Để tính khoảng cách từ một điểm M cho trước đến một đường thẳng L, có thể sử dụng các phương pháp khác nhau. Ví dụ: nếu chúng ta lấy một điểm M 0 tùy ý trên đường thẳng L, thì chúng ta có thể xác định hình chiếu trực giao của vectơ M 0 M lên phương của vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Hình chiếu này, cho đến một biển báo, là khoảng cách cần thiết.

Một cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là sử dụng phương trình bình thường của một đường thẳng. Cho đường thẳng L được cho bởi phương trình (4.23). Nếu điểm M(x; y) không thuộc đường thẳng L thì phép chiếu trực giao pr n OM véc tơ bán kínhđiểm M chỉ phương với vectơ pháp tuyến đơn vị n của đường thẳng L bằng tích vô hướng của các vectơ OM và n, tức là. x cosφ + y sinφ. Phép chiếu đồng dạng bằng tổng khoảng cách p từ gốc tọa độ đến đường thẳng và một giá trị δ nào đó (Hình 4.10). Giá trị tuyệt đối của δ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng. Trong trường hợp này, δ > 0 nếu các điểm M và O nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng và δ là độ lệch của điểm M so với đường thẳng.

Độ lệch δ của điểm M(x; y) so với đường thẳng L được tính bằng hiệu giữa hình chiếu pr n OM và khoảng cách p từ gốc tọa độ đến đường thẳng (xem Hình 4.10), tức là δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

Sử dụng công thức này, người ta cũng có thể tính được khoảng cách p(M, L) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng L cho bởi phương trình bình thường: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Hai góc kề bù bằng 180°

Với quy trình chuyển đổi trên phương trình tổng quát của một đường thẳng vào phương trình bình thường của nó, chúng ta thu được công thức tính khoảng cách từ điểm M(x; y) đến đường thẳng L, được cho bởi phương trình tổng quát của nó:

Ví dụ 4.8. Hãy tìm phương trình tổng quát của đường cao AH, trung tuyến AM và đường phân giác AD của tam giác ABC đi qua đỉnh A. Tọa độ các đỉnh của tam giác A(-1;-3), B(7; 3) ), C(1;7) đã biết.

Trước hết, hãy làm rõ điều kiện của ví dụ: các phương trình được chỉ định có nghĩa là phương trình của các đường thẳng L AH, L AM và L AD, trên đó có đường cao AH, trung tuyến AM và đường phân giác AD của tam giác xác định, tương ứng (Hình 4.11).

Để tìm phương trình của đường thẳng L AM , chúng ta sử dụng đường trung tuyến chia đôi cạnh đối diện của tam giác. Tìm được tọa độ (x 1; y 1) trung điểm cạnh BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, ta viết phương trình của L sáng ở dạng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Sau khi biến đổi ta thu được phương trình tổng quát của đường trung tuyến 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

Để tìm phương trình đường cao L AH, ta sử dụng đường cao vuông góc với cạnh đối diện của tam giác. Do đó vectơ BC vuông góc với đường cao AH và có thể chọn làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng L AH . Phương trình của đường thẳng này nhận được từ (4.15) bằng cách thay tọa độ của điểm A và vectơ pháp tuyến của đường thẳng L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Sau khi biến đổi ta thu được phương trình tổng quát của đường cao 3x - 2y - 3 = 0.

Để tìm phương trình của đường phân giác L AD , chúng ta sử dụng thực tế là đường phân giác AD thuộc tập hợp các điểm N(x; y) cách đều các đường thẳng L AB và L AC . Phương trình của tập hợp này có dạng

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

và nó xác định hai đường thẳng đi qua điểm A và chia đôi các góc giữa các đường thẳng L AB và L AC. Sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ta tìm được phương trình tổng quát của các đường thẳng L AB và L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Sau khi biến đổi ta được L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Phương trình (4.28) sử dụng công thức (4.27) để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, chúng tôi viết dưới dạng

Hãy chuyển đổi nó bằng cách mở rộng các mô-đun:

Kết quả là ta thu được phương trình tổng quát của hai đường thẳng

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Để chọn phương trình đường phân giác từ chúng, chúng ta tính đến việc các đỉnh B và C của tam giác nằm ở các cạnh đối diện của đường thẳng mong muốn và do đó thay tọa độ của chúng vào vế trái của phương trình tổng quát của đường thẳng L AD sẽ cho các giá trị khác dấu. Ta chọn phương trình ứng với dấu trên, tức là

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Thay tọa độ của điểm B vào vế trái của phương trình này sẽ cho giá trị âm vì

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

và cùng một dấu hiệu thu được cho tọa độ của điểm C, vì

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Do đó các đỉnh B và C nằm cùng một phía trên đường thẳng có phương trình đã chọn nên phương trình đường phân giác là

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng. Trong hình học mô tả, nó được xác định bằng đồ thị theo thuật toán bên dưới.

thuật toán

1. Đường thẳng được chuyển đến một vị trí mà nó sẽ song song với bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào. Để làm điều này, hãy áp dụng các phương pháp biến đổi các phép chiếu trực giao.
2. Vẽ một đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng. Cách xây dựng này dựa trên định lý phép chiếu góc vuông.
3. Độ dài của một đường vuông góc được xác định bằng cách chuyển đổi các hình chiếu của nó hoặc sử dụng phương pháp tam giác vuông.

Hình dưới đây vẽ phức điểm M và đường thẳng b xác định bởi đoạn thẳng CD. Bạn cần tìm khoảng cách giữa chúng.

Theo thuật toán của chúng tôi, điều đầu tiên cần làm là di chuyển đường thẳng đến vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu. Điều quan trọng là phải hiểu rằng sau khi biến đổi, khoảng cách thực tế giữa điểm và đường thẳng không được thay đổi. Đó là lý do tại sao ở đây sẽ thuận tiện khi sử dụng phương pháp thay thế mặt phẳng, phương pháp này không liên quan đến việc di chuyển các hình trong không gian.

Kết quả của giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng được hiển thị dưới đây. Hình này cho thấy cách một mặt phẳng phía trước bổ sung P 4 được đưa vào song song với b. Trong hệ thống mới (P 1 , P 4) các điểm C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 cách trục X 1 một khoảng bằng với C"", D"", M"" cách trục trục x.

Thực hiện phần 2 của thuật toán, từ M"" 1 ta hạ đường vuông góc M"" 1 N"" 1 xuống đường thẳng b"" 1, do MND vuông góc giữa b và MN chiếu lên mặt phẳng P 4 ở kích thước đầy đủ. Ta xác định vị trí của điểm N" trên dây giao tiếp và vẽ hình chiếu M"N" của đoạn MN.

Ở giai đoạn cuối, cần xác định giá trị của đoạn MN bằng các hình chiếu của nó M"N" và M"" 1 N"" 1 . Để làm điều này, chúng ta dựng một tam giác vuông M"" 1 N"" 1 N 0, trong đó chân N"" 1 N 0 bằng hiệu (Y M 1 - Y N 1) của việc loại bỏ các điểm M " và N" từ trục X 1. Độ dài của cạnh huyền M"" 1 N 0 của tam giác M"" 1 N"" 1 N 0 tương ứng với khoảng cách mong muốn từ M đến b.

Cách giải thứ hai

• Song song với CD, chúng tôi giới thiệu một mặt phẳng phía trước mới П 4 . Nó cắt P 1 dọc theo trục X 1 và X 1 ∥C"D". Theo phương pháp thay thế các mặt phẳng, chúng tôi xác định các hình chiếu của các điểm C "" 1, D"" 1 và M"" 1, như trong hình.
• Vuông góc với C "" 1 D "" 1 ta dựng thêm một mặt phẳng nằm ngang P 5 trên đó chiếu đường thẳng b đến điểm C" 2 \u003d b" 2.
• Khoảng cách giữa điểm M và đường thẳng b được xác định bằng độ dài đoạn M "2 C" 2 được đánh dấu màu đỏ.

Nhiệm vụ liên quan:

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Nếu phương trình của đường thẳng Ax + By + C = 0 được đưa ra, thì có thể tìm thấy khoảng cách từ điểm M(M x , M y) đến đường thẳng bằng công thức sau

Ví dụ về các tác vụ tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

ví dụ 1

Tìm khoảng cách giữa đường thẳng 3x + 4y - 6 = 0 và điểm M(-1, 3).

Giải pháp. Thay vào công thức các hệ số của đường thẳng và tọa độ của điểm

Trả lời: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là 0,6.

phương trình mặt phẳng đi qua các điểm vuông góc với véc tơ phương trình tổng quát của mặt phẳng

Vectơ khác 0 vuông góc với một mặt phẳng cho trước được gọi là Vector bình thường (hay nói ngắn gọn là Bình thường ) cho mặt phẳng này.

Cho trong không gian tọa độ (trong hệ tọa độ vuông góc) đã cho:

một dấu chấm ;

b) một vectơ khác không (Hình 4.8, a).

Yêu cầu viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với véc tơ Kết thúc bằng chứng.

Bây giờ chúng ta hãy xét các dạng phương trình khác nhau của đường thẳng trong mặt phẳng.

1) Phương trình tổng quát của mặt phẳngP .

Từ đạo hàm của phương trình, theo đó đồng thời MỘT, b Và C không bằng 0 (giải thích tại sao).

Điểm thuộc mặt phẳng P chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Tùy thuộc vào các hệ số MỘT, b, C Và Đ. máy bay P chiếm vị trí này hay vị trí khác.

- mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, - mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ,

- mặt phẳng song song với trục X,

X,

- mặt phẳng song song với trục Y,

- mặt phẳng không song song với trục Y,

- mặt phẳng song song với trục z,

- mặt phẳng không song song với trục z.

Hãy tự mình chứng minh những nhận định này.

Phương trình (6) dễ dàng suy ra từ phương trình (5). Thật vậy, để điểm nằm trên mặt phẳng P. Khi đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình Trừ phương trình (7) khỏi phương trình (5) và nhóm các số hạng ta được phương trình (6). Bây giờ xét hai vectơ có tọa độ tương ứng. Từ công thức (6) suy ra rằng tích vô hướng của chúng bằng không. Do đó vectơ vuông góc với vectơ Điểm đầu và điểm cuối của vectơ cuối lần lượt tại các điểm thuộc mặt phẳng P. Do đó, vectơ vuông góc với mặt phẳng P. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng P, có phương trình tổng quát là được xác định bởi công thức Chứng minh của công thức này hoàn toàn tương tự như chứng minh của công thức tính khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng (xem Hình 2).
Cơm. 2. Từ công thức tính khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng.

Thật vậy, khoảng cách đ giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là

đâu là một điểm nằm trên một mặt phẳng. Từ đây, như ở bài giảng số 11, thu được công thức trên. Hai mặt phẳng song song nếu các vectơ pháp tuyến của chúng song song. Từ đây ta có điều kiện về sự song song của hai mặt phẳng - hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, do đó ta có điều kiện về sự vuông góc của hai mặt phẳng nếu biết phương trình tổng quát của chúng

Góc f giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng (xem Hình 3) và do đó có thể được tính từ công thức
Xác định góc giữa các mặt phẳng.

(11)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và cách tìm nó

Khoảng cách từ điểm đến máy bay là độ dài của đường vuông góc hạ từ một điểm xuống mặt phẳng này. Có ít nhất hai cách để tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: hình học Và đại số.

Với phương pháp hình học trước tiên bạn cần hiểu cách đường vuông góc được định vị từ một điểm đến một mặt phẳng: có thể nó nằm trong một mặt phẳng thuận tiện nào đó, nó là chiều cao trong một tam giác thuận tiện (hoặc không), hoặc có thể đường vuông góc này nói chung là chiều cao trong một kim tự tháp nào đó .

Sau giai đoạn đầu tiên và khó khăn nhất này, vấn đề được chia thành một số vấn đề về mặt phẳng cụ thể (có lẽ trong các mặt phẳng khác nhau).

Với cách đại sốđể tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bạn cần nhập một hệ tọa độ, tìm tọa độ của điểm và phương trình của mặt phẳng, sau đó áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

cấp độ đầu tiên

Tọa độ và vectơ. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Trong bài viết này, bạn và tôi sẽ bắt đầu thảo luận về một "cây đũa thần" cho phép bạn biến nhiều bài toán hình học thành số học đơn giản. Cây đũa phép này có thể giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn nhiều, đặc biệt là khi bạn cảm thấy không an toàn khi xây dựng các hình, mặt cắt không gian, v.v. Tất cả điều này đòi hỏi trí tưởng tượng và kỹ năng thực tế nhất định. Phương pháp mà chúng ta sẽ bắt đầu xem xét ở đây sẽ cho phép bạn trừu tượng hóa gần như hoàn toàn khỏi tất cả các loại cấu trúc và lý luận hình học. Phương pháp được gọi là "phương pháp tọa độ". Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. mặt phẳng tọa độ
2. Điểm và vectơ trên mặt phẳng
3. Dựng vectơ từ hai điểm​
4. Độ dài vectơ (khoảng cách giữa hai điểm)​
5. tọa độ trung điểm
6. Tích vô hướng của vectơ
7. Góc giữa hai vectơ

Tôi nghĩ rằng bạn đã đoán tại sao phương pháp tọa độ được gọi như vậy? Đúng là nó có tên như vậy, vì nó không hoạt động với các đối tượng hình học, mà với các đặc điểm số (tọa độ) của chúng. Và bản thân phép biến đổi, giúp có thể chuyển từ hình học sang đại số, bao gồm việc giới thiệu một hệ tọa độ. Nếu hình ban đầu là phẳng thì tọa độ là hai chiều và nếu hình là ba chiều thì tọa độ là ba chiều. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét trường hợp hai chiều. Và mục đích chính của bài viết là hướng dẫn bạn cách sử dụng một số kỹ thuật cơ bản của phương pháp tọa độ (đôi khi chúng tỏ ra hữu ích khi giải các bài toán về hình phẳng trong phần B của Kỳ thi Thống nhất Nhà nước). Hai phần tiếp theo về chủ đề này được dành để thảo luận về các phương pháp giải bài toán C2 (bài toán lập thể).

