Якщо функція f(x)має на деякому інтервалі, що містить точку а, похідні всіх порядків, то до неї може бути застосована формула Тейлора:

де r n- так званий залишковий член або залишок ряду, його можна оцінити за допомогою формули Лагранжа:

, де число x укладено між хі а.

Якщо для деякого значення х r n®0 при n®¥, то в межі формула Тейлора перетворюється для цього значення на схожий ряд Тейлора:

Таким чином, функція f(x)може бути розкладена в ряд Тейлора в точці, що розглядається х, якщо:

1) вона має похідні всіх порядків;

2) побудований ряд сходиться у цій точці.

При а=0 отримуємо ряд, званий поруч Маклорена:

Приклад 1 f(x)= 2x.

Рішення. Знайдемо значення функції та її похідних при х=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Підставляючи отримані значення похідних формулу ряду Тейлора, отримаємо:

Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тому дане розкладання справедливе для -