Phép chia phân số thích hợp. Lập hệ phương trình
Lần trước chúng ta đã học cộng trừ phân số (xem bài “Cộng trừ phân số”). Thời điểm khó khăn nhất trong những hành động đó là đưa các phân số về mẫu số chung.
Bây giờ là lúc xử lý phép nhân và phép chia. Tin vui là những phép tính này thậm chí còn dễ hơn cả phép cộng và phép trừ. Để bắt đầu, hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số dương không có phần nguyên phân biệt.
Để nhân hai phân số, bạn cần nhân riêng tử số và mẫu số của chúng. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.
Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai "đảo ngược".
chỉ định:
Từ định nghĩa, phép chia phân số được rút gọn thành phép nhân. Để lật một phân số, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Do đó, toàn bộ bài học chúng ta sẽ xem xét chủ yếu phép nhân.
Do phép nhân, một phân số rút gọn có thể phát sinh (và thường phát sinh) - tất nhiên, nó phải được rút gọn. Nếu sau tất cả các lần rút gọn, phân số đó không chính xác, thì toàn bộ phần đó phải được phân biệt trong đó. Nhưng chính xác thì điều sẽ không xảy ra với phép nhân là quy về mẫu số chung: không có phương pháp chéo, thừa số tối đa và bội số chung nhỏ nhất.
Theo định nghĩa ta có:
Phép nhân phân số có phần nguyên và phân số âm
Nếu có một phần nguyên trong các phân số, thì chúng phải được chuyển đổi thành phần không chính xác - và chỉ sau đó được nhân theo các sơ đồ đã nêu ở trên.
Nếu có một dấu trừ trong tử số của một phân số, trong mẫu số hoặc phía trước nó, nó có thể được đưa ra khỏi giới hạn của phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo các quy tắc sau:
- Cộng nhân trừ trừ;
- Hai phủ định tạo nên một khẳng định.
Cho đến bây giờ, những quy tắc này chỉ gặp phải khi cộng và trừ các phân số âm, khi nó được yêu cầu loại bỏ toàn bộ phần. Đối với một sản phẩm, chúng có thể được khái quát hóa để "đốt cháy" một số nhược điểm cùng một lúc:
- Chúng tôi gạch bỏ các nhược điểm theo cặp cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Trong một trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể tồn tại - điểm không tìm thấy điểm trùng khớp;
- Nếu không còn dấu trừ nào, thao tác đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu dấu trừ cuối cùng không bị gạch bỏ, vì nó không tìm thấy một cặp, chúng tôi sẽ loại bỏ nó khỏi giới hạn của phép nhân. Bạn nhận được một phân số âm.
Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:
Chúng tôi dịch tất cả các phân số thành các phân số không chính xác, và sau đó chúng tôi loại bỏ các dấu trừ bên ngoài giới hạn của phép nhân. Những gì còn lại được nhân lên theo các quy tắc thông thường. Chúng tôi nhận được:
Để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng dấu trừ đứng trước một phân số có phần nguyên được đánh dấu đề cập cụ thể đến toàn bộ phân số chứ không chỉ phần nguyên của nó (điều này áp dụng cho hai ví dụ cuối).
Cũng chú ý đến các số âm: khi được nhân lên, chúng được đặt trong ngoặc. Điều này được thực hiện để tách các dấu trừ khỏi các dấu nhân và làm cho toàn bộ ký hiệu chính xác hơn.
Giảm phân số một cách nhanh chóng
Nhân là một hoạt động rất mất thời gian. Các số ở đây khá lớn và để đơn giản hóa tác vụ, bạn có thể cố gắng giảm phân số hơn nữa trước khi nhân. Thật vậy, về bản chất, tử số và mẫu số của phân số là thừa số thông thường, do đó, chúng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân số. Hãy xem các ví dụ:
Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:
Theo định nghĩa ta có:
Trong tất cả các ví dụ, những con số đã được giảm bớt và những gì còn lại của chúng được đánh dấu bằng màu đỏ.
Xin lưu ý: trong trường hợp đầu tiên, hệ số nhân đã giảm hoàn toàn. Các đơn vị vẫn ở vị trí của chúng, nói chung, có thể được bỏ qua. Trong ví dụ thứ hai, không thể đạt được mức giảm hoàn toàn, nhưng tổng lượng tính toán vẫn giảm.
