x−3=1 हे समीकरण घेऊ, आणि दोन्ही बाजूंना 3 संख्या जोडून त्याचे रूपांतर करू, त्यानंतर आपल्याला x−3+3=1+3 हे समीकरण मिळेल, जे मूळ समतुल्य आहे. हे स्पष्ट आहे की परिणामी समीकरणामध्ये तुम्ही संख्यांसह क्रिया करू शकता, जसे की आम्ही सूचीतील मागील आयटममध्ये चर्चा केली होती, परिणामी आमच्याकडे समीकरण x=4 आहे. तर, समतुल्य रूपांतरे करून, आम्ही x−3=1 हे समीकरण चुकून सोडवले, त्याचे मूळ क्रमांक 4 आहे. समीकरणाच्या वेगवेगळ्या भागांमध्ये असलेल्या समान संख्यात्मक संज्ञांपासून मुक्त होण्यासाठी मानले जाणारे समतुल्य परिवर्तन बरेचदा वापरले जाते. उदाहरणार्थ, x 2 +1=x+1 या समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संज्ञा 1 आहे, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून संख्या 1 वजा केल्याने आपल्याला समतुल्य समीकरण x 2 + वर जाता येते. 1−1=x+1−1 आणि पुढे समतुल्य समीकरण x 2 =x, आणि त्याद्वारे या समान संज्ञा काढून टाका.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून वजाबाकी करणे ज्यासाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित नाही ते समतुल्य परिवर्तन आहे.

चला हे विधान सिद्ध करूया. म्हणजेच, आम्ही सिद्ध करतो की A(x)=B(x) आणि A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ही समीकरणे समतुल्य आहेत, जर C(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ पेक्षा ) आधीपासून नाही.

प्रथम आपण एक सहायक बिंदू सिद्ध करतो. आपण हे सिद्ध करूया की, विनिर्दिष्ट परिस्थितीत, परिवर्तनाच्या आधी आणि नंतरची OD समीकरणे समान आहेत. खरंच, A(x)+C(x)=B(x)+C(x) या समीकरणासाठी ODZ हे A(x)=B(x) आणि ODZ या समीकरणासाठी ODZ चे छेदनबिंदू मानले जाऊ शकते. C(x) या अभिव्यक्तीसाठी. यावरून आणि C(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ हा A(x)=B(x) या समीकरणाच्या ODZ पेक्षा स्थितीनुसार संकुचित नाही, यावरून असे लक्षात येते की A(x)= समीकरणासाठी ODZ B(x) आणि A(x)+C(x)=B(x)+C(x) समान आहेत.

आता आपण A(x)=B(x) आणि A(x)+C(x)=B(x)+C(x) या समीकरणांची समतुल्यता सिद्ध करू, बशर्ते त्यांच्यासाठी स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणी समीकरणे समान आहेत. आम्ही निर्दिष्ट स्थितीत A(x)=B(x) आणि A(x)−C(x)=B(x)−C(x) समीकरणांच्या समतुल्यतेचा पुरावा देणार नाही, कारण ते समान आहे .

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ मानू, तर संख्यात्मक समानता A(q)=B(q) सत्य आहे. A(x)=B(x) आणि A(x)+C(x)=B(x)+C(x) या समीकरणांची ODZ समान असल्याने, C(x) ही अभिव्यक्ती x वर अर्थपूर्ण आहे. =q, म्हणजे C(q) ही काही संख्या आहे. योग्य संख्यात्मक समानता A(q)=B(q) च्या दोन्ही बाजूंना C(q) जोडल्यास, हे योग्य संख्यात्मक असमानता A(q)+C(q)=B(q)+C(q) देईल. ) , ज्यावरून q हे A(x)+C(x)=B(x)+C(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

मागे. q हे A(x)+C(x)=B(x)+C(x) या समीकरणाचे मूळ असू द्या, नंतर A(q)+C(q)=B(q)+C(q) a आहे खरी संख्यात्मक समानता. आपल्याला माहित आहे की खऱ्या संख्यात्मक समानतेच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा केल्याने खरी संख्यात्मक समानता निर्माण होते. A(q)+C(q)=B(q)+C(q) च्या दोन्ही बाजूंमधून C(q) वजा करा, हे मिळते A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)आणि पुढे A(q)=B(q) . म्हणून, q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

अशा प्रकारे, प्रश्नातील विधान पूर्णपणे सिद्ध झाले आहे.

या परिवर्तनाचे उदाहरण देऊ. 2 x+1=5 x+2 हे समीकरण घेऊ. आपण दोन्ही बाजूंना जोडू शकतो, उदाहरणार्थ, −x−1 ही अभिव्यक्ती. ही अभिव्यक्ती जोडल्याने ODZ बदलणार नाही, याचा अर्थ असा की असे परिवर्तन समतुल्य आहे. याचा परिणाम म्हणून, आम्ही समतुल्य समीकरण प्राप्त करतो 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). हे समीकरण पुढे रूपांतरित केले जाऊ शकते: कंस उघडा आणि त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला समान संज्ञा कमी करा (सूचीतील पहिला आयटम पहा). या क्रिया केल्यावर, आपल्याला समान समीकरण x=4·x+1 मिळते. विचाराधीन समीकरणांचे परिवर्तन हे समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला एकाच वेळी असलेल्या समान संज्ञांपासून मुक्त होण्यासाठी वापरले जाते.

• तुम्ही समीकरणातील पद एका भागातून दुसऱ्या भागात हलवल्यास, या संज्ञेचे चिन्ह विरुद्ध बदलून, तुम्हाला दिलेल्या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.

हे विधान मागील विधानांचा परिणाम आहे.

समीकरणाचे हे समतुल्य रूपांतर कसे केले जाते ते दाखवू. 3·x−1=2·x+3 हे समीकरण घेऊ. चला संज्ञा हलवू, उदाहरणार्थ, 2 x उजवीकडून डावीकडे, त्याचे चिन्ह बदलून. या प्रकरणात, आपल्याला 3·x−1−2·x=3 समतुल्य समीकरण मिळते. तुम्ही समीकरणाच्या डावीकडून उजवीकडे वजा एक देखील हलवू शकता, चिन्हाला अधिक: 3 x−2 x=3+1 वर बदलून. शेवटी, समान संज्ञा आणल्याने आपल्याला x=4 समान समीकरणाकडे नेले जाते.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्य नसलेल्या संख्येने गुणणे किंवा भागणे हे समतुल्य परिवर्तन आहे.

चला पुरावा देऊ.

A(x)=B(x) हे काही समीकरण असू द्या आणि c ही संख्या शून्यापेक्षा वेगळी असू द्या. A(x)=B(x) या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना c या संख्येने गुणणे किंवा भागणे हे समीकरणाचे समतुल्य रूपांतर आहे हे सिद्ध करू. हे करण्यासाठी, आम्ही A(x)=B(x) आणि A(x) c=B(x) c, तसेच A(x)=B(x) आणि A(x) ही समीकरणे सिद्ध करतो. :c=B(x):c - समतुल्य. हे अशा प्रकारे केले जाऊ शकते: A(x)=B(x) समीकरणाचे कोणतेही मूळ A(x) c=B(x) c आणि समीकरण A(x) चे मूळ आहे हे सिद्ध करा. :c=B(x) :c , आणि नंतर A(x) c=B(x) c समीकरणाचे कोणतेही मूळ, A(x):c=B(x):c समीकरणाच्या कोणत्याही मूळाप्रमाणे सिद्ध करा. , हे समीकरण A(x) =B(x) चे मूळ आहे. चला करूया.

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ असू द्या. मग संख्यात्मक समानता A(q)=B(q) सत्य आहे. संख्यात्मक समानतेच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही शिकलो की खर्‍या संख्यात्मक समानतेच्या दोन्ही बाजूंना शून्य व्यतिरिक्त समान संख्येने गुणाकार किंवा भागाकार केल्याने खरी संख्यात्मक समानता येते. समानतेच्या दोन्ही बाजू A(q)=B(q) चा c ने गुणाकार केल्याने, आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता A(q) c=B(q) c मिळते, ज्यावरून q हे A( समीकरणाचे मूळ आहे. x) c= B(x)·c . आणि समानतेच्या दोन्ही बाजू A(q)=B(q) ला c ने विभाजित केल्याने, आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता A(q):c=B(q):c मिळते, ज्यावरून ते खालीलप्रमाणे होते की q चे मूळ आहे. समीकरण A(x):c =B(x):c .

आता दुसऱ्या दिशेने. q हे A(x) c=B(x) c या समीकरणाचे मूळ मानू. मग A(q)·c=B(q)·c ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. त्‍याच्‍या दोन्ही भागांना शून्य नसल्‍या संख्‍येने विभाजित केल्‍यास, आम्‍हाला अचूक संख्यात्मक समानता A(q)·c:c=B(q)·c:c आणि पुढे A(q)=B(q) मिळते. हे खालीलप्रमाणे आहे की q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. जर q हे समीकरण A(x):c=B(x):c चे मूळ असेल. नंतर A(q):c=B(q):c ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. त्‍याच्‍या दोन्‍ही भागांना शून्य नसल्‍या संख्‍येने गुणाकार केल्‍यास, आम्‍हाला अ(q):c·c=B(q):c·c आणि पुढे A(q)=B(q) बरोबर संख्यात्मक समानता मिळते. हे खालीलप्रमाणे आहे की q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

विधान सिद्ध झाले आहे.

या परिवर्तनाचे उदाहरण देऊ. त्याच्या मदतीने, आपण, उदाहरणार्थ, समीकरणातील अपूर्णांकांपासून मुक्त होऊ शकता. हे करण्यासाठी, आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12 ने गुणाकार करू शकता. परिणाम फॉर्मचे समतुल्य समीकरण आहे , जे नंतर समतुल्य समीकरण 7 x−3=10 मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते, ज्याच्या नोटेशनमध्ये अपूर्णांक नसतात.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणणे किंवा भागणे, ज्यासाठी OD मूळ समीकरणासाठी OD पेक्षा संकुचित नाही आणि मूळ समीकरणासाठी OD द्वारे नाहीसे होत नाही, ते समतुल्य परिवर्तन आहे.

