Chỉ huy được thiết kế để xây dựng tuần tự các đường cong và đường thẳng sao cho phần cuối của đối tượng trước là phần đầu của đối tượng tiếp theo. Việc xây dựng hình học theo cách này cũng có thể thực hiện được từ menu Công cụ → Hình học →

Xây dựng hình học bằng công cụ Line

Chỉ huy Đường kẻđược thiết kế để xây dựng tuần tự các đường thẳng và cung tròn sao cho phần cuối của đối tượng trước là phần đầu của đối tượng tiếp theo. Thanh tùy chọn cho lệnh này chứa menu lệnh suy biến . Việc xây dựng hình học theo cách này cũng có thể thực hiện được từ menu Công cụ → Hình học → Đường thẳng. Bảng tùy chọn cho nút này chứa các lệnh sau:

Xây dựng các đường cong và polyline

Có thể tạo các đường cong từ menu Công cụ → Hình học → Đường cong. Có thể xây dựng một đa tuyến từ menu Công cụ → Hình học → Đa tuyến. Đường cong Bezier là trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS. Tất cả các lệnh này được tìm thấy trên thanh công cụ Hình học. Các cách để xây dựng chúng được liệt kê dưới đây:

Cái nút splineđược thiết kế để dựng một đường cong cùng tên từ một loạt điểm. Các nút được trình bày trong Thanh tùy chọn mở đối tượng và đối tượng đóng cho phép bạn xây dựng một đường cong mở và đóng tương ứng khi điểm đầu tiên và điểm cuối cùng được kết nối. Một đường cong đóng luôn có thể chuyển sang một đường cong mở và ngược lại.

Spline đã mở rộng chỉnh sửa các điểm đặc trưng. Đây là những gì các nút là cho. Chỉnh sửa điểm trên bảng tùy chọn. Ngoài ra, lệnh này được gọi tự động khi bạn nhấp đúp vào nút chuột trái trên một đường cong đã được tạo sẵn. Trong trường hợp này, các điểm của đường cong được bổ sung bởi các đoạn tiếp tuyến đi qua các điểm đặc trưng của đường cong.

Đường cong có thể được chia thành các phần bằng các lệnh menu Tách → Đường cong và Tách → Đường cong thành N phần. Lệnh đầu tiên cho phép bạn chia đường cong đã chọn thành 2 phần tại điểm đã chỉ định. Đường cong thứ hai cho phép bạn chia đường cong thành nhiều phần bằng nhau. Để thực hiện việc này, hãy chọn số phần trong thanh tùy chọn và chỉ định đường cong sẽ được chia.

Bằng cách di chuyển các điểm đặc trưng (điểm vuông) và điểm cuối của các đoạn tiếp tuyến (điểm tròn) bằng chuột, bạn có thể kiểm soát hình dạng của đường cong. Bạn có thể di chuyển các điểm này bằng các mũi tên trên bàn phím, để thực hiện việc này, hãy di chuyển con trỏ đến điểm mong muốn và nhấn phím Enter. Sau đó, có thể di chuyển bằng các mũi tên với bước là bội số của bước hiện tại của con trỏ. Bạn cũng có thể kết thúc di chuyển bằng cách nhấn phím Enter. Có 3 tùy chọn để di chuyển các điểm đặc trưng:

• Di chuyển theo bất kỳ hướng nào - nếu con trỏ trông giống như bốn mũi tên chéo khi di chuột qua một điểm
• Di chuyển trong một phạm vi hướng giới hạn - nếu con trỏ trông giống như bốn mũi tên trực giao khi di chuột qua một điểm
• Di chuyển con trỏ làm cho hình học xoay - nếu con trỏ trông giống như các mũi tên xoay khi di chuột qua một điểm.

Các điểm đường cong có thể được chụp vào các đối tượng khác và các điểm đường cong khác bằng cách sử dụng các điểm chụp toàn cục và cục bộ. Có thể bao gồm chụp nhanh cục bộ cần thiết trong quá trình di chuyển một điểm đặc trưng bằng cách nhấn nút chuột phải (hoặc nhấn SHIFT + F10) và chọn chụp nhanh từ menu con thả xuống Ràng buộc.

