Ang prinsipyo ng mathematical induction. Paglutas ng mga Halimbawa
Paraan ng mathematical induction
Panimula
Pangunahing bahagi
- Kumpleto at hindi kumpletong induction
- Prinsipyo ng mathematical induction
- Paraan ng mathematical induction
- Paglutas ng mga Halimbawa
- Mga pagkakapantay-pantay
- Paghahati ng mga numero
- Mga hindi pagkakapantay-pantay
Konklusyon
Listahan ng ginamit na panitikan
Panimula
Ang batayan ng anumang mathematical na pananaliksik ay deductive at inductive na pamamaraan. Ang deduktibong paraan ng pangangatwiran ay pangangatwiran mula sa pangkalahatan hanggang sa tiyak, i.e. pangangatwiran, ang panimulang punto kung saan ay ang pangkalahatang resulta, at ang huling punto ay ang partikular na resulta. Ginagamit ang induction kapag lumilipat mula sa mga partikular na resulta patungo sa pangkalahatan, i.e. ay kabaligtaran ng pamamaraang deduktibo.
Ang paraan ng mathematical induction ay maihahambing sa progreso. Nagsisimula tayo sa pinakamababa, at bilang resulta ng lohikal na pag-iisip ay narating natin ang pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang mga kaisipan nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtakda sa kanya na mag-isip nang pasaklaw.
Kahit na ang saklaw ng aplikasyon ng pamamaraan ng matematikal na induction ay lumago, maliit na oras ang nakalaan dito sa kurikulum ng paaralan. Buweno, sabihin sa akin na ang dalawa o tatlong aralin na iyon ay magiging kapaki-pakinabang sa isang tao, kung saan maririnig niya ang limang salita ng teorya, malulutas ang limang primitive na problema, at, bilang resulta, makakatanggap ng A para sa katotohanang wala siyang alam.
Ngunit napakahalaga na makapag-isip nang pasaklaw.
Pangunahing bahagi
Sa orihinal na kahulugan nito, ang salitang "induction" ay inilapat sa pangangatwiran kung saan ang mga pangkalahatang konklusyon ay nakuha batay sa isang bilang ng mga tiyak na pahayag. Ang pinakasimpleng paraan ng pangangatwiran ng ganitong uri ay kumpletong induction. Narito ang isang halimbawa ng gayong pangangatwiran.
Hayaang kailanganin na itatag na ang bawat natural na numero n sa loob ng 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Ang siyam na pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapakita na ang bawat isa sa mga numerong interesado tayo ay talagang kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang simpleng termino.
Kaya, ang kumpletong induction ay binubuo ng pagpapatunay ng pangkalahatang pahayag nang hiwalay sa bawat isa sa isang tiyak na bilang ng mga posibleng kaso.
Minsan ang pangkalahatang resulta ay maaaring mahulaan pagkatapos isaalang-alang ang hindi lahat, ngunit isang sapat na malaking bilang ng mga partikular na kaso (ang tinatawag na hindi kumpletong induction).
Ang resulta na nakuha sa pamamagitan ng hindi kumpletong induction ay nananatili, gayunpaman, isang hypothesis lamang hanggang sa ito ay mapatunayan sa pamamagitan ng tumpak na mathematical na pangangatwiran, na sumasaklaw sa lahat ng mga espesyal na kaso. Sa madaling salita, ang hindi kumpletong induction sa matematika ay hindi itinuturing na isang lehitimong paraan ng mahigpit na patunay, ngunit isang makapangyarihang paraan para sa pagtuklas ng mga bagong katotohanan.
Hayaan, halimbawa, gusto mong mahanap ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero. Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso:
1+3+5+7+9=25=5 2
Matapos isaalang-alang ang ilang mga espesyal na kaso, ang sumusunod na pangkalahatang konklusyon ay nagmumungkahi mismo:
1+3+5+…+(2n-1)=n 2
mga. ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero ay n 2
Siyempre, ang obserbasyon na ginawa ay hindi pa magsisilbing patunay ng bisa ng ibinigay na formula.
Ang kumpletong induction ay may limitadong mga aplikasyon lamang sa matematika. Maraming kawili-wiling mathematical na pahayag ang sumasaklaw sa walang katapusang bilang ng mga espesyal na kaso, ngunit hindi namin magawang subukan ang mga ito para sa walang katapusang bilang ng mga kaso. Ang hindi kumpletong induction ay kadalasang humahantong sa mga maling resulta.