चला हे विधान सिद्ध करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही हे सिद्ध करतो की जर C(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ हे समीकरण A(x)=B(x) साठी ODZ पेक्षा संकुचित नसेल आणि C(x) समीकरणासाठी ODZ वर नाहीसे होत नाही. A(x)=B( x) , नंतर समीकरणे A(x)=B(x) आणि A(x) C(x)=B(x) C(x), तसेच समीकरणे A(x) =B(x) आणि A(x):C(x)=B(x):C(x) - समतुल्य.

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ असू द्या. मग A(q)=B(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. C(x) या अभिव्यक्तीसाठी ODZ हे A(x)=B(x) या समीकरणासाठी समान ODZ नाही, यावरून असे दिसून येते की जेव्हा x=q असेल तेव्हा C(x) ही अभिव्यक्ती अर्थपूर्ण ठरते. याचा अर्थ C(q) ही काही संख्या आहे. शिवाय, C(q) शून्य आहे, जे C(x) ही अभिव्यक्ती नाहीशी होत नाही या स्थितीपासून पुढे येते. जर आपण समानतेच्या A(q)=B(q) च्या दोन्ही बाजूंना शून्य नसलेल्या C(q) ने गुणाकार केला, तर हे योग्य संख्यात्मक समानता A(q)·C(q)=B(q)· देईल. C(q) , ज्यावरून q हे A(x)·C(x)=B(x)·C(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजू A(q)=B(q) ला शून्य नसलेल्या संख्या C(q) ने विभाजित केले, तर हे योग्य संख्यात्मक समानता A(q):C(q)=B(q) देईल: C(q) , ज्यावरून q हे A(x):C(x)=B(x):C(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

मागे. q हे A(x)·C(x)=B(x)·C(x) या समीकरणाचे मूळ मानू. मग A(q)·C(q)=B(q)·C(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. लक्षात घ्या की A(x) C(x)=B(x) C(x) या समीकरणासाठी ODZ हे A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ सारखेच आहे (आम्ही हे समीकरणांपैकी एकामध्ये सिद्ध केले आहे. मागील परिच्छेद वर्तमान सूची). A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ वर अटीनुसार C(x) नाहीशी होत नसल्यामुळे, C(q) ही शून्य संख्या आहे. समानतेच्या दोन्ही बाजूंना A(q) C(q)=B(q) C(q) यांना शून्य नसलेल्या संख्येने C(q) ने भागल्यास योग्य संख्यात्मक समानता मिळते. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)आणि पुढे A(q)=B(q) . हे खालीलप्रमाणे आहे की q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. जर q हे समीकरण A(x):C(x)=B(x):C(x) चे मूळ असेल. नंतर A(q):C(q)=B(q):C(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. समानतेच्या दोन्ही बाजू A(q):C(q)=B(q):C(q) यांना शून्य नसलेल्या संख्येने C(q) ने गुणाकार केल्याने आपल्याला योग्य संख्यात्मक समानता मिळते. A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)आणि पुढे A(q)=B(q) . हे खालीलप्रमाणे आहे की q हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे.

विधान सिद्ध झाले आहे.

स्पष्टतेसाठी, आम्ही डिस्सेम्बल ट्रान्सफॉर्मेशन पार पाडण्याचे उदाहरण देतो. x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) या समीकरणाच्या दोन्ही बाजू x 2 +1 या अभिव्यक्तीने विभाजित करू. हे रूपांतर समतुल्य आहे, कारण x 2 +1 ही अभिव्यक्ती मूळ समीकरणासाठी OD वर नाहीशी होत नाही आणि या अभिव्यक्तीचा OD मूळ समीकरणासाठी OD पेक्षा संकुचित नाही. या परिवर्तनाचा परिणाम म्हणून, आम्ही समतुल्य समीकरण प्राप्त करतो x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), ज्याचे पुढे समतुल्य समीकरण x 3 =8 मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते.

परिणाम समीकरणांकडे नेणारी परिवर्तने

मागील परिच्छेदामध्ये, आम्ही मूलभूत परिवर्तनांच्या सूचीमधून कोणते परिवर्तन आणि कोणत्या परिस्थितीत समतुल्य आहेत याचे परीक्षण केले. आता यापैकी कोणते परिवर्तन आणि कोणत्या परिस्थितीत परिणामकारक समीकरणे होतात ते पाहू या, म्हणजेच ज्या समीकरणांमध्ये बदललेल्या समीकरणाची सर्व मुळे आहेत, परंतु त्याव्यतिरिक्त इतर मुळे देखील असू शकतात - मूळ समीकरणासाठी बाह्य मुळे.

परिणाम समीकरणांकडे नेणारी परिवर्तने समतुल्य परिवर्तनांपेक्षा कमी मागणीत नाहीत. जर त्यांच्या मदतीने समाधानाच्या बाबतीत अगदी सोपे समीकरण मिळवणे शक्य असेल तर त्याचे निराकरण आणि नंतरच्या बाहेरील मुळे काढून टाकणे मूळ समीकरणास एक समाधान देईल.

लक्षात घ्या की सर्व समतुल्य परिवर्तने बदलांची विशेष प्रकरणे मानली जाऊ शकतात ज्यामुळे परिणाम समीकरणे होतात. हे समजण्यासारखे आहे, कारण समतुल्य समीकरण हे परिणाम समीकरणाचे विशेष प्रकरण आहे. परंतु व्यावहारिक दृष्टिकोनातून, हे जाणून घेणे अधिक उपयुक्त आहे की विचाराधीन परिवर्तन तंतोतंत समतुल्य आहे आणि परिणाम समीकरणाकडे नेत नाही. हे असे का आहे ते स्पष्ट करूया. जर आपल्याला माहित असेल की परिवर्तन समतुल्य आहे, तर परिणामी समीकरणाची मुळ मूळ समीकरणापेक्षा बाहेरील असणार नाही. आणि परिणाम समीकरणाकडे जाणारे परिवर्तन हे बाह्य मुळे दिसण्याचे कारण असू शकते, जे भविष्यात आपल्याला अतिरिक्त कृती करण्यास भाग पाडते - बाह्य मुळे काढून टाकणे. म्हणून, लेखाच्या या विभागात आम्ही परिवर्तनांवर लक्ष केंद्रित करू, परिणामी मूळ समीकरणासाठी बाह्य मुळे दिसू शकतात. आणि बाह्य मुळे कधी फिल्टर करणे आवश्यक आहे आणि जेव्हा हे आवश्यक नसते हे स्पष्टपणे समजून घेण्यासाठी अशा परिवर्तनांना समतुल्य परिवर्तनांपासून वेगळे करण्यास सक्षम असणे खरोखर महत्वाचे आहे.

या लेखाच्या दुसर्‍या परिच्छेदात दिलेल्या समीकरणांच्या मूलभूत परिवर्तनांच्या संपूर्ण यादीचे विश्लेषण करूया, ज्याच्या परिणामी बाह्य मुळे दिसू शकतात.

• समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूच्या अभिव्यक्ती सारख्या समान अभिव्यक्तींनी बदलणे.

आम्ही हे सिद्ध केले आहे की हे परिवर्तन समतुल्य आहे जर त्याची अंमलबजावणी OD बदलत नाही. आणि जर DL बदलला तर काय होईल? ओडीझेडच्या संकुचिततेमुळे मुळे नष्ट होऊ शकतात; पुढील परिच्छेदामध्ये याबद्दल अधिक तपशीलवार चर्चा केली जाईल. आणि ओडीझेडच्या विस्तारासह, बाह्य मुळे दिसू शकतात. याचे समर्थन करणे कठीण नाही. आपण संबंधित तर्क सादर करूया.

C(x) ही अभिव्यक्ती अशी असू द्या की ती अभिव्यक्ती A(x) च्या समान असेल आणि C(x)=B(x) या समीकरणासाठी OD हे A(x)=B या समीकरणासाठी OD पेक्षा अधिक रुंद आहे. (x). C(x)=B(x) हे समीकरण A(x)=B(x) या समीकरणाचा परिणाम आहे आणि C(x)=B(x) या समीकरणाच्या मुळांमध्ये काही असू शकते हे सिद्ध करूया. A(x)=B(x) या समीकरणाला परकीय मुळे असू द्या.

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ असू द्या. मग A(q)=B(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. C(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ हे A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ पेक्षा रुंद असल्याने, C(x) ही अभिव्यक्ती x=q वर परिभाषित केली आहे. नंतर, C(x) आणि A(x) या अभिव्यक्तींची समान समानता लक्षात घेऊन, आपण C(q)=A(q) असा निष्कर्ष काढतो. समता C(q)=A(q) आणि A(q)=B(q), संक्रमण गुणधर्मामुळे, समानता C(q)=B(q) खालीलप्रमाणे आहे. या समानतेवरून असे दिसून येते की q हे C(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. यावरून हे सिद्ध होते की निर्दिष्ट परिस्थितीत C(x)=B(x) हे समीकरण A(x)=B(x) या समीकरणाचा परिणाम आहे.

