Tất cả các mô hình toán học đều sai. Bài giảng: Mô hình hóa toán học

Máy tính đã đi vào cuộc sống của chúng ta một cách chắc chắn và thực tế không có lĩnh vực hoạt động nào của con người mà máy tính sẽ không được sử dụng. Máy tính ngày nay được sử dụng rộng rãi trong quá trình chế tạo, nghiên cứu máy móc mới, quy trình công nghệ mới và tìm kiếm các phương án tối ưu; khi giải các bài toán kinh tế, khi giải các bài toán lập kế hoạch và quản lý sản xuất ở các cấp độ. Việc tạo ra các vật thể lớn trong chế tạo tên lửa, chế tạo máy bay, đóng tàu, cũng như thiết kế đập, cầu, v.v., nói chung là không thể nếu không sử dụng máy tính.

Để sử dụng máy tính trong việc giải các bài toán ứng dụng, trước hết bài toán ứng dụng đó phải được “dịch” sang ngôn ngữ toán học hình thức, tức là đối với một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực, mô hình toán học của nó phải được xây dựng.

Từ "Mô hình" xuất phát từ modus Latin (bản sao, hình ảnh, phác thảo). Mô hình hóa là sự thay thế một số đối tượng A bằng một đối tượng B khác. Đối tượng A được thay thế được gọi là đối tượng gốc hoặc đối tượng mô hình hóa và đối tượng B thay thế được gọi là mô hình. Nói cách khác, một mô hình là một sự thay thế đối tượng của đối tượng ban đầu, cung cấp nghiên cứu về một số thuộc tính của đối tượng ban đầu.

Mục đích của mô hình hóa là thu nhận, xử lý, trình bày và sử dụng thông tin về các đối tượng tương tác với nhau và với môi trường bên ngoài; và mô hình ở đây hoạt động như một phương tiện để biết các thuộc tính và mô hình hành vi của đối tượng.

Mô hình toán học là phương tiện nghiên cứu một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực bằng cách thay thế chúng bằng một mô hình toán học thuận tiện hơn cho nghiên cứu thực nghiệm bằng máy tính.

Mô hình toán học là quá trình xây dựng và nghiên cứu các mô hình toán học của các quá trình và hiện tượng thực. Tất cả các ngành khoa học tự nhiên và xã hội sử dụng bộ máy toán học về cơ bản đều tham gia vào mô hình toán học: chúng thay thế đối tượng thực bằng mô hình của nó và sau đó nghiên cứu mô hình sau. Như trong trường hợp của bất kỳ mô phỏng nào, mô hình toán học không mô tả đầy đủ hiện tượng đang được nghiên cứu và các câu hỏi về khả năng ứng dụng của các kết quả thu được theo cách này là rất có ý nghĩa. Một mô hình toán học là một mô tả đơn giản hóa thực tế bằng cách sử dụng các khái niệm toán học.

Một mô hình toán học thể hiện các tính năng thiết yếu của một đối tượng hoặc quá trình bằng ngôn ngữ của các phương trình và các phương tiện toán học khác. Nói một cách chính xác, bản thân toán học có được sự tồn tại của nó là nhờ những gì nó cố gắng phản ánh, tức là. để mô hình hóa, bằng ngôn ngữ cụ thể của riêng mình, các mô hình của thế giới xung quanh.

Tại mô hình toán học việc nghiên cứu đối tượng được thực hiện bằng một mô hình được xây dựng bằng ngôn ngữ toán học bằng các phương pháp toán học nhất định.

Con đường mô hình hóa toán học trong thời đại chúng ta toàn diện hơn nhiều so với mô hình hóa tự nhiên. Sự ra đời của máy tính đã tạo ra một động lực to lớn cho sự phát triển của mô hình toán học, mặc dù bản thân phương pháp này đã ra đời đồng thời với toán học từ hàng ngàn năm trước.

Mô hình toán học như vậy không phải lúc nào cũng cần sự hỗ trợ của máy tính. Mỗi chuyên gia chuyên nghiệp tham gia vào mô hình toán học làm mọi thứ có thể cho nghiên cứu phân tích mô hình. Các giải pháp phân tích (tức là được biểu thị bằng các công thức thể hiện kết quả nghiên cứu thông qua dữ liệu ban đầu) thường thuận tiện và nhiều thông tin hơn so với các giải pháp số. Tuy nhiên, khả năng của các phương pháp phân tích để giải các bài toán phức tạp là rất hạn chế và theo quy luật, các phương pháp này phức tạp hơn nhiều so với các phương pháp số.

Một mô hình toán học là một biểu diễn gần đúng của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực, được thể hiện dưới dạng toán học và giữ lại các đặc điểm cơ bản của bản gốc. Các mô hình toán học ở dạng định lượng, sử dụng các cấu trúc logic và toán học, mô tả các thuộc tính chính của một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống, các tham số của nó, các kết nối bên trong và bên ngoài

Tất cả các mô hình có thể được chia thành hai loại:

thực tế,
lý tưởng.

Đổi lại, các mô hình thực có thể được chia thành:

tự nhiên,
thuộc vật chất,
toán học.

Các mô hình lý tưởng có thể được chia thành:

thị giác,
mang tính biểu tượng,
toán học.

Các mô hình tỷ lệ thực là các đối tượng, quy trình và hệ thống thực trên đó các thí nghiệm khoa học, kỹ thuật và công nghiệp được thực hiện.

Mô hình vật lý thực là mô hình mô phỏng, mô hình tái tạo các tính chất vật lý của bản gốc (mô hình động học, động lực học, thủy lực, nhiệt, điện, ánh sáng).

Toán học thực sự là các mô hình tương tự, cấu trúc, hình học, đồ họa, kỹ thuật số và điều khiển học.

Các mô hình trực quan lý tưởng là sơ đồ, bản đồ, hình vẽ, đồ thị, đồ thị, chất tương tự, mô hình cấu trúc và hình học.

Các mô hình ký hiệu lý tưởng là ký hiệu, bảng chữ cái, ngôn ngữ lập trình, ký hiệu theo thứ tự, ký hiệu tô pô, biểu diễn mạng.

Các mô hình toán lý tưởng là các mô hình giải tích, chức năng, mô phỏng, kết hợp.

Trong phân loại trên, một số mô hình có cách giải thích kép (ví dụ: tương tự). Tất cả các mô hình, ngoại trừ các mô hình quy mô đầy đủ, có thể được kết hợp thành một loại mô hình tinh thần, vì chúng là sản phẩm của tư duy trừu tượng của con người.

Các yếu tố của lý thuyết trò chơi

Trong trường hợp chung, giải trò chơi là một nhiệm vụ khá khó khăn và độ phức tạp của vấn đề cũng như số lượng phép tính cần thiết để giải tăng mạnh khi tăng . Tuy nhiên, những khó khăn này không có bản chất cơ bản và chỉ liên quan đến một khối lượng tính toán rất lớn, trong một số trường hợp có thể không khả thi trên thực tế. Mặt cơ bản của phương pháp tìm ra giải pháp vẫn còn đối với bất kỳ một và giống nhau.

Hãy minh họa điều này bằng ví dụ về một trò chơi. Hãy cho nó một cách giải thích hình học - đã là một cách giải thích không gian. Ba chiến lược của chúng tôi, chúng tôi sẽ mô tả với ba điểm trên mặt phẳng ; cái đầu tiên nằm ở gốc tọa độ (Hình 1). thứ hai và thứ ba - trên các trục Ồ Và OUở khoảng cách 1 từ gốc tọa độ.

Các trục I-I, II-II, III-III lần lượt đi qua các điểm và vuông góc với mặt phẳng . Trên trục I-I, phần thưởng cho chiến lược được vẽ trên các trục II-II và III-III - phần thưởng cho các chiến lược. Mọi chiến lược của kẻ thù sẽ được biểu diễn bằng một mặt phẳng cắt trên các trục I-I, II-II và III-III, các đoạn bằng với độ lợi

có chiến lược và sách lược phù hợp . Do đó, sau khi xây dựng tất cả các chiến lược của kẻ thù, chúng ta sẽ có được một họ các mặt phẳng trên một hình tam giác (Hình 2).

Đối với họ này, cũng có thể xây dựng một giới hạn hoàn trả thấp hơn, như chúng ta đã làm trong trường hợp, và tìm một điểm N trên đường biên này với chiều cao lớn nhất trên mặt phẳng . Chiều cao này sẽ là giá của trò chơi.

Tần suất của các chiến lược trong chiến lược tối ưu sẽ được xác định bởi tọa độ (x, y)điểm N, cụ thể là:

Tuy nhiên, việc xây dựng hình học như vậy, ngay cả đối với trường hợp, không dễ thực hiện và đòi hỏi sự đầu tư lớn về thời gian và trí tưởng tượng. Tuy nhiên, trong trường hợp chung của trò chơi, nó được chuyển sang không gian nhiều chiều và mất đi sự rõ ràng, mặc dù việc sử dụng thuật ngữ hình học trong một số trường hợp có thể hữu ích. Khi giải các trò chơi trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng không phải phép loại suy hình học mà là các phương pháp phân tích tính toán, đặc biệt vì các phương pháp này là phương pháp duy nhất phù hợp để giải bài toán trên máy tính.

Tất cả các phương pháp này về cơ bản được rút gọn để giải quyết vấn đề bằng các thử nghiệm liên tiếp, nhưng việc sắp xếp thứ tự các thử nghiệm cho phép bạn xây dựng một thuật toán dẫn đến giải pháp theo cách tiết kiệm nhất.

Ở đây chúng tôi tập trung ngắn gọn vào một phương pháp tính toán để giải quyết các trò chơi - trên cái gọi là phương pháp "lập trình tuyến tính".

