При вирішенні деяких геометричних завдань методом координат доводиться знаходити координати точки перетину прямих. Найчастіше доводиться шукати координати точки перетину двох прямих на площині, проте іноді виникає потреба у визначенні координат точки перетину двох прямих у просторі. У цій статті ми розберемося зі знаходженням координат точки, в якій перетинаються дві прямі.

Навігація на сторінці.

Крапка перетину двох прямих – визначення.

Давайте спочатку дамо визначення точки перетину двох прямих.

У розділі взаємне розташування прямих на площині показано, що дві прямі на площині можуть або збігатися (при цьому вони мають безліч спільних точок), або бути паралельними (при цьому дві прямі не мають спільних точок), або перетинатися, маючи одну спільну точку. Варіантів взаємного розташування двох прямих у просторі більше - вони можуть збігатися (мати нескінченно багато спільних точок), можуть бути паралельними (тобто лежати в одній площині і не перетинатися), можуть бути схрещуються (не лежать в одній площині), а також можуть мати одну загальну точку, тобто перетинатися. Отже, дві прямі і на площині і в просторі називаються такими, що перетинаються, якщо вони мають одну загальну точку.

З визначення прямих, що перетинаються, випливає визначення точки перетину прямих: точка, в якій перетинаються дві прямі, називається точкою перетину цих прямих. Іншими словами, єдина загальна точка двох прямих, що перетинаються, є точка перетину цих прямих.

Наведемо для наочності графічну ілюстрацію точки перетину двох прямих на площині та просторі.

На початок сторінки

Знаходження координат точки перетину двох прямих на площині.

Перш ніж знаходити координати точки перетину двох прямих на площині за їх відомими рівняннями, розглянемо допоміжне завдання.

Oxy aі b. Вважатимемо, що прямий aвідповідає загальне рівняння прямого виду, а прямий b- Вигляду . Нехай - деяка точка площини, і потрібно з'ясувати, чи є точка М 0точкою перетину заданих прямих.

Вирішимо поставлене завдання.

Якщо M 0 aі b, то за визначенням вона належить і пряма aі прямий b, тобто, її координати повинні задовольняти одночасно і рівняння та рівняння . Отже, нам потрібно підставити координати точки М 0у рівняння заданих прямих і подивитися, чи виходять при цьому дві вірні рівністі. Якщо координати точки М 0задовольняють обох рівнянь і , то – точка перетину прямих aі b, в іншому випадку М 0 .

Чи є точка М 0з координатами (2, -3) точкою перетину прямих 5x-2y-16=0і 2x-5y-19=0?

Якщо М 0дійсно точка перетину заданих прямих, її координати задовольняють рівнянням прямих. Перевіримо це, підставивши координати точки М 0у задані рівняння:

Отримали дві вірні рівності, отже, М 0 (2, -3)- точка перетину прямих 5x-2y-16=0і 2x-5y-19=0.

Для наочності наведемо креслення, у якому зображені прямі і видно координати точки їх перетину.

так, точка М 0 (2, -3)є точкою перетину прямих 5x-2y-16=0і 2x-5y-19=0.

Чи перетинаються прямі 5x+3y-1=0і 7x-2y+11=0у точці M 0 (2, -3)?

Підставимо координати точки М 0у рівняння прямих, цією дією буде здійснено перевірку належності точки М 0обом прямим одночасно:

Так як друге рівняння при підстановці в нього координат точки М 0не звернулося у правильну рівність, то точка М 0не належить прямий 7x-2y+11=0. З цього факту можна дійти невтішного висновку у тому, що точка М 0не є точкою перетину заданих прямих.

На кресленні також добре видно, що точка М 0не є точкою перетину прямих 5x+3y-1=0і 7x-2y+11=0. Очевидно, що задані прямі перетинаються в точці з координатами (-1, 2) .

М 0 (2, -3)не є точкою перетину прямих 5x+3y-1=0і 7x-2y+11=0.

Тепер можна переходити до завдання знаходження координат точки перетину двох прямих за заданими рівняннями прямих на площині.