हे सिद्ध करणे बाकी आहे की C(x)=B(x) समीकरणाची मुळे A(x)=B(x) या समीकरणाच्या मुळांपेक्षा वेगळी असू शकतात. A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ मधील C(x)=B(x) समीकरणाचे कोणतेही मूळ A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे हे सिद्ध करू. पथ p हे C(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे, A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ शी संबंधित आहे. मग C(p)=B(p) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. p हे समीकरण A(x)=B(x) साठी ODZ चे असल्याने, x=p साठी A(x) ही अभिव्यक्ती परिभाषित केली आहे. यावरून आणि A(x) आणि C(x) या अभिव्यक्तींच्या समान समानतेवरून ते A(p)=C(p) चे अनुसरण करते. समानता A(p)=C(p) आणि C(p)=B(p), ट्रान्झिटिव्हिटी गुणधर्मामुळे, A(p)=B(p), म्हणजे p हे मूळ आहे. समीकरण A(x) = B(x) . यावरून हे सिद्ध होते की A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ मधील C(x)=B(x) समीकरणाचे कोणतेही मूळ हे A(x)=B(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. दुसऱ्या शब्दांत, A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ वर C(x)=B(x) या समीकरणाची मुळे असू शकत नाहीत, जी A(x)=B( समीकरणासाठी बाह्य मुळे आहेत. x). परंतु स्थितीनुसार, C(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ हे A(x)=B(x) या समीकरणाच्या ODZ पेक्षा अधिक रुंद आहे. आणि हे C(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ शी संबंधित असलेल्या r संख्येच्या अस्तित्वास अनुमती देते आणि A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ शी संबंधित नाही, जे मूळ आहे C(x)=B(x) समीकरणाचे. म्हणजेच, C(x)=B(x) समीकरणाची मुळे असू शकतात जी A(x)=B(x) या समीकरणाला परकीय असू शकतात आणि ती सर्व समीकरण A साठी ODZ असलेल्या संचाशी संबंधित असतील. (x)=B हा अभिव्यक्ती A(x) च्या जागी C(x) सारख्या समान अभिव्यक्तीने बदलताना (x) वाढविला जातो.

तर, समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अभिव्यक्तींना समान समान अभिव्यक्तीसह बदलणे, परिणामी ओडीझेडचा विस्तार केला जातो, सर्वसाधारणपणे एक परिणाम समीकरण बनते (म्हणजेच, ते बाह्य दिसण्यास कारणीभूत ठरू शकते. रूट्स) आणि केवळ एका विशिष्ट प्रकरणात समतुल्य समीकरण बनते (परिणामी समीकरणाची मूळ समीकरणाची मुळे परदेशी नसतील तर).

पार्स केलेले परिवर्तन पार पाडण्याचे उदाहरण देऊ. समीकरणाच्या डाव्या बाजूला अभिव्यक्ती बदलणे x·(x−1) या अभिव्यक्तीद्वारे समान रीतीने समीकरण x·(x−1)=0 नेले, या प्रकरणात ODZ चा विस्तार होतो - संख्या 0 त्यात जोडली जाते. परिणामी समीकरणाची दोन मुळे 0 आणि 1 आहेत आणि ही मुळे मूळ समीकरणात बदलल्यास 0 हे मूळ समीकरणाचे बाह्य मूळ आहे आणि 1 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे हे दिसून येते. खरंच, मूळ समीकरणात शून्याची जागा घेतल्याने अर्थहीन अभिव्यक्ती मिळते , त्यात शून्याने भागाकार असल्याने आणि एक बदलल्यास योग्य संख्यात्मक समानता मिळते , जे 0=0 सारखे आहे.

लक्षात घ्या की समान समीकरणाचे समान परिवर्तन समीकरणामध्ये (x−1)·(x−2)=0, परिणामी ODZ देखील विस्तारित होते, त्यामुळे बाह्य मुळे दिसत नाहीत. खरंच, परिणामी समीकरणाची दोन्ही मुळे (x−1)·(x−2)=0 - संख्या 1 आणि 2, मूळ समीकरणाची मुळे आहेत, जी प्रतिस्थापनाद्वारे तपासून सत्यापित करणे सोपे आहे. या उदाहरणांसह, आम्ही पुन्हा एकदा यावर जोर देऊ इच्छितो की समीकरणाच्या डाव्या किंवा उजव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तीऐवजी समान समान अभिव्यक्ती, जी ODZ विस्तृत करते, बाह्य मुळे दिसणे आवश्यक नाही. परंतु यामुळे त्यांचे स्वरूप देखील होऊ शकते. तर, जर असे परिवर्तन समीकरण सोडवण्याच्या प्रक्रियेत घडले असेल, तर बाह्य मुळे ओळखण्यासाठी आणि फिल्टर करण्यासाठी तपासणी करणे आवश्यक आहे.

बहुतेकदा, समीकरणाचे ODZ विस्तारू शकते आणि एक किंवा अधिक शून्य घटकांसह उत्पादनांच्या शून्याने बदलल्यामुळे समान अभिव्यक्तींच्या फरकाच्या शून्याने बदलल्यामुळे किंवा विरुद्ध चिन्हे असलेल्या अभिव्यक्तींच्या बेरीजमुळे बाह्य मुळे दिसू शकतात. , अपूर्णांक कमी झाल्यामुळे आणि गुणधर्म मुळे, शक्ती, लॉगरिदम इ. वापरल्यामुळे.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा करणे.

आम्ही वर दाखवले आहे की हे परिवर्तन नेहमीच समतुल्य असते, म्हणजे समतुल्य समीकरणाकडे नेणारे. पुढे जा.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्ती जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी समान अभिव्यक्ती वजा करणे.

मागील परिच्छेदामध्ये, आम्ही एक अट जोडली आहे की जोडल्या जाणार्‍या किंवा वजा केल्या जाणार्‍या अभिव्यक्तीसाठी ODZ हे बदललेल्या समीकरणासाठी ODZ पेक्षा अरुंद नसावे. या स्थितीमुळे प्रश्नातील परिवर्तन समतुल्य झाले. येथे लेखाच्या या परिच्छेदाच्या सुरुवातीला दिलेले युक्तिवाद या वस्तुस्थितीशी संबंधित आहेत की समतुल्य समीकरण हे गुणात्मक समीकरणाचे एक विशेष प्रकरण आहे आणि परिवर्तनाच्या समतुल्यतेबद्दलचे ज्ञान त्याबद्दलच्या ज्ञानापेक्षा व्यावहारिकदृष्ट्या अधिक उपयुक्त आहे. परिवर्तन, परंतु वस्तुस्थितीच्या दृष्टिकोनातून ते परिणाम समीकरणाकडे नेत आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी समान अभिव्यक्ती जोडणे किंवा समान अभिव्यक्ती वजा केल्यामुळे, मूळ समीकरणाच्या सर्व मुळांव्यतिरिक्त, इतर काही मुळे असतील असे समीकरण मिळवणे शक्य आहे का? नाही, तो करू शकत नाही. जर जोडल्या जाणार्‍या किंवा वजा केल्या जाणार्‍या अभिव्यक्तीसाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित नसेल, तर बेरीज किंवा वजाबाकीच्या परिणामी समतुल्य समीकरण प्राप्त होईल. मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा जोडल्या जाणार्‍या किंवा वजा केल्या जाणार्‍या अभिव्यक्तीसाठी ODZ जर संकुचित असेल, तर यामुळे मुळे नष्ट होऊ शकतात, बाह्य मुळे दिसू शकत नाहीत. आम्ही पुढील परिच्छेदात याबद्दल अधिक बोलू.

• समीकरणाच्या एका भागातून दुसर्‍या चिन्हासह संज्ञा हस्तांतरित करणे उलट बदलले आहे.

समीकरणाचे हे परिवर्तन नेहमीच समतुल्य असते. म्हणून, वर नमूद केलेल्या कारणांसाठी, समीकरण-परिणामाकडे नेणारे परिवर्तन मानण्यात काही अर्थ नाही.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना एकाच संख्येने गुणणे किंवा भागणे.

मागील परिच्छेदात, आम्ही हे सिद्ध केले की समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार किंवा भागाकार शून्य नसलेल्या संख्येने केला असेल तर हे समीकरणाचे समतुल्य रूपांतर आहे. म्हणून, पुन्हा, एक परिणाम समीकरणाकडे नेणारे परिवर्तन म्हणून याबद्दल बोलण्यात काही अर्थ नाही.

परंतु समीकरणाच्या दोन्ही बाजू ज्या संख्येने गुणाकार किंवा विभाजित केल्या आहेत त्या संख्येच्या शून्यापासून फरक असलेल्या आरक्षणाकडे लक्ष देणे योग्य आहे. विभाजनासाठी, हे आरक्षण समजण्यासारखे आहे - प्राथमिक शाळेपासून आम्हाला ते समजले तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही. गुणाकारासाठी हे कलम का? समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याने गुणाकार केल्यास काय परिणाम होतात याचा विचार करूया. स्पष्टतेसाठी, एक विशिष्ट समीकरण घेऊ, उदाहरणार्थ, 2 x+1=x+5. हे एक रेखीय समीकरण आहे ज्यामध्ये एकच मूळ आहे, जो क्रमांक 4 आहे. या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याने गुणाकार करून जे समीकरण मिळेल ते लिहू: (2 x+1) 0=(x+5) 0. स्पष्टपणे, या समीकरणाचे मूळ कोणतीही संख्या आहे, कारण जेव्हा तुम्ही या समीकरणामध्ये x च्या ऐवजी कोणतीही संख्या बदलता तेव्हा तुम्हाला योग्य संख्यात्मक समानता 0=0 मिळते. म्हणजेच, आमच्या उदाहरणात, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याने गुणाकार केल्याने एक परिणाम समीकरण तयार झाले, ज्यामुळे मूळ समीकरणासाठी अनंत संख्येने बाह्य मुळे दिसल्या. शिवाय, हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की या प्रकरणात बाह्य मुळे तपासण्याच्या नेहमीच्या पद्धती त्यांच्या कार्यास सामोरे जात नाहीत. याचा अर्थ असा होतो की केलेले परिवर्तन मूळ समीकरण सोडवण्यासाठी निरुपयोगी आहे. आणि विचाराधीन परिवर्तनासाठी ही एक विशिष्ट परिस्थिती आहे. म्हणूनच समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याने गुणाकारण्यासारखे परिवर्तन समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरले जात नाही. शेवटच्या परिच्छेदातील समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या या परिवर्तनाकडे आणि इतर परिवर्तनांकडे आपल्याला अजून पहायचे आहे.