Sẽ hợp lý khi bắt đầu thảo luận về phương pháp tọa độ ở đâu? Có lẽ với khái niệm về một hệ tọa độ. Hãy nhớ lại lần đầu tiên bạn gặp cô ấy. Đối với tôi, dường như ở lớp 7, khi bạn học về sự tồn tại của một hàm tuyến tính chẳng hạn. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bạn đã xây dựng nó từng điểm một. Bạn có nhớ? Bạn đã chọn một số tùy ý, thay thế nó vào công thức và tính toán theo cách này. Ví dụ: nếu, thì, nếu, thì, v.v. Kết quả là bạn nhận được gì? Và bạn đã nhận được điểm có tọa độ: và. Tiếp theo, bạn đã vẽ một "chéo" (hệ tọa độ), chọn tỷ lệ trên đó (bạn sẽ có bao nhiêu ô dưới dạng một đoạn) và đánh dấu các điểm bạn nhận được trên đó, sau đó bạn nối chúng bằng một đường thẳng, kết quả là đường thẳng là đồ thị của hàm số.

Có một vài điều cần được giải thích cho bạn chi tiết hơn một chút:

1. Bạn chọn 1 phân khúc vì lý do tiện lợi, để mọi thứ nằm vừa vặn và gọn gàng trong hình

2. Giả sử trục đi từ trái sang phải và trục đi từ dưới lên trên

3. Chúng cắt nhau vuông góc và giao điểm của chúng được gọi là gốc tọa độ. Nó được đánh dấu bằng một chữ cái.

4. Ví dụ, trong bản ghi tọa độ của một điểm, bên trái trong ngoặc là tọa độ của điểm dọc theo trục và bên phải là dọc theo trục. Cụ thể, đơn giản có nghĩa là điểm

5. Để đặt một điểm bất kỳ trên trục tọa độ, bạn cần xác định tọa độ của nó (2 số)

6. Đối với mọi điểm nằm trên trục,

7. Đối với mọi điểm nằm trên trục,

8. Trục được gọi là trục x

9. Trục được gọi là trục y

Bây giờ hãy cùng bạn thực hiện bước tiếp theo: đánh dấu hai điểm. Kết nối hai điểm này với một dòng. Và hãy đặt mũi tên như thể chúng ta đang vẽ một đoạn từ điểm này sang điểm khác: nghĩa là chúng ta sẽ làm cho đoạn của mình có hướng!

Hãy nhớ tên gọi khác của phân khúc được định hướng là gì? Đúng vậy, nó được gọi là một vectơ!

Vì vậy, nếu chúng ta kết nối một dấu chấm với một dấu chấm, và điểm đầu sẽ là điểm A, và điểm cuối sẽ là điểm B, sau đó chúng tôi nhận được một véc tơ. Bạn cũng đã xây dựng công trình này vào năm lớp 8, nhớ không?

Nó chỉ ra rằng các vectơ, giống như các điểm, có thể được biểu thị bằng hai số: những số này được gọi là tọa độ của vectơ. Câu hỏi: Bạn có nghĩ rằng chỉ cần biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của vectơ là đủ để tìm tọa độ của nó không? Hóa ra là có! Và nó rất dễ thực hiện:

Như vậy, vì trong vectơ, điểm là điểm đầu và điểm cuối nên vectơ có tọa độ như sau:

Ví dụ, nếu thì tọa độ của véc tơ

Bây giờ hãy làm ngược lại, tìm tọa độ của vectơ. Chúng ta cần thay đổi điều gì cho điều này? Có, bạn cần hoán đổi điểm đầu và điểm cuối: bây giờ điểm đầu của vectơ sẽ là một điểm và điểm cuối là một điểm. Sau đó:

Nhìn kỹ, sự khác biệt giữa vectơ và là gì? Sự khác biệt duy nhất của họ là các dấu hiệu trong tọa độ. Họ là đối diện. Thực tế này được viết như thế này:

Đôi khi, nếu không chỉ rõ điểm nào là điểm đầu của vectơ và điểm nào là điểm cuối, thì các vectơ không được ký hiệu bằng hai chữ in hoa mà bằng một chữ thường, ví dụ:, v.v.

Bây giờ một chút luyện tập và tìm tọa độ của các vectơ sau:

Bài kiểm tra:

Bây giờ giải bài toán khó hơn một chút:

Một hình xuyến véc tơ với on-cha-scrap tại một điểm có co-or-di-on-you. Find-di-te điểm abs-cis-su.

Tất cả đều giống nhau là khá tầm thường: Gọi tọa độ của điểm. Sau đó

Tôi đã biên soạn hệ thống bằng cách xác định tọa độ của một vectơ. Khi đó điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến abscissa. Sau đó

Trả lời:

Bạn có thể làm gì khác với các vectơ? Vâng, hầu hết mọi thứ đều giống như với các số thông thường (ngoại trừ việc bạn không thể chia, nhưng bạn có thể nhân theo hai cách, một trong số đó chúng ta sẽ thảo luận sau đây một chút)

1. Các vectơ có thể được xếp chồng lên nhau
2. Các vectơ có thể được trừ cho nhau
3. Các vectơ có thể được nhân (hoặc chia) với một số khác không tùy ý
4. Các vectơ có thể được nhân với nhau

Tất cả các hoạt động này có một biểu diễn hình học khá trực quan. Ví dụ, quy tắc tam giác (hoặc hình bình hành) để cộng và trừ:

Một vectơ kéo dài hoặc co lại hoặc thay đổi hướng khi nhân hoặc chia cho một số:

Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến câu hỏi điều gì xảy ra với tọa độ.

1. Khi cộng (trừ) hai vectơ ta cộng (trừ) từng phần tử có tọa độ của chúng. Đó là:

2. Khi nhân (chia) một vectơ cho một số thì tất cả các toạ độ của nó cũng được nhân (chia) cho số này:

Ví dụ:

· Tìm-di-tổng của ko-hay-di-nat kỷ-to-ra.

Trước tiên hãy tìm tọa độ của mỗi vectơ. Cả hai đều có cùng gốc tọa độ - điểm gốc. Kết thúc của họ là khác nhau. Sau đó, . Bây giờ chúng ta tính tọa độ của vectơ Sau đó, tổng tọa độ của vectơ kết quả bằng.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự giải quyết vấn đề sau:

· Tìm tổng tọa độ của vectơ

Chung ta kiểm tra:

Bây giờ chúng ta xét bài toán sau: chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa chúng? Hãy để điểm đầu tiên được, và thứ hai. Hãy biểu thị khoảng cách giữa chúng là . Hãy vẽ bản vẽ sau cho rõ ràng:

Những gì tôi đã làm? Đầu tiên, tôi nối các điểm và đồng thời vẽ một đường thẳng song song với trục từ điểm đó, và vẽ một đường thẳng song song với trục từ điểm đó. Có phải chúng cắt nhau tại một điểm, tạo thành một hình tuyệt vời? Tại sao cô ấy tuyệt vời? Vâng, bạn và tôi gần như biết mọi thứ về một tam giác vuông. Vâng, chắc chắn là định lý Pythagore. Đoạn mong muốn là cạnh huyền của tam giác này và các đoạn là chân. Các tọa độ của điểm là gì? Vâng, chúng rất dễ tìm thấy từ hình ảnh: Vì các đoạn thẳng song song với các trục và tương ứng, nên độ dài của chúng rất dễ tìm: nếu chúng ta biểu thị độ dài của các đoạn tương ứng, thông qua, thì

Bây giờ hãy sử dụng định lý Pythagore. Chúng tôi biết chiều dài của chân, chúng tôi sẽ tìm thấy cạnh huyền:

Do đó, khoảng cách giữa hai điểm là tổng gốc của bình phương sự khác biệt từ tọa độ. Hoặc - khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn nối chúng. Dễ dàng thấy rằng khoảng cách giữa các điểm không phụ thuộc vào hướng. Sau đó:

Từ đó chúng tôi rút ra ba kết luận:

Hãy thực hành một chút về tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ví dụ, nếu, thì khoảng cách giữa và là

Hoặc chúng ta hãy đi theo cách khác: tìm tọa độ của vectơ

Và tìm độ dài của vectơ:

Như bạn có thể thấy, nó giống nhau!

Bây giờ hãy tự mình thực hành một chút:

Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm đã cho:

Chung ta kiểm tra:

Dưới đây là một vài vấn đề khác cho cùng một công thức, mặc dù chúng có vẻ hơi khác một chút:

1. Tìm bình phương chiều dài mí-ra.

2. Nai-di-te vuông mí dài-ra

Tôi đoán bạn có thể xử lý chúng một cách dễ dàng? Chung ta kiểm tra:

1. Và đây là để chú ý) Chúng ta đã tìm được tọa độ của các vectơ trước đó: . Khi đó vectơ có tọa độ. Bình phương độ dài của nó sẽ là:

2. Tìm toạ độ của vectơ

Khi đó bình phương độ dài của nó là

Không có gì phức tạp, phải không? Số học đơn giản, không có gì hơn.

Các câu đố sau đây không thể được phân loại rõ ràng, chúng dành cho sự uyên bác nói chung và khả năng vẽ những bức tranh đơn giản.

1. Tìm-di-những sin của góc trên-clo-trên-từ-cắt, nối điểm thứ-n-thứ-n, với trục hoành.

Và

Làm thế nào chúng ta sẽ làm điều đó ở đây? Bạn cần tìm sin của góc giữa và trục. Và chúng ta có thể tìm sin ở đâu? Đúng vậy, trong một tam giác vuông. Vậy chúng ta cần phải làm gì? Xây dựng hình tam giác này!

Vì tọa độ của điểm và , nên đoạn bằng nhau và đoạn . Chúng ta cần tìm sin của góc. Để tôi nhắc bạn rằng sin là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh huyền, thì

Chúng ta còn lại để làm gì? Tìm cạnh huyền. Bạn có thể thực hiện theo hai cách: sử dụng định lý Pythagore (đã biết chân!) hoặc sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (thực ra giống như phương pháp đầu tiên!). Tôi sẽ đi theo cách thứ hai:

Trả lời:

Nhiệm vụ tiếp theo sẽ có vẻ dễ dàng hơn với bạn. Cô ấy - trên tọa độ của điểm.

Nhiệm vụ 2. Từ điểm này, per-pen-di-ku-lar được hạ xuống trục abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hãy vẽ một bức tranh:

Cơ sở của đường vuông góc là điểm mà tại đó nó cắt trục x (trục) đối với tôi đây là một điểm. Hình vẽ cho thấy nó có tọa độ: . Chúng tôi quan tâm đến abscissa - nghĩa là thành phần "X". Cô ấy bình đẳng.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 3. Trong các điều kiện của bài toán trước, hãy tìm tổng khoảng cách từ điểm đến các trục tọa độ.

Nhiệm vụ nói chung là cơ bản nếu bạn biết khoảng cách từ một điểm đến các trục là bao nhiêu. Bạn biết? Tôi hy vọng, nhưng tôi vẫn nhắc bạn:

Vì vậy, trong bản vẽ của tôi, nằm ở vị trí cao hơn một chút, tôi đã mô tả một đường vuông góc như vậy? Nó là trục gì? đến trục. Và chiều dài của nó sau đó là bao nhiêu? Cô ấy bình đẳng. Bây giờ hãy tự vẽ một đường vuông góc với trục và tìm độ dài của nó. Nó sẽ bằng nhau, phải không? Khi đó tổng của chúng bằng nhau.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 4. Trong điều kiện của bài toán 2, tìm hoành độ của điểm đối xứng với điểm qua trục hoành.

Tôi nghĩ rằng bạn trực giác hiểu đối xứng là gì? Rất nhiều đối tượng có nó: nhiều tòa nhà, bàn, mặt phẳng, nhiều hình dạng hình học: quả bóng, hình trụ, hình vuông, hình thoi, v.v. Nói một cách đại khái, tính đối xứng có thể được hiểu như sau: một hình bao gồm hai (hoặc nhiều hơn) hai nửa giống hệt nhau. Sự đối xứng này được gọi là trục. Vậy trục là gì? Nói một cách tương đối, đây chính xác là đường mà hình có thể bị “cắt” thành hai nửa giống hệt nhau (trong hình này, trục đối xứng là thẳng):

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Chúng tôi biết rằng chúng tôi đang tìm kiếm một điểm đối xứng qua trục. Khi đó trục này là trục đối xứng. Vì vậy, ta cần đánh dấu một điểm sao cho trục cắt đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau. Cố gắng tự đánh dấu một điểm như vậy. Bây giờ so sánh với giải pháp của tôi:

Bạn đã làm như vậy? Khỏe! Tại điểm tìm thấy, chúng tôi quan tâm đến thứ tự. Cô ấy bình đẳng

Trả lời:

Bây giờ hãy cho tôi biết, sau khi suy nghĩ một giây, trục hoành của điểm đối xứng với điểm A qua trục y sẽ là bao nhiêu? Câu trả lời của bạn là gì? Câu trả lời chính xác: .

Nói chung, quy tắc có thể được viết như thế này:

Điểm đối xứng qua trục hoành có tọa độ là:

Một điểm đối xứng với một điểm quanh trục y có tọa độ:

Chà, bây giờ nó thực sự đáng sợ. nhiệm vụ: Tìm tọa độ của điểm đối xứng qua một điểm, đối với gốc tọa độ. Trước tiên bạn hãy tự suy nghĩ, rồi hãy nhìn vào bản vẽ của tôi!

Trả lời:

Hiện nay bài toán hình bình hành:

Nhiệm vụ 5: Các điểm là ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm điểm-dee-te hoặc-dee-on-tu.

Bạn có thể giải quyết vấn đề này theo hai cách: logic và phương pháp tọa độ. Trước tiên tôi sẽ áp dụng phương pháp tọa độ, sau đó tôi sẽ cho bạn biết cách bạn có thể quyết định khác.

Rõ ràng là trục hoành của điểm bằng nhau. (nó nằm trên đường vuông góc kẻ từ điểm đến trục x). Chúng ta cần tìm tọa độ. Hãy lợi dụng thực tế là hình của chúng ta là một hình bình hành, điều đó có nghĩa là. Tìm độ dài của đoạn bằng cách sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm:

Chúng tôi hạ thấp đường vuông góc nối điểm với trục. Điểm giao nhau được biểu thị bằng một chữ cái.

Độ dài của đoạn bằng. (hãy tự tìm vấn đề, nơi chúng ta đã thảo luận lúc này), sau đó chúng ta sẽ tìm độ dài của đoạn bằng định lý Pythagore:

Độ dài của đoạn thẳng giống hệt như tọa độ của nó.

Trả lời: .