Tuy nhiên, không có trường hợp nào không sử dụng kỹ thuật này khi cộng và trừ các phân số! Vâng, đôi khi có những con số tương tự mà bạn chỉ muốn giảm bớt. Đây, nhìn này:
Bạn không thể làm điều đó!
Lỗi xảy ra do khi cộng một phân số, tổng xuất hiện ở tử số của một phân số chứ không phải tích của các số. Do đó, không thể áp dụng tính chất chính của một phân số, vì tính chất này liên quan cụ thể đến phép nhân các số.
Đơn giản là không có lý do nào khác để rút gọn phân số, vì vậy lời giải đúng cho bài toán trước có dạng như sau:
Giải pháp đúng:
Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra không đẹp lắm. Nói chung, hãy cẩn thận.
Để giải quyết các nhiệm vụ khác nhau từ quá trình toán học, vật lý phải chia các phân số. Điều này rất dễ thực hiện nếu bạn biết một số quy tắc nhất định để thực hiện phép toán này.
Trước khi chuyển sang xây dựng quy tắc chia phân số, chúng ta hãy nhớ lại một số thuật ngữ toán học:
- Phần trên cùng của một phân số được gọi là tử số và phần dưới cùng được gọi là mẫu số.
- Khi chia, các số được gọi như thế này: cổ tức: số chia \u003d thương
Cách chia phân số: phân số đơn giản
Để chia hai phân số đơn giản, hãy nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia. Phân số này còn được gọi là đảo ngược theo một cách khác, bởi vì nó thu được do hoán đổi tử số và mẫu số. Ví dụ:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cách chia phân số: hỗn số
Nếu chúng ta phải chia các phân số hỗn hợp, thì mọi thứ cũng khá đơn giản và rõ ràng ở đây. Đầu tiên, chuyển đổi phân số hỗn hợp thành một phân số không bình thường. Để làm điều này, chúng ta nhân mẫu số của một phân số như vậy với một số nguyên và thêm tử số vào sản phẩm thu được. Kết quả là, chúng ta có một tử số mới của phân số hỗn hợp và mẫu số của nó sẽ không thay đổi. Việc chia các phân số tiếp theo sẽ được thực hiện giống như cách chia các phân số đơn giản. Ví dụ:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cách chia một phân số cho một số
Để chia một phân số đơn giản cho một số, số sau phải được viết dưới dạng phân số (không chính xác). Điều này rất dễ thực hiện: số này được viết thay cho tử số và mẫu số của một phân số như vậy bằng một. Việc phân chia tiếp theo được thực hiện theo cách thông thường. Hãy xem xét điều này với một ví dụ:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cách chia số thập phân
Thông thường, một người lớn gặp khó khăn, nếu cần, nếu không có sự trợ giúp của máy tính, để chia một số nguyên hoặc một phần thập phân thành một phần thập phân.
Vì vậy, để chia các phân số thập phân, bạn chỉ cần gạch bỏ dấu phẩy ở số chia và dừng chú ý đến nó. Trong số chia hết, dấu phẩy phải được chuyển sang bên phải đúng bằng số ký tự trong phần phân số của số chia, thêm số 0 nếu cần. Và sau đó thực hiện phép chia thông thường cho một số nguyên. Để làm cho điều này rõ ràng hơn, chúng ta hãy lấy ví dụ sau đây.
Phân số là một hoặc nhiều phần của một tổng thể, thường được coi là đơn vị (1). Cũng như các số tự nhiên, bạn có thể thực hiện tất cả các phép tính số học cơ bản với phân số (cộng, trừ, chia, nhân), để làm được điều này, bạn cần biết các đặc điểm khi làm việc với phân số và phân biệt giữa các loại của chúng. Có một số loại phân số: thập phân và bình thường, hoặc đơn giản. Mỗi loại phân số đều có những đặc điểm riêng, nhưng khi bạn đã tìm hiểu kỹ cách xử lý chúng một lần, bạn sẽ có thể giải bất kỳ ví dụ nào về phân số, vì bạn sẽ biết các nguyên tắc cơ bản để thực hiện các phép tính số học với phân số. Hãy xem các ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên bằng các loại phân số khác nhau.
Cách chia một phân số cho một số tự nhiên?Phân số thông thường hoặc đơn giản được gọi là phân số được viết dưới dạng tỷ lệ của các số trong đó số bị chia (tử số) được chỉ định ở đầu phân số và ước số (mẫu số) của phân số được chỉ định bên dưới. Làm thế nào để chia một phân số như vậy cho một số nguyên? Hãy xem một ví dụ! Giả sử chúng ta cần chia 8/12 cho 2.