• समान अभिव्यक्तीने समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार किंवा भागाकार.

मागील परिच्छेदात, आम्ही हे सिद्ध केले की दोन अटी पूर्ण झाल्यास हे परिवर्तन समतुल्य आहे. त्यांना आठवण करून देऊया. पहिली अट: या अभिव्यक्तीसाठी OD मूळ समीकरणासाठी OD पेक्षा अरुंद नसावा. दुसरी अट: ज्या अभिव्यक्तीद्वारे गुणाकार किंवा भागाकार केला जातो तो मूळ समीकरणासाठी ODZ वर नाहीसा होऊ नये.

पहिली अट बदलूया, ती म्हणजे, आपण असे गृहीत धरू की ज्या अभिव्यक्तीद्वारे आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार किंवा भागाकार करू इच्छितो त्याची OD मूळ समीकरणाच्या OD पेक्षा संकुचित आहे. अशा परिवर्तनाच्या परिणामी, एक समीकरण प्राप्त होईल ज्यासाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित असेल. अशा परिवर्तनांमुळे मुळे नष्ट होऊ शकतात; आम्ही पुढील परिच्छेदात त्यांच्याबद्दल बोलू.

मूळ समीकरणासाठी ज्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना ODZ ने गुणाकार किंवा भागाकार केला त्या अभिव्यक्तीच्या शून्य नसलेल्या मूल्यांची दुसरी अट काढून टाकल्यास काय होईल?

मूळ समीकरणासाठी OD द्वारे गायब होणार्‍या समान अभिव्यक्तीद्वारे समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना विभाजित केल्याने एक समीकरण तयार होईल ज्याचे OD मूळ समीकरणासाठी OD पेक्षा लहान आहे. खरंच, संख्या त्यातून बाहेर पडेल, ज्या अभिव्यक्तीद्वारे विभागणी शून्य केली गेली होती. यामुळे मुळांचे नुकसान होऊ शकते.

मूळ समीकरणासाठी ODZ वर गायब झालेल्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणाकारण्याबद्दल काय? जेव्हा A(x)=B(x) या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना C(x) या अभिव्यक्तीने गुणाकार केला जातो, तेव्हा ODZ मूळ समीकरणाच्या ODZ पेक्षा अरुंद नाही आणि जे अदृश्य होते ते दाखवता येते. मूळ समीकरणासाठी ODZ, समीकरण प्राप्त झाले आहे याचा परिणाम असा आहे की, A(x)=B(x) या समीकरणाच्या सर्व मुळांव्यतिरिक्त, त्यास इतर मुळे देखील असू शकतात. चला हे करूया, विशेषत: लेखाचा हा परिच्छेद तंतोतंत परिणाम समीकरणांकडे नेणाऱ्या परिवर्तनांना समर्पित असल्यामुळे.

C(x) ही अभिव्यक्ती अशी असू द्या की त्यासाठीचा ODZ हा A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित नसेल आणि A(x)=B(x) या समीकरणासाठी ते ODZ वर नाहीसे होईल. ) . या प्रकरणात A(x)·C(x)=B(x)·C(x) हे समीकरण A(x)=B(x) या समीकरणाचा परिणाम आहे हे सिद्ध करूया.

q हे समीकरण A(x)=B(x) चे मूळ असू द्या. मग A(q)=B(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. अभिव्यक्ती C(x) साठी ODZ हे समीकरण A(x)=B(x) साठी ODZ पेक्षा संकुचित नसल्यामुळे, C(x) अभिव्यक्ती x=q वर परिभाषित केली जाते, याचा अर्थ C(q) एक निश्चित संख्या आहे. खऱ्या संख्यात्मक समानतेच्या दोन्ही बाजूंना कोणत्याही संख्येने गुणाकार केल्याने खरी संख्यात्मक समानता मिळते, म्हणून, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) ही खरी संख्यात्मक समानता आहे. याचा अर्थ q हे A(x)·C(x)=B(x)·C(x) या समीकरणाचे मूळ आहे. यावरून हे सिद्ध होते की A(x)=B(x) या समीकरणाचे कोणतेही मूळ A(x) C(x)=B(x) C(x) या समीकरणाचे मूळ आहे, ज्याचा अर्थ A(x) समीकरण आहे. C (x)=B(x)·C(x) हा A(x)=B(x) या समीकरणाचा परिणाम आहे.

लक्षात ठेवा की निर्दिष्ट परिस्थितीनुसार, समीकरण A(x)·C(x)=B(x)·C(x) मध्ये मूळ समीकरण A(x)=B(x) ची मुळे असू शकतात. त्या मूळ समीकरणासाठी ODZ मधील सर्व संख्या आहेत जे C(x) या अभिव्यक्तीला शून्यात बदलतात (सर्व संख्या ज्या अभिव्यक्ती C(x) ला शून्यावर बदलतात ते A(x) C(x)=B समीकरणाचे मूळ आहेत (x) C(x) , कारण दर्शविलेल्या समीकरणामध्ये त्यांची बदली योग्य संख्यात्मक समानता देते 0=0 ), परंतु जे समीकरण A(x)=B(x) ची मूळ नाहीत. A(x)=B(x) आणि A(x)·C(x)=B(x)·C(x) ही समीकरणे A(x) समीकरणासाठी ODZ मधील सर्व संख्या समतुल्य असतील )=B (x) , ज्यामुळे C(x) हा शब्द नाहीसा होतो, ही A(x)=B(x) या समीकरणाची मुळे आहेत.

तर, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणाकार केल्याने, ODZ ज्यासाठी मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित नाही आणि जे मूळ समीकरणासाठी ODZ द्वारे नाहीसे होते, सर्वसाधारण बाबतीत एक परिणाम समीकरण ठरते, ते आहे, यामुळे परदेशी मुळे दिसू शकतात.

स्पष्ट करण्यासाठी एक उदाहरण देऊ. x+3=4 हे समीकरण घेऊ. त्याचे एकमेव मूळ क्रमांक 1 आहे. या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणाकार करू या, जी मूळ समीकरणासाठी ODZ द्वारे नाहीशी होते, उदाहरणार्थ, x·(x−1) ने. ही अभिव्यक्ती x=0 आणि x=1 वर नाहीशी होते. या अभिव्यक्तीने समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार केल्याने आपल्याला समीकरण मिळते (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). परिणामी समीकरणाची दोन मुळे आहेत: 1 आणि 0. संख्या 0 हे मूळ समीकरणाचे बाह्य मूळ आहे जे परिवर्तनाच्या परिणामी दिसून आले.

मुळे नष्ट होऊ शकते असे परिवर्तन

काही विशिष्ट परिस्थितींमधील काही रूपांतरणांमुळे मुळे नष्ट होऊ शकतात. उदाहरणार्थ, x·(x−2)=x−2 या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x−2 समान अभिव्यक्तीने विभाजित केल्यावर, मूळ नष्ट होते. खरंच, अशा परिवर्तनाचा परिणाम म्हणून, x=1 हे समीकरण एकल रूटसह प्राप्त होते, जे संख्या 1 आहे आणि मूळ समीकरणाला 1 आणि 2 दोन मूळ आहेत.

समीकरणे सोडवताना मुळे गमावू नयेत म्हणून परिवर्तनाच्या परिणामी मुळे कधी गमावली जातात हे स्पष्टपणे समजून घेणे आवश्यक आहे. चला हे शोधून काढूया.

या परिवर्तनांचा परिणाम म्हणून, जर आणि फक्त जर बदललेल्या समीकरणासाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा अरुंद असेल तरच मुळांचे नुकसान होऊ शकते.

हे विधान सिद्ध करण्यासाठी, दोन मुद्दे सिद्ध करणे आवश्यक आहे. प्रथम, हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की, समीकरणाच्या सूचित परिवर्तनांच्या परिणामी, ओडीझेड अरुंद केले असल्यास, मुळांचे नुकसान होऊ शकते. आणि, दुसरे म्हणजे, हे समर्थन करणे आवश्यक आहे की, या परिवर्तनांच्या परिणामी, मुळे गमावल्यास, परिणामी समीकरणासाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा कमी आहे.

जर परिवर्तनाच्या परिणामी प्राप्त झालेल्या समीकरणासाठी ODZ मूळ समीकरणाच्या ODZ पेक्षा कमी असेल तर, नैसर्गिकरित्या, परिणामी समीकरणासाठी ODZ च्या बाहेर असलेल्या मूळ समीकरणाचे एकही मूळ समीकरणाचे मूळ असू शकत नाही. परिवर्तनाच्या परिणामी प्राप्त झाले. याचा अर्थ मूळ समीकरणापासून ज्या समीकरणासाठी ODZ हे मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा कमी आहे अशा समीकरणाकडे जाताना ही सर्व मुळे नष्ट होतील.

आता परत. आपण हे सिद्ध करूया की, या परिवर्तनांच्या परिणामी, मुळे नष्ट झाली, तर परिणामी समीकरणासाठी ODZ मूळ समीकरणाच्या ODZ पेक्षा कमी आहे. हे उलट पद्धतीद्वारे केले जाऊ शकते. या परिवर्तनांच्या परिणामी, मुळे गमावली जातात, परंतु ओडीझेड संकुचित होत नाही हे गृहितक, मागील परिच्छेदांमध्ये सिद्ध केलेल्या विधानांचा विरोधाभास आहे. खरंच, या विधानांवरून असे दिसून येते की जर, सूचित परिवर्तने पार पाडताना, ODZ संकुचित केले गेले नाही, तर एकतर समतुल्य समीकरणे किंवा परिणाम समीकरणे प्राप्त केली जातात, ज्याचा अर्थ असा आहे की मुळांचे नुकसान होऊ शकत नाही.