Một giải pháp khác (Tôi sẽ chỉ cung cấp một hình ảnh minh họa nó)

Tiến độ giải quyết:

1. Chi tiêu

2. Tìm toạ độ và độ dài điểm

3. Chứng minh rằng.

một cái khác vấn đề chiều dài cắt:

Các điểm là-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Tìm độ dài đường giữa của anh ấy, par-ral-lel-noy.

Bạn có nhớ đường trung bình của một tam giác là gì không? Sau đó, đối với bạn, nhiệm vụ này là cơ bản. Nếu bạn chưa nhớ thì tôi xin nhắc lại: đường trung trực của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện. Nó song song với mặt đáy và bằng một nửa mặt đáy.

Cơ sở là một phân khúc. Chúng tôi đã phải tìm chiều dài của nó trước đó, nó bằng nhau. Khi đó độ dài đường trung trực bằng một nửa và bằng nhau.

Trả lời: .

Nhận xét: Vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác, chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề này sau.

Trong thời gian chờ đợi, đây là một số nhiệm vụ dành cho bạn, hãy thực hành với chúng, chúng khá đơn giản nhưng giúp bạn “làm đầy tay” bằng phương pháp tọa độ!

1. Các điểm xuất hiện-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Tìm độ dài đường trung trực của nó.

2. Điểm và yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm điểm-dee-te hoặc-dee-on-tu.

3. Tìm độ dài từ vết cắt, nối điểm thứ hai và

4. Tìm-di-te khu vực dành cho-the-red-shen-noy fi-gu-ry trên mặt phẳng ko-or-di-nat-noy.

5. Đường tròn có tâm là na-cha-le ko-or-di-nat đi qua một điểm. Tìm-de-te ra-di-ria của cô ấy.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, tả-san-noy gần góc phải-no-ka, ngọn-shi-ny của thứ-ro-go có co-or- di-na-bạn co-từ-trả lời-nhưng

Các giải pháp:

1. Biết rằng đường trung bình của một hình thang bằng một nửa tổng các đáy của nó. Căn bằng mà căn. Sau đó

Trả lời:

2. Cách giải bài toán này đơn giản nhất là nhận thấy (quy tắc hình bình hành). Tính tọa độ của các vectơ và không khó: . Khi thêm vectơ, tọa độ được thêm vào. Sau đó có tọa độ. Điểm có cùng tọa độ, do điểm đầu của vectơ là một điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến thứ tự. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời:

3. Chúng tôi hành động ngay lập tức theo công thức cho khoảng cách giữa hai điểm:

Trả lời:

4. Hãy nhìn vào hình và cho biết, phần được tô đậm “bị ép” giữa hai hình nào? Nó được kẹp giữa hai hình vuông. Sau đó, diện tích của hình mong muốn bằng diện tích của hình vuông lớn trừ đi diện tích của hình nhỏ. Cạnh của hình vuông nhỏ là đoạn thẳng nối các điểm và độ dài của nó là

Khi đó diện tích hình vuông nhỏ là

Ta làm tương tự với hình vuông lớn: cạnh của nó là đoạn nối các điểm và độ dài của nó bằng

Khi đó diện tích hình vuông lớn là

Diện tích của hình mong muốn được tìm thấy theo công thức:

Trả lời:

5. Nếu đường tròn có gốc là tâm và đi qua một điểm thì bán kính của nó sẽ chính xác bằng độ dài của đoạn thẳng (hãy vẽ hình và bạn sẽ hiểu tại sao điều này lại hiển nhiên). Tìm độ dài của đoạn này:

Trả lời:

6. Biết rằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng một nửa đường chéo của nó. Hãy tìm độ dài của bất kỳ đường chéo nào trong hai đường chéo (xét cho cùng, trong một hình chữ nhật, chúng bằng nhau!)

Trả lời:

Vâng, bạn đã quản lý tất cả mọi thứ? Không khó để tìm ra nó, phải không? Chỉ có một quy tắc ở đây - để có thể tạo một bức tranh trực quan và chỉ cần "đọc" tất cả dữ liệu từ nó.

Chúng tôi còn lại rất ít. Thực sự có hai điểm nữa mà tôi muốn thảo luận.

Hãy cố gắng giải quyết vấn đề đơn giản này. Cho hai điểm và được cho. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Giải pháp cho vấn đề này như sau: đặt điểm ở giữa mong muốn, sau đó nó có tọa độ:

Đó là: tọa độ giữa đoạn = trung bình cộng của tọa độ tương ứng hai đầu đoạn.

Quy tắc này rất đơn giản và thường không gây khó khăn cho học sinh. Hãy xem những vấn đề và cách nó được sử dụng:

1. Tìm-di-te hoặc-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th và

2. Các điểm là yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-than-no-ka. Find-di-te hoặc-di-na-tu điểm re-re-se-che-niya của dia-go-on-lei của mình.

3. Tìm-di-te abs-cis-su của tâm hình tròn, tả-san-noy gần hình chữ nhật-no-ka, ngọn-shi-ta có cái-ro-go co-or-di- na-bạn co-từ-bác sĩ thú y-stvenno-nhưng.

Các giải pháp:

1. Nhiệm vụ đầu tiên chỉ là một tác phẩm kinh điển. Chúng tôi hành động ngay lập tức bằng cách xác định điểm giữa của đoạn. Cô ấy có tọa độ. Các tọa độ là bằng nhau.

Trả lời:

2. Dễ thấy tứ giác đã cho là hình bình hành (thậm chí là hình thoi!). Bạn có thể tự chứng minh bằng cách tính độ dài các cạnh và so sánh chúng với nhau. Em biết gì về hình bình hành? Các đường chéo của nó bị chia đôi bởi giao điểm! A ha! Vậy giao điểm của hai đường chéo là gì? Đây là điểm giữa của bất kỳ đường chéo nào! Tôi sẽ chọn, đặc biệt, đường chéo. Khi đó điểm có tọa độ Tọa độ của điểm bằng.

Trả lời:

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là gì? Nó trùng với giao điểm của các đường chéo của nó. Bạn biết gì về các đường chéo của một hình chữ nhật? Chúng bằng nhau và giao điểm được chia đôi. Nhiệm vụ đã được giảm xuống trước đó. Lấy ví dụ, đường chéo. Khi đó nếu là tâm của đường tròn ngoại tiếp thì là chính giữa. Tôi đang tìm tọa độ: Trục hoành bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ các bạn hãy tự luyện tập một chút, mình sẽ chỉ đưa ra đáp án cho từng bài toán để các bạn tự kiểm tra.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, tả-san-noy gần tam giác-no-ka, ngọn của ai-ro-go có ko-or-di-no misters

2. Tìm-di-te hoặc-di-na-tu tâm vòng tròn, mô tả san-noy gần tam giác-no-ka, ngọn-shi-ta có tọa độ gì đó-ro-go

3. Loại ra-di-y-sa nào nên có một đường tròn có tâm tại một điểm sao cho nó tiếp xúc với trục abs-ciss?

4. Tìm-di-te hoặc-di-trên-điểm tái-se-che-ing của trục và từ-cắt, điểm nối-nya-yu-th-th và

câu trả lời:

Mọi thứ đã thành công chưa? Tôi thực sự hy vọng cho nó! Bây giờ - lần đẩy cuối cùng. Bây giờ hãy đặc biệt cẩn thận. Tài liệu mà tôi sẽ giải thích bây giờ không chỉ liên quan đến các bài toán về phương pháp tọa độ đơn giản trong Phần B, mà còn được tìm thấy trong suốt bài toán C2.

Tôi chưa giữ lời hứa nào trong số những lời hứa của mình? Hãy nhớ những phép toán nào trên vectơ mà tôi đã hứa sẽ giới thiệu và những phép toán nào cuối cùng tôi đã giới thiệu? Tôi có chắc mình không quên gì không? Quên! Tôi quên giải thích ý nghĩa của phép nhân vectơ.

Có hai cách để nhân một vectơ với một vectơ. Tùy thuộc vào phương pháp đã chọn, chúng ta sẽ nhận được các đối tượng có tính chất khác nhau:

Sản phẩm vector khá phức tạp. Làm thế nào để làm điều đó và tại sao nó là cần thiết, chúng tôi sẽ thảo luận với bạn trong bài viết tiếp theo. Và trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào tích vô hướng.

Hiện đã có hai cách cho phép chúng tôi tính toán nó:

Như bạn đoán, kết quả sẽ giống nhau! Vì vậy, trước tiên hãy xem xét cách đầu tiên:

Chấm sản phẩm qua tọa độ

Tìm: - ký hiệu chung cho sản phẩm chấm

Công thức tính như sau:

Nghĩa là, tích vô hướng = tổng các tích của các tọa độ của các vectơ!

Ví dụ:

Tìm-dee-te

Giải pháp:

Tìm tọa độ của mỗi vectơ:

Ta tính tích vô hướng theo công thức:

Trả lời:

Bạn thấy đấy, hoàn toàn không có gì phức tạp!

Chà, bây giờ hãy tự mình thử:

Find-di-te vô hướng-noe pro-từ-ve-de-nie thế kỷ-to-mương và

Bạn đã quản lý? Có lẽ anh ấy nhận thấy một mẹo nhỏ? Hãy kiểm tra:

Tọa độ vectơ, như trong nhiệm vụ trước! Trả lời: .

Ngoài tọa độ, còn có một cách khác để tính tích vô hướng, đó là thông qua độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng:

Biểu thị góc giữa các vectơ và .

Nghĩa là, tích vô hướng bằng tích độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng.

Tại sao chúng ta cần công thức thứ hai này, nếu chúng ta có công thức thứ nhất, đơn giản hơn nhiều, ít nhất là không có cosin trong đó. Và chúng ta cần nó để từ công thức thứ nhất và thứ hai có thể suy ra cách tìm góc giữa các vectơ!

Để rồi ghi nhớ công thức tính độ dài của một vectơ!

Sau đó, nếu tôi cắm dữ liệu này vào công thức tích vô hướng, tôi nhận được:

Nhưng theo cách khác:

Vậy chúng ta có gì? Bây giờ chúng ta có một công thức để tính góc giữa hai vectơ! Đôi khi, để cho ngắn gọn, nó cũng được viết như thế này:

Tức là thuật toán tính góc giữa các vectơ như sau:

1. Ta tính tích vô hướng thông qua tọa độ
2. Tìm độ dài của vectơ và nhân chúng
3. Chia kết quả của điểm 1 cho kết quả của điểm 2

Hãy thực hành với các ví dụ:

1. Tìm góc giữa mí-ra-mi và . Đưa ra câu trả lời của bạn trong độ.

2. Theo các điều kiện của bài toán trước, hãy tìm cosin giữa các vectơ

Hãy làm điều này: Tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề đầu tiên và cố gắng tự mình giải quyết vấn đề thứ hai! Đồng ý? Sau đó, hãy bắt đầu!

1. Những vectơ này là những người bạn cũ của chúng ta. Chúng ta đã xét tích vô hướng của chúng và nó bằng nhau. Tọa độ của chúng là: , . Sau đó, chúng tôi tìm thấy độ dài của chúng:

Sau đó, chúng tôi đang tìm kiếm cosin giữa các vectơ:

cosin của góc là gì? Đây là góc.

Trả lời:

Chà, bây giờ hãy tự giải quyết vấn đề thứ hai, rồi so sánh! Tôi sẽ chỉ đưa ra một giải pháp rất ngắn:

2. có tọa độ, có tọa độ.

Gọi là góc giữa các vectơ và , sau đó

Trả lời:

Cần lưu ý rằng các bài toán trực tiếp trên vectơ và phương pháp tọa độ trong phần B của đề thi là khá hiếm. Tuy nhiên, phần lớn các vấn đề C2 có thể được giải quyết dễ dàng bằng cách giới thiệu một hệ tọa độ. Vì vậy, bạn có thể coi bài viết này như một nền tảng, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tạo ra những cấu trúc khá phức tạp mà chúng ta sẽ cần để giải quyết các vấn đề phức tạp.

TỌA ĐỘ VÀ Vectơ. TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP

Tôi và bạn tiếp tục nghiên cứu phương pháp tọa độ. Trong phần trước, chúng tôi đã rút ra một số công thức quan trọng cho phép:

1. Tìm tọa độ véc tơ
2. Tìm độ dài của một vectơ (cách khác: khoảng cách giữa hai điểm)
3. Cộng, trừ vectơ. Nhân chúng với một số thực
4. Tìm trung điểm của một đoạn
5. Tính tích vô hướng của vectơ
6. Tìm góc giữa các vectơ

Tất nhiên, toàn bộ phương pháp tọa độ không phù hợp với 6 điểm này. Nó làm nền tảng cho một môn khoa học như hình học giải tích mà bạn sẽ làm quen ở trường đại học. Tôi chỉ muốn xây dựng một nền tảng cho phép bạn giải quyết các vấn đề trong một trạng thái duy nhất. bài thi. Chúng tôi đã tìm ra các nhiệm vụ của phần B trong Bây giờ đã đến lúc chuyển sang một cấp độ mới về chất lượng! Bài viết này sẽ dành cho một phương pháp để giải các bài toán C2 đó, trong đó việc chuyển sang phương pháp tọa độ là hợp lý. Tính hợp lý này được quyết định bởi cái cần tìm trong bài toán, và con số đã cho. Vì vậy, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ nếu các câu hỏi là:

1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng
2. Tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
3. Tìm góc giữa hai đường thẳng
4. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
5. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
6. Tìm khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
7. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Nếu hình cho trong điều kiện của bài toán là một vật thể quay tròn (quả cầu, hình trụ, hình nón...)

Các số liệu phù hợp cho phương pháp tọa độ là:

1. hình khối
2. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác, lục giác)

Cũng theo kinh nghiệm của tôi không phù hợp khi sử dụng phương pháp tọa độ cho:

1. Tìm diện tích của các phần
2. Tính toán khối lượng cơ thể

Tuy nhiên, cần lưu ý ngay rằng ba tình huống “không thuận lợi” đối với phương pháp tọa độ là khá hiếm trong thực tế. Trong hầu hết các nhiệm vụ, nó có thể trở thành vị cứu tinh của bạn, đặc biệt nếu bạn không giỏi lắm về các cấu trúc ba chiều (đôi khi khá phức tạp).

