biểu mẫu sự kiện nhóm đầy đủ, nếu ít nhất một trong số chúng sẽ nhất thiết xảy ra do kết quả của thử nghiệm và không nhất quán theo cặp.

Giả sử rằng sự kiện Một chỉ có thể xảy ra cùng với một trong số các sự kiện không tương thích theo cặp tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Hãy gọi các sự kiện tôi= 1, 2,…, N) giả thuyết kinh nghiệm bổ sung (một tiên nghiệm). Xác suất xuất hiện của biến cố A được xác định theo công thức xác suất đầy đủ :

Ví dụ 16 Có ba cái bình. Hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng trắng và 3 quả đen, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng trắng và 4 quả đen, hộp thứ ba chứa 8 quả bóng trắng. Một trong các bình được chọn ngẫu nhiên (ví dụ, điều này có thể có nghĩa là một lựa chọn được thực hiện từ một bình phụ chứa ba quả bóng được đánh số 1, 2 và 3). Người ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ chiếc bình này. xác suất mà nó sẽ là màu đen là gì?

Phán quyết. Biến cố Một– bóng đen được rút ra. Nếu biết quả bóng được lấy ra từ chiếc bình nào, thì xác suất cần thiết có thể được tính theo định nghĩa xác suất cổ điển. Hãy để chúng tôi đưa ra các giả định (giả thuyết) về chiếc bình nào được chọn để lấy quả bóng.

Quả bóng có thể được lấy từ chiếc bình thứ nhất (giả thuyết), hoặc từ chiếc bình thứ hai (giả thuyết), hoặc từ chiếc bình thứ ba (giả thuyết). Vì có các cơ hội như nhau để chọn bất kỳ chiếc bình nào, nên .

Do đó nó theo sau đó

Ví dụ 17.Đèn điện được sản xuất tại ba nhà máy. Nhà máy thứ nhất sản xuất 30% tổng số đèn điện, nhà máy thứ hai - 25%,
và thứ ba cho phần còn lại. Sản phẩm của nhà máy thứ nhất chứa 1% đèn điện bị lỗi, nhà máy thứ hai - 1,5%, nhà máy thứ ba - 2%. Cửa hàng nhận sản phẩm từ cả ba nhà máy. Xác suất mà một chiếc đèn mua ở cửa hàng bị lỗi là bao nhiêu?

Phán quyết. Phải nhập các giả định về việc bóng đèn được sản xuất tại nhà máy nào. Biết được điều này, chúng ta có thể tìm ra xác suất nó bị lỗi. Hãy giới thiệu ký hiệu cho các sự kiện: Một– đèn điện đã mua bị lỗi, – đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ nhất, – đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ hai,
– đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ ba.

Xác suất mong muốn được tìm thấy theo công thức xác suất tổng:

Công thức Bayes. Hãy là một nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc theo cặp (các giả thuyết). VÀ là một sự kiện ngẫu nhiên. Sau đó,

Công thức cuối cùng cho phép bạn đánh giá quá cao xác suất của các giả thuyết sau khi biết kết quả của phép thử, do đó sự kiện A xuất hiện, được gọi là công thức bayes .

Ví dụ 18. Trung bình 50% bệnh nhân mắc bệnh được đưa vào bệnh viện chuyên khoa Đến, 30% mắc bệnh L, 20 % –
bị bệnh m. Xác suất chữa khỏi hoàn toàn bệnh K bằng 0,7 đối với bệnh L và m các xác suất này tương ứng là 0,8 và 0,9. Bệnh nhân nhập viện đã ra viện khỏe mạnh. Tìm xác suất bệnh nhân này mắc bệnh K.

Phán quyết. Chúng tôi đưa ra các giả thuyết: - bệnh nhân mắc bệnh Đến L, bệnh nhân bị bệnh m.

Khi đó, theo điều kiện của bài toán, ta có . Hãy giới thiệu một sự kiện VÀ Bệnh nhân nhập viện đã ra viện khỏe mạnh. Theo điều kiện

Theo công thức xác suất toàn phần, ta được:

Công thức Bayes.

Ví dụ 19. Giả sử có năm quả bóng trong bình và tất cả các giả định về số quả bóng trắng đều có thể xảy ra như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong bình và quả bóng đó có màu trắng. Giả định có khả năng nhất về thành phần ban đầu của chiếc bình là gì?

Phán quyết. Hãy đặt giả thuyết rằng trong bình có bóng trắng , tức là có thể đưa ra sáu giả định. Khi đó, theo điều kiện của bài toán, ta có .

Hãy giới thiệu một sự kiện VÀ Một quả bóng trắng được rút ngẫu nhiên. Hãy tính toán . Vì , nên theo công thức Bayes ta có:

Do đó, giả thuyết là có thể xảy ra nhất, vì .

Ví dụ 20. Hai trong số ba yếu tố hoạt động độc lập của thiết bị máy tính bị lỗi. Tìm xác suất để phần tử thứ nhất và thứ hai bị hỏng nếu xác suất hỏng của phần tử thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt bằng 0,2; 0,4 và 0,3.

Phán quyết. Biểu thị bởi VÀ sự kiện - hai yếu tố không thành công. Có thể đưa ra các giả thuyết sau:

- phần tử thứ nhất và thứ hai bị lỗi và phần tử thứ ba có thể sử dụng được. Vì các phần tử hoạt động độc lập nên áp dụng định lý nhân:

Hệ quả của hai định lý chính của lý thuyết xác suất - định lý cộng và nhân - là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Trong ngôn ngữ của đại số sự kiện, tập hợp , , ¼, được gọi là nhóm đầy đủ các sự kiện, nếu:

1. Các sự kiện không tương thích theo cặp, tức là , , ;.

2. Tóm lại, chúng tạo nên toàn bộ không gian xác suất .

Định lý 5 (Công thức xác suất toàn phần). Nếu sự kiện VÀ chỉ có thể xảy ra nếu một trong các sự kiện (giả thuyết), ,¼,, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, xảy ra, thì xác suất của sự kiện VÀ bằng

Bằng chứng. Vì các giả thuyết , , , là những giả thuyết duy nhất có thể xảy ra và sự kiện Một theo điều kiện của định lý chỉ có thể xảy ra cùng với một trong các giả thuyết, sau đó . Từ sự không nhất quán của các giả thuyết theo sau là sự không nhất quán .

Ta áp dụng định lý cộng xác suất ở dạng (6):

Theo định lý nhân. Thay biểu diễn này vào công thức (13), cuối cùng ta có: , điều cần chứng minh.

Ví dụ 8 Một công ty xuất nhập khẩu sắp ký hợp đồng cung cấp thiết bị nông nghiệp cho một trong các nước đang phát triển. Nếu đối thủ cạnh tranh chính của công ty không đồng thời đăng ký hợp đồng, thì xác suất giành được hợp đồng được ước tính là 0,45; mặt khác, ở mức 0,25. Theo các chuyên gia của công ty, xác suất đối thủ cạnh tranh sẽ đưa ra các đề xuất để ký kết hợp đồng là 0,40. Xác suất ký kết hợp đồng là gì?

Phán quyết. VÀ -“công ty sẽ ký kết hợp đồng”, - “đối thủ cạnh tranh sẽ đưa ra đề xuất của mình”, - “đối thủ cạnh tranh sẽ không đưa ra đề xuất của mình”. Theo nhiệm vụ , . Xác suất có điều kiện để một công ty giành được hợp đồng , . Theo công thức tổng xác suất

Một hệ quả của định lý nhân và công thức xác suất toàn phần là công thức Bayes.

công thức bayes cho phép bạn tính toán lại xác suất của từng giả thuyết, với điều kiện là sự kiện đó đã xảy ra. (Áp dụng khi sự kiện VÀ, chỉ có thể xuất hiện với một trong các giả thuyết tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, đã xảy ra và cần tiến hành đánh giá lại định lượng về xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết này đã biết trước khi thử nghiệm, tức là nó là cần thiết để tìm ra một hậu nghiệm (thu được sau khi thử nghiệm) xác suất có điều kiện của các giả thuyết), ,,…, .