Để làm được điều này, đầu tiên chúng ta đưa ra nhận định chung về bài toán tìm lời giải cho trò chơi. Hãy để trò chơi được đưa ra t chiến lược người chơi MỘT Và N chiến lược người chơi TRONG và ma trận xuất chi được đưa ra

Cần phải tìm ra giải pháp cho trò chơi, tức là, hai chiến lược hỗn hợp tối ưu cho người chơi A và B

trong đó (một số các số và có thể bằng 0).

Chiến lược tối ưu của chúng tôi S*A sẽ cung cấp cho chúng ta phần thưởng không nhỏ hơn , đối với bất kỳ hành vi nào của kẻ thù và phần thưởng tương đương với , đối với hành vi tối ưu của anh ta (chiến lược S * B).Chiến lược tương tự S * B phải cung cấp cho kẻ thù một tổn thất không lớn hơn , đối với bất kỳ hành vi nào của chúng ta và bằng với hành vi tối ưu của chúng ta (chiến lược S*A).

Chúng tôi không biết giá trị của trò chơi trong trường hợp này; chúng ta sẽ giả định rằng nó bằng một số dương nào đó. Giả sử điều này, chúng tôi không vi phạm tính tổng quát của lý luận; để > 0, rõ ràng là đủ để tất cả các phần tử của ma trận không âm. Điều này luôn có thể đạt được bằng cách thêm một giá trị dương L đủ lớn vào các phần tử; trong trường hợp này, chi phí của trò chơi sẽ tăng thêm L và giải pháp sẽ không thay đổi.

Hãy để chúng tôi chọn chiến lược tối ưu của chúng tôi S * A . Sau đó, phần thưởng trung bình của chúng tôi cho chiến lược của đối thủ sẽ bằng:

Chiến lược tối ưu của chúng tôi S*A có đặc tính là đối với bất kỳ hành vi nào của đối thủ, nó mang lại lợi ích không ít hơn ; do đó, bất kỳ số nào không thể nhỏ hơn . Chúng tôi nhận được một số điều kiện:

(1)

Chia bất đẳng thức (1) cho một giá trị dương và biểu thị:

Sau đó, điều kiện (1) có thể được viết là

(2)

đâu là số không âm. Bởi vì đại lượng thỏa mãn điều kiện

Chúng tôi muốn làm cho chiến thắng được đảm bảo của chúng tôi càng cao càng tốt; Rõ ràng, trong trường hợp này, vế phải của đẳng thức (3) nhận giá trị nhỏ nhất.

Do đó, bài toán tìm lời giải cho trò chơi được rút gọn thành bài toán sau: định nghĩa các đại lượng không âm thỏa mãn điều kiện (2) sao cho tổng của chúng

là tối thiểu.

Thông thường, khi giải các bài toán liên quan đến tìm giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) thì hàm số vi phân và đạo hàm bằng không. Nhưng một kỹ thuật như vậy là vô ích trong trường hợp này, vì hàm Ф, mà cần phải cực tiểu, là tuyến tính và các đạo hàm của nó đối với tất cả các đối số đều bằng một, nghĩa là chúng không biến mất ở bất kỳ đâu. Do đó, cực đại của hàm số đạt được ở đâu đó trên biên của miền biến thiên của các đối số, được xác định bởi yêu cầu không âm của các đối số và điều kiện (2). Phương pháp tìm các giá trị cực trị bằng cách sử dụng sự khác biệt cũng không phù hợp trong những trường hợp khi mức tối đa của ranh giới hoàn trả dưới (hoặc tối thiểu của mức trên) được xác định cho giải pháp của trò chơi, như chúng tôi đã làm. ví dụ, họ đã làm điều đó khi giải quyết các trò chơi, Thật vậy, ranh giới dưới được tạo thành từ các phần của đường thẳng và giá trị cực đại không đạt được tại điểm mà đạo hàm bằng 0 (hoàn toàn không có điểm nào như vậy), nhưng tại biên của khoảng hoặc tại giao điểm của các đoạn thẳng.

Để giải quyết những vấn đề khá phổ biến như vậy trong thực tế, một bộ máy đặc biệt đã được phát triển trong toán học. lập trình tuyến tính.

Bài toán quy hoạch tuyến tính được đặt ra như sau.

Cho một hệ phương trình tuyến tính:

(4)

Yêu cầu tìm giá trị không âm của các đại lượng thỏa mãn điều kiện (4) đồng thời cực tiểu hóa hàm tuyến tính thuần nhất đã cho của các đại lượng (dạng tuyến tính):

Dễ thấy rằng bài toán lý thuyết trò chơi đặt ra ở trên là một trường hợp cụ thể của bài toán quy hoạch tuyến tính cho

Thoạt nhìn, có vẻ như điều kiện (2) không tương đương với điều kiện (4), vì thay vì dấu bằng, chúng chứa dấu bất đẳng thức. Tuy nhiên, có thể dễ dàng loại bỏ dấu bất đẳng thức bằng cách đưa vào các biến không âm giả tưởng mới và viết điều kiện (2) dưới dạng:

(5)

Dạng Ф, phải được giảm thiểu, bằng

Thiết bị lập trình tuyến tính cho phép, bằng một số lượng mẫu liên tiếp tương đối nhỏ, để chọn các giá trị , thỏa mãn các yêu cầu. Để rõ ràng hơn, ở đây chúng tôi sẽ chứng minh việc sử dụng thiết bị này trực tiếp trên tài liệu giải quyết các trò chơi cụ thể.

Trong bài báo thu hút sự chú ý của bạn, chúng tôi đưa ra các ví dụ về các mô hình toán học. Ngoài ra, chúng tôi sẽ chú ý đến các giai đoạn tạo mô hình và phân tích một số vấn đề liên quan đến mô hình hóa toán học.

Một vấn đề khác của chúng tôi là các mô hình toán học trong kinh tế học, những ví dụ mà chúng tôi sẽ xem xét định nghĩa sau. Chúng tôi đề xuất bắt đầu cuộc trò chuyện của mình với chính khái niệm “mô hình”, xem xét ngắn gọn cách phân loại của chúng và chuyển sang các câu hỏi chính của chúng tôi.

Khái niệm “mô hình”

Chúng ta thường nghe từ "người mẫu". Nó là gì? Thuật ngữ này có nhiều định nghĩa, đây chỉ là ba trong số đó:

một đối tượng cụ thể được tạo ra để nhận và lưu trữ thông tin, phản ánh một số thuộc tính hoặc đặc điểm, v.v., về bản gốc của đối tượng này (đối tượng cụ thể này có thể được thể hiện dưới các hình thức khác nhau: tinh thần, mô tả bằng dấu hiệu, v.v.);
một mô hình cũng có nghĩa là một màn hình hiển thị của bất kỳ tình huống, cuộc sống hoặc quản lý cụ thể nào;
một bản sao nhỏ của đối tượng có thể dùng làm mô hình (chúng được tạo ra để nghiên cứu và phân tích chi tiết hơn, vì mô hình phản ánh cấu trúc và các mối quan hệ).

Dựa trên tất cả những gì đã nói trước đó, chúng ta có thể rút ra một kết luận nhỏ: mô hình cho phép bạn nghiên cứu chi tiết một hệ thống hoặc đối tượng phức tạp.

Tất cả các mô hình có thể được phân loại theo một số tiêu chí:

theo lĩnh vực sử dụng (giáo dục, thực nghiệm, khoa học kỹ thuật, chơi game, mô phỏng);
theo động (tĩnh và động);
theo nhánh kiến thức (vật lý, hóa học, địa lý, lịch sử, xã hội học, kinh tế, toán học);
theo phương pháp trình bày (tài liệu và thông tin).

Ngược lại, các mô hình thông tin được chia thành dấu hiệu và lời nói. Và mang tính biểu tượng - trên máy tính và không phải máy tính. Bây giờ hãy chuyển sang xem xét chi tiết các ví dụ về mô hình toán học.

mô hình toán học

Như bạn có thể đoán, một mô hình toán học phản ánh một số đặc điểm của một đối tượng hoặc hiện tượng bằng các ký hiệu toán học đặc biệt. Toán học là cần thiết để mô hình hóa các quy luật của thế giới bằng ngôn ngữ cụ thể của riêng nó.

Phương pháp mô hình hóa toán học đã có nguồn gốc từ khá lâu, cách đây hàng nghìn năm cùng với sự ra đời của ngành khoa học này. Tuy nhiên, động lực cho sự phát triển của phương pháp lập mô hình này là do sự xuất hiện của máy tính (máy tính điện tử).

Bây giờ hãy chuyển sang phân loại. Nó cũng có thể được thực hiện theo một số dấu hiệu. Chúng được trình bày trong bảng dưới đây.

Chúng tôi đề xuất dừng lại và xem xét kỹ hơn phân loại cuối cùng, vì nó phản ánh các kiểu mô hình chung và mục tiêu của các mô hình được tạo.

mô hình mô tả

Trong chương này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu chi tiết hơn về các mô hình toán học mô tả. Để làm cho mọi thứ rất rõ ràng, một ví dụ sẽ được đưa ra.

Để bắt đầu, chế độ xem này có thể được gọi là mô tả. Điều này là do thực tế là chúng tôi chỉ thực hiện các tính toán và dự báo, nhưng chúng tôi không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện theo bất kỳ cách nào.

Một ví dụ nổi bật về mô hình toán học mô tả là tính toán đường bay, tốc độ, khoảng cách từ Trái đất của một sao chổi xâm chiếm các phần mở rộng của hệ mặt trời của chúng ta. Mô hình này mang tính mô tả, vì tất cả các kết quả thu được chỉ có thể cảnh báo chúng ta về một số loại nguy hiểm. Thật không may, chúng tôi không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện. Tuy nhiên, dựa trên các tính toán thu được, có thể thực hiện bất kỳ biện pháp nào để bảo tồn sự sống trên Trái đất.