तर, समीकरणांची मूलभूत परिवर्तने पार पाडताना मुळांच्या संभाव्य नुकसानाचे कारण म्हणजे ओडीझेडचे अरुंदीकरण. हे स्पष्ट आहे की समीकरणे सोडवताना आपण मुळे गमावू नयेत. येथे, स्वाभाविकपणे, प्रश्न उद्भवतो: "समीकरण बदलताना मुळे गमावू नयेत यासाठी आपण काय करावे?" आम्ही पुढील परिच्छेदात त्याचे उत्तर देऊ. आता समीकरणांच्या मूलभूत परिवर्तनांची यादी पाहू या, कोणत्या परिवर्तनांमुळे मुळांचे नुकसान होऊ शकते हे अधिक तपशीलवार पाहू.

• समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूच्या अभिव्यक्ती सारख्या समान अभिव्यक्तींनी बदलणे.

जर तुम्ही समीकरणाच्या डाव्या किंवा उजव्या बाजूच्या अभिव्यक्तीला एकसमान समान अभिव्यक्तीने पुनर्स्थित केल्यास, ज्यासाठी OD मूळ समीकरणासाठी OD पेक्षा संकुचित आहे, यामुळे OD संकुचित होईल आणि यामुळे, मुळे हरवले जाऊ शकते. बर्‍याचदा, समीकरणांच्या डाव्या किंवा उजव्या बाजूस समान समान अभिव्यक्तीसह अभिव्यक्ती बदलणे, मूळ, शक्ती, लॉगरिदम आणि काही त्रिकोणमितीय सूत्रांच्या काही गुणधर्मांच्या आधारे केले जाते, ज्यामुळे ODZ संकुचित होते आणि परिणामी , मुळे संभाव्य नुकसान. उदाहरणार्थ, समीकरणाच्या डाव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तीला सारख्याच समान अभिव्यक्तीने पुनर्स्थित केल्याने ODZ संकुचित होते आणि मूळ −16 नष्ट होते. त्याचप्रमाणे, समीकरणाच्या डाव्या बाजूच्या अभिव्यक्तीला एकसमान समान अभिव्यक्तीने पुनर्स्थित केल्याने समीकरण होते, ज्यासाठी ODZ मूळ समीकरणाच्या ODZ पेक्षा अरुंद आहे, ज्यामुळे मूळ −3 नष्ट होते.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा करणे.

हे परिवर्तन समतुल्य आहे, म्हणून, त्याच्या अंमलबजावणी दरम्यान मुळे गमावली जाऊ शकत नाहीत.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्ती जोडणे किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी समान अभिव्यक्ती वजा करणे.

मूळ समीकरणासाठी ज्याचा OD OD पेक्षा संकुचित आहे अशी अभिव्यक्ती तुम्ही जोडल्यास किंवा वजा केल्यास, यामुळे OD संकुचित होईल आणि परिणामी, मुळे नष्ट होण्याची शक्यता आहे. हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे. परंतु येथे हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की सराव मध्ये मूळ समीकरणाच्या रेकॉर्डिंगमध्ये उपस्थित असलेल्या अभिव्यक्ती जोडणे किंवा वजा करणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे ODZ मध्ये बदल होत नाही आणि मुळे नष्ट होत नाहीत.

• समीकरणाच्या एका भागातून दुसर्‍या चिन्हासह संज्ञा हस्तांतरित करणे उलट बदलले आहे.

समीकरणाचे हे परिवर्तन समतुल्य आहे, म्हणून, त्याच्या अंमलबजावणीच्या परिणामी, मुळे गमावली जात नाहीत.

• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना शून्याव्यतिरिक्त समान संख्येने गुणाकार किंवा भागणे.

हे परिवर्तन देखील समतुल्य आहे, आणि यामुळे, मुळांचे नुकसान होत नाही.

• समान अभिव्यक्तीने समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा गुणाकार किंवा भागाकार.

हे परिवर्तन दोन प्रकरणांमध्ये OD चे संकुचित होऊ शकते: जेव्हा गुणाकार किंवा भागाकार केला जातो त्या अभिव्यक्तीसाठी OD मूळ समीकरणाच्या OD पेक्षा संकुचित असेल आणि जेव्हा अभिव्यक्तीद्वारे भागाकार केला जातो तेव्हा मूळ समीकरणासाठी OD वर शून्य. लक्षात घ्या की व्यवहारात सामान्यतः संकुचित VA असलेल्या अभिव्यक्तीद्वारे समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना गुणाकार आणि भागाकार करणे आवश्यक नसते. परंतु तुम्हाला मूळ समीकरणासाठी शून्यात बदलणाऱ्या अभिव्यक्तीद्वारे भागाकाराचा सामना करावा लागेल. अशी एक पद्धत आहे जी आपल्याला अशा विभाजनादरम्यान मुळांच्या नुकसानास सामोरे जाण्याची परवानगी देते, आम्ही या लेखाच्या पुढील परिच्छेदात याबद्दल बोलू.

मुळांचे नुकसान कसे टाळावे?

जर तुम्ही समीकरणे बदलण्यासाठी फक्त परिवर्तने वापरत असाल आणि त्याच वेळी ODZ संकुचित होऊ देत नसाल तर मुळांचे नुकसान होणार नाही.

याचा अर्थ असा आहे की समीकरणांचे इतर कोणतेही परिवर्तन केले जाऊ शकत नाही? नाही, याचा अर्थ असा नाही. जर तुम्ही समीकरणाचे दुसरे काही परिवर्तन आणले आणि त्याचे पूर्ण वर्णन केले, म्हणजे ते समतुल्य समीकरणे केव्हा ठरते, परिणाम समीकरणे केव्हा होते आणि त्यामुळे मुळे कधी नष्ट होऊ शकतात हे सूचित केले तर ते योग्य प्रकारे स्वीकारले जाऊ शकते.

DPD संकुचित करणार्‍या सुधारणांचा आपण पूर्णपणे त्याग केला पाहिजे का? असे करत नसावे. मूळ समीकरणासाठी ODZ मधून मर्यादित संख्येच्या संख्येच्या बाहेर पडणार्‍या तुमच्या शस्त्रागारातील परिवर्तनांमध्ये ठेवल्याने त्रास होणार नाही. असे परिवर्तन का सोडले जाऊ नये? कारण अशा वेळी मुळांचे नुकसान टाळण्याची पद्धत आहे. त्यामध्ये मूळ समीकरणाची मुळे आहेत की नाही हे पाहण्यासाठी ODZ मधून बाहेर पडणाऱ्या संख्यांची स्वतंत्र तपासणी केली जाते. तुम्ही मूळ समीकरणामध्ये या संख्यांना बदलून हे तपासू शकता. त्यांपैकी जे, बदलल्यावर, योग्य संख्यात्मक समानता देतात, ते मूळ समीकरणाचे मूळ आहेत. ते उत्तरात समाविष्ट करणे आवश्यक आहे. अशा तपासणीनंतर, आपण आपली मुळे गमावण्याच्या भीतीशिवाय नियोजित परिवर्तन सुरक्षितपणे करू शकता.

एक सामान्य परिवर्तन ज्यामध्ये समीकरणासाठी ODZ अनेक संख्येपर्यंत संकुचित केले जाते ते समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने विभाजित करणे, जे मूळ समीकरणासाठी ODZ पासून अनेक बिंदूंवर शून्य होते. हे परिवर्तन हा उपाय पद्धतीचा आधार आहे परस्पर समीकरणे. पण इतर प्रकारची समीकरणे सोडवण्यासाठीही त्याचा उपयोग होतो. एक उदाहरण देऊ.

नवीन चल आणून समीकरण सोडवता येते. नवीन चल सादर करण्यासाठी, तुम्हाला समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1+x ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. परंतु अशा भागाकाराने, मुळाचे नुकसान होऊ शकते, कारण 1+x या अभिव्यक्तीसाठी ODZ मूळ समीकरणासाठी ODZ पेक्षा संकुचित नसला तरी, 1+x ही अभिव्यक्ती x=−1 वर शून्य होते आणि ही संख्या मूळ समीकरणासाठी ODZ च्या मालकीचे आहे. याचा अर्थ असा की रूट −1 गमावले जाऊ शकते. मुळाचे नुकसान दूर करण्यासाठी, −1 हे मूळ समीकरणाचे मूळ आहे की नाही हे तुम्ही स्वतंत्रपणे तपासले पाहिजे. हे करण्यासाठी, तुम्ही मूळ समीकरणामध्ये −1 ला बदलू शकता आणि तुम्हाला कोणती समानता मिळते ते पाहू शकता. आमच्या बाबतीत, प्रतिस्थापन समानता देते, जे 4=0 सारखे आहे. ही समानता खोटी आहे, याचा अर्थ −1 हे मूळ समीकरणाचे मूळ नाही. अशा तपासणीनंतर, मुळे नष्ट होण्याची भीती न बाळगता, तुम्ही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे 1 + x ने इच्छित विभाजन करू शकता.

या परिच्छेदाच्या शेवटी, आपण पुन्हा एकदा मागील परिच्छेदातील समीकरणांकडे वळूया आणि. ओळखांवर आधारित या समीकरणांचे परिवर्तन आणि ओडीझेड अरुंद होण्यास कारणीभूत ठरते आणि यामुळे मुळांचे नुकसान होते. या टप्प्यावर, आम्ही सांगितले की आमची मुळे गमावू नयेत म्हणून, आम्हाला डीझेड संकुचित करणार्‍या सुधारणांचा त्याग करणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ ही परिवर्तने सोडून दिली पाहिजेत. पण आपण काय करावे? ओळखींवर आधारित नसून परिवर्तन घडवून आणणे शक्य आहे , ज्यामुळे ODZ संकुचित झाले आहे, आणि ओळखीच्या आधारावर आणि . मूळ समीकरणांपासून आणि समीकरणांमध्ये संक्रमणाचा परिणाम म्हणून आणि ओडीझेडचे कोणतेही अरुंदीकरण नाही, याचा अर्थ मुळे गमावली जाणार नाहीत.