Cái nút Spline dọc theo các cựcđược thiết kế để xây dựng một đường cong - một spline dọc theo một loạt các điểm. Đối với loại đường cong này, bạn có thể đặt trọng lượng vớiđiểm và Gọi mónđường cong trong thanh tùy chọn. Tham số Cân nặng xác định "lực hấp dẫn" của đường cong đối với một điểm trên đường cong. Trọng lượng càng lớn, đường cong càng gần với điểm. Thực chất đây là một thông số về độ cong của đường cong (độ cong của đường cong càng lớn thì bán kính của đường cong càng nhỏ và ngược lại). Tham số Gọi món xác định số điểm tối thiểu mà đường cong sẽ được xây dựng. Đơn hàng tối thiểu 3 - cho phép bạn tạo một đường cong bằng ba điểm. Spline cột giống như một spline thông thường trong chế độ chỉnh sửa điểm. Nếu các điểm cuối của các đoạn tiếp tuyến (tiếp tuyến) liền kề trong spline được nối với nhau, thì chúng ta sẽ có được sự giống nhau của spline dọc theo các cực. Một spline cực vốn đã mượt mà hơn một spline thông thường do thực tế là một spline cực cung cấp độ cong liên tục.

Nếu bạn xây dựng 2 đường nối dọc theo các cực, thì bạn có thể nối các đầu của chúng để đảm bảo tính liên tục (“độ mịn”) tại điểm chuyển tiếp.

Để làm được điều này, bạn cần dựng một đường phụ tại điểm chuyển tiếp có độ dốc cần thiết (ví dụ: đường phụ tiếp tuyến tại điểm chuyển tiếp này) và đặt các điểm thứ hai tính từ điểm chuyển tiếp trên đường phụ này. Bây giờ, khi di chuyển 3 điểm trở lên (khi nhìn từ điểm chuyển tiếp), bất kỳ đường cong nào trong số này sẽ duy trì tình trạng liên tục của đường cong tại điểm chuyển tiếp.

Bạn có thể thêm một điểm đặc trưng bằng cách nhấp chuột trái vào phần mong muốn của đường cong.

Bạn có thể xóa một điểm đặc trưng bằng phím DEL khi chọn điểm mong muốn. Điều này sẽ thay đổi hình dạng của đường cong.

Giao diện để làm việc với các spline theo cực tương tự như giao diện để làm việc với các spline thông thường. Trong bảng tùy chọn, bạn cũng có thể tạo mở đối tượng và một đối tượng đóng. Và với một nút Chỉnh sửa điểm bạn cũng có thể sửa hình dạng của đường cong bằng cách di chuyển các điểm chính. Tương tự như cách mà snap hoạt động với các đường cong Bezier, các điểm được di chuyển và đường cong được chia thành nhiều phần.

Cái nút đường đứt đoạnđược thiết kế để xây dựng một loạt các đường thẳng được kết nối với nhau. Một đường đa tuyến khác với chuỗi các đoạn thẳng thông thường ở chỗ sự dịch chuyển của bất kỳ phần tử nào không làm đứt đường.

Giao diện làm việc với nét đứt tương tự như giao diện làm việc với đường cong. Trong bảng tùy chọn, bạn cũng có thể tạo mở đối tượng, và đối tượng đóng. Và với một nút Chỉnh sửa điểm bạn cũng có thể sửa hình dạng của đa tuyến bằng cách di chuyển các điểm chính. Theo cách tương tự như với các đường cong, các điểm bắt hoạt động và các điểm được di chuyển. Một tính năng đặc biệt của đa tuyến là nó có thể được chia thành các phần tử riêng biệt bằng lệnh menu Biên tập viên → Tiêu diệt. Sau đó, các phần tử riêng lẻ của đa tuyến có thể được di chuyển hoặc xóa mà không ảnh hưởng đến các phần tử khác.

Nếu điều hoàn toàn tự nhiên là, với giả định là có nhiều loại công cụ hơn, hóa ra có thể giải quyết một loạt các vấn đề xây dựng lớn hơn, thì người ta có thể thấy trước rằng, ngược lại, dưới những hạn chế đối với các công cụ, lớp các bài toán giải được sẽ thu hẹp lại. Điều đáng chú ý hơn cả là khám phá của Mascheroni người Ý (1750-1800): tất cả các cấu trúc hình học có thể được thực hiện bằng compa và thước kẻ đều có thể được thực hiện chỉ bằng một compa. Tất nhiên, cần quy định rằng trên thực tế không thể vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước mà không có thước kẻ, vì vậy cấu trúc cơ bản này không nằm trong lý thuyết của Mascheroni. Thay vào đó, người ta phải giả sử rằng một đường thẳng được cho nếu có hai điểm của nó. Nhưng chỉ với sự trợ giúp của một chiếc la bàn, bạn có thể tìm được giao điểm của hai đường thẳng đã cho theo cách này hoặc giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn.

Có lẽ ví dụ đơn giản nhất về cấu trúc của Mascheroni là nhân đôi một đoạn đã cho. Lời giải đã được đưa ra ở trang 185. Hơn nữa, ở trang 186, chúng ta đã học cách chia một nửa đoạn đã cho. Bây giờ hãy xem cách chia đôi một cung của hình tròn có tâm O. Đây là mô tả về cấu trúc này. Với bán kính, ta vẽ hai cung có tâm Từ điểm O, trên các cung này ta kẻ hai cung như vậy và sau đó ta tìm giao điểm của cung có tâm P và bán kính và cung có tâm và bán kính. Cuối cùng, lấy đoạn thẳng làm bán kính, ta vẽ cung có tâm P hoặc cho đến giao điểm với cung là giao điểm và là trung điểm mong muốn của cung.Bài tập chứng minh xin dành cho bạn đọc làm bài tập.

Cơm. 48. Giao điểm của đường tròn và đường thẳng không đi qua tâm

Sẽ không thể chứng minh khẳng định chính của Mascheroni bằng cách chỉ ra rằng, đối với mọi công trình xây dựng có thể được thực hiện bằng compa và thước thẳng, làm thế nào nó có thể được thực hiện bằng một chiếc la bàn duy nhất: xét cho cùng, có vô số công trình có thể thực hiện được. Nhưng chúng ta sẽ đạt được mục tiêu tương tự nếu chúng ta chứng minh rằng mỗi cấu trúc cơ bản sau đây đều khả thi với một la bàn duy nhất:

1. Vẽ đường tròn nếu biết tâm và bán kính.

2. Tìm giao điểm của hai đường tròn.

3. Tìm giao điểm của đường thẳng và đường tròn.

4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng.

Bất kỳ cấu trúc hình học nào (theo nghĩa thông thường, với giả định là compa và thước kẻ) đều được tạo thành từ một chuỗi hữu hạn các cấu trúc cơ bản này. Rõ ràng là hai điều đầu tiên trong số chúng khả thi với một la bàn duy nhất. Các cấu trúc khó hơn 3 và 4 được thực hiện bằng cách sử dụng các thuộc tính đảo ngược được thảo luận trong đoạn trước.

Ta chuyển sang cách dựng 3: tìm giao điểm của đường tròn C cho trước với đường thẳng đi qua các điểm này, vẽ các cung tròn có tâm và bán kính lần lượt bằng và trừ điểm O, chúng cắt nhau tại điểm P. Sau đó, chúng ta dựng một điểm đối xứng với điểm P đối với đường tròn C (xem cách dựng được mô tả ở trang 186). Cuối cùng, chúng ta vẽ một đường tròn có tâm và bán kính (chắc chắn nó sẽ giao với C): các giao điểm của nó với đường tròn C sẽ là những điểm mong muốn. Để chứng minh điều đó, chỉ cần xác định rằng mỗi điểm đều ở cùng một khoảng cách (đối với các điểm, thuộc tính tương tự của chúng ngay lập tức xuất phát từ việc xây dựng). Thật vậy, chỉ cần nói đến trường hợp điểm nghịch đảo với điểm cách các điểm một khoảng bằng bán kính của đường tròn C (xem tr. 184). Cần lưu ý rằng đường tròn đi qua các điểm là đường thẳng nghịch đảo đối với đường tròn C, vì đường tròn này và đường thẳng cắt nhau

Cơm. 49. Giao điểm của đường tròn và đường thẳng đi qua tâm

với C tại cùng một điểm. (Khi đảo ngược, các điểm vòng tròn cơ sở vẫn cố định.)

Cách dựng được chỉ ra là không thể chỉ khi đường thẳng đi qua tâm C. Nhưng sau đó, các giao điểm có thể được tìm thấy bằng cách dựng được mô tả ở trang 188, như có được khi chúng ta vẽ một đường tròn tùy ý có tâm B cắt C tại các điểm Phương pháp vẽ một đường tròn ngược với một đường thẳng nối hai điểm cho trước ta có ngay một cách dựng để giải Bài toán 4. Cho đường thẳng cho trước bởi các điểm (Hình 50).

Cơm. 50. Giao điểm của hai đường thẳng

Chúng ta hãy vẽ một đường tròn C tùy ý và sử dụng phương pháp trên, dựng các đường tròn nghịch đảo với các đường thẳng và Các đường tròn này cắt nhau tại điểm O và tại một điểm nữa Điểm X, điểm nghịch đảo của điểm, là giao điểm mong muốn: làm thế nào để xây dựng nó đã được giải thích ở trên. Rõ ràng X là điểm mong muốn từ thực tế là có một điểm duy nhất nghịch đảo với một điểm đồng thời thuộc cả hai đường thẳng và do đó, một điểm X, điểm nghịch đảo phải đồng thời nằm trên và trên

Hai công trình này hoàn thành bằng chứng về sự tương đương giữa các công trình của Mascheroni, trong đó chỉ cho phép sử dụng compa và các công trình hình học thông thường với compa và thước kẻ.

Chúng tôi không quan tâm đến sự tinh tế của việc giải quyết các vấn đề riêng lẻ mà chúng tôi đã xem xét ở đây, vì mục tiêu của chúng tôi là làm rõ ý nghĩa bên trong của các công trình của Mascheroni. Nhưng như một ví dụ, chúng tôi cũng sẽ chỉ ra việc xây dựng một hình ngũ giác đều; chính xác hơn, chúng ta đang nói về việc tìm năm điểm nào đó trên một đường tròn có thể đóng vai trò là các đỉnh của một ngũ giác đều nội tiếp.

Gọi A là một điểm tùy ý trên đường tròn K. Vì cạnh của một lục giác đều nội tiếp bằng bán kính của đường tròn nên sẽ không khó để xác định trên K những điểm sao cho

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Dựng hình bằng thước và compa Hình học">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Dựng đoạn bằng Ú Bài toán A B đã cho"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Dựng một góc bằng một cho trước Xét các tam giác"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Dựng bài toán đường phân giác của góc Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Dựng đường vuông góc Ú Bài toán Cho một đường thẳng"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Dựng trung điểm của đoạn thẳng Nhiệm vụ Ú Dựng trung điểm của một đoạn thẳng được cho"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

trường trung học số 34 với nghiên cứu chuyên sâu về các môn học riêng lẻ

Phần MAN, Vật lý và Toán học

"Dựng hình học bằng compa và thước kẻ"

Người hoàn thành: học sinh lớp 7 "A"

Batishcheva Victoria

Người đứng đầu: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Dựng góc bằng một góc cho trước.

P vẽ một đường tròn tùy ý có tâm là đỉnh A của góc đã cho (Hình 3). Gọi B, C là giao điểm của đường tròn với các cạnh của góc. Với bán kính AB, ta vẽ đường tròn tâm O là điểm đầu của nửa đường thẳng đã cho. Giao điểm của đường tròn này với nửa đường thẳng đã cho được kí hiệu là C 1 . Mô tả đường tròn tâm C 1 và Hình 3

bán kính BC. Điểm B 1 giao điểm của các đường tròn được tạo trong nửa mặt phẳng xác định nằm ở cạnh của góc mong muốn.

6. Dựng đường vuông góc.

Ta vẽ một đường tròn có bán kính r tùy ý có tâm là O Hình 6. Đường tròn cắt đường thẳng tại A và B.Từ hai điểm A và B vẽ đường tròn bán kính AB. Gọi sầu C là giao điểm của các đường tròn này. Chúng tôi đã nhận được điểm A và B ở bước đầu tiên, khi xây dựng một vòng tròn có bán kính tùy ý.

Đường mong muốn đi qua các điểm C và O.

Hình 6

Vấn đề đã biết

1.Nhiệm vụ của Brahmagupta

Dựng tứ giác nội tiếp có bốn cạnh. Một giải pháp sử dụng vòng tròn Apollonius.Hãy giải bài toán Apollonius bằng cách sử dụng phép loại suy giữa xe ba bánh và hình tam giác. Làm thế nào để tìm một đường tròn nội tiếp trong một tam giác: chúng ta dựng giao điểm của các đường phân giác, hạ các đường vuông góc từ nó xuống các cạnh của tam giác, các đáy của các đường vuông góc (các giao điểm của đường vuông góc với cạnh trên đó nó hạ xuống) và cho ta ba điểm nằm trên đường tròn cần thiết. Chúng tôi vẽ một vòng tròn qua ba điểm này - giải pháp đã sẵn sàng. Chúng ta sẽ làm tương tự với bài toán Apollonius.

2. Bài toán Apollonius

Dùng compa và thước kẻ để dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đã cho. Theo truyền thuyết, vấn đề được Apollonius của Perga đưa ra vào khoảng năm 220 trước Công nguyên. đ. trong cuốn sách "Touch", đã bị thất lạc nhưng đã được phục hồi vào năm 1600 bởi François Vieta, "Gallic Apollonius", như cách gọi của những người cùng thời với ông.

Nếu không có đường tròn nào nằm bên trong đường tròn kia thì bài toán này có 8 cách giải cơ bản khác nhau.

Dựng đa giác đều.

P

Chính xác (hoặc là bằng nhau ) Tam giác - đây là đa giác đềuvới ba mặt, đầu tiên của đa giác thông thường. Mọi người các cạnh của một tam giác đều đều bằng nhau và tất cả các góc là 60°. Để dựng một tam giác đều, bạn cần chia hình tròn thành 3 phần bằng nhau. Để làm điều này, cần phải vẽ một cung có bán kính R của vòng tròn này chỉ từ một đầu của đường kính, chúng ta có được các phần thứ nhất và thứ hai. Bộ phận thứ ba nằm ở đầu đối diện của đường kính. Nối các điểm này ta được tam giác đều.

lục giác đều có thểdựng bằng compa và thước kẻ. Phía dướiphương pháp xây dựng được đưa rabằng cách chia hình tròn thành 6 phần. Chúng ta sử dụng sự bằng nhau của các cạnh của một hình lục giác đều với bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ các đầu đối diện của một trong các đường kính của hình tròn, ta vẽ các cung có bán kính R. Giao điểm của các cung này với hình tròn cho trước sẽ chia hình tròn đó thành 6 phần bằng nhau. Liên tục kết nối các điểm được tìm thấy, thu được một hình lục giác đều.

Dựng ngũ giác đều.

P
ngũ giác đều có thể làđược xây dựng bằng cách sử dụng một la bàn và thước kẻ, hoặc bằng cách lắp nó vào mộthình tròn, hoặc bằng cách xây dựng trên cơ sở của một cạnh cho trước. Quá trình này được mô tả bởi Euclidtrong cuốn sách Elements của ông, khoảng 300 năm trước Công nguyên. đ.

Đây là một phương pháp để dựng một ngũ giác đều trong một đường tròn cho trước:

Dựng đường tròn nội tiếp ngũ giác đều và gọi tâm của nó làÔ . (Đây là vòng tròn màu xanh lá cây trong sơ đồ bên phải).

Chọn một điểm trên đường trònMột , đó sẽ là một trong các đỉnh của ngũ giác. Kẻ đường thẳng đi quaÔ vàMột .

Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳngviêm khớp đi qua điểmÔ . Chỉ định một trong các giao điểm của nó với đường tròn là một điểmb .

Xây dựng một điểmC ở giữaÔ vàb .

C thông qua một điểmMột . Đánh dấu giao điểm của nó với đườngOB (bên trong đường tròn ban đầu) như một điểmD .

Vẽ một đường tròn có tâm làMột qua điểm D, đánh dấu giao điểm của đường tròn này với đường tròn ban đầu (đường tròn xanh) là các điểme vàF .

Vẽ một đường tròn có tâm làe thông qua một điểmMột g .

Vẽ một đường tròn có tâm làF thông qua một điểmMột . Chỉ định giao điểm khác của nó với đường tròn ban đầu là một điểmh .

Dựng ngũ giác đềuAEGHF .

Bài toán nan giải

Ba nhiệm vụ xây dựng sau đây đã được đặt ra trong thời cổ đại:

tam giác góc - chia một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau.

Nói cách khác, cần dựng các đường tam giác của góc - các tia chia góc thành ba phần bằng nhau. P. L. Vanzel đã chứng minh vào năm 1837 rằng bài toán chỉ có thể giải được khi, ví dụ, phép chia ba khả thi đối với các góc α = 360°/n, với điều kiện là số nguyên n không chia hết cho 3. Tuy nhiên, trên báo chí thỉnh thoảng vẫn xuất bản (không chính xác) phương pháp chia ba góc bằng compa và thước kẻ.

Nhân đôi khối lập phương - một bài toán cổ điển về cách dựng hình lập phương bằng compa và thước kẻ có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương đã cho.

Trong ký hiệu hiện đại, vấn đề được giảm xuống để giải phương trình. Tất cả bắt nguồn từ bài toán dựng một đoạn có độ dài. P. Wanzel đã chứng minh vào năm 1837 rằng vấn đề này không thể được giải quyết với sự trợ giúp của la bàn và thước thẳng.

Bình phương hình tròn - nhiệm vụ tìm công trình xây dựng bằng compa và thước kẻ hình vuông có diện tích bằng một hình tròn cho trước.

Như bạn đã biết, với sự trợ giúp của compa và thước kẻ, bạn có thể thực hiện cả 4 phép toán số học và rút ra căn bậc hai; do đó, suy ra rằng việc bình phương một đường tròn là có thể thực hiện được khi và chỉ khi, với sự trợ giúp của một số hữu hạn các thao tác như vậy, có thể dựng được một đoạn có độ dài π. Như vậy, tính không giải được của bài toán này xuất phát từ tính chất phi đại số (siêu việt) của số π, được chứng minh vào năm 1882 bởi Lindemann.

Một vấn đề nổi tiếng khác không thể giải được với sự trợ giúp của la bàn và thước kẻ làdựng tam giác theo ba độ dài đường phân giác cho trước .

Hơn nữa, vấn đề này vẫn không thể giải quyết được ngay cả khi có mặt của một trisector.

Chỉ đến thế kỷ 19, người ta mới chứng minh được rằng cả ba bài toán đều không thể giải được nếu chỉ sử dụng compa và thước kẻ. Câu hỏi về khả năng xây dựng được giải quyết hoàn toàn bằng các phương pháp đại số dựa trên lý thuyết Galois.

BẠN CÓ BIẾT RẰNG...

(từ lịch sử của các công trình hình học)

Ngày xửa ngày xưa, một ý nghĩa thần bí đã được đầu tư vào việc xây dựng các đa giác đều.

Vì vậy, những người theo chủ nghĩa Pythagore, những người theo các giáo lý tôn giáo và triết học do Pythagoras thành lập, và sống ở Hy Lạp cổ đại (V tôi-tôi Vthế kỉ trước công nguyên BC), được sử dụng như một dấu hiệu cho sự kết hợp của chúng, một đa giác sao được hình thành bởi các đường chéo của một hình ngũ giác đều.

Các quy tắc xây dựng hình học nghiêm ngặt của một số đa giác thông thường được nêu trong cuốn sách "Khởi đầu" của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, sống ởIIITrong. trước công nguyên. Để thực hiện các công trình này, Euclid đề xuất chỉ sử dụng thước kẻ và la bàn, vào thời điểm đó không có thiết bị bản lề để kết nối các chân (sự hạn chế như vậy trong các công cụ là yêu cầu tất yếu của toán học cổ đại).

Đa giác đều được sử dụng rộng rãi trong thiên văn học cổ đại. Nếu Euclid quan tâm đến việc xây dựng những con số này từ quan điểm toán học, thì đối với nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại Claudius Ptolemy (khoảng 90 - 160 sau Công nguyên), hóa ra nó lại cần thiết như một công cụ phụ trợ để giải quyết các vấn đề thiên văn. Vì vậy, trong cuốn sách đầu tiên của Almagest, toàn bộ chương thứ mười được dành cho việc xây dựng các hình ngũ giác và hình lục giác đều.

Tuy nhiên, ngoài các công trình khoa học thuần túy, việc xây dựng các đa giác đều là một phần không thể thiếu trong sách dành cho các nhà xây dựng, nghệ nhân và nghệ sĩ. Khả năng mô tả những hình này từ lâu đã được yêu cầu trong kiến ​​trúc, đồ trang sức và mỹ thuật.

“Mười cuốn sách về kiến ​​trúc” của kiến ​​trúc sư La Mã Vitruvius (sống vào khoảng năm 63-14 trước Công nguyên) nói rằng các bức tường thành nên trông giống như một đa giác đều trong bản vẽ, và các tháp của pháo đài “nên được làm hình tròn hoặc hình đa giác, vì tứ giác thay vì bị vũ khí bao vây phá hủy.

Việc quy hoạch các thành phố rất được Vitruvius quan tâm, người tin rằng cần phải quy hoạch các đường phố để những cơn gió chính không thổi dọc theo chúng. Người ta cho rằng có tám cơn gió như vậy và chúng thổi theo những hướng nhất định.

Trong thời kỳ Phục hưng, việc xây dựng các đa giác đều, và đặc biệt là hình ngũ giác, không phải là một trò chơi toán học đơn giản, mà là điều kiện tiên quyết cần thiết để xây dựng các pháo đài.

Hình lục giác đều là chủ đề nghiên cứu đặc biệt của nhà thiên văn học và toán học vĩ đại người Đức Johannes Kepler (1571-1630), mà ông nói đến trong cuốn sách Món quà năm mới, hay về những bông tuyết hình lục giác. Ông đã thảo luận về lý do tại sao các bông tuyết có hình lục giác, ông đặc biệt lưu ý như sau: “... mặt phẳng có thể được bao phủ không có khoảng trống chỉ bằng các hình sau: hình tam giác đều, hình vuông và hình lục giác đều. Trong số các hình này, hình lục giác đều có diện tích lớn nhất.

Một trong những nhà khoa học nổi tiếng nhất liên quan đến các cấu trúc hình học là nghệ sĩ và nhà toán học vĩ đại người Đức Albrecht Dürer (1471 -1528), người đã dành một phần quan trọng trong cuốn sách "Hướng dẫn ..." cho chúng. Ông đã đề xuất quy tắc dựng các đa giác đều có 3, 4, 5 ... 16 cạnh. Các phương pháp chia vòng tròn do Dürer đề xuất không phổ biến, trong mỗi trường hợp, một kỹ thuật riêng lẻ được sử dụng.

Durer đã áp dụng các phương pháp xây dựng đa giác đều trong thực hành nghệ thuật, chẳng hạn như khi tạo các loại đồ trang trí và hoa văn cho sàn gỗ. Bản phác thảo của những mẫu như vậy đã được anh ấy thực hiện trong một chuyến đi đến Hà Lan, nơi sàn lát gỗ được tìm thấy trong nhiều ngôi nhà.

Durer làm đồ trang trí từ các hình đa giác đều, được nối với nhau thành các vòng (các vòng có sáu hình tam giác đều, bốn hình tứ giác, ba hoặc sáu hình lục giác, mười bốn hình lục giác, bốn hình bát giác).

Phần kết luận

Vì thế,công trình hình học là một phương pháp giải quyết một vấn đề trong đó câu trả lời thu được bằng đồ thị. Việc xây dựng được thực hiện bằng các công cụ vẽ với độ chính xác và độ chính xác tối đa của công việc, vì tính đúng đắn của quyết định phụ thuộc vào điều này.

Nhờ công việc này, tôi đã làm quen với lịch sử nguồn gốc của la bàn, biết chi tiết hơn các quy tắc thực hiện các công trình hình học, có thêm kiến ​​​​thức mới và áp dụng nó vào thực tế.
Giải quyết các vấn đề về xây dựng bằng la bàn và thước kẻ là một trò tiêu khiển hữu ích cho phép bạn có cái nhìn mới về các thuộc tính đã biết của các hình dạng hình học và các yếu tố của chúng.Trong bài báo này, chúng tôi xem xét các vấn đề cấp bách nhất liên quan đến việc xây dựng hình học bằng cách sử dụng la bàn và thước thẳng. Các nhiệm vụ chính được xem xét và các giải pháp của họ được đưa ra. Các nhiệm vụ trên có ý nghĩa thực tế đáng kể, củng cố kiến ​​​​thức thu được về hình học và có thể được sử dụng cho công việc thực tế.
Do đó, mục tiêu của công việc đạt được, các nhiệm vụ đặt ra được hoàn thành.

2. Chia nó thành một số cung nhất định bằng nhau, trong trường hợp của chúng ta là 8. Để làm điều này, hãy vẽ các bán kính sao cho chúng ta có 8 cung và góc giữa hai bán kính gần nhất bằng
:
số cạnh (trong trường hợp của chúng tôi là 8.
Ta được điểm A1, A2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
N-
Quảng trường
3. Nối các tâm của hình tròn và một trong các giao điểm của chúng

Ta được tam giác vuông

1
. Hãy dựng 2 đường tròn đi qua tâm của nhau.

2
. Hãy nối các tâm bằng một đường thẳng, lấy một trong các cạnh của hình ngũ giác.

3. Nối giao điểm của các đường tròn.

số năm . Chúng tôi kết nối các điểm giao nhau của tất cả các dòng với vòng tròn ban đầu.

Ta được hình lục giác đều
Bằng chứng về sự tồn tại của một đúng
N-
Quảng trường
Nếu
N
(số góc của đa giác) lớn hơn 2 thì tồn tại đa giác đó.
Hãy thử xây dựng một 8 giác quan và chứng minh điều đó.
1. Lấy một đường tròn bán kính tùy ý có tâm tại điểm "O"

Dựng tam giác bằng compa và thước kẻ
«
Ô
» .

2. Hãy dựng một đường tròn khác có cùng bán kính đi qua điểm "O".

4. Nối các điểm nằm trên hình tròn.

Chúng tôi nhận được hình bát giác chính xác.
Dựng đa giác đều bằng compa và thước.

Năm 1796, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss, đã chỉ ra khả năng xây dựng phép tính đúng
N-
gons, nếu bình đẳng
n=
+ 1
, ở đâu
N-
số góc và
k
- bất kỳ số tự nhiên
.
Như vậy, hóa ra trong vòng 30 có thể chia hình tròn thành 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, các phần bằng nhau
.
Năm 1836
Wanzel
đã chứng minh rằng các đa giác đều không thỏa mãn đẳng thức này không thể dựng được bằng thước và compa.

Dựng hình lục giác đều bằng compa và thước.