Để làm điều này, chúng ta phải thực hiện một loạt các hành động:
Do đó, nếu chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ chia một phân số cho một số nguyên, sơ đồ giải pháp sẽ giống như thế này: 
Tương tự, bạn có thể chia bất kỳ phân số thông thường (đơn giản) nào cho một số nguyên.
Làm thế nào để chia một số thập phân cho một số nguyên?
Phân số thập phân là một phân số thu được bằng cách chia một đơn vị thành mười, một nghìn, v.v. Các phép toán số học với phân số thập phân khá đơn giản.
Xét một ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên. Giả sử chúng ta cần chia phân số thập phân 0,925 cho số tự nhiên 5.
Tóm lại, chúng ta sẽ tập trung vào hai điểm chính quan trọng khi thực hiện phép chia phân số thập phân cho một số nguyên: - để chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên, phép chia thành một cột được sử dụng;
- dấu phẩy được đặt ở phần riêng khi phép chia phần nguyên của số bị chia hoàn thành.
Không sớm thì muộn, tất cả trẻ em ở trường bắt đầu học các phân số: cộng, chia, nhân và tất cả các thao tác có thể thực hiện được với các phân số. Để hỗ trợ đúng cách cho trẻ, bản thân cha mẹ không được quên cách chia các số nguyên thành phân số, nếu không, bạn sẽ không giúp được gì cho trẻ mà chỉ khiến trẻ bối rối. Nếu bạn cần nhớ hành động này, nhưng bạn không thể đưa tất cả thông tin trong đầu vào một quy tắc duy nhất, thì bài viết này sẽ giúp bạn: bạn sẽ học cách chia một số cho một phân số và xem các ví dụ minh họa.
Cách chia một số thành phân số
Viết ví dụ của bạn vào một bản nháp để bạn có thể ghi chú và làm mờ. Hãy nhớ rằng một số nguyên được viết giữa các ô, ngay tại giao điểm của chúng và các số phân số - mỗi số trong một ô riêng.
- Trong phương pháp này, bạn cần lật ngược phân số, nghĩa là viết mẫu số cho tử số và viết tử số cho mẫu số.
- Dấu của phép chia phải đổi thành phép nhân.
- Bây giờ bạn chỉ cần thực hiện phép nhân theo các quy tắc đã được nghiên cứu: tử số được nhân với một số nguyên và mẫu số không được chạm vào.
Tất nhiên, kết quả của một hành động như vậy, bạn sẽ nhận được một số lượng rất lớn trong tử số. Không thể để một phân số ở trạng thái này - giáo viên đơn giản là sẽ không chấp nhận câu trả lời này. Rút gọn phân số bằng cách chia tử số cho mẫu số. Viết số nguyên kết quả vào bên trái của phân số ở giữa các ô và phần còn lại sẽ là tử số mới. Mẫu số không thay đổi.
Thuật toán này khá đơn giản, ngay cả đối với một đứa trẻ. Sau khi hoàn thành nó năm hoặc sáu lần, em bé sẽ nhớ quy trình và có thể áp dụng nó cho bất kỳ phân số nào.
Cách chia một số cho một số thập phân
Có các loại phân số khác - số thập phân. Việc phân chia thành chúng diễn ra theo một thuật toán hoàn toàn khác. Nếu bạn gặp phải một ví dụ như vậy, thì hãy làm theo hướng dẫn:
- Đầu tiên, chuyển đổi cả hai số thành số thập phân. Điều này rất dễ thực hiện: số chia của bạn đã được biểu diễn dưới dạng phân số và bạn tách số tự nhiên bị chia bằng dấu phẩy, nhận được phân số thập phân. Nghĩa là, nếu cổ tức là số 5, bạn sẽ nhận được phân số là 5,0. Bạn cần tách số bằng bao nhiêu chữ số đứng sau dấu thập phân và số chia.
- Sau đó, bạn phải biến cả hai phân số thập phân thành số tự nhiên. Thoạt nghe có vẻ hơi khó hiểu, nhưng đó là cách chia nhanh nhất và bạn sẽ mất vài giây sau một vài lần thực hành. Một phân số của 5,0 sẽ trở thành số 50, một phân số của 6,23 sẽ là 623.