Định lý 6 (công thức Bayes). Nếu sự kiện VÀ xảy ra, thì xác suất có điều kiện của các giả thuyết được tính theo một công thức được gọi là công thức Bayes:

Bằng chứng.Để có được công thức mong muốn, chúng tôi viết định lý nhân xác suất của các sự kiện VÀ và dưới hai hình thức:

ở đâu Q.E.D.

Ý nghĩa của công thức Bayes là khi một sự kiện xảy ra VÀ, những, cái đó. khi có được thông tin mới, chúng ta có thể kiểm tra và sửa các giả thuyết đưa ra trước khi thử nghiệm. Cách tiếp cận này, được gọi là Bayesian, cho phép điều chỉnh các quyết định quản lý trong nền kinh tế, ước tính các tham số chưa biết về phân phối các đặc điểm đang được nghiên cứu trong phân tích thống kê, v.v.

Nhiệm vụ 9. Nhóm gồm 6 học sinh xuất sắc, 12 học sinh giỏi và 22 học sinh trung bình. Một học sinh A có khả năng trả lời 5 và 4 như nhau, một học sinh giỏi có khả năng trả lời 5, 4 và 3 như nhau, và một học sinh trung bình có khả năng trả lời 4, 3 và 2 như nhau. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên đã trả lời 4. Xác suất mà một học sinh tầm thường được gọi là gì?

Phán quyết. Hãy xem xét ba giả thuyết:

Sự kiện trong câu hỏi. Từ điều kiện của bài toán, được biết rằng

, , .

Tìm xác suất của các giả thuyết. Vì nhóm chỉ có 40 học sinh và 6 học sinh giỏi nên . Tương tự như vậy, , . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta tìm được

Bây giờ chúng tôi áp dụng công thức Bayes cho giả thuyết:

Ví dụ 10 Một nhà phân tích kinh tế chia tình hình kinh tế trong nước thành “tốt”, “trung bình” và “xấu” một cách có điều kiện và ước tính xác suất của chúng trong một thời điểm nhất định là 0,15; lần lượt là 0,70 và 0,15. Một số chỉ số về điều kiện kinh tế tăng với xác suất 0,60 khi tình hình "tốt"; với xác suất 0,30 khi tình huống ở mức trung bình và với xác suất 0,10 khi tình huống "xấu". Giả sử rằng chỉ số điều kiện kinh tế đã tăng lên ở thời điểm hiện tại. Xác suất mà nền kinh tế của đất nước đang bùng nổ là gì?

Phán quyết. VÀ= "chỉ số điều kiện kinh tế của đất nước sẽ tăng lên", H1= “tình hình kinh tế trong nước là “tốt””, H 2= "tình hình kinh tế trong nước là 'tầm thường'", H 3= "tình hình kinh tế trong nước là 'xấu'". Theo điều kiện: , , . Xác suất có điều kiện: ,, . Chúng ta cần tìm xác suất. Chúng tôi tìm thấy nó bằng cách sử dụng công thức Bayes:

Ví dụ 11. Công ty thương mại nhận tivi từ ba nhà cung cấp theo tỷ lệ 1:4:5. Thực tế đã chỉ ra rằng TV đến từ nhà cung cấp thứ 1, thứ 2 và thứ 3 sẽ không phải sửa chữa trong thời gian bảo hành với tỷ lệ tương ứng là 98%, 88% và 92% các trường hợp.

Được biên soạn bởi giáo viên Khoa Toán Cao cấp Ishchanov T.R. Bài số 4. Công thức xác suất toàn phần. Xác suất của các giả thuyết. Công thức Bayes.

Tài liệu lý thuyết
Công thức xác suất tổng
định lý. Xác suất của một sự kiện A, chỉ có thể xảy ra nếu một trong các sự kiện không tương thích tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, bằng tổng tích các xác suất của từng sự kiện này với xác suất có điều kiện tương ứng của sự kiện A:

.
Công thức này được gọi là "công thức xác suất tổng".

Bằng chứng. Theo điều kiện, biến cố A có thể xảy ra nếu xảy ra một trong các biến cố xung khắc. Nói cách khác, sự xuất hiện của sự kiện A có nghĩa là việc thực hiện một, bất kể là sự kiện nào, trong số các sự kiện không tương thích. Sử dụng định lý cộng để tính xác suất của biến cố A, ta thu được
. (*)
Nó vẫn còn để tính toán từng điều khoản. Theo định lý nhân xác suất của các biến cố phụ thuộc, ta có
.
Thay phần bên phải của các đẳng thức này vào biểu thức (*), ta thu được công thức tính xác suất toàn phần

ví dụ 1 Có hai bộ phận. Xác suất để một phần của bộ đầu tiên là tiêu chuẩn là 0,8 và bộ thứ hai là 0,9. Tìm xác suất để một mục được chọn ngẫu nhiên (từ một bộ được chọn ngẫu nhiên) là tiêu chuẩn.
Phán quyết. Kí hiệu A là biến cố “phần trích được đạt tiêu chuẩn”.
Phần này có thể được lấy từ tập hợp đầu tiên (sự kiện) hoặc từ tập hợp thứ hai (sự kiện).
Xác suất để một phần được lấy từ bộ đầu tiên là .
Xác suất mà một phần được lấy ra khỏi bộ thứ hai, .
Xác suất có điều kiện mà một phần tiêu chuẩn sẽ được trích xuất từ ​​bộ đầu tiên, .
Xác suất có điều kiện mà một phần tiêu chuẩn sẽ được trích xuất từ ​​bộ thứ hai .
Xác suất mong muốn để phần được trích xuất ngẫu nhiên là tiêu chuẩn, theo công thức xác suất tổng, bằng

ví dụ 2 Hộp đầu tiên chứa 20 ống, trong đó 18 ống tiêu chuẩn; trong hộp thứ hai - 10 đèn, 9 trong số đó là tiêu chuẩn. Người ta lấy ngẫu nhiên một chiếc đèn từ hộp thứ hai chuyển sang hộp thứ nhất. Tìm xác suất để bóng đèn lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất là bóng chuẩn.
Phán quyết. Kí hiệu A là biến cố "một bóng đèn tiêu chuẩn được lấy ra khỏi hộp thứ nhất".
Có thể lấy đèn tiêu chuẩn (sự kiện) hoặc đèn không chuẩn (sự kiện) từ hộp thứ hai.
Xác suất để một bóng đèn tiêu chuẩn được lấy ra từ hộp thứ hai là .
Xác suất để một bóng đèn không đạt tiêu chuẩn được lấy từ hộp thứ hai là
Xác suất có điều kiện để một bóng đèn chuẩn được lấy từ hộp thứ nhất, với điều kiện là một bóng đèn chuẩn được chuyển từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất, bằng .
Xác suất có điều kiện để một bóng đèn tiêu chuẩn được lấy từ hộp thứ nhất, với điều kiện là một bóng đèn không chuẩn được chuyển từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất, bằng .
Xác suất mong muốn để một bóng đèn chuẩn sẽ bị lấy ra khỏi hộp đầu tiên, theo công thức xác suất tổng, bằng

Xác suất của các giả thuyết. công thức Bayes

Hãy để sự kiện A có thể xảy ra với điều kiện là một trong những sự kiện không tương thích, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, xuất hiện. Vì không biết trước sự kiện nào sẽ xảy ra nên chúng được gọi là giả thuyết. Xác suất xuất hiện của biến cố A được xác định theo công thức xác suất toàn phần:

Giả sử rằng một thử nghiệm đã được thực hiện, kết quả là sự kiện A đã xuất hiện. Hãy đặt cho mình nhiệm vụ xác định xác suất của các giả thuyết đã thay đổi như thế nào (do sự kiện A đã xảy ra). Nói cách khác, chúng ta sẽ tìm kiếm xác suất có điều kiện

Trước tiên hãy tìm xác suất có điều kiện. Theo định lý nhân, ta có

.

