Всички математически модели са грешни. Лекция: Математическо моделиране

Компютрите твърдо навлязоха в живота ни и практически няма такава област на човешката дейност, където компютрите да не се използват. Сега компютрите се използват широко в процеса на създаване и изследване на нови машини, нови технологични процеси и търсенето на техните оптимални възможности; при решаване на икономически проблеми, при решаване на проблеми на планирането и управлението на производството на различни нива. Създаването на големи обекти в ракетостроенето, самолетостроенето, корабостроенето, както и проектирането на язовири, мостове и др., по принцип е невъзможно без използването на компютри.

За да се използва компютър при решаване на приложни проблеми, на първо място, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Думата "Модел" идва от латинския modus (копие, изображение, контур). Моделирането е замяната на някакъв обект A с друг обект B. Замененият обект A се нарича оригинален или симулационен обект, а заместващият B се нарича модел. С други думи, моделът е обект-заместител на оригиналния обект, осигуряващ изследване на някои свойства на оригинала.

Целта на моделирането е получаване, обработка, представяне и използване на информация за обекти, които взаимодействат помежду си и с външната среда; и моделът тук действа като средство за познаване на свойствата и моделите на поведение на обекта.

Математическото моделиране е средство за изучаване на реален обект, процес или система чрез замяната им с математически модел, който е по-удобен за експериментално изследване с помощта на компютър.

Математическото моделиране е процес на конструиране и изследване на математически модели на реални процеси и явления. Всички естествени и социални науки, които използват математическия апарат, по същество се занимават с математическо моделиране: те заменят реалния обект с неговия модел и след това изучават последния. Както при всяка симулация, математическият модел не описва напълно изследваното явление и въпросите за приложимостта на получените по този начин резултати са много значими. Математическият модел е опростено описание на реалността с помощта на математически концепции.

Математическият модел изразява основните характеристики на даден обект или процес на езика на уравнения и други математически средства. Строго погледнато, самата математика дължи съществуването си на това, което се опитва да отрази, т.е. да моделират на техния специфичен език моделите на заобикалящия свят.

При математическо моделиранеизследването на обекта се извършва с помощта на модел, формулиран на езика на математиката с помощта на определени математически методи.

Пътят на математическото моделиране в наше време е много по-всеобхватен от естественото моделиране. Огромен тласък на развитието на математическото моделиране беше даден от появата на компютри, въпреки че самият метод се роди едновременно с математиката преди хиляди години.

Математическото моделиране като такова не винаги изисква компютърна поддръжка. Всеки специалист, професионално занимаващ се с математическо моделиране, прави всичко възможно за аналитичното изследване на модела. Аналитичните решения (т.е. представени чрез формули, изразяващи резултатите от изследването чрез първоначалните данни) обикновено са по-удобни и информативни от числените. Възможностите на аналитичните методи за решаване на сложни математически проблеми обаче са много ограничени и като правило тези методи са много по-сложни от числените.

Математическият модел е приблизително представяне на реални обекти, процеси или системи, изразени в математически термини и запазващи основните характеристики на оригинала. Математическите модели в количествена форма, с помощта на логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

истински,
идеален.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

естествен,
физически,
математически.

Идеалните модели могат да бъдат разделени на:

визуален,
емблематичен,
математически.

Реалните пълномащабни модели са реални обекти, процеси и системи, върху които се извършват научни, технически и промишлени експерименти.

Реалните физически модели са макети, модели, които възпроизвеждат физическите свойства на оригиналите (кинематични, динамични, хидравлични, топлинни, електрически, светлинни модели).

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните визуални модели са диаграми, карти, чертежи, графики, графики, аналози, структурни и геометрични модели.

Идеалните знакови модели са символи, азбука, езици за програмиране, подредена нотация, топологична нотация, мрежово представяне.

Идеалните математически модели са аналитични, функционални, симулационни, комбинирани модели.

В горната класификация някои модели имат двойна интерпретация (например аналогова). Всички модели, с изключение на пълномащабните, могат да бъдат комбинирани в един клас умствени модели, тъй като те са продукт на абстрактното мислене на човека.

Елементи на теорията на игрите

В общия случай решаването на играта е доста трудна задача, като сложността на проблема и количеството изчисления, необходими за решаването му, нарастват рязко с увеличаване на . Тези трудности обаче не са от фундаментален характер и са свързани само с много голям обем изчисления, които в редица случаи могат да се окажат практически неизпълними. Основната страна на метода за намиране на решение остава за всеки едно и също.

Нека илюстрираме това с примера на една игра. Нека да му дадем геометрична интерпретация – вече пространствена. Нашите три стратегии ще изобразим с три точки на равнината ; първият лежи в началото (фиг. 1). вторият и третият - на осите оИ OUна разстояния 1 от началото.

През точките, перпендикулярни на равнината, се прекарват оси I-I, II-II и III-III . На ос I-I се нанасят печалбите за стратегията по осите II-II и III-III - печалбите за стратегиите. Всяка вражеска стратегия ще бъде представен от равнина, пресичаща осите I-I, II-II и III-III, сегменти, равни на печалбите

с подходяща стратегия и стратегия . След като по този начин изградим всички стратегии на врага, ще получим семейство самолети над триъгълник (фиг. 2).

За това семейство също е възможно да се конструира долна граница на изплащане, както направихме в случая, и да се намери точка N на тази граница с максимална височина на равнината . Тази височина ще бъде цената на играта.

Честотите на стратегиите в оптималната стратегия ще се определят от координатите (x, y)точки N, а именно:

Подобна геометрична конструкция, дори и за корпуса, обаче не е лесна за изпълнение и изисква голяма инвестиция на време и въображение. В общия случай на играта обаче тя се прехвърля в -измерно пространство и губи всякаква яснота, въпреки че използването на геометрична терминология в някои случаи може да бъде полезно. При решаването на игри на практика е по-удобно да се използват не геометрични аналогии, а изчислителни аналитични методи, особено след като тези методи са единствените подходящи за решаване на проблеми на компютри.

Всички тези методи по същество се свеждат до решаване на проблема чрез последователни опити, но подреждането на последователността от опити ви позволява да изградите алгоритъм, който води до решение по най-икономичния начин.

Тук накратко се спираме на един изчислителен метод за решаване на игри - по така наречения метод на "линейно програмиране".

