Усі математичні моделі неправильні. Лекція: Математичне моделювання

ЕОМ міцно увійшла в наше життя, і практично немає такої галузі людської діяльності, де не застосовувалася б ЕОМ. ЕОМ зараз широко використовується в процесі створення та дослідження нових машин, нових технологічних процесів та пошуку їх оптимальних варіантів; під час вирішення економічних завдань, під час вирішення завдань планування і управління виробництвом різних рівнях. Створення великих об'єктів у ракетотехніці, авіабудуванні, суднобудуванні, і навіть проектування гребель, мостів, та інших. взагалі неможливе без застосування ЕОМ.

Для використання ЕОМ під час вирішення прикладних завдань, передусім прикладна завдання має бути " перекладена " формальний математичну мову, тобто. для реального об'єкта, процесу чи системи має бути побудована його математична модель.

Слово "Модель" походить від латинського modus (копія, образ, контур). Моделювання - це заміщення деякого об'єкта А іншим об'єктом Б. Об'єкт А, що заміщується, називається оригіналом або об'єктом моделювання, а заміщаючий Б - моделлю. Іншими словами, модель – це об'єкт-замінник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу.

Метою моделювання є отримання, обробка, подання та використання інформації про об'єкти, які взаємодіють між собою та зовнішнім середовищем; а модель тут постає як пізнання якостей і закономірності поведінки об'єкта.

Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкта, процесу чи системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.

Математичне моделювання - процес побудови та вивчення математичних моделей реальних процесів та явищ. Всі природничі та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об'єкт його моделлю і потім вивчають останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище, що повністю вивчається, і питання про застосовність отриманих таким чином результатів є дуже змістовними. Математична модель – це спрощений опис реальності за допомогою математичних понять.

Математична модель виражає суттєві риси об'єкта чи процесу мовою рівнянь та інших математичних засобів. Власне, сама математика зобов'язана своїм існуванням з того що вона намагається відобразити, тобто. промоделювати, своєю специфічною мовою закономірності навколишнього світу.

При математичне моделюванняВивчення об'єкта здійснюється за допомогою моделі, сформульованої мовою математики з використанням тих чи інших математичних методів.

Шлях математичного моделювання в наш час набагато більш всеосяжний, ніж моделювання натурного. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання дало появу ЕОМ, хоча сам метод зародився одночасно з математикою тисячі років тому.

Математичне моделювання як таке не завжди вимагає комп'ютерної підтримки. Кожен фахівець, який професійно займається математичним моделюванням, робить все можливе для аналітичного дослідження моделі. Аналітичні рішення (тобто представлені формулами, що виражають результати дослідження через вихідні дані) зазвичай зручніше та інформативніше чисельних. Можливості аналітичних методів вирішення складних математичних завдань, однак, дуже обмежені і, як правило, ці методи набагато складніші за чисельні.

Математична модель є наближеним уявленням реальних об'єктів, процесів чи систем, вираженим у математичних термінах і зберігає суттєві риси оригіналу. Математичні моделі у кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу чи системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.

Усі моделі можна розділити на два класи:

речові,
ідеальні.

У свою чергу речові моделі можна розділити на:

натурні,
фізичні,
математичні.

Ідеальні моделі можна поділити на:

наочні,
знакові,
математичні.

Речовинні натурні моделі - це реальні об'єкти, процеси та системи, над якими виконуються експерименти наукові, технічні та виробничі.

Речові фізичні моделі – це макети, муляжі, що відтворюють фізичні властивості оригіналів (кінематичні, динамічні, гідравлічні, теплові, електричні, світлові моделі).

Речові математичні – це аналогові, структурні, геометричні, графічні, цифрові та кібернетичні моделі.

Ідеальні наочні моделі – це схеми, карти, креслення, графіки, графи, аналоги, структурні та геометричні моделі.

Ідеальні знакові моделі – це символи, алфавіт, мови програмування, впорядкований запис, топологічний запис, мережеве уявлення.

Ідеальні математичні моделі – це аналітичні, функціональні, імітаційні, комбіновані моделі.

У наведеній класифікації деякі моделі мають подвійне тлумачення (наприклад аналогові). Усі моделі, крім натурних, можна поєднати до одного класу уявних моделей, т.к. є продуктом абстрактного мислення людини.

Елементи теорії гри

У випадку рішення гри представляє досить важке завдання, причому складність завдання та обсяг необхідні рішення обчислень різко зростає зі збільшенням . Однак це проблеми не носять принципового характеру і пов'язані лише дуже великим обсягом розрахунків, який у ряді випадків може виявитися практично нездійсненним. Важлива сторона способу пошуку рішення залишається за будь-якого однієї й тієї ж.

Проілюструємо це на прикладі гри. Дамо їй геометричну інтерпретацію – вже просторову. Три наші стратегії, зобразимо трьома точками на площині ; перша лежить на початку координат (рис.1). друга та третя - на осях Охі Оуна відстані 1 від початку.

Через точки проводяться осі I-I, II-II та III-III, перпендикулярні до площини. . На осі I-I відкладаються виграші за стратегії на осях II-II і III-III - виграші при стратегіях. Кожна стратегія противника зобразиться площиною, що відсікає на осях І-І, ІІ-ІІ та ІІІ-ІІІ, відрізки, рівні виграшам

при відповідних стратегія та стратегія . Побудувавши, таким чином, всі стратегії супротивника, ми отримаємо сімейство площин над трикутником (рис2).

Для цього сімейства також можна побудувати нижню межу виграшу, як ми це робили у випадку, і знайти на цьому кордоні точку N з максимальною висотою нал площиною . Ця висота і буде ціною гри.

Частоти стратегій в оптимальній стратегії будуть визначатися координатами (x, у)точки N, а саме:

Однак така геометрична побудова навіть для випадку нелегко здійсненна і потребує великої витрати часу та зусиль уяви. У загальному випадку гри воно переноситься в - мірний простір і втрачає будь-яку наочність, хоча вживання геометричної термінології в ряді випадків може виявитися корисним. При вирішенні ігор практично зручніше користуватися не геометричними аналогіями, а розрахунковими аналітичними методами, тим паче, що з вирішення завдання обчислювальних машинах ці методи єдино придатні.

Всі ці методи по суті зводяться до розв'язання задачі шляхом послідовних проб, але впорядкування послідовності проб дозволяє побудувати алгоритм, що веде до вирішення найбільш економічним способом.