Thay P(A) ở đây bởi công thức (*), ta được

Tương tự, các công thức được rút ra để xác định xác suất có điều kiện của các giả thuyết còn lại, nghĩa là xác suất có điều kiện của bất kỳ giả thuyết nào có thể được tính theo công thức

Các công thức kết quả được gọi là công thức Bayes(được đặt tên theo nhà toán học người Anh đã tìm ra chúng; xuất bản năm 1764). Các công thức Bayes cho phép bạn đánh giá quá cao xác suất của các giả thuyết sau khi biết kết quả của phép thử, do đó sự kiện A xuất hiện.

Thí dụ. Các bộ phận do cửa hàng nhà máy sản xuất được gửi đến một trong hai thanh tra viên để kiểm tra xem chúng có đạt tiêu chuẩn hay không. Xác suất để bộ phận đến được bộ điều khiển đầu tiên là 0,6 và đến bộ thứ hai - 0,4. Xác suất để một bộ phận tốt được người kiểm tra đầu tiên công nhận là tiêu chuẩn là 0,94 và của người thứ hai là 0,98. Một phần tốt trong quá trình kiểm tra đã được công nhận là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để bộ phận này được kiểm tra bởi thanh tra viên đầu tiên.
Phán quyết. Biểu thị bằng A sự kiện bộ phận tốt được công nhận là tiêu chuẩn. Hai giả định có thể được thực hiện:
1) mục đã được kiểm tra bởi bộ điều khiển đầu tiên (giả thuyết);
2) mục đã được kiểm tra bởi bộ điều khiển thứ hai (giả thuyết). Xác suất mong muốn mà bộ phận được kiểm tra bởi bộ điều khiển đầu tiên có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức Bayes:

Theo điều kiện của bài toán, ta có:
(xác suất bộ phận đến được bộ điều khiển đầu tiên);
(xác suất bộ phận sẽ đến bộ điều khiển thứ hai);
(xác suất mà một bộ phận tốt sẽ được công nhận bởi người kiểm tra đầu tiên là tiêu chuẩn);
(xác suất mà một bộ phận tốt sẽ được người kiểm tra thứ hai công nhận là tiêu chuẩn).
xác suất mong muốn

Như bạn có thể thấy, trước khi thử nghiệm, xác suất của giả thuyết là 0,6, sau khi biết kết quả của thử nghiệm, xác suất của giả thuyết này (chính xác hơn là xác suất có điều kiện) đã thay đổi và bằng 0,59. Do đó, việc sử dụng công thức Bayes giúp đánh giá quá cao xác suất của giả thuyết được xem xét.

tài liệu thực tế.
1. (4) Nhà lắp ráp nhận được 3 hộp phụ tùng của nhà máy số 1 và 2 hộp phụ kiện của nhà máy số 2. Xác suất để nhà máy số 1 là phụ tùng tiêu chuẩn là 0,8 và nhà máy số 2 là 0,9, nhà lắp ráp ngẫu nhiên đã lấy bộ phận này ra khỏi một cách ngẫu nhiên. lấy hộp. Tìm xác suất để một phần tiêu chuẩn được trích xuất.
Trả lời. 0,84.
2. (5) Hộp đầu tiên chứa 20 phần, 15 trong số đó là tiêu chuẩn; trong phần thứ hai - 30 phần, trong đó 24 phần là tiêu chuẩn; trong phần thứ ba - 10 phần, trong đó 6 phần là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để một vật phẩm được chọn ngẫu nhiên từ một hộp được chọn ngẫu nhiên là tiêu chuẩn.
Trả lời. 43/60.
3. (6) Có 4 kinescopes trong trường quay truyền hình. Xác suất để kinescope chịu được thời gian bảo hành lần lượt là 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Tìm xác suất để một kính soi được lấy ngẫu nhiên sẽ tồn tại trong thời gian bảo hành.
Trả lời. 0,875.
4. (3) Trong một nhóm vận động viên có 20 vận động viên trượt tuyết, 6 vận động viên đi xe đạp và 4 vận động viên chạy bộ. Xác suất đáp ứng tiêu chuẩn đủ điều kiện như sau: đối với vận động viên trượt tuyết - 0,9, đối với người đi xe đạp - 0,8. và cho người về nhì-0,75. Tìm xác suất để một vận động viên được chọn ngẫu nhiên sẽ hoàn thành định mức.
Trả lời. 0,86.
5. (C) Có 12 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh trong hộp màu trắng. Màu đen - 15 quả bóng màu đỏ và 10 màu xanh lam. Ném một con xúc xắc. Nếu số điểm là bội số của 3 thì lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp trắng. Nếu bất kỳ số điểm nào khác rơi ra, thì một quả bóng sẽ được lấy ngẫu nhiên từ hộp đen. Xác suất để bóng đỏ xuất hiện là bao nhiêu?
Phán quyết:
Hai giả thuyết có thể xảy ra:
- khi ném xúc xắc, một số điểm sẽ rơi, bội số của 3, tức là hoặc 3 hoặc 6;
- khi ném xúc xắc, một số điểm khác sẽ rơi ra, tức là hoặc 1 hoặc 2 hoặc 4 hoặc 5.
Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của các giả thuyết là:

Vì các giả thuyết tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện, đẳng thức phải giữ

Gọi biến cố A là xuất hiện viên bi đỏ. Xác suất có điều kiện của sự kiện này phụ thuộc vào giả thuyết nào được thực hiện và tương ứng là:

Khi đó, theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố A sẽ bằng:

6. (7) Có các ống vô tuyến trong hai hộp. Hộp đầu tiên chứa 12 đèn, trong đó có 1 đèn không chuẩn; trong cái thứ hai có 10 đèn, 1 trong số đó là không chuẩn. Người ta lấy ngẫu nhiên một chiếc đèn từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Tìm xác suất để một bóng đèn được lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ hai là không chuẩn.
Trả lời. 13/132.

7. (89 Đ) Người ta thả một quả bóng trắng vào một chiếc hộp đựng hai quả bóng, sau đó người ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tìm xác suất để quả bóng được rút ra sẽ có màu trắng nếu tất cả các giả định có thể có về thành phần ban đầu của các quả bóng (theo màu sắc) đều có thể xảy ra như nhau.
Phán quyết. Biểu thị bằng A sự kiện - một quả bóng trắng được rút ra. Có thể có các giả định (giả thuyết) sau về thành phần ban đầu của các quả bóng: - không có quả bóng trắng, - một quả bóng trắng, - hai quả bóng trắng.
Vì tổng cộng có ba giả thuyết và với điều kiện là chúng có xác suất xảy ra như nhau và tổng xác suất của các giả thuyết bằng một (vì chúng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện), nên xác suất của mỗi giả thuyết là bằng nhau đến 1/3, tức là .
Xác suất có điều kiện để rút được một quả bóng trắng, biết rằng ban đầu không có quả bóng trắng nào trong hộp, .
Xác suất có điều kiện mà một quả bóng trắng sẽ được rút ra, với điều kiện ban đầu chiếc bình chứa một quả bóng trắng, .
Xác suất có điều kiện mà một quả bóng trắng sẽ được rút ra, với điều kiện ban đầu chiếc bình chứa hai quả bóng trắng.
Xác suất mong muốn để lấy được một quả bóng trắng được tính theo công thức xác suất tổng:

8. (10) Người ta ném một bộ phận tiêu chuẩn vào một hộp có 3 bộ phận giống hệt nhau, sau đó lấy ngẫu nhiên một bộ phận. Tìm xác suất để một bộ phận tiêu chuẩn được rút ra nếu tất cả các dự đoán có thể có về số bộ phận tiêu chuẩn ban đầu trong hộp đều có xác suất như nhau.
Trả lời. 0,625.

