triệu chứng bệnh 

Cách giải phương trình lượng giác bậc hai. phương trình lượng giác


Các phương pháp giải phương trình lượng giác.

Việc giải phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn: phép biến đổi phương trìnhđể làm cho nó đơn giản loại (xem ở trên) và giải phápthu được đơn giản nhất phương trình lượng giác.Ở đó có bảy người các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác.

1. Phương pháp đại số.

(biến thế và phương pháp thế).

2. Phân tích thành thừa số.

VÍ DỤ 1. Giải phương trình: tội x+ cos x = 1 .

Lời giải: Chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang trái:

Tội x+ cos x – 1 = 0 ,

Hãy để chúng tôi biến đổi và nhân tử hóa biểu thức trong

Vế trái của phương trình:

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 2 x+ tội lỗi x cos x = 1.

GIẢI cos 2 x+ tội lỗi x cos x– tội lỗi 2 x– cos 2 x = 0 ,

Tội x cos x– tội lỗi 2 x = 0 ,

Tội x(vì x– tội x ) = 0 ,

Ví dụ 3. Giải phương trình: cos 2 x– vì 8 x+ cos 6 x = 1.

GIẢI cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

cos 4 x 2 tội lỗi 3 x tội x = 0 ,

1). cos 4 x= 0 , 2). tội lỗi 3 x= 0 , 3). tội x = 0 ,

3. Đưa đến phương trình thống nhất.

phương trình gọi điện đồng nhất từ tương đối tội Và cos , Nếu như tất cả điều kiện cùng mức độ đối với tội Và cos cùng một góc. Để giải một phương trình thuần nhất, bạn cần:

MỘT) di chuyển tất cả các thành viên của nó sang bên trái;

b) đặt tất cả các thừa số chung ra khỏi ngoặc;

V) cho tất cả các thừa số và dấu ngoặc bằng 0;

g) dấu ngoặc đơn được đặt thành 0 phương trình thuần nhất ở mức độ thấp hơn, nên được chia cho

cos(hoặc tội) ở trình độ cao cấp;

đ) giải phương trình đại số kết quả đối vớirám nắng .

tội 2 x+ 4 tội lỗi x cos x+ 5 cos 2 x = 2.

Giải: 3sin 2 x+ 4 tội lỗi x cos x+ 5 cos 2 x= 2 sin 2 x+ 2 cos 2 x ,

tội lỗi 2 x+ 4 tội lỗi x cos x+ 3 cos 2 x = 0 ,

Tân 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , từ đây y 2 + 4y +3 = 0 ,

Các gốc của phương trình này là:y 1 = - 1, y 2 = - 3, do đó

1) rám nắng x= –1, 2) tan x = –3,

4. Chuyển sang nửa góc.

Hãy xem xét phương pháp này với một ví dụ:

VÍ DỤ Giải phương trình: 3 tội x– 5cos x = 7.

Lời giải: 6 sin ( x/ 2) vì ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 tội lỗi ( x/ 2) vì ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Giới thiệu góc phụ.

Xét một phương trình có dạng:

Một tội x + b cos x = c ,

Ở đâu Một, b, c- hệ số;x- không xác định.

Bây giờ các hệ số của phương trình có tính chất của sin và cosin, cụ thể là: mô-đun (giá trị tuyệt đối) của mỗi trong đó không quá 1 và tổng bình phương của chúng là 1. Sau đó, người ta có thể chỉ định họ tương ứng Làm sao cos và sin (ở đây - cái gọi là góc phụ trợ), Vàphương trình của chúng ta là

phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất

Độ và radian

Giới thiệu về đường tròn lượng giác

Phép quay trên đường tròn lượng giác

Bao nhiêu nỗi đau gắn liền với chữ lượng giác. Chủ đề này xuất hiện từ năm lớp 9 và không biến mất ở bất cứ đâu. Thật khó cho những người không hiểu điều gì đó ngay lập tức. Hãy cố gắng khắc phục điều này để khuôn mặt của bạn bừng sáng với một nụ cười từ lượng giác, hoặc ít nhất là đạt được một "mặt xi".

Để bắt đầu, cũng giống như chiều dài có thể được biểu thị bằng mét hoặc dặm, thì cũng có thể góc có thể được biểu thị bằng radian hoặc độ.

1 radian = 180/π ≈ 57,3 độ

Nhưng nó dễ nhớ số nguyên hơn: 3,14 radian = 180 độ.Đây là tất cả cùng một giá trị của số π.

Hãy nhớ lại rằng nếu chúng ta được yêu cầu quay lại, thì chúng ta cần quay 180 độ, và bây giờ chúng ta cũng có thể nói: Quay π!

Chúng ta sẽ nói về đồ thị của sin, cos và tange trong một bài viết khác.

Và bây giờ hãy bắt đầu với hệ tọa độ Descartes (hình chữ nhật).

Trước đây, cô ấy đã giúp xây dựng đồ thị, và bây giờ cô ấy sẽ giúp với sin và cosin.