- Thực hiện phép chia. Nếu các số hóa ra lớn hoặc phép chia sẽ xảy ra với phần còn lại, hãy thực hiện nó trong một cột. Vì vậy, bạn sẽ thấy rõ ràng tất cả các hành động của ví dụ này. Bạn không cần phải đặt dấu phẩy một cách cụ thể, vì nó sẽ tự xuất hiện trong quá trình chia thành một cột.
Kiểu chia này ban đầu có vẻ quá khó hiểu, vì bạn cần biến số bị chia và số chia thành phân số, sau đó trở lại thành số tự nhiên. Nhưng sau một thời gian đào tạo ngắn, bạn sẽ ngay lập tức bắt đầu thấy những con số mà bạn chỉ cần chia cho nhau.
Hãy nhớ rằng khả năng chia chính xác các phân số và số nguyên thành chúng có thể hữu ích hơn một lần trong đời, do đó, đứa trẻ cần nắm vững các quy tắc và nguyên tắc đơn giản này một cách hoàn hảo để ở các lớp lớn hơn, chúng không trở thành chướng ngại vật vì trẻ không thể quyết định các nhiệm vụ phức tạp hơn.
nội dung bài học
Cộng các phân số có cùng mẫu số
Phép cộng phân số có hai loại:
- Cộng các phân số có cùng mẫu số
- Cộng các phân số khác mẫu số
Hãy bắt đầu cộng các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
ví dụ 2 Thêm phân số và .
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Nếu kết thúc nhiệm vụ, thì theo thông lệ, bạn sẽ loại bỏ các phân số không phù hợp. Để loại bỏ một phân số không phù hợp, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó. Trong trường hợp của chúng tôi, phần nguyên được phân bổ dễ dàng - hai chia hai bằng một:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều bánh pizza vào bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn:
ví dụ 3. Thêm phân số và .
Một lần nữa, cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 4 Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách chính xác như những ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza và thêm nhiều chiếc bánh pizza khác, bạn sẽ nhận được 1 chiếc bánh pizza nguyên vẹn và nhiều chiếc bánh pizza khác.
Như bạn có thể thấy, việc cộng các phân số có cùng mẫu số không khó. Nó là đủ để hiểu các quy tắc sau:
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;
Cộng các phân số khác mẫu số
Bây giờ chúng ta sẽ học cách cộng các phân số khác mẫu số. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số đó phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.
Ví dụ, có thể cộng các phân số vì chúng có cùng mẫu số.
Nhưng không thể cộng các phân số cùng một lúc vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng một mẫu số (chung).
Có một số cách để rút gọn các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp còn lại có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.
Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ đầu tiên (LCM) mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thu được thừa số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và lấy thừa số thứ hai.
Sau đó, tử số và mẫu số của các phân số được nhân với các yếu tố bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này, các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.
ví dụ 1. Cộng phân số và
Trước hết, ta tìm bội chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội chung nhỏ nhất của các số này là 6
LCM (2 và 3) = 6
Bây giờ trở lại phân số và . Đầu tiên, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 6 cho 3, ta được 2.
Kết quả số 2 là yếu tố bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số và viết thừa số bổ sung tìm được phía trên nó:
Chúng tôi làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và lấy thừa số thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2, ta được 3.
Kết quả số 3 là yếu tố bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó vào phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số thứ hai và viết thừa số bổ sung tìm được phía trên nó:
Bây giờ tất cả chúng ta đã sẵn sàng để thêm. Nó vẫn còn để nhân các tử số và mẫu số của các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:
Nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này đến cùng:
Vì vậy, ví dụ kết thúc. Để thêm nó hóa ra.
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:
Việc rút gọn các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số và mẫu số chung, chúng tôi nhận được các phân số và . Hai phân số này sẽ được biểu diễn bằng những lát bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).
Bức tranh đầu tiên vẽ một phân số (bốn mảnh trên sáu) và bức tranh thứ hai vẽ một phân số (ba mảnh trên sáu). Đặt những mảnh này lại với nhau, chúng ta có được (bảy mảnh trên sáu). Phân số này không chính xác, vì vậy chúng tôi đã đánh dấu phần nguyên trong đó. Kết quả là (một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).