Нехай на площині зафіксовано прямокутну декартову систему координат Oxyі задані дві прямі, що перетинаються aі bрівняннями та відповідно. Позначимо точку перетину заданих прямих як М 0і розв'яжемо наступне завдання: знайти координати точки перетину двох прямих aі bза відомими рівняннями цих прямих і .

Крапка M 0належить кожній з прямих, що перетинаються aі bза визначенням. Тоді координати точки перетину прямих aі bзадовольняють одночасно і рівняння та рівняння. Отже, координати точки перетину двох прямих aі bє рішенням системи рівнянь (дивіться статтю рішення систем лінійних рівнянь алгебри).

Таким чином, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, визначених на площині загальними рівняннями, потрібно вирішити систему, що складається з рівнянь заданих прямих.

Розглянемо рішення прикладу.

Знайдіть точку перетину двох прямих, визначених у прямокутній системі координат на площині рівняннями x-9y+14=0і 5x-2y-16=0.

Нам дано два загальні рівняння прямих, складемо їх систему: . Рішення отриманої системи рівнянь легко перебувають, якщо дозволити її перше рівняння щодо змінної xі підставити цей вислів у друге рівняння:

Знайдене рішення системи рівнянь дає нам шукані координати точки перетину двох прямих.

M 0 (4, 2)- Точка перетину прямих x-9y+14=0і 5x-2y-16=0.

Отже, знаходження координат точки перетину двох прямих, визначених загальними рівняннями на площині, зводиться до розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними. А як бути, якщо прямі на площині задані не загальними рівняннями, а рівняннями іншого виду (дивіться види рівняння прямої на площині)? У цих випадках можна спочатку привести рівняння прямих до загального вигляду, а після цього знаходити координати точки перетину.

Перед знаходженням координат точки перетину заданих прямих наведемо їх рівняння до загального вигляду. Перехід від параметричних рівнянь прямої до загального рівняння цієї прямої виглядає так:

Тепер проведемо необхідні дії з канонічним рівнянням прямої:

Отже, шукані координати точки перетину прямих є рішенням системи рівнянь виду . Використовуємо для її вирішення метод Крамера:

M 0 (-5, 1)

Існує ще один спосіб знаходження координат точки перетину двох прямих на площині. Його зручно застосовувати, коли одна з прямих задана параметричними рівняннями виду, а інша – рівнянням прямого іншого виду. В цьому випадку в інше рівняння замість змінних xі yможна підставити вирази і , звідки можна буде отримати значення , що відповідає точці перетину заданих прямих. При цьому точка перетину прямих має координати.

Знайдемо координати точки перетину прямих із попереднього прикладу цим способом.

Визначте координати точки перетину прямих та .

Підставимо в рівняння прямої вирази:

Розв'язавши отримане рівняння, отримуємо . Це значення відповідає загальній точці прямих і . Обчислюємо координати точки перетину, підставивши параметричні рівняння прямої:
.

M 0 (-5, 1).

Для повноти картини слід обговорити ще один момент.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих на площині корисно переконатися, що задані прямі дійсно перетинаються. Якщо з'ясується, що вихідні прямі збігаються або паралельні, то про знаходження координат точки перетину таких прямих не може бути мови.

Можна, звичайно, обійтися без такої перевірки, а відразу скласти систему рівнянь виду і вирішити її. Якщо система рівнянь має єдине рішення, воно дає координати точки, у якій вихідні прямі перетинаються. Якщо система рівнянь рішень не має, то можна робити висновок про паралельність вихідних прямих (оскільки не існує такої пари дійсних чисел xі y, яка б задовольняла одночасно обидва рівняння заданих прямих). З наявності нескінченної множини рішень системи рівнянь випливає, що вихідні прямі мають нескінченно багато загальних точок, тобто збігаються.

Розглянемо приклади, які підходять під ці ситуації.

З'ясуйте, чи прямі і , і якщо перетинаються, то знайдіть координати точки перетину.

Заданим рівнянням прямих відповідають рівняння і . Вирішимо систему, складену з цих рівнянь.