За да направим това, първо даваме общо изложение на проблема за намиране на решение на играта. Нека играта бъде дадена Tстратегии на играчите АИ нстратегии на играчите INи е дадена матрицата на изплащане

Изисква се да се намери решение на играта, т.е. две оптимални смесени стратегии за играчи А и Б

където (някои от числата и могат да бъдат равни на нула).

Нашата оптимална стратегия S*Aтрябва да ни осигури печалба не по-малка от , за всяко поведение на врага, и печалба, равна на , за неговото оптимално поведение (стратегия S*B).По същия начин стратегия S*Bтрябва да осигури на врага загуба не по-голяма от , за всяко наше поведение и равна на за нашето оптимално поведение (стратегия S*A).

Стойността на играта в този случай не ни е известна; ще приемем, че то е равно на някакво положително число. Ако приемем това, ние не нарушаваме общото разсъждение; за да бъде > 0, очевидно е достатъчно всички елементи на матрицата да са неотрицателни. Това винаги може да се постигне чрез добавяне на достатъчно голяма положителна стойност L към елементите; в този случай цената на играта ще се увеличи с L и решението няма да се промени.

Нека изберем нашата оптимална стратегия S* A .Тогава нашата средна печалба за стратегията на противника ще бъде равна на:

Нашата оптимална стратегия S*Aима свойството, че за всяко поведение на противника осигурява печалба не по-малка от ; следователно нито едно от числата не може да бъде по-малко от . Получаваме редица условия:

(1)

Разделете неравенства (1) на положителна стойност и означете:

Тогава условие (1) може да се запише като

(2)

където са неотрицателни числа. защото количествата отговарят на условието

Искаме да направим нашата гарантирана печалба възможно най-висока; Очевидно в този случай дясната страна на равенството (3) приема минималната стойност.

По този начин проблемът за намиране на решение на играта се свежда до следния математически проблем: дефинирайте неотрицателни количества удовлетворяващи условия (2), така че тяхната сума

беше минимален.

Обикновено при решаване на проблеми, свързани с намирането на екстремни стойности (максимуми и минимуми), функцията се диференцира и производните се приравняват на нула. Но такава техника е безполезна в този случай, тъй като функцията Ф, която трябва даминимизира, е линеен и неговите производни по отношение на всички аргументи са равни на единица, т.е. те не изчезват никъде. Следователно максимумът на функцията се достига някъде на границата на областта на изменение на аргументите, която се определя от изискването за неотрицателност на аргументите и условията (2). Методът за намиране на екстремни стойности с помощта на диференциация също е неподходящ в случаите, когато максимумът на долната (или минимумът на горната) граница на изплащане се определя за решението на играта, както направихме. например го направиха при решаване на игри.Наистина долната граница се състои от участъци от прави линии, а максимумът се достига не в точката, където производната е равна на нула (такава точка изобщо няма), но на границата на интервала или в точката на пресичане на прави участъци.

За решаването на такива задачи, които са доста често срещани в практиката, в математиката е разработен специален апарат. линейно програмиране.

Проблемът с линейното програмиране се поставя по следния начин.

Дадена е система от линейни уравнения:

(4)

Необходимо е да се намерят неотрицателни стойности на количествата, които отговарят на условията (4) и в същото време минимизират дадената хомогенна линейна функция на количествата (линейна форма):

Лесно е да се види, че проблемът на теорията на игрите, поставен по-горе, е частен случай на проблема за линейно програмиране за

На пръв поглед може да изглежда, че условия (2) не са еквивалентни на условия (4), тъй като вместо знаци за равенство те съдържат знаци за неравенство. Въпреки това е лесно да се отървете от знаците за неравенство чрез въвеждане на нови фиктивни неотрицателни променливи и условия за писане (2) във формата:

(5)

Формата Ф, която трябва да бъде минимизирана, е равна на

Апаратът за линейно програмиране позволява чрез сравнително малък брой последователни проби да се избират стойностите , удовлетворяващи изискванията. За по-голяма яснота тук ще демонстрираме използването на този апарат директно върху материала за решаване на конкретни игри.

В предоставената на вашето внимание статия предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои от проблемите, свързани с математическото моделиране.

Друг наш въпрос са математическите модели в икономиката, примери за които ще разгледаме като дефиниция малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.

Понятието "модел"

Често чуваме думата „модел“. Какво е? Този термин има много определения, ето само три от тях:

специфичен обект, който е създаден, за да получава и съхранява информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н., на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствено, описание с помощта на знаци и т.н.);
модел също означава показване на всяка конкретна ситуация, живот или управление;
като модел може да служи малко копие на обект (те са създадени за по-подробно изследване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и връзките).

Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате подробно сложна система или обект.

Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица характеристики:

по област на използване (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
по динамика (статични и динамични);
по отрасъл на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
според начина на представяне (материални и информационни).

Информационните модели от своя страна се делят на знакови и вербални. И емблематични - на компютър и некомпютър. Сега нека да преминем към подробно разглеждане на примери за математически модел.

Математически модел

Както може би се досещате, математическият модел отразява някои характеристики на обект или явление с помощта на специални математически символи. Математиката е необходима, за да моделира законите на света на свой специфичен език.

Методът на математическото моделиране е възникнал доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Но тласъкът за развитието на този метод на моделиране беше даден от появата на компютри (електронни компютри).

Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и според някои признаци. Те са представени в таблицата по-долу.

Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо последната класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.

Описателни модели

В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.

Като начало този изглед може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем да повлияем по никакъв начин на изхода от събитието.

Ярък пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта, разстоянието от Земята на комета, която нахлу в просторите на нашата слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за някакъв вид опасност. За съжаление не можем да повлияем на изхода от събитието. Въз основа на получените изчисления обаче е възможно да се предприемат всякакви мерки за запазване на живота на Земята.

Оптимизационни модели

Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да бъдат различни ситуации. В този случай говорим за модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Трябва да имат някакви параметри. За да стане ясно, разгледайте един пример от аграрната част.

Имаме хамбар, но зърното много бързо се разваля. В този случай трябва да изберем правилния температурен режим и да оптимизираме процеса на съхранение.

