Nếu chức năng f(x) có trên một số khoảng chứa một điểm một, đạo hàm của tất cả các bậc, thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:

ở đâu rn- cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:

, trong đó số x được đặt giữa X và một.

Nếu vì một số giá trị x r n®0 tại N®¥, sau đó trong giới hạn, công thức Taylor cho giá trị này biến thành công thức hội tụ chuỗi Taylor:

Vì vậy chức năng f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm được xem xét X, nếu:

1) nó có dẫn xuất của tất cả các lệnh;

2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.

Tại một=0 chúng tôi nhận được một chuỗi gọi là gần Maclaurin:

ví dụ 1 f(x)= 2x.

Phán quyết. Hãy để chúng tôi tìm các giá trị của hàm và đạo hàm của nó tại X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x trong 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Thay thế các giá trị thu được của các dẫn xuất vào công thức chuỗi Taylor, chúng ta nhận được:

Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cực nên khai triển này có giá trị là -¥<x<+¥.

ví dụ 2 X+4) cho chức năng f(x)= e x.

Phán quyết. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Do đó, chuỗi Taylor mong muốn của hàm có dạng:

Phân tách này cũng hợp lệ cho -¥<x<+¥.

ví dụ 3 . Mở rộng chức năng f(x)=ln x trong một loạt theo độ ( X- 1),

(tức là trong một chuỗi Taylor trong vùng lân cận của điểm X=1).

Phán quyết. Ta tìm đạo hàm của hàm này.

Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta có được chuỗi Taylor mong muốn:

Với sự trợ giúp của kiểm định d'Alembert, người ta có thể kiểm chứng rằng chuỗi hội tụ khi

½ X- 1½<1. Действительно,

Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của phép thử Leibniz. Tại X=0 chức năng không được xác định. Như vậy, miền hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2].

Hãy để chúng tôi trình bày các khai triển thu được theo cách này trong chuỗi Maclaurin (nghĩa là trong một lân cận của điểm X=0) cho một số chức năng cơ bản:

(2) ,

(3) ,

( bản mở rộng cuối cùng được gọi là chuỗi nhị thức)

Ví dụ 4 . Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

Phán quyết. Trong phân tích (1), chúng tôi thay thế X trên - X 2 , ta được:

Ví dụ 5 . Khai triển hàm trong chuỗi Maclaurin

Phán quyết. Chúng ta có

Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:

thay thế thay vì X vào công thức -X, chúng tôi nhận được:

Từ đây ta thấy:

Mở rộng các dấu ngoặc, sắp xếp lại các điều khoản của chuỗi và giảm các điều khoản tương tự, chúng tôi nhận được

Chuỗi này hội tụ trong khoảng

(-1;1) vì nó suy ra từ hai chuỗi, mỗi chuỗi hội tụ trong khoảng này.

Nhận xét .

Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để khai triển các hàm tương ứng trong chuỗi Taylor, tức là để khai triển các hàm theo lũy thừa nguyên dương ( Hà). Để làm điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt như vậy trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1) - (5), trong đó thay vì X chi phí k( Hà) m , với k là hằng số, m là số nguyên dương. Nó thường thuận tiện để thay đổi biến t=Hà và khai triển hàm kết quả đối với t trong chuỗi Maclaurin.

Phương pháp này minh họa định lý về tính duy nhất của khai triển hàm số trong một chuỗi lũy thừa. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể có được hai chuỗi lũy thừa khác nhau sẽ hội tụ về cùng một hàm, bất kể khai triển của nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ 6 . Khai triển hàm trong chuỗi Taylor trong một lân cận của một điểm X=3.

Phán quyết. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, trong đó cần tìm đạo hàm của các hàm và giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng phân tách hiện có (5):

Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Ví dụ 7 . Viết một chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X-1) tính năng .

Phán quyết.

Chuỗi hội tụ tại , hoặc 2< x£5.

Làm thế nào để chèn các công thức toán học trên trang web?

Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào một trang web, thì cách dễ nhất để làm điều này được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng ảnh mà Wolfram Alpha tự động tạo ra. Ngoài sự đơn giản, phương pháp phổ biến này sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị của trang web trong các công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động trong một thời gian dài (và tôi nghĩ nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng nó đã lỗi thời về mặt đạo đức.

Nếu bạn thường xuyên sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax, một thư viện JavaScript đặc biệt hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web bằng cách sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.

Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng mã đơn giản, bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ được tải tự động từ máy chủ từ xa vào đúng thời điểm (danh sách máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa lên máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai phức tạp hơn và tốn thời gian hơn, đồng thời sẽ cho phép bạn tăng tốc độ tải các trang trên trang web của mình và nếu máy chủ MathJax gốc tạm thời không khả dụng vì một số lý do, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Bất chấp những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không yêu cầu kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi và trong vòng 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.

Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web chính của MathJax hoặc từ trang tài liệu:

Một trong các tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và hoặc ngay sau thẻ . Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản mới nhất của MathJax. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, mã đó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn dán mã thứ hai, thì các trang sẽ tải chậm hơn, nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật của MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, hãy thêm một tiện ích được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản thứ nhất hoặc thứ hai của mã tải ở trên vào đó và đặt tiện ích gần hơn với phần đầu của mẫu (nhân tiện, điều này hoàn toàn không cần thiết, vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Giờ hãy tìm hiểu cú pháp đánh dấu MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng nhúng các công thức toán học vào các trang web của mình.

Bất kỳ fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, quy tắc này được áp dụng nhất quán không giới hạn số lần. Mỗi lần như vậy gọi là một lần lặp.

Thuật toán lặp để xây dựng miếng bọt biển Menger khá đơn giản: khối lập phương ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 khối lập phương bằng nhau. Một khối trung tâm và 6 khối liền kề với nó dọc theo các mặt được loại bỏ khỏi nó. Hóa ra một bộ bao gồm 20 khối lập phương nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi hình lập phương này, ta được một bộ gồm 400 hình lập phương nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này vô thời hạn, chúng tôi nhận được miếng bọt biển Menger.

16.1. Khai triển các hàm cơ bản trong chuỗi Taylor và

Maclaurin

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên tập hợp
, lân cận điểm
có nhiều đạo hàm và là tổng của một chuỗi lũy thừa:

sau đó bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.

Thay thế trong một loạt sức mạnh
. sau đó
.

Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số
:

Tại
:
.

Đối với đạo hàm thứ hai, chúng tôi nhận được:

Tại
:
.

Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được:
.

Do đó, chúng ta có một chuỗi lũy thừa có dạng:

,

được gọi là gần taylor cho chức năng
xung quanh điểm
.

Một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin tại
:

Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N các điều khoản đầu tiên và được ký hiệu là
. Sau đó chức năng
có thể được viết dưới dạng tổng N những thành viên đầu tiên của bộ truyện
và phần còn lại
:,

.

Phần còn lại thường là
thể hiện dưới các công thức khác nhau.

Một trong số chúng ở dạng Lagrange:

, ở đâu
.
.

Lưu ý rằng trong thực tế, dòng Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Vì vậy, để viết hàm
ở dạng tổng của một chuỗi lũy thừa, điều cần thiết là:

1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);

2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa kết quả;

3) chứng minh rằng chuỗi đã cho hội tụ tới hàm số
.

định lý1 (điều kiện cần và đủ để chuỗi Maclaurin hội tụ). Cho bán kính hội tụ của chuỗi
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng
hoạt động
, điều cần và đủ là thỏa mãn điều kiện sau:
trong khoảng xác định.

Định lý 2. Nếu đạo hàm của bất kỳ bậc nào của hàm
trong một số khoảng thời gian
giới hạn về giá trị tuyệt đối với cùng một số m, đó là
, thì trong khoảng này hàm
có thể được mở rộng trong một chuỗi Maclaurin.

Thí dụ1 . Mở rộng trong một chuỗi Taylor xung quanh điểm
hàm số.

Phán quyết.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

khu vực hội tụ
.

Thí dụ2 . Mở rộng chức năng trong chuỗi Taylor quanh một điểm
.