Mô hình tối ưu hóa

Bây giờ chúng ta sẽ nói một chút về các mô hình kinh tế và toán học, những ví dụ có thể là các tình huống khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình giúp tìm ra câu trả lời đúng trong một số điều kiện nhất định. Họ phải có một số thông số. Để làm cho nó rất rõ ràng, hãy xem xét một ví dụ từ phần nông nghiệp.

Chúng tôi có một vựa lúa, nhưng lúa bị hư rất nhanh. Trong trường hợp này, chúng ta cần chọn chế độ nhiệt độ phù hợp và tối ưu hóa quá trình bảo quản.

Như vậy, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm “mô hình tối ưu hóa”. Theo nghĩa toán học, đây là một hệ phương trình (cả tuyến tính và không), giải pháp giúp tìm ra giải pháp tối ưu trong một tình huống kinh tế cụ thể. Chúng ta đã xem xét một ví dụ về mô hình toán học (tối ưu hóa), nhưng tôi muốn nói thêm một điều nữa: loại này thuộc lớp các bài toán cực trị, chúng giúp mô tả hoạt động của hệ thống kinh tế.

Chúng tôi lưu ý thêm một sắc thái: các mô hình có thể có bản chất khác nhau (xem bảng bên dưới).

mô hình đa tiêu chí

Bây giờ chúng tôi mời bạn nói một chút về mô hình toán học của tối ưu hóa đa mục tiêu. Trước đó, chúng tôi đã đưa ra một ví dụ về mô hình toán học để tối ưu hóa quy trình theo bất kỳ tiêu chí nào, nhưng nếu có nhiều tiêu chí thì sao?

Một ví dụ nổi bật về nhiệm vụ đa tiêu chí là tổ chức dinh dưỡng hợp lý, lành mạnh và đồng thời tiết kiệm cho nhiều nhóm người. Những nhiệm vụ như vậy thường gặp trong quân đội, căng tin trường học, trại hè, bệnh viện, v.v.

Những tiêu chí nào được đưa ra cho chúng tôi trong nhiệm vụ này?

Thực phẩm nên lành mạnh.
Chi phí thực phẩm nên được giữ ở mức tối thiểu.

Như bạn có thể thấy, những mục tiêu này hoàn toàn không trùng khớp. Nghĩa là khi giải một bài toán cần tìm phương án tối ưu, cân bằng giữa hai tiêu chí.

mô hình trò chơi

Nói về mô hình trò chơi, cần hiểu khái niệm "lý thuyết trò chơi". Nói một cách đơn giản, những mô hình này phản ánh các mô hình toán học về xung đột thực tế. Điều đáng hiểu là, không giống như một cuộc xung đột thực sự, một mô hình toán học trò chơi có các quy tắc cụ thể của riêng nó.

Bây giờ tôi sẽ cung cấp một lượng thông tin tối thiểu từ lý thuyết trò chơi để giúp bạn hiểu mô hình trò chơi là gì. Và do đó, trong mô hình nhất thiết phải có các bên (hai hoặc nhiều hơn), thường được gọi là người chơi.

Tất cả các mô hình có những đặc điểm nhất định.

Mô hình trò chơi có thể được ghép nối hoặc nhiều. Nếu chúng ta có hai đối tượng, thì xung đột được ghép đôi, nếu nhiều hơn - nhiều đối tượng. Trò chơi đối kháng cũng có thể được phân biệt, nó còn được gọi là trò chơi có tổng bằng không. Đây là một mô hình trong đó lợi ích của một trong những người tham gia bằng với mất mát của người kia.

mô hình mô phỏng

Trong phần này, chúng tôi sẽ tập trung vào các mô hình toán học mô phỏng. Ví dụ về các nhiệm vụ là:

mô hình động thái số lượng vi sinh vật;
mô hình chuyển động phân tử, v.v.

Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình càng gần với quy trình thực càng tốt. Nhìn chung, chúng bắt chước bất kỳ biểu hiện nào trong tự nhiên. Ví dụ, trong trường hợp đầu tiên, chúng ta có thể lập mô hình động lực học của số lượng kiến trong một đàn. Trong trường hợp này, bạn có thể quan sát số phận của mỗi cá nhân. Trong trường hợp này, mô tả toán học hiếm khi được sử dụng, thường có các điều kiện bằng văn bản:

sau năm ngày, con cái đẻ trứng;
sau hai mươi ngày con kiến chết, v.v.

Do đó, được sử dụng để mô tả một hệ thống lớn. Kết luận toán học là quá trình xử lý dữ liệu thống kê nhận được.

Yêu cầu

Điều rất quan trọng cần biết là có một số yêu cầu đối với loại mô hình này, trong đó có những yêu cầu được đưa ra trong bảng dưới đây.

Tính linh hoạt	Thuộc tính này cho phép bạn sử dụng cùng một mô hình khi mô tả các nhóm đối tượng cùng loại. Điều quan trọng cần lưu ý là các mô hình toán học phổ quát hoàn toàn độc lập với bản chất vật lý của đối tượng nghiên cứu.
đầy đủ	Ở đây, điều quan trọng là phải hiểu rằng thuộc tính này cho phép tái tạo chính xác nhất các quy trình thực. Trong các bài toán vận hành, tính chất này của mô hình toán học là rất quan trọng. Một ví dụ về mô hình là quá trình tối ưu hóa việc sử dụng hệ thống gas. Trong trường hợp này, các chỉ số được tính toán và thực tế được so sánh, do đó, tính đúng đắn của mô hình đã biên dịch được kiểm tra.
Sự chính xác	Yêu cầu này ngụ ý sự trùng khớp của các giá trị mà chúng ta thu được khi tính toán mô hình toán học và các tham số đầu vào của đối tượng thực của chúng ta
kinh tế	Yêu cầu về tính kinh tế đối với bất kỳ mô hình toán học nào được đặc trưng bởi chi phí thực hiện. Nếu công việc với mô hình được thực hiện thủ công, thì cần tính toán thời gian cần thiết để giải quyết một vấn đề bằng mô hình toán học này. Nếu chúng ta đang nói về thiết kế có sự trợ giúp của máy tính, thì các chỉ số về thời gian và bộ nhớ máy tính được tính toán

các bước lập mô hình

Tổng cộng, người ta thường phân biệt bốn giai đoạn trong mô hình toán học.

Xây dựng luật liên kết các bộ phận của mô hình.
Nghiên cứu các vấn đề toán học.
Tìm ra sự trùng khớp giữa kết quả thực tiễn và lý thuyết.
Phân tích và hiện đại hóa mô hình.

Mô hình kinh tế và toán học

Trong phần này, chúng tôi sẽ nêu bật vấn đề một cách ngắn gọn. Ví dụ về các nhiệm vụ có thể là:

hình thành một chương trình sản xuất để sản xuất các sản phẩm thịt, đảm bảo lợi nhuận sản xuất tối đa;
tối đa hóa lợi nhuận của tổ chức bằng cách tính toán số lượng bàn ghế tối ưu được sản xuất trong một nhà máy sản xuất đồ nội thất, v.v.

Mô hình kinh tế-toán học hiển thị một sự trừu tượng kinh tế, được thể hiện bằng các thuật ngữ và ký hiệu toán học.

Mô hình toán học máy tính

Ví dụ về một mô hình toán học trên máy tính là:

nhiệm vụ thủy lực sử dụng lưu đồ, sơ đồ, bảng, v.v.;
các bài toán về cơ học chất rắn, v.v.

Mô hình máy tính là hình ảnh của một đối tượng hoặc hệ thống, được trình bày dưới dạng:

những cái bàn;
sơ đồ khối;
sơ đồ;
đồ họa, v.v.

Đồng thời, mô hình này phản ánh cấu trúc và các mối liên kết của hệ thống.

Xây dựng mô hình kinh tế và toán học

Chúng ta đã nói về mô hình kinh tế-toán học là gì. Một ví dụ về giải quyết vấn đề sẽ được xem xét ngay bây giờ. Chúng ta cần phân tích chương trình sản xuất để xác định dự trữ nhằm tăng lợi nhuận khi có sự thay đổi trong chủng loại.

Chúng tôi sẽ không xem xét vấn đề một cách đầy đủ mà chỉ xây dựng một mô hình kinh tế và toán học. Tiêu chí của nhiệm vụ của chúng tôi là tối đa hóa lợi nhuận. Khi đó hàm có dạng: Л=р1*х1+р2*х2… có xu hướng cực đại. Trong mô hình này, p là lợi nhuận trên một đơn vị, x là số lượng đơn vị được sản xuất. Hơn nữa, dựa trên mô hình đã xây dựng, cần phải tính toán và tóm tắt.

Một ví dụ về xây dựng một mô hình toán học đơn giản

Nhiệm vụ. Người đánh cá trở về với mẻ cá sau:

8 con cá - cư dân vùng biển phía bắc;
20% sản lượng khai thác - cư dân của các vùng biển phía Nam;
không một con cá nào được tìm thấy từ dòng sông địa phương.

Anh ấy đã mua bao nhiêu con cá ở cửa hàng?

Vì vậy, một ví dụ về việc xây dựng một mô hình toán học của vấn đề này như sau. Ta ký hiệu tổng số cá là x. Với điều kiện, 0,2x là số lượng cá sống ở các vĩ độ phía nam. Bây giờ chúng tôi kết hợp tất cả các thông tin có sẵn và nhận được một mô hình toán học của vấn đề: x=0,2x+8. Chúng tôi giải phương trình và nhận được câu trả lời cho câu hỏi chính: anh ấy đã mua 10 con cá trong cửa hàng.