Sa maraming mga kaso, ang paraan sa labas ng ganitong uri ng kahirapan ay ang paggamit ng isang espesyal na paraan ng pangangatwiran, na tinatawag na paraan ng matematikal na induction. Ito ay ang mga sumusunod.
Ipagpalagay na kailangan mong patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag para sa anumang natural na numero n (halimbawa, kailangan mong patunayan na ang kabuuan ng unang n odd na mga numero ay katumbas ng n 2). Ang direktang pag-verify ng pahayag na ito para sa bawat halaga ng n ay imposible, dahil ang hanay ng mga natural na numero ay walang katapusan. Upang patunayan ang pahayag na ito, suriin muna ang bisa nito para sa n=1. Pagkatapos ay pinatunayan nila na para sa anumang likas na halaga ng k, ang bisa ng pahayag na isinasaalang-alang para sa n=k ay nagpapahiwatig ng bisa nito para sa n=k+1.
Pagkatapos ang pahayag ay itinuturing na napatunayan para sa lahat n. Sa katunayan, ang pahayag ay totoo para sa n=1. Ngunit totoo rin ito para sa susunod na numero n=1+1=2. Ang bisa ng pahayag para sa n=2 ay nagpapahiwatig ng bisa nito para sa n=2+
1=3. Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng pahayag para sa n=4, atbp. Malinaw na, sa huli, maaabot natin ang anumang natural na bilang n. Nangangahulugan ito na ang pahayag ay totoo para sa alinmang n.
Sa pagbubuod ng sinabi, binubuo namin ang sumusunod na pangkalahatang prinsipyo.
Ang prinsipyo ng mathematical induction.
Kung ang isang pangungusap na A(n), depende sa isang natural na numero n, ay totoo para sa n=1 at mula sa katotohanan na ito ay totoo para sa n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay totoo rin para sa ang susunod na numero n=k +1, pagkatapos ay ang pagpapalagay na A(n) ay totoo para sa anumang natural na bilang n.
Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag hindi para sa lahat ng natural na numero, ngunit para lamang sa n>p, kung saan ang p ay isang nakapirming natural na numero. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng mathematical induction ay nabuo bilang mga sumusunod.
Kung totoo ang proposisyon A(n) para sa n=p at kung A(k)ÞA(k+1) para sa anumang k>p, totoo ang proposisyon A(n) para sa anumang n>p.
Ang patunay gamit ang paraan ng mathematical induction ay isinasagawa bilang mga sumusunod. Una, ang pahayag na patunayan ay sinusuri para sa n=1, i.e. ang katotohanan ng pahayag A(1) ay itinatag. Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na batayan ng induction. Pagkatapos ay darating ang bahagi ng patunay na tinatawag na induction step. Sa bahaging ito, pinatutunayan nila ang bisa ng pahayag para sa n=k+1 sa ilalim ng pagpapalagay ng bisa ng pahayag para sa n=k (induction assumption), i.e. patunayan na A(k)ÞA(k+1).
Patunayan na 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.
Solusyon: 1) Mayroon kaming n=1=1 2 . Kaya naman,
ang pahayag ay totoo para sa n=1, ibig sabihin. A(1) ay totoo.
2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1).
Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang maging totoo ang pahayag para sa n=k, i.e.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
Patunayan natin na ang pahayag ay totoo rin para sa susunod na natural na bilang n=k+1, i.e. Ano
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
talaga,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
Kaya, A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang pagpapalagay na A(n) ay totoo para sa anumang nÎN.
Patunayan mo yan
1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), kung saan ang x¹1
Solusyon: 1) Para sa n=1 nakukuha natin
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
samakatuwid, para sa n=1 ang formula ay tama; A(1) ay totoo.
2) Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang maging totoo ang formula para sa n=k, i.e.
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).
Patunayan natin na pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
Sa totoo lang
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
Kaya, A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang formula ay totoo para sa anumang natural na numero n.
Patunayan na ang bilang ng mga dayagonal ng isang matambok n-gon ay katumbas ng n(n-3)/2.
Solusyon: 1) Para sa n=3 ang pahayag ay totoo
At ang 3 ay makabuluhan, dahil sa isang tatsulok
A 3 =3(3-3)/2=0 diagonal;
A 2 A(3) ay totoo.
2) Ipagpalagay natin na sa bawat
isang matambok na k-gon ay may-
A 1 x A k =k(k-3)/2 diagonal.
At k Patunayan natin na pagkatapos ay sa isang matambok
(k+1)-gon na numero
diagonal A k+1 =(k+1)(k-2)/2.
