Lutasin ang sistema na may dalawang hindi alam - nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng mga pares ng mga variable na halaga na nakakatugon sa bawat isa sa mga ibinigay na equation. Ang bawat ganoong pares ay tinatawag solusyon sa sistema.

Halimbawa:
Ang pares ng mga halaga \(x=3\);\(y=-1\) ay isang solusyon sa unang sistema, dahil kapag pinapalitan ang mga tatlo at minus na ito sa system sa halip na \(x\) at \ (y\), ang parehong mga equation ay magiging mga tamang equalities \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( kaso)\)

Ngunit \(x=1\); \(y=-2\) - ay hindi solusyon sa unang sistema, dahil pagkatapos ng pagpapalit ang pangalawang equation ay "hindi nagtatagpo" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Tandaan na ang mga ganitong pares ay kadalasang isinusulat nang mas maikli: sa halip na "\(x=3\); \(y=-1\)" sumusulat sila ng ganito: \((3;-1)\).

Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?

Mayroong tatlong pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation:

1. Pamamaraan ng pagpapalit.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Ipalit ang resultang expression sa halip na ang variable na ito sa isa pang equation ng system.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Sa pangalawang equation, ang bawat termino ay pantay, kaya pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng paghahati nito sa \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa alinman sa mga sumusunod na paraan, ngunit tila sa akin na ang paraan ng pagpapalit ay ang pinaka-maginhawa dito. Ipahayag natin ang y mula sa pangalawang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   I-substitute natin ang \(6x-13\) sa halip na \(y\) sa unang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ang unang equation ay naging isang ordinaryong equation. Solusyonan natin ito.

   Una, buksan natin ang mga bracket.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ilipat natin ang \(117\) sa kanan at ipakita ang mga katulad na termino.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hatiin natin ang magkabilang panig ng unang equation sa \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurray, nakita namin ang \(x\)! I-substitute natin ang halaga nito sa pangalawang equation at hanapin ang \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Isulat natin ang sagot.

Mga sistema ng linear equation.

Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na linear kung ang lahat ng mga equation na kasama sa sistema ay linear. Nakaugalian na magsulat ng isang sistema ng mga equation gamit ang mga kulot na braces, halimbawa:

Kahulugan:Ang isang pares ng mga variable na halaga na gumagawa ng bawat equation na may dalawang variable na kasama sa system na isang tunay na pagkakapantay-pantay ay tinatawag paglutas ng isang sistema ng mga equation.

Lutasin ang sistema- nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng solusyon nito o pagpapatunay na walang solusyon.

Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, posible ang sumusunod na tatlong kaso:

ang sistema ay walang mga solusyon;

ang sistema ay may eksaktong isang solusyon;

ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.
ako . Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit.

Ang pamamaraang ito ay maaari ding tawaging "paraan ng pagpapalit" o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam.

Dito binibigyan tayo ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Tandaan na ang mga libreng termino (mga numero -5 at -7) ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation. Isulat natin ang sistema sa karaniwang anyo.

Huwag kalimutan na kapag inililipat ang isang termino mula sa bahagi patungo sa bahagi, kailangan nitong baguhin ang sign nito.

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation? Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng mga ganoong halaga ng mga variable na ginagawang tamang pagkakapantay-pantay ang bawat equation ng system. Ang pahayag na ito ay totoo para sa anumang sistema ng mga equation na may anumang bilang ng mga hindi alam.

Magdesisyon tayo.

Mula sa unang equation ng system ipinapahayag namin:
. Ito ay isang pagpapalit.

Pinapalitan namin ang resultang expression sa pangalawang equation ng system sa halip na variable

Lutasin natin ang equation na ito para sa isang variable.
Buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at hanapin ang halaga :

4) Susunod na bumalik kami sa pagpapalit upang kalkulahin ang halaga .Alam na natin ang halaga, ang natitira ay hanapin:

5) Mag-asawa
ay ang tanging solusyon sa isang ibinigay na sistema.

Sagot: (2.4; 2.2).

Pagkatapos malutas ang anumang sistema ng mga equation sa anumang paraan, lubos kong inirerekumenda na suriin ito sa isang draft. Ginagawa ito nang madali at mabilis.