Tất cả những con số tôi đã liệt kê ở trên là gì? Chúng không còn bằng phẳng như hình vuông, hình tam giác, hình tròn mà trở nên đồ sộ! Theo đó, chúng ta cần xem xét không phải hệ tọa độ hai chiều mà là hệ tọa độ ba chiều. Nó được xây dựng khá dễ dàng: ngoài trục hoành và tọa độ, chúng tôi sẽ giới thiệu một trục khác, trục áp dụng. Hình vẽ sơ đồ cho thấy vị trí tương đối của chúng:

Tất cả chúng đều vuông góc với nhau, cắt nhau tại một điểm mà chúng ta sẽ gọi là gốc tọa độ. Trục hoành, như trước đây, sẽ được biểu thị, trục tung - và trục ứng dụng được giới thiệu - .

Nếu trước đó mỗi điểm trên mặt phẳng được đặc trưng bởi hai số - hoành độ và tọa độ, thì mỗi điểm trong không gian đã được mô tả bằng ba số - trục hoành, hoành độ, tọa độ. Ví dụ:

Theo đó, trục hoành của điểm bằng nhau, hoành độ là , và hoành độ là .

Đôi khi trục hoành của một điểm còn được gọi là hình chiếu của điểm trên trục hoành, hoành độ là hình chiếu của điểm trên trục tung độ, và hoành độ là hình chiếu của điểm trên trục ứng dụng. Theo đó, nếu cho trước một điểm thì điểm đó có tọa độ:

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: có phải tất cả các công thức dẫn xuất cho trường hợp hai chiều đều hợp lệ trong không gian? Câu trả lời là có, chúng giống hệt nhau và có hình dáng giống nhau. Đối với một chi tiết nhỏ. Tôi nghĩ bạn đã đoán được cái nào rồi. Trong tất cả các công thức, chúng ta sẽ phải thêm một thuật ngữ chịu trách nhiệm cho trục ứng dụng. cụ thể là.

1. Nếu có hai điểm: , thì:

• Tọa độ véc tơ:
• Khoảng cách giữa hai điểm (hoặc độ dài vectơ)
• Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ

2. Nếu cho hai vectơ: và , thì:

• Sản phẩm chấm của họ là:
• Cosin của góc giữa các vectơ là:

Tuy nhiên, không gian không đơn giản như vậy. Như bạn đã hiểu, việc bổ sung thêm một tọa độ sẽ tạo ra sự đa dạng đáng kể trong phạm vi của các hình "sống" trong không gian này. Và để tường thuật thêm, tôi cần giới thiệu một số, nói một cách đại khái là "khái quát hóa" của đường thẳng. "Khái quát hóa" này sẽ là một mặt phẳng. Bạn biết gì về máy bay? Hãy thử trả lời câu hỏi, máy bay là gì? Rất khó nói. Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều tưởng tượng bằng trực giác nó trông như thế nào:

Nói một cách đại khái, đây là một loại "chiếc lá" vô tận bị đẩy vào không gian. "Vô cực" nên được hiểu là mặt phẳng kéo dài theo mọi hướng, nghĩa là diện tích của nó bằng vô cực. Tuy nhiên, lời giải thích "trên ngón tay" này không đưa ra ý tưởng nhỏ nhất về cấu trúc của máy bay. Và chúng tôi sẽ quan tâm đến nó.

Hãy nhớ lại một trong những tiên đề cơ bản của hình học:

• Một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau trên một mặt phẳng, hơn nữa, chỉ có một:

Hoặc tương tự của nó trong không gian:

Tất nhiên, bạn nhớ cách lập phương trình của một đường thẳng từ hai điểm đã cho, điều này không khó chút nào: nếu điểm thứ nhất có tọa độ: và điểm thứ hai, thì phương trình của đường thẳng sẽ như sau:

Bạn đã trải qua điều này vào năm lớp 7. Trong không gian, phương trình của một đường thẳng có dạng như sau: giả sử hai điểm có tọa độ: , thì phương trình của một đường thẳng đi qua chúng có dạng:

Ví dụ, một đường thẳng đi qua các điểm:

Điều này nên được hiểu như thế nào? Điều này nên được hiểu như sau: một điểm nằm trên một đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức sau:

Chúng ta sẽ không quan tâm lắm đến phương trình của một đường thẳng mà cần chú ý đến khái niệm rất quan trọng là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. - bất kỳ vectơ khác 0 nào nằm trên một đường thẳng đã cho hoặc song song với nó.

Ví dụ, cả hai vectơ đều là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Gọi một điểm nằm trên một đường thẳng và là vectơ chỉ phương của nó. Khi đó phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:

Một lần nữa, tôi sẽ không hứng thú lắm với phương trình của một đường thẳng, nhưng tôi thực sự cần bạn nhớ véc tơ chỉ phương là gì! Lại: nó là bất kỳ vectơ khác 0 nào nằm trên một đường thẳng hoặc song song với nó.

Rút phương trình ba điểm của một mặt phẳng không còn quá tầm thường và thường không được đề cập trong một khóa học trung học. Nhưng vô ích! Kỹ thuật này rất quan trọng khi chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán phức tạp. Tuy nhiên, tôi cho rằng bạn tràn đầy mong muốn học hỏi điều gì đó mới? Hơn nữa, bạn sẽ có thể gây ấn tượng với giáo viên của mình ở trường đại học khi biết rằng bạn đã biết cách sử dụng kỹ thuật thường được học trong quá trình hình học giải tích. Vậy hãy bắt đầu.

Phương trình của một mặt phẳng không khác quá nhiều so với phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng, cụ thể là nó có dạng:

một số số (không phải tất cả đều bằng 0), nhưng các biến, ví dụ: v.v. Như bạn có thể thấy, phương trình của một mặt phẳng không khác lắm so với phương trình của một đường thẳng (hàm tuyến tính). Tuy nhiên, hãy nhớ những gì chúng tôi đã tranh luận với bạn? Ta đã nói rằng nếu ta có ba điểm không nằm trên một đường thẳng thì phương trình của mặt phẳng được lập duy nhất từ ​​chúng. Nhưng bằng cách nào? Tôi sẽ cố gắng giải thích cho bạn.

Vì phương trình mặt phẳng là:

Còn các điểm thuộc mặt phẳng này thì khi thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng ta được đẳng thức đúng:

Vì vậy, cần phải giải ba phương trình đã có ẩn số! Tình trạng khó xử! Tuy nhiên, chúng ta luôn có thể giả định rằng (đối với điều này, chúng ta cần chia cho). Do đó, chúng ta có ba phương trình với ba ẩn số:

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không giải quyết một hệ thống như vậy, mà viết ra biểu thức khó hiểu xuất phát từ nó:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

\[\left| (\begin(mảng)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(mảng)) \right| = 0\]

Dừng lại! Còn gì nữa đây? Một số mô-đun rất bất thường! Tuy nhiên, đối tượng mà bạn nhìn thấy trước mặt không liên quan gì đến mô-đun. Đối tượng này được gọi là định thức cấp ba. Từ giờ trở đi, khi bạn làm việc với phương pháp tọa độ trên một mặt phẳng, bạn sẽ thường bắt gặp những yếu tố quyết định này. Định thức bậc ba là gì? Thật kỳ lạ, nó chỉ là một con số. Vẫn còn phải hiểu chúng ta sẽ so sánh con số cụ thể nào với định thức.

Trước hết hãy viết định thức cấp ba dưới dạng tổng quát hơn:

Đâu là một số con số. Hơn nữa, theo chỉ mục đầu tiên, chúng tôi muốn nói đến số hàng và theo chỉ mục - số cột. Ví dụ, nó có nghĩa là số đã cho nằm ở giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ ba. Hãy đặt ra câu hỏi sau: chúng ta sẽ tính toán một định thức như vậy một cách chính xác như thế nào? Đó là, chúng ta sẽ so sánh nó với con số cụ thể nào? Đối với định thức chính xác bậc ba, có một quy tắc tam giác heuristic (trực quan), có dạng như sau:

1. Tích của các phần tử của đường chéo chính (từ trên cùng bên trái xuống dưới cùng bên phải) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất "vuông góc" với đường chéo chính tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai "vuông góc" với đường chéo chính đường chéo
2. Tích của các phần tử của đường chéo phụ (từ góc trên bên phải xuống góc dưới bên trái) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất "vuông góc" của đường chéo phụ tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai "vuông góc" của đường chéo phụ
3. Sau đó, định thức bằng sự khác biệt giữa các giá trị thu được ở bước và

Nếu chúng ta viết tất cả những điều này bằng số, thì chúng ta sẽ có biểu thức sau:

Tuy nhiên, bạn không cần phải ghi nhớ phương pháp tính toán ở dạng này, chỉ cần giữ trong đầu các hình tam giác và ý tưởng chính xác về những gì được thêm vào và những gì sau đó được trừ đi từ những gì).

Hãy minh họa phương pháp tam giác bằng một ví dụ:

1. Tính định thức:

Hãy tìm hiểu những gì chúng ta cộng và những gì chúng ta trừ:

Các thuật ngữ đi kèm với "dấu cộng":

Đây là đường chéo chính: tích của các phần tử là

Tam giác thứ nhất, "vuông góc với đường chéo chính: tích của các phần tử là

Tam giác thứ hai, "vuông góc với đường chéo chính: tích của các phần tử là

Chúng tôi thêm ba số:

Điều khoản đi kèm với một "trừ"

Đây là một đường chéo bên: tích của các phần tử là

Tam giác thứ nhất, "vuông góc với đường chéo phụ: tích các phần tử là

Tam giác thứ hai, "vuông góc với đường chéo phụ: tích của các phần tử là

Chúng tôi thêm ba số:

Tất cả những gì còn lại phải làm là lấy tổng các số hạng trừ trừ đi tổng các số hạng trừ:

Như vậy,

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp và siêu nhiên trong việc tính toán các định thức cấp ba. Điều quan trọng đơn giản là phải nhớ về hình tam giác và không mắc lỗi số học. Bây giờ bạn thử tự tính:

Chung ta kiểm tra:

1. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo chính:
2. Tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo chính:
3. Tổng các số hạng cộng:
4. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo bên:
5. Tam giác thứ hai, vuông góc với đường chéo bên:
6. Tổng các số hạng có dấu trừ:
7. Tổng các số hạng cộng trừ tổng các số hạng trừ:

Đây là một vài yếu tố quyết định khác cho bạn, hãy tự tính toán giá trị của chúng và so sánh với câu trả lời:

câu trả lời:

Chà, mọi thứ đã khớp chưa? Tuyệt vời, sau đó bạn có thể tiếp tục! Nếu có khó khăn, thì lời khuyên của tôi là: trên Internet có rất nhiều chương trình tính toán định thức trực tuyến. Tất cả những gì bạn cần là đưa ra định thức của riêng mình, tự tính toán và sau đó so sánh nó với những gì chương trình tính toán. Và như vậy cho đến khi kết quả bắt đầu khớp. Tôi chắc chắn rằng khoảnh khắc này sẽ không còn lâu nữa!

Bây giờ chúng ta hãy trở lại định thức mà tôi đã viết ra khi nói về phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước:

Tất cả những gì bạn phải làm là tính trực tiếp giá trị của nó (sử dụng phương pháp tam giác) và đặt kết quả bằng không. Đương nhiên, vì chúng là các biến nên bạn sẽ nhận được một số biểu thức phụ thuộc vào chúng. Chính biểu thức này sẽ là phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước không thẳng hàng!

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ đơn giản:

1. Dựng phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chúng tôi soạn một yếu tố quyết định cho ba điểm này:

Đơn giản hóa:

Bây giờ chúng tôi tính toán nó trực tiếp theo quy tắc của hình tam giác:

\[(\left| (\begin(mảng)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(mảng)) \ phải| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cchấm 5 \cchấm 6 - )\]

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm là:

Bây giờ hãy cố gắng tự mình giải quyết một vấn đề và sau đó chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề đó:

2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chà, hãy thảo luận về giải pháp ngay bây giờ:

Chúng tôi tạo ra một yếu tố quyết định:

Và tính toán giá trị của nó:

Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng:

Hoặc, giảm đi, chúng tôi nhận được:

Bây giờ có hai nhiệm vụ để tự kiểm soát:

1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

câu trả lời:

Mọi thứ đã khớp chưa? Một lần nữa, nếu có những khó khăn nhất định, thì lời khuyên của tôi là: hãy lấy ba điểm trên đầu của bạn (với khả năng cao là chúng sẽ không nằm trên một đường thẳng), dựng một mặt phẳng trên chúng. Và sau đó tự kiểm tra trực tuyến. Ví dụ: trên trang web:

Tuy nhiên, với sự trợ giúp của các định thức, chúng ta sẽ xây dựng không chỉ phương trình của mặt phẳng. Hãy nhớ rằng, tôi đã nói với bạn rằng đối với vectơ, không chỉ tích vô hướng được xác định. Ngoài ra còn có một vectơ, cũng như một sản phẩm hỗn hợp. Và nếu tích vô hướng của hai vectơ sẽ là một số, thì tích vectơ của hai vectơ sẽ là một vectơ và vectơ này sẽ vuông góc với các vectơ đã cho:

Hơn nữa, mô đun của nó sẽ bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và. Chúng ta sẽ cần vectơ này để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Làm thế nào chúng ta có thể tính tích chéo của các vectơ và nếu tọa độ của chúng được đưa ra? Định thức của bậc ba một lần nữa hỗ trợ chúng ta. Tuy nhiên, trước khi tôi chuyển sang thuật toán tính tích chéo, tôi phải thực hiện một sự lạc đề trữ tình nhỏ.

Sự lạc đề này liên quan đến các vectơ cơ sở.

Sơ đồ chúng được hiển thị trong hình:

Tại sao bạn nghĩ rằng chúng được gọi là cơ bản? Sự thật là :

Hoặc trong hình:

Hiệu lực của công thức này là hiển nhiên, bởi vì:

sản phẩm véc tơ

Bây giờ tôi có thể bắt đầu giới thiệu sản phẩm chéo:

Tích vectơ của hai vectơ là một vectơ được tính theo quy tắc sau:

Bây giờ hãy đưa ra một số ví dụ về tính tích chéo:

Ví dụ 1: Tìm tích các vectơ:

Giải pháp: Tôi tạo một yếu tố quyết định:

Và tôi tính toán nó:

Bây giờ, từ việc viết qua các vectơ cơ sở, tôi sẽ quay lại ký hiệu vectơ thông thường:

Như vậy:

Bây giờ cố gắng.