Hayaang ang A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ay isang matambok (k+1)-gon. Gumuhit tayo ng dayagonal na A 1 A k dito. Upang kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga diagonal nito (k+1)-gon, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga diagonal sa k-gon A 1 A 2 ...A k , idagdag ang k-2 sa resultang numero, i.e. ang bilang ng mga diagonal ng (k+1)-gon na nagmumula sa vertex A k+1, at, bilang karagdagan, ang dayagonal na A 1 A k ay dapat isaalang-alang.
kaya,
k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.
Kaya, A(k)ÞA(k+1). Dahil sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang convex n-gon.
Patunayan na para sa alinman sa mga sumusunod na pahayag ay totoo:
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos
X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.
Nangangahulugan ito na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na n=k
X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.
3) Isaalang-alang ang pahayag na ito para sa n=k+1
X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
Napatunayan namin na totoo ang pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na bilang n.
Patunayan na para sa anumang natural na numero n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
Solusyon: 1) Hayaan n=1.
Pagkatapos X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
Nakikita natin na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k
X k =k 2 (k+1) 2 /4.
3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1, i.e.
X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
Mula sa patunay sa itaas ay malinaw na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na bilang n.
Patunayan mo yan
((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), kung saan n>2.
Solusyon: 1) Para sa n=2 ang pagkakakilanlan ay mukhang: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),
mga. totoo iyon.
2) Ipagpalagay na ang expression ay totoo para sa n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).
3) Patunayan natin ang kawastuhan ng expression para sa n=k+1.
(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +
1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´
´((k+1) 2 +(k+1)+1).
Napatunayan namin na totoo ang pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang n>2
Patunayan mo yan
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
para sa anumang natural n.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos
1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.
2) Ipagpalagay na n=k, kung gayon
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).
3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).
Ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1 ay napatunayan din, samakatuwid ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na bilang n.
Patunayan na tama ang pagkakakilanlan
(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
para sa anumang natural n.
1) Para sa n=1 ang pagkakakilanlan ay totoo 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).
2) Ipagpalagay na para sa n=k
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).
3) Patunayan natin na totoo ang pagkakakilanlan para sa n=k+1.
(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).
Mula sa patunay sa itaas ay malinaw na ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na bilang n.
Patunayan na ang (11 n+2 +12 2n+1) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos
11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.
Ngunit ang (23'133) ay nahahati sa 133 na walang nalalabi, na nangangahulugan na para sa n=1 ang pahayag ay totoo; A(1) ay totoo.
2) Ipagpalagay na ang (11 k+2 +12 2k+1) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi.
3) Patunayan natin iyan sa kasong ito
(11 k+3 +12 2k+3) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi. Sa katunayan, 11 k+3 +12 2l+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +
+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .
Ang resultang kabuuan ay hinati ng 133 na walang nalalabi, dahil ang unang termino nito ay nahahati sa 133 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay, at sa pangalawa sa mga salik ay 133. Kaya, A(k)ÞA(k+1). Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang pahayag.
Patunayan na para sa anumang n 7 n -1 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi.
Solusyon: 1) Hayaan ang n=1, pagkatapos ay ang X 1 =7 1 -1=6 ay hinati sa 6 na walang natitira. Nangangahulugan ito na kapag n=1 ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na para sa n=k
Ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi.
3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.
X k+1 =7 k+1 -1=7'7 k -7+6=7(7 k -1)+6.
Ang unang termino ay nahahati ng 6, dahil ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangalawang termino ay 6. Nangangahulugan ito na ang 7 n -1 ay isang multiple ng 6 para sa anumang natural na n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang pahayag.
Patunayan na ang 3 3n-1 +2 4n-3 para sa isang arbitrary na natural n ay nahahati ng 11.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos
Ang X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ay hinati sa 11 na walang nalalabi. Nangangahulugan ito na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na para sa n=k
X k =3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 nang walang natitira.
3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =
27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +
11'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11'3 3k-1 .
Ang unang termino ay nahahati ng 11 nang walang natitira, dahil ang 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay nahahati ng 11, dahil ang isa sa mga kadahilanan nito ay ang numero 11. Nangangahulugan ito na ang kabuuan ay nahahati sa 11 nang walang natitira para sa anumang natural na bilang n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang pahayag.
Patunayan na ang 11 2n -1 para sa isang arbitrary na natural na n ay nahahati ng 6 na walang nalalabi.
Solusyon: 1) Hayaang n=1, pagkatapos ay 11 2 -1=120 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi. Nangangahulugan ito na kapag n=1 ang pahayag ay totoo.