9. (6.5.2L) Hai máy thu thanh được sử dụng để cải thiện chất lượng liên lạc vô tuyến. Xác suất nhận được tín hiệu của mỗi người nhận là 0,8 và các sự kiện này (việc nhận tín hiệu của người nhận) là độc lập. Xác định xác suất nhận được tín hiệu nếu xác suất hoạt động không có lỗi trong phiên liên lạc vô tuyến đối với mỗi máy thu là 0,9.
Phán quyết.
Giả sử biến cố A=(sẽ nhận được tín hiệu). Hãy xem xét bốn giả thuyết:

=(máy thu đầu tiên đang hoạt động, máy thu thứ hai thì không);

=(cái thứ hai hoạt động, cái thứ nhất không);

=(cả hai máy thu đều hoạt động);

= (cả hai máy thu đều không hoạt động).

Sự kiện A chỉ có thể xảy ra với một trong các giả thuyết này. Chúng ta hãy tìm xác suất của những giả thuyết này bằng cách xem xét các sự kiện sau:

=(máy thu đầu tiên hoạt động),

= (máy thu thứ hai hoạt động).

Điều khiển:

.

Các xác suất có điều kiện lần lượt là:

;

;

Bây giờ, sử dụng công thức tổng xác suất, chúng tôi tìm thấy xác suất mong muốn

10. (11) Trong trường hợp lệch khỏi chế độ hoạt động bình thường của máy, thiết bị báo hiệu C-1 được kích hoạt với xác suất là 0,8 và thiết bị báo hiệu C-11 được kích hoạt với xác suất là 1. Xác suất mà máy được trang bị thiết bị báo hiệu C-1 hoặc C-11 lần lượt bằng 0, 6 và 0,4. Đã nhận được tín hiệu về việc cắt máy. Điều gì có khả năng xảy ra hơn: máy được trang bị thiết bị phát tín hiệu C-1 hoặc C-11?
Trả lời. Xác suất để máy được trang bị thiết bị phát tín hiệu C-1 là 6/11, và C-11 là 5/11

11. (12) Chọn 4 học sinh nhóm 1, 6 học sinh nhóm 2, 5 học sinh nhóm 3 tham gia thi đấu thể thao vòng loại học sinh. Xác suất để một sinh viên của nhóm thứ nhất, thứ hai và thứ ba vào đội của viện lần lượt bằng 0,9; 0,7 và 0,8. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên đã lọt vào đội tuyển quốc gia sau cuộc thi. Học sinh này có khả năng thuộc về nhóm nào nhất?
Trả lời. Xác suất để một học sinh của tổ thứ nhất, thứ hai, thứ ba được chọn lần lượt là: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) Một công ty thương mại nhận máy thu hình từ ba nhà cung cấp theo tỷ lệ 1:4:5. Thực tế đã chỉ ra rằng TV đến từ nhà cung cấp thứ 1, thứ 2 và thứ 3 sẽ không phải sửa chữa trong thời gian bảo hành, tương ứng, trong 98, 88 và 92% trường hợp.
1) Tìm xác suất để TV mà công ty thương mại nhận được sẽ không cần sửa chữa trong thời gian bảo hành.
2) Tivi bán ra cần sửa chữa trong thời gian bảo hành. Chiếc TV này rất có thể đến từ nhà cung cấp nào?
Phán quyết.
Hãy chỉ định các sự kiện: - TV đã đến công ty thương mại từ nhà cung cấp thứ i (i=1,2,3);
A - TV sẽ không yêu cầu sửa chữa trong thời gian bảo hành.
Theo điều kiện

Theo công thức tổng xác suất

TV sự kiện sẽ yêu cầu sửa chữa trong thời gian bảo hành; .
Theo điều kiện

Theo công thức Bayes

;

Như vậy, sau khi sự kiện xảy ra, xác suất của giả thuyết tăng từ đến mức tối đa và các giả thuyết - giảm từ mức tối đa xuống ; nếu trước đó (trước khi bắt đầu sự kiện A), giả thuyết có nhiều khả năng xảy ra nhất, thì bây giờ, với thông tin mới (sự kiện A bắt đầu), giả thuyết có khả năng xảy ra nhất là chiếc TV này đến từ nhà cung cấp thứ 2.

13. (1.35K) Được biết, trung bình 95% sản phẩm sản xuất đạt tiêu chuẩn. Sơ đồ kiểm soát đơn giản hóa công nhận một sản phẩm là phù hợp với xác suất là 0,98 nếu sản phẩm đó là tiêu chuẩn và với xác suất là 0,06 nếu sản phẩm đó không phải là tiêu chuẩn. Xác định xác suất sao cho:
1) một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên sẽ vượt qua kiểm soát đơn giản hóa;
2) sản phẩm đạt tiêu chuẩn nếu: a) đạt tiêu chuẩn kiểm soát đơn giản hóa; b) vượt qua kiểm soát đơn giản hóa hai lần.
Phán quyết.
1). Hãy biểu thị các sự kiện:
- lấy ngẫu nhiên, sản phẩm tương ứng là tiêu chuẩn hoặc không tiêu chuẩn;
- sản phẩm đã thông qua kiểm soát đơn giản hóa.

Theo điều kiện

Xác suất mà một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên sẽ vượt qua kiểm soát đơn giản hóa, theo công thức tổng xác suất:

2a). Xác suất mà một sản phẩm đã vượt qua quá trình kiểm tra đơn giản hóa là tiêu chuẩn, theo công thức Bayes:

2b). Hãy để sự kiện - sản phẩm vượt qua kiểm soát đơn giản hóa hai lần. Sau đó, theo định lý nhân xác suất:

Theo công thức Bayes

là rất nhỏ, thì giả thuyết rằng một sản phẩm đã vượt qua kiểm soát đơn giản hóa hai lần là không đạt tiêu chuẩn nên bị loại bỏ như một sự kiện gần như không thể xảy ra.

14. (1.36K) Hai xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một phát. Xác suất bắn trúng của người bắn thứ nhất là 0,8; lần thứ hai - 0,4. Sau khi bắn, một lỗ được tìm thấy trên mục tiêu. Xác suất mà nó thuộc về:
a) Người bắn thứ nhất;
b) Người bắn thứ 2?
Phán quyết.
Hãy biểu thị các sự kiện:

Cả hai mũi tên đều trượt mục tiêu;

Cả hai mũi tên đều trúng mục tiêu;

Người thứ nhất bắn trúng mục tiêu, người thứ 2 thì không;

Người bắn thứ nhất trượt mục tiêu, người thứ hai bắn trúng;

Có một lỗ trên mục tiêu (một cú đánh).

Hệ quả tất yếu của cả hai định lý chính - định lý cộng xác suất và định lý nhân xác suất - được gọi là công thức xác suất tổng.