Tại giao điểm của trục X và trục Y, chúng ta dựng một đường tròn đơn vị (bán kính là 1):

Sau đó trục cosin sẽ trùng với x, trục sin với y. Các trục của tiếp tuyến và cotang cũng được thể hiện trong hình.

Và bây giờ chúng tôi lưu ý các giá trị chính của độ và radian trên một vòng tròn.

Hãy chúng tôi sẽ đồng ý với bạn, với tư cách là người lớn: trên một đường tròn, chúng ta sẽ đánh dấu góc tính bằng radian, tức là qua Pi.

Chỉ cần nhớ rằng π = 180° là đủ(khi đó π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

Bây giờ chúng ta hãy quay vòng tròn! Theo thông lệ, điểm ngoài cùng bên phải của vòng tròn (trong đó 0 °) là điểm bắt đầu của báo cáo:

Từ đó, chúng tôi thiết lập một lượt tiếp theo. Chúng ta có thể xoay theo cả chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) và chiều âm (chiều kim đồng hồ).

Có hai cách để quay 45°: qua vai trái 45° về phía (+) hoặc qua vai phải 315° về phía (-).

Điều chính là hướng mà chúng ta sẽ nhìn, không phải góc độ!

Cần phải hướng đường chấm chấm đến 100 điểm, và chúng ta sẽ thực hiện bao nhiêu vòng quay và theo hướng nào xung quanh mình - điều đó không quan trọng!

Bạn có thể nhận được 100 điểm bằng cách xoay 135° hoặc 360°+135° hoặc -225° hoặc -225°-360°...

Và bây giờ bạn có hai cách:

Tìm hiểu toàn bộ đường tròn (lượng giác). Một lựa chọn tốt nếu mọi thứ đều ổn với trí nhớ của bạn và sẽ không có gì bay ra khỏi đầu bạn vào thời điểm quan trọng:

Và bạn có thể nhớ một số góc bảng và các giá trị tương ứng của chúng, sau đó sử dụng chúng.

Tìm các góc bằng nhau (thẳng đứng, tương ứng) trên một đường tròn lượng giác. Bạn có thể đến bất kỳ điểm nào bằng cách sử dụng tổng hoặc hiệu của hai giá trị dạng bảng.

Hãy cố gắng hiểu nó với một ví dụ:

Ví dụ 1. cos(x) = ½

1) Hãy nhớ rằng trục cos(x) là trục hoành. Chúng tôi đánh dấu giá trị ½ trên đó và vẽ một đường thẳng vuông góc (màu tím) đến các giao điểm với hình tròn.

2) Có hai giao điểm với đường tròn, giá trị của các góc này sẽ là nghiệm của phương trình.

Vấn đề là nhỏ - để tìm những góc này.

Tốt hơn hết là bạn nên làm quen với "ít máu" và tìm hiểu giá trị của sin và cosin đối với các góc từ 30 ° đến 60 °.

Hoặc nhớ thủ thuật này:

Đánh số các ngón tay của bạn từ 0 đến 4 từ ngón út đến ngón cái. Góc được đặt giữa ngón út và bất kỳ ngón nào khác (từ 0 đến 90).

Ví dụ, cần phải tìm sin(π/2): π / 2 là ngón tay cái, n = 4 được thế vào công thức tính sin: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) - ? π/4 tương ứng với ngón giữa (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

Với giá trị cos(x) = ½ từ bảng hoặc sử dụng quy tắc ghi nhớ ta tìm được x = 60° (điểm đầu tiên x = + π / 3 do quay ngược chiều kim đồng hồ (+) nên góc là được thể hiện bằng một vòng cung màu đen).

Điểm thứ hai tương ứng với cùng một góc, chỉ xoay theo chiều kim đồng hồ (-). x = −π/3 (góc được thể hiện bởi cung màu đen phía dưới).

Và điều cuối cùng, trước khi bạn khám phá ra kiến ​​thức bí mật về lượng giác:

Khi cần đạt "100 điểm", chúng ta có thể đánh bằng cách quay sang...=-225°=135°=495°=...

Ở đây cũng vậy! Các góc khác nhau có thể phản xạ cùng một hướng.

Bạn hoàn toàn có thể nói rằng bạn cần quay đến góc cần thiết, và sau đó bạn có thể quay 360 ° = 2π (màu xanh lam) bao nhiêu lần tùy thích và theo bất kỳ hướng nào.

Do đó, bạn có thể đi vào hướng đầu tiên 60°: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

Và làm thế nào để viết ra các góc còn lại mà không phải viết ra vô số điểm? (Ước gì mình có thể nhìn thấy nó☻)

Do đó, viết ra đáp án là đúng: x = 60 + 360n, trong đó n là số nguyên (n∈Ζ) (ta quay 60 độ rồi khoanh bao nhiêu vòng tùy thích, cái chính là hướng vẫn như cũ). Tương tự, x = −60 + 360n.

Nhưng chúng tôi đã đồng ý rằng mọi thứ trên vòng tròn được viết thông qua π, vì vậy cos(x) = ½ cho x=π/3 + 2πn, n∈Z và x = −π/3 + 2πk, k∈Z.