Lưu ý rằng chúng tôi đã vẽ ví dụ này quá chi tiết. Trong các tổ chức giáo dục, việc viết một cách chi tiết như vậy không phải là thông lệ. Bạn cần có khả năng tìm nhanh LCM của cả mẫu số và thừa số bổ sung cho chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung mà tử số và mẫu số của bạn tìm được. Khi ở trường, chúng ta sẽ phải viết ví dụ này như sau:
Nhưng cũng có mặt khác của đồng tiền. Nếu các ghi chú chi tiết không được thực hiện ở giai đoạn đầu tiên của việc học toán, thì các câu hỏi thuộc loại “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành các phân số hoàn toàn khác nhau? «.
Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng các hướng dẫn từng bước sau:
- Tìm BCNN của mẫu số các phân số;
- Chia LCM cho mẫu số của từng phân số và nhận thêm một số nhân cho mỗi phân số;
- Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số phụ của chúng;
- Cộng các phân số có cùng mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;
ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức 
.
Hãy sử dụng các hướng dẫn ở trên.
Bước 1. Tìm ƯCLN của mẫu số các phân số
Tìm ƯCLN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là các số 2, 3 và 4
Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và nhận thêm một số nhân cho mỗi phân số
Chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên là 6. Viết nó lên phân số đầu tiên:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta có thừa số thứ hai là 4. Viết nó trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta có thừa số thứ ba là 3. Viết nó trên phân số thứ ba:
Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số phụ
Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các yếu tố bổ sung của chúng tôi:
Bước 4. Cộng các phân số có cùng mẫu số
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau đã biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Nó vẫn còn để thêm các phân số này. Thêm vào:
Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa với một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.
Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, thì hãy chọn toàn bộ phần trong đó
Câu trả lời của chúng tôi là một phần không chính xác. Chúng ta phải chọn ra toàn bộ phần của nó. Chúng tôi đánh dấu:
Có một câu trả lời
Phép trừ các phân số có cùng mẫu số
Có hai loại phép trừ phân số:
- Phép trừ các phân số có cùng mẫu số
- Phép trừ phân số khác mẫu số
Đầu tiên, chúng ta hãy học cách trừ các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải quyết ví dụ này, cần phải trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Làm thôi nào:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza:
ví dụ 2 Tìm giá trị của biểu thức .
Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza:
ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách chính xác như những ví dụ trước. Từ tử số của phân số đầu tiên, bạn cần trừ các tử số của các phân số còn lại:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp trong việc trừ các phân số có cùng mẫu số. Nó là đủ để hiểu các quy tắc sau:
- Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phần không chính xác, thì bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.
Phép trừ phân số khác mẫu số
Ví dụ: có thể trừ một phân số cho một phân số vì các phân số này có cùng mẫu số. Nhưng không thể trừ một phân số cho một phân số, vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng một mẫu số (chung).
Mẫu số chung được tìm theo cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết trên phân số đầu tiên. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, viết trên phân số thứ hai.
Các phân số sau đó được nhân với các yếu tố bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy.
ví dụ 1 Tìm giá trị của một biểu thức:
Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).
Đầu tiên, chúng tôi tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội chung nhỏ nhất của các số này là 12
LCM (3 và 4) = 12
Bây giờ trở lại phân số và
Hãy tìm một yếu tố bổ sung cho phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 12 cho 3, chúng tôi nhận được 4. Chúng tôi viết bốn trên phân số đầu tiên:
Chúng tôi làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết một bộ ba trên phân số thứ hai:
Bây giờ tất cả chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:
Ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này đến cùng:
Có một câu trả lời
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza.
Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này một cách ngắn gọn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ như thế này:
Việc rút gọn các phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số này về mẫu số chung, ta được các phân số và . Các phân số này sẽ được biểu diễn bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phân số giống nhau (rút gọn về cùng mẫu số):
Hình vẽ đầu tiên thể hiện một phân số (tám mảnh ghép trong số mười hai) và bức tranh thứ hai thể hiện một phân số (ba mảnh ghép trên tổng số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có năm mảnh trong tổng số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.
ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức 
Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).
Tìm BCNN của các mẫu số của các phân số này.
Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Bây giờ chúng tôi tìm thấy các yếu tố bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của từng phân số.
Hãy tìm một yếu tố bổ sung cho phân số đầu tiên. LCM là số 30 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên là 3. Viết nó lên phân số đầu tiên:
Bây giờ chúng tôi tìm thấy một yếu tố bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai là 10. Viết nó trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba là 6. Viết nó trên phân số thứ ba:
Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau đã biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.
Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:
Câu trả lời hóa ra là một phân số đúng, và mọi thứ dường như phù hợp với chúng tôi, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó dễ dàng hơn. Những gì có thể được thực hiện? Bạn có thể giảm phân số này.
Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (gcd) các số 20 và 30.
Vì vậy, chúng tôi tìm thấy GCD của các số 20 và 30:
Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho GCD tìm được, nghĩa là cho 10
Có một câu trả lời
Nhân một phân số với một số
Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đã cho với số này và giữ nguyên mẫu số.
ví dụ 1. Nhân phân số với số 1.
Nhân tử số của phân số với số 1
Vào có thể hiểu là lấy nửa 1 lần. Ví dụ, nếu bạn lấy pizza 1 lần, bạn sẽ nhận được pizza
Từ định luật nhân, chúng ta biết rằng nếu số nhân và số nhân được hoán đổi cho nhau, thì sản phẩm sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích sẽ vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số hoạt động:
Mục này có thể được hiểu là lấy một nửa đơn vị. Ví dụ, nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên vẹn và chúng ta lấy một nửa số đó, thì chúng ta sẽ có chiếc bánh pizza:
ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số với 4
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy lấy toàn bộ một phần của nó:
Biểu thức có thể được hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy pizza 4 lần, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn.
Và nếu chúng ta đổi chỗ cho số bị nhân và số bị nhân, chúng ta sẽ nhận được biểu thức. Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc bánh pizza từ bốn chiếc bánh pizza nguyên vẹn:
phép nhân phân số
Để nhân các phân số, bạn cần nhân các tử số và mẫu số của chúng. Nếu câu trả lời là một phần không chính xác, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.
ví dụ 1 Tìm giá trị của biểu thức .
Có một câu trả lời. Đó là mong muốn để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Sau đó, giải pháp cuối cùng sẽ có dạng sau:
Biểu thức này có thể được hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Trước tiên, bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:
Và lấy hai từ ba mảnh này:
Chúng ta sẽ lấy bánh pizza. Hãy nhớ một chiếc bánh pizza trông như thế nào được chia thành ba phần:
Một lát từ chiếc bánh pizza này và hai lát chúng tôi đã lấy sẽ có cùng kích thước:
Nói cách khác, chúng ta đang nói về cùng một kích cỡ bánh pizza. Do đó, giá trị của biểu thức là
ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy lấy toàn bộ một phần của nó:
ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời hóa ra là một phân số chính xác, nhưng nó sẽ tốt hơn nếu nó giảm đi. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho ước số chung lớn nhất (GCD) của các số 105 và 450.
Vì vậy, hãy tìm GCD của các số 105 và 450:
Bây giờ chúng tôi chia tử số và mẫu số của câu trả lời của chúng tôi cho GCD mà chúng tôi đã tìm thấy, nghĩa là, cho 15
Biểu diễn một số nguyên dưới dạng phân số
Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Từ đó, năm sẽ không thay đổi ý nghĩa của nó, vì biểu thức có nghĩa là "số năm chia cho một", và như bạn biết, bằng năm:
đảo ngược số
Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một chủ đề rất thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".
Sự định nghĩa. Đảo ngược sang sốmột là số mà khi nhân vớimột đưa ra một đơn vị.
Hãy thay thế trong định nghĩa này thay vì một biến một số 5 và cố gắng đọc định nghĩa:
Đảo ngược sang số 5 là số mà khi nhân với 5 đưa ra một đơn vị.
Có thể tìm một số mà khi nhân với 5 được một không? Hóa ra bạn có thể. Hãy biểu diễn năm dưới dạng phân số:
Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần đổi chỗ tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ đảo ngược:
Điều gì sẽ là kết quả của điều này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:
Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là một số, vì khi 5 được nhân với một thì được một.
Đối ứng cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.
Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo cho bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại là đủ.
Phép chia một phân số cho một số
Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Hãy chia đều cho cả hai. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu chiếc bánh pizza?
Có thể thấy rằng sau khi tách một nửa chiếc bánh pizza sẽ thu được 2 phần bằng nhau, mỗi phần tạo nên một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều có một chiếc bánh pizza.
Phép chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.
Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của số chia.
Sử dụng quy tắc này, chúng tôi sẽ viết ra việc chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng tôi thành hai phần.
Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là một phân số và số chia là 2.
Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là một phân số. Vì vậy, bạn cần nhân với