Тут ми коротко зупинимося на одному розрахунковому методі вирішення ігор - на так званому методі "лінійного програмування".

Для цього дамо спочатку загальну постановку задачі про знаходження рішення гри. Нехай дана гра з тстратегіями гравця Аі nстратегіями гравця Ута задана платіжна матриця

Потрібно знайти рішення гри, тобто дві оптимальні змішані стратегії гравців А та В

де (деякі з чисел можуть бути рівними нулю).

Наша оптимальна стратегія S* Aповинна забезпечувати нам виграш, не менший, за будь-якої поведінки противника, і виграш, рівний, при його оптимальній поведінці (стратегія S* B). Аналогічно стратегія S* Bповинна забезпечувати противнику програш, не більший, при будь-якій нашій поведінці і рівний при нашій оптимальній поведінці (стратегія S* A).

Розмір ціни гри у разі нам невідома; вважатимемо, що вона дорівнює деякому позитивному числу. Вважаючи так, ми не порушуємо спільності міркувань; щоб було > 0, очевидно, достатньо, щоб усі елементи матриці були неотрицательными. Цього завжди можна досягти, додаючи до елементів досить велику позитивну величину L; при цьому ціна гри збільшиться на L, а рішення не зміниться.

Нехай ми вибрали свою оптимальну стратегію S*A.Тоді наш середній виграш при стратегії супротивника дорівнюватиме:

Наша оптимальна стратегія S* Aволодіє тим властивістю, що з будь-якій поведінці противника забезпечує виграш не менший, ніж ; отже, будь-яке з чисел може бути менше . Отримуємо низку умов:

(1)

Розділимо нерівності (1) на позитивну величину та позначимо:

Тоді умова (1) запишеться у вигляді

(2)

де - Невід'ємні числа. Так як величини задовольняють умові

Ми хочемо зробити свій гарантований виграш максимально можливим; Вочевидь, у своїй права частина рівності (3) приймає мінімальне значення.

Таким чином, завдання знаходження рішення гри зводиться до наступної математичної задачі: визначити невід'ємні величини , що задовольняють умовам (2), так, щоб їх сума

була мінімальною.

Зазвичай під час вирішення завдань, що з знаходженням екстремальних значень (максимумів і мінімумів), функцію диференціюють і прирівнюють похідні нулю. Але такий прийом у даному випадку некорисний, тому що функція Ф, яку потрібнозвернути в мінімум, лінійна, і її похідні за всіма аргументами дорівнюють одиниці, тобто ніде не звертаються в нуль. Отже, максимум функції досягається десь на межі області зміни аргументів, що визначається вимогою невід'ємності аргументів та умовами (2). Прийом знаходження екстремальних значень за допомогою диференціювання непридатний і в тих випадках, коли для вирішення гри визначається максимум нижньої (або мінімум верхньої) межі виграшу, як ми. наприклад, робили при вирішенні ігор. Дійсно, нижня межа складена з ділянок прямих ліній, і максимум досягається не в точці, де похідна дорівнює нулю (такої точки взагалі немає), а на межі інтервалу або в точці перетину прямолінійних ділянок.

Для вирішення подібних завдань, які досить часто зустрічаються на практиці, в математиці розроблено спеціальний апарат лінійного програмування.

Завдання лінійного програмування ставиться в такий спосіб.

Дана система лінійних рівнянь:

(4)

Потрібно знайти невід'ємні значення величин, що задовольняють умовам (4) і водночас звертають у мінімум задану однорідну лінійну функцію величин (лінійну форму):

Легко переконатися, що поставлене вище завдання теорії ігор є окремим випадком задачі лінійного програмування при

З першого погляду може здатися, що умови (2) не еквівалентні умовам (4), оскільки замість знаків рівності містять знаки нерівності. Однак від знаків нерівності легко позбутися, вводячи нові фіктивні невід'ємні змінні та записуючи умови (2) у вигляді:

(5)

Форма Ф, яку потрібно звернути в мінімум, дорівнює

Апарат лінійного програмування дозволяє шляхом порівняно невеликої кількості послідовних спроб підібрати величини , що задовольняють поставленим вимогам. Для більшої ясності ми продемонструємо застосування цього апарату прямо на матеріалі вирішення конкретних ігор.

У запропонованій до вашої уваги статті ми пропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей та розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням.

Ще одне наше питання – це математичні моделі в економіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи згодом. Розпочати нашу розмову ми пропонуємо з самого поняття «модель», коротко розглянемо їхню класифікацію та перейдемо до основних наших питань.

Поняття «модель»

Ми часто чуємо слово "модель". Що це таке? Цей термін має безліч визначень, ось тільки три з них:

специфічний об'єкт, який створюється для отримання та зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики тощо оригіналу даного об'єкта (цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);
ще під моделлю мається на увазі відображення будь-якої конкретної ситуації, життєвої чи управлінської;
моделлю може бути зменшена копія будь-якого об'єкта (вони створюються докладнішого вивчення та аналізу, оскільки модель відбиває структуру і взаємозв'язку).

Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити складну систему чи об'єкт.

Усі моделі можна класифікувати за низкою ознак:

у сфері використання (навчальні, досвідчені, науково-технічні, ігрові, імітаційні);
по динаміці (статичні та динамічні);
з галузі знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);
за способом подання (матеріальні та інформаційні).

Інформаційні моделі, у свою чергу, поділяються на знакові та вербальні. А знакові – на комп'ютерні та некомп'ютерні. Тепер перейдемо до детального розгляду прикладів математичної моделі.

Математична модель

Як важко здогадатися, математична модель відбиває будь-які риси об'єкта чи явища з допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу своєю специфічною мовою.

Метод математичного моделювання зародився досить давно, тисячі років тому, разом із появою цієї науки. Однак поштовх для розвитку цього способу моделювання дало появу ЕОМ (електронно-обчислювальних машин).

Тепер перейдемо до класифікації. Її також можна провести за деякими ознаками. Вони представлені у таблиці нижче.

Ми пропонуємо зупинитись і докладніше розглянути останню класифікацію, оскільки вона відображає загальні закономірності моделювання та цілі створюваних моделей.

Дескриптивні моделі

У цьому розділі ми пропонуємо докладніше зупинитися на дескриптивних математичних моделях. Для того, щоб було все гранично зрозуміло, буде наведено приклад.

Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки та прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події.

Яскравим прикладом описової математичної моделі є обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, що вторглася у простори нашої Сонячної системи. Ця модель є описовою, тому що всі отримані результати можуть лише попередити нас про будь-яку небезпеку. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, ґрунтуючись на отриманих розрахунках, можна вжити будь-яких заходів для збереження життя на Землі.

Оптимізаційні моделі

Зараз ми трохи поговоримо про економіко-математичні моделі, прикладами яких можуть бути різні ситуації, що склалися. У цьому випадку йдеться про моделі, які допомагають знайти правильну відповідь у певних умовах. Вони мають деякі параметри. Щоб стало зрозуміло, розглянемо приклад із аграрної частини.

У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. У цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режим та оптимізувати процес зберігання.

Отже, ми можемо дати визначення поняттю «оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і ні), вирішення якої допомагає знайти оптимальне рішення у конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі (оптимізаційної) ми розглянули, але хочеться ще додати: цей вид належить до класу екстремальних завдань, вони допомагають описати функціонування економічної системи.

Зазначимо ще один нюанс: моделі можуть мати різний характер (див. таблицю нижче).

Багатокритеріальні моделі

Зараз пропонуємо вам поговорити трохи про математичну модель багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу за якимось одним критерієм, але що робити, якщо їх багато?

Яскравим прикладом багатокритеріальної завдання є організація правильного, корисного і водночас економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдальнях, літніх таборах, лікарнях тощо.

Які критерії нам дано у цій задачі?

Харчування має бути корисним.
Витрати на їжу мають бути мінімальними.

Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Отже, під час вирішення завдання потрібно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.

Ігрові моделі

Говорячи про ігрові моделі, необхідно розуміти поняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, дані моделі відображають математичні моделі справжніх конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має певні правила.

Наразі буде наведено мінімум інформації з теорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, у моделі обов'язково присутні сторони (дві чи більше), яких прийнято називати гравцями.

Усі моделі мають деякі параметри.

Ігрова модель може бути парною або множинною. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше – множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, у якій виграш одного з учасників дорівнює програшу іншого.

Імітаційні моделі

У цьому розділі ми звернемо увагу до імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть бути:

модель динаміки чисельності мікроорганізмів;
модель руху молекул і так далі.

В даному випадку ми говоримо про моделі, які максимально наближені до реальних процесів. За великим рахунком, вони імітують будь-який прояв у природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати долю кожної окремої особини. В даному випадку математичний опис використовують рідко, частіше є письмові умови:

через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;
через двадцять днів мураха гине, і таке інше.

Таким чином, використовуються для опису великої системи. Математичний висновок – це обробка отриманих статистичних даних.

Вимоги

Дуже важливо знати, що до цього виду моделі пред'являють деякі вимоги, серед яких наведені в таблиці нижче.

Універсальність	Ця властивість дозволяє використовувати ту саму модель при описі однотипних груп об'єктів. Важливо, що універсальні математичні моделі не залежать від фізичної природи досліджуваного об'єкта
Адекватність	Тут важливо розуміти, що ця властивість дозволяє максимально правильно відтворювати реальні процеси. У завданнях експлуатації дуже важлива ця властивість математичного моделювання. Прикладом моделі може бути процес оптимізації використання газової системи. В даному випадку зіставляються розрахункові та фактичні показники, в результаті перевіряється правильність складеної моделі
Точність	Ця вимога має на увазі збіг значень, які ми отримуємо при розрахунку математичної моделі та вхідних параметрів нашого реального об'єкта
Економічність	Вимога економічності, що висувається до будь-якої математичної моделі, характеризується витратами на реалізацію. Якщо робота з моделлю здійснюється ручним способом, необхідно розрахувати, скільки часу піде рішення одного завдання з допомогою даної математичної моделі. Якщо йдеться про автоматизоване проектування, то розраховуються показники витрат часу та пам'яті комп'ютера.

Етапи моделювання

Загалом у математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.

Формулювання законів, що пов'язують частини моделі.
Дослідження математичних завдань.
З'ясування збігів практичних та теоретичних результатів.
Аналіз та модернізація моделі.

Економіко-математична модель

У цьому розділі коротко висвітлимо питання Прикладами завдань можуть бути:

формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;
максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимальної кількості випуску столів та стільців на меблевій фабриці, тощо.

Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів та знаків.

Комп'ютерна математична модель

Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:

завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць тощо;
завдання на механіку твердого тіла, і таке інше.

Комп'ютерна модель - це образ об'єкта чи системи, поданий як:

таблиці;
блок-схеми;
діаграми;
графіка, і таке інше.

У цьому дана модель відбиває структуру і взаємозв'язку системи.

Побудова економіко-математичної моделі

Ми вже раніше сказали, що таке економіко-математична модель. Приклад вирішення завдання буде розглянуто зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми виявлення резерву підвищення прибутку при зрушенні в асортименті.

Повністю розглядати завдання ми не будемо, а лише збудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашого завдання – максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: Л = р1 * х1 + р2 * х2 ..., що прагне максимуму. У цій моделі р - це прибуток за одиницю, х - кількість вироблених одиниць. Далі, ґрунтуючись на побудованій моделі, необхідно зробити розрахунки та підбити підсумок.

Приклад побудови простої математичної моделі

Завдання.Рибалка повернувся з наступним уловом:

8 риб – жителі північних морів;
20% улову - жителі південних морів;
з місцевої річки не виявилося жодної риби.

Скільки риб він купив у магазині?

Отже, приклад побудови математичної моделі даної задачі має такий вигляд. Позначаємо загальну кількість риб за х. Дотримуючись умови, 0,2 х - це кількість риб, що мешкають у південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію та отримуємо математичну модель завдання: х = 0,2 х +8. Вирішуємо рівняння та отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив у магазині.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ - подання досліджуваного у конкретно-науковому знанні явища чи процесу мовою математичних понять. У цьому ряд властивостей досліджуваного явища передбачається одержати шляху дослідження власне математичних характеристик моделі. Побудова М.М. найчастіше диктується необхідністю мати кількісний аналіз явищ, що вивчаються, і процесів, без якого, у свою чергу, неможливо робити перевіряються на досвіді передбачення про їх протікання.