Trả lời: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Z.

Ví dụ #2. 2sinx = √2

Điều đầu tiên cần làm là di chuyển số 2 sang bên phải => sinx=√2/2

1) sin(x) trùng với trục Y. Trên trục sin(x), đánh dấu √2/2 và vẽ ⊥ đường thẳng màu tím đến giao điểm với đường tròn.

2) Từ bảng sinx = √2/2 tại x = π/4, và chúng ta sẽ tìm điểm thứ hai bằng cách chuyển sang π, sau đó chúng ta cần quay lại π/4.

Do đó, điểm thứ hai sẽ là x = π − π/4 = 3π/4, điểm này cũng có thể đạt được với sự trợ giúp của các mũi tên màu đỏ hoặc bằng một số cách khác.

Và đừng quên thêm +2πn, n∈Ζ.

Trả lời: 3π/4 + 2πn và π/4 + 2πk, k và n là các số nguyên bất kỳ.

Ví dụ #3. tg(x + π/4) = √3

Mọi thứ có vẻ đúng, tiếp tuyến bằng số, nhưng pi / 4 trong tiếp tuyến gây nhầm lẫn. Sau đó, chúng ta thay thế: y = x + π/4.

tg(y) = √3 trông không còn tệ nữa. Hãy nhớ vị trí của trục tiếp tuyến.

1) Và bây giờ trên trục tiếp tuyến, chúng tôi lưu ý giá trị √3, cao hơn 1.

2) Vẽ một đường màu tím đi qua giá trị √3 và gốc tọa độ. Lại giao điểm với đường tròn ta được 2 điểm.

Theo quy tắc ghi nhớ, với tiếp tuyến √3, giá trị đầu tiên là π/3.

3) Để đến điểm thứ hai, bạn có thể thêm π => y = π/3 + π = 4π/3 vào điểm đầu tiên (π/3).

4) Nhưng chúng tôi chỉ tìm thấy y , quay lại x. y = π/3 + 2πn và y = x + π/4 thì x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Z.

Căn bậc hai: y = 4π/3 + 2πk và y = x + π/4 thì x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Bây giờ các gốc trên vòng tròn sẽ ở đây:

Trả lời: π/12 + 2πn và 13π/12 + 2πk, k và n- bất kỳ số nguyên nào.

Tất nhiên, hai câu trả lời này có thể được kết hợp thành một. Từ 0, quay π / 12, và sau đó mỗi gốc sẽ lặp lại mỗi π (180 °).

Câu trả lời cũng có thể được viết như sau: π/12 + πn, n∈Z.

Ví dụ #4: −10ctg(x) = 10

Hãy chuyển (−10) sang phần khác: ctg(x) = −1. Lưu ý giá trị -1 trên trục cotang.

1) Vẽ đường thẳng đi qua điểm này và gốc tọa độ.

2) Chúng ta sẽ phải nhớ lại khi chia cosin cho sin sẽ cho một đơn vị (điều này thu được với π / 4). Nhưng ở đây -1, nên một điểm sẽ là -π/4. Và chúng ta tìm cái thứ hai bằng cách chuyển lên π, rồi quay lại π/4 (π − π/4).

Bạn có thể làm khác đi (màu đỏ), nhưng lơi khuyên của tôi danh cho bạn: luôn tính từ giá trị nguyên của số pi(π, 2π, 3π...) nên ít bị nhầm lẫn hơn.

Đừng quên thêm 2πk vào mỗi điểm.

Trả lời: 3π/4 + 2πn và −π/4 + 2πk, k và n là các số nguyên bất kỳ.

Thuật toán giải phương trình lượng giác (ví dụ cos(x) = − √ 3/2) :

  1. Chúng tôi đánh dấu giá trị (−√3/2) trên trục của hàm lượng giác (cosine, đây là trục X).
  2. Chúng tôi vẽ một đường vuông góc với trục (cosines) đến các giao điểm với đường tròn.
  3. Các giao điểm với đường tròn sẽ là nghiệm của phương trình.
  4. Giá trị của một điểm (bất kể bạn vào đó bằng cách nào)+2 điểm.
Cơ bản là đủ, trước khi bạn tiến xa hơn, hãy củng cố kiến ​​​​thức thu được.

Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét các hàm lượng giác cơ bản, tính chất và đồ thị của chúng, và cả danh sách các dạng chính của phương trình và hệ thức lượng giác. Ngoài ra, chúng tôi chỉ ra nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác đơn giản nhất và các trường hợp đặc biệt của chúng.

Bài học này sẽ giúp bạn chuẩn bị cho một trong các dạng bài tập. B5 và C1.

Chuẩn bị cho kỳ thi môn toán

Cuộc thí nghiệm

bài 10 Phương trình lượng giác và hệ thức của chúng.