По този начин можем да дефинираме понятието "модел за оптимизация". В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя още нещо: този тип принадлежи към класа на екстремните задачи, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.

Отбелязваме още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).

Многокритериални модели

Сега ви каним да поговорим малко за математическия модел на многоцелевата оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес според всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?

Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене на големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищните столове, летните лагери, болниците и т.н.

Какви критерии са ни дадени в тази задача?

Храната трябва да е здравословна.
Разходите за храна трябва да бъдат сведени до минимум.

Както можете да видите, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаването на даден проблем е необходимо да се търси оптималното решение, баланс между двата критерия.

Игрови модели

Говорейки за модели на игри, е необходимо да се разбере понятието "теория на игрите". Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Струва си само да се разбере, че за разлика от истинския конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.

Сега ще дам минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво е модел на игра. И така, в модела задължително има страни (две или повече), които обикновено се наричат играчи.

Всички модели имат определени характеристики.

Моделът на играта може да бъде сдвоен или множество. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е двоен, ако са повече - множествен. Може да се разграничи и антагонистична игра, наричана още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на един от участниците е равна на загубата на другия.

симулационни модели

В този раздел ще се съсредоточим върху симулационните математически модели. Примери за задачи са:

модел на динамиката на броя на микроорганизмите;
модел на молекулярно движение и т.н.

В този случай говорим за модели, които са максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират всяко проявление в природата. В първия случай, например, можем да моделираме динамиката на броя на мравките в една колония. В този случай можете да наблюдавате съдбата на всеки индивид. В този случай математическото описание се използва рядко, по-често има писмени условия:

след пет дни женската снася яйца;
след двадесет дни мравката умира и т.н.

По този начин се използват за описание на голяма система. Математическото заключение е обработката на получените статистически данни.

Изисквания

Много е важно да знаете, че има някои изисквания за този тип модели, сред които са посочените в таблицата по-долу.

Универсалност	Това свойство ви позволява да използвате един и същ модел, когато описвате групи от обекти от един и същи тип. Важно е да се отбележи, че универсалните математически модели са напълно независими от физическата природа на изследвания обект.
Адекватност	Тук е важно да се разбере, че това свойство позволява най-правилното възпроизвеждане на реални процеси. При оперативни проблеми това свойство на математическото моделиране е много важно. Пример за модел е процесът на оптимизиране на използването на газова система. В този случай се сравняват изчислените и действителните показатели, в резултат на което се проверява коректността на съставения модел.
точност	Това изискване предполага съвпадението на стойностите, които получаваме при изчисляване на математическия модел и входните параметри на нашия реален обект
икономика	Изискването за икономичност за всеки математически модел се характеризира с разходи за внедряване. Ако работата с модела се извършва ръчно, тогава е необходимо да се изчисли колко време ще отнеме решаването на един проблем с помощта на този математически модел. Ако говорим за компютърно проектиране, тогава се изчисляват показатели за време и компютърна памет

Стъпки за моделиране

Общо е обичайно да се разграничават четири етапа в математическото моделиране.

Формулиране на закони, свързващи части от модела.
Изучаване на математически проблеми.
Установяване на съвпадението на практически и теоретични резултати.
Анализ и модернизация на модела.

Икономически и математически модел

В този раздел ще подчертаем накратко проблема. Примери за задачи могат да бъдат:

формиране на производствена програма за производство на месни продукти, осигуряваща максимална печалба от продукцията;
максимизиране на печалбата на организацията чрез изчисляване на оптималния брой маси и столове, които да бъдат произведени в мебелна фабрика и т.н.

Икономико-математическият модел показва икономическа абстракция, която се изразява с помощта на математически термини и знаци.

Компютърен математически модел

Примери за компютърен математически модел са:

хидравлични задачи, използващи блок-схеми, диаграми, таблици и т.н.;
задачи по механика на твърдо тяло и т.н.

Компютърният модел е изображение на обект или система, представено като:

маси;
блокови схеми;
диаграми;
графики и така нататък.

В същото време този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.

Изграждане на икономико-математически модел

Вече говорихме за това какво е икономико-математически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерва за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.

Няма да разглеждаме изцяло проблема, а само да изградим икономико-математически модел. Критерият на нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: Л=р1*х1+р2*х2… клоняща към максимума. В този модел p е печалбата на единица, x е броят на произведените единици. Освен това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщят.

Пример за изграждане на прост математически модел

Задача.Рибарят се върна със следния улов:

8 риби - обитатели на северните морета;
20% от улова - жителите на южните морета;
от местната река не се намери нито една риба.

Колко риби е купил от магазина?

И така, пример за конструиране на математически модел на този проблем е следният. Означаваме общия брой риби като x. Следвайки условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математически модел на проблема: x=0,2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ - представяне на явление или процес, изучаван в конкретно научно познание, на езика на математическите понятия. В същото време се предполага, че по пътя на изследване на действителните математически характеристики на модела се получават редица свойства на изследваното явление. Изграждане на М.м. най-често е продиктувано от необходимостта от количествен анализ на изследваните явления и процеси, без който от своя страна е невъзможно да се направят експериментално проверими прогнози за тяхното протичане.

Процесът на математическо моделиране, като правило, преминава през следните етапи. На първия етап се установяват връзките между основните параметри на бъдещата М.м. На първо място, говорим за качествен анализ на изследваните явления и формулирането на модели, които свързват основните обекти на изследване. На тази основа се извършва идентифицирането на обекти, които позволяват количествено описание. Етапът завършва с изграждането на хипотетичен модел, с други думи, запис на езика на математическите понятия на качествени идеи за връзките между основните обекти на модела, които могат да бъдат количествено характеризирани.

На втория етап се провежда изследването на реалните математически проблеми, до които води изграденият хипотетичен модел. Основното на този етап е да се получат емпирично проверими теоретични следствия (решение на пряката задача) в резултат на математическия анализ на модела. В същото време не са редки случаите, когато за изграждането и проучването на М.м. в различни области на конкретно научно познание се използва един и същ математически апарат (например диференциални уравнения) и възникват математически задачи от един и същи тип, макар и много нетривиални във всеки конкретен случай. Освен това на този етап използването на високоскоростна изчислителна технология (компютър) става от голямо значение, което прави възможно получаването на приблизително решение на проблеми, често невъзможни в рамките на чистата математика, с предварително недостъпна (без използването на компютър) степен на точност.