MÔ HÌNH TOÁN HỌC - biểu diễn một hiện tượng hoặc quá trình được nghiên cứu trong tri thức khoa học cụ thể bằng ngôn ngữ của các khái niệm toán học. Đồng thời, một số tính chất của hiện tượng đang nghiên cứu được cho là có được trên con đường nghiên cứu các đặc trưng toán học thực tế của mô hình. Xây dựng M.m. thường được quyết định bởi sự cần thiết phải có một phân tích định lượng về các hiện tượng và quá trình được nghiên cứu, do đó, không thể đưa ra những dự đoán có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm về tiến trình của chúng.

Quá trình mô hình hóa toán học, như một quy luật, trải qua các giai đoạn sau. Ở giai đoạn đầu tiên, các liên kết giữa các thông số chính của M.m. Trước hết, chúng ta đang nói về việc phân tích định tính các hiện tượng đang được nghiên cứu và xây dựng các mô hình liên kết các đối tượng nghiên cứu chính. Trên cơ sở này, việc xác định các đối tượng cho phép mô tả định lượng được thực hiện. Giai đoạn kết thúc bằng việc xây dựng một mô hình giả thuyết, nói cách khác, một bản ghi bằng ngôn ngữ của các khái niệm toán học về các ý tưởng định tính về mối quan hệ giữa các đối tượng chính của mô hình, có thể được đặc trưng về mặt định lượng.

Ở giai đoạn thứ hai, việc nghiên cứu các vấn đề toán học thực tế mà mô hình giả thuyết được xây dựng dẫn đến sẽ diễn ra. Điều chính ở giai đoạn này là thu được các hệ quả lý thuyết có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm (giải pháp cho vấn đề trực tiếp) là kết quả của phân tích toán học của mô hình. Đồng thời, các trường hợp không phải là hiếm khi việc xây dựng và nghiên cứu M.m. trong các lĩnh vực kiến thức khoa học cụ thể khác nhau, cùng một bộ máy toán học được sử dụng (ví dụ: phương trình vi phân) và các bài toán cùng loại, mặc dù rất không tầm thường trong từng trường hợp cụ thể, phát sinh. Ngoài ra, ở giai đoạn này, việc sử dụng công nghệ tính toán tốc độ cao (máy tính) trở nên vô cùng quan trọng, giúp có thể thu được lời giải gần đúng của các bài toán, thường là không thể trong khuôn khổ của toán học thuần túy, mà trước đây không có (không có việc sử dụng máy tính) mức độ chính xác.

Giai đoạn thứ ba được đặc trưng bởi các hoạt động để xác định mức độ đầy đủ của M.m. giả thuyết được xây dựng. những hiện tượng và quá trình để nghiên cứu mà nó được dự định. Cụ thể, trong trường hợp tất cả các tham số mô hình đã được chỉ định, các nhà nghiên cứu cố gắng tìm hiểu làm thế nào, trong phạm vi độ chính xác của các quan sát, kết quả của họ phù hợp với hệ quả lý thuyết của mô hình. Độ lệch ngoài độ chính xác của các quan sát cho thấy sự không phù hợp của mô hình. Tuy nhiên, thường có những trường hợp khi xây dựng một mô hình, một số tham số của nó không thay đổi.

vô thời hạn. Các vấn đề trong đó các đặc điểm tham số của mô hình được thiết lập theo cách sao cho các hệ quả lý thuyết có thể so sánh được với độ chính xác của các quan sát với kết quả kiểm tra thực nghiệm được gọi là các vấn đề nghịch đảo.

Ở giai đoạn thứ tư, có tính đến việc xác định mức độ phù hợp của mô hình giả thuyết được xây dựng và sự xuất hiện của dữ liệu thực nghiệm mới về các hiện tượng đang nghiên cứu, quá trình phân tích và sửa đổi mô hình tiếp theo diễn ra. Ở đây, quyết định được đưa ra thay đổi từ việc từ chối vô điều kiện các công cụ toán học được áp dụng cho đến việc chấp nhận mô hình được xây dựng làm nền tảng để xây dựng một lý thuyết khoa học mới về cơ bản.

M.m đầu tiên xuất hiện trong khoa học cổ đại. Vì vậy, để mô hình hóa hệ mặt trời, nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp Eudoxus đã cho mỗi hành tinh bốn quả cầu, sự kết hợp chuyển động của chúng đã tạo ra hà mã - một đường cong toán học tương tự như chuyển động quan sát được của hành tinh. Tuy nhiên, vì mô hình này không thể giải thích tất cả các dị thường quan sát được trong chuyển động của các hành tinh, nên sau đó nó đã được thay thế bằng mô hình tuần hoàn của Apollonius từ Perge. Hipparchus đã sử dụng mô hình mới nhất trong các nghiên cứu của mình, và sau đó, Ptolemy đã đưa nó vào một số sửa đổi. Mô hình này, giống như những mô hình tiền thân của nó, dựa trên niềm tin rằng các hành tinh tạo ra chuyển động tròn đều, sự chồng chéo của chúng giải thích cho những bất thường rõ ràng. Đồng thời, cần lưu ý rằng mô hình Copernican về cơ bản chỉ mới theo nghĩa định tính (chứ không phải là M.M.). Và chỉ Kepler, dựa trên những quan sát của Tycho Brahe, đã chế tạo một M.m. Hệ mặt trời, chứng minh rằng các hành tinh chuyển động không phải theo đường tròn mà theo quỹ đạo hình elip.

Hiện tại, các MM thích hợp nhất được xây dựng để mô tả các hiện tượng cơ học và vật lý. Về sự đầy đủ của M.m. bên ngoài vật lý, người ta có thể, với một vài ngoại lệ, nói một cách thận trọng. Tuy nhiên, việc khắc phục tính giả thuyết, và thường chỉ đơn giản là sự không phù hợp của M.m. trong các lĩnh vực tri thức khác nhau, không nên đánh giá thấp vai trò của họ trong sự phát triển của khoa học. Có những trường hợp thường xảy ra khi ngay cả những mô hình không phù hợp ở mức độ lớn được tổ chức và khuyến khích nghiên cứu thêm, cùng với những kết luận sai lầm, chứa đựng những hạt sự thật hoàn toàn biện minh cho những nỗ lực dành cho việc phát triển những mô hình này.

Văn học:

Mô hình hóa toán học. M., 1979;

Ruzavin G.I. Toán học hóa tri thức khoa học. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Phương trình vi phân trong sinh thái học: phản ánh lịch sử và phương pháp luận // Những vấn đề của lịch sử khoa học tự nhiên và công nghệ. 1997. Số 3.

Từ điển thuật ngữ triết học. Ấn bản khoa học của Giáo sư V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, tr. 310-311.

Mô hình toán học là gì?

Khái niệm về mô hình toán học.

Một mô hình toán học là một khái niệm rất đơn giản. Và rất quan trọng. Đó là các mô hình toán học kết nối toán học và cuộc sống thực.

Nói một cách đơn giản, một mô hình toán học là một mô tả toán học của bất kỳ tình huống nào. Và thế là xong. Mô hình có thể nguyên thủy, nó có thể siêu phức tạp. Tình hình là gì, mô hình là gì.)

Trong bất kỳ (tôi nhắc lại - trong bất kỳ!) kinh doanh, nơi bạn cần tính toán một cái gì đó và tính toán - chúng tôi đang tham gia vào mô hình toán học. Ngay cả khi chúng ta không biết điều đó.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Hồ sơ này sẽ là mô hình toán học về chi phí mua hàng của chúng tôi. Mô hình không tính đến màu sắc của bao bì, ngày hết hạn, sự lịch sự của nhân viên thu ngân, v.v. Đó là lý do tại sao cô ấy người mẫu, không phải mua hàng thật. Nhưng các chi phí, tức là. những gì chúng tôi cần- chúng ta sẽ biết chắc chắn. Nếu mô hình là chính xác, tất nhiên.

Thật hữu ích khi tưởng tượng mô hình toán học là gì, nhưng điều này là chưa đủ. Điều quan trọng nhất là có thể xây dựng các mô hình này.

Tổng hợp (xây dựng) mô hình toán học của bài toán.

Soạn một mô hình toán học có nghĩa là chuyển các điều kiện của bài toán thành một dạng toán học. Những thứ kia. biến các từ thành một phương trình, công thức, bất đẳng thức, v.v. Hơn nữa, biến nó để toán học này hoàn toàn tương ứng với văn bản gốc. Nếu không, chúng ta sẽ kết thúc với một mô hình toán học của một số vấn đề khác mà chúng ta chưa biết.)

Cụ thể hơn, bạn cần

Có vô số nhiệm vụ trên thế giới. Do đó, để cung cấp các hướng dẫn từng bước rõ ràng để biên dịch một mô hình toán học không tí nào nhiệm vụ là không thể.

Nhưng có ba điểm chính mà bạn cần chú ý.

1. Trong bất kỳ nhiệm vụ nào cũng có một văn bản, thật kỳ lạ.) Văn bản này, theo quy luật, có thông tin rõ ràng, cởi mở. Số, giá trị, v.v.

2. Trong bất kỳ nhiệm vụ nào cũng có thông tin ẩn.Đây là một văn bản giả định sự hiện diện của kiến \u200b\u200bthức bổ sung trong đầu. Không có họ - không có gì. Ngoài ra, thông tin toán học thường ẩn sau những từ đơn giản và ... trượt qua sự chú ý.

3. Trong bất kỳ công việc nào cũng phải có giao tiếp giữa các dữ liệu. Mối liên hệ này có thể được đưa ra dưới dạng văn bản rõ ràng (cái gì đó tương đương với cái gì đó), hoặc nó có thể ẩn đằng sau những từ đơn giản. Nhưng những sự thật đơn giản và rõ ràng thường bị bỏ qua. Và mô hình không được biên dịch theo bất kỳ cách nào.

Tôi phải nói ngay rằng để áp dụng ba điểm này, vấn đề phải được đọc (và cẩn thận!) nhiều lần. Điều bình thường.