Lý thuyết

Tom tăt bai học

Chúng tôi đã nhiều lần sử dụng thuật ngữ "hàm lượng giác". Quay lại bài học đầu tiên của chủ đề này, chúng ta đã định nghĩa chúng bằng tam giác vuông và đường tròn lượng giác đơn vị. Sử dụng các phương pháp xác định các hàm lượng giác như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng đối với chúng, một giá trị của đối số (hoặc góc) tương ứng với chính xác một giá trị của hàm, tức là chúng ta có quyền gọi chính xác các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.

Trong bài học này, đã đến lúc cố gắng trừu tượng hóa các phương pháp đã thảo luận trước đó để tính giá trị của các hàm lượng giác. Hôm nay chúng ta sẽ chuyển sang phương pháp đại số thông thường để làm việc với các hàm, chúng ta sẽ xem xét các tính chất của chúng và vẽ đồ thị.

Đối với các tính chất của các hàm lượng giác, cần đặc biệt chú ý đến:

Miền định nghĩa và phạm vi giá trị, vì đối với sin và cosin, có những hạn chế về phạm vi giá trị, và đối với tiếp tuyến và cotang, có những hạn chế về phạm vi định nghĩa;

Tính tuần hoàn của tất cả các hàm lượng giác, vì chúng tôi đã lưu ý sự hiện diện của đối số khác 0 nhỏ nhất, việc thêm đối số này không làm thay đổi giá trị của hàm. Đối số như vậy được gọi là chu kỳ của hàm và được ký hiệu bằng chữ cái . Đối với sin/cosine và tiếp tuyến/cotang, các khoảng thời gian này là khác nhau.

Hãy xem xét một chức năng:

1) Miền xác định;

2) Phạm vi giá trị ;

3) Hàm số lẻ ;

Hãy vẽ đồ thị của chức năng. Trong trường hợp này, thuận tiện để bắt đầu xây dựng từ hình ảnh của khu vực, giới hạn biểu đồ từ phía trên bởi số 1 và từ phía dưới bởi số , có liên quan đến phạm vi của hàm. Ngoài ra, để vẽ đồ thị, sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ các giá trị của sin của một số góc bảng chính, chẳng hạn như Điều này sẽ cho phép bạn xây dựng "sóng" hoàn chỉnh đầu tiên của biểu đồ và sau đó vẽ lại nó ở bên phải và trái, lợi dụng thực tế là hình ảnh sẽ được lặp lại với độ lệch theo dấu chấm, tức là TRÊN .

Bây giờ hãy xem chức năng:

Các thuộc tính chính của chức năng này:

1) Miền xác định;

2) Phạm vi giá trị ;

3) Hàm số chẵn Điều này hàm ý tính đối xứng của đồ thị hàm số đối với trục y;

4) Hàm số không đơn điệu trên toàn miền xác định của nó;

Hãy vẽ đồ thị của chức năng. Cũng như khi xây dựng một hàm sin, thật thuận tiện khi bắt đầu với hình ảnh của khu vực giới hạn đồ thị từ phía trên bởi số 1 và từ phía dưới bởi số , có liên quan đến phạm vi của hàm. Chúng tôi cũng sẽ vẽ tọa độ của một số điểm trên biểu đồ, cần phải nhớ các giá trị cosin của một số góc bảng chính, chẳng hạn, sử dụng các điểm này, chúng tôi có thể xây dựng “sóng” hoàn chỉnh đầu tiên của biểu đồ và sau đó vẽ lại nó sang phải và trái, lợi dụng thực tế là hình ảnh sẽ lặp lại với sự thay đổi thời gian, tức là TRÊN .

Hãy chuyển sang chức năng:

Các thuộc tính chính của chức năng này:

1) Miền xác định ngoại trừ , trong đó . Chúng tôi đã chỉ ra trong các bài học trước rằng không tồn tại. Tuyên bố này có thể được khái quát hóa bằng cách tính đến chu kỳ của tiếp tuyến;

2) Phạm vi giá trị, tức là giá trị tiếp tuyến không bị giới hạn;

3) Hàm số lẻ ;

4) Hàm tăng đơn điệu trong cái gọi là các nhánh tiếp tuyến của nó, mà bây giờ chúng ta sẽ thấy trong hình;

5) Hàm số tuần hoàn với một khoảng thời gian

Hãy vẽ đồ thị của chức năng. Trong trường hợp này, thật thuận tiện khi bắt đầu xây dựng từ hình ảnh của các tiệm cận đứng của đồ thị tại các điểm không được bao gồm trong miền xác định, tức là vân vân. Tiếp theo, chúng tôi mô tả các nhánh của tiếp tuyến bên trong mỗi dải được hình thành bởi các tiệm cận, ấn chúng sang tiệm cận trái và sang phải. Đồng thời, đừng quên rằng mỗi nhánh đang tăng lên một cách đơn điệu. Chúng tôi mô tả tất cả các nhánh theo cùng một cách, bởi vì hàm có chu kỳ bằng . Điều này có thể được nhìn thấy từ thực tế là mỗi nhánh thu được bằng cách dịch chuyển nhánh lân cận dọc theo trục x.