Очевидно, що рівняння системи лінійно виражаються один через одного (друге рівняння системи виходить з першого множенням обох його частин на 4 ), отже, система рівнянь має безліч рішень. Таким чином, рівняння визначають одну і ту ж пряму, і ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

рівняння та визначають у прямокутній системі координат Oxyту саму пряму, тому ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину.

Знайдіть координати точки перетину прямих і якщо це можливо.

Умова завдання припускає, що прямі можуть бути такими, що не перетинаються. Складемо систему даних рівнянь. Застосуємо для її вирішення метод Гауса, оскільки він дозволяє встановити спільність або несумісність системи рівнянь, а у разі її спільності знайти рішення:

Останнє рівняння системи після прямого ходу методу Гауса звернулося в неправильну рівність, отже, система рівнянь немає рішень. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вихідні прямі паралельні, і ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Другий спосіб розв'язання.

Давайте з'ясуємо, чи перетинаються задані прямі.

Нормальний вектор прямий, а вектор є нормальним вектором прямий. Перевіримо виконання умови колінеарності векторів і: рівність вірна, тому що, отже, нормальні вектори заданих прямих колінеарні. Тоді ці прямі паралельні або збігаються. Отже, ми можемо знайти координати точки перетину вихідних прямих.

координати точки перетину заданих прямих знайти неможливо, оскільки ці прямі паралельні.

Знайдіть координати точки перетину прямих 2x-1 = 0і якщо вони перетинаються.

Складемо систему з рівнянь, які є загальними рівняннями заданих прямих: . Визначник основної матриці цієї системи рівнянь відмінний від нуля, тому система рівнянь має єдине рішення, що свідчить про перетин заданих прямих.

Для знаходження координат точки перетину прямих нам потрібно вирішити систему:

Отримане рішення дає нам координати точки перетину прямих, тобто - точка перетину прямих 2x-1 = 0та .

На початок сторінки

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі.

Координати точки перетину двох прямих тривимірному просторі знаходяться аналогічно.

Нехай прямі, що перетинаються aі bзадані у прямокутній системі координат Oxyzрівняннями двох площин, що перетинаються, тобто, пряма aвизначається системою виду, а пряма b- . Нехай М 0- Точка перетину прямих aі b. Тоді точка М 0за визначенням належить і прямий aі прямий b, Отже, її координати задовольняють рівнянням обох прямих. Таким чином, координати точки перетину прямих aі bє рішення системи лінійних рівнянь виду. Тут нам знадобиться інформація з розділу розв'язання систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не збігається з числом невідомих змінних.

Розглянемо рішення прикладів.

Знайдіть координати точки перетину двох прямих, заданих у просторі рівняннями та .

Складемо систему рівнянь із рівнянь заданих прямих: . Рішення цієї системи дасть нам шукані координати точки перетину прямих у просторі. Знайдемо рішення записаної системи рівнянь.

Основна матриця системи має вигляд, а розширена -.

Визначимо ранг матриці Ата ранг матриці T. Використовуємо метод обрамляючих мінорів, при цьому не будемо докладно описувати обчислення визначників (при необхідності звертайтеся до статті обчислення визначника матриці):

Таким чином, ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює трьом.

Отже система рівнянь має єдине рішення.

Базисним мінором приймемо визначник , тому із системи рівнянь слід виключити останнє рівняння, оскільки він бере участь у освіті базисного мінора. Отже,

Рішення отриманої системи легко знаходиться:

Таким чином, точка перетину прямих і має координати (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Слід зазначити, що система рівнянь має єдине рішення тоді і лише тоді, коли прямі aі bперетинаються. Якщо ж прямі аі bпаралельні чи схрещуються, то остання система рівнянь рішень немає, оскільки у разі прямі немає спільних точок. Якщо прямі aі bзбігаються, то вони мають безліч загальних точок, отже, зазначена система рівнянь має безліч рішень. Однак у цих випадках ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину прямих, оскільки прямі перетинаються.