Sẵn sàng? Chung ta kiểm tra:

Và theo truyền thống hai nhiệm vụ cần kiểm soát:

1. Tìm tích chéo của các vectơ sau:
2. Tìm tích chéo của các vectơ sau:

câu trả lời:

Tích hỗn hợp của ba vectơ

Cấu trúc cuối cùng tôi cần là tích hỗn hợp của ba vectơ. Nó, giống như một vô hướng, là một con số. Có hai cách để tính toán nó. - qua định thức, - qua tích hỗn hợp.

Cụ thể, giả sử chúng ta có ba vectơ:

Sau đó, tích hỗn hợp của ba vectơ, được biểu thị bằng có thể được tính như sau:

1. - tức là tích hỗn hợp là tích vô hướng của một vectơ và tích vectơ của hai vectơ khác

Ví dụ, tích hỗn hợp của ba vectơ là:

Hãy thử tự tính toán bằng cách sử dụng tích vectơ và đảm bảo rằng kết quả khớp với nhau!

Và một lần nữa - hai ví dụ cho một giải pháp độc lập:

câu trả lời:

Lựa chọn hệ tọa độ

Chà, bây giờ chúng ta đã có tất cả nền tảng kiến ​​thức cần thiết để giải các bài toán lập thể phức tạp trong hình học. Tuy nhiên, trước khi tiếp tục trực tiếp với các ví dụ và thuật toán để giải quyết chúng, tôi tin rằng sẽ rất hữu ích khi xem xét câu hỏi sau: chính xác như thế nào chọn một hệ tọa độ cho một hình cụ thể. Rốt cuộc, chính sự lựa chọn vị trí tương đối của hệ tọa độ và hình trong không gian cuối cùng sẽ quyết định mức độ cồng kềnh của các phép tính.

Tôi xin nhắc bạn rằng trong phần này chúng ta đang xem xét các hình dạng sau:

1. hình khối
2. Lăng trụ thẳng (tam giác, lục giác…)
3. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác)
4. Khối tứ diện (giống như hình chóp tam giác)

Đối với hình khối hoặc hình lập phương, tôi khuyên bạn nên xây dựng như sau:

Đó là, tôi sẽ đặt hình "ở góc". Khối lập phương và hộp là những con số rất tốt. Đối với chúng, bạn luôn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ các đỉnh của nó. Ví dụ: nếu (như trong hình)

thì tọa độ đỉnh là:

Tất nhiên, bạn không cần phải nhớ điều này, nhưng bạn nên nhớ cách tốt nhất để định vị một khối lập phương hoặc một hình hộp chữ nhật.

lăng kính thẳng

Lăng kính là một con số có hại hơn. Bạn có thể sắp xếp nó trong không gian theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng sau đây là lựa chọn tốt nhất:

Lăng kính tam giác:

Đó là, chúng ta đặt hoàn toàn một trong các cạnh của tam giác trên trục và một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lăng kính lục giác:

Nghĩa là, một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ và một trong các cạnh nằm trên trục.

Kim tự tháp tứ giác và lục giác:

Một tình huống tương tự như một khối lập phương: chúng ta kết hợp hai cạnh của cơ sở với các trục tọa độ, chúng ta kết hợp một trong các đỉnh với gốc tọa độ. Khó khăn nhỏ duy nhất sẽ là tính tọa độ của điểm.

Đối với kim tự tháp lục giác - giống như đối với lăng trụ lục giác. Nhiệm vụ chính sẽ lại là tìm tọa độ của đỉnh.

Tứ diện (hình chóp tam giác)

Tình huống rất giống với tình huống tôi đã đưa ra cho lăng trụ tam giác: một đỉnh trùng với gốc tọa độ, một cạnh nằm trên trục tọa độ.

Chà, bây giờ bạn và tôi cuối cùng cũng sắp bắt đầu giải quyết vấn đề. Từ những gì tôi đã nói ở phần đầu của bài viết, bạn có thể rút ra kết luận sau: hầu hết các bài toán C2 được chia thành 2 loại: bài toán về góc và bài toán về khoảng cách. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các bài toán tìm góc. Đổi lại, chúng được chia thành các loại sau (khi độ phức tạp tăng lên):

Vấn đề tìm góc

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng
2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Hãy xem xét các vấn đề này một cách tuần tự: hãy bắt đầu bằng cách tìm góc giữa hai đường thẳng. Nào, hãy nhớ rằng, bạn và tôi đã từng giải những ví dụ tương tự trước đây chưa? Bạn còn nhớ, bởi vì chúng ta đã có một cái gì đó tương tự... Chúng ta đang tìm một góc giữa hai vectơ. Tôi nhắc bạn, nếu hai vectơ đã cho: và, thì góc giữa chúng được tìm thấy từ mối quan hệ:

Bây giờ chúng ta có một mục tiêu - tìm góc giữa hai đường thẳng. Hãy chuyển sang "bức tranh phẳng":

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bao nhiêu góc? Đã có điều. Đúng, chỉ có hai trong số chúng không bằng nhau, trong khi những cái khác thẳng đứng với chúng (và do đó trùng với chúng). Vậy ta phải xét góc giữa hai đường thẳng là: hay ? Ở đây quy tắc là: góc giữa hai đường thẳng luôn không lớn hơn độ. Tức là trong hai góc ta sẽ luôn chọn góc có số đo bé nhất. Tức là trong hình này, góc giữa hai đường thẳng bằng nhau. Để không phải bận tâm đến việc tìm góc nhỏ nhất trong hai góc mỗi lần, các nhà toán học xảo quyệt đã đề xuất sử dụng mô-đun. Như vậy, góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

Bạn, với tư cách là một độc giả chăm chú, hẳn đã có một câu hỏi: trên thực tế, chúng ta lấy chính những con số này ở đâu để tính cosin của một góc? Trả lời: chúng tôi sẽ lấy chúng từ các vectơ chỉ phương của các dòng! Do đó, thuật toán tìm góc giữa hai đường thẳng như sau:

1. Ta áp dụng công thức 1.

Hoặc chi tiết hơn:

1. Ta đang tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất
2. Ta đang tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai
3. Tính mô đun của tích vô hướng của chúng
4. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ đầu tiên
5. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ thứ hai
6. Nhân kết quả của điểm 4 với kết quả của điểm 5
7. Chúng tôi chia kết quả của điểm 3 cho kết quả của điểm 6. Chúng tôi nhận được cosin của góc giữa các dòng
8. Nếu kết quả này cho phép chúng tôi tính toán chính xác góc, chúng tôi sẽ tìm nó
9. Mặt khác, chúng tôi viết thông qua arccosine

Chà, bây giờ là lúc để chuyển sang các nhiệm vụ: Tôi sẽ trình bày chi tiết lời giải của hai nhiệm vụ đầu tiên, tôi sẽ trình bày ngắn gọn lời giải của một nhiệm vụ khác và tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời cho hai nhiệm vụ cuối cùng, bạn phải làm tất cả các tính toán cho họ cho mình.

Nhiệm vụ:

1. Ở bên phải tet-ra-ed-re, tìm-di-te góc giữa bạn-so-that tet-ra-ed-ra và me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Trong sáu-than-pi-ra-mi-de, trăm-ro-na-os-no-va-niya bằng cách nào đó bằng nhau, và các cạnh bên bằng nhau, hãy tìm góc giữa đường thẳng dòng và.

3. Độ dài của tất cả các cạnh của bốn-bạn-rech-than-noy pi-ra-mi-dy thuận tay phải bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng và nếu từ-re-zok - you-so-that đã cho pi-ra-mi-dy, điểm là se-re-di-on bo-ko-th của cô ấy

4. Trên cạnh của hình lập phương kẻ từ-me-che-đến một điểm sao cho Tìm-di-te góc giữa hai đường thẳng và

5. Điểm - se-re-di-trên các cạnh của khối lập phương Nai-di-te góc giữa hai đường thẳng và .

Không phải ngẫu nhiên mà tôi đặt các nhiệm vụ theo thứ tự này. Trong khi bạn chưa có thời gian để bắt đầu điều hướng phương pháp tọa độ, bản thân tôi sẽ phân tích các số liệu "có vấn đề" nhất và tôi sẽ để bạn giải quyết khối lập phương đơn giản nhất! Dần dần bạn phải học cách làm việc với tất cả các số liệu, tôi sẽ tăng mức độ phức tạp của các nhiệm vụ theo từng chủ đề.

Hãy bắt đầu giải quyết vấn đề:

1. Vẽ một tứ diện, đặt nó vào hệ tọa độ như tôi đã đề xuất trước đó. Vì tứ diện đều nên tất cả các mặt của nó (kể cả mặt đáy) đều là tam giác đều. Vì chúng ta không được cung cấp độ dài của cạnh nên tôi có thể lấy nó bằng nhau. Tôi nghĩ bạn hiểu rằng góc sẽ không thực sự phụ thuộc vào việc khối tứ diện của chúng ta sẽ bị "kéo dài" bao nhiêu?. Tôi cũng sẽ vẽ chiều cao và trung tuyến trong tứ diện. Trên đường đi, tôi sẽ vẽ phần đế của nó (nó cũng sẽ hữu ích cho chúng ta).

Tôi cần tìm góc giữa và . Chúng ta biết những gì? Ta chỉ biết tọa độ của điểm. Vì vậy, chúng ta cần tìm thêm tọa độ của các điểm. Bây giờ chúng ta nghĩ: một điểm là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác hoặc trung tuyến) của một tam giác. Một dấu chấm là một điểm cao. Điểm là trung điểm của đoạn. Sau đó, cuối cùng chúng ta cần tìm: tọa độ của các điểm: .

Hãy bắt đầu với cách đơn giản nhất: tọa độ điểm. Nhìn vào hình vẽ: Rõ ràng là ứng dụng của một điểm bằng 0 (điểm nằm trên một mặt phẳng). Bậc của nó bằng nhau (vì nó là trung tuyến). Nó là khó khăn hơn để tìm abscissa của nó. Tuy nhiên, điều này có thể dễ dàng thực hiện trên cơ sở định lý Pitago: Xét một tam giác. Cạnh huyền của nó bằng nhau và một trong hai cạnh bằng nhau Khi đó:

Cuối cùng chúng ta có:

Bây giờ hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là ứng dụng của nó một lần nữa bằng 0, và tung độ của nó giống với tung độ của một điểm, tức là. Hãy tìm abscissa của nó. Điều này được thực hiện khá tầm thường nếu một người nhớ rằng chiều cao của một tam giác đều được chia cho giao điểm theo tỷ lệđếm từ trên xuống. Vì:, nên trục hoành mong muốn của điểm, bằng độ dài của đoạn thẳng, bằng:. Vậy tọa độ của điểm là:

Hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là hoành độ và hoành độ của nó trùng với hoành độ và hoành độ của điểm. Và phần đính bằng chiều dài của đoạn. - đây là một trong những chân của hình tam giác. Cạnh huyền của tam giác là một đoạn - chân. Nó được tìm kiếm vì những lý do mà tôi đã tô đậm:

Điểm là trung điểm của đoạn. Khi đó chúng ta cần nhớ công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:

Vậy là xong, bây giờ chúng ta tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương:

Chà, mọi thứ đã sẵn sàng: chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu vào công thức:

Như vậy,

Trả lời:

Bạn không nên sợ những câu trả lời "khủng khiếp" như vậy: đối với các vấn đề C2, đây là một thực tế phổ biến. Tôi thà ngạc nhiên trước câu trả lời "đẹp" trong phần này. Ngoài ra, như bạn đã lưu ý, thực tế tôi không dùng đến bất cứ điều gì khác ngoài định lý Pythagore và tính chất về các chiều cao của một tam giác đều. Đó là, để giải quyết vấn đề lập thể, tôi đã sử dụng mức tối thiểu của lập thể. Lợi ích trong việc này bị "dập tắt" một phần bởi những phép tính khá rườm rà. Nhưng chúng khá thuật toán!

2. Vẽ một hình chóp lục giác đều cùng với hệ tọa độ, cũng như mặt đáy của nó:

Chúng ta cần tìm góc giữa các đường thẳng và . Do đó, nhiệm vụ của chúng ta là tìm tọa độ của các điểm: . Chúng ta sẽ tìm tọa độ của ba điểm cuối cùng từ hình vẽ nhỏ và chúng ta sẽ tìm tọa độ của đỉnh thông qua tọa độ của điểm. Rất nhiều công việc, nhưng phải bắt đầu!

a) Tọa độ: rõ ràng là ứng dụng và tọa độ của nó bằng không. Hãy tìm abscissa. Để làm điều này, hãy xem xét một tam giác bên phải. Than ôi, trong đó chúng ta chỉ biết cạnh huyền, bằng. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm chân (vì rõ ràng là hai lần chiều dài của chân sẽ cho chúng ta trục hoành của điểm). Làm thế nào chúng ta có thể tìm kiếm nó? Hãy nhớ lại chúng ta có loại hình gì ở đáy của kim tự tháp? Đây là một hình lục giác đều. Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh và tất cả các góc đều bằng nhau. Chúng ta cần tìm một góc như vậy. Bất kỳ ý tưởng? Có rất nhiều ý tưởng, nhưng có một công thức:

Tổng các góc của n-giác đều là .

Do đó, tổng các góc của một lục giác đều là độ. Khi đó mỗi góc bằng:

Hãy nhìn vào bức tranh một lần nữa. Rõ ràng phân giác là tia phân giác của góc. Khi đó góc là độ. Sau đó:

Sau đo ở đâu.

Vậy nó có tọa độ

b) Bây giờ ta dễ dàng tìm được tọa độ của điểm: .

c) Tìm tọa độ của điểm. Vì trục hoành của nó trùng với độ dài của đoạn nên nó bằng nhau. Tìm tọa độ cũng không khó lắm: nếu chúng ta nối các điểm và biểu thị giao điểm của đường thẳng, chẳng hạn như đối. (tự làm thi công đơn giản). Do đó, tung độ của điểm B bằng tổng độ dài các đoạn thẳng. Hãy nhìn vào hình tam giác một lần nữa. Sau đó

Thì kể từ đó điểm có tọa độ

d) Tìm tọa độ của điểm. Xét một hình chữ nhật và chứng minh rằng Do đó, tọa độ của điểm là:

e) Vẫn phải tìm tọa độ của đỉnh. Rõ ràng là hoành độ và hoành độ của nó trùng với hoành độ và hoành độ của điểm. Hãy tìm một ứng dụng. Kể từ đó. Xét một tam giác vuông. Bởi điều kiện của vấn đề, cạnh bên. Đây là cạnh huyền của tam giác của tôi. Khi đó chiều cao của hình chóp là chân.