येथे आम्ही विशेषतः लक्षात घेतो की अभिव्यक्ती एकसारख्या समान अभिव्यक्तींनी बदलताना, तुम्ही काळजीपूर्वक खात्री केली पाहिजे की अभिव्यक्ती अगदी समान आहेत. उदाहरणार्थ, Eq मध्ये. डाव्या बाजूचे स्वरूप सुलभ करण्यासाठी एक्स+3 अभिव्यक्तीसह अभिव्यक्ती बदलणे अशक्य आहे , x+3 ही अभिव्यक्ती आणि समान रीतीने समान नसल्यामुळे, त्यांची मूल्ये x+3 वर जुळत नाहीत<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

समीकरणांची परिवर्तने जी वापरली जाऊ नयेत

या लेखात नमूद केलेली परिवर्तने सहसा व्यावहारिक गरजांसाठी पुरेशी असतात. म्हणजेच, इतर कोणत्याही परिवर्तनांसह येण्याबद्दल तुम्हाला जास्त त्रास होऊ नये; आधीच सिद्ध झालेल्यांच्या योग्य वापरावर लक्ष केंद्रित करणे चांगले आहे.

साहित्य

1. मोर्डकोविच ए. जी.बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाची सुरुवात. ग्रेड 11. 2 तासांत. भाग 1. सामान्य शिक्षण संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए. जी. मोर्डकोविच, पी. व्ही. सेमेनोव्ह. - दुसरी आवृत्ती, मिटवली. - एम.: नेमोसिन, 2008. - 287 पी.: आजारी. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. बीजगणितआणि गणितीय विश्लेषणाची सुरुवात. 10 वी: पाठ्यपुस्तक. सामान्य शिक्षणासाठी संस्था: मूलभूत आणि प्रोफाइल. स्तर / [यु. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; द्वारा संपादित ए.बी. झिझचेन्को. - तिसरी आवृत्ती. - एम.: एज्युकेशन, 2010.- 368 पी.: आजारी.-ISBN 978-5-09-022771-1.

कामाचा मजकूर प्रतिमा आणि सूत्रांशिवाय पोस्ट केला जातो.
कार्याची संपूर्ण आवृत्ती PDF स्वरूपात "वर्क फाइल्स" टॅबमध्ये उपलब्ध आहे

परिचय

व्यावहारिक समस्या सोडवताना, बहुतेक प्रकरणांमध्ये ते समीकरणांवर येतात. गणिताच्या धड्यांमध्ये आपण बीजगणितीय आणि त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी विविध पद्धतींचा अभ्यास करतो. समाधान प्रक्रियेदरम्यान, अनेक प्रश्न उद्भवतात, उदाहरणार्थ, जेव्हा बाह्य मुळे दिसतात किंवा जेव्हा समीकरण मुळे गमावते तेव्हा ODZ तपासणे आणि शोधणे नेहमीच आवश्यक असते का? अभ्यासात असे दिसून आले आहे की 10वी आणि 11वी इयत्तेतील बहुसंख्य (85%) विद्यार्थ्यांना या आणि इतर प्रश्नांची उत्तरे जाणून घ्यायची आहेत.

म्हणून, समीकरणे कशी सोडवायची याची सर्वांगीण समज मिळवा आणि शेवटी मुख्य प्रश्नाचे उत्तर द्या: समीकरणे कशी सोडवायची?

तर, अभ्यासाचा विषयबीजगणितीय आणि त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत.

अभ्यासाचा विषय- परिवर्तनांच्या समतुल्यतेच्या कल्पनेवर आधारित समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती.

संशोधन गृहीतक- परिवर्तनांच्या समतुल्यतेच्या कल्पनेवर आधारित समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींमुळे मुळांचे नुकसान दूर करणे आणि बाह्य मुळे दिसणे टाळणे शक्य होते, म्हणजे. समीकरणांसाठी योग्य उपाय शोधा.

अभ्यासाचा उद्देश: परिवर्तनाच्या समतुल्यतेच्या कल्पनेवर आधारित समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास करणे, इयत्ता 10-11 मधील विद्यार्थ्यांसाठी या पद्धती सरावात लागू करण्यासाठी शिफारसी विकसित करणे.

समोर ठेवलेले उद्दिष्ट आणि गृहीतके याच्या अनुषंगाने पुढील निराकरण करणे अपेक्षित आहे कार्ये:

समीकरणे सोडविण्याशी संबंधित कार्यामध्ये चर्चा केलेल्या मुद्द्यांपैकी इयत्ता 10 आणि 11 च्या विद्यार्थ्यांसाठी प्रासंगिकतेचा अभ्यास करा;

समतुल्यतेच्या कल्पनेवर आधारित समीकरणे सोडवण्यासाठी विविध पध्दती एक्सप्लोर करा;

पुढील प्रश्नांची उत्तरे द्या:

1) एका समीकरणातून दुसर्‍या समीकरणात संक्रमण हे समतुल्य परिवर्तन आहे की नाही हे कसे शोधायचे;

२) कोणते परिवर्तन या समीकरणाला परिणाम समीकरणाकडे नेऊ शकतात;

3) जर आपण शेवटी परिणाम समीकरण सोडवले, तर मूळ समीकरणामध्ये सापडलेल्या मुळांची थेट प्रतिस्थापना महत्त्वपूर्ण संगणकीय अडचणींशी निगडीत असताना हे कसे तपासायचे;

4) कोणत्या प्रकरणांमध्ये, एका समीकरणातून दुस-या समीकरणाकडे जाताना, मुळांचे नुकसान होऊ शकते आणि हे कसे टाळता येईल;

विशिष्ट प्रकारच्या समीकरणांचे निराकरण करण्याच्या मुख्य पद्धतींचे वर्णन करा, त्यांचे फायदे आणि तोटे यांचे विश्लेषण करा;

डीझेड शोधण्याची गरज विचारात घ्या;

धडा १

समीकरणांच्या समानतेच्या मुद्द्यावर

1.1.समीकरणांच्या समानतेवर प्रमेय

"समीकरण सोडवा" या शब्दाची समस्या, जिथे, त्यानुसार, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात वारंवार आढळणारी एक समस्या आहे. समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतीवर बरेच काम केले गेले आहे. अशा प्रकारे, एजी मोर्डकोविचची कामे, लेखकाच्या मते, आम्हाला समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींची समग्र कल्पना तयार करण्यास अनुमती देतात समीकरणांच्या समतुल्यतेच्या कल्पना.

या प्रकरणात, समीकरणाचे निराकरण तीन टप्प्यात केले जाते:

पहिली पायरी - तांत्रिक. या टप्प्यावर, संक्रमणाची साखळी या समीकरणापासून शेवटच्या (सोप्या) समीकरणापर्यंत चालते.

दुसरा टप्पा- समाधानाचे विश्लेषण. या टप्प्यावर, सर्व परिवर्तने समतुल्य आहेत का या प्रश्नाचे उत्तर दिले जाते.

तिसरा टप्पा- परीक्षा. जर विश्लेषणात असे दिसून आले आहे की काही परिवर्तनांमुळे परिणाम समीकरण होते, तर सापडलेल्या सर्व मुळे तपासणे आवश्यक आहे.

समीकरणांच्या समीकरणाच्या सिद्धांताच्या मुख्य तरतुदींचा विचार करूया.

व्याख्या १.एक चल असलेली दोन समीकरणे म्हणतात समतुल्यजर त्यांच्या मुळांचे संच एकसारखे असतील; दुसऱ्या शब्दांत, जर त्यांची मुळे समान असतील किंवा दोन्हीची मुळे नाहीत.

उदाहरणार्थ, समीकरणे समतुल्य आहेत, कारण दोघांची मुळे फक्त 2 आणि -2 मध्ये आहेत. समीकरणे आणि = -5 देखील समतुल्य आहेत, कारण वास्तविक संख्यांच्या सेटवर त्यांची मुळे नाहीत, उदा. त्यांच्या मुळांचे संच जुळतात.

व्याख्या २. जर समीकरणाचे प्रत्येक मूळ समीकरणाचे मूळ देखील असेल तर दुसरे समीकरण म्हणतात परिणामपहिला.

उदाहरणार्थ, समीकरण हे समीकरणाचा परिणाम आहे, कारण समीकरणात फक्त एकच मूळ आहे - संख्या 6, तर समीकरणाची दोन मुळे 6 आणि 0 आहेत.

टिप्पणी.खालील विधान स्पष्ट आहे: दोन समीकरणे समतुल्य आहेत जर आणि फक्त जर त्यापैकी प्रत्येक दुसर्‍याचा परिणाम असेल.

समीकरणे सोडवण्याच्या प्रक्रियेत, आपण एका सोप्या समीकरणाकडे येईपर्यंत आपण एका समीकरणातून दुस-या समीकरणाकडे जातो, ज्याची मुळे आपल्याला सापडतात. आणि येथे मुख्य प्रश्न उद्भवतो: त्याची मुळे मूळ समीकरणाची मुळे असतील का? जर सर्व परिवर्तने समतुल्य असतील, तर या प्रश्नाचे उत्तर स्पष्ट आहे: होय, ते होतील. जर आपल्याला काही परिवर्तनांबद्दल खात्री नसेल (परंतु आपल्याला खात्री आहे की आपण परिणाम समीकरणाकडे वळलो आहोत), तर शेवटच्या समीकरणाची सापडलेली मुळे मूळ समीकरणात एक-एक करून बदलून तपासली पाहिजेत. जर अशा प्रतिस्थापनाने असे दर्शवले की शेवटच्या समीकरणाचे आढळलेले मूळ दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करत नाही, तर त्याला म्हणतात बाह्य मूळदिलेल्या समीकरणासाठी आणि टाकून दिले आहे.

एका समीकरणातून दुसर्‍या समीकरणात जाणे हे समतुल्य परिवर्तन आहे की नाही हे कसे शोधायचे? खालील प्रमेये या प्रश्नाचे उत्तर देण्यास मदत करतील.