Процес математичного моделювання, зазвичай, проходить такі етапи. У першому етапі відбувається виявлення зв'язків між основними параметрами майбутньої М.м. Йдеться насамперед про якісний аналіз досліджуваних явищ та формулювання закономірностей, що пов'язують основні об'єкти дослідження. На цій основі проводиться виявлення об'єктів, що допускають кількісний опис. Етап завершується побудовою гіпотетичної моделі, іншими словами, записом мовою математичних понять якісних уявлень про взаємозв'язки між основними об'єктами моделі, які можуть бути кількісно охарактеризовані.

З другого краю етапі відбувається дослідження власне математичних завдань, яких призводить побудована гіпотетична модель. Головне на даному етапі - отримати в результаті математичного аналізу моделі теоретичні наслідки, що емпірично перевіряються (рішення прямої задачі). У цьому нерідкі випадки, коли для побудови та дослідження М.м. у різних галузях конкретно-наукового знання застосовується той самий математичний апарат (наприклад, диференціальні рівняння) і виникають однотипні, хоча й дуже нетривіальні у кожному даному випадку, математичні проблеми. Крім того, на цьому етапі величезного значення набуває використання швидкодіючої обчислювальної техніки (ЕОМ), яка дає можливість отримати наближене рішення задач, часто неможливе в рамках чистої математики, з недоступним раніше (без застосування ЕОМ) ступенем точності.

Для третього етапу характерна діяльність щодо виявлення ступеня адекватності побудованої гіпотетичної М.м. тим явищам та процесам, для дослідження яких вона була призначена. А саме, якщо всі параметри моделі були задані, дослідники намагаються з'ясувати, наскільки, в межах точності спостережень, їх результати узгоджуються з теоретичними наслідками моделі. Відхилення, що виходять за межі точності спостережень, свідчать про неадекватність моделі. Однак нерідкі випадки, коли при побудові моделі ряд її параметрів залишається

невизначеним. Завдання, в яких встановлюються параметричні характеристики моделі таким чином, щоб теоретичні наслідки були зіставні в межах точності спостережень з результатами емпіричних перевірок називають зворотними завданнями.

На четвертому етапі з урахуванням виявлення ступеня адекватності побудованої гіпотетичної моделі та появи нових експериментальних даних про досліджувані явища відбувається подальший аналіз та модифікація моделі. Тут прийняте рішення варіюється від безумовної відмови від застосовуваних математичних засобів до прийняття побудованої моделі як фундамент для побудови принципово нової наукової теорії.

Перші М.М. з'явилися ще в античній науці. Так, для моделювання Сонячної системи грецький математик і астроном Евдокс надав кожній планеті чотири сфери, комбінація руху яких створювала гіпопеду - математичну криву, схожу з рухом планети, що спостерігається. Оскільки, однак, ця модель не могла пояснити всі аномалії, що спостерігаються в русі планет, пізніше вона була замінена епіциклічною моделлю Аполлонія з Перги. Останню модель використовував у своїх дослідженнях Гіппарх, а потім, піддавши її деякій модифікації, і Птолемей. Ця модель, як і її попередниці, ґрунтувалася на переконанні, що планети здійснюють рівномірні кругові рухи, накладання яких пояснювало видимі нерегулярності. У цьому слід зазначити, що модель Коперника була принципово нової лише якісному сенсі (але як М.м.). І лише Кеплер, виходячи з спостереженнях Тихо Браге, побудував нову М.м. Сонячної системи, довівши, що планети рухаються не круговими, а еліптичними орбітами.

Нині найбільш адекватними визнаються М.м., побудовані описи механічних і фізичних явищ. Про адекватність М.М. за межами фізики можна, за деякими винятками, говорити з неабиякою часткою обережності. Тим не менш, фіксуючи гіпотетичність, а часто і просто неадекватність М.М. у різних галузях знання не слід недооцінювати їх роль у розвитку науки. Непоодинокі випадки, коли навіть далекі від адекватності моделі значною мірою організовували та стимулювали подальші дослідження, поряд з помилковими висновками, що містили й ті зерна істини, які цілком виправдовували зусилля, витрачені на розробку цих моделей.

Література:

Математичне моделювання. М., 1979;

Рузавін Г.І. Математизація наукового знання. М., 1984;

Тутубалін В.М., Барабашева Ю.М., Григорян А.А., Девяткова Г.М., Угер Є. Г. Диференціальні рівняння в екології: історико-методологічний роздум // Питання історії природознавства та техніки. 1997. №3.

Словник філософських термінів. Наукова редакція професора В.Г. Кузнєцова. М., ІНФРА-М, 2007, с. 310-311.

Що таке математична модель?

Концепція математичної моделі.

Математична модель – дуже просте поняття. І дуже важливе. Саме математичні моделі пов'язують математику та реальне життя.

Говорячи простою мовою, математична модель – це математичний опис будь-якої ситуації.І все. Модель може бути примітивною, може бути суперскладною. Яка ситуація, така і модель.

У будь-якому (я повторюю - в будь-якому!) справі, де треба чогось порахувати і розрахувати - ми займаємося математичним моделюванням. Навіть якщо й не підозрюємо про це.)

Р = 2 ЦБ + 3 ЦМ

Ось цей запис і буде математичною моделлю витрат на наші покупки. Модель не враховує колір упаковки, терміну придатності, ввічливості касирів тощо. На те вона і Модель,а чи не реальна покупка. Але витрати, тобто. те, що нам треба- ми дізнаємося точно. Якщо модель правильна, звісно.

Уявляти, що таке математична модель корисна, але цього мало. Найголовніше – вміти ці моделі будувати.

Складання (побудова) математичної моделі задачі.

Скласти математичну модель - це означає перевести умови завдання в математичну форму. Тобто. перетворити слова на рівняння, формулу, нерівність тощо. Причому перетворити те щоб ця математика суворо відповідала вихідному тексту. Інакше в нас вийде математична модель якоїсь іншої, невідомої нам задачі.)

Говорячи конкретніше, потрібно

Завдання у світі - нескінченна кількість. Тому запропонувати чітку покрокову інструкцію щодо складання математичної моделі будь-якийзавдання – неможливо.

Але можна виділити три основні моменти, на які слід звернути увагу.

1. У будь-якій задачі є текст, як не дивно.) У цьому тексті, як правило, є явна відкрита інформація.Числа, значення тощо.

2. У будь-якій задачі є прихована інформація.Це текст, який передбачає наявність додаткових знань у голові. Без них – ніяк. Крім того, математична інформація частенько ховається за простими словами і... проскакує повз увагу.