Khi đó điểm có tọa độ:

Thế là xong, tôi có tọa độ của tất cả các điểm mà tôi quan tâm. Tôi đang tìm tọa độ của các vectơ chỉ đạo của các đường thẳng:

Chúng tôi đang tìm góc giữa các vectơ này:

Trả lời:

Một lần nữa, khi giải bài toán này, tôi không sử dụng bất kỳ thủ thuật phức tạp nào, ngoại trừ công thức tính tổng các góc của n-giác đều, cũng như định nghĩa cosin và sin của tam giác vuông.

3. Vì một lần nữa chúng ta không được cung cấp độ dài của các cạnh trong kim tự tháp, nên tôi sẽ coi chúng bằng một. Do đó, vì TẤT CẢ các cạnh, không chỉ các cạnh, đều bằng nhau, nên ở đáy của kim tự tháp và tôi là một hình vuông, và các mặt bên là các tam giác đều. Hãy mô tả một kim tự tháp như vậy, cũng như cơ sở của nó trên một mặt phẳng, đánh dấu tất cả các dữ liệu được đưa ra trong văn bản của vấn đề:

Chúng tôi đang tìm kiếm các góc giữa và. Tôi sẽ tính toán rất ngắn gọn khi tìm tọa độ của các điểm. Bạn sẽ cần "giải mã" chúng:

b) - giữa đoạn. Tọa độ của cô ấy:

c) Tôi sẽ tìm độ dài của đoạn bằng cách sử dụng định lý Pitago trong một tam giác. Tôi sẽ tìm theo định lý Pitago trong một tam giác.

tọa độ:

d) - giữa đoạn. tọa độ của nó là

e) Vectơ tọa độ

f) Toạ độ véc tơ

g) Tìm góc:

Khối lập phương là hình đơn giản nhất. Tôi chắc rằng bạn có thể tự tìm ra nó. Đáp án bài 4 và 5 như sau:

Tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Chà, thời gian cho những câu đố đơn giản đã hết! Bây giờ các ví dụ sẽ còn khó khăn hơn. Để tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng ta làm như sau:

1. Sử dụng ba điểm, chúng tôi xây dựng phương trình của mặt phẳng
   ,
   sử dụng định thức bậc ba.
2. Bằng hai điểm, chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của vectơ chỉ đạo của đường thẳng:
3. Ta áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với công thức chúng ta đã sử dụng để tìm góc giữa hai đường thẳng. Cấu trúc của phía bên phải vẫn giống như vậy, và ở phía bên trái, chúng tôi hiện đang tìm kiếm một sin chứ không phải cosin như trước đây. Chà, một hành động khó chịu đã được thêm vào - tìm kiếm phương trình của mặt phẳng.

Đừng gác lại giải ví dụ:

1. Os-no-va-ni-em thẳng-giải-của-tôi-chúng-ta-la-et-xia bằng-nhưng-nghèo-ren-ny tam giác-nick-bạn-với-giải-đó-chúng ta bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2. Trong một hình chữ nhật pa-ral-le-le-pi-pe-de từ Tây Nai-di-te góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3. Trong lăng trụ đứng sáu cạnh đều, các cạnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

4. Trong tam giác bên phải pi-ra-mi-de với os-but-va-ni-em từ phía tây của góc sườn Nai-di-te, mặt phẳng ob-ra-zo-van-ny của os -no-va-niya và thẳng-my, đi qua se-re-di-na của xương sườn và

5. Độ dài tất cả các cạnh của tứ giác vuông pi-ra-mi-dy có đỉnh bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, nếu điểm đó nằm trên cạnh bo-ko-in-th của pi-ra-mi-dy.

Một lần nữa, tôi sẽ giải chi tiết hai vấn đề đầu tiên, vấn đề thứ ba - ngắn gọn và tôi để hai vấn đề cuối cùng để bạn tự giải quyết. Ngoài ra, bạn đã phải xử lý các hình chóp tam giác và tứ giác, nhưng chưa phải với hình lăng trụ.

Các giải pháp:

1. Vẽ một lăng trụ, cũng như cơ sở của nó. Hãy kết hợp nó với hệ tọa độ và đánh dấu tất cả dữ liệu được đưa ra trong báo cáo vấn đề:

Tôi xin lỗi vì một số hành vi không tuân thủ tỷ lệ, nhưng trên thực tế, điều này không quá quan trọng để giải quyết vấn đề. Máy bay chỉ là "bức tường phía sau" của lăng kính của tôi. Chỉ cần đoán rằng phương trình của một mặt phẳng như vậy có dạng:

Tuy nhiên, điều này cũng có thể được hiển thị trực tiếp:

Chúng tôi chọn ba điểm tùy ý trên mặt phẳng này: ví dụ: .

Hãy lập phương trình mặt phẳng:

Bài tập cho bạn: hãy tự tính định thức này. Bạn đã thành công? Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng:

Hoặc đơn giản

Như vậy,

Để giải ví dụ, tôi cần tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì điểm trùng với gốc nên tọa độ của vectơ sẽ đơn giản trùng với tọa độ của điểm Để làm được điều này, trước tiên ta tìm tọa độ của điểm.

Để làm điều này, hãy xem xét một hình tam giác. Hãy vẽ một chiều cao (nó cũng là trung tuyến và phân giác) từ trên xuống. Vì vậy hoành độ của điểm bằng nhau. Để tìm trục hoành của điểm này, chúng ta cần tính độ dài của đoạn thẳng. Theo định lý Pitago ta có:

Khi đó điểm có tọa độ:

Một dấu chấm là một "nổi lên" trên một dấu chấm:

Khi đó tọa độ của vectơ:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, về cơ bản không có gì khó khăn trong việc giải quyết những vấn đề như vậy. Trên thực tế, "độ thẳng" của một hình chẳng hạn như lăng kính sẽ đơn giản hóa quá trình hơn một chút. Bây giờ hãy chuyển sang ví dụ tiếp theo:

2. Chúng tôi vẽ một hình bình hành, vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó, đồng thời vẽ riêng phần đế dưới của nó:

Đầu tiên, ta tìm phương trình của mặt phẳng: Tọa độ của ba điểm nằm trong nó:

(hai tọa độ đầu tiên thu được một cách rõ ràng và bạn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ cuối cùng từ ảnh từ điểm). Sau đó, chúng tôi soạn phương trình của mặt phẳng:

Chúng tôi tính toán:

Ta đang tìm tọa độ của vectơ chỉ phương: Rõ ràng tọa độ của nó trùng với tọa độ của điểm phải không? Làm thế nào để tìm tọa độ? Đây là các tọa độ của điểm, được nâng dọc theo trục ứng dụng lên một! . Sau đó, chúng tôi đang tìm kiếm góc mong muốn:

Trả lời:

3. Vẽ một hình chóp lục giác đều, sau đó vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó.

Ở đây vẽ mặt phẳng thậm chí còn có vấn đề, chưa nói đến cách giải bài toán này, còn phương pháp tọa độ thì không quan tâm! Ưu điểm chính của nó nằm ở tính linh hoạt của nó!

Mặt phẳng đi qua ba điểm: . Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của họ:

1) . Tự hiển thị tọa độ cho hai điểm cuối cùng. Bạn sẽ cần phải giải quyết vấn đề với một kim tự tháp lục giác cho việc này!

2) Ta lập phương trình mặt phẳng:

Chúng ta đang tìm tọa độ của vectơ: . (Xem lại bài toán hình chóp tam giác!)

3) Chúng tôi đang tìm kiếm một góc:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, không có gì quá khó khăn trong những nhiệm vụ này. Bạn chỉ cần phải rất cẩn thận với rễ. Đối với hai vấn đề cuối cùng, tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời:

Như bạn có thể thấy, kỹ thuật giải bài toán ở mọi nơi đều giống nhau: nhiệm vụ chính là tìm tọa độ của các đỉnh và thay thế chúng vào một số công thức. Chúng ta vẫn còn phải xem xét thêm một loại bài toán để tính các góc, đó là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Thuật toán giải sẽ như sau:

1. Đối với ba điểm, chúng tôi đang tìm phương trình của mặt phẳng thứ nhất:
2. Đối với ba điểm còn lại, chúng ta đang tìm phương trình của mặt phẳng thứ hai:
3. Ta áp dụng công thức:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với hai công thức trước, với sự trợ giúp của công thức này, chúng ta đang tìm kiếm các góc giữa các đường thẳng và giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Vì vậy, việc ghi nhớ điều này sẽ không khó đối với bạn. Hãy nhảy ngay vào vấn đề:

1. Một lăng trụ đứng tam giác vuông đáy bằng nhau, đường kính của mặt bên bằng nhau. Tìm góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy Bài giải.

2. Trong tứ-bạn-re-than-noy pi-ra-mi-de, tất cả các cạnh của ai đó đều bằng nhau, tìm sin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng Ko-Stu, đi qua quan điểm của per-pen-di-ku-lyar-nhưng thẳng-của tôi.

3. Trong một lăng trụ tứ diện đều, các cạnh của lăng trụ đứng bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau. Trên mép từ-tôi-che-đến điểm sao cho. Tìm góc giữa mặt phẳng và

4. Trong lăng trụ đứng tứ giác đều, các cạnh đáy bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau. Trên cạnh kẻ-tôi-che-đến một điểm sao cho Tìm góc giữa hai mặt phẳng và .

5. Trong hình lập phương, tìm tọa độ của góc giữa mặt phẳng và

Giải pháp vấn đề:

1. Tôi vẽ một lăng trụ tam giác đều (ở đáy - một tam giác đều) và đánh dấu trên đó các mặt phẳng xuất hiện trong điều kiện của bài toán:

Ta cần tìm phương trình của hai mặt phẳng: Phương trình cơ sở thu được đơn giản: bạn có thể lập định thức tương ứng cho ba điểm, nhưng tôi sẽ lập phương trình ngay:

Bây giờ ta hãy tìm phương trình Điểm có tọa độ Điểm - Vì - đường trung tuyến và đường cao của tam giác, ta dễ dàng tìm được theo định lý Pitago trong một tam giác. Khi đó điểm có tọa độ: Tìm ứng dụng của điểm Để làm điều này, xét một tam giác vuông

Sau đó, chúng tôi nhận được các tọa độ sau: Chúng tôi lập phương trình của mặt phẳng.

Chúng tôi tính toán góc giữa các mặt phẳng:

Trả lời:

2. Lập bản vẽ:

Điều khó khăn nhất là hiểu nó là loại mặt phẳng bí ẩn nào, đi vuông góc với một điểm. Vâng, điều chính là nó là gì? Điều chính là sự chú ý! Thật vậy, đường thẳng vuông góc. Đường thẳng cũng vuông góc. Khi đó mặt phẳng đi qua hai đường thẳng này sẽ vuông góc với đường thẳng và sẽ đi qua điểm. Mặt phẳng này cũng đi qua đỉnh của kim tự tháp. Sau đó, mặt phẳng mong muốn - Và mặt phẳng đã được trao cho chúng tôi. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của các điểm.

Ta tìm tọa độ của điểm qua điểm. Có thể dễ dàng suy ra từ một hình vẽ nhỏ rằng tọa độ của điểm sẽ như sau: Bây giờ còn lại điều gì cần tìm để tìm tọa độ của đỉnh của kim tự tháp? Vẫn cần tính chiều cao của nó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng cùng một định lý Pythagore: đầu tiên, chứng minh rằng (một cách tầm thường từ các tam giác nhỏ tạo thành một hình vuông ở đáy). Vì theo điều kiện, ta có:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng: tọa độ đỉnh:

Ta lập phương trình mặt phẳng:

Bạn đã là một chuyên gia trong việc tính toán định thức. Dễ dàng bạn sẽ nhận được:

Hoặc ngược lại (nếu chúng ta nhân cả hai phần với căn của hai)

Bây giờ hãy tìm phương trình của mặt phẳng:

(Bạn không quên cách chúng ta lập phương trình của mặt phẳng, phải không? Nếu bạn không hiểu dấu trừ này đến từ đâu, thì hãy quay lại định nghĩa về phương trình của mặt phẳng! Hóa ra là của tôi máy bay thuộc về nguồn gốc!)

Chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định:

(Bạn có thể nhận thấy rằng phương trình của mặt phẳng trùng với phương trình của đường thẳng đi qua các điểm và! Hãy nghĩ tại sao!)

Bây giờ chúng tôi tính toán góc:

Ta cần tìm sin:

Trả lời:

3. Một câu hỏi hóc búa: lăng trụ chữ nhật là gì, bạn nghĩ sao? Nó chỉ là một tập song song nổi tiếng với bạn! Vẽ ngay! Bạn thậm chí không thể mô tả riêng phần đế, có rất ít công dụng từ nó ở đây:

Mặt phẳng, như chúng ta đã lưu ý trước đó, được viết dưới dạng một phương trình:

Bây giờ chúng ta làm một chiếc máy bay

Ta lập ngay phương trình của mặt phẳng:

Tìm kiếm một góc

Bây giờ câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Chà, bây giờ là lúc để nghỉ ngơi, bởi vì bạn và tôi đều rất tuyệt và đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ!

Tọa độ và vectơ. Trình độ cao

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ thảo luận với các bạn một loại bài toán khác có thể giải bằng phương pháp tọa độ: bài toán khoảng cách. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp sau:

1. Tính khoảng cách giữa các đường xiên.

Tôi đã đặt hàng các nhiệm vụ nhất định khi độ phức tạp của chúng tăng lên. Dễ nhất là tìm chỉ vào khoảng cách máy bay và phần khó nhất là tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau. Mặc dù, tất nhiên, không có gì là không thể! Chúng ta đừng trì hoãn và ngay lập tức tiến hành xem xét loại vấn đề đầu tiên:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta cần gì để giải quyết vấn đề này?

1. Tọa độ điểm

Vì vậy, ngay sau khi chúng tôi nhận được tất cả các dữ liệu cần thiết, chúng tôi áp dụng công thức:

Các bạn hẳn đã biết cách lập phương trình mặt phẳng từ các bài toán trước mà tôi đã phân tích ở phần trước. Hãy bắt tay vào công việc ngay. Sơ đồ như sau: 1, 2 - Tôi giúp bạn quyết định, và một số chi tiết, 3, 4 - chỉ có câu trả lời, bạn tự đưa ra quyết định và so sánh. Đã bắt đầu!