Таким чином, якщо ми не знаємо заздалегідь, перетинаються задані прямі aі bчи ні, то розумно скласти систему рівнянь виду та вирішити її методом Гаусса. Якщо отримаємо єдине рішення, воно відповідатиме координатам точки перетину прямих aі b. Якщо система виявиться несумісною, то прямі aі bне перетинаються. Якщо ж система матиме безліч рішень, то прямі aі bзбігаються.

Можна обійтися без використання методу Гаусса. Як варіант, можна обчислити ранги основної та розширеної матриць цієї системи, і на підставі отриманих даних і теореми Кронекера-Капеллі дійти невтішного висновку або про існування єдиного рішення, або про існування безлічі рішень, або про відсутність рішень. Це справа смаку.

Якщо прямі та перетинаються, то визначте координати точки перетину.

Складемо систему із заданих рівнянь: . Вирішимо її методом Гауса в матричній формі:

Стало видно, що система рівнянь немає рішень, отже, задані прямі не перетинаються, і може бути мови про пошуку координат точки перетину цих прямих.

ми можемо знайти координати точки перетину заданих прямих, оскільки ці прямі не перетинаються.

Коли прямі, що перетинаються, задані канонічними рівняннями прямої в просторі або параметричними рівняннями прямої в просторі, то слід спочатку отримати їх рівняння у вигляді двох площин, що перетинаються, а вже після цього знаходити координати точки перетину.

Дві прямі, що перетинаються, задані в прямокутній системі координат Oxyzрівняннями та . Знайдіть координати точки перетину цих прямих.

Задамо вихідні прямі рівняннями двох площин, що перетинаються:

Для знаходження координат точки перетину прямих залишилося вирішити систему рівнянь. Ранг основної матриці цієї системи дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює трьом (рекомендуємо перевірити цей факт). Як базисний мінор приймемо , отже, із системи можна виключити останнє рівняння . Вирішивши отриману систему будь-яким методом (наприклад, методом Крамера) отримуємо рішення . Таким чином, точка перетину прямих і має координати (-2, 3, -5) .

Якщо прямі перетинаються у точці, її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння однієї прямої.
2) Скласти рівняння другої прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

приклад 13.

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Точку перетину доцільно шукати аналітичним методом Вирішимо систему:

Відповідь:

П.6.4. Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 14.

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все що потрібно - акуратно підставити числа у формулу та провести обчислення:

Відповідь:

П.6.5. Кут між прямими.

приклад 15.

Знайти кут між прямими.

1. Перевіряємо перпендикулярні прямі:

Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.
2. Кут між прямими знайдемо за допомогою формули:

Таким чином:

Відповідь:

Криві другого порядку. Окружність

Нехай на площині задана прямокутна система координат 0ху.

Кривий другого порядкуназивається лінія на площині, що визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних координат точки М(х, у, z). У загальному випадку це рівняння має вигляд:

де коефіцієнти А, У, З, D, E, L – будь-які дійсні числа, причому хоча б одне з чисел А, B, З на відміну від нуля.

1.Окружністюназивається безліч точок на площині, відстань від яких до фіксованої точки М 0 (х 0 , у 0) постійно і дорівнює R. Точка М 0 називається центром кола, а число R - її радіусом

– рівняння кола з центром у точці М 0 (х 0 , у 0) та радіусом R.

Якщо центр кола збігається з початком координат, маємо:

– канонічне рівняння кола.

Еліпс.

Еліпсомназивається безліч точок на площині, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок є постійна величина (причому ця величина більше відстаней між даними точками). Дані точки називаються фокусами еліпса.

- Канонічне рівняння еліпса.

Ставлення називається ексцентриситетомеліпса і позначається: , . Оскільки , то< 1.

Отже, зі зменшенням ставлення прагне 1, тобто. b мало відрізняється від а і форма еліпса стає ближчою до форми кола. У граничному випадку при , Виходить коло, рівняння якого є

х 2 + у 2 = а2.

Гіперболу

Гіперболоюназивається безліч точок на площині, кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней до двох даних точок, званих фокусами, є величина постійна (за умови, що ця величина менша за відстань між фокусами і не дорівнює 0).

Нехай F 1 , F 2 – фокуси, відстань між ними позначимо через 2с параметром параболи).