प्रमेय १.समीकरणाचे कोणतेही पद समीकरणाच्या एका भागातून दुसर्‍या भागामध्ये विरुद्ध चिन्हासह हस्तांतरित केल्यास, दिलेल्या समतुल्य समीकरण प्राप्त होईल.

प्रमेय 2.जर समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान विषम बळावर उभ्या केल्या, तर परिणाम दिलेल्या समीकरणाच्या समतुल्य असेल.

प्रमेय 3.एक घातांकीय समीकरण, जेथे Eq च्या समतुल्य आहे.

व्याख्या 3.समीकरणाच्या व्याख्येचे डोमेन किंवा व्हेरिएबलच्या परवानगीयोग्य मूल्यांचे डोमेन (O.D.V.) व्हेरिएबलच्या त्या मूल्यांचा संच आहे ज्यासाठी अभिव्यक्ती आणि

प्रमेय ४.समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणाकार केल्यास, जे:

a) समीकरणाच्या परिभाषेच्या क्षेत्रामध्ये (O.D.Z मध्ये) सर्वत्र अर्थ प्राप्त होतो

b) या प्रदेशात कुठेही नाहीसे होत नाही, तर आपल्याला समीकरण मिळेल

या समतुल्य.

परिणाम.समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान शून्य नसलेल्या संख्येने गुणाकार किंवा भागल्यास, परिणाम दिलेल्या समीकरणाच्या समतुल्य असेल.

प्रमेय 5.समीकरणाच्या व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये समीकरणाच्या दोन्ही बाजू नकारात्मक नसल्‍यास, दोन्ही बाजूंना समान सम बळावर वाढवल्‍यानंतर, दिलेल्‍या समीकरणाचे समीकरण मिळेल.

प्रमेय 6.जर आणि नंतर लॉगरिदमिक समीकरण

कोठे Eq च्या समतुल्य आहे.

१.२. एका समीकरणाचे रूपांतर समीकरणात रुपांतर करणाऱ्या परिवर्तनांवर

दुसऱ्या प्रश्नाचे उत्तर देऊया, कोणते परिवर्तन समीकरणाचे परिणाम समीकरणात रूपांतर करतात?

जर, समीकरण सोडवण्याच्या प्रक्रियेत, प्रमेयाच्या निर्मितीमध्ये अंतर्निहित प्रतिबंधात्मक परिस्थिती तपासल्याशिवाय, आम्ही प्रमेय 4, 5, 6 पैकी एकाचा निष्कर्ष लागू केला, तर परिणाम एक समीकरण असेल - एक परिणाम.

उदाहरणार्थ, समीकरणाचे एक मूळ 4 आहे. दोन्ही बाजूंनी गुणाकार केल्याने आपल्याला एक समीकरण मिळते - एक परिणाम ज्यामध्ये दोन मुळे आहेत: 4 आणि 2, आणि 2 हे समीकरणासाठी बाह्य मूळ आहे (जेव्हा घटक 0 वर वळतो; प्रमेय 4 करतो यास परवानगी देऊ नका). एकाच समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण केल्याने, आपल्याला 2 मुळे असलेले एक समीकरण मिळते: 4 आणि -2 आणि -2 हे समीकरणाचे बाह्य मूळ आहे.

बेरजे: जर सोल्यूशनच्या कोणत्याही टप्प्यावर आम्ही समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने गुणाकार केला (ज्याला समीकरणाच्या व्याख्येच्या क्षेत्रामध्ये अर्थ आहे) किंवा समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान बळावर वाढवल्या किंवा लॉगरिदमिक चिन्हे वगळली. समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस, नंतर सापडलेली सर्व मुळे तपासणे आवश्यक आहे.

तथापि, समीकरणातून परिणाम समीकरणाकडे संक्रमण होण्याचे मुख्य कारण आहे व्याप्तीचा विस्तार. याकडे नेतो:

ए ) भाजकापासून मुक्त होणे. एक भाजक होता - एक मर्यादा होती; जर भाजक असेल तर मर्यादा नव्हती. उदाहरणार्थ, समीकरण = 8 विचारात घ्या. त्याचे परिभाषेचे डोमेन जर आपण समीकरणाच्या डाव्या बाजूला अपूर्णांक कमी केला, म्हणजे. स्वतःला भाजकापासून मुक्त करून, आम्ही एक समीकरण प्राप्त करतो ज्याचे परिभाषेचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे. त्याचे मूळ क्रमांक 4 आहे. तथापि, ते या समीकरणाचे मूळ असणार नाही. त्यामुळे या समीकरणाला काही उपाय नाही;

ब) लॉगरिदमिक चिन्हे पासून सूट;

V) सम n साठी सूत्र वापरणे.

खरं तर, जर एखादी अभिव्यक्ती असेल तर, त्याच्या व्याख्येचे क्षेत्र असमानतेद्वारे दिले जाते; जर आपण अभिव्यक्तीसह बदलले आणि स्वतंत्र मानले तर निर्बंध काढून टाकले जातात, म्हणजे, परिभाषाचे क्षेत्र विस्तृत होते.

उदाहरणार्थ:समीकरण सोडवा

उपाय 5

परिवर्तन प्रक्रियेदरम्यान, परिभाषाचे क्षेत्र दोनदा विस्तारित केले गेले आणि स्क्वेअरिंगचे असमान ऑपरेशन दोनदा लागू केले गेले. याचा अर्थ असा की आपण एक समीकरण प्राप्त केले आहे - एक परिणाम. पडताळणी आवश्यक आहे.

परीक्षा.मूळ समीकरणामध्ये पहिले रूट 2 बदलू या, आम्हाला मिळेल. दुसरे रूट बदलताना, आपल्या लक्षात येते की ते आधीच 5 पेक्षा मोठे आहे, म्हणजे. दुसरे मूळ दिलेले समीकरण पूर्ण करू शकत नाही, म्हणून, हे मूळ बाह्य आहे.

उत्तर: 2.

१.३. समीकरणाची मुळे हरवण्याच्या मुद्द्यावर

च्या प्रश्नाचे उत्तर देऊया जेव्हा समीकरण त्याची मुळे गमावते आणि ते कसे रोखायचे ?

अनेक कारणे आहेत मुळांचे नुकसान:

अ) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान अभिव्यक्तीने विभाजित करणेजर ते 0 च्या बरोबरीचे मूल्य घेऊ शकते; तर, समीकरण सोडवताना, तुम्हाला समीकरणाकडे जाणे आवश्यक आहे (आणि समीकरणाकडे नाही).

ब) समीकरण सोडवण्याच्या प्रक्रियेत ODZ संकुचित करणे; हे घडते, उदाहरणार्थ, काही त्रिकोणमितीय सूत्र वापरताना. हे उदाहरणासह दाखवू.

समीकरण सोडवताना

या समीकरणाच्या व्याख्येचे क्षेत्र संकुचित आहे. खरंच, त्याचे परिभाषेचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे आणि यासाठी एक प्रतिबंध दिसून येतो.

u= लावा, आपल्याला =1 मिळेल, जिथून u= +2, n. पण संच हे समीकरणाचे समाधान आहे.

उत्तर: +2, n.

मुळांच्या नुकसानाची इतर प्रकरणे आहेत.

१.४. त्यांच्या समतुल्यतेच्या कल्पनेवर आधारित समीकरणे सोडवताना

आता प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करूया: समीकरणांच्या समतुल्य स्थितीच्या आधारावर, ते सोडवण्याच्या पद्धतींची संपूर्ण समज निर्माण करणे शक्य आहे का?

चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १.समीकरण सोडवा

समाधान. हे समीकरण सोडवण्याची समस्या फंक्शनच्या परिभाषाचे डोमेन शोधण्याच्या समस्येपर्यंत कमी होते, म्हणजे. असमानता सोडवण्यासाठी O.D.Z शिवाय समीकरण सोडवा. अशक्य समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण करून आपण परिणाम समीकरणाकडे गेलो तर आपल्याला समीकरण मिळेल

ज्यांची मुळे सर्व वास्तविक संख्या आहेत. कारण अमर्यादपणे अनेक मुळे आहेत, त्यांना बदलून तपासणे अशक्य आहे. समीकरण (1) च्या व्याख्येच्या डोमेनवर समीकरण (2) हे समीकरण (1) च्या समतुल्य आहे हे लक्षात घेण्याची एकच शक्यता आहे.

कार्य " समीकरण सोडवा(1)" O.D.Z शोधण्याच्या कार्यासाठी कमी करण्यात आले. समीकरण (1), जे समस्या कमी करते " असमानता सोडवा" म्हणजेच, आम्ही परिवर्तनाच्या मदतीने नव्हे तर मूळ समस्येच्या सुधारणेच्या मदतीने समीकरणातून समतुल्य असमानतेकडे गेलो.

उदाहरण २.समीकरण सोडवा

ऊत्तराची: डाव्या बाजूची प्रत्येक संज्ञा नॉन-ऋणात्मक आहे, त्यामुळे डावीकडील बाजू शून्याच्या बरोबरीची आहे आणि जर तिची प्रत्येक संज्ञा शून्य असेल तरच. समीकरण सोडवण्याने समीकरणांची समतुल्य प्रणाली सोडवण्यास कमी होते

उत्तर: 3.

अशा प्रकारे, कार्य " समीकरण सोडवा(3) "समस्या कमी झाली" समीकरणांची प्रणाली सोडवा».