Nhiệm vụ:

1. Cho một hình lập phương. Độ dài cạnh của hình lập phương là Khoảng cách tìm-di-te từ se-re-di-ny từ cắt đến phẳng

2. Cho đúng-vil-naya bốn-bạn-rekh-than-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe cạnh trăm-ro-trên os-no-va-nia là bằng nhau. Tìm-di-những khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng mà - se-re-di-trên các cạnh.

3. Trong tam giác vuông pi-ra-mi-de với os-but-va-ni-em, cạnh còn lại bằng nhau, và một trăm-ro-on os-no-van-niya cũng bằng nhau. Tìm-di-các khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng.

4. Trong lăng trụ đứng sáu cạnh đều, các cạnh đều bằng nhau. Tìm-di-các khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Các giải pháp:

1. Vẽ một khối lập phương có các cạnh đơn, dựng một đoạn thẳng và một mặt phẳng, ký hiệu giữa đoạn thẳng bằng chữ cái

.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với một điều dễ dàng: tìm tọa độ của một điểm. Kể từ đó (hãy nhớ tọa độ của giữa đoạn!)

Bây giờ chúng ta lập phương trình của mặt phẳng qua ba điểm

\[\left| (\begin(mảng)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(mảng)) \right| = 0\]

Bây giờ tôi có thể bắt đầu tìm khoảng cách:

2. Chúng tôi bắt đầu lại với một bản vẽ, trên đó chúng tôi đánh dấu tất cả dữ liệu!

Đối với một kim tự tháp, sẽ rất hữu ích nếu bạn vẽ phần đế của nó một cách riêng biệt.

Ngay cả việc tôi vẽ như chân gà cũng không ngăn cản chúng ta giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng!

Bây giờ thật dễ dàng để tìm tọa độ của một điểm

Do tọa độ của điểm

2. Vì tọa độ của điểm a là trung điểm của đoạn thẳng nên

Ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của hai điểm nữa trên mặt phẳng, ta lập phương trình của mặt phẳng và rút gọn:

\[\left| (\left| (\begin(mảng)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(mảng)) \right|) \right| = 0\]

Vì điểm có tọa độ: , nên ta tính khoảng cách:

Câu trả lời (rất hiếm!):

Chà, bạn đã hiểu chưa? Đối với tôi, dường như mọi thứ ở đây đều mang tính kỹ thuật như trong các ví dụ mà chúng tôi đã xem xét cùng bạn trong phần trước. Vì vậy, tôi chắc chắn rằng nếu bạn đã nắm vững tài liệu đó, thì bạn sẽ không khó để giải quyết hai vấn đề còn lại. Tôi sẽ chỉ cho bạn câu trả lời:

Tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng

Trong thực tế, không có gì mới ở đây. Làm thế nào một đường thẳng và một mặt phẳng có thể được định vị tương đối với nhau? Chúng có tất cả các khả năng: cắt nhau, hoặc một đường thẳng song song với mặt phẳng. Bạn nghĩ khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng mà đường thẳng đã cho cắt nhau là gì? Đối với tôi, dường như rõ ràng là khoảng cách như vậy bằng không. trường hợp không thú vị.

Trường hợp thứ hai phức tạp hơn: ở đây khoảng cách đã khác không. Tuy nhiên, vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên mỗi điểm của đường thẳng cách đều mặt phẳng này:

Như vậy:

Và điều này có nghĩa là nhiệm vụ của tôi đã được rút gọn thành nhiệm vụ trước đó: chúng ta đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng, chúng ta đang tìm phương trình của mặt phẳng, chúng ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Trên thực tế, những nhiệm vụ như vậy trong kỳ thi là cực kỳ hiếm. Tôi chỉ tìm được một vấn đề và dữ liệu trong đó sao cho phương pháp tọa độ không áp dụng được cho lắm!

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một loại vấn đề khác, quan trọng hơn nhiều:

Tính khoảng cách của một điểm đến một đường

Chúng ta sẽ cần gì?

1. Tọa độ của điểm mà từ đó chúng ta đang tìm kiếm khoảng cách:

2. Tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên một đường thẳng

3. Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng

Chúng ta sử dụng công thức nào?

Mẫu số của phân số này có ý nghĩa gì đối với bạn và vì vậy cần phải rõ ràng: đây là độ dài của vectơ chỉ đạo của đường thẳng. Đây là một tử số rất phức tạp! Biểu thức có nghĩa là mô đun (độ dài) của tích vectơ của các vectơ và Cách tính tích vectơ chúng ta đã nghiên cứu ở phần trước của bài viết. Làm mới kiến ​​​​thức của bạn, nó sẽ rất hữu ích cho chúng tôi ngay bây giờ!

Do đó, thuật toán giải quyết vấn đề sẽ như sau:

1. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của điểm mà chúng tôi đang tìm kiếm khoảng cách:

2. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng mà chúng tôi đang tìm kiếm khoảng cách:

3. Dựng véc tơ

4. Ta dựng vectơ chỉ phương của đoạn thẳng

5. Tính tích chéo

6. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ kết quả:

7. Tính quãng đường:

Chúng tôi có rất nhiều công việc và các ví dụ sẽ khá phức tạp! Vì vậy, bây giờ tập trung tất cả sự chú ý của bạn!

1. Dana là một pi-ra-mi-da hình tam giác thuận tay phải có một đỉnh. Một trăm-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy là bình đẳng, bạn-so-ta là bình đẳng. Tìm-di-những khoảng cách từ se-re-di-ny của cạnh bo-ko-thẳng đến đường thẳng, trong đó các điểm và là se-re-di-ny của các cạnh và đồng-từ-vet -stven-nhưng.

2. Độ dài của các xương sườn và góc vuông-không-para-ral-le-le-pi-pe-da lần lượt bằng nhau và Tìm-di-te khoảng cách từ đỉnh-shi-ny đến đường thẳng của tôi

3. Trong lăng trụ đứng sáu cạnh, tất cả các cạnh của một đám mây đều bằng nhau tìm-đi-những khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Các giải pháp:

1. Chúng tôi tạo một bản vẽ gọn gàng, trên đó chúng tôi đánh dấu tất cả dữ liệu:

Chúng tôi có rất nhiều công việc cho bạn! Trước tiên tôi muốn mô tả bằng lời những gì chúng ta sẽ tìm kiếm và theo thứ tự nào:

1. Tọa độ của các điểm và

2. Tọa độ điểm

3. Tọa độ của các điểm và

4. Toạ độ của vectơ và

5. Sản phẩm chéo của họ

6. Độ dài vectơ

7. Độ dài của tích vectơ

8. Khoảng cách từ đến

Chà, chúng ta có rất nhiều việc phải làm! Cùng xắn tay áo lên nào!

1. Để tìm tọa độ chiều cao của hình chóp, ta cần biết tọa độ của điểm Ứng dụng của nó bằng 0 và hoành độ bằng hoành độ của nó. Cuối cùng, chúng tôi đã có tọa độ:

tọa độ điểm

2. - giữa đoạn

3. - giữa đoạn

trung điểm

4. Tọa độ

tọa độ véc tơ

5. Tính tích vectơ:

6. Độ dài của vectơ: cách dễ nhất là thay đoạn thẳng đó là trung tuyến của tam giác, nghĩa là nó bằng nửa cạnh đáy. Vì thế.

7. Ta xét độ dài của tích vectơ:

8. Cuối cùng, tìm khoảng cách:

Phù, vậy thôi! Thành thật mà nói, tôi sẽ nói với bạn: giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp truyền thống (thông qua các công trình) sẽ nhanh hơn nhiều. Nhưng ở đây tôi đã rút gọn mọi thứ thành một thuật toán làm sẵn! Tôi nghĩ rằng thuật toán giải pháp rõ ràng với bạn? Vì vậy, tôi sẽ yêu cầu bạn tự giải quyết hai vấn đề còn lại. So sánh câu trả lời?

Một lần nữa, tôi nhắc lại: việc giải quyết những vấn đề này thông qua các công trình sẽ dễ dàng hơn (nhanh hơn) thay vì sử dụng phương pháp tọa độ. Tôi đã trình bày cách giải này chỉ để cho bạn thấy một phương pháp phổ biến cho phép bạn “không hoàn thành bất cứ điều gì”.

Cuối cùng, hãy xem xét lớp vấn đề cuối cùng:

Tính khoảng cách giữa các đường xiên

Ở đây, thuật toán giải quyết vấn đề sẽ tương tự như thuật toán trước. Những gì chúng tôi có:

3. Bất kỳ vectơ nào nối các điểm của đường thẳng thứ nhất và đường thẳng thứ hai:

Làm thế nào để chúng ta tìm thấy khoảng cách giữa các dòng?

Công thức là:

Tử số là mô-đun của tích hỗn hợp (chúng tôi đã giới thiệu ở phần trước) và mẫu số giống như trong công thức trước đó (mô-đun của tích vectơ của các vectơ chỉ đạo của các dòng, khoảng cách giữa chúng ta đang tìm).

tôi sẽ nhắc bạn rằng

Sau đó công thức khoảng cách có thể được viết lại như:

Chia định thức này cho định thức! Mặc dù, thành thật mà nói, tôi không có tâm trạng để đùa ở đây! Trên thực tế, công thức này rất cồng kềnh và dẫn đến các phép tính khá phức tạp. Nếu tôi là bạn, tôi sẽ chỉ sử dụng nó như là phương sách cuối cùng!

Hãy thử giải một số bài toán bằng phương pháp trên:

1. Trong lăng trụ tam giác vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau, hãy tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và.

2. Cho một lăng trụ tam giác có cạnh phải, tất cả các cạnh của os-no-va-niya của ai đó đều bằng Se-che-tion, đi qua cạnh còn lại và các cạnh của se-re-di-nu là yav-la-et-sya vuông-ra-tom. Tìm-di-te disto-I-nie giữa thẳng-we-mi và

Tôi quyết định điều đầu tiên, và dựa trên nó, bạn quyết định điều thứ hai!

1. Tôi vẽ một lăng kính và đánh dấu các đường và

Tọa độ điểm C: thì

tọa độ điểm

tọa độ véc tơ

tọa độ điểm

tọa độ véc tơ

tọa độ véc tơ

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(mảng)(*(20)(l))(\begin(mảng)(*(20)(c))0&1&0\end(mảng))\\(\begin(mảng)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(mảng))\end(mảng)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Chúng tôi xem xét sản phẩm chéo giữa các vectơ và

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(mảng)\end(mảng) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Bây giờ chúng tôi xem xét chiều dài của nó:

Trả lời:

Bây giờ hãy cố gắng hoàn thành cẩn thận nhiệm vụ thứ hai. Câu trả lời cho nó sẽ là:.

Tọa độ và vectơ. Mô tả ngắn gọn và công thức cơ bản

Một vectơ là một phân đoạn có hướng. - điểm đầu của vectơ, - điểm cuối của vectơ.
Vectơ được ký hiệu là hoặc .

Giá trị tuyệt đối vectơ - độ dài của đoạn đại diện cho vectơ. Được chỉ định là.

Tọa độ véc tơ:

,
đâu là điểm tận cùng của vectơ \displaystyle a .

Tổng các vectơ: .

Tích của các vectơ:

Tích vô hướng của vectơ:

Bài này nói về chủ đề « khoảng cách từ điểm đến đường », các định nghĩa về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được xem xét với các ví dụ minh họa bằng phương pháp tọa độ. Mỗi khối lý thuyết ở cuối đã chỉ ra các ví dụ giải quyết các vấn đề tương tự.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được tìm thấy bằng cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một điểm. Hãy xem xét chi tiết hơn.

Cho đường thẳng a và điểm M 1 không thuộc đường thẳng đã cho. Qua nó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a. Lấy giao điểm của các đường thẳng là H 1. Ta có M 1 H 1 là đường vuông góc hạ từ điểm M 1 xuống đường thẳng a.

định nghĩa 1

Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng a gọi là khoảng cách giữa hai điểm M 1 và H 1 .

Có ghi định nghĩa kèm theo hình vẽ độ dài đường vuông góc.

định nghĩa 2

Khoảng cách từ điểm đến đường là độ dài đường vuông góc kẻ từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước.

Các định nghĩa là tương đương. Hãy xem xét hình dưới đây.

Biết rằng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là nhỏ nhất có thể. Hãy xem xét điều này với một ví dụ.

Nếu lấy điểm Q nằm trên đường thẳng a không trùng với điểm M 1 thì ta được đoạn M 1 Q gọi là đường xiên hạ từ M 1 xuống đường thẳng a. Cần phải chỉ ra rằng đường vuông góc từ điểm M 1 nhỏ hơn bất kỳ đường xiên nào khác được vẽ từ điểm đến đường thẳng.

Để chứng minh điều này, hãy xét tam giác M 1 Q 1 H 1 , trong đó M 1 Q 1 là cạnh huyền. Được biết, chiều dài của nó luôn lớn hơn chiều dài của bất kỳ chân nào. Do đó, ta có M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Dữ liệu ban đầu để tìm từ một điểm đến một đường thẳng cho phép sử dụng một số phương pháp giải: thông qua định lý Pythagore, các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến của một góc và các phương pháp khác. Hầu hết các nhiệm vụ thuộc loại này được giải quyết ở trường trong các bài học hình học.

Khi tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, có thể nhập một hệ tọa độ hình chữ nhật, thì phương pháp tọa độ được sử dụng. Trong đoạn này, chúng tôi xem xét hai phương pháp chính để tìm khoảng cách mong muốn từ một điểm nhất định.

Phương pháp đầu tiên liên quan đến việc tìm khoảng cách dưới dạng đường vuông góc vẽ từ M 1 đến đường thẳng a. Phương pháp thứ hai sử dụng phương trình pháp tuyến của đường thẳng a để tìm khoảng cách cần thiết.

Nếu có một điểm trên mặt phẳng có tọa độ M 1 (x 1, y 1) nằm trong hệ trục tọa độ hình chữ nhật, cách đường thẳng a và cần tìm khoảng cách M 1 H 1, bạn có thể tính theo hai cách. Hãy xem xét chúng.

cách đầu tiên

Nếu có tọa độ của điểm H 1 bằng x 2 , y 2 thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính từ tọa độ từ công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 .

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang tìm tọa độ của điểm H 1.