1) Palitan ang nahanap na sagot sa unang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

2) Palitan ang nahanap na sagot sa pangalawang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Ang itinuturing na paraan ng solusyon ay hindi lamang isa; mula sa unang equation posible na ipahayag ang , at hindi .

Maaari mong gawin ang kabaligtaran - ipahayag ang isang bagay mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation. Gayunpaman, kinakailangang suriin ang pagpapalit upang naglalaman ito ng kaunting fractional na expression hangga't maaari. Ang pinakamasama sa apat na paraan ay ang pagpapahayag mula sa pangalawa o unang equation:

o

Gayunpaman, sa ilang mga kaso hindi mo pa rin magagawa nang walang mga fraction. Dapat mong sikaping kumpletuhin ang anumang gawain sa pinaka makatwirang paraan. Makakatipid ito ng oras at binabawasan din ang posibilidad na magkamali.
Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation

II. Paglutas ng system gamit ang paraan ng algebraic na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system

Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, maaari mong gamitin hindi ang paraan ng pagpapalit, ngunit ang paraan ng algebraic na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system. Ang pamamaraang ito ay nakakatipid ng oras at pinapasimple ang mga kalkulasyon, gayunpaman, ngayon ang lahat ay magiging mas malinaw.

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Kunin natin ang parehong sistema tulad ng sa unang halimbawa.

1) Sa pagsusuri sa sistema ng mga equation, mapapansin natin na ang mga coefficient ng variable na y ay magkapareho sa magnitude at magkasalungat sa sign (–1 at 1). Sa ganoong sitwasyon, ang mga equation ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino:

2) Lutasin natin ang equation na ito para sa isang variable.

Gaya ng nakikita mo, bilang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag, nawala namin ang variable. Ito, sa katunayan, ang kakanyahan ng pamamaraan - upang mapupuksa ang isa sa mga variable.

3) Ngayon ang lahat ay simple:
– palitan ang unang equation ng system (maaari mo ring ipasok ang pangalawa):

Ang pangwakas na solusyon ay dapat magmukhang ganito:

Sagot: (2.4; 2.2).

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Sa halimbawang ito, maaari nating gamitin ang paraan ng pagpapalit, ngunit ang malaking kawalan ay kapag nagpahayag tayo ng anumang variable mula sa anumang equation, makakakuha tayo ng solusyon sa mga ordinaryong fraction. Ilang tao ang gustong gumawa ng mga fraction, na nangangahulugang ito ay isang pag-aaksaya ng oras, at may mataas na posibilidad na magkamali.

Samakatuwid, ipinapayong gumamit ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation. Suriin natin ang mga coefficient para sa kaukulang mga variable:

Tulad ng nakikita natin, ang mga numero sa mga pares (14 at 7), (-9 at –2) ay magkaiba, samakatuwid, kung idaragdag natin (babawas) ang mga equation ngayon, hindi natin aalisin ang variable. Kaya, gusto kong makita sa isa sa mga pares na numero na magkapareho sa ganap na halaga, halimbawa, 14 at -14 o 18 at -18.

Isasaalang-alang namin ang mga coefficient ng variable.

14x – 9y = 24;

7x – 2y = 17.
Pumili kami ng isang numero na mahahati sa parehong 14 at 7, at dapat ito ay kasing liit hangga't maaari. Sa matematika, ang numerong ito ay tinatawag na least common multiple. Kung nahihirapan kang pumili, maaari mong i-multiply lang ang mga coefficient.

I-multiply natin ang pangalawang equation sa 14: 7 =2.

Ang resulta:

Ngayon ibawas natin ang pangalawa mula sa unang equation term sa pamamagitan ng term.

Dapat pansinin na ang isa ay maaaring gawin ang kabaligtaran - ibawas ang una mula sa pangalawang equation, hindi ito nagbabago ng anuman.

Ngayon ay pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa isa sa mga equation ng system, halimbawa, sa una:

Sagot: (3:2)

Solusyonan natin ang sistema sa ibang paraan. Isaalang-alang natin ang mga coefficient ng variable.

14x – 9y = 24;

7x – 2y = 17.

Malinaw, sa halip na isang pares ng mga coefficient (-9 at –3), kailangan nating makakuha ng 18 at –18.

Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa (-2), i-multiply ang pangalawang equation sa 9:

Idinagdag namin ang mga equation term sa pamamagitan ng term at hanapin ang mga halaga ng mga variable:

Ngayon ay pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng x sa isa sa mga equation ng system, halimbawa, sa una:

Sagot: (3:2)

Ang pangalawang paraan ay medyo mas makatwiran kaysa sa una, dahil ang pagdaragdag ay mas madali at mas kaaya-aya kaysa sa pagbabawas. Kadalasan, kapag nilulutas ang mga sistema, ang isa ay may posibilidad na magdagdag at magparami sa halip na ibawas at hatiin.
Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili (sagot sa dulo ng panayam).
Halimbawa 6.

Lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon. Ang sistema ay walang mga solusyon, dahil ang dalawang equation ng system ay hindi maaaring masiyahan nang sabay-sabay (mula sa unang equation
at mula sa pangalawa

Sagot: Walang solusyon.
Halimbawa 7.

lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon, dahil ang pangalawang equation ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2 (i.e., sa katunayan, mayroon lamang isang equation na may dalawang hindi alam).

Sagot: Mayroong walang katapusang maraming solusyon.
III. Paglutas ng system gamit ang matrices.

Ang determinant ng system na ito ay isang determinant na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam. Ang determinant na ito

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Gamit ang mathematical program na ito, maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable gamit ang substitution method at ang addition method.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school sa mga paaralang pangkalahatang edukasyon kapag naghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, at para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga equation

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.

Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple. Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.
Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2

Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga buong numero, kundi pati na rin ang mga fraction sa anyo ng mga decimal at ordinaryong mga fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Ang integer at fractional na bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &

Mga halimbawa.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lutasin ang sistema ng mga equation

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin ang y sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa pangalawang equation sa halip na y, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng numero 1 sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng karagdagan

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng pagpapalit, lumilipat tayo mula sa sistemang ito patungo sa isa pa, katumbas na sistema, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng term ng system equation sa pamamagitan ng termino;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng mga equation term sa pamamagitan ng term, nakakakuha tayo ng equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38\) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38\). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient para sa y ay magkasalungat na numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagsusuma sa magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na sistema), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation. Sa isang kurso ng mas mataas na matematika, ang mga sistema ng mga linear na equation ay kinakailangang lutasin pareho sa anyo ng magkahiwalay na mga gawain, halimbawa, "Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer," at sa kurso ng paglutas ng iba pang mga problema. Ang mga sistema ng linear equation ay kailangang harapin sa halos lahat ng sangay ng mas mataas na matematika.

Una, isang maliit na teorya. Ano ang ibig sabihin ng mathematical word na "linear" sa kasong ito? Nangangahulugan ito na ang mga equation ng system Lahat kasama ang mga variable sa unang antas: nang walang anumang magarbong bagay tulad ng atbp., na tanging mga kalahok sa mathematical Olympiads ang natutuwa.

Sa mas mataas na matematika, hindi lamang mga titik na pamilyar mula sa pagkabata ang ginagamit upang tukuyin ang mga variable.
Ang isang medyo popular na opsyon ay mga variable na may mga index: .
O ang mga unang titik ng alpabetong Latin, maliit at malaki:
Hindi napakabihirang makahanap ng mga letrang Griyego: – kilala ng marami bilang “alpha, beta, gamma”. At isang set din na may mga indeks, sabihin, na may titik na "mu":

Ang paggamit ng isa o ibang hanay ng mga titik ay nakasalalay sa seksyon ng mas mataas na matematika kung saan tayo ay nahaharap sa isang sistema ng mga linear na equation. Kaya, halimbawa, sa mga sistema ng mga linear na equation na nakatagpo kapag nilulutas ang mga integral at differential equation, tradisyonal na gamitin ang notasyon

Ngunit gaano man itinalaga ang mga variable, ang mga prinsipyo, pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation ay hindi nagbabago. Kaya, kung makatagpo ka ng isang bagay na nakakatakot tulad ng , huwag magmadali upang isara ang libro ng problema sa takot, pagkatapos ng lahat, maaari mong iguhit ang araw sa halip, isang ibon sa halip, at isang mukha (ang guro) sa halip. At, kahit na mukhang nakakatawa, ang isang sistema ng mga linear na equation na may mga notasyong ito ay maaari ding lutasin.