- канонічне рівняння параболи.

Зауважимо, що рівняння при негативному р також визначає параболу, яка буде розташована зліва від осі 0у. Рівняння описує параболу, симетричну щодо осі 0у, що лежить вище осі 0х при р > 0 і лежить нижче осі 0х при р< 0.

При вирішенні деяких геометричних завдань методом координат доводиться знаходити координати точки перетину прямих. Найчастіше доводиться шукати координати точки перетину двох прямих на площині, проте іноді виникає потреба у визначенні координат точки перетину двох прямих у просторі. У цій статті ми розберемося зі знаходженням координат точки, в якій перетинаються дві прямі.

Навігація на сторінці.

Крапка перетину двох прямих – визначення.

Давайте спочатку дамо визначення точки перетину двох прямих.

Таким чином, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, визначених на площині загальними рівняннями, потрібно вирішити систему, що складається з рівнянь заданих прямих.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть точку перетину двох прямих, визначених у прямокутній системі координат на площині рівняннями x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Рішення.

Нам дано два загальні рівняння прямих, складемо з них систему: . Рішення отриманої системи рівнянь легко знаходяться, якщо дозволити її перше рівняння щодо змінної x і підставити цей вираз до другого рівняння:

Знайдене рішення системи рівнянь дає нам шукані координати точки перетину двох прямих.

Відповідь:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Отже, знаходження координат точки перетину двох прямих, визначених загальними рівняннями на площині, зводиться до розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними. А як бути, якщо прямі на площині задані не загальними рівняннями, а рівняннями іншого виду (дивіться види рівняння прямої на площині)? У цих випадках можна спочатку привести рівняння прямих до загального вигляду, а вже після цього знаходити координати точки перетину.

приклад.

та .

Рішення.

Перед знаходженням координат точки перетину заданих прямих наведемо їх рівняння до загального вигляду. Перехід від параметричних рівнянь прямої до загального рівняння цієї прямої виглядає так:

Тепер проведемо необхідні дії з канонічним рівнянням прямої:

Таким чином, шукані координати точки перетину прямих є рішенням системи рівнянь виду . Використовуємо для її вирішення:

Відповідь:

M 0 (-5, 1)

Існує ще один спосіб знаходження координат точки перетину двох прямих на площині. Його зручно застосовувати, коли одна з прямих задана параметричними рівняннями виду , а інша – рівнянням прямої іншого виду. В цьому випадку в інше рівняння замість змінних x та y можна підставити вирази і , Звідки можна буде отримати значення , яке відповідає точці перетину заданих прямих. При цьому точка перетину прямих має координати.

Знайдемо координати точки перетину прямих із попереднього прикладу цим способом.

приклад.

Визначте координати точки перетину прямих та .

Рішення.

Підставимо в рівняння прямої вирази:

Розв'язавши отримане рівняння, отримуємо . Це значення відповідає загальній точці прямих та . Обчислюємо координати точки перетину, підставивши параметричні рівняння прямої:
.

Відповідь:

M 0 (-5, 1).

Для повноти картини слід обговорити ще один момент.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих на площині корисно переконатися, що задані прямі дійсно перетинаються. Якщо з'ясується, що вихідні прямі збігаються або паралельні, то про знаходження координат точки перетину таких прямих не може бути мови.

Можна, звичайно, обійтися і без такої перевірки, а одразу скласти систему рівнянь виду і вирішити її. Якщо система рівнянь має єдине рішення, воно дає координати точки, у якій вихідні прямі перетинаються. Якщо система рівнянь рішень немає, можна робити висновок про паралельність вихідних прямих (оскільки немає такої пари дійсних чисел x і y , яка б задовольняла одночасно обом рівнянням заданих прямих). З наявності нескінченної множини рішень системи рівнянь випливає, що вихідні прямі мають нескінченно багато загальних точок, тобто збігаються.

Розглянемо приклади, які підходять під ці ситуації.

приклад.

З'ясуйте, чи прямі і , і якщо перетинаються, то знайдіть координати точки перетину.

Рішення.