Hãy để nó được yêu cầu xác định xác suất của một số sự kiện có thể xảy ra cùng với một trong các sự kiện:

tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích. Chúng tôi sẽ gọi những sự kiện này là giả thuyết.

Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này

, (3.4.1)

những, cái đó. xác suất của một sự kiện được tính bằng tổng các tích của xác suất của từng giả thuyết và xác suất của sự kiện theo giả thuyết này.

Công thức (3.4.1) được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Bằng chứng. Vì các giả thuyết tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nên sự kiện chỉ có thể xuất hiện khi kết hợp với bất kỳ giả thuyết nào sau đây:

Do các giả thuyết không nhất quán nên các kết hợp cũng không tương thích; áp dụng định lý cộng cho chúng, ta được:

Áp dụng định lý nhân cho biến cố, ta được:

,

Q.E.D.

Ví dụ 1. Có ba chiếc bình giống hệt nhau; hũ thứ nhất chứa hai viên bi trắng và một đen; trong lần thứ hai - ba màu trắng và một màu đen; trong phần ba - hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen. Ai đó chọn ngẫu nhiên một trong các bình và lấy một quả bóng từ đó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Phán quyết. Hãy xem xét ba giả thuyết:

Lựa chọn chiếc bình đầu tiên,

Lựa chọn bình thứ hai,

Lựa chọn bình thứ ba

và sự kiện là sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng.

Do các giả thuyết, theo điều kiện của bài toán, đều có xác suất như nhau, nên

.

Xác suất có điều kiện của sự kiện theo các giả thuyết này tương ứng bằng nhau:

Theo công thức tổng xác suất

.

Ví dụ 2. Bắn ba phát vào một máy bay. Xác suất bắn trúng lần thứ nhất là 0,4, lần thứ hai là 0,5, lần thứ ba là 0,7. Ba cú đánh rõ ràng là đủ để vô hiệu hóa một chiếc máy bay; trúng một phát thì xác suất máy bay hỏng là 0,2, trúng hai phát là xác suất 0,6. Tìm xác suất để máy bay ngừng hoạt động sau ba lần bắn.

Phán quyết. Hãy xem xét bốn giả thuyết:

Không một quả đạn nào trúng máy bay,

Một quả đạn trúng máy bay

Máy bay bị trúng hai quả đạn.

Ba quả đạn trúng máy bay.

Sử dụng các định lý cộng và nhân, chúng tôi tìm thấy xác suất của các giả thuyết này:

Các xác suất có điều kiện của sự kiện (hỏng máy bay) theo các giả thuyết này là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được:

Lưu ý rằng giả thuyết đầu tiên không thể được đưa vào xem xét, vì số hạng tương ứng trong công thức xác suất tổng biến mất. Điều này thường được thực hiện khi áp dụng công thức xác suất tổng, không xem xét nhóm đầy đủ các giả thuyết không nhất quán, mà chỉ xem xét những giả thuyết trong số chúng mà theo đó một sự kiện nhất định có thể xảy ra.

Ví dụ 3. Hoạt động của động cơ được điều khiển bởi hai bộ điều chỉnh. Một khoảng thời gian nhất định được xem xét, trong đó mong muốn đảm bảo động cơ hoạt động không gặp sự cố. Nếu có cả hai bộ điều chỉnh, động cơ hỏng với xác suất , nếu chỉ bộ thứ nhất hoạt động, với xác suất , nếu chỉ bộ thứ hai hoạt động, nếu cả hai bộ điều chỉnh đều hỏng, với xác suất . Cái đầu tiên của bộ điều chỉnh có độ tin cậy, cái thứ hai -. Tất cả các yếu tố thất bại độc lập với nhau. Tìm tổng độ tin cậy (xác suất hoạt động không hỏng hóc) của động cơ.

Cho xác suất của chúng và xác suất có điều kiện tương ứng đã biết. Khi đó xác suất để biến cố xảy ra là:

Công thức này được gọi là tổng công thức xác suất. Trong sách giáo khoa, nó được xây dựng theo một định lý, bằng chứng của nó là cơ bản: theo đại số biến cố, (sự kiện xảy ra và hoặc là một sự kiện đã xảy ra và sau khi nó đến sự kiện hoặc là một sự kiện đã xảy ra và sau khi nó đến sự kiện hoặc là …. hoặc là một sự kiện đã xảy ra và sự kiện đã theo dõi). Vì các giả thuyết không tương thích và sự kiện phụ thuộc, sau đó theo định lý bổ sung cho xác suất của các sự kiện xung khắc (bước đầu tiên) và định lý nhân xác suất của các sự kiện phụ thuộc (bước thứ hai):

Có lẽ, nhiều người dự đoán nội dung của ví dụ đầu tiên =)

Bất cứ nơi nào bạn nhổ - ở khắp mọi nơi:

Nhiệm vụ 1

Có ba chiếc bình giống hệt nhau. Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 7 bi đen, hộp thứ hai chỉ có bi trắng và hộp thứ ba chỉ có bi đen. Người ta chọn ngẫu nhiên một cái bình và lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ đó. Xác suất mà quả bóng này là màu đen là gì?

Phán quyết: xem xét sự kiện - một quả bóng đen sẽ được rút ra từ một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên. Sự kiện này có thể xảy ra do thực hiện một trong các giả thuyết sau:
– thùng thứ nhất sẽ được chọn;
– bình thứ 2 sẽ được chọn;
– hũ thứ 3 sẽ được chọn.

Vì chiếc bình được chọn ngẫu nhiên nên việc chọn chiếc bình nào trong ba chiếc bình đều có thể, Do đó:

Lưu ý rằng các giả thuyết trên hình thức nhóm đầy đủ các sự kiện, nghĩa là, theo điều kiện, một quả bóng đen chỉ có thể xuất hiện từ những chiếc bình này, và chẳng hạn, không bay ra khỏi bàn bi-a. Hãy làm một kiểm tra trung gian đơn giản:
OK, hãy tiếp tục:

Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng + 7 bi đen = 11 bi, mỗi bi nét cổ điển:
là xác suất rút được bi đen cho rằng rằng chiếc bình đầu tiên sẽ được chọn.

Hộp thứ hai chỉ chứa các quả bóng màu trắng, vì vậy nếu được chọn sự xuất hiện của một quả bóng đen trở thành Không thể nào: .

Và cuối cùng, trong chiếc bình thứ ba chỉ có những quả bóng đen, có nghĩa là những quả bóng tương ứng xác suất có điều kiện khai thác quả bóng đen sẽ là (sự kiện chắc chắn).

là xác suất để một quả bóng đen được rút ra từ một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên.

Câu trả lời:

Ví dụ được phân tích một lần nữa cho thấy tầm quan trọng của việc HIỂU ĐIỀU KIỆN. Hãy giải quyết các vấn đề tương tự với bình và quả bóng - với sự giống nhau bên ngoài của chúng, các phương pháp giải có thể hoàn toàn khác: ở đâu đó chỉ cần áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất, đâu đó sự kiện sống độc lập, một vài nơi sự phụ thuộc, và ở đâu đó chúng ta đang nói về các giả thuyết. Đồng thời, không có tiêu chí chính thức rõ ràng nào để chọn giải pháp cho con đường - bạn hầu như luôn cần phải suy nghĩ về nó. Làm thế nào để cải thiện kỹ năng của bạn? Chúng tôi giải quyết, chúng tôi giải quyết và chúng tôi giải quyết một lần nữa!

Nhiệm vụ 2

Có 5 khẩu súng trường khác nhau trong trường bắn. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người bắn nhất định lần lượt bằng 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 và 0,4. Xác suất bắn trúng mục tiêu là bao nhiêu nếu xạ thủ bắn một phát từ khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên?