Và bây giờ - ví dụ.

Hãy bắt đầu với một vấn đề đơn giản:

Petrovich đi câu cá trở về và tự hào giới thiệu sản phẩm đánh bắt được với gia đình. Khi kiểm tra kỹ hơn, hóa ra 8 con cá đến từ vùng biển phía bắc, 20% tổng số cá đến từ vùng biển phía nam và không một con nào đến từ dòng sông địa phương nơi Petrovich đánh bắt. Petrovich đã mua bao nhiêu con cá ở cửa hàng hải sản?

Tất cả những từ này cần phải được biến thành một số loại phương trình. Để làm điều này, tôi nhắc lại, thiết lập mối quan hệ toán học giữa tất cả các dữ kiện của bài toán.

Bắt đầu từ đâu? Đầu tiên, chúng tôi sẽ trích xuất tất cả dữ liệu từ tác vụ. Hãy bắt đầu theo thứ tự:

Hãy tập trung vào điểm đầu tiên.

Cái gì đây rõ ràng thông tin toán học? 8 con cá và 20%. Không nhiều, nhưng chúng ta không cần nhiều.)

Hãy chú ý đến điểm thứ hai.

Đang tìm che giấu thông tin. Cô ấy ở đây. Đây là những từ: "20% tổng số cá". Ở đây bạn cần hiểu tỷ lệ phần trăm là gì và chúng được tính như thế nào. Nếu không, nhiệm vụ sẽ không thể giải quyết được. Đây chính xác là thông tin bổ sung nên có trong đầu.

Ở đây cũng có toán học thông tin hoàn toàn vô hình. Cái này câu hỏi nhiệm vụ: "Bạn đã mua bao nhiêu con cá... Nó cũng là một con số. Và không có nó, sẽ không có mô hình nào được biên dịch. Do đó, chúng ta hãy biểu thị số này bằng chữ cái "X". Chúng tôi vẫn chưa biết x bằng bao nhiêu, nhưng cách gọi như vậy sẽ rất hữu ích cho chúng tôi. Để biết thêm thông tin về những gì để tìm x và làm thế nào để xử lý nó, xem bài Làm thế nào để giải toán? Hãy viết nó ngay lập tức:

x miếng - tổng số cá.

Trong vấn đề của chúng tôi, cá miền nam được đưa ra dưới dạng phần trăm. Chúng ta cần dịch chúng thành từng mảnh. Để làm gì? Sau đó, những gì trong không tí nào Nhiệm vụ của người mẫu là trong cùng kích cỡ. Mảnh - vì vậy mọi thứ đều ở dạng mảnh. Nếu chúng ta được cung cấp, chẳng hạn như giờ và phút, chúng ta sẽ dịch mọi thứ thành một thứ - chỉ giờ hoặc chỉ phút. Nó không quan trọng những gì. Điều quan trọng đó là tất cả các giá trị đều giống nhau.

Trở lại tiết lộ. Ai không biết tỷ lệ phần trăm là bao nhiêu thì sẽ không bao giờ tiết lộ, vâng ... Và ai biết được, anh ta sẽ nói ngay rằng tỷ lệ phần trăm ở đây trên tổng số cá được đưa ra. Chúng tôi không biết con số này. Không có gì sẽ đến của nó!

Tổng số cá (tính theo miếng!) Không phải là vô ích với bức thư "X"được chỉ định. Đếm cá phương Nam từng miếng cũng không được, nhưng viết ra được không? Như thế này:

0,2 x miếng - số lượng cá từ các vùng biển phía Nam.

Bây giờ chúng tôi đã tải xuống tất cả thông tin từ tác vụ. Cả rõ ràng và ẩn.

Hãy chú ý đến điểm thứ ba.

Đang tìm kết nối toán học giữa dữ liệu nhiệm vụ. Kết nối này đơn giản đến mức nhiều người không nhận thấy nó... Điều này thường xảy ra. Ở đây, thật hữu ích khi chỉ cần ghi lại dữ liệu đã thu thập được thành một nhóm và xem những gì là gì.

Những gì chúng ta có? Ăn 8 miếng cá miền bắc, 0,2 x miếng- cá phía nam và x cá- tổng cộng. Có thể liên kết dữ liệu này với nhau bằng cách nào đó không? Vâng dễ dàng! tổng số cá bằng tổng của miền nam và miền bắc! Chà, ai có thể nghĩ ...) Vì vậy, chúng tôi viết ra:

x = 8 + 0,2x

Đây sẽ là phương trình mô hình toán học của vấn đề của chúng tôi.

Xin lưu ý rằng trong vấn đề này chúng tôi không được yêu cầu gấp bất cứ thứ gì! Chính chúng tôi, ngoài suy nghĩ của mình, đã nhận ra rằng tổng của cá nam và cá bắc sẽ cho chúng tôi con số tổng. Sự việc quá rõ ràng đến nỗi nó vượt qua sự chú ý. Nhưng không có bằng chứng này, một mô hình toán học không thể được tổng hợp. Như thế này.

Bây giờ bạn có thể áp dụng tất cả sức mạnh của toán học để giải phương trình này). Đây là những gì mô hình toán học được thiết kế cho. Chúng tôi giải phương trình tuyến tính này và nhận được câu trả lời.

Trả lời: x=10

Hãy tạo một mô hình toán học cho một vấn đề khác:

Petrovich được hỏi: "Bạn có bao nhiêu tiền?" Petrovich vừa khóc vừa trả lời: "Vâng, chỉ một chút thôi. Nếu tôi tiêu một nửa số tiền, và một nửa số còn lại, thì tôi sẽ chỉ còn một túi tiền ..." Petrovich có bao nhiêu tiền?

Một lần nữa, chúng tôi làm việc từng điểm một.

1. Chúng tôi đang tìm kiếm thông tin rõ ràng. Bạn sẽ không tìm thấy nó ngay đâu! Thông tin rõ ràng là một túi tiền. Có một số nửa khác... Chà, chúng ta sẽ sắp xếp nó trong đoạn thứ hai.

2. Chúng tôi đang tìm kiếm thông tin ẩn. Đây là một nửa. Cái gì? Không rõ lắm. Tìm kiếm thêm. Có một vấn đề khác: "Petrovich có bao nhiêu tiền?" Hãy biểu thị số tiền bằng chữ cái "X":

X- tất cả tiền

Và đọc lại bài toán. Đã biết rằng Petrovich X tiền bạc. Đây là nơi một nửa làm việc! Chúng tôi viết ra:

0,5 x- một nửa số tiền.

Phần còn lại cũng sẽ là một nửa, tức là 0,5x. Và một nửa của một nửa có thể được viết như thế này:

0,5 0,5 x = 0,25x- một nửa số còn lại.

Bây giờ tất cả các thông tin ẩn được tiết lộ và ghi lại.

3. Chúng tôi đang tìm kiếm mối liên hệ giữa dữ liệu được ghi lại. Ở đây bạn có thể chỉ cần đọc những đau khổ của Petrovich và viết chúng ra một cách toán học):

Nếu tôi tiêu một nửa số tiền...

Hãy viết ra quá trình này. Toàn bộ tiền của - x. Một nửa - 0,5 x. Để chi tiêu là để lấy đi. Cụm từ trở thành:

x - 0,5 x

và một nửa số còn lại...

Trừ đi một nửa số còn lại:

x - 0,5 x - 0,25 x

sau đó sẽ chỉ còn lại một túi tiền với tôi ...

Và có sự bình đẳng! Sau tất cả các phép trừ, còn lại một túi tiền:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Đây rồi, mô hình toán học! Đây lại là một phương trình tuyến tính, chúng tôi giải quyết, chúng tôi nhận được:

Câu hỏi để xem xét. Bốn là gì? Rúp, đô la, nhân dân tệ? Và chúng ta có tiền ở đơn vị nào trong mô hình toán học? Trong túi! Vì vậy, bốn cái túi tiền của Petrovich. Tốt quá.)

Tất nhiên, các nhiệm vụ là cơ bản. Điều này đặc biệt để nắm bắt được bản chất của việc xây dựng một mô hình toán học. Trong một số nhiệm vụ, có thể có nhiều dữ liệu hơn nên dễ bị nhầm lẫn. Điều này thường xảy ra trong cái gọi là. nhiệm vụ năng lực. Làm thế nào để lấy nội dung toán học ra khỏi một đống từ và số được hiển thị với các ví dụ

Một lưu ý nữa. Trong các bài toán trường học cổ điển (đường ống lấp đầy hồ bơi, thuyền đang đi đâu đó, v.v.), theo quy luật, tất cả dữ liệu được chọn rất cẩn thận. Có hai quy tắc:
- có đủ thông tin trong vấn đề để giải quyết nó,
- không có thông tin bổ sung trong nhiệm vụ.

Đây là một gợi ý. Nếu có một số giá trị không được sử dụng trong mô hình toán học, hãy nghĩ xem liệu có lỗi hay không. Nếu không có đủ dữ liệu theo bất kỳ cách nào, rất có thể, không phải tất cả thông tin ẩn đã được tiết lộ và ghi lại.

Trong thẩm quyền và các nhiệm vụ cuộc sống khác, các quy tắc này không được tuân thủ nghiêm ngặt. Tôi không có một gợi ý. Nhưng những vấn đề như vậy cũng có thể được giải quyết. Tất nhiên, trừ khi, thực hành trên cổ điển.)