Заданим рівнянням прямих відповідають рівняння і . Вирішимо систему, складену з цих рівнянь .

Очевидно, що рівняння системи лінійно виражаються один через одного (друге рівняння системи виходить з першого множенням обох його частин на 4), отже, система рівнянь має безліч рішень. Таким чином, рівняння визначають одну і ту ж пряму, і ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Відповідь:

Рівняння і визначають у прямокутній системі координат Oxy ту саму пряму, тому ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих і , якщо це можливо.

Рішення.

Умова завдання припускає, що прямі можуть бути такими, що не перетинаються. Складемо систему даних рівнянь. Застосуємо для її вирішення, тому що він дозволяє встановити спільність або несумісність системи рівнянь, а у разі її спільності знайти рішення:

Останнє рівняння системи після прямого ходу методу Гауса звернулося в неправильну рівність, отже, система рівнянь немає рішень. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вихідні прямі паралельні, і ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Другий спосіб розв'язання.

Давайте з'ясуємо, чи перетинаються задані прямі.

- нормальний вектор прямий , а вектор є нормальним вектором прямої . Перевіримо виконання і : рівність Правильно, оскільки , отже, нормальні вектори заданих прямих колінеарні. Тоді ці прямі паралельні або збігаються. Отже, ми можемо знайти координати точки перетину вихідних прямих.

Відповідь:

Координати точки перетину заданих прямих знайти неможливо, оскільки ці прямі паралельні.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих 2x-1=0 і якщо вони перетинаються.

Рішення.

Складемо систему із рівнянь, які є загальними рівняннями заданих прямих: . Визначник основної матриці цієї системи рівнянь відмінний від нуля Тому система рівнянь має єдине рішення, що свідчить про перетин заданих прямих.

Для знаходження координат точки перетину прямих нам потрібно вирішити систему:

Отримане рішення дає нам координати точки перетину прямих, тобто, 2x-1=0 та .

Відповідь:

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі.

Координати точки перетину двох прямих тривимірному просторі знаходяться аналогічно.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину двох прямих, заданих у просторі рівняннями і .

Рішення.

Складемо систему рівнянь із рівнянь заданих прямих: . Рішення цієї системи дасть нам шукані координати точки перетину прямих у просторі. Знайдемо рішення записаної системи рівнянь.

Основна матриця системи має вигляд , а розширена - .

Визначимо А і ранг матриці T. Використовуємо

У двовимірному просторі дві прямі перетинаються тільки в одній точці, що задається координатами (x, y). Так як обидві прямі проходять через точку їх перетину, то координати (х, y) повинні задовольняти обидва рівняння, які описують ці прямі. Скориставшись деякими додатковими навичками, ви зможете знаходити точки перетину парабол та інших квадратичних кривих.

Кроки

Точка перетину двох прямих

Запишіть рівняння кожної прямої, відокремивши змінну у на лівій стороні рівняння.Інші члени рівняння повинні розміщуватись на правій стороні рівняння. Можливо, дане рівняння замість «у» міститиме змінну f(x) або g(x); у цьому випадку відокремте таку змінну. Для відокремлення змінної виконайте відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння.

• Якщо рівняння прямих вам не дано, на основі відомої вам інформації.
• приклад. Дані прямі, що описуються рівняннями та y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Щоб у другому рівнянні відокремити «у», додайте до обох сторін рівняння число 12:

1. Ви шукаєте точку перетину обох прямих, тобто точку, координати (х,у) якої задовольняють обидва рівняння. Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна "у", то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти. Запишіть нове рівняння.

   • приклад. Так як y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)і y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), можна записати таку рівність: .

2. Знайдіть значення змінної "х".Нове рівняння містить лише одну змінну "х". Для знаходження "х" відокремте цю змінну на лівій стороні рівняння, виконавши відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння. Ви повинні отримати рівняння х = __ (якщо ви не можете це зробити, цього розділу).

   • приклад. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Додати 2 x (\displaystyle 2x)до кожної сторони рівняння:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Відніміть 3 з кожної сторони рівняння:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Розділіть кожну сторону рівняння на 3:
   • x = 3 (\displaystyle x = 3).