Mayroon akong pakiramdam na ang artikulo ay magiging medyo mahaba, kaya isang maliit na talaan ng mga nilalaman. Kaya, ang sunud-sunod na "debriefing" ay magiging ganito:

– Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit (“paraan ng paaralan”);
– Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system;
– Solusyon ng system gamit ang mga formula ng Cramer;
– Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix;
– Paglutas ng system gamit ang Gaussian method.

Ang lahat ay pamilyar sa mga sistema ng linear equation mula sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Mahalaga, nagsisimula tayo sa pag-uulit.

Paglutas ng isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagpapalit

Ang pamamaraang ito ay maaari ding tawaging "paraan ng paaralan" o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Sa matalinghagang pagsasalita, maaari din itong tawaging "isang hindi natapos na pamamaraan ng Gaussian."

Halimbawa 1

Dito binibigyan tayo ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Tandaan na ang mga libreng termino (mga numero 5 at 7) ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation. Sa pangkalahatan, hindi mahalaga kung nasaan sila, sa kaliwa o sa kanan, ngunit sa mga problema sa mas mataas na matematika ay madalas silang matatagpuan sa ganoong paraan. At ang gayong pag-record ay hindi dapat humantong sa pagkalito; kung kinakailangan, ang system ay maaaring palaging nakasulat "gaya ng dati": . Huwag kalimutan na kapag inililipat ang isang termino mula sa bahagi patungo sa bahagi, kailangan nitong baguhin ang sign nito.

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation? Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng marami sa mga solusyon nito. Ang solusyon ng isang sistema ay isang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable na kasama dito, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang BAWAT equation ng system. Bilang karagdagan, ang sistema ay maaaring hindi magkasanib (walang solusyon).Huwag kang mahiya, ito ay isang pangkalahatang kahulugan =) Magkakaroon lamang tayo ng isang "x" na halaga at isang "y" na halaga, na nagbibigay-kasiyahan sa bawat c-we equation.

Mayroong isang graphical na paraan para sa paglutas ng system, na maaari mong maging pamilyar sa klase. Ang pinakasimpleng problema sa isang linya. Doon ko napag-usapan geometric na kahulugan sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ngayon ito ang panahon ng algebra, at mga numero-numero, aksyon-aksyon.

Magdesisyon tayo: mula sa unang equation na ipinapahayag namin:
Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa pangalawang equation:

Binubuksan namin ang mga bracket, magdagdag ng mga katulad na termino at hanapin ang halaga:

Susunod, naaalala namin kung ano ang aming sinayaw:
Alam na natin ang halaga, ang natitira ay upang mahanap:

Sagot:

Matapos malutas ang ANUMANG sistema ng mga equation sa ANUMANG paraan, lubos kong inirerekomenda ang pagsuri (pasalita, sa isang draft o sa isang calculator). Sa kabutihang palad, ito ay ginagawa nang madali at mabilis.

1) Palitan ang nahanap na sagot sa unang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

2) Palitan ang nahanap na sagot sa pangalawang equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

O, sa madaling salita, "nagtagpo ang lahat"

Ang itinuturing na paraan ng solusyon ay hindi lamang isa; mula sa unang equation posible na ipahayag ang , at hindi .
Maaari mong gawin ang kabaligtaran - ipahayag ang isang bagay mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang pinaka-disadvantageous sa apat na mga pamamaraan ay upang ipahayag mula sa pangalawang equation:

Ang resulta ay mga fraction, ngunit bakit? Mayroong mas makatwirang solusyon.

Gayunpaman, sa ilang mga kaso hindi mo pa rin magagawa nang walang mga fraction. Sa bagay na ito, nais kong iguhit ang iyong pansin sa PAANO ko isinulat ang ekspresyon. Hindi tulad nito: at sa anumang kaso tulad nito: .

Kung sa mas mataas na matematika ikaw ay nakikitungo sa mga fractional na numero, pagkatapos ay subukan na isakatuparan ang lahat ng mga kalkulasyon sa ordinaryong hindi wastong mga fraction.

Eksakto, at hindi o!