3. У будь-якому завданні має бути дано зв'язок даних між собою.Цей зв'язок може бути дано відкритим текстом (щось одно чомусь), а може бути і прихований за простими словами. Але найпростіші і зрозумілі факти часто не беруться до уваги. І модель не складається.

Відразу скажу: щоб застосувати ці три моменти завдання доводиться читати (і уважно!) кілька разів. Звичайна справа.

А тепер – приклади.

Почнемо з простого завдання:

Петрович повернувся з риболовлі та гордо пред'явив сім'ї улов. При найближчому розгляді виявилося, що 8 рибин родом із північних морів, 20% усіх рибин - із південних, та якщо з місцевої річки, де рибалив Петрович - немає жодної. Скільки всього рибин купив Петрович у магазині "Морепродукти"?

Усі ці слова потрібно перетворити на якесь рівняння. Для цього потрібно, повторюся, встановити математичний зв'язок між усіма даними завдання.

З чого починати? Спочатку витягнемо із завдання всі дані. Почнемо по порядку:

Звертаємо увагу на перший момент.

Яка тут явнаматематична інформація? 8 рибин та 20%. Не густо, та нам багато й не треба.)

Звертаємо увагу на другий момент.

Шукаємо приховануінформацію. Вона тут є. Це слова: "20% всіх рибинТут треба розуміти, що таке відсотки і як вони вважаються. Інакше завдання не вирішується. Це якраз та додаткова інформація, яка має бути в голові.

Тут ще є математичнаінформація, яку не видно. Це питання задачі: "Скільки рибин купив..."Адже це теж якесь число. І без нього жодна модель не складеться. Тому позначимо це число буквою "х".Ми поки що не знаємо, чому дорівнює ікс, але таке позначення дуже стане нам у нагоді. Докладніше, що брати за ікс і як з ним поводитися, написано в уроці Як вирішувати задачі з математики? Ось так одразу і запишемо:

х штук – загальна кількість риб.

У нашій задачі південні риби надано у відсотках. Потрібно їх перевести в штуки. Навіщо? Тому, що в будь-якийзадачі моделі треба складати у однотипних величинах.Штуки – так все в штуках. Якщо дано, скажімо годинник і хвилину - все переводимо в щось одне - або тільки годинник, або тільки хвилини. Не має значення у що. Важливо, щоб всі величини були однотипними.

Повертаємось до розкриття інформації. Хто не знає, що таке відсоток, ніколи не розкриє, так... А хто знає, той одразу скаже, що відсотки тут від загальної кількості риб дано. А нам це число невідоме. Нічого не вийде!

Загальна кількість риб (у штуках!) ми не дарма буквою "х"позначили. Порахувати південних риб у штуках не вийде, але записати ми зможемо? Ось так:

0,2 штук - кількість риб з південних морів.

Ось тепер ми завантажили всю інформацію із завдання. І явну, і приховану.

Звертаємо увагу на третій момент.

Шукаємо математичний зв'язокміж даними завдання. Цей зв'язок настільки простий, що багато хто його не помічає... Таке часто буває. Тут корисно просто записати зібрані дані до купки, та й подивитися, що до чого.

Що ми маємо? Є 8 штукпівнічних риб, 0,2 х штук- південних риб та х риб- Загальна кількість. Чи можна пов'язати ці дані якось воєдино? Та легко! Загальна кількість риб односумі південних та північних! Ну хто б міг подумати...) От і записуємо:

х = 8 + 0,2 х

Ось це рівняння і буде математичною моделлю нашого завдання.

Прошу зауважити, що в цьому завданні нас не просять нічого складати!Це ми самі, з голови, зрозуміли, що сума південних та північних риб дасть нам загальну кількість. Річ настільки очевидна, що проскакує повз увагу. Але без цієї очевидності математичну модель не скласти. Ось так.

Тепер можна застосувати всю міць математики для вирішення цього рівняння). Саме цього й складалася математична модель. Вирішуємо це лінійне рівняння та отримуємо відповідь.

Відповідь: х = 10

Складемо математичну модель ще одного завдання:

Запитали Петровича: "А чи багато в тебе грошей?" Заплакав Петрович і відповідає: "Да всього трохи. Якщо я витрачу половину всіх грошей, та половину залишку, то всього один мішок грошей у мене і залишиться ..." Скільки грошей у Петровича?

Знову працюємо за пунктами.

1. Шукаємо явну інформацію. Тут її не відразу і виявиш! Явна інформація - це одинмішок грошей. Є ще якісь половинки... Ну це в другому пункті розберемо.

2. Шукаємо приховану інформацію. Це половинки. Чого? Не дуже зрозуміло. Шукаємо далі. Є ще питання задачі: "Скільки грошей у Петровича?"Позначимо кількість грошей буквою "х":

х- всі гроші

І знову читаємо завдання. Вже знаючи, що у Петровича хгрошей. Ось тут уже й половинки спрацюють! Записуємо:

0,5 · х– половина всіх грошей.

Залишок теж буде половина, тобто. 0,5 · х.А половину від половини можна записати так:

0,5 · 0,5 · х = 0,25 х- половина залишку.

Тепер вся прихована інформація виявлена та записана.

3. Шукаємо зв'язок між записаними даними. Тут можна просто читати страждання Петровича і записувати їх математично):

Якщо я витрачу половину всіх грошей...

Запишемо цей процес. Усіх грошей - х.Половина - 0,5 · х. Витратити - це відібрати. Фраза перетворюється на запис:

х - 0,5 х

та половину залишку...

Заберемо ще половину залишку:

х - 0,5х - 0,25х

то лише один мішок грошей у мене і залишиться...

А ось і рівність знайшлася! Після всіх віднімань один мішок грошей залишається:

х - 0,5 х - 0,25 х = 1

Ось вона, математична модель! Це знову лінійне рівняння, вирішуємо, отримуємо:

Питання міркування. Чотири – це чого? Рубля, долара, юаня? А в яких одиницях у нас гроші у математичній моделі записані? У мішках!Отже, чотири мішкагрошей у Петровича Теж не погано.)