Phán quyết:

Chúng tôi tìm thấy giá trị của hàm và đạo hàm của nó tại
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Thay thế các giá trị này liên tiếp. Chúng tôi nhận được:

hoặc là
.

Ta hãy tìm miền hội tụ của chuỗi này. Theo kiểm định d'Alembert, chuỗi hội tụ nếu

.

Vì vậy, đối với bất kỳ giới hạn này nhỏ hơn 1 và do đó diện tích hội tụ của chuỗi sẽ là:
.

Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ về sự khai triển thành chuỗi Maclaurin của các hàm cơ bản cơ bản. Nhớ lại rằng chuỗi Maclaurin:

.

hội tụ trên khoảng
hoạt động
.

Lưu ý rằng để mở rộng hàm thành một chuỗi, cần:

a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho một hàm đã cho;

b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;

c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ đến hàm số
.

ví dụ 3 Xem xét chức năng
.

Phán quyết.

Hãy để chúng tôi tính giá trị của hàm và đạo hàm của nó cho
.

Sau đó, các hệ số số của chuỗi có dạng:

cho bât ki ai N. Chúng tôi thay thế các hệ số tìm thấy trong chuỗi Maclaurin và nhận được:

Tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:

.

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ đến hàm cho bất kỳ giá trị , vì trên mọi khoảng
hàm số và đạo hàm giá trị tuyệt đối của nó bị giới hạn bởi số .

Thí dụ4 . Xem xét chức năng
.

Phán quyết.

:

Dễ dàng thấy rằng các đạo hàm bậc chẵn
, và đạo hàm bậc lẻ. Chúng tôi thay thế các hệ số tìm thấy trong chuỗi Maclaurin và nhận được khai triển:

Hãy tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo d'Alembert:

cho bât ki ai . Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
.

Chuỗi này hội tụ đến hàm
, bởi vì tất cả các dẫn xuất của nó được giới hạn ở một.

Thí dụ5 .
.

Phán quyết.

Hãy để chúng tôi tìm giá trị của hàm và đạo hàm của nó tại
:

Do đó, các hệ số của chuỗi này:
và
, Do đó:

Tương tự với loạt bài trước, vùng hội tụ
. Chuỗi hội tụ đến hàm
, bởi vì tất cả các dẫn xuất của nó được giới hạn ở một.

Lưu ý rằng chức năng
khai triển lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm số
– chẵn và khai triển trong một chuỗi theo lũy thừa chẵn.

Thí dụ6 . Chuỗi nhị thức:
.

Phán quyết.

Hãy để chúng tôi tìm giá trị của hàm và đạo hàm của nó tại
:

Điêu nay cho thây răng:

Chúng tôi thay thế các giá trị này của các hệ số trong chuỗi Maclaurin và thu được khai triển của hàm này trong một chuỗi lũy thừa:

Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:

Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng
. Tại các điểm giới hạn tại
và
chuỗi có thể hội tụ hoặc không hội tụ tùy thuộc vào số mũ
.

Chuỗi đã học hội tụ trên khoảng
hoạt động
, tức là tổng của chuỗi
tại
.

Thí dụ7 . Hãy để chúng tôi mở rộng chức năng trong một chuỗi Maclaurin
.

Phán quyết.

Để mở rộng chức năng này thành một chuỗi, chúng tôi sử dụng chuỗi nhị thức cho
. Chúng tôi nhận được:

Dựa vào tính chất của chuỗi lũy thừa (một chuỗi lũy thừa có thể được lấy tích phân trong miền hội tụ của nó), ta tìm được tích phân của phần trái và phải của chuỗi này:

Tìm diện tích hội tụ của chuỗi này:
,

nghĩa là vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
. Hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Tại

. Sê-ri này là một sê-ri hài hòa, nghĩa là nó phân kỳ. Tại
chúng tôi nhận được một chuỗi số với một thuật ngữ chung
.

Chuỗi Leibniz hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi này là khoảng
.