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Trong hầu hết các vấn đề theo chủ đề, tất nhiên, các giả thuyết không có khả năng xảy ra như nhau:

nhiệm vụ 3

Có 5 khẩu súng trường trong kim tự tháp, ba trong số đó được trang bị kính ngắm quang học. Xác suất để người bắn trúng mục tiêu khi bắn từ súng trường có ống ngắm là 0,95; đối với súng trường không có ống ngắm, xác suất này là 0,7. Tìm xác suất mục tiêu sẽ bị bắn trúng nếu xạ thủ bắn một phát từ khẩu súng trường được lấy ngẫu nhiên.

Phán quyết: trong vấn đề này, số lượng súng trường giống hệt như trong vấn đề trước, nhưng chỉ có hai giả thuyết:
- người bắn sẽ chọn một khẩu súng trường có ống ngắm quang học;
- người bắn sẽ chọn một khẩu súng trường không có ống ngắm.
Qua định nghĩa cổ điển của xác suất: .
Điều khiển:

Xét sự kiện: - người bắn trúng mục tiêu bằng một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.
Theo điều kiện: .

Theo công thức xác suất tổng:

Câu trả lời: 0,85

Trong thực tế, một cách rút gọn để thiết kế một nhiệm vụ mà bạn cũng quen thuộc là hoàn toàn có thể chấp nhận được:

Phán quyết: theo định nghĩa cổ điển: lần lượt là xác suất chọn súng trường có và không có ống ngắm quang học.

Theo điều kiện, - xác suất bắn trúng mục tiêu với các loại súng trường tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất để người bắn bắn trúng mục tiêu bằng một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.

Câu trả lời: 0,85

Nhiệm vụ sau đây cho một giải pháp độc lập:

nhiệm vụ 4

Động cơ hoạt động ở ba chế độ: bình thường, cưỡng bức và chạy không tải. Ở chế độ không hoạt động, xác suất hỏng hóc của nó là 0,05, ở chế độ bình thường - 0,1 và ở chế độ bắt buộc - 0,7. 70% thời gian động cơ chạy ở chế độ bình thường, và 20% ở chế độ cưỡng bức. Xác suất hỏng động cơ trong quá trình vận hành là bao nhiêu?

Để đề phòng, hãy để tôi nhắc bạn - để có được xác suất, tỷ lệ phần trăm phải được chia cho 100. Hãy thật cẩn thận! Theo quan sát của tôi, điều kiện của các bài toán đối với công thức xác suất toàn phần thường bị cố lẫn lộn; và tôi đặc biệt chọn một ví dụ như vậy. Tôi sẽ cho bạn biết một bí mật - tôi gần như đã bối rối =)

Lời giải cuối bài (dạng ngắn gọn)

Các vấn đề cho công thức Bayes

Các tài liệu có liên quan chặt chẽ với nội dung của đoạn trước. Hãy để sự kiện xảy ra là kết quả của việc thực hiện một trong các giả thuyết . Làm thế nào để xác định xác suất mà một giả thuyết cụ thể đã xảy ra?

Cho rằng sự kiện đó vừa mới xảy ra, xác suất của các giả thuyết đánh giá quá cao theo các công thức đã nhận được tên của linh mục người Anh Thomas Bayes:

- xác suất xảy ra giả thuyết;
- xác suất xảy ra giả thuyết;
…
là xác suất mà giả thuyết là đúng.

Thoạt nhìn, nó có vẻ hoàn toàn vô lý - tại sao phải tính toán lại xác suất của các giả thuyết nếu chúng đã được biết trước? Nhưng trên thực tế có sự khác biệt:

- đây là tiên nghiệm(ước lượng trước kiểm tra) xác suất.

- đây là hậu thế(ước lượng sau đó kiểm tra) xác suất của các giả thuyết giống nhau, được tính toán lại liên quan đến "các tình huống mới được phát hiện" - có tính đến thực tế là sự kiện đã xảy ra.

Hãy xem xét sự khác biệt này với một ví dụ cụ thể:

nhiệm vụ 5

Kho nhận 2 đợt hàng: đợt 1 - 4000 cái, đợt 2 - 6000 cái. Tỷ lệ trung bình của các sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong đợt đầu tiên là 20% và trong lần thứ hai - 10%. Lấy ngẫu nhiên từ kho, sản phẩm hóa ra là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để nó là: a) từ lô đầu tiên, b) từ lô thứ hai.

Phần đầu tiên các giải pháp bao gồm việc sử dụng công thức xác suất tổng. Nói cách khác, các phép tính được thực hiện với giả định rằng bài kiểm tra chưa được sản xuất và sự kiện "sản phẩm hóa ra là tiêu chuẩn" cho đến khi nó đến.

Hãy xem xét hai giả thuyết:
- sản phẩm lấy ngẫu nhiên sẽ là sản phẩm của đợt 1;
- Sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ đợt hàng thứ 2.

Tổng cộng: 4000 + 6000 = 10000 mặt hàng trong kho. Theo định nghĩa cổ điển:
.

Điều khiển:

Xem xét sự kiện phụ thuộc: – một mặt hàng được lấy ngẫu nhiên từ nhà kho sẽ là Tiêu chuẩn.

Trong lô hàng đầu tiên 100% - 20% = 80% hàng chuẩn, do đó: cho rằng rằng nó thuộc về bên thứ nhất.

Tương tự ở lô thứ 2 100% - 10% = 90% hàng chuẩn và là xác suất để một mặt hàng được chọn ngẫu nhiên trong kho sẽ là mặt hàng tiêu chuẩn cho rằng rằng nó thuộc về bên thứ 2.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất để một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ kho sẽ là sản phẩm tiêu chuẩn.

Phần hai. Giả sử rằng một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ kho hóa ra là tiêu chuẩn. Cụm từ này được đánh vần trực tiếp trong điều kiện và nó nói lên thực tế rằng sự kiện xảy ra.

Theo công thức Bayes:

a) - xác suất để sản phẩm tiêu chuẩn được chọn thuộc lô đầu tiên;

b) - xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn được chọn thuộc lô thứ 2.

Sau đó đánh giá lại các giả thuyết, tất nhiên, vẫn hình thành nhóm đầy đủ:
(kiểm tra;-))

Câu trả lời:

Ivan Vasilyevich, người lại thay đổi nghề nghiệp và trở thành giám đốc nhà máy, sẽ giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của việc đánh giá lại các giả thuyết. Anh ấy biết rằng hôm nay cửa hàng thứ nhất đã vận chuyển 4000 mặt hàng vào kho và cửa hàng thứ 2 - 6000 sản phẩm, và anh ấy đến để đảm bảo điều này. Giả sử tất cả các sản phẩm đều cùng loại và đựng trong cùng một thùng hàng. Đương nhiên, Ivan Vasilyevich trước đây đã tính toán rằng sản phẩm mà bây giờ anh ta sẽ lấy ra để xác minh rất có thể sẽ được sản xuất bởi xưởng thứ nhất và có khả năng là do xưởng thứ hai sản xuất. Nhưng sau khi món đồ được chọn trở thành tiêu chuẩn, anh ấy thốt lên: “Thật tuyệt vời! - nó đã được phát hành bởi hội thảo thứ 2. Do đó, xác suất của giả thuyết thứ hai được đánh giá quá cao để tốt hơn và xác suất của giả thuyết thứ nhất bị đánh giá thấp: . Và sự đánh giá quá cao này không phải là vô lý - xét cho cùng, xưởng thứ 2 không chỉ sản xuất nhiều sản phẩm hơn mà còn hoạt động tốt hơn gấp 2 lần!