Và chúng tôi kết luận bằng cách xem xét chức năng:

Các thuộc tính chính của chức năng này:

1) Miền xác định ngoại trừ , trong đó . Theo bảng giá trị của các hàm lượng giác ta đã biết là không tồn tại. Tuyên bố này có thể được khái quát hóa bằng cách tính đến chu kỳ của cotang;

2) Phạm vi giá trị, tức là giá trị cotang không bị giới hạn;

3) Hàm số lẻ ;

4) Hàm số giảm đơn điệu trong các nhánh của nó, tương tự như các nhánh tiếp tuyến;

5) Hàm số tuần hoàn với một khoảng thời gian

Hãy vẽ đồ thị của chức năng. Trong trường hợp này, đối với tiếp tuyến, sẽ thuận tiện khi bắt đầu xây dựng từ hình ảnh của các tiệm cận đứng của đồ thị tại các điểm không được bao gồm trong vùng xác định, tức là vân vân. Tiếp theo, chúng tôi mô tả các nhánh của cotang bên trong mỗi dải được hình thành bởi các tiệm cận, đẩy chúng sang tiệm cận bên trái và sang bên phải. Trong trường hợp này, chúng tôi tính đến việc mỗi nhánh giảm dần một cách đơn điệu. Tất cả các nhánh, tương tự như tiếp tuyến, được mô tả theo cùng một cách, bởi vì hàm có chu kỳ bằng .

Một cách riêng biệt, cần lưu ý rằng các hàm lượng giác có đối số phức tạp có thể có chu kỳ không chuẩn. Đây là các hàm có dạng:

Họ có cùng thời gian. Và về chức năng:

Họ có cùng thời gian.

Như bạn có thể thấy, để tính toán một khoảng thời gian mới, khoảng thời gian tiêu chuẩn chỉ đơn giản được chia cho hệ số trong đối số. Nó không phụ thuộc vào các sửa đổi khác của chức năng.

Các bạn có thể hiểu rõ và chi tiết hơn về nguồn gốc của các công thức này trong bài học về cách dựng và chuyển đồ thị hàm số.

Chúng ta đã đi đến một trong những phần quan trọng nhất của chủ đề "Lượng giác", mà chúng ta sẽ dành để giải phương trình lượng giác. Ví dụ, khả năng giải các phương trình như vậy là rất quan trọng khi mô tả các quá trình dao động trong vật lý. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã lái một vài vòng đua trên một chiếc xe thể thao, việc giải một phương trình lượng giác sẽ giúp xác định bạn đã tham gia cuộc đua được bao lâu, tùy thuộc vào vị trí của chiếc xe trên đường đua.

Hãy viết phương trình lượng giác đơn giản nhất:

Giải pháp của một phương trình như vậy là các đối số, sin của nó bằng. Nhưng chúng ta đã biết rằng do tính tuần hoàn của sin, nên có vô số lập luận như vậy. Do đó, nghiệm của phương trình này sẽ là, v.v. Điều tương tự cũng áp dụng cho việc giải bất kỳ phương trình lượng giác đơn giản nào khác, sẽ có vô số phương trình.

Phương trình lượng giác được chia thành một số dạng cơ bản. Một cách riêng biệt, người ta nên tập trung vào điều đơn giản nhất, bởi vì. tất cả phần còn lại được giảm xuống cho họ. Có bốn phương trình như vậy (theo số hàm lượng giác cơ bản). Đối với họ, các giải pháp chung được biết đến, chúng phải được ghi nhớ.

Các phương trình lượng giác đơn giản nhất và các giải pháp chung của chúng trông như thế này:

Xin lưu ý rằng các giá trị sin và cosin phải tính đến các giới hạn mà chúng ta đã biết. Ví dụ, nếu , thì phương trình không có nghiệm và không nên áp dụng công thức này.

Ngoài ra, các công thức gốc này chứa một tham số ở dạng một số nguyên tùy ý . Trong chương trình học ở trường, đây là trường hợp duy nhất khi nghiệm của phương trình không có tham số chứa tham số. Số nguyên tùy ý này chứng tỏ rằng có thể viết ra vô số nghiệm của bất kỳ phương trình nào đã cho chỉ bằng cách thay lần lượt tất cả các số nguyên.

Các em có thể làm quen với việc nhận chi tiết các công thức này bằng cách học lại chương “Phương trình lượng giác” trong chương trình đại số lớp 10.

Một cách riêng biệt, cần chú ý đến giải pháp cho các trường hợp cụ thể của các phương trình đơn giản nhất với sin và cosin. Những phương trình này trông giống như:

Các công thức tìm nghiệm chung không nên áp dụng cho chúng. Các phương trình như vậy được giải thuận tiện nhất bằng cách sử dụng đường tròn lượng giác, cho kết quả đơn giản hơn so với các công thức giải chung.

Ví dụ, giải pháp cho phương trình là . Hãy cố gắng tự mình có được câu trả lời này và giải phần còn lại của các phương trình đã chỉ ra.