3. Використовуйте знайдене значення змінної "х" для обчислення значення змінної "у".Для цього підставте знайдене значення «х» у рівняння (будь-яке) пряме.

   • приклад. x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Перевірте відповідь.Для цього підставте значення "х" в інше рівняння прямої і знайдіть значення "у". Якщо ви отримаєте різні значення у, перевірте правильність ваших обчислень.

   • Приклад: x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Ви отримали таке ж значення "у", тому у ваших обчисленнях помилок немає.

5. Запишіть координати (х, у).Обчисливши значення "х" та "у", ви знайшли координати точки перетину двох прямих. Запишіть координати точки перетину як (х,у).

   • приклад. x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Таким чином, дві прямі перетинаються у точці з координатами (3,6).

6. Обчислення у особливих випадках.У деяких випадках значення змінної "х" знайти не можна. Але це не означає, що ви припустилися помилки. Особливий випадок має місце при виконанні однієї з наступних умов:

   • Якщо дві прямі паралельні, вони не перетинаються. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а ваше рівняння перетвориться на безглузду рівність (наприклад, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). У цьому випадку у відповіді запишіть, що прямі не перетинаються або рішення немає.
   • Якщо обидва рівняння описують одну пряму, точок перетину буде безліч. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а ваше рівняння перетвориться на сувору рівність (наприклад, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). У цьому випадку у відповіді запишіть, що дві прямі збігаються.

   Завдання з квадратичними функціями

   1. Визначення квадратичної функції.У квадратичній функції одна або кілька змінних мають другий ступінь (але не вище), наприклад, x 2 (\displaystyle x^(2))або y 2 (\displaystyle y^(2)). Графіки квадратичних функцій є криві, які можуть не перетинатися або перетинатися в одній або двох точках. У цьому розділі ми розповімо вам, як знайти точку чи точки перетину квадратичних кривих.

   2. Перепишіть кожне рівняння, відокремивши змінну у на лівій стороні рівняння.Інші члени рівняння повинні розміщуватись на правій стороні рівняння.

      • приклад. Знайдіть точку (точки) перетину графіків x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)і
      • Відокремте змінну «у» на лівій стороні рівняння:
      • і y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • У цьому прикладі вам дана одна квадратична функція та одна лінійна функція. Пам'ятайте, що якщо вам дано дві квадратичні функції, обчислення аналогічні крокам, викладеним далі.

   3. Прирівняйте вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння.Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна "у", то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти.

      • приклад. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)і y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Перенесіть усі члени отриманого рівняння на його ліву сторону, а на правій стороні запишіть 0.Для цього виконайте базові математичні операції. Це дозволить вам вирішити отримане рівняння.

      • приклад. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Відніміть «x» з обох сторін рівняння:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Відніміть 7 з обох сторін рівняння:

   5. Розв'яжіть квадратне рівняння.Перенісши всі члени рівняння на його ліву сторону, ви одержали квадратне рівняння. Його можна вирішити трьома способами: за допомогою спеціальної формули і .

      • приклад. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • При розкладанні рівняння на множники ви отримаєте два двочлени, при перемноженні яких виходить вихідне рівняння. У нашому прикладі перший член x 2 (\displaystyle x^(2))можна розкласти на х * х. Зробіть наступний запис: (x) (x) = 0
      • У нашому прикладі вільний член -6 можна розкласти на такі множники: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • У прикладі другий член – це х (чи 1x). Складіть кожну пару множників вільного члена (у нашому прикладі -6), поки не отримаєте 1. У нашому прикладі придатною парою множників вільного члена є числа -2 і 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), так як − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Заповніть прогалини знайденої парою чисел: .