16.2. Ứng dụng của chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng

Chuỗi lũy thừa đóng vai trò vô cùng quan trọng trong tính toán gần đúng. Với sự giúp đỡ của họ, các bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác được sử dụng trong các lĩnh vực kiến ​​​​thức khác nhau, chẳng hạn như trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, đã được biên soạn. Ngoài ra, việc mở rộng các hàm trong một chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong các phép tính gần đúng là vấn đề ước tính sai số khi thay tổng của một chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên. N các thành viên.

Hãy xem xét hai trường hợp:

chức năng được mở rộng thành một chuỗi xen kẽ;

chức năng được mở rộng thành một chuỗi không đổi dấu.

Tính toán bằng cách sử dụng loạt xen kẽ

Hãy để chức năng
được mở rộng thành chuỗi lũy thừa xoay chiều. Sau đó, khi tính hàm này cho một giá trị cụ thể chúng tôi nhận được một chuỗi số mà chúng tôi có thể áp dụng bài kiểm tra Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên N thành viên, thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên của phần còn lại của dãy số này, nghĩa là:
.

Thí dụ8 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Phán quyết.

Chúng tôi sẽ sử dụng chuỗi Maclaurin cho
, thay thế giá trị của góc tính bằng radian:

Nếu chúng ta so sánh các thành viên thứ nhất và thứ hai của chuỗi với độ chính xác nhất định, thì: .

Thuật ngữ mở rộng thứ ba:

nhỏ hơn độ chính xác tính toán quy định. Vì vậy, để tính toán
nó đủ để để lại hai điều khoản của bộ truyện, tức là

.

theo cách này
.

Thí dụ9 . Tính toán
với độ chính xác 0,001.

Phán quyết.

Chúng tôi sẽ sử dụng công thức chuỗi nhị thức. Đối với điều này, chúng tôi viết
như:
.

trong biểu thức này
,

Hãy so sánh từng điều khoản của chuỗi với độ chính xác được đưa ra. Rõ ràng là
. Vì vậy, để tính toán
nó đủ để lại ba thành viên của bộ truyện.

hoặc là
.

Tính toán sử dụng chuỗi dương

Thí dụ10 . Tính số với độ chính xác 0,001.

Phán quyết.

Trong một hàng cho một chức năng
thay thế
. Chúng tôi nhận được:

Hãy để chúng tôi ước tính lỗi phát sinh khi tổng của chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên các thành viên. Hãy viết ra bất đẳng thức rõ ràng:

tức là 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Theo điều kiện của bài toán, bạn cần tìm N sao cho bất đẳng thức sau thỏa mãn:
hoặc là
.

Dễ dàng kiểm tra rằng khi N= 6:
.

Do đó,
.

Thí dụ11 . Tính toán
với độ chính xác 0,0001.

Phán quyết.

Lưu ý rằng để tính logarit, người ta có thể áp dụng chuỗi cho hàm
, nhưng chuỗi này hội tụ rất chậm và phải lấy 9999 số hạng mới đạt được độ chính xác đã cho! Do đó, để tính logarit, theo quy luật, một chuỗi cho hàm được sử dụng
, hội tụ trên khoảng
.

tính toán
với hàng này. Cho phép
, sau đó .

Do đó,
,

để tính toán
với độ chính xác cho trước, hãy tính tổng của bốn số hạng đầu tiên:
.

Phần còn lại của hàng
loại bỏ. Hãy ước tính sai số. Hiển nhiên là

hoặc là
.

Do đó, trong chuỗi được sử dụng để tính toán, chỉ cần lấy bốn số hạng đầu tiên thay vì 9999 trong chuỗi cho hàm là đủ
.