Magagamit lamang ang kuwit kung minsan, lalo na kung ito ang panghuling sagot sa ilang problema, at walang karagdagang pagkilos ang kailangang gawin sa numerong ito.

Maraming mga mambabasa ang malamang na nag-iisip na "bakit ang isang detalyadong paliwanag tulad ng para sa isang klase ng pagwawasto, ang lahat ay malinaw." Wala sa uri, tila tulad ng isang simpleng halimbawa ng paaralan, ngunit mayroong napakaraming NAPAKAMAHALAANG konklusyon! Narito ang isa pa:

Dapat mong sikaping kumpletuhin ang anumang gawain sa pinaka makatwirang paraan. Kung dahil lamang sa nakakatipid ito ng oras at nerbiyos, at binabawasan din ang posibilidad na magkamali.

Kung sa isang problema sa mas mataas na matematika ay nakatagpo ka ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam, pagkatapos ay maaari mong palaging gamitin ang paraan ng pagpapalit (maliban kung ito ay ipinahiwatig na ang sistema ay kailangang lutasin ng ibang paraan). Isipin mo na ikaw ay isang bastos at babawasan ang iyong marka sa paggamit ng “paraan ng paaralan” "
Bukod dito, sa ilang mga kaso ay ipinapayong gamitin ang paraan ng pagpapalit na may mas malaking bilang ng mga variable.

Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam

Ang isang katulad na sistema ng mga equation ay madalas na lumitaw kapag gumagamit ng tinatawag na paraan ng mga hindi tiyak na coefficient, kapag nakita natin ang integral ng isang fractional rational function. Ang sistemang pinag-uusapan ay kinuha ko mula doon.

Kapag hinahanap ang integral, ang layunin ay mabilis hanapin ang mga halaga ng mga coefficient, sa halip na gamitin ang mga formula ng Cramer, ang inverse matrix method, atbp. Samakatuwid, sa kasong ito, ang paraan ng pagpapalit ay angkop.

Kapag ang anumang sistema ng mga equation ay ibinigay, una sa lahat ito ay kanais-nais upang malaman kung ito ay posible na kahit papaano ay gawing simple ito AGAD? Sa pagsusuri sa mga equation ng system, napansin namin na ang pangalawang equation ng system ay maaaring hatiin ng 2, na kung ano ang ginagawa namin:

Sanggunian: ang mathematical sign ay nangangahulugang "mula dito ay sumusunod na" at kadalasang ginagamit sa paglutas ng problema.

Ngayon suriin natin ang mga equation; kailangan nating ipahayag ang ilang variable sa mga tuntunin ng iba. Aling equation ang dapat kong piliin? Marahil ay nahulaan mo na na ang pinakamadaling paraan para sa layuning ito ay kunin ang unang equation ng system:

Dito, kahit anong variable ang ipahayag, ang isa ay madaling ipahayag o .

Susunod, pinapalitan namin ang expression para sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Binubuksan namin ang mga bracket at nagpapakita ng mga katulad na termino:

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 2:

Mula sa pangalawang equation ay ipinapahayag namin at pinapalitan sa ikatlong equation:

Halos lahat ay handa na, mula sa ikatlong equation na makikita natin:
Mula sa pangalawang equation:
Mula sa unang equation:

Suriin: Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga variable sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:

1)
2)
3)

Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, kaya ang solusyon ay nahanap nang tama.

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may 4 na hindi alam

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Paglutas ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system

Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, dapat mong subukang gamitin hindi ang "paraan ng paaralan", ngunit ang paraan ng term-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system. Bakit? Makakatipid ito ng oras at pinapasimple ang mga kalkulasyon, gayunpaman, ngayon ang lahat ay magiging mas malinaw.

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation:

Kinuha ko ang parehong sistema tulad ng sa unang halimbawa.
Sa pagsusuri sa sistema ng mga equation, mapapansin natin na ang mga coefficient ng variable ay magkapareho sa magnitude at kabaligtaran sa sign (–1 at 1). Sa ganoong sitwasyon, ang mga equation ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino:

Isinasagawa ang mga aksyon na binilogan ng pula.
Gaya ng nakikita mo, bilang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag, nawala namin ang variable. Ito, sa katunayan, ay kung ano ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang mapupuksa ang isa sa mga variable.