Завдання, звісно, елементарні. Це спеціально, щоб уловити суть складання математичної моделі. У деяких завданнях може бути набагато більше даних, які легко заплутатися. Це часто буває у т.зв. компетентні завдання. Як витягувати математичний зміст із купи слів і чисел показано на прикладах

Ще одне зауваження. У класичних шкільних завданнях (труби заповнюють басейн, кудись пливуть катери тощо) усі дані, як правило, підібрані дуже ретельно. Там виконуються два правила:
- інформації в задачі вистачає для її вирішення,
- зайвої інформації завдання не буває.

Це підказка. Якщо залишилася якась невикористана в математичній моделі величина – задумайтеся, чи помилки немає. Якщо даних не вистачає - швидше за все, не вся прихована інформація виявлена і записана.

У компетентнісних та інших життєвих завданнях ці правила суворо не дотримуються. Нема підказки. Але такі завдання можна вирішувати. Якщо, звичайно, потренуватися на класичних.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

По курсу

«Математичне моделювання машин та транспортних систем»

У курсі розглянуті питання, пов'язані з математичним моделюванням, з формою та принципом подання математичних моделей. Розглянуто чисельні методи вирішення одновимірних нелінійних систем. Висвітлюються питання комп'ютерного моделювання та обчислювального експерименту. Розглянуто методи обробки даних, отриманих у результаті наукових чи виробничих експериментів; дослідження різних процесів, виявлення закономірностей у поведінці об'єктів, процесів та систем. Розглянуто методи інтерполювання та апроксимації досвідчених даних. Розглянуто питання, пов'язані з комп'ютерним моделюванням та вирішенням нелінійних динамічних систем. Зокрема, розглянуто методи чисельного інтегрування та розв'язання звичайних диференціальних рівнянь першого, другого та вищих порядків.

Лекція: Математичне моделювання. Форма та принципи представлення математичних моделей

У лекції розглянуто загальні питання математичного моделювання. Наведено класифікацію математичних моделей.

Моделювання широко використовуються у різних сферах людської діяльності, особливо у сферах проектування та управління, де особливими є процеси прийняття ефективних рішень на основі отриманої інформації.

Модель завжди будується з певною метою, яка впливає те що, які властивості об'єктивного явища виявляються суттєвими, а які - немає. Модель є як би проекцію об'єктивної реальності під певним кутом зору. Іноді залежно від цілей можна отримати низку проекцій об'єктивної реальності, що вступають у суперечність. Це характерно, як правило, для складних систем, у яких кожна проекція виділяє суттєве для певної мети з множини несуттєвого.

Теорією моделювання є розділ науки, що вивчає способи дослідження властивостей об'єктів-оригіналів, на основі заміщення їх іншими об'єктами-моделями. В основі теорії моделювання лежить теорія подібності. При моделюванні абсолютна подібність немає місця і лише прагне, щоб модель досить добре відображала досліджувану бік функціонування об'єкта. Абсолютна подоба може мати місце лише при заміні одного об'єкта іншим таким самим.

Усі моделі можна розділити на два класи:

1. речові,

2. ідеальні.

У свою чергу речові моделі можна розділити на:

1. натурні,

2. фізичні,

3. математичні.

Ідеальні моделі можна поділити на:

1. наочні,

2. знакові,

3. математичні.

Речові математичні – це аналогові, структурні, геометричні, графічні, цифрові та кібернетичні моделі.

Ідеальні математичні моделі – це аналітичні, функціональні, імітаційні, комбіновані моделі.

Зупинимося на одному з найбільш універсальних видів моделювання - математичному, що ставить у відповідність моделюваному фізичному процесу систему математичних співвідношень, вирішення якої дозволяє отримати відповідь на питання про поведінку об'єкта без створення фізичної моделі, що часто виявляється дорогою та неефективною.

У випадку математична модель реального об'єкта, процесу чи системи представляється як системи функціоналів

Фі (X, Y, Z, t) = 0,

де X - вектор вхідних змінних, X = t,

Y - вектор вихідних змінних, Y = t,

Z - вектор зовнішніх впливів, Z = t,

t – координата часу.

Побудова математичної моделі полягає у визначенні зв'язків між тими чи іншими процесами та явищами, створенні математичного апарату, що дозволяє висловити кількісно та якісно зв'язок між тими чи іншими процесами та явищами, між фізичними величинами, що цікавлять спеціаліста, та факторами, що впливають на кінцевий результат.

Зазвичай їх виявляється настільки багато, що ввести в модель всю їхню сукупність не вдається. При побудові математичної моделі перед дослідженням виникає завдання виявити і виключити з розгляду фактори, які несуттєво впливають на кінцевий результат (математична модель зазвичай включає значно менше факторів, ніж у реальній дійсності). На основі даних експерименту висуваються гіпотези про зв'язок між величинами, що виражають кінцевий результат, та факторами, введеними в математичну модель. Такий зв'язок найчастіше виражається системами диференціальних рівнянь у приватних похідних (наприклад, завдання механіки твердого тіла, рідини і газу, теорії фільтрації, теплопровідності, теорії електростатичного і електродинамічного полів).

Кінцевою метою цього етапу є формулювання математичної задачі, розв'язання якої з необхідною точністю висловлює результати, що цікавлять фахівця.

Форма та принципи подання математичної моделі залежить від багатьох факторів.

За принципами побудови математичні моделі поділяють на:

1. аналітичні;

2. імітаційні.

В аналітичних моделях процеси функціонування реальних об'єктів, процесів чи систем записуються як явних функціональних залежностей.

Аналітична модель поділяється на типи залежно від математичної проблеми:

1. рівняння (алгебраїчні, трансцендентні, диференціальні, інтегральні),

2. апроксимаційні завдання (інтерполяція, екстраполяція, чисельне інтегрування та диференціювання),

3. завдання оптимізації,

4. стохастичні проблеми.

Однак у міру ускладнення об'єкта моделювання побудова аналітичної моделі перетворюється на складну проблему. Тоді дослідник змушений використовувати імітаційне моделювання.

В імітаційному моделюванні функціонування об'єктів, процесів чи систем описується набором алгоритмів. Алгоритми імітують реальні елементарні явища, що становлять процес чи систему із збереженням їхньої логічної структури та послідовності перебігу в часі. Імітаційне моделювання дозволяє за вихідними даними отримати інформацію про станах процесу чи системи у певні моменти часу, проте прогнозування поведінки об'єктів, процесів чи систем тут важко. Можна сказати, що імітаційні моделі - це обчислювальні експерименти, що проводяться на ЕОМ, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів, процесів або систем.