Третият етап се характеризира с дейности за идентифициране на степента на адекватност на изградената хипотетична М.м. онези явления и процеси, за чието изследване е предназначен. А именно, в случай че всички параметри на модела са посочени, изследователите се опитват да открият как, в рамките на точността на наблюденията, техните резултати са в съответствие с теоретичните последици от модела. Отклоненията над точността на наблюденията показват неадекватността на модела. Често обаче има случаи, когато при изграждането на модела редица негови параметри остават непроменени.

безсрочен. Проблеми, при които параметричните характеристики на модела са установени по такъв начин, че теоретичните последствия да са сравними в рамките на точността на наблюденията с резултатите от емпиричните тестове, се наричат обратни проблеми.

На четвъртия етап, като се вземе предвид идентифицирането на степента на адекватност на изградения хипотетичен модел и появата на нови експериментални данни за изследваните явления, се извършва последващ анализ и модификация на модела. Тук взетото решение варира от безусловно отхвърляне на приложените математически инструменти до приемането на изградения модел като основа за изграждане на принципно нова научна теория.

Първият М.м. се появява в древната наука. И така, за да моделира слънчевата система, гръцкият математик и астроном Евдокс даде на всяка планета четири сфери, комбинацията от движението на които създаде хипопед - математическа крива, подобна на наблюдаваното движение на планетата. Тъй като обаче този модел не може да обясни всички наблюдавани аномалии в движението на планетите, по-късно той е заменен от епицикличния модел на Аполоний от Перге. Хипарх използва най-новия модел в своите изследвания, а след това, подлагайки го на известна модификация, Птолемей. Този модел, подобно на своите предшественици, се основава на убеждението, че планетите извършват равномерни кръгови движения, чието припокриване обяснява очевидните нередности. В същото време трябва да се отбележи, че моделът на Коперник е фундаментално нов само в качествен смисъл (но не и като M.M.). И само Кеплер, въз основа на наблюденията на Тихо Брахе, построи нов M.m. Слънчевата система, доказваща, че планетите се движат не по кръгови, а по елиптични орбити.

В момента най-адекватни са ММ, конструирани да описват механични и физични явления. Относно адекватността на М.м. извън физиката може, с няколко изключения, да се говори с доста предпазливост. Въпреки това, фиксирането на хипотетичността, а често и просто неадекватността на М.м. в различни области на знанието, тяхната роля в развитието на науката не бива да се подценява. Чести са случаите, когато дори модели, които далеч не са адекватни, до голяма степен организираха и стимулираха по-нататъшни изследвания, заедно с погрешни заключения, съдържаха онези зрънца истина, които напълно оправдаха усилията, положени за разработването на тези модели.

Литература:

Математическо моделиране. М., 1979;

Рузавин Г.И. Математизация на научното познание. М., 1984;

Тутубалин В. Н., Барабашева Ю. М., Григорян А. А., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Диференциални уравнения в екологията: историческо и методологическо отражение // Проблеми на историята на естествените науки и технологиите. 1997. № 3.

Речник на философските термини. Научно издание на професор В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, стр. 310-311.

Какво е математически модел?

Концепцията за математически модел.

Математическият модел е много проста концепция. И много важно. Математическите модели са тези, които свързват математиката и реалния живот.

С прости думи, математическият модел е математическо описание на всяка ситуация.И това е. Моделът може да бъде примитивен, може да бъде супер сложен. Каква е ситуацията, какъв е моделът.)

Във всеки (повтарям - във всеки!) бизнес, където трябва да изчислите нещо и да изчислите - ние се занимаваме с математическо моделиране. Дори и да не го знаем.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Този запис ще бъде математическият модел на разходите за нашите покупки. Моделът не отчита цвят на опаковката, срок на годност, вежливост на касиерите и др. Ето защо тя модел,не е реална покупка. Но разходите, т.е. от което се нуждаем- ще знаем със сигурност. Ако моделът е правилен, разбира се.

Полезно е да си представим какво е математически модел, но това не е достатъчно. Най-важното е да можете да изградите тези модели.

Компилация (конструиране) на математически модел на задачата.

Да се състави математически модел означава да се преведат условията на проблема в математическа форма. Тези. превръщайте думите в уравнение, формула, неравенство и др. Нещо повече, завъртете го така, че тази математика да съответства стриктно на оригиналния текст. В противен случай ще завършим с математически модел на някакъв друг непознат за нас проблем.)

По-точно имате нужда от

В света има безкраен брой задачи. Следователно, да предложим ясни инструкции стъпка по стъпка за съставяне на математически модел всякаквизадачите са невъзможни.

Но има три основни момента, на които трябва да обърнете внимание.

1. Във всяка задача има текст, колкото и да е странно.) Този текст, като правило, има явна, отворена информация.Числа, стойности и т.н.

2. Във всяка задача има скрита информация.Това е текст, който предполага наличието на допълнителни знания в главата. Без тях - нищо. Освен това математическата информация често е скрита зад прости думи и ... се изплъзва от вниманието.

3. Във всяка задача трябва да има дадено комуникация между данни.Тази връзка може да бъде дадена в ясен текст (нещо е равно на нещо) или може да бъде скрита зад прости думи. Но простите и ясни факти често се пренебрегват. И моделът не е компилиран по никакъв начин.

Веднага трябва да кажа, че за да се приложат тези три точки, задачата трябва да се прочете (и внимателно!) няколко пъти. Обичайното нещо.

А сега - примери.

Нека започнем с един прост проблем:

Петрович се върна от риболов и с гордост представи улова си на семейството си. При по-внимателно разглеждане се оказа, че 8 риби идват от северните морета, 20% от всички риби идват от южните морета и нито една от местната река, където Петрович е ловил риба. Колко риби е купил Петрович в магазина за морски дарове?

Всички тези думи трябва да се превърнат в някакво уравнение. За да направите това, повтарям, установете математическа връзка между всички данни на проблема.

Къде да започна? Първо ще извлечем всички данни от задачата. Да започнем по ред:

Нека се съсредоточим върху първата точка.

Какво има тук изричноматематическа информация? 8 риби и 20%. Не много, но нямаме нужда от много.)

Нека обърнем внимание на втората точка.