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

GHI CHÚ BÀI GIẢNG

với tỷ lệ

"Mô hình toán học của máy móc và hệ thống giao thông"

Môn học giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình toán học, với các dạng và nguyên tắc biểu diễn mô hình toán học. Các phương pháp số để giải các hệ phi tuyến một chiều được xem xét. Các câu hỏi về mô hình máy tính và thử nghiệm tính toán được bảo hiểm. Các phương pháp xử lý dữ liệu thu được từ các thí nghiệm khoa học hoặc công nghiệp được xem xét; nghiên cứu các quy trình khác nhau, xác định các mẫu trong hành vi của các đối tượng, quy trình và hệ thống. Các phương pháp nội suy và xấp xỉ dữ liệu thực nghiệm được xem xét. Các vấn đề liên quan đến mô phỏng máy tính và giải pháp của các hệ thống động phi tuyến được xem xét. Đặc biệt, các phương pháp tích phân số và giải phương trình vi phân thông thường bậc nhất, bậc hai và bậc cao hơn được xem xét.

Bài giảng: Mô hình hóa toán học. Hình thức và nguyên tắc biểu diễn mô hình toán học

Bài giảng đề cập đến những vấn đề chung về mô hình hóa toán học. Việc phân loại các mô hình toán học được đưa ra.

Mô hình hóa được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, đặc biệt là trong lĩnh vực thiết kế và quản lý, nơi các quy trình đưa ra quyết định hiệu quả dựa trên thông tin nhận được là đặc biệt.

Một mô hình luôn được xây dựng với một mục tiêu cụ thể trong đầu, điều này ảnh hưởng đến những thuộc tính nào của một hiện tượng khách quan là quan trọng và những thuộc tính nào không. Mô hình có thể nói là một hình chiếu của hiện thực khách quan từ một quan điểm nhất định. Đôi khi, tùy thuộc vào các mục tiêu, bạn có thể nhận được một số dự đoán về thực tế khách quan xung đột. Điều này là điển hình, như một quy luật, đối với các hệ thống phức tạp, trong đó mỗi phép chiếu chọn ra những gì cần thiết cho một mục đích cụ thể từ một tập hợp những thứ không cần thiết.

Lý thuyết mô hình hóa là một nhánh của khoa học nghiên cứu các cách nghiên cứu các thuộc tính của các đối tượng ban đầu dựa trên việc thay thế chúng bằng các đối tượng mô hình khác. Lý thuyết về sự tương đồng làm nền tảng cho lý thuyết mô hình hóa. Khi mô hình hóa, sự tương đồng tuyệt đối không diễn ra và chỉ cố gắng đảm bảo rằng mô hình phản ánh đủ mặt được nghiên cứu về hoạt động của đối tượng. Sự giống nhau tuyệt đối chỉ có thể xảy ra khi một đối tượng được thay thế bằng một đối tượng khác hoàn toàn giống nhau.

Tất cả các mô hình có thể được chia thành hai loại:

1. thật,

2. hoàn hảo.

Đổi lại, các mô hình thực có thể được chia thành:

1. tự nhiên,

2. thể chất,

3. toán học.

Các mô hình lý tưởng có thể được chia thành:

1. trực quan,

2. mang tính biểu tượng,

3. toán học.

Các mô hình tỷ lệ thực là các đối tượng, quy trình và hệ thống thực trên đó các thí nghiệm khoa học, kỹ thuật và công nghiệp được thực hiện.

Toán học thực sự là các mô hình tương tự, cấu trúc, hình học, đồ họa, kỹ thuật số và điều khiển học.

Các mô hình trực quan lý tưởng là sơ đồ, bản đồ, hình vẽ, đồ thị, đồ thị, chất tương tự, mô hình cấu trúc và hình học.

Các mô hình ký hiệu lý tưởng là ký hiệu, bảng chữ cái, ngôn ngữ lập trình, ký hiệu theo thứ tự, ký hiệu tô pô, biểu diễn mạng.

Các mô hình toán lý tưởng là các mô hình giải tích, chức năng, mô phỏng, kết hợp.

Chúng ta hãy tập trung vào một trong những loại mô hình phổ biến nhất - toán học, tương ứng với quá trình vật lý mô phỏng, một hệ thống quan hệ toán học, giải pháp cho phép bạn có câu trả lời cho câu hỏi về hành vi của một đối tượng mà không cần tạo ra một mô hình vật lý, điều này thường trở nên tốn kém và không hiệu quả.

Một mô hình toán học là một biểu diễn gần đúng của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực, được thể hiện dưới dạng toán học và giữ lại các đặc điểm cơ bản của bản gốc. Các mô hình toán học ở dạng định lượng, sử dụng các cấu trúc logic và toán học, mô tả các thuộc tính chính của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống, các tham số, kết nối bên trong và bên ngoài của nó.

Trong trường hợp tổng quát, một mô hình toán học của một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực được biểu diễn dưới dạng một hệ thống các chức năng

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

trong đó X là một vectơ của các biến đầu vào, X= t ,

Y - vectơ của các biến đầu ra, Y= t ,

Z - vectơ ảnh hưởng bên ngoài, Z= t ,

t - tọa độ thời gian.

Việc xây dựng một mô hình toán học bao gồm xác định mối quan hệ giữa các quá trình và hiện tượng nhất định, tạo ra một bộ máy toán học cho phép người ta thể hiện một cách định lượng và định tính mối quan hệ giữa các quá trình và hiện tượng nhất định, giữa các đại lượng vật lý mà chuyên gia quan tâm và các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.

Thông thường có rất nhiều trong số chúng đến mức không thể đưa toàn bộ bộ của chúng vào mô hình. Khi xây dựng một mô hình toán học, trước khi nghiên cứu, nhiệm vụ phát sinh là xác định và loại trừ khỏi các yếu tố xem xét không ảnh hưởng đáng kể đến kết quả cuối cùng (một mô hình toán học thường bao gồm một số lượng nhỏ hơn đáng kể các yếu tố so với thực tế). Dựa trên dữ liệu thực nghiệm, các giả thuyết được đặt ra về mối quan hệ giữa các đại lượng biểu thị kết quả cuối cùng và các yếu tố được đưa vào mô hình toán học. Mối liên hệ như vậy thường được biểu thị bằng các hệ phương trình vi phân trong đạo hàm riêng (ví dụ, trong các bài toán về cơ học chất rắn, lỏng và khí, lý thuyết lọc, dẫn nhiệt, lý thuyết trường tĩnh điện và điện động lực học).

Mục tiêu cuối cùng của giai đoạn này là xây dựng một vấn đề toán học, giải pháp trong đó, với độ chính xác cần thiết, thể hiện kết quả mà một chuyên gia quan tâm.

Hình thức và nguyên tắc biểu diễn của một mô hình toán học phụ thuộc vào nhiều yếu tố.

Theo các nguyên tắc xây dựng, các mô hình toán học được chia thành:

1. phân tích;

2. bắt chước.

Trong các mô hình phân tích, các quy trình hoạt động của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực được viết dưới dạng các phụ thuộc chức năng rõ ràng.

Mô hình phân tích được chia thành các loại tùy thuộc vào vấn đề toán học:

1. phương trình (đại số, siêu việt, vi phân, tích phân),

2. các bài toán xấp xỉ (nội suy, ngoại suy, tích phân số và vi phân),

3. vấn đề tối ưu hóa,

4. vấn đề ngẫu nhiên.

Tuy nhiên, khi đối tượng mô hình hóa trở nên phức tạp hơn, việc xây dựng một mô hình phân tích trở thành một vấn đề nan giải. Sau đó, nhà nghiên cứu buộc phải sử dụng mô hình mô phỏng.

Trong mô hình mô phỏng, hoạt động của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các thuật toán. Các thuật toán bắt chước các hiện tượng cơ bản có thật tạo nên một quy trình hoặc hệ thống trong khi vẫn duy trì cấu trúc logic và trình tự của chúng theo thời gian. Mô hình mô phỏng giúp có thể thu được thông tin về trạng thái của một quy trình hoặc hệ thống tại các thời điểm nhất định từ dữ liệu ban đầu, nhưng rất khó để dự đoán hành vi của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống. Chúng ta có thể nói rằng các mô hình mô phỏng là các thí nghiệm tính toán dựa trên máy tính với các mô hình toán học mô phỏng hành vi của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực.

Tùy thuộc vào bản chất của các quá trình và hệ thống thực được nghiên cứu, các mô hình toán học có thể là:

1. xác định,

2. ngẫu nhiên.

Trong các mô hình tất định, giả định rằng không có ảnh hưởng ngẫu nhiên, các yếu tố của mô hình (các biến, các mối quan hệ toán học) được thiết lập khá tốt và hành vi của hệ thống có thể được xác định chính xác. Khi xây dựng các mô hình xác định, phương trình đại số, phương trình tích phân và đại số ma trận thường được sử dụng nhất.

Mô hình ngẫu nhiên tính đến bản chất ngẫu nhiên của các quá trình trong các đối tượng và hệ thống được nghiên cứu, được mô tả bằng các phương pháp của lý thuyết xác suất và thống kê toán học.

Theo loại thông tin đầu vào, các mô hình được chia thành:

1. liên tục,

2. rời rạc.

Nếu thông tin và tham số là liên tục và các mối quan hệ toán học ổn định thì mô hình là liên tục. Và ngược lại, nếu thông tin, tham số rời rạc, liên kết không ổn định thì mô hình toán học cũng rời rạc.

Theo hành vi của các mô hình trong thời gian, chúng được chia thành:

1. tĩnh,

2. động.

Các mô hình tĩnh mô tả hành vi của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống tại bất kỳ thời điểm nào. Các mô hình động phản ánh hành vi của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống theo thời gian.

Theo mức độ tương ứng giữa mô hình toán học và đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực, các mô hình toán học được chia thành:

1. đẳng cấu (đồng dạng),

2. đồng hình (khác nhau về hình dạng).

Một mô hình được gọi là đẳng cấu nếu có sự tương ứng hoàn chỉnh giữa từng phần tử giữa nó và một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực. Đồng hình - nếu chỉ có sự tương ứng giữa các thành phần quan trọng nhất của đối tượng và mô hình.