Залежно від характеру досліджуваних реальних процесів та систем математичні моделі можуть бути:

1. детерміновані,

2. стохастичні.

У детермінованих моделях передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів, елементи моделі (змінні, математичні зв'язки) досить встановлені, поведінка системи можна точно визначити. При побудові детермінованих моделей найчастіше використовуються рівняння алгебри, інтегральні рівняння, матрична алгебра.

Стохастична модель враховує випадковий характер процесів у досліджуваних об'єктах та системах, що описується методами теорії ймовірності та математичної статистики.

За видом вхідної інформації моделі поділяються на:

1. безперервні,

2. дискретні.

Якщо інформація та параметри є безперервними, а математичні зв'язки стійкі, то модель – безперервна. І навпаки, якщо інформація та параметри – дискретні, а зв'язки нестійкі, то й математична модель – дискретна.

За поведінкою моделей у часі вони поділяються на:

1. статичні,

2. динамічні.

Статичні моделі описують поведінку об'єкта, процесу чи системи у момент часу. Динамічні моделі відображають поведінку об'єкта, процесу чи системи у часі.

За рівнем відповідності між математичною моделлю та реальним об'єктом, процесом чи системою математичні моделі поділяють на:

1. ізоморфні (однакові формою),

2. гомоморфні (різні формою).

Модель називається ізоморфною, якщо між нею та реальним об'єктом, процесом чи системою існує повна поелементна відповідність. Гомоморфна - якщо існує відповідність лише між найбільш значними складовими частинами об'єкта та моделі.

Надалі для короткого визначення виду математичної моделі у наведеній класифікації користуватимемося такими позначеннями:

Перша буква:

Д - детермінована,

С – стохастична.

Друга літера:

Н - безперервна,

Д – дискретна.

Третя літера:

А - аналітична,

І – імітаційна.

1. Відсутній (точніше не враховується) вплив випадкових процесів, тобто. модель детермінована (Д).

2. Інформація та параметри - безперервні, тобто. модель - безперервна (Н),

3. Функціонування моделі кривошипно-шатунного механізму описано як нелінійних трансцендентних рівнянь, тобто. модель – аналітична (А)

2. Лекція: Особливості побудови математичних моделей

У лекції описано процес побудови математичної моделі. Наведено словесний алгоритм процесу.

Для використання ЕОМ при вирішенні прикладних завдань насамперед прикладна задача має бути "перекладена" формальною математичною мовою, тобто. для реального об'єкта, процесу чи системи має бути побудована його математична модель.

Математичні моделі у кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу чи системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.

Для побудови математичної моделі необхідно:

1. ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;

2. виділити його найбільш суттєві риси та властивості;

3. Визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;

4. описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу чи системи від значення змінних з допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);

5. виділити внутрішні зв'язки об'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;

6. визначити зовнішні зв'язки та описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.

Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:

1. побудова алгоритму, моделюючого поведінка об'єкта, процесу чи системи;

2. перевірка адекватності моделі та об'єкта, процесу чи системи на основі обчислювального та натурного експерименту;

3. коригування моделі;

4. Використання моделі.

Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:

1. природа реального процесу або системи і складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.

2. необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.

На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність та нелінійність об'єкта, процесу чи системи, динамічність чи статичність, стаціонарність чи нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об'єкта чи процесу. При математичному моделюванні свідомо відволікаються від конкретної фізичної природи об'єктів, процесів чи систем і переважно зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.

Математична модель ніколи не буває повністю тотожною об'єкту, процесу або системі, що розглядається. Заснована на спрощенні ідеалізації вона є наближеним описом об'єкта. Тому результати, отримані під час аналізу моделі, мають наближений характер. Їхня точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі та об'єкта.

Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі аналізованого об'єкта, процесу чи системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим.

Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу.

Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути та замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високій вимогі до точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.

З допомогою цього прикладу було показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом чи системою. Для того самого столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або більш складну модель чотирикутника загального вигляду, або чотирикутника із закругленими кутами. Вибір тієї чи іншої моделі визначається вимогою до точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові та нові особливості об'єкта, що вивчається, процесу або системи.

Розглянемо інший приклад: дослідження руху кривошипно-шатунного механізму (рис. 2.1).

Мал. 2.1.

Для кінематичного аналізу цього механізму насамперед необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього:

1. Замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінені жорсткими зв'язками;

2. Використовуючи цю схему, ми виводимо рівняння руху механізму;

3. Диференціюючи останнє, отримуємо рівняння швидкостей і прискорення, які є диференціальні рівняння 1-го і 2-го порядку.

Запишемо ці рівняння:

де С 0 - крайнє праве положення повзуна С:

r – радіус кривошипу AB;

l - Довжина шатуна BC;

- Кут повороту кривошипа;

Отримані трансцендентні рівняння представляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних припущеннях, що спрощують:

1. нас не цікавили конструктивні форми та розташування мас, що входять до механізму тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді всі ланки механізму мають масу і досить складну форму. Наприклад, шатун – це складне збірне з'єднання, форма та розміри якого, звичайно, впливатимуть на рух механізму;

2. при побудові математичної моделі руху аналізованого механізму ми також враховували пружність які входять у механізм тіл, тобто. всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно тверді тіла. Насправді ж, всі ті тіла, що входять у механізм – пружні тіла. Вони під час руху механізму якось деформуватися, у яких можуть виникнути навіть пружні коливання. Це все, звичайно, також впливатиме на рух механізму;

3. ми не зважали на похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.

Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що чим вищі вимоги до точності результатів розв'язання задачі, тим більша необхідність враховувати при побудові математичної моделі особливості об'єкта, процесу або системи, що вивчається. Однак, тут важливо під час зупинитися, оскільки складна математична модель може перетворитися на завдання, яке важко вирішити.

Найбільш просто будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку та властивості об'єкта, процесу чи системи, і є великий практичний досвід їх застосування.

Більш складна ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. У цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які мають характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, мають умовний характер. Для перевірки висновків потрібно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з натурного експерименту. Таким чином, питання застосування деякої математичної моделі до вивчення об'єкта, процесу або системи, що розглядається, не є математичним питанням і не може бути вирішене математичними методами.

Основним критерієм істинності є експеримент, практика у найширшому значенні цього слова.