Ngoài loại phương trình lượng giác phổ biến nhất được chỉ ra, còn có một số loại tiêu chuẩn khác. Chúng tôi liệt kê chúng, có tính đến những thứ mà chúng tôi đã chỉ ra:

1) động vật nguyên sinh, Ví dụ, ;

2) Các trường hợp riêng của các phương trình đơn giản nhất, Ví dụ, ;

3) Phương trình đối số phức tạp, Ví dụ, ;

4) Phương trình rút gọn về dạng đơn giản nhất bằng cách loại bỏ nhân tử chung, Ví dụ, ;

5) Các phương trình rút gọn về dạng đơn giản nhất bằng cách biến đổi các hàm lượng giác, Ví dụ, ;

6) Phương trình Rút gọn đến Đơn giản nhất bằng cách Thay thế, Ví dụ, ;

7) phương trình thuần nhất, Ví dụ, ;

8) Các phương trình được giải bằng cách sử dụng các thuộc tính của hàm, Ví dụ, . Đừng lo lắng bởi thực tế là phương trình này có hai biến, nó được giải cùng một lúc;

Cũng như các phương trình được giải bằng các phương pháp khác nhau.

Ngoài việc giải các phương trình lượng giác, cần có khả năng giải các hệ của chúng.

Các loại hệ thống phổ biến nhất là:

1) Trong đó một trong các phương trình là một định luật lũy thừa, Ví dụ, ;

2) Hệ phương trình lượng giác đơn giản, Ví dụ, .

Trong bài học hôm nay, chúng ta đã tìm hiểu các hàm lượng giác cơ bản, tính chất và đồ thị của chúng. Và cũng đã làm quen với các công thức chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, chỉ ra các dạng chính của các phương trình đó và hệ của chúng.

Trong phần thực hành của bài học, chúng ta sẽ phân tích các phương pháp giải phương trình lượng giác và hệ thức của chúng.

Hộp 1.Giải các trường hợp đặc biệt của phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Như chúng ta đã nói trong phần chính của bài học, các trường hợp đặc biệt của phương trình lượng giác với sin và cosin có dạng:

có nghiệm đơn giản hơn các công thức nghiệm tổng quát đưa ra.

Đối với điều này, một vòng tròn lượng giác được sử dụng. Hãy để chúng tôi phân tích phương pháp giải chúng bằng cách sử dụng phương trình làm ví dụ.

Vẽ một điểm trên đường tròn lượng giác tại đó giá trị cosin bằng 0, cũng là tọa độ dọc theo trục x. Như bạn có thể thấy, có hai điểm như vậy. Nhiệm vụ của chúng ta là chỉ ra góc tương ứng với các điểm này trên đường tròn là bao nhiêu.

Chúng ta bắt đầu đếm từ chiều dương của trục hoành (trục cosin) và khi lùi góc, chúng ta sẽ đến điểm đầu tiên được hiển thị, tức là một giải pháp sẽ là giá trị góc này. Nhưng chúng tôi vẫn hài lòng với góc tương ứng với điểm thứ hai. Làm thế nào để có được vào nó?

Bạn có thể đặt một giải pháp chi tiết cho vấn đề của mình !!!

Một đẳng thức chứa một ẩn số dưới dấu của hàm lượng giác (`sin x, cos x, tg x` hoặc `ctg x`) được gọi là phương trình lượng giác và chúng ta sẽ xem xét thêm các công thức của chúng.

Các phương trình đơn giản nhất là `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, trong đó `x` là góc cần tìm, `a` là một số bất kỳ. Hãy viết các công thức gốc cho mỗi người trong số họ.

1. Phương trình `sin x=a`.

Đối với `|a|>1` nó không có nghiệm.

Với `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.

Công thức căn: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Phương trình `cos x=a`

Đối với `|a|>1` - như trong trường hợp của sin, không có nghiệm nào giữa các số thực.

Với `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.

Công thức căn: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Các trường hợp đặc biệt cho sin và cosin trong đồ thị.

3. Phương trình `tg x=a`

Có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.

Công thức căn: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Phương trình `ctg x=a`

Nó cũng có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.

Công thức căn: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Các công thức nghiệm của phương trình lượng giác trong bảng

Đối với xoang:
Đối với cosin:
Đối với tiếp tuyến và cotang:
Các công thức giải phương trình chứa hàm lượng giác ngược:

Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Giải pháp của bất kỳ phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn:

  • sử dụng để chuyển đổi nó đơn giản nhất;
  • giải phương trình đơn giản thu được bằng cách sử dụng các công thức trên cho các gốc và bảng.

Hãy xem xét các phương pháp chính của giải pháp bằng cách sử dụng các ví dụ.

phương pháp đại số.

Trong phương pháp này, việc thay thế một biến và thay thế nó thành đẳng thức được thực hiện.

Ví dụ. Giải phương trình: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

thay thế: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, rồi `2y^2-3y+1=0`,

chúng ta tìm nghiệm: `y_1=1, y_2=1/2`, từ đó có hai trường hợp sau:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Trả lời: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

thừa số hóa.

Ví dụ. Giải phương trình: `sin x+cos x=1`.