Bạn nói, chủ nghĩa chủ quan thuần túy? Một phần - vâng, hơn nữa, chính Bayes đã giải thích hậu thế xác suất như mức độ tin cậy. Tuy nhiên, không phải mọi thứ đều đơn giản như vậy - có một yếu tố khách quan trong cách tiếp cận Bayesian. Rốt cuộc, khả năng sản phẩm sẽ là tiêu chuẩn (0,8 và 0,9 tương ứng cho cửa hàng thứ 1 và thứ 2)đây là sơ bộ(tiên nghiệm) và trung bìnhước lượng. Nhưng, nói một cách triết học, mọi thứ đều trôi chảy, mọi thứ đều thay đổi, kể cả xác suất. Rất có thể là tại thời điểm nghiên cứu shop thứ 2 thành công hơn tăng tỷ lệ hàng chuẩn (và/hoặc giảm cửa hàng đầu tiên), và nếu bạn kiểm tra nhiều hơn hoặc tất cả 10 nghìn mặt hàng trong kho, thì các giá trị được đánh giá quá cao sẽ gần với sự thật hơn nhiều.

Nhân tiện, nếu Ivan Vasilyevich trích xuất một phần không chuẩn, thì ngược lại - anh ta sẽ ngày càng “nghi ngờ” cửa hàng thứ nhất - cửa hàng thứ hai. Tôi đề nghị bạn kiểm tra nó cho chính mình:

nhiệm vụ 6

Kho nhận 2 đợt hàng: đợt 1 - 4000 cái, đợt 2 - 6000 cái. Tỷ lệ trung bình của các sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong đợt đầu tiên là 20%, trong lần thứ hai - 10%. Một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ nhà kho hóa ra là không phải Tiêu chuẩn. Tìm xác suất để nó là: a) từ lô đầu tiên, b) từ lô thứ hai.

Điều kiện sẽ được phân biệt bằng hai chữ cái mà tôi đã tô đậm. Vấn đề có thể được giải quyết từ đầu hoặc bạn có thể sử dụng kết quả của các phép tính trước đó. Trong mẫu, tôi đã thực hiện một giải pháp hoàn chỉnh, nhưng để tránh sự chồng chéo hình thức với Nhiệm vụ số 5, sự kiện “Sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ kho hàng sẽ không đạt tiêu chuẩn”được đánh dấu bằng .

Kế hoạch đánh giá lại xác suất của Bayesian được tìm thấy ở khắp mọi nơi và nó cũng được khai thác tích cực bởi nhiều loại kẻ lừa đảo khác nhau. Hãy xem xét một công ty cổ phần ba chữ cái đã trở thành một cái tên quen thuộc, thu hút tiền gửi của người dân, được cho là đầu tư vào đâu đó, thường xuyên trả cổ tức, v.v. Điều gì đang xảy ra? Ngày này qua ngày khác, tháng này qua tháng khác, và ngày càng có nhiều sự thật mới, được truyền tải thông qua quảng cáo và truyền miệng, chỉ làm tăng mức độ tin tưởng vào kim tự tháp tài chính (đánh giá lại Bayes sau do các sự kiện trong quá khứ!). Đó là, trong mắt của người gửi tiền, có một sự gia tăng liên tục về khả năng "đây là một văn phòng nghiêm túc"; trong khi xác suất của giả thuyết ngược lại (“đây là những kẻ lừa đảo thông thường”), tất nhiên, giảm và giảm. Phần còn lại, tôi nghĩ, là rõ ràng. Đáng chú ý là danh tiếng kiếm được giúp ban tổ chức có thời gian trốn tránh thành công Ivan Vasilyevich, người không chỉ không có một loạt chốt mà còn không có quần.

Chúng ta sẽ quay lại với những ví dụ không kém phần thú vị sau, nhưng hiện tại, có lẽ trường hợp phổ biến nhất với ba giả thuyết là tiếp theo:

nhiệm vụ 7

Đèn điện được sản xuất tại ba nhà máy. Nhà máy thứ nhất sản xuất 30% tổng số đèn, nhà máy thứ 2 - 55% và nhà máy thứ 3 - phần còn lại. Sản phẩm của nhà máy thứ nhất chứa 1% đèn bị lỗi, nhà máy thứ 2 - 1,5%, nhà máy thứ 3 - 2%. Cửa hàng nhận sản phẩm từ cả ba nhà máy. Đèn tôi mua bị lỗi. Xác suất mà nó được sản xuất bởi nhà máy 2 là gì?

Lưu ý rằng trong các bài toán về công thức Bayes ở điều kiện nhất thiết một số Chuyện gì đã xảy ra một sự kiện, trong trường hợp này, việc mua một chiếc đèn.

Sự kiện đã tăng lên và phán quyết thuận tiện hơn để sắp xếp theo phong cách "nhanh chóng".

Thuật toán hoàn toàn giống nhau: ở bước đầu tiên, chúng tôi tìm xác suất mà chiếc đèn đã mua sẽ sẽ là khiếm khuyết.

Sử dụng dữ liệu ban đầu, chúng tôi dịch tỷ lệ phần trăm thành xác suất:
lần lượt là xác suất đèn được sản xuất bởi các nhà máy thứ 1, thứ 2 và thứ 3.
Điều khiển:

Tương tự: - xác suất sản xuất đèn bị lỗi cho các nhà máy tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:

- khả năng đèn mua bị lỗi.

Bước hai. Để đèn đã mua bị lỗi (sự kiện đã xảy ra)

Theo công thức Bayes:
- xác suất đèn bị lỗi đã mua được sản xuất bởi nhà máy thứ hai

Câu trả lời:

Tại sao xác suất ban đầu của giả thuyết thứ 2 tăng lên sau khi đánh giá lại? Rốt cuộc, nhà máy thứ hai sản xuất đèn có chất lượng trung bình (nhà máy thứ nhất tốt hơn, nhà máy thứ ba kém hơn). Vậy tại sao nó lại tăng hậu thế xác suất đèn bị lỗi là của nhà máy thứ 2? Điều này không còn do "danh tiếng" mà là do quy mô. Vì nhà máy số 2 sản xuất số lượng đèn lớn nhất nên họ đổ lỗi cho nó (ít nhất là do chủ quan): “rất có thể, chiếc đèn bị lỗi này là từ đó”.

Thật thú vị khi lưu ý rằng xác suất của giả thuyết thứ nhất và thứ ba đã được đánh giá quá cao theo hướng dự kiến ​​và trở nên bằng nhau:

Điều khiển: , đã được xác minh.

Nhân tiện, về đánh giá thấp và đánh giá quá cao:

nhiệm vụ 8

Trong nhóm sinh viên có 3 người có trình độ đào tạo cao, 19 người có trình độ trung bình và 3 người có trình độ thấp. Xác suất thi đỗ của các học sinh này lần lượt là: 0,95; 0,7 và 0,4. Được biết, một số sinh viên đã vượt qua kỳ thi. xác suất là gì:

a) anh ấy đã chuẩn bị rất tốt;
b) được chuẩn bị vừa phải;
c) đã được chuẩn bị kém.

Thực hiện tính toán và phân tích kết quả đánh giá lại các giả thuyết.