Biết rằng một đường thẳng trong O x y tương ứng với phương trình của một đường thẳng trong mặt phẳng. Hãy nắm cách xác định đường thẳng a thông qua viết phương trình tổng quát của đường thẳng hoặc phương trình hệ số góc. Ta lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 vuông góc với đường thẳng a cho trước. Hãy biểu thị dòng bằng beech b . H 1 là giao điểm của hai đường thẳng a và b nên để xác định tọa độ ta ​​phải sử dụng bài viết về tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Có thể thấy thuật toán tìm khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1) cho trước đến đường thẳng a được thực hiện theo các điểm:

định nghĩa 3

• tìm phương trình tổng quát của đường thẳng a , có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 hoặc phương trình có hệ số góc, có dạng y \u003d k 1 x + b 1;
• thu được phương trình tổng quát của đường thẳng b có dạng A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 hoặc phương trình có hệ số góc y \u003d k 2 x + b 2 nếu đường thẳng b cắt điểm M 1 và vuông góc với đường thẳng a đã cho;
• xác định tọa độ x 2, y 2 của điểm H 1, là giao điểm của a và b, từ đó giải hệ phương trình tuyến tính A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 hoặc y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• tính khoảng cách cần thiết từ một điểm đến một đường thẳng, sử dụng công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

cách thứ hai

Định lý có thể giúp trả lời câu hỏi tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên một mặt phẳng.

định lý

Một hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y có một điểm M 1 ( x 1 , y 1 ), từ đó kẻ một đường thẳng a đến mặt phẳng, cho bởi phương trình pháp tuyến của mặt phẳng, có dạng cos α x + cos β y - p \u003d 0, bằng modulo giá trị thu được ở vế trái của phương trình đường thẳng thông thường, được tính tại x = x 1, y = y 1, nghĩa là M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Bằng chứng

Đường thẳng a ứng với phương trình pháp tuyến của mặt phẳng có dạng cos α x + cos β y − p = 0 thì n → = (cos α , cos β) được coi là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a tại a khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng a bằng p đơn vị . Cần mô tả tất cả các dữ liệu trong hình, thêm một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1), trong đó vectơ bán kính của điểm M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) . Cần phải vẽ một đường thẳng từ một điểm thành một đường thẳng mà chúng ta sẽ ký hiệu là M 1 H 1 . Cần biểu diễn các hình chiếu M 2 và H 2 của các điểm M 1 và H 2 trên đường thẳng đi qua điểm O bằng một vectơ chỉ phương có dạng n → = (cos α , cos β ) , và phép chiếu số của vectơ sẽ được kí hiệu là O M 1 → = (x 1 , y 1) theo phương n → = (cos α , cos β) là n p n → O M 1 → .

Sự biến thiên phụ thuộc vào vị trí của chính điểm M 1 . Hãy xem xét hình dưới đây.

Chúng tôi sửa kết quả bằng công thức M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Khi đó ta đưa đẳng thức về dạng này M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p để thu được n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Tích vô hướng của các vectơ dẫn đến một công thức biến đổi có dạng n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , là tích ở dạng tọa độ của dạng n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Do đó, ta có n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Suy ra M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Định lý đã được chứng minh.

Ta được rằng để tìm khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1) đến đường thẳng a trên mặt phẳng ta phải thực hiện một số thao tác:

định nghĩa 4

• thu được phương trình pháp tuyến của đường thẳng a cos α · x + cos β · y - p = 0, với điều kiện không thuộc nhiệm vụ;
• phép tính biểu thức cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , trong đó giá trị kết quả nhận M 1 H 1 .

Hãy vận dụng các phương pháp này để giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

ví dụ 1

Tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (- 1 , 2 ) đến đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Giải pháp

Hãy sử dụng phương pháp đầu tiên để giải quyết.

Để làm được điều này, bạn cần tìm phương trình tổng quát của đường thẳng b đi qua điểm M 1 (- 1 , 2) cho trước vuông góc với đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0 . Từ điều kiện suy ra đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì vectơ chỉ phương của nó có tọa độ bằng (4, - 3) . Như vậy, ta có cơ hội viết phương trình chính tắc của đường thẳng b trên mặt phẳng, vì đã có tọa độ của điểm M 1 thuộc đường thẳng b. Hãy xác định tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng b . Ta được x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Phương trình chính tắc thu được phải được chuyển đổi thành phương trình tổng quát. Sau đó, chúng tôi nhận được rằng

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3(x + 1) = 4(y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hãy tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng mà chúng ta sẽ lấy làm ký hiệu H 1. Các biến đổi trông như thế này:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Từ trên ta có tọa độ của điểm H 1 là (- 5; 5) .

Cần tính khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng a. Ta có tọa độ của các điểm M 1 (- 1, 2) và H 1 (- 5, 5) rồi thay vào công thức tính khoảng cách ta được

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Giải pháp thứ hai.

Để giải theo cách khác cần thu được phương trình pháp tuyến của một đường thẳng. Chúng ta tính giá trị của hệ số chuẩn hóa và nhân cả hai vế của phương trình 4 x - 3 y + 35 = 0 . Từ đây, chúng ta nhận được rằng hệ số chuẩn hóa là - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , và phương trình chuẩn hóa sẽ có dạng - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Theo thuật toán tính toán, cần lấy phương trình pháp tuyến của một đường thẳng và tính với các giá trị x = - 1, y = 2. Sau đó, chúng tôi nhận được rằng

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Từ đây ta được rằng khoảng cách từ điểm M 1 (- 1 , 2 ) đến đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0 đã cho có giá trị là - 5 = 5 .

Trả lời: 5 .

Có thể thấy rằng trong phương pháp này, điều quan trọng là sử dụng phương trình pháp tuyến của một đường thẳng, vì phương pháp này là ngắn nhất. Nhưng phương pháp đầu tiên thuận tiện ở chỗ nó nhất quán và hợp lý, mặc dù nó có nhiều điểm tính toán hơn.

ví dụ 2

Trên mặt phẳng có hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y với điểm M 1 (8, 0) và đường thẳng y = 1 2 x + 1 . Tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng.

Giải pháp

Giải pháp theo cách đầu tiên ngụ ý việc rút gọn phương trình đã cho với hệ số góc thành phương trình tổng quát. Để đơn giản hóa, bạn có thể làm theo cách khác.

Nếu tích hệ số góc của các đường vuông góc là - 1 , thì hệ số góc của đường thẳng vuông góc với y = 1 2 x + 1 đã cho là 2 . Lúc này ta được phương trình đường thẳng đi qua một điểm có tọa độ M 1(8, 0) . Ta có y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Ta tiến hành tìm tọa độ của điểm H 1, tức là giao điểm y \u003d - 2 x + 16 và y \u003d 1 2 x + 1. Chúng tôi soạn một hệ phương trình và nhận được:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Suy ra khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (8 , 0) đến đường thẳng y = 1 2 x + 1 bằng khoảng cách từ điểm đầu và điểm cuối có tọa độ M 1 (8 , 0) và H 1 (6 , 4) . Hãy tính và nhận được M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Giải pháp theo cách thứ hai là chuyển từ phương trình có hệ số về dạng bình thường. Tức là ta nhận được y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, khi đó giá trị của hệ số chuẩn hóa sẽ là - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Suy ra phương trình pháp tuyến của một đường thẳng có dạng - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Hãy tính từ điểm M 1 8 , 0 đến một đường thẳng có dạng - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Chúng tôi nhận được:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Trả lời: 2 5 .

ví dụ 3

Cần tính khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (- 2 , 4 ) đến các đường thẳng 2 x - 3 = 0 và y + 1 = 0 .

Giải pháp

Ta được phương trình dạng pháp tuyến của đường thẳng 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Sau đó ta tiến hành tính khoảng cách từ điểm M 1 - 2;4 đến đường thẳng x - 3 2 = 0. Chúng tôi nhận được:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Phương trình đường thẳng y + 1 = 0 có hệ số chuẩn hóa là -1. Điều này có nghĩa là phương trình sẽ có dạng - y - 1 = 0 . Ta tiến hành tính khoảng cách từ điểm M 1 (- 2 , 4 ) đến đường thẳng - y - 1 = 0 . Ta được rằng nó bằng - 4 - 1 = 5.

Trả lời: 3 1 2 và 5 .

Chúng ta hãy xem xét chi tiết việc xác định khoảng cách từ một điểm cho trước của mặt phẳng đến các trục tọa độ O x và O y.

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, trục O y có phương trình là một đường thẳng không hoàn chỉnh và có dạng x \u003d 0 và O x - y \u003d 0. Phương trình là pháp tuyến của các trục tọa độ, khi đó cần tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 x 1 , y 1 đến các đường thẳng. Điều này được thực hiện dựa trên các công thức M 1 H 1 = x 1 và M 1 H 1 = y 1 . Hãy xem xét hình dưới đây.

Ví dụ 4

Tìm khoảng cách từ điểm M 1(6, - 7) đến các đường tọa độ nằm trong mặt phẳng O x y.

Giải pháp

Vì phương trình y \u003d 0 đề cập đến đường thẳng O x, nên bạn có thể tìm khoảng cách từ M 1 với tọa độ đã cho đến đường thẳng này bằng công thức. Chúng tôi nhận được rằng 6 = 6 .

Vì phương trình x \u003d 0 đề cập đến đường thẳng O y, nên bạn có thể tìm khoảng cách từ M 1 đến đường thẳng này bằng công thức. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó - 7 = 7 .

Trả lời: khoảng cách từ M 1 đến O x có giá trị là 6 và từ M 1 đến O y có giá trị là 7.

Khi trong không gian ba chiều ta có một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) thì cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a.

Hãy xem xét hai cách cho phép bạn tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng nằm trong không gian. Trường hợp thứ nhất xét khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng, trong đó điểm trên đường thẳng gọi là H 1 và là chân của đường vuông góc kẻ từ điểm M 1 đến đường thẳng a. Trường hợp thứ hai cho rằng các điểm của mặt phẳng này phải được tìm là chiều cao của hình bình hành.

cách đầu tiên

Từ định nghĩa ta có khoảng cách từ điểm M 1 nằm trên đường thẳng a là độ dài đường vuông góc M 1 H 1 , lấy tọa độ tìm được của điểm H 1 ta tìm được khoảng cách giữa M 1 (x 1, y 1, z 1 ) và H 1 (x 1, y 1, z 1) dựa vào công thức M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Chúng tôi nhận thấy rằng toàn bộ giải pháp là tìm tọa độ của cơ sở của đường vuông góc được vẽ từ M 1 đến đường thẳng a. Điều này được thực hiện như sau: H 1 là giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng đi qua điểm cho trước.

Điều này có nghĩa là thuật toán xác định khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) đến đường thẳng a của không gian bao hàm một số điểm:

định nghĩa 5

• lập phương trình mặt phẳng χ là phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với đường thẳng;
• xác định tọa độ (x 2 , y 2 , z 2 ) thuộc điểm H 1 là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng χ ;
• tính khoảng cách từ một điểm đến một đường bằng công thức M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

cách thứ hai

Từ điều kiện ta có đường thẳng a thì xác định được vectơ chỉ phương a → = a x, a y, a z có tọa độ x 3 , y 3 , z 3 và một điểm M 3 nào đó thuộc đường thẳng a. Cho tọa độ của các điểm M 1 ( x 1 , y 1 ) và M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → tính được:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Cần hoãn các vectơ a → \u003d a x, a y, a z và M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 từ điểm M 3, kết nối và lấy một hình bình hành. M 1 H 1 là chiều cao của hình bình hành.

Hãy xem xét hình dưới đây.

Chúng ta có chiều cao M 1 H 1 là khoảng cách mong muốn, sau đó bạn cần tìm nó bằng công thức. Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm M 1 H 1 .

Biểu thị diện tích hình bình hành bằng chữ S, được tìm bằng công thức sử dụng vectơ a → = (a x , a y , a z) và M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Công thức diện tích có dạng S = a → × M 3 M 1 → . Ngoài ra, diện tích của hình bằng tích độ dài các cạnh và chiều cao, ta được S \u003d a → M 1 H 1 với a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, là độ dài của vectơ a → \u003d (a x, a y, a z) , bằng cạnh của hình bình hành. Do đó, M 1 H 1 là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Nó được tìm thấy theo công thức M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Để tìm khoảng cách từ một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) đến đường thẳng a trong không gian, bạn cần thực hiện một số điểm của thuật toán:

định nghĩa 6

• xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng a - a → = (a x , a y , a z ) ;
• tính độ dài của vectơ chỉ phương a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• được tọa độ x 3 , y 3 , z 3 thuộc điểm M 3 nằm trên đường thẳng a;
• tính tọa độ của vectơ M 3 M 1 → ;
• tìm tích chéo của các vectơ a → (a x, a y, a z) và M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 dưới dạng a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 để thu được độ dài theo công thức a → × M 3 M 1 → ;
• tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trong không gian

Ví dụ 5

Tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 2 , - 4 , - 1 đến đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Giải pháp

Phương pháp đầu tiên bắt đầu bằng việc viết phương trình của mặt phẳng χ đi qua M 1 và vuông góc với một điểm cho trước. Chúng tôi nhận được một biểu thức như:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Cần tìm tọa độ của điểm H 1 là giao điểm của mặt phẳng χ với đường thẳng cho trước theo điều kiện. Cần phải chuyển từ dạng chính tắc sang dạng giao nhau. Khi đó ta được hệ phương trình có dạng:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Cần tính hệ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 theo phương pháp Cramer, ta được:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Do đó ta có H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Phương pháp thứ hai phải được bắt đầu bằng cách tìm kiếm tọa độ trong phương trình chính tắc. Để làm điều này, hãy chú ý đến các mẫu số của phân số. Khi đó a → = 2 , - 1 , 5 là vectơ chỉ phương của đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Cần tính độ dài bằng công thức a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Rõ ràng đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 cắt điểm M 3 (- 1 , 0 , - 5) nên ta có vectơ gốc M 3 (- 1 , 0 , - 5) và mút của nó tại điểm M 1 2 , - 4 , - 1 là M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Tìm tích vectơ a → = (2, - 1, 5) và M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Ta được biểu thức có dạng a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

chúng ta nhận được rằng độ dài của tích chéo là a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Chúng tôi có tất cả dữ liệu để sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm cho một đường thẳng, vì vậy chúng tôi áp dụng nó và nhận được:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Trả lời: 11 .

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter