Trong khóa học hình học cơ bản, người ta đã chứng minh rằng tổng các góc của một n-giác lồi là 180° (n-2). Hóa ra phát biểu này cũng đúng với đa giác không lồi.

Định lý 3. Tổng các góc của một n-giác tùy ý là 180° (n - 2).

Bằng chứng. Hãy chia đa giác thành các hình tam giác bằng cách vẽ các đường chéo (Hình 11). Số lượng các tam giác như vậy là n-2, và trong mỗi tam giác tổng các góc là 180°. Vì các góc của các tam giác là các góc của đa giác nên tổng các góc của đa giác là 180° (n - 2).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các đường đứt quãng khép kín tùy ý, có thể có các giao điểm A1A2…AnA1 (Hình 12, a). Các đường đứt nét tự giao nhau như vậy sẽ được gọi là đa giác hình sao (Hình 12, b-d).

Hãy để chúng tôi sửa hướng đếm các góc ngược chiều kim đồng hồ. Lưu ý rằng các góc được tạo bởi một đa tuyến khép kín phụ thuộc vào hướng mà nó đi qua. Nếu hướng của đường vòng đa tuyến bị đảo ngược, thì các góc của đa giác sẽ là các góc bổ sung cho các góc của đa giác ban đầu lên đến 360°.

Nếu M là một đa giác được tạo thành bởi một đường đứt nét khép kín đơn giản đi theo chiều kim đồng hồ (Hình 13, a), thì tổng các góc của đa giác này sẽ bằng 180 ° (n - 2). Nếu đường gãy khúc chạy ngược chiều kim đồng hồ (Hình 13, b), thì tổng các góc sẽ bằng 180 ° (n + 2).

Do đó, công thức chung cho tổng các góc của một đa giác được tạo bởi một đa giác khép kín đơn giản có dạng = 180 ° (n 2), trong đó là tổng các góc, n là số góc của đa giác, " +" hoặc "-" được lấy tùy thuộc vào hướng bỏ qua đa tuyến.

Nhiệm vụ của chúng ta là rút ra một công thức tính tổng các góc của một đa giác tùy ý được tạo bởi một đa tuyến khép kín (có thể tự cắt nhau). Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về mức độ của một đa giác.

Bậc của một đa giác là số vòng quay được thực hiện bởi một điểm trong quá trình hoàn thành tuần tự bỏ qua các cạnh của nó. Hơn nữa, các lượt thực hiện theo hướng ngược chiều kim đồng hồ được xem xét bằng dấu “+” và các lượt theo chiều kim đồng hồ - bằng dấu “-”.

Rõ ràng là bậc của một đa giác được hình thành bởi một đường đứt nét đơn giản là +1 hoặc -1, tùy thuộc vào hướng của đường đi ngang. Độ của đường đứt đoạn trong Hình 12, a bằng hai. Bậc của các hình lục giác sao (Hình 12, c, d) lần lượt bằng hai và ba.

Khái niệm về độ được định nghĩa tương tự cho các đường cong khép kín trong mặt phẳng. Ví dụ, bậc của đường cong trong Hình 14 là hai.

Để tìm bậc của đa giác hoặc đường cong, bạn có thể tiến hành như sau. Giả sử rằng, khi di chuyển dọc theo đường cong (Hình 15, a), chúng ta bắt đầu từ một điểm A1 nào đó, thực hiện một lượt hết cỡ và kết thúc tại cùng một điểm A1. Hãy loại bỏ phần tương ứng khỏi đường cong và tiếp tục di chuyển dọc theo đường cong còn lại (Hình 15b). Nếu bắt đầu từ một vị trí A2 nào đó, chúng ta lại rẽ hết và đến cùng một điểm, thì chúng ta xóa phần tương ứng của đường cong và tiếp tục di chuyển (Hình 15, c). Đếm số đoạn từ xa có dấu "+" hoặc "-", tùy thuộc vào hướng đi vòng của chúng, chúng tôi thu được độ cong mong muốn.

Định lý 4. Cho một đa giác tùy ý, công thức

180° (n+2m),

trong đó là tổng các góc, n là số góc, m là tung độ của đa giác.

Bằng chứng. Cho đa giác M có tung độ m và được quy ước như hình 16. M1, …, Mk là các đường đứt nét đơn khép kín đi qua điểm đó quay hết một lượt. A1, …, Ak là các giao điểm tương ứng của đa tuyến, không phải là đỉnh của đa tuyến. Gọi số đỉnh của đa giác M nằm trong các đa giác M1, …, Mk lần lượt bằng n1, …, nk. Vì ngoài các đỉnh của đa giác M, các đỉnh A1, …, Ak được thêm vào các đa giác này nên số đỉnh của các đa giác M1, …, Mk sẽ bằng n1+1, …, nk+1, tương ứng. Khi đó tổng các góc của chúng sẽ bằng 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Cộng hoặc trừ được thực hiện tùy thuộc vào hướng bỏ qua các đường gãy. Tổng các góc của đa giác M0, còn lại từ đa giác M sau khi loại bỏ các đa giác M1, ..., Mk, bằng 180° (n-n1- ...-nk+k2). Tổng các góc của đa giác M0, M1, …, Mk cho tổng các góc của đa giác M, và tại mỗi đỉnh A1, …, Ak ta có thêm 360°. Do đó, ta có đẳng thức

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

trong đó m là bậc của đa giác M.

Ví dụ, hãy xem xét phép tính tổng các góc của dấu hoa thị năm cánh (Hình 17, a). Bậc của đa tuyến khép kín tương ứng là -2. Do đó, tổng mong muốn của các góc là 180.

Năm lớp 8, trong giờ học hình học ở trường, học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái niệm đa giác lồi. Họ sẽ sớm biết rằng con số này có một đặc tính rất thú vị. Cho dù nó có thể phức tạp đến đâu, tổng của tất cả các góc bên trong và bên ngoài của một đa giác lồi đều có một giá trị được xác định nghiêm ngặt. Trong bài viết này, gia sư toán lý hóa nói về tổng các góc của một đa giác lồi là bao nhiêu.

Tổng các góc trong của một đa giác lồi

Làm thế nào để chứng minh công thức này?

Trước khi tiếp tục chứng minh tuyên bố này, chúng tôi nhớ lại đa giác nào được gọi là lồi. Một đa giác được gọi là lồi nếu nó nằm hoàn toàn trên một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Ví dụ: cái được hiển thị trong hình này:

Nếu đa giác không thỏa mãn điều kiện xác định thì gọi là không lồi. Ví dụ, như thế này:

Tổng các góc trong của một đa giác lồi là , trong đó là số cạnh của đa giác.

Bằng chứng về thực tế này dựa trên định lý về tổng các góc trong một tam giác, được tất cả học sinh biết đến. Tôi chắc chắn rằng bạn đã quen thuộc với định lý này. Tổng các góc trong của một tam giác là .

Ý tưởng là chia một đa giác lồi thành nhiều tam giác. Điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp chúng tôi chọn, bằng chứng sẽ hơi khác nhau.

1. Chia đa giác lồi thành các tam giác theo tất cả các đường chéo có thể vẽ từ một số đỉnh. Dễ hiểu là sau đó n-gon của chúng ta sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác thu được bằng tổng các góc của n-gon của chúng ta. Xét cho cùng, mỗi góc trong các tam giác thu được là một góc riêng trong đa giác lồi của chúng ta. Đó là, số tiền cần thiết bằng .

2. Bạn cũng có thể chọn một điểm bên trong đa giác lồi và nối nó với tất cả các đỉnh. Sau đó, n-gon của chúng tôi sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng các góc của đa giác của chúng ta trong trường hợp này sẽ bằng tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác này trừ đi góc ở tâm, bằng . Tức là, số tiền mong muốn lại bằng .

Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi

Bây giờ chúng ta hãy tự đặt câu hỏi: “Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi là bao nhiêu?” Câu hỏi này có thể được trả lời theo cách sau. Mỗi góc ngoài kề với góc trong tương ứng. Do đó, nó bằng:

Khi đó tổng tất cả các góc ngoài là . Tức là nó bằng .

Đó là một kết quả rất buồn cười. Nếu chúng ta lần lượt đặt sang một bên tất cả các góc bên ngoài của bất kỳ n-giác lồi nào, thì kết quả là toàn bộ mặt phẳng sẽ được lấp đầy.

Thực tế thú vị này có thể được minh họa như sau. Hãy giảm tỷ lệ tất cả các cạnh của một số đa giác lồi cho đến khi nó hợp nhất thành một điểm. Sau khi điều này xảy ra, tất cả các góc bên ngoài sẽ được đặt sang một bên và do đó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng.

Thực tế thú vị, phải không? Và có rất nhiều sự thật như vậy trong hình học. Vì vậy, học hình học, học sinh thân yêu!

Tài liệu về tổng các góc của một đa giác lồi bằng bao nhiêu đã được chuẩn bị bởi Serge Valerievich

Cho đa giác lồi cho trước và n > 3. Sau đó vẽ n-3 đường chéo từ đỉnh này sang đỉnh đối diện: . Vì đa giác lồi nên các đường chéo này chia nó thành n - 2 tam giác: . Tổng các góc của đa giác bằng tổng các góc của tất cả các tam giác này. Tổng các góc trong mỗi tam giác là 180° và số các tam giác này là n-2. Do đó, tổng các góc của n-giác là 180°(n-2). Định lý đã được chứng minh. Nhận xét Đối với một n-gon không lồi, tổng các góc cũng là 180°(n-2). Chứng minh tương tự, nhưng sử dụng thêm bổ đề bất kỳ đa giác nào cũng có thể cắt thành tam giác bằng các đường chéo. ghi chú Định lý tổng các góc của đa giác không áp dụng cho các đa giác trên một mặt cầu (và cả trên bất kỳ mặt phẳng méo nào khác, ngoại trừ một số trường hợp). Xem hình học phi Euclide để biết chi tiết. Xem thêm Quỹ Wikimedia. 2010 . Xem "Định lý tổng góc đa giác" trong các từ điển khác là gì: Tam giác Định lý tổng các góc của một tam giác là một định lý cổ điển của hình học Euclid. Tuyên bố rằng ... Wikipedia - ...Wikipedia Khẳng định rằng hai đa giác bất kỳ có diện tích bằng nhau thì có kích thước bằng nhau. Chính thức hơn: Cho P và Q là hai đa giác có cùng diện tích. Sau đó, chúng có thể được cắt tương ứng thành các đa giác và do đó, đối với bất kỳ ... Wikipedia Định lý Bolyai Gervin phát biểu rằng hai đa giác bất kỳ có diện tích bằng nhau thì có kích thước bằng nhau. Chính thức hơn: Cho và là hai đa giác có cùng diện tích. Sau đó, chúng có thể được cắt tương ứng thành các đa giác và vì vậy đối với ... ... Wikipedia - ...Wikipedia Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem Tam giác (ý ​​nghĩa). Một tam giác (trong không gian Euclide) là một hình hình học được tạo bởi ba đoạn thẳng nối ba điểm phi tuyến tính. Dấu ba chấm, ... ... Wikipedia

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Những thông tin cá nhân nào chúng tôi thu thập:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác cũng như các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn các thông báo và thông tin liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến các dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết - theo luật pháp, trình tự tư pháp, thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các lý do lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi mất mát, trộm cắp và lạm dụng, cũng như khỏi truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được an toàn, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các thông lệ về quyền riêng tư.

đường đứt đoạn

Sự định nghĩa

đường đứt đoạn, hoặc ngắn hơn, đường đứt đoạn, được gọi là một dãy hữu hạn các đoạn, sao cho một trong các đầu của đoạn thứ nhất đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ hai, đầu kia của đoạn thứ hai đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ ba, v.v. Trong trường hợp này, các đoạn liền kề không nằm trên cùng một đường thẳng. Các đoạn này được gọi là liên kết đa tuyến.

Các loại đường gãy

Đường đứt nét được gọi là đóng cửa nếu điểm đầu của đoạn đầu trùng với điểm cuối của đoạn cuối.

Đường đứt khúc có thể tự cắt ngang, chạm vào chính mình, dựa vào chính mình. Nếu không có điểm kỳ dị như vậy, thì một đường đứt đoạn như vậy được gọi là đơn giản.

đa giác

Sự định nghĩa

Một đa tuyến khép kín đơn giản, cùng với một phần của mặt phẳng giới hạn bởi nó, được gọi là đa giác.

Nhận xét

Tại mỗi đỉnh của một đa giác, các cạnh của nó xác định một số góc của đa giác. Nó có thể ít hơn được triển khai hoặc nhiều hơn được triển khai.

Tài sản

Mỗi đa giác có một góc nhỏ hơn $180^\circ$.

Bằng chứng

Cho một đa giác $P$.

Hãy vẽ một số đường thẳng không cắt nó. Chúng tôi sẽ di chuyển nó song song với cạnh của đa giác. Tại một thời điểm nào đó, lần đầu tiên ta thu được đường $a$ có ít nhất một điểm chung với đa giác $P$. Đa giác nằm trên một cạnh của đường thẳng này (hơn nữa, một số điểm của nó nằm trên đường thẳng $a$).

Dòng $a$ chứa ít nhất một đỉnh của đa giác. Hai cạnh của nó hội tụ tại nó, nằm trên cùng một phía của đường thẳng $a$ (kể cả trường hợp một trong hai cạnh nằm trên đường thẳng này). Vì vậy, ở đỉnh này, góc nhỏ hơn góc đã phát triển.

Sự định nghĩa

Đa giác được gọi là lồi lõm nếu nó nằm trên một phía của mỗi đường chứa cạnh của nó. Nếu đa giác không lồi, nó được gọi là không lồi.

Nhận xét

Đa giác lồi là giao tuyến của các nửa mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng chứa các cạnh của đa giác.

Tính chất của một đa giác lồi

Một đa giác lồi có tất cả các góc nhỏ hơn $180^\circ$.

Một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của một đa giác lồi (đặc biệt là bất kỳ đường chéo nào của nó) được chứa trong đa giác này.

Bằng chứng

Hãy chứng minh tính chất thứ nhất

Lấy một góc bất kỳ $A$ của một đa giác lồi $P$ và cạnh $a$ của nó xuất phát từ đỉnh $A$. Gọi $l$ là dòng chứa cạnh $a$. Vì đa giác $P$ lồi nên nó nằm về một phía của đường thẳng $l$. Do đó, góc $A$ của nó cũng nằm trên cùng một phía của đường thẳng này. Do đó góc $A$ nhỏ hơn góc bẹt, tức là nhỏ hơn $180^\circ$.

Hãy chứng minh tính chất thứ hai

Lấy hai điểm $A$ và $B$ bất kỳ của đa giác lồi $P$. Đa giác $P$ là giao tuyến của nhiều nửa mặt phẳng. Đoạn $AB$ nằm trong mỗi nửa mặt phẳng này. Do đó, nó cũng được chứa trong đa giác $P$.

Sự định nghĩa

đa giác chéođược gọi là đoạn nối các đỉnh không lân cận của nó.

Định lý (về số đường chéo của n-giác tuyến)

Số đường chéo của $n$-giác lồi được tính theo công thức $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bằng chứng

Từ mỗi đỉnh của n-giác tuyến ta có thể vẽ $n-3$ đường chéo (không thể vẽ đường chéo tới các đỉnh lân cận và tới chính đỉnh này). Nếu chúng ta tính tất cả các đoạn có thể như vậy, thì sẽ có $n\cdot(n-3)$, vì có $n$ đỉnh. Nhưng mỗi đường chéo sẽ được tính hai lần. Do đó, số đường chéo của n-giác tuyến là $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Định lý (về tổng các góc của một n-gon)

Tổng các góc của $n$-giác lồi là $180^\circ(n-2)$.

Bằng chứng

Hãy xem xét một $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Lấy một điểm tùy ý $O$ bên trong đa giác này.

Tổng các góc của tất cả các tam giác $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ là $180^\circ\cdot n$.

Mặt khác, tổng này là tổng của tất cả các góc trong của đa giác và tổng góc $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Khi đó, tổng các góc của $n$-gon đang xét bằng $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Kết quả

Tổng các góc của $n$-giác không lồi là $180^\circ(n-2)$.

Bằng chứng

Xét đa giác $A_1A_2\ldots A_n$ có góc duy nhất $\angle A_2$ không lồi, nghĩa là $\angle A_2>180^\circ$.

Hãy biểu thị tổng số tiền đánh bắt được của anh ấy $S$.

Nối các điểm $A_1A_3$ và xét đa giác $A_1A_3\ldots A_n$.

Tổng các góc của đa giác này là:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Do đó, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Nếu đa giác ban đầu có nhiều hơn một góc không lồi thì có thể thực hiện phép toán nêu trên với từng góc như vậy, điều này sẽ dẫn đến khẳng định được chứng minh.

Định lý (về tổng các góc ngoài của một n-giác lồi)

Tổng các góc ngoài của $n$-giác lồi là $360^\circ$.

Bằng chứng

Góc ngoài tại đỉnh $A_1$ là $180^\circ-\angle A_1$.

Tổng các góc ngoài là:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.