Câu hỏi để tự chẩn đoán

1. Chuỗi Taylor là gì?

2. Maclaurin có loại sê-ri nào?

3. Xây dựng định lý về khai triển hàm số trong chuỗi Taylor.

4. Viết khai triển trong chuỗi Maclaurin của các hàm chính.

5. Hãy chỉ ra các miền đồng quy của chuỗi số đang xét.

6. Làm thế nào để ước tính sai số trong các phép tính gần đúng bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa?

Sự phân rã của một chức năng trong một loạt Taylor, Maclaurin và Laurent trên trang web để đào tạo các kỹ năng thực tế. Sự mở rộng chuỗi này của một hàm mang lại cho các nhà toán học ý tưởng ước lượng giá trị gần đúng của một hàm tại một số điểm trong miền xác định của nó. Việc tính toán một giá trị hàm như vậy sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng bảng Bredis, vốn đã lỗi thời trong thời đại điện toán. Để mở rộng một hàm thành một chuỗi Taylor có nghĩa là tính các hệ số phía trước các hàm tuyến tính của chuỗi này và viết nó ở dạng chính xác. Học sinh nhầm lẫn giữa hai dãy số này, không hiểu đâu là trường hợp chung, đâu là trường hợp riêng của dãy số thứ hai. Chúng tôi nhắc bạn một lần và mãi mãi, chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, nghĩa là, nó là chuỗi Taylor, nhưng tại điểm x = 0. Tất cả các ghi chép ngắn gọn về khai triển của các hàm đã biết, chẳng hạn như e ^x, Sin(x), Cos(x) và những thứ khác, đây là những khai triển trong chuỗi Taylor, nhưng tại điểm 0 cho đối số. Đối với các chức năng của một đối số phức tạp, chuỗi Laurent là vấn đề phổ biến nhất trong TFKT, vì nó đại diện cho một chuỗi vô hạn hai phía. Nó là tổng của hai hàng. Chúng tôi khuyên bạn nên xem một ví dụ về phân tách trực tiếp trên trang web của trang web, rất dễ thực hiện việc này bằng cách nhấp vào "Ví dụ" với bất kỳ số nào, sau đó nhấp vào nút "Giải pháp". Chính sự mở rộng này của một hàm thành một chuỗi mà chuỗi chính được liên kết, giới hạn hàm ban đầu trong một vùng nhất định dọc theo trục tung độ, nếu biến thuộc về vùng abscissa. Phân tích vectơ được so sánh với một môn học thú vị khác trong toán học. Vì mỗi thuật ngữ cần được điều tra nên cần rất nhiều thời gian cho quá trình này. Bất kỳ chuỗi Taylor nào cũng có thể được liên kết với chuỗi Maclaurin bằng cách thay x0 bằng 0, nhưng đối với chuỗi Maclaurin, biểu diễn ngược lại của chuỗi Taylor đôi khi không rõ ràng. Cho dù nó không bắt buộc phải được thực hiện ở dạng nguyên chất như thế nào, thì nó vẫn rất thú vị để phát triển bản thân nói chung. Mỗi chuỗi Laurent tương ứng với một chuỗi lũy thừa vô hạn hai phía theo lũy thừa nguyên z-a, hay nói cách khác, một chuỗi cùng loại Taylor, nhưng hơi khác nhau về cách tính các hệ số. Chúng ta sẽ nói về miền hội tụ của chuỗi Laurent sau một chút, sau một số tính toán lý thuyết. Như trong thế kỷ trước, khó có thể đạt được sự mở rộng theo từng giai đoạn của một hàm thành một chuỗi chỉ bằng cách giảm các số hạng thành mẫu số chung, vì các hàm trong mẫu số là phi tuyến tính. Tính toán gần đúng giá trị chức năng yêu cầu xây dựng các vấn đề. Hãy nghĩ về thực tế là khi đối số của chuỗi Taylor là một biến tuyến tính, thì việc mở rộng diễn ra theo một số bước, nhưng là một bức tranh hoàn toàn khác, khi một hàm phức tạp hoặc phi tuyến tính đóng vai trò là đối số của hàm mở rộng, thì quá trình biểu diễn một hàm như vậy trong một chuỗi lũy thừa là hiển nhiên, bởi vì, theo cách như vậy, có thể dễ dàng tính toán, mặc dù