Побудова математичної моделі у прикладних завданнях – одне із найскладніших і найвідповідальніших етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель - значить вирішити проблему більш ніж наполовину. Складність цього етапу у тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці – певною математичною культурою, досвідом дослідження у своїй галузі, знанням ЕОМ та програмування.

Лекція 3. Комп'ютерне моделювання та обчислювальний експеримент. Рішення математичних моделей

Комп'ютерне моделювання як новий метод наукових досліджень ґрунтується на:

1. побудові математичних моделей для опису досліджуваних процесів;

2. Використання нових обчислювальних машин, що мають високу швидкодію (мільйони операцій на секунду) і здатні вести діалог з людиною.

Суть комп'ютерного моделювання ось у чому: з урахуванням математичної моделі з допомогою ЕОМ проводиться серія обчислювальних експериментів, тобто. досліджуються властивості об'єктів або процесів, знаходяться їх оптимальні параметри та режими роботи, уточнюється модель. Наприклад, маючи рівняння, що описує протікання того чи іншого процесу, можна змінюючи його коефіцієнти, початкові та граничні умови, досліджувати, як при цьому поводитиметься об'єкт. Більше того, можна спрогнозувати поведінку об'єкта за різних умов.

Обчислювальний експеримент дозволяє замінити дорогий натурний експеримент розрахунками на ЕОМ. Він дозволяє у стислі терміни і без значних матеріальних витрат здійснити дослідження великої кількості варіантів проектованого об'єкта чи процесу щодо різних режимів його експлуатації, що значно скорочує терміни розробки складних систем та його впровадження у виробництво.

Комп'ютерне моделювання та обчислювальний експеримент як новий метод наукового дослідження змушує удосконалювати математичний апарат, який використовується при побудові математичних моделей, дозволяє, використовуючи математичні методи, уточнювати, ускладнювати математичні моделі. Найбільш перспективним для проведення обчислювального експерименту є його використання для вирішення великих науково-технічних та соціально-економічних проблем сучасності (проектування реакторів для атомних електростанцій, проектування гребель та гідроелектростанцій, магнітогідродинамічних перетворювачів енергії, та в галузі економіки – складання збалансованого плану для галузі, регіону, для країни та ін.).

У деяких процесах, де натурний експеримент небезпечний для життя та здоров'я людей, обчислювальний експеримент є єдиним можливим (термоядерний синтез, освоєння космічного простору, проектування та дослідження хімічних та інших виробництв).

Для перевірки адекватності математичної моделі та реального об'єкта, процесу чи системи результати досліджень на ЕОМ порівнюються з результатами експерименту на дослідному натурному зразку. Результати перевірки використовуються для коригування математичної моделі або вирішується питання щодо застосування побудованої математичної моделі до проектування або дослідження заданих об'єктів, процесів або систем.

Насамкінець підкреслимо ще раз, що комп'ютерне моделювання та обчислювальний експеримент дозволяють звести дослідження "нематематичного" об'єкта до вирішення математичної задачі. Цим самим відкривається можливість використання для вивчення добре розробленого математичного апарату в поєднанні з потужною обчислювальною технікою. На цьому засноване застосування математики та ЕОМ для пізнання законів реального світу та їх використання на практиці.

У завдання проектування чи дослідження поведінки реальних об'єктів, процесів чи систем математичні моделі, зазвичай, нелінійні, т.к. вони мають відбивати реальні фізичні нелінійні процеси, які у них. У цьому параметри (змінні) цих процесів пов'язані між собою фізичними нелінійними законами. Тому у завданнях проектування чи дослідження поведінки реальних об'єктів, процесів чи систем найчастіше використовуються математичні моделі типу ДНА.

Відповідно до класифікації наведеної у лекції 1:

Д – модель детермінована, відсутня (точніше не враховується) вплив випадкових процесів.

Н – модель безперервна, інформація та параметри безперервні.

А – модель аналітична, функціонування моделі описується як рівнянь (лінійних, нелінійних, систем рівнянь, диференціальних і інтегральних рівнянь).

Отже, ми побудували математичну модель аналізованого об'єкта, процесу чи системи, тобто. представили прикладне завдання як математичне. Після цього настає другий етап розв'язання прикладної задачі – пошук чи розробка методу розв'язання сформульованої математичної задачі. Метод має бути зручним для його реалізації на ЕОМ, забезпечувати необхідну якість рішення.

Усі методи розв'язання математичних завдань можна поділити на 2 групи:

1. точні методи розв'язання задач;

2. чисельні методи розв'язання задач.

У точних методах розв'язання математичних завдань удається отримати відповідь у вигляді формул.

Наприклад, обчислення коренів квадратного рівняння:

або, наприклад, обчислення похідних функцій:

або обчислення певного інтегралу:

Проте, підставляючи числа формулу як кінцевих десяткових дробів, ми однаково отримуємо наближені значення результату.

Для більшості завдань, що зустрічаються на практиці, точні методи вирішення або невідомі, або дають дуже громіздкі формули. Однак вони не завжди є необхідними. Прикладне завдання можна вважати практично вирішеним, якщо ми зуміємо її вирішити з потрібним ступенем точності.

Для вирішення таких завдань розроблено чисельні методи, у яких розв'язання складних математичних завдань зводиться до послідовного виконання великої кількості простих арифметичних операцій. Безпосередня технологія чисельних методів належить до обчислювальної математики.

Прикладом чисельного методу є метод прямокутників для наближеного інтегрування, який вимагає обчислення первісної для підінтегральної функції. Замість інтеграла обчислюється кінцева квадратурна сума:

x 1 =a – нижня межа інтегрування;

x n+1 = b – верхня межа інтегрування;

n – число відрізків, куди розбитий інтервал інтегрування (a,b);

- Довжина елементарного відрізка;

f(x i) – значення підінтегральної функції кінцях елементарних відрізків інтегрування.

Чим більше відрізків n, куди розбитий інтервал інтегрування, тим ближче наближене рішення до істинному, тобто. тим точніше результат.

Таким чином, у прикладних задачах і при застосуванні точних методів розв'язання, і при застосуванні чисельних методів розв'язання результати обчислень мають наближений характер. Важливо лише домогтися, щоб помилки вкладалися у рамки необхідної точності.

Численні методи вирішення математичних завдань відомі давно, ще до появи ЕОМ, але ними користувалися рідко і лише в порівняно простих випадках через надзвичайну трудомісткість обчислень. Широке застосування чисельних методів стало можливим завдяки ЕОМ.