4. Hãy vẽ các đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ban đầu và các giao điểm của cung tròn với đường tròn này

VĂN
Atanasyan
L. S. và cộng sự Hình học: Sách giáo khoa lớp 7-9 của các cơ sở giáo dục. - M: "Giác ngộ". 1998.
B. I. Argunov, M. B.
chùn chụt
. Các phép dựng hình học trên mặt phẳng, Sổ tay dành cho sinh viên các trường sư phạm. Phiên bản thứ hai. M.,
Uchpedgiz
, 1957 - 268 tr.
NẾU.
Sharygin
, L.N.
Erganzhiev
. "Hình học trực quan".
Hơn
một
nhà toán học vĩ đại đã nghiên cứu về đa giác đều
Euclid
hoặc là
Euclid
(tiếng Hy Lạp khác.
Εὐκλείδης
, từ "tiếng tốt"
VÂNG
. 300 TCN đ.)
–
tác giả của chuyên luận lý thuyết còn tồn tại đầu tiên về toán học
.
Tác phẩm chính của ông, The Elements, chứa đựng sự trình bày về phép đo phẳng, hình học chất rắn, và một loạt các vấn đề trong lý thuyết số.
;
trong đó ông đã tổng kết quá trình phát triển hơn nữa của toán học. TẠI
IV.
cuốn sách, ông đã mô tả việc xây dựng các đa giác thông thường với
N
tương đương với
3
, 4, 5, 6, 15

và xác định tiêu chí đầu tiên để xây dựng đa giác.
Dựng hình bát giác đều.
1. Dựng một hình bát giác bằng một tứ giác.
2. Nối các đỉnh đối diện của tứ giác
3. Vẽ đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường chéo cắt nhau

Hình tam giác
, có các cạnh là bán kính gần nhất và
các cạnh của hình bát giác thu được bằng hai cạnh và góc giữa chúng tương ứng thì các cạnh của hình bát giác bằng nhau và điều đó là đúng. Chứng minh này không chỉ áp dụng cho hình bát giác
,
mà còn đối với đa giác có số góc
hơn 2
. Q.E.D
.
Bằng chứng về sự tồn tại của một đúng
N-
Quảng trường

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3

bốn . Vẽ các đường thẳng đi qua giao điểm của các đường tròn
5. Chúng tôi kết nối các giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Ta được một tứ giác đều.
Dựng ngũ giác đều bằng phương pháp Dürer.
6. Nối các điểm tiếp xúc của các đoạn này bằng các đường tròn với các đầu của cạnh đã dựng của ngũ giác.
7. Hãy xây dựng một hình ngũ giác

Những người sáng lập ra phần toán học về đa giác đều là các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại. Một trong số họ là
Archimedes.
Archimedes
- nhà toán học, vật lý học và kỹ sư nổi tiếng người Hy Lạp cổ đại. Ông đã có nhiều khám phá về hình học, giới thiệu các nguyên tắc cơ bản của cơ học, thủy tĩnh học và tạo ra nhiều phát minh quan trọng. Archimedes chỉ đơn giản là bị ám ảnh bởi toán học. Anh ta quên mất thức ăn, không quan tâm đến bản thân mình. Những khám phá của ông đã phục vụ cho những phát minh hiện đại.
Dựng hình lục giác đều bằng compa và thước.

1. Dựng đường tròn có tâm tại một điểm
Ô
.
2. Vẽ một đường thẳng đi qua tâm của hình tròn.
3. Vẽ cung tròn bán kính có tâm là giao điểm của đường thẳng với đường tròn cho đến giao điểm của đường tròn.

Thuyết trình chủ đề: "Dựng đa giác đều bằng compa và thước kẻ"
Được soạn bởi:
guoma
Denis
Học sinh lớp 10 trường MBOU số 3
Cô giáo:
Naimova
Tatyana Mikhailovna
2015
3. Luân phiên kết nối chúng và có hình bát giác chính xác.
Bằng chứng về sự tồn tại của một đúng
N-
Quảng trường

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
Dựng tứ giác đều.

1. Dựng đường tròn có tâm tại một điểm
Ô
.
2. Vẽ 2 đường kính vuông góc với nhau.
3. Từ các điểm mà các đường kính tiếp xúc với đường tròn, ta vẽ các đường tròn khác có bán kính cho trước cho đến khi chúng cắt nhau (các đường tròn).

Dựng ngũ giác đều bằng phương pháp Dürer.

4. Vẽ một đường tròn khác có cùng bán kính có tâm là giao điểm của hai đường tròn kia.

5. Hãy vẽ 2 đoạn.