gần đúng, nhưng giá trị tại bất kỳ điểm nào của miền xác định, với sai số tối thiểu có ít ảnh hưởng đến các tính toán tiếp theo. Điều này cũng áp dụng cho dòng Maclaurin. khi cần tính hàm tại điểm không. Tuy nhiên, bản thân chuỗi Laurent ở đây được biểu diễn bằng một phép khai triển phẳng với các đơn vị tưởng tượng. Ngoài ra, không phải không có thành công sẽ là giải pháp chính xác cho vấn đề trong quá trình tổng thể. Trong toán học, cách tiếp cận này không được biết đến, nhưng nó tồn tại một cách khách quan. Do đó, bạn có thể đi đến kết luận về cái gọi là tập hợp con theo chiều và khi khai triển một hàm trong một chuỗi, bạn cần áp dụng các phương pháp đã biết cho quá trình này, chẳng hạn như áp dụng lý thuyết đạo hàm. Một lần nữa, chúng tôi bị thuyết phục về tính đúng đắn của giáo viên, người đã đưa ra những giả định của mình về kết quả của các phép tính sau phép tính. Hãy lưu ý rằng chuỗi Taylor, thu được theo tất cả các tiêu chuẩn toán học, tồn tại và được xác định trên toàn bộ trục số, tuy nhiên, những người dùng dịch vụ trang web thân mến, đừng quên dạng của hàm ban đầu, vì nó có thể biến thành rằng ban đầu cần thiết lập miền của hàm, nghĩa là viết ra và loại trừ khỏi các xem xét tiếp theo những điểm mà tại đó hàm không được xác định trong miền số thực. Có thể nói, điều này sẽ thể hiện sự nhanh nhạy của bạn trong việc giải quyết vấn đề. Việc xây dựng chuỗi Maclaurin với giá trị bằng 0 của đối số sẽ không phải là ngoại lệ đối với những gì đã nói. Đồng thời, không ai hủy bỏ quá trình tìm miền định nghĩa của hàm và bạn phải tiếp cận hành động toán học này một cách nghiêm túc. Nếu chuỗi Laurent chứa phần chính, tham số "a" sẽ được gọi là điểm kỳ dị bị cô lập và chuỗi Laurent sẽ được mở rộng trong vòng - đây là giao điểm của các vùng hội tụ của các phần của nó, từ đó tương ứng định lý sẽ theo sau. Nhưng không phải mọi thứ đều khó khăn như thoạt nhìn đối với một sinh viên chưa có kinh nghiệm. Chỉ nghiên cứu chuỗi Taylor, người ta có thể dễ dàng hiểu chuỗi Laurent - một trường hợp tổng quát để mở rộng không gian số. Mọi sự mở rộng của một hàm thành một chuỗi chỉ có thể được thực hiện tại một điểm trong miền xác định của hàm. Người ta nên tính đến các thuộc tính của các hàm như vậy, chẳng hạn như tính tuần hoàn hoặc khả năng khả vi vô hạn. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên sử dụng bảng mở rộng được tạo sẵn thành chuỗi Taylor của các hàm cơ bản, vì một hàm có thể được biểu diễn bằng tối đa hàng chục chuỗi lũy thừa khác nhau, có thể thấy được từ việc sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi. Chuỗi trực tuyến của Maclaurin dễ dàng hơn bao giờ hết để xác định xem bạn có sử dụng dịch vụ trang web duy nhất hay không, bạn chỉ cần nhập đúng chức năng được viết và bạn sẽ nhận được câu trả lời được trình bày trong vài giây, nó sẽ được đảm bảo chính xác và ở dạng viết chuẩn . Bạn có thể viết lại kết quả ngay lập tức thành một bản sạch để gửi cho giáo viên. Sẽ đúng nếu trước tiên xác định tính giải tích của hàm đang xét trong các vành, sau đó khẳng định rõ ràng rằng nó có thể được khai triển thành một chuỗi Laurent trong tất cả các vành như vậy. Một thời điểm quan trọng là không để mất tầm nhìn của các thành viên của loạt Laurent có độ tiêu cực. Tập trung vào điều này càng nhiều càng tốt. Sử dụng tốt định lý Laurent về khai triển hàm số thành một chuỗi lũy thừa nguyên.