Giải pháp. Di chuyển sang bên trái tất cả các số hạng của đẳng thức: `sin x+cos x-1=0`. Sử dụng , chúng tôi chuyển đổi và nhân tố bên trái:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Trả lời: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Rút gọn về phương trình thuần nhất

Đầu tiên, bạn cần đưa phương trình lượng giác này về một trong hai dạng:

`a sin x+b cos x=0` (phương trình thuần nhất cấp một) hoặc `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (phương trình thuần nhất cấp hai).

Sau đó chia cả hai phần cho `cos x \ne 0` cho trường hợp đầu tiên và cho `cos^2 x \ne 0` cho trường hợp thứ hai. Chúng ta nhận được các phương trình cho `tg x`: `a tg x+b=0` và `a tg^2 x + b tg x +c =0`, phải được giải bằng các phương pháp đã biết.

Ví dụ. Giải phương trình: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Giải pháp. Hãy viết vế phải dưới dạng `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Đây là một phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai, chia hai vế trái và phải của nó cho `cos^2 x \ne 0`, ta được:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Hãy giới thiệu phép thay thế `tg x=t`, kết quả là `t^2 + t - 2=0`. Nghiệm của phương trình này là `t_1=-2` và `t_2=1`. Sau đó:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Trả lời. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Đến Nửa Góc

Ví dụ. Giải phương trình: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Giải pháp. Áp dụng công thức góc kép, kết quả là: `22 sin(x/2) cos(x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Áp dụng phương pháp đại số được mô tả ở trên, chúng tôi có được:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Trả lời. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Giới thiệu góc phụ

Trong phương trình lượng giác `a sin x + b cos x =c`, trong đó a,b,c là các hệ số và x là một biến, chúng ta chia cả hai phần cho `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Các hệ số ở phía bên trái có các thuộc tính của sin và cosin, cụ thể là tổng bình phương của chúng bằng 1 và mô đun của chúng không lớn hơn 1. Biểu thị chúng như sau: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C` thì:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn ví dụ sau:

Ví dụ. Giải phương trình: `3 sin x+4 cos x=2`.

Giải pháp. Chia cả hai vế của phương trình cho `sqrt (3^2+4^2)`, chúng ta được:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Biểu thị `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Vì `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, nên chúng ta lấy `\varphi=arcsin 4/5` làm góc phụ. Sau đó, chúng tôi viết đẳng thức của chúng tôi dưới dạng:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Áp dụng công thức tính tổng các góc cho sin, chúng ta viết đẳng thức của mình dưới dạng sau:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Trả lời. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Phương trình lượng giác phân số hữu tỉ

Đây là những đẳng thức với phân số, ở tử số và mẫu số đều có hàm lượng giác.

Ví dụ. Giải phương trình. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Giải pháp. Nhân và chia vế phải của phương trình cho `(1+cos x)`. Kết quả là, chúng tôi nhận được:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Cho rằng mẫu số không thể bằng 0, chúng ta nhận được `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Làm cho tử số của phân số bằng không: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Khi đó `sin x=0` hoặc `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Cho rằng ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, các nghiệm là `x=2\pi n, n \in Z` và `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Trả lời. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Lượng giác, và phương trình lượng giác nói riêng, được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý và kỹ thuật. Việc học bắt đầu từ năm lớp 10, luôn có các nhiệm vụ cho kỳ thi, vì vậy hãy cố gắng ghi nhớ tất cả các công thức của phương trình lượng giác - chúng chắc chắn sẽ hữu ích cho bạn!

Tuy nhiên, bạn thậm chí không cần phải ghi nhớ chúng, điều chính yếu là hiểu bản chất và có thể suy luận. Nó không phải là khó khăn như nó có vẻ. Xem cho chính mình bằng cách xem video.

Khái niệm giải phương trình lượng giác.

  • Để giải một phương trình lượng giác, hãy chuyển đổi nó thành một hoặc nhiều phương trình lượng giác cơ bản. Việc giải phương trình lượng giác cuối cùng dẫn đến việc giải bốn phương trình lượng giác cơ bản.

  • Giải phương trình lượng giác cơ bản.

    • Có 4 dạng phương trình lượng giác cơ bản:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Giải các phương trình lượng giác cơ bản liên quan đến việc xem xét các vị trí x khác nhau trên vòng tròn đơn vị, cũng như sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính).
    • Ví dụ 1. sin x = 0,866. Sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính), bạn nhận được câu trả lời: x = π/3. Đường tròn đơn vị cho một đáp án khác: 2π/3. Hãy nhớ rằng: tất cả các hàm lượng giác là định kỳ, nghĩa là các giá trị của chúng được lặp lại. Ví dụ, chu kỳ của sin x và cos x là 2πn, và chu kỳ của tg x và ctg x là πn. Vì vậy, câu trả lời được viết như thế này:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Ví dụ 2 cos x = -1/2. Sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính), bạn nhận được câu trả lời: x = 2π/3. Đường tròn đơn vị đưa ra một đáp án khác: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Ví dụ 3. tg(x - π/4) = 0.
    • Trả lời: x \u003d π / 4 + πn.
    • Ví dụ 4. ctg 2x = 1,732.
    • Trả lời: x \u003d π / 12 + πn.