उदाहरण ३.समीकरण सोडवा

उपाय. आपण समीकरण मिळवू

ज्यांची मुळे १ आणि २ आहेत. तर, मूळ समीकरण समीकरणांच्या संचाशी समतुल्य आहे

पहिल्या समीकरणाला कोणतेही समाधान नाही (कोसाइन फंक्शनच्या मूल्यांच्या सेटवर आधारित), आणि दुसऱ्या समीकरणाचे समाधान आहे

अशा प्रकारे, समाधान प्रक्रियेतील समानता समीकरण म्हणून वापरली गेली, म्हणून, समस्येपासून " समीकरण सोडवा(५)"आम्ही कार्याकडे वळलो" समीकरणांची प्रणाली सोडवा

समीकरणाचे निराकरण (5) आणि समीकरणांची प्रणाली (7) परस्परपणे एकमेकांना निर्धारित करतात.

संख्या ही समीकरणाचे समाधान आहे (5) जर आणि फक्त जर अशी संख्या असेल की संख्यांची जोडी प्रणाली (7) चे समाधान आहे. ही व्याख्या म्हणून घेतली जाऊ शकते समीकरणे आणि समीकरणांची प्रणाली.समीकरणांची प्रणाली (7) समीकरणांच्या प्रणालींच्या समतुल्य आहे

जे समीकरणांच्या संचाच्या समतुल्य आहे (6).

वर चर्चा केलेल्या उदाहरण 1-3 मध्ये फक्त काही संक्रमणे आहेत जी "समीकरण सोडवा" समस्या सोडवताना वापरली जातात. ही स्थित्यंतरे (परिवर्तन) करत असताना, आम्ही एक महत्त्वाचे तत्त्व पाळले - मुळे गमावू नका आणि शक्य असल्यास, नवीन प्राप्त करू नका. याचा अर्थ असा की समतुल्यतेची कल्पना मूलभूत आहेअशा समस्या सोडवताना. तथापि, आपण पाहिल्याप्रमाणे, ते केवळ समीकरणांच्या समानतेपर्यंत कमी होत नाही. ही कल्पना समतुल्य संक्रमणे (परिवर्तन) मध्ये समीकरणे, असमानता, त्यांची प्रणाली आणि संच, समीकरणे आणि अनेक चलांसह असमानता या संकल्पनेचा समावेश असावा. स्पष्टपणे, समीकरणे अचूकपणे सोडवण्यासाठी, तुम्हाला या संकल्पनांवर प्रभुत्व मिळवणे आवश्यक आहे. प्रश्न समीकरणे आणि असमानता समतुल्यता, समीकरणे आणि समीकरणे आणि असमानता प्रणाली S.M च्या कामांमध्ये विचार केला जातो. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोवा, एन.एन. रेशेटनिकोवा. या मुद्द्यांचा आपण पुढील अध्यायात विचार करू.

धडा 2

समीकरणे, असमानता या विषयावर,

त्यांची प्रणाली आणि एकत्रित

२.१. समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींबद्दल

चला विचार करूया मध्यम जटिलतेची समीकरणे. या प्रकरणात, आम्ही स्वतःला अनेक प्रकारच्या समीकरणांपुरते मर्यादित करू. या प्रत्येक समीकरणासाठी परिवर्तनाचा एक वेगळा मार्ग आहे:

अ) समीकरणासाठी - समीकरणाचे वर्गीकरण करणे, उदा. त्याच्या जागी समीकरण (x) = g 2 (

b) समीकरणासाठी - समान आणणे, म्हणजे फरक शून्याने बदलणे;

c) समीकरणासाठी - समीकरण भाजकापासून मुक्त करणे, म्हणजे समीकरणासह बदलणे

ड) समीकरणासाठी - सूत्राचा वापर

त्या ते समीकरणासह बदलत आहे

जो कोणी a) - d) फॉर्मचे विशिष्ट समीकरण सोडवेल तो त्यावर वरील परिवर्तन लागू करेल. लक्षात घ्या की हे परिवर्तन लागू करण्याचे फक्त तीन मार्ग आहेत:

परिणाम समीकरणात संक्रमण,

मूळ समीकरणाच्या एका विशिष्ट सेटवर समतुल्य असलेल्या समीकरणात संक्रमण,

मूळ समीकरणाच्या समतुल्य प्रणालीमध्ये (समीकरण आणि असमानता) संक्रमण.

a) - d) फॉर्मचे जवळजवळ प्रत्येक समीकरण या तीनपैकी कोणत्याही प्रकारे सोडवले जाऊ शकते. पुढे, आपण या पद्धतींचा वापर करून समीकरणे सोडवण्याच्या उदाहरणांचा विचार करू, आणि नंतर आपण अशा परिस्थितीत चर्चा करू ज्यामध्ये एक किंवा दुसरी पद्धत वापरणे श्रेयस्कर आहे.

२.२. परिणाम समीकरणात संक्रमण

लक्षात घ्या की a) - d) फॉर्मच्या समीकरणांच्या वरील प्रत्येक परिवर्तनामुळे एक परिणाम समीकरण होते.

उदाहरण ४.समीकरण सोडवा

उपाय: वर्गीकरण समीकरण (8), आपल्याला समीकरण मिळते

जो समीकरणाचा परिणाम आहे (8). समीकरण (9) दोन मुळे आहेत = 3 आणि = -2.

या संख्या समीकरणाचे मूळ आहेत का ते तपासू (8). समीकरण (8) च्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंमध्ये त्या प्रत्येकाला बदलून, आम्हाला मिळते:

याचा अर्थ असा की संख्या हे समीकरणाचे मूळ आहे (8), परंतु संख्या नाही. म्हणून, समीकरण (8) मध्ये एकच मूळ आहे

उत्तर: 3.

उदाहरण 5.समीकरण सोडवा

ऊत्तराची: समीकरणाच्या सर्व संज्ञा (१०) एका बाजूला हस्तांतरित करून आणि तत्सम शब्द आणल्यास आपल्याला समीकरण मिळते

जो समीकरणाचा परिणाम आहे (10). समीकरण (11) दोन मुळे आहेत

चेक दर्शविते की संख्या समीकरणाचे मूळ आहे (10), परंतु संख्या नाही, कारण - 3 = -1< 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень 4.

उत्तर: ४.

उदाहरण 6.समीकरण सोडवा

= 1. (12)

उपाय: स्वतःला भाजकापासून मुक्त करून, आपल्याला समीकरण मिळते

जे समीकरणाचा परिणाम आहे (12). समीकरण (13) दोन मुळे आहेत

तपासणी दर्शविते की संख्या समीकरणाचे मूळ आहे (12), परंतु संख्या नाही, कारण 49 - 42 - 7 = 0, आणि शून्याने भागणे अशक्य आहे.

म्हणून, समीकरण (12) मध्ये एकच मूळ आहे.

उत्तर: १.

उदाहरण 7.समीकरण सोडवा

उपाय: सूत्र वापरणे , आम्हाला समीकरण मिळते

जो समीकरणाचा परिणाम आहे (14). समीकरण (15) दोन मुळे आहेत

तपासणी दर्शविते की संख्या समीकरणाचे मूळ आहे (14), परंतु संख्या नाही, कारण मूळ चिन्हाखाली एक नॉन-ऋणात्मक संख्या असणे आवश्यक आहे. म्हणून, समीकरण (14) मध्ये एकच मूळ आहे.

उत्तर: 6.

परिणाम समीकरणाकडे जात असताना(कोणत्या प्रकारचे परिवर्तन केले गेले हे महत्त्वाचे नाही) आपल्याला ODZ शोधण्याची आवश्यकता नाही, परंतु आपल्याला हे माहित असणे आवश्यक आहे की सापडलेली मुळे तपासणे हा समीकरण सोडवण्याचा एक अनिवार्य घटक आहे.

२.३. समीकरण समीकरणात संक्रमण

मूळ समीकरणावर काही सेटवर

प्रत्येक परिवर्तन a) - d) काही सेटवर समीकरण समीकरणाकडे नेतो एम मूळ समीकरणाकडे. शिवाय, प्रत्येक परिवर्तनासाठी हा संच त्याच्या स्वत: च्या मार्गाने आढळतो, या परिवर्तनाद्वारे निश्चितपणे निर्धारित केला जातो.

चला आवश्यक ते तयार करूया सेटवरील समीकरणांच्या समतुल्यतेबद्दल विधाने.

समीकरण समीकरण समीकरण आहे f(x)=g 2 (x) सेटवर एम त्या x, ज्यापैकी प्रत्येकासाठी मूळ समीकरणाच्या दोन्ही बाजू परिभाषित आणि गैर-ऋणात्मक आहेत.

समीकरण समीकरण = समीकरण आहे g(x) सेटवर एम ज्या प्रत्येकासाठी फंक्शन परिभाषित केले आहे

समीकरण सेटवरील समीकरणासारखे आहे एम त्या x, ज्यापैकी प्रत्येकासाठी फंक्शन किंवा फंक्शन नाहीसे होत नाही.

समीकरण समीकरण समीकरण आहे

सेटवर एम ज्या प्रत्येकासाठी फंक्शन्स आणि गैर-नकारात्मक आहेत.

उदाहरण 8.समीकरण सोडवा

उपाय: समीकरणाच्या दोन्ही बाजू (16) सेटवर परिभाषित आणि गैर-ऋणात्मक आहेत एम त्या , ज्या प्रत्येकासाठी खालील असमानता एकाच वेळी समाधानी आहेत, म्हणजे मी =. सेटवर एम समीकरण (16) समीकरणाच्या समतुल्य आहे

दोन मुळे असणे

कारण , नंतर समीकरण (17) सेटवर आहे एम एकमेव मूळ. हे समीकरणाचे एकमेव मूळ आहे (16).

उत्तर:.

उदाहरण ९.समीकरण सोडवा

उपाय: सेटवर एम सर्व प्रकरणांमध्ये, समीकरण (18) समीकरणाच्या समतुल्य आहे

मालिका समाधान आहे.

हे स्पष्ट आहे की फक्त साठी. म्हणून, समीकरण (19) सेटवर आहे एम समाधानांची मालिका x. हे उपाय (आणि फक्त ते) समीकरणाचे उपाय आहेत (18).

उत्तर:.

उदाहरण 10.समीकरण सोडवा

उपाय: सेटवर असल्यापासून एम = }