Trong tương lai, để định nghĩa ngắn gọn về loại mô hình toán học trong cách phân loại trên, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu sau:

Bức thư đầu tiên:

D - xác định,

C - ngẫu nhiên.

Bức thư thứ hai:

H - liên tục,

D - rời rạc.

Bức thư thứ ba:

A - phân tích,

Và - bắt chước.

1. Không có (chính xác hơn là không tính đến) ảnh hưởng của các quá trình ngẫu nhiên, tức là mô hình tất định (D).

2. Thông tin và tham số là liên tục, tức là mô hình - liên tục (H),

3. Hoạt động của mô hình cơ cấu tay quay được mô tả dưới dạng các phương trình siêu việt phi tuyến tính, tức là mô hình - phân tích (A)

2. Bài giảng: Đặc điểm xây dựng mô hình toán học

Bài giảng mô tả quá trình xây dựng mô hình toán học. Thuật toán bằng lời nói của quá trình được đưa ra.

Để sử dụng máy tính trong giải các bài toán ứng dụng, trước hết bài toán ứng dụng đó phải được “dịch” sang ngôn ngữ toán học hình thức, tức là đối với một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống thực, mô hình toán học của nó phải được xây dựng.

Các mô hình toán học ở dạng định lượng, sử dụng các cấu trúc logic và toán học, mô tả các thuộc tính chính của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống, các tham số, kết nối bên trong và bên ngoài của nó.

Để xây dựng một mô hình toán học, bạn cần:

1. phân tích cẩn thận một đối tượng hoặc quá trình thực tế;

2. làm nổi bật các tính năng và thuộc tính quan trọng nhất của nó;

3. xác định các biến, tức là các tham số có giá trị ảnh hưởng đến các tính năng và thuộc tính chính của đối tượng;

4. mô tả sự phụ thuộc của các thuộc tính cơ bản của một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống vào giá trị của các biến bằng cách sử dụng các mối quan hệ logic và toán học (phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học);

5. làm nổi bật các kết nối bên trong của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống bằng cách sử dụng các giới hạn, phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học;

6. xác định các mối quan hệ bên ngoài và mô tả chúng bằng cách sử dụng các giới hạn, phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học.

Mô hình hóa toán học, ngoài việc nghiên cứu một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống và biên dịch mô tả toán học của chúng, còn bao gồm:

1. xây dựng một thuật toán mô hình hóa hành vi của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống;

2. xác minh tính phù hợp của mô hình và đối tượng, quá trình hoặc hệ thống dựa trên tính toán và thử nghiệm tự nhiên;

3. điều chỉnh mô hình;

4. sử dụng mô hình.

Mô tả toán học của các quy trình và hệ thống được nghiên cứu phụ thuộc vào:

1. bản chất của một quá trình hoặc hệ thống thực và được tổng hợp trên cơ sở các định luật vật lý, hóa học, cơ học, nhiệt động lực học, thủy động lực học, kỹ thuật điện, lý thuyết dẻo, lý thuyết đàn hồi, v.v.

2. độ tin cậy và độ chính xác cần thiết của nghiên cứu và nghiên cứu các quy trình và hệ thống thực.

Ở giai đoạn chọn một mô hình toán học, những điều sau đây được thiết lập: tuyến tính và phi tuyến tính của một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống, động hoặc tĩnh, ổn định hoặc không ổn định, cũng như mức độ xác định của đối tượng hoặc quá trình theo học. Trong mô hình hóa toán học, người ta chủ ý trừu tượng hóa bản chất vật lý cụ thể của các đối tượng, quá trình hoặc hệ thống và chủ yếu tập trung vào nghiên cứu sự phụ thuộc định lượng giữa các đại lượng mô tả các quá trình này.

Một mô hình toán học không bao giờ giống hoàn toàn với đối tượng, quy trình hoặc hệ thống được xem xét. Dựa trên sự đơn giản hóa, lý tưởng hóa, đó là sự mô tả gần đúng đối tượng. Vì vậy, kết quả thu được trong phân tích mô hình là gần đúng. Độ chính xác của chúng được xác định bởi mức độ phù hợp (tương ứng) của mô hình và đối tượng.

Việc xây dựng mô hình toán học thường bắt đầu bằng việc xây dựng và phân tích mô hình toán học đơn giản nhất, thô sơ nhất của đối tượng, quá trình hoặc hệ thống đang xem xét. Trong tương lai, nếu cần thiết, mô hình sẽ được tinh chỉnh, sự tương ứng của nó với đối tượng sẽ hoàn thiện hơn.

Hãy lấy một ví dụ đơn giản. Bạn cần xác định diện tích bề mặt của bàn làm việc. Thông thường, đối với điều này, chiều dài và chiều rộng của nó được đo, sau đó các số kết quả được nhân lên. Một thủ tục cơ bản như vậy thực sự có nghĩa như sau: đối tượng thực (mặt bàn) được thay thế bằng một mô hình toán học trừu tượng - một hình chữ nhật. Các kích thước thu được do đo chiều dài và chiều rộng của mặt bàn được quy cho hình chữ nhật và diện tích của hình chữ nhật đó được lấy gần đúng làm diện tích mong muốn của bàn.

Tuy nhiên, mẫu bàn làm việc hình chữ nhật là mẫu đơn giản, thô sơ nhất. Với cách tiếp cận vấn đề nghiêm túc hơn, trước khi sử dụng mô hình hình chữ nhật để xác định diện tích bàn, cần kiểm tra mô hình này. Việc kiểm tra có thể được thực hiện như sau: đo độ dài của các cạnh đối diện của bảng, cũng như độ dài của các đường chéo của nó và so sánh chúng với nhau. Nếu, với độ chính xác cần thiết, độ dài của các cạnh đối diện và độ dài của các đường chéo bằng nhau theo từng cặp, thì mặt bàn thực sự có thể được coi là một hình chữ nhật. Nếu không, mô hình hình chữ nhật sẽ phải bị loại bỏ và thay thế bằng mô hình tứ giác chung. Với yêu cầu cao hơn về độ chính xác, có thể cần phải tinh chỉnh mô hình hơn nữa, chẳng hạn như tính đến việc làm tròn các góc của bảng.

Sử dụng ví dụ đơn giản này, người ta đã chỉ ra rằng mô hình toán học không được xác định duy nhất bởi đối tượng, quy trình hoặc hệ thống đang nghiên cứu. Đối với cùng một bảng, chúng ta có thể chấp nhận mô hình hình chữ nhật hoặc mô hình phức tạp hơn của tứ giác chung hoặc tứ giác có các góc tròn. Việc lựa chọn một hoặc một mô hình khác được xác định bởi yêu cầu về độ chính xác. Với độ chính xác ngày càng tăng, mô hình phải phức tạp hơn, có tính đến các tính năng mới và mới của đối tượng, quy trình hoặc hệ thống đang được nghiên cứu.

Hãy xem xét một ví dụ khác: nghiên cứu về chuyển động của cơ cấu tay quay (Hình 2.1).

Cơm. 2.1.

Để phân tích động học của cơ chế này, trước hết cần xây dựng mô hình động học của nó. Đối với điều này:

1. Chúng tôi thay thế cơ chế bằng sơ đồ động học của nó, trong đó tất cả các liên kết được thay thế bằng các liên kết cứng nhắc;

2. Sử dụng sơ đồ này, chúng tôi rút ra phương trình chuyển động của cơ chế;

3. Đạo hàm cái sau, ta thu được phương trình vận tốc và gia tốc, là phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2.

Hãy viết các phương trình này:

trong đó C 0 là vị trí cực bên phải của con trượt C:

r là bán kính của tay quay AB;

l là độ dài của thanh nối BC;

- góc quay của tay quay;

Các phương trình siêu việt thu được biểu thị một mô hình toán học về chuyển động của cơ cấu tay quay hướng trục phẳng dựa trên các giả định đơn giản hóa sau:

1. Chúng tôi không quan tâm đến các hình thức xây dựng và sự sắp xếp của các quần chúng có trong cơ chế của các cơ quan và chúng tôi đã thay thế tất cả các cơ quan của cơ chế bằng các đoạn thẳng. Trên thực tế, tất cả các liên kết của cơ chế đều có khối lượng và hình dạng khá phức tạp. Ví dụ, một thanh kết nối là một kết nối đúc sẵn phức tạp, hình dạng và kích thước của nó, tất nhiên, sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của cơ chế;

2. khi xây dựng một mô hình toán học về chuyển động của cơ chế đang được xem xét, chúng tôi cũng đã không tính đến tính đàn hồi của các vật thể có trong cơ chế, tức là tất cả các liên kết được coi là cơ thể cứng nhắc tuyệt đối trừu tượng. Trên thực tế, tất cả các vật thể có trong cơ chế đều là vật thể đàn hồi. Khi cơ chế di chuyển, bằng cách nào đó chúng sẽ bị biến dạng, thậm chí có thể xảy ra rung động đàn hồi trong chúng. Tất nhiên, tất cả điều này cũng sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của cơ chế;

3. chúng tôi đã không tính đến lỗi sản xuất của các liên kết, các khoảng trống trong các cặp động học A, B, C, v.v.

Do đó, cần nhấn mạnh một lần nữa rằng yêu cầu về độ chính xác của kết quả giải quyết vấn đề càng cao thì càng cần phải tính đến các đặc điểm của đối tượng, quá trình hoặc hệ thống được nghiên cứu khi xây dựng mô hình toán học. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải dừng lại ở đây đúng lúc, vì một mô hình toán học phức tạp có thể biến thành một nhiệm vụ khó khăn.

Mô hình được xây dựng đơn giản nhất khi các luật xác định hành vi và thuộc tính của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống đã được biết rõ và có nhiều kinh nghiệm thực tế trong ứng dụng của chúng.