Nhiệm vụ gần với thực tế và đặc biệt hợp lý đối với nhóm học sinh bán thời gian, nơi giáo viên thực tế không biết khả năng của học sinh này hay học sinh kia. Trong trường hợp này, kết quả có thể gây ra hậu quả khá bất ngờ. (đặc biệt là đối với các bài kiểm tra trong học kỳ 1). Nếu một học sinh không chuẩn bị tốt may mắn nhận được một vé, thì giáo viên có khả năng coi anh ta là một học sinh giỏi hoặc thậm chí là một học sinh giỏi, điều này sẽ mang lại lợi ích tốt trong tương lai (tất nhiên, bạn cần “nâng tầm” và duy trì hình ảnh của mình). Nếu một học sinh học, nhồi nhét, lặp đi lặp lại trong 7 ngày 7 đêm, nhưng anh ta chỉ đơn giản là không may mắn, thì các sự kiện tiếp theo có thể phát triển theo cách tồi tệ nhất có thể - với nhiều lần thi lại và cân bằng trên bờ vực khởi hành.

Không cần phải nói, danh tiếng là vốn liếng quan trọng nhất, không phải ngẫu nhiên mà nhiều tập đoàn mang tên và họ của những người cha sáng lập, những người đã lãnh đạo doanh nghiệp cách đây 100-200 năm và trở nên nổi tiếng không chê vào đâu được.

Vâng, cách tiếp cận Bayes là chủ quan ở một mức độ nhất định, nhưng ... đó là cách cuộc sống vận hành!

Hãy củng cố tài liệu bằng một ví dụ công nghiệp cuối cùng, trong đó tôi sẽ nói về những điểm phức tạp về kỹ thuật của giải pháp chưa từng gặp:

nhiệm vụ 9

Ba phân xưởng của nhà máy sản xuất các bộ phận cùng loại, được lắp ráp trong một thùng chứa chung để lắp ráp. Biết rằng cửa hàng thứ nhất sản xuất số linh kiện gấp 2 lần cửa hàng thứ hai và gấp 4 lần cửa hàng thứ ba. Ở xưởng thứ nhất, lỗi là 12%, ở xưởng thứ hai - 8%, ở xưởng thứ ba - 4%. Để kiểm soát, một phần được lấy từ thùng chứa. Xác suất mà nó sẽ bị lỗi là gì? Xác suất mà bộ phận bị lỗi đã lấy ra được sản xuất bởi cửa hàng thứ 3 là bao nhiêu?

Taki Ivan Vasilyevich lại cưỡi ngựa =) Bộ phim phải có một kết thúc có hậu =)

Phán quyết: trái ngược với Nhiệm vụ số 5-8, một câu hỏi được hỏi rõ ràng ở đây, câu hỏi này được giải quyết bằng công thức tổng xác suất. Nhưng mặt khác, điều kiện hơi “được mã hóa” và kỹ năng soạn các phương trình đơn giản nhất của trường sẽ giúp chúng ta giải được bài toán ngược này. Đối với "x", thật tiện lợi khi lấy giá trị nhỏ nhất:

Gọi là phần sản xuất của phân xưởng thứ ba.

Theo điều kiện phân xưởng thứ nhất sản xuất gấp 4 lần phân xưởng thứ ba nên phần của phân xưởng thứ nhất là .

Ngoài ra, phân xưởng thứ nhất sản xuất số sản phẩm gấp 2 lần so với phân xưởng thứ hai, nghĩa là phần của phân xưởng sau: .

Hãy lập và giải phương trình:

Như vậy: - xác suất để bộ phận lấy ra khỏi thùng chứa lần lượt được xuất xưởng bởi xưởng 1, 2 và 3.

Điều khiển: . Ngoài ra, sẽ không thừa khi nhìn lại cụm từ “Biết rằng phân xưởng thứ nhất làm ra sản phẩm gấp 2 lần phân xưởng thứ hai và gấp 4 lần phân xưởng thứ ba” và đảm bảo rằng các xác suất thu được thực sự tương ứng với điều kiện này.

Đối với "X", ban đầu có thể lấy phần của cửa hàng thứ nhất hoặc phần của cửa hàng thứ 2 - xác suất sẽ giống nhau. Tuy nhiên, bằng cách này hay cách khác, phần khó khăn nhất đã được thông qua và giải pháp đang đi đúng hướng:

Từ điều kiện ta thấy:
- xác suất chế tạo một chi tiết bị lỗi cho các phân xưởng tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất mà một bộ phận được lấy ngẫu nhiên từ vật chứa sẽ không đạt tiêu chuẩn.

Câu hỏi hai: xác suất mà bộ phận bị lỗi được lấy ra được sản xuất bởi cửa hàng thứ 3 là bao nhiêu? Câu hỏi này giả định rằng bộ phận đã được gỡ bỏ và được phát hiện là có lỗi. Chúng tôi đánh giá lại giả thuyết bằng công thức Bayes:
là xác suất mong muốn. Khá được mong đợi - xét cho cùng, xưởng thứ ba không chỉ sản xuất ra những bộ phận có tỷ lệ nhỏ nhất mà còn dẫn đầu về chất lượng!

Trong trường hợp này, tôi đã phải đơn giản hóa phân số bốn tầng, mà trong các bài toán về công thức Bayes phải làm khá thường xuyên. Nhưng đối với bài học này, bằng cách nào đó, tôi đã vô tình nhặt được các ví dụ trong đó có thể thực hiện nhiều phép tính mà không cần phân số thông thường.

Vì không có điểm “a” và “be” trong điều kiện, nên tốt hơn là cung cấp câu trả lời bằng nhận xét bằng văn bản:

Câu trả lời: - khả năng bộ phận được lấy ra khỏi vật chứa sẽ bị lỗi; - xác suất mà bộ phận bị lỗi đã được loại bỏ được sản xuất bởi xưởng thứ 3.

Như bạn có thể thấy, các bài toán về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes khá đơn giản, và có lẽ vì lý do này mà chúng thường cố gắng làm phức tạp thêm điều kiện, điều mà tôi đã đề cập ở đầu bài viết.

Các ví dụ bổ sung có trong tệp với giải pháp làm sẵn cho F.P.V. và công thức Bayes Ngoài ra, có lẽ có những người muốn làm quen sâu hơn với chủ đề này trong các nguồn khác. Và chủ đề thực sự rất thú vị - nó có giá trị gì một mình nghịch lý bayes, điều này biện minh cho lời khuyên hàng ngày rằng nếu một người được chẩn đoán mắc một căn bệnh hiếm gặp, thì việc tiến hành một cuộc kiểm tra độc lập lần thứ hai và thậm chí hai lần là điều hợp lý. Có vẻ như họ làm điều đó chỉ vì tuyệt vọng ... - nhưng không! Nhưng chúng ta đừng nói về những điều buồn.

là xác suất mà một sinh viên được chọn ngẫu nhiên sẽ vượt qua kỳ thi.
Hãy để học sinh vượt qua kỳ thi. Theo công thức Bayes:
một) - xác suất học sinh vượt qua kỳ thi đã được chuẩn bị rất tốt. Xác suất khách quan ban đầu được đánh giá quá cao, bởi vì hầu như luôn luôn một số "trung bình" gặp may mắn với các câu hỏi và họ trả lời rất chặt chẽ, điều này tạo ấn tượng sai lầm về sự chuẩn bị hoàn hảo.
b) là xác suất mà sinh viên vượt qua kỳ thi được chuẩn bị vừa phải. Xác suất ban đầu hóa ra được đánh giá quá cao một chút, bởi vì học sinh có mức độ chuẩn bị trung bình thường chiếm đa số, ngoài ra, giáo viên sẽ đưa vào đây những “học sinh xuất sắc” trả lời không thành công, và thỉnh thoảng là một học sinh học kém may mắn được một vé.
Trong) - xác suất sinh viên vượt qua kỳ thi được chuẩn bị kém. Xác suất ban đầu được đánh giá quá cao cho điều tồi tệ hơn. Không đáng ngạc nhiên.
Kiểm tra:
Câu trả lời :