   6. Не забудьте про другу точку перетину двох графіків.Якщо ви вирішуєте завдання швидко та не дуже уважно, ви можете забути про другу точку перетину. Ось як знайти координати «х» двох точок перетину:

      • Приклад (розкладання на множники). Якщо у рівнянні (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)один із виразів у дужках дорівнюватиме 0, то все рівняння дорівнюватиме 0. Тому можна записати так: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x = 2) і x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (тобто ви знайшли два корені рівняння).
      • Приклад (використання формули або доповнення до повного квадрата). При використанні одного з цих методів у процесі вирішення з'явиться квадратний корінь. Наприклад, рівняння з нашого прикладу набуде вигляду x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Пам'ятайте, що при витягуванні квадратного кореня ви отримаєте два рішення. У нашому випадку: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), і 25 = (−5) ∗ (−5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Тому запишіть два рівняння та знайдіть два значення «х».

   7. Графіки перетинаються в одній точці або взагалі не перетинаються.Такі ситуації мають місце за дотримання таких умов:

      • Якщо графіки перетинаються в одній точці, квадратне рівняння розкладається на однакові множники, наприклад, (х-1) (х-1) = 0, а у формулі з'являється квадратний корінь з 0 ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). І тут рівняння має лише одне рішення.
      • Якщо графіки взагалі перетинаються, то рівняння на множники не розкладається, а формулі з'являється квадратний корінь з негативного числа (наприклад, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). У цьому випадку напишіть у відповіді, що рішення немає.

1. Щоб знайти координати точки перетину графіків функцій потрібно прирівняти обидві функції один до одного, перенести в ліву частину всі члени, що містять $ x $, а в праву інші і знайти коріння отриманого рівняння.
2. Другий спосіб полягає в тому, що потрібно скласти систему рівнянь та вирішити її шляхом підстановки однієї функції до іншої
3. Третій спосіб має на увазі графічну побудову функцій та візуальне визначення точки перетину.

Випадок двох лінійних функцій

Розглянемо дві лінійні функції $ f (x) = k_1 x + m_1 $ і $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Ці функції називаються прямими. Побудувати їх досить легко, потрібно взяти будь-які два значення $x_1$ і $x_2$ і знайти $f(x_1)$ та $(x_2)$. Потім повторити те саме і з функцією $g(x)$. Далі візуально знайти координату точки перетину графіків функцій.

Слід знати, що лінійні функції мають лише одну точку перетину і лише тоді, коли $ k_1 \neq k_2 $. Інакше, у разі $k_1=k_2$ функції паралельні один одному, тому що $k$ - це коефіцієнт кута нахилу. Якщо $ k_1 \neq k_2 $, але $ m_1 = m_2 $, тоді точкою перетину буде $ M (0; m) $. Це правило бажано запам'ятати для прискореного вирішення завдань.

Приклад 1

Нехай дані $ f (x) = 2x-5 $ і $ g (x) = x +3 $. Знайти координати точки перетину графіків функцій.

Рішення

Як це зробити? Оскільки представлені дві лінійні функції, то насамперед дивимося на коефіцієнт кута нахилу обох функцій $ k_1 = 2 $ і $ k_2 = 1 $. Помічаємо, що $ k_1 \neq k_2 $ тому існує одна точка перетину. Знайдемо її за допомогою рівняння $ f (x) = g (x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносимо доданки з $ x $ в ліву частину, а інші в праву: $$ 2x - x = 3+5 $$ Отримали $x=8$ абцису точки перетину графіків, а тепер знайдемо ординату. Для цього підставимо $ x = 8 $ у будь-яке з рівнянь хоч у $ f (x) $, або в $ g (x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Отже, $M(8;11)$ - є точкою перетину графіків двох лінійних функцій. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ M (8;11) $$

Випадок двох нелінійних функцій

Приклад 3

Знайти координати точки перетину графіків функцій: $f(x)=x^2-2x+1$ та $g(x)=x^2+1$

Рішення

Як бути із двома нелінійними функціями? Алгоритм простий: прирівнюємо рівняння один до одного і знаходимо коріння: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Розносимо з різних боків рівняння члени з $ x $ і без нього: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Знайдено абцису шуканої точки, але її недостатньо. Ще не вистачає ординати $y$. Підставляємо $ x = 0 $ у будь-яке з двох рівнянь умови завдання. Наприклад: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - точка перетину графіків функцій

Відповідь

$$ M (0;1) $$