Một tình huống phức tạp hơn phát sinh khi kiến thức của chúng ta về đối tượng, quy trình hoặc hệ thống đang nghiên cứu là không đủ. Trong trường hợp này, khi xây dựng một mô hình toán học, người ta phải đặt thêm các giả thiết mang tính chất của các giả thuyết, mô hình như vậy được gọi là mô hình giả thuyết. Các kết luận rút ra từ nghiên cứu về một mô hình giả thuyết như vậy là có điều kiện. Để kiểm chứng kết luận, cần so sánh kết quả nghiên cứu mô hình trên máy tính với kết quả thực nghiệm toàn diện. Do đó, câu hỏi về khả năng ứng dụng của một mô hình toán học nhất định để nghiên cứu đối tượng, quá trình hoặc hệ thống đang được xem xét không phải là một câu hỏi toán học và không thể giải quyết bằng các phương pháp toán học.

Tiêu chí chính của sự thật là thử nghiệm, thực hành theo nghĩa rộng nhất của từ này.

Xây dựng một mô hình toán học trong các bài toán ứng dụng là một trong những giai đoạn công việc phức tạp và có trách nhiệm nhất. Kinh nghiệm cho thấy trong nhiều trường hợp chọn đúng mô hình đồng nghĩa với việc giải quyết được hơn một nửa vấn đề. Khó khăn của giai đoạn này là nó đòi hỏi sự kết hợp giữa toán học và kiến thức đặc biệt. Do đó, điều rất quan trọng là khi giải các bài toán ứng dụng, các nhà toán học phải có kiến thức đặc biệt về đối tượng và các cộng sự của họ, các chuyên gia, có một nền văn hóa toán học nhất định, kinh nghiệm nghiên cứu trong lĩnh vực của họ, kiến thức về máy tính và lập trình.

Bài giảng 3. Mô hình máy tính và thí nghiệm tính toán. Giải các mô hình toán học

Mô hình máy tính như một phương pháp nghiên cứu khoa học mới dựa trên:

1. xây dựng các mô hình toán học để mô tả các quá trình đang nghiên cứu;

2. sử dụng máy tính đời mới nhất, tốc độ cao (hàng triệu phép tính/giây) và có khả năng đối thoại với một người.

Bản chất của mô phỏng máy tính như sau: trên cơ sở mô hình toán học, một loạt các thí nghiệm tính toán được thực hiện với sự trợ giúp của máy tính, tức là các thuộc tính của các đối tượng hoặc quy trình được nghiên cứu, các tham số và phương thức hoạt động tối ưu của chúng được tìm thấy, mô hình được tinh chỉnh. Ví dụ: có một phương trình mô tả tiến trình của một quy trình cụ thể, bạn có thể thay đổi các hệ số, điều kiện ban đầu và điều kiện biên của nó, đồng thời điều tra xem đối tượng sẽ hành xử như thế nào trong trường hợp này. Hơn nữa, có thể dự đoán hành vi của một đối tượng trong các điều kiện khác nhau.

Thí nghiệm tính toán giúp có thể thay thế một thí nghiệm toàn diện đắt tiền bằng các tính toán trên máy tính. Nó cho phép trong một thời gian ngắn và không có chi phí vật chất đáng kể để thực hiện nghiên cứu một số lượng lớn các tùy chọn cho đối tượng hoặc quy trình được thiết kế cho các chế độ hoạt động khác nhau của nó, giúp giảm đáng kể thời gian cần thiết để phát triển các hệ thống phức tạp và giới thiệu chúng trong sản xuất.

Mô hình hóa máy tính và thử nghiệm tính toán như một phương pháp nghiên cứu khoa học mới đòi hỏi phải cải thiện bộ máy toán học được sử dụng trong việc xây dựng các mô hình toán học, cho phép sử dụng các phương pháp toán học để tinh chỉnh và làm phức tạp các mô hình toán học. Triển vọng nhất để tiến hành một thí nghiệm tính toán là việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề khoa học, kỹ thuật và kinh tế xã hội lớn của thời đại chúng ta (thiết kế lò phản ứng cho nhà máy điện hạt nhân, thiết kế đập và nhà máy thủy điện, bộ chuyển đổi năng lượng thủy động lực học, và trong lĩnh vực kinh tế học). - lập kế hoạch cân đối cho ngành, vùng, quốc gia, v.v.).

Trong một số quy trình mà thí nghiệm toàn diện gây nguy hiểm cho tính mạng và sức khỏe con người, thì thí nghiệm máy tính là khả thi duy nhất (phản ứng tổng hợp nhiệt hạch, thám hiểm không gian, thiết kế và nghiên cứu hóa chất và các ngành công nghiệp khác).

Để kiểm tra tính phù hợp của mô hình toán học và đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực, kết quả nghiên cứu trên máy tính được so sánh với kết quả thực nghiệm trên mẫu thực nghiệm toàn diện. Kết quả xác minh được sử dụng để hiệu chỉnh mô hình toán học hoặc câu hỏi về khả năng ứng dụng của mô hình toán học đã xây dựng để thiết kế hoặc nghiên cứu các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống nhất định được quyết định.

Để kết luận, chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng mô phỏng máy tính và thí nghiệm tính toán giúp giảm việc nghiên cứu một đối tượng "phi toán học" thành giải pháp cho một vấn đề toán học. Điều này mở ra khả năng sử dụng một bộ máy toán học được phát triển tốt để nghiên cứu kết hợp với công nghệ máy tính mạnh mẽ. Đây là cơ sở cho việc sử dụng toán học và máy tính để hiểu biết về các quy luật của thế giới thực và việc sử dụng chúng trong thực tế.

Trong các nhiệm vụ thiết kế hoặc nghiên cứu hành vi của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực, các mô hình toán học, như một quy luật, là phi tuyến tính, bởi vì chúng phải phản ánh các quá trình phi tuyến vật lý thực xảy ra trong chúng. Đồng thời, các tham số (biến) của các quá trình này được kết nối với nhau bằng các quy luật phi tuyến tính vật lý. Do đó, trong các vấn đề thiết kế hoặc nghiên cứu hành vi của các đối tượng, quy trình hoặc hệ thống thực, các mô hình toán học kiểu DND thường được sử dụng nhất.

Theo phân loại được đưa ra trong bài giảng 1:

D - mô hình mang tính quyết định, không có (chính xác hơn là không tính đến) ảnh hưởng của các quá trình ngẫu nhiên.

H - mô hình liên tục, thông tin và tham số liên tục.

A - mô hình giải tích, hoạt động của mô hình được mô tả dưới dạng các phương trình (tuyến tính, phi tuyến, hệ phương trình, phương trình vi phân và tích phân).

Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng một mô hình toán học của đối tượng, quy trình hoặc hệ thống được xem xét, tức là trình bày một bài toán ứng dụng như một bài toán. Sau đó, giai đoạn thứ hai của việc giải bài toán ứng dụng bắt đầu - tìm kiếm hoặc phát triển một phương pháp giải bài toán đã xây dựng. Phương pháp này phải thuận tiện cho việc triển khai trên máy tính, cung cấp chất lượng cần thiết của giải pháp.

Tất cả các phương pháp để giải các bài toán có thể được chia thành 2 nhóm:

1. phương pháp chính xác để giải quyết vấn đề;

2. các phương pháp giải toán bằng số.

Trong các phương pháp chính xác để giải các bài toán, câu trả lời có thể thu được dưới dạng công thức.

Ví dụ: tính nghiệm của phương trình bậc hai:

hoặc, ví dụ, tính toán các hàm đạo hàm:

hoặc tính tích phân xác định:

Tuy nhiên, thay các số vào công thức dưới dạng phân số thập phân hữu hạn, ta vẫn nhận được giá trị gần đúng của kết quả.

Đối với hầu hết các bài toán gặp phải trong thực tế, các phương pháp giải chính xác hoặc là không biết hoặc đưa ra các công thức rất rườm rà. Tuy nhiên, chúng không phải lúc nào cũng cần thiết. Một bài toán ứng dụng có thể được coi là giải được trên thực tế nếu chúng ta có thể giải nó với độ chính xác cần thiết.

Để giải quyết các vấn đề như vậy, các phương pháp số đã được phát triển, trong đó giải pháp cho các vấn đề toán học phức tạp được rút gọn thành việc thực hiện tuần tự một số lượng lớn các phép toán số học đơn giản. Sự phát triển trực tiếp của các phương pháp số thuộc về toán học tính toán.

Một ví dụ về phương pháp số là phương pháp hình chữ nhật cho tích phân gần đúng, không yêu cầu tính toán nguyên hàm cho tích phân. Thay vì tích phân, tổng cầu phương cuối cùng được tính:

x 1 =a - giới hạn dưới của tích phân;

x n+1 =b – giới hạn trên của tích phân;

n là số đoạn mà khoảng tích phân (a,b) được chia;

là độ dài của đoạn cơ sở;

f(x i) là giá trị của tích phân ở cuối các đoạn cơ sở của tích phân.

Số lượng phân đoạn n mà khoảng tích phân được chia thành càng nhiều thì nghiệm gần đúng càng gần với nghiệm thực, tức là kết quả càng chính xác.

Như vậy, trong các bài toán ứng dụng, cả khi dùng phương pháp giải chính xác và khi dùng phương pháp giải số, kết quả của các phép tính đều là gần đúng. Điều quan trọng là đảm bảo rằng các sai số phù hợp với độ chính xác cần thiết.

Các phương pháp số để giải các bài toán đã được biết đến từ lâu, ngay cả trước khi máy tính ra đời, nhưng chúng hiếm khi được sử dụng và chỉ trong những trường hợp tương đối đơn giản do tính toán cực kỳ phức tạp. Việc sử dụng rộng rãi các phương pháp số đã trở nên khả thi nhờ máy tính.