  • Các phép biến đổi dùng trong giải phương trình lượng giác.

    • Để biến đổi các phương trình lượng giác, người ta sử dụng các phép biến đổi đại số (nhân tử, rút ​​gọn các số hạng đồng nhất, v.v.) và đồng nhất thức lượng giác.
    • Ví dụ 5. Sử dụng các đẳng thức lượng giác, phương trình sin x + sin 2x + sin 3x = 0 được chuyển thành phương trình 4cos x*sin(3x/2)*cos(x/2) = 0. Do đó, các phương trình lượng giác cơ bản sau đây cần giải: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Tìm góc từ các giá trị đã biết của hàm số.

      • Trước khi học cách giải phương trình lượng giác, bạn cần học cách tìm góc từ giá trị đã biết của hàm số. Điều này có thể được thực hiện bằng bảng chuyển đổi hoặc máy tính.
      • Ví dụ: cos x = 0,732. Máy tính sẽ cho kết quả x = 42,95 độ. Đường tròn đơn vị sẽ cho các góc bổ sung, cosin của nó cũng bằng 0,732.

    • Đặt giải pháp trên vòng tròn đơn vị.

      • Bạn có thể đặt các giải pháp cho phương trình lượng giác trên vòng tròn đơn vị. Các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của một đa giác đều.
      • Ví dụ: Các nghiệm x = π/3 + πn/2 trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của hình vuông.
      • Ví dụ: Các nghiệm x = π/4 + πn/3 trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của lục giác đều.

    • Các phương pháp giải phương trình lượng giác.

      • Nếu phương trình lượng giác đã cho chỉ chứa một hàm số lượng giác thì giải phương trình này dưới dạng phương trình lượng giác cơ bản. Nếu một phương trình đã cho bao gồm hai hay nhiều hàm lượng giác thì có 2 phương pháp giải phương trình đó (tùy thuộc vào khả năng biến đổi của nó).
        • Phương pháp 1
      • Biến đổi phương trình này thành một phương trình có dạng: f(x)*g(x)*h(x) = 0, trong đó f(x), g(x), h(x) là các phương trình lượng giác cơ bản.
      • Ví dụ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Giải pháp. Sử dụng công thức góc kép sin 2x = 2*sin x*cos x, thay thế sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Giờ hãy giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos x = 0 và (sin x + 1) = 0.
      • Ví dụ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Lời giải: Sử dụng các đẳng thức lượng giác, hãy biến đổi phương trình này thành một phương trình có dạng: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Bây giờ hãy giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos 2x = 0 và (2cos x + 1) = 0.
      • Ví dụ 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
      • Lời giải: Sử dụng đồng nhất thức lượng giác, biến đổi phương trình này thành phương trình có dạng: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Bây giờ hãy giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos 2x = 0 và (2sin x + 1) = 0.
        • Phương pháp 2
      • Biến đổi phương trình lượng giác đã cho thành phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác. Sau đó thay hàm lượng giác này bằng một ẩn số nào đó, chẳng hạn t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg(x/2) = t, v.v.).
      • Ví dụ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Giải pháp. Trong phương trình này, thay (cos^2 x) bằng (1 - sin^2 x) (theo căn thức). Phương trình biến đổi trông giống như:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Thay sin x bằng t. Bây giờ phương trình có dạng: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Đây là phương trình bậc hai có hai nghiệm: t1 = -1 và t2 = 9/5. Căn bậc hai t2 không thỏa mãn khoảng của hàm số (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Ví dụ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Giải pháp. Thay tg x bằng t. Viết lại phương trình ban đầu như sau: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Bây giờ hãy tìm t và sau đó tìm x để t = tg x.

    • Phương trình lượng giác đặc biệt.

      • Có một số phương trình lượng giác đặc biệt yêu cầu các phép biến đổi cụ thể. Ví dụ:
      • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
      • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

    • Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác.

      • Như đã đề cập trước đó, tất cả các hàm lượng giác đều có tính tuần hoàn, nghĩa là các giá trị của chúng lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định. Ví dụ:
        • Chu kỳ của hàm số f(x) = sin x là 2π.
        • Chu kỳ của hàm f(x) = tg x bằng π.
        • Chu kỳ của hàm f(x) = sin 2x bằng π.
        • Chu kỳ của hàm f(x) = cos(x/2) là 4π.
      • Nếu một khoảng thời gian được chỉ định trong bài toán, hãy tính giá trị x trong khoảng thời gian đó.
      • Lưu ý: Việc giải phương trình lượng giác không phải là việc dễ dàng và thường dẫn đến sai sót. Vì vậy, hãy kiểm tra câu trả lời của bạn một cách cẩn thận. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng máy tính vẽ đồ thị để vẽ phương trình đã cho R(x) = 0. Trong những trường hợp như vậy, nghiệm sẽ được biểu thị dưới dạng số thập phân (nghĩa là π được thay thế bằng 3,14).