Търсят скритоинформация. Тя е тук. Това са думите: „20% от цялата риба". Тук трябва да разберете какви са процентите и как се изчисляват. В противен случай задачата не може да бъде решена. Това е точно допълнителната информация, която трябва да бъде в главата.

Има и тук математическиинформация, която е напълно невидима. Това въпрос на задачата: "Колко риби купихте...Това също е число. И без него нито един модел няма да бъде компилиран. Затова нека означим това число с буквата "Х".Все още не знаем на какво е равно x, но такова обозначение ще ни бъде много полезно. За повече информация какво да вземете за x и как да се справите с него, вижте урока Как се решават задачи по математика? Нека го напишем веднага:

x парчета - общият брой риби.

В нашата задача южните риби са дадени като процент. Трябва да ги преведем на части. За какво? Тогава какво има всякаквизадачата на модела трябва да бъде в същите количества.Парчета - значи всичко е на парчета. Ако ни бъдат дадени, да кажем, часове и минути, ние превеждаме всичко в едно нещо - или само часове, или само минути. Няма значение какво. Важно е че всички стойности бяха еднакви.

Обратно към разкриването. Който не знае какъв е процентът, никога няма да разкрие, да ... И който знае, веднага ще каже, че тук са дадени процентите от общия брой риби. Не знаем този номер. Нищо няма да излезе!

Общият брой риби (на парчета!) не е напразно с писмото "Х"определен. Няма да работи да преброим южните риби на парчета, но можем ли да го запишем? Като този:

0,2 x парчета - броят на рибите от южните морета.

Сега изтеглихме цялата информация от задачата. Както явно, така и скрито.

Нека обърнем внимание на третата точка.

Търсят математическа връзкамежду данните за задачите. Тази връзка е толкова проста, че мнозина не я забелязват... Това често се случва. Тук е полезно просто да запишете събраните данни на куп и да видите какво има.

какво имаме Яжте 8 броясеверна риба, 0,2 х парчета- южна риба и х риба- обща сума. Възможно ли е тези данни да се свържат по някакъв начин? Да Лесно! общ брой риби равно насбор от южни и северни! Е, кой би си помислил ...) Така че записваме:

x = 8 + 0,2x

Това ще бъде уравнението математически модел на нашия проблем.

Моля, имайте предвид, че в този проблем от нас не се иска да сгъваме нищо!Ние самите, извън главите си, осъзнахме, че сумата от южната и северната риба ще ни даде общия брой. Нещото е толкова очевидно, че убягва на вниманието. Но без това доказателство не може да се състави математически модел. Като този.

Сега можете да приложите цялата мощ на математиката, за да решите това уравнение). За това е създаден математическият модел. Решаваме това линейно уравнение и получаваме отговора.

Отговор: х=10

Нека направим математически модел на друг проблем:

Попитали Петрович: "Колко пари имате?" Петрович се разплака и отговори: "Да, само малко. Ако похарча половината от всички пари и половината от останалите, тогава ще ми остане само една торба с пари ..." Колко пари има Петрович?

Отново работим точка по точка.

1. Търсим изрична информация. Няма да го намерите веднага! Изричната информация е единторба с пари. Има някои други половини... Е, ще го подредим във втория параграф.

2. Търсим скрита информация. Това са половинки. Какво? Не е много ясно. Търси повече. Има и друг проблем: — Колко пари има Петрович?Нека обозначим сумата пари с буквата "Х":

х- всички пари

И прочетете отново проблема. Вече познавам този Петрович хпари. Тук работят половинките! Записваме:

0,5 х- половината от всички пари.

Остатъкът също ще бъде половината, т.е. 0,5 х.И половината от половината може да се напише така:

0,5 0,5 x = 0,25x- половината от остатъка.

Сега цялата скрита информация е разкрита и записана.

3. Търсим връзка между записаните данни. Тук можете просто да прочетете страданията на Петрович и да ги запишете математически):

Ако похарча половината от всички пари...

Нека запишем този процес. Всички пари - Х.половината - 0,5 х. Да харчиш означава да отнемаш. Фразата става:

х - 0,5 х

и половината от останалите...

Извадете другата половина от остатъка:

х - 0,5 х - 0,25 х

тогава само една торба с пари ще остане при мен ...

И има равенство! След всички изваждания остава една торба с пари:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Ето го, математическият модел! Това отново е линейно уравнение, решаваме, получаваме:

Въпрос за разглеждане. Четири е какво? Рубла, долар, юан? И в какви единици имаме пари в математическия модел? В торби!Значи четири чантаПарите на Петрович. Също добре.)

Задачите, разбира се, са елементарни. Това е специално за улавяне на същността на изготвянето на математически модел. В някои задачи може да има много повече данни, в които е лесно да се объркате. Това често се случва при т.нар. компетентностни задачи. Как да извлечете математическо съдържание от купчина думи и числа е показано с примери

Още една забележка. В класическите училищни задачи (тръбите пълнят басейна, лодките плават някъде и т.н.) всички данни, като правило, се избират много внимателно. Има две правила:
- в проблема има достатъчно информация за разрешаването му,
- в задачата няма допълнителна информация.

Това е намек. Ако в математическия модел има неизползвана стойност, помислете дали има грешка. Ако по някакъв начин няма достатъчно данни, най-вероятно не цялата скрита информация е разкрита и записана.

При компетентност и други житейски задачи тези правила не се спазват стриктно. Нямам намек. Но такива проблеми също могат да бъдат решени. Освен ако, разбира се, не тренирате върху класиката.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

ЗАПИС НА ЛЕКЦИЯТА

По скоростта

"Математическо моделиране на машини и транспортни системи"

Дисциплината разглежда въпроси, свързани с математическото моделиране, с формата и принципа на представяне на математическите модели. Разглеждат се числени методи за решаване на едномерни нелинейни системи. Разглеждат се въпроси на компютърното моделиране и изчислителния експеримент. Разглеждат се методи за обработка на данни, получени в резултат на научни или промишлени експерименти; изследване на различни процеси, идентифициране на закономерности в поведението на обекти, процеси и системи. Разгледани са методите за интерполация и апроксимация на експериментални данни. Разглеждат се въпроси, свързани с компютърното симулиране и решаване на нелинейни динамични системи. По-специално се разглеждат методите за числено интегриране и решаване на обикновени диференциални уравнения от първи, втори и по-високи редове.

Лекция: Математическо моделиране. Форма и принципи на представяне на математически модели

Лекцията разглежда общи въпроси на математическото моделиране. Дадена е класификацията на математическите модели.

Моделирането се използва широко в различни области на човешката дейност, особено в областта на дизайна и управлението, където процесите на вземане на ефективни решения въз основа на получената информация са специални.

Моделът винаги се изгражда с конкретна цел, която влияе върху това кои свойства на обективно явление са значими и кои не. Моделът е, така да се каже, проекция на обективната реалност от определен ъгъл. Понякога, в зависимост от целите, можете да получите редица проекции на обективната реалност, които влизат в конфликт. Това е характерно, като правило, за сложни системи, в които всяка проекция отделя това, което е съществено за определена цел от набор от несъществени.

Теорията на моделирането е клон на науката, който изучава начини за изследване на свойствата на оригинални обекти въз основа на замяната им с други моделни обекти. Теорията на подобието е в основата на теорията на моделирането. При моделирането няма абсолютно сходство и се стреми само да гарантира, че моделът отразява достатъчно добре изследваната страна на функционирането на обекта. Абсолютно сходство може да има само когато един обект се замени с друг напълно същият.

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

1. истински,

2. перфектен.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

1. естествен,

2. физически,

3. математически.

Идеалните модели могат да бъдат разделени на:

1. визуален,

2. емблематичен,

3. математически.

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните математически модели са аналитични, функционални, симулационни, комбинирани модели.

Нека се спрем на един от най-универсалните видове моделиране - математически, който свързва симулирания физически процес със система от математически отношения, чието решение ви позволява да получите отговор на въпроса за поведението на обект, без да създавате физически модел, който често се оказва скъп и неефективен.

Математическият модел е приблизително представяне на реални обекти, процеси или системи, изразени в математически термини и запазващи основните характеристики на оригинала. Математическите модели в количествена форма, с помощта на логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, нейните параметри, вътрешни и външни връзки.

В общия случай математическият модел на реален обект, процес или система се представя като система от функционали

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

където X е вектор от входни променливи, X= t,

Y - вектор на изходните променливи, Y= t ,

Z - вектор на външните въздействия, Z= t ,

t - времева координата.

Изграждането на математически модел се състои в определяне на връзките между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху краен резултат.

Обикновено те са толкова много, че не е възможно да се въведе целият им набор в модела. При конструирането на математически модел, преди изследването, възниква задачата да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат (математическият модел обикновено включва много по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експерименталните данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математическия модел. Такава връзка често се изразява чрез системи от диференциални уравнения в частни производни (например в проблеми на механиката на твърдите, течни и газови вещества, теория на филтрацията, топлопроводимост, теория на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математически проблем, чието решение с необходимата точност изразява резултатите, които представляват интерес за специалист.

Формата и принципите на представяне на математическия модел зависят от много фактори.

Според принципите на конструиране математическите модели се разделят на:

1. аналитичен;

2. подражание.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),

2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриране и диференциране),

3. проблеми с оптимизацията,

4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулационно моделиране.

При симулационното моделиране функционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите имитират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като запазват своята логическа структура и последователност във времето. Симулационното моделиране дава възможност да се получи информация за състоянията на процес или система в определени моменти от първоначалните данни, но е трудно да се предвиди поведението на обекти, процеси или системи. Можем да кажем, че симулационните модели са компютърно базирани изчислителни експерименти с математически модели, които симулират поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от характера на изследваните реални процеси и системи, математическите модели могат да бъдат:

1. детерминистичен,

2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически зависимости) са сравнително добре установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения и матрична алгебра.

Стохастичният модел отчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Според вида на входната информация моделите се делят на:

1. непрекъснато,

2. дискретен.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите зависимости са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратно, ако информацията и параметрите са дискретни, а връзките са нестабилни, то и математическият модел е дискретен.

Според поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,

2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Според степента на съответствие между математическия модел и реалния обект, процес или система, математическите модели се разделят на:

1. изоморфни (едни и същи по форма),

2. хомоморфни (различни по форма).

Моделът се нарича изоморфен, ако има пълно поелементно съответствие между него и реален обект, процес или система. Хомоморфен - ако има съответствие само между най-значимите компоненти на обекта и модела.

В бъдеще, за кратко определение на вида на математическия модел в горната класификация, ще използваме следната нотация:

Първа буква:

D - детерминистичен,

C - стохастичен.

Второ писмо:

H - непрекъснато,

D - дискретни.

Трето писмо:

А - аналитичен,

И – имитация.

1. Няма (по-точно не се отчита) влиянието на случайни процеси, т.е. детерминиран модел (D).

2. Информацията и параметрите са непрекъснати, т.е. модел - непрекъснат (H),

3. Функционирането на модела на коляновия механизъм се описва под формата на нелинейни трансцендентални уравнения, т.е. модел - аналитичен (A)

2. Лекция: Характеристики на изграждане на математически модели

Лекцията описва процеса на изграждане на математически модел. Даден е вербалният алгоритъм на процеса.

За да се използват компютри при решаването на приложни проблеми, на първо място, приложният проблем трябва да бъде „преведен“ на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система трябва да бъде изграден негов математически модел.

Математическите модели в количествена форма, с помощта на логически и математически конструкции, описват основните свойства на обект, процес или система, нейните параметри, вътрешни и външни връзки.

За да изградите математически модел, трябва:

1. внимателно анализирайте реален обект или процес;

2. изтъкват най-съществените му характеристики и свойства;

3. дефинирайте променливи, т.е. параметри, чиито стойности влияят върху основните характеристики и свойства на обекта;

4. описва зависимостта на основните свойства на обект, процес или система от стойността на променливите с помощта на логически и математически връзки (уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции);

5. подчертават вътрешните връзки на обект, процес или система с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции;

6. определя външни връзки и ги описва с помощта на ограничения, уравнения, равенства, неравенства, логически и математически конструкции.

Математическото моделиране, в допълнение към изучаването на обект, процес или система и съставянето на тяхното математическо описание, включва също:

1. изграждане на алгоритъм, който моделира поведението на обект, процес или система;

2. проверка на адекватността на модела и обекта, процеса или системата въз основа на изчислителен и натурален експеримент;

3. настройка на модела;

4. използване на модела.

Математическото описание на изследваните процеси и системи зависи от:

1. естеството на реален процес или система и се съставя въз основа на законите на физиката, химията, механиката, термодинамиката, хидродинамиката, електротехниката, теорията на пластичността, теорията на еластичността и др.

2. необходимата достоверност и точност на изследването и изследването на реални процеси и системи.

На етапа на избор на математически модел се установяват: линейност и нелинейност на обект, процес или система, динамичност или статичност, стационарност или нестационарност, както и степента на детерминираност на обекта или процеса при проучване. При математическото моделиране човек умишлено се абстрахира от специфичната физическа природа на обекти, процеси или системи и се фокусира основно върху изследването на количествените зависимости между величините, които описват тези процеси.

Един математически модел никога не е напълно идентичен с разглеждания обект, процес или система. Въз основа на опростяване, идеализация, това е приблизително описание на обекта. Следователно резултатите, получени при анализа на модела, са приблизителни. Тяхната точност се определя от степента на адекватност (съответствие) на модела и обекта.

Изграждането на математически модел обикновено започва с изграждането и анализа на най-простия, най-груб математически модел на разглеждания обект, процес или система. В бъдеще, ако е необходимо, моделът се усъвършенства, съответствието му с обекта се прави по-пълно.

Да вземем един прост пример. Трябва да определите площта на бюрото. Обикновено за това се измерва дължината и ширината му и след това получените числа се умножават. Такава елементарна процедура всъщност означава следното: реалният обект (повърхността на масата) се заменя с абстрактен математически модел - правоъгълник. Размерите, получени в резултат на измерване на дължината и ширината на повърхността на масата, се приписват на правоъгълника, а площта на такъв правоъгълник приблизително се приема като желаната площ на масата.

Въпреки това, моделът с правоъгълник на бюрото е най-простият и груб модел. С по-сериозен подход към проблема, преди да използвате модела на правоъгълника за определяне на площта на масата, този модел трябва да бъде проверен. Проверките могат да се извършват по следния начин: измерете дължините на противоположните страни на масата, както и дължините на нейните диагонали и ги сравнете една с друга. Ако с необходимата степен на точност дължините на противоположните страни и дължините на диагоналите са равни по двойки, тогава повърхността на масата наистина може да се разглежда като правоъгълник. В противен случай правоъгълният модел ще трябва да бъде отхвърлен и заменен с общ четириъгълен модел. При по-високи изисквания за точност може да се наложи моделът да се прецизира още повече, например да се вземе предвид закръгляването на ъглите на масата.

Използвайки този прост пример, беше показано, че математическият модел не се определя еднозначно от обекта, процеса или системата, които се изследват. За една и съща таблица можем да приемем или модел на правоъгълник, или по-сложен модел на общ четириъгълник, или четириъгълник със заоблени ъгли. Изборът на един или друг модел се определя от изискването за точност. С нарастване на точността моделът трябва да се усложнява, като се отчитат нови и нови особености на обекта, процеса или системата, които се изследват.

Помислете за друг пример: изследването на движението на коляновия механизъм (фиг. 2.1).

Ориз. 2.1.

За кинематичен анализ на този механизъм, на първо място, е необходимо да се изгради неговият кинематичен модел. За това:

1. Заменяме механизма с неговата кинематична схема, където всички връзки са заменени с твърди връзки;

2. Използвайки тази схема, извеждаме уравнението на движението на механизма;

3. Диференцирайки последните, получаваме уравненията на скоростите и ускорението, които са диференциални уравнения от 1-ви и 2-ри ред.

Нека напишем тези уравнения:

където C 0 е крайната дясна позиция на плъзгача C:

r е радиусът на коляното AB;

l е дължината на свързващия прът BC;

- ъгъл на завъртане на манивелата;

Получените трансцендентални уравнения представляват математически модел на движението на плосък аксиален колянов механизъм въз основа на следните опростяващи предположения:

1. Не се интересувахме от конструктивните форми и разположението на масите, включени в механизма на телата, и заменихме всички тела на механизма с сегменти. Всъщност всички връзки на механизма имат маса и доста сложна форма. Например свързващият прът е сложна сглобяема връзка, чиято форма и размери, разбира се, ще повлияят на движението на механизма;

2. при конструирането на математически модел на движението на разглеждания механизъм също не взехме предвид еластичността на телата, включени в механизма, т.е. всички връзки се разглеждат като абстрактни абсолютно твърди тела. В действителност всички тела, включени в механизма, са еластични тела. Когато механизмът се движи, те по някакъв начин ще се деформират, в тях дори могат да възникнат еластични вибрации. Всичко това, разбира се, ще повлияе и на движението на механизма;

3. не сме взели под внимание производствената грешка на връзките, пропуските в кинематичните двойки A, B, C и т.н.

Ето защо е важно още веднъж да се подчертае, че колкото по-високи са изискванията за точност на резултатите от решаването на проблема, толкова по-голяма е необходимостта да се вземат предвид характеристиките на обекта, процеса или системата, които се изследват при конструирането на математически модел. Важно е обаче да спрете тук навреме, тъй като сложен математически модел може да се превърне в трудна задача.

Моделът се изгражда най-просто, когато законите, които определят поведението и свойствата на даден обект, процес или система, са добре известни и има много практически опит в прилагането им.

По-сложна ситуация възниква, когато знанията ни за обекта, процеса или системата, които се изследват, са недостатъчни. В този случай, когато се конструира математически модел, трябва да се направят допълнителни допускания, които имат характер на хипотези, такъв модел се нарича хипотетичен. Изводите, направени от изследването на такъв хипотетичен модел, са условни. За да се проверят заключенията, е необходимо да се сравнят резултатите от изследването на модела на компютър с резултатите от пълномащабен експеримент. По този начин въпросът за приложимостта на определен математически модел за изследване на разглеждания обект, процес или система не е математически въпрос и не може да бъде решен с математически методи.

Основният критерий за истината е експериментът, практиката в най-широкия смисъл на думата.

Изграждането на математически модел в приложните задачи е един от най-сложните и отговорни етапи на работа. Опитът показва, че в много случаи изборът на правилния модел означава решаване на проблема повече от половината. Трудността на този етап е, че изисква комбинация от математически и специални знания. Ето защо е много важно при решаването на приложни задачи математиците да имат специални познания за обекта, а техните партньори, специалисти, да имат определена математическа култура, изследователски опит в своята област, познания по компютри и програмиране.

Лекция 3. Компютърно моделиране и изчислителен експеримент. Решаване на математически модели

Компютърното моделиране като нов метод на научно изследване се основава на:

1. изграждане на математически модели за описание на изследваните процеси;

2. използване на най-новите компютри с висока скорост (милиони операции в секунда) и способни да водят диалог с човек.

Същността на компютърната симулация е следната: на базата на математически модел се извършва серия от изчислителни експерименти с помощта на компютър, т.е. изследват се свойствата на обекти или процеси, намират се оптималните им параметри и режими на работа, усъвършенства се моделът. Например, като имате уравнение, което описва хода на определен процес, можете да промените неговите коефициенти, начални и гранични условия и да проучите как ще се държи обектът в този случай. Освен това е възможно да се предвиди поведението на даден обект при различни условия.

Изчислителният експеримент дава възможност да се замени скъпият пълномащабен експеримент с компютърни изчисления. Позволява за кратко време и без значителни материални разходи да се извърши проучване на голям брой опции за проектирания обект или процес за различни режими на неговата работа, което значително намалява времето, необходимо за разработване на сложни системи и тяхното въвеждане в производство.

Компютърното моделиране и изчислителният експеримент като нов метод на научно изследване налага подобряването на математическия апарат, използван при изграждането на математически модели, позволява, използвайки математически методи, да прецизира и усложнява математическите модели. Най-обещаващото за провеждане на изчислителен експеримент е използването му за решаване на големи научни, технически и социално-икономически проблеми на нашето време (проектиране на реактори за атомни електроцентрали, проектиране на язовири и водноелектрически централи, магнитохидродинамични преобразуватели на енергия и в областта на икономиката - съставяне на балансиран план за отрасъл, регион, за страната и др.).

В някои процеси, при които пълномащабен експеримент е опасен за живота и здравето на хората, изчислителният експеримент е единственият възможен (термоядрен синтез, изследване на космоса, проектиране и изследване на химическата и други индустрии).

За да се провери адекватността на математическия модел и реалния обект, процес или система, резултатите от изследването на компютър се сравняват с резултатите от експеримент върху експериментална проба в пълен мащаб. Резултатите от проверката се използват за коригиране на математическия модел или се решава въпросът за приложимостта на изградения математически модел за проектиране или изследване на дадени обекти, процеси или системи.

В заключение още веднъж подчертаваме, че компютърната симулация и изчислителният експеримент позволяват да се сведе изследването на „нематематически“ обект до решаването на математическа задача. Това отваря възможност за използването на добре развит математически апарат за неговото изследване в комбинация с мощна компютърна техника. Това е основата за използването на математиката и компютрите за познаване на законите на реалния свят и тяхното използване на практика.

В задачите за проектиране или изучаване на поведението на реални обекти, процеси или системи, математическите модели, като правило, са нелинейни, т.к. те трябва да отразяват реалните физически нелинейни процеси, протичащи в тях. В същото време параметрите (променливите) на тези процеси са свързани помежду си с физически нелинейни закони. Ето защо в проблемите на проектиране или изследване на поведението на реални обекти, процеси или системи най-често се използват математически модели от типа DND.

Според класификацията, дадена в лекция 1:

D - моделът е детерминиран, няма (по-точно не се отчита) влиянието на случайни процеси.

H - моделът е непрекъснат, информацията и параметрите са непрекъснати.

А - аналитичен модел, функционирането на модела се описва под формата на уравнения (линейни, нелинейни, системи от уравнения, диференциални и интегрални уравнения).

И така, изградихме математически модел на разглеждания обект, процес или система, т.е. представи приложен проблем като математически. След това започва вторият етап от решаването на приложния проблем - търсене или разработване на метод за решаване на формулирания математически проблем. Методът трябва да е удобен за прилагането му на компютър, да осигурява необходимото качество на решението.

Всички методи за решаване на математически задачи могат да бъдат разделени на 2 групи:

1. точни методи за решаване на проблеми;

2. числени методи за решаване на задачи.

При точните методи за решаване на математически задачи отговорът може да се получи под формата на формули.

Например, изчисляване на корените на квадратно уравнение:

или, например, изчисляване на производни функции:

или изчисляването на определен интеграл:

Въпреки това, замествайки числата във формулата като крайни десетични дроби, все още получаваме приблизителни стойности на резултата.

За повечето проблеми, срещани в практиката, точните методи за решаване са или неизвестни, или дават много тромави формули. Те обаче не винаги са необходими. Приложен проблем може да се счита за практически решен, ако можем да го решим с необходимата степен на точност.

За решаване на такива проблеми са разработени числени методи, при които решаването на сложни математически задачи се свежда до последователно изпълнение на голям брой прости аритметични операции. Прякото развитие на числените методи принадлежи на изчислителната математика.

Пример за числен метод е методът на правоъгълниците за приблизително интегриране, който не изисква изчисляване на първоизводната за интегранта. Вместо интеграла се изчислява крайната квадратурна сума:

x 1 =a - долната граница на интегриране;

x n+1 =b – горна граница на интегриране;

n е броят на сегментите, на които е разделен интеграционният интервал (a,b);

е дължината на елементарен сегмент;

f(x i) е стойността на подинтегралната функция в краищата на елементарните сегменти на интегрирането.

Колкото по-голям е броят на сегментите n, на които е разделен интеграционният интервал, толкова по-близо е приблизителното решение до истинското, т.е. толкова по-точен е резултатът.

По този начин в приложните задачи, както при използване на точни методи за решаване, така и при използване на числени методи за решаване, резултатите от изчисленията са приблизителни. Важно е само да се гарантира, че грешките отговарят на необходимата точност.

Числените методи за решаване на математически проблеми са известни отдавна, дори преди появата на компютрите, но те са били използвани рядко и само в сравнително прости случаи поради изключителната сложност на изчисленията. Широкото използване на числените методи стана възможно благодарение на компютрите.