2) Ipagpalagay na para sa n=k
11 2k -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira.
11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).
Ang parehong termino ay nahahati sa 6 na walang nalalabi: ang una ay naglalaman ng maramihang 6, ang bilang na 120, at ang pangalawa ay nahahati ng 6 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay. Nangangahulugan ito na ang kabuuan ay nahahati sa 6 na walang natitira. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang pahayag.
Patunayan na ang 3 3n+3 -26n-27 para sa isang arbitrary na natural na bilang n ay nahahati sa 26 2 (676) nang walang nalalabi.
Solusyon: Una nating pinatunayan na ang 3 3n+3 -1 ay nahahati sa 26 na walang natitira.
- Kapag n=0
- Ipagpalagay natin na para sa n=k
- Patunayan natin na ang pahayag
3 3 -1=26 ay hinati sa 26
3 3k+3 -1 ay nahahati sa 26
totoo para sa n=k+1.
3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – hinati sa 26
Ngayon ay isakatuparan natin ang patunay ng pahayag na nabuo sa pahayag ng problema.
1) Malinaw, kapag n=1 ang pahayag ay totoo
3 3+3 -26-27=676
2) Ipagpalagay na para sa n=k
ang expression na 3 3k+3 -26k-27 ay hinati sa 26 2 na walang nalalabi.
3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).
Ang parehong termino ay nahahati ng 26 2; ang una ay nahahati ng 26 2 dahil napatunayan natin na ang expression sa panaklong ay nahahati ng 26, at ang pangalawa ay nahahati ng induction hypothesis. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang pahayag.
Patunayan na kung n>2 at x>0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
(1+x) n >1+n´x.
Solusyon: 1) Para sa n=2 ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto, dahil
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.
Kaya ang A(2) ay totoo.
2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1), kung k> 2. Ipagpalagay na totoo ang A(k), ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay
(1+x) k >1+k´x. (3)
Patunayan natin na ang A(k+1) ay totoo rin, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay
(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.
Sa katunayan, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (3) sa positibong numero 1+x, nakukuha natin
(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).
Isaalang-alang natin ang kanang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay
stva; meron kami
(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.
Bilang resulta, nakukuha namin iyon
(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.
Kaya, A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, maaaring pagtalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay totoo para sa anumang
Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 para sa a> 0.
Solusyon: 1) Kapag m=1
(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 magkabilang panig ay pantay.
2) Ipagpalagay na para sa m=k
(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2
3) Patunayan natin na para sa m=k+1 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+
+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +
+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+
+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .
Napatunayan namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa m=k+1, samakatuwid, sa pamamagitan ng pamamaraan ng induction ng matematika, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural na m.
Patunayan na para sa n>6 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
3 n >n´2 n+1 .
Solusyon: Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
- Para sa n=7 mayroon kami
- Ipagpalagay natin na para sa n=k
3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7
totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
3) Patunayan natin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1.
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).
Mula k>7, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay halata.
Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural na bilang n.
Patunayan na para sa n>2 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).
Solusyon: 1) Para sa n=3 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).
- Ipagpalagay natin na para sa n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).
3) Patunayan natin ang bisa ng hindi
pagkakapantay-pantay para sa n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).
Patunayan natin na 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û
Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ
Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k Ang huli ay halata, at samakatuwid 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1). Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan. Konklusyon Sa partikular, sa pamamagitan ng pag-aaral ng pamamaraan ng matematikal na induction, nadagdagan ko ang aking kaalaman sa larangang ito ng matematika, at natutunan din na malutas ang mga problema na dati ay lampas sa aking kapangyarihan. Ang mga ito ay pangunahing lohikal at nakakaaliw na mga gawain, i.e. lamang ang mga nagdaragdag ng interes sa matematika mismo bilang isang agham. Ang paglutas ng mga naturang problema ay nagiging isang nakakaaliw na aktibidad at maaaring makaakit ng higit pa at mas mausisa na mga tao sa mathematical labyrinths. Sa aking palagay, ito ang batayan ng anumang agham. Sa patuloy na pag-aaral ng pamamaraan ng mathematical induction, susubukan kong matutunan kung paano ilapat ito hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa paglutas ng mga problema sa pisika, kimika at buhay mismo. MATHEMATICS: LECTURES, PROBLEMA, SOLUTIONS Teksbuk / V.G. Boltyansky, Yu.V. Sidorov, M.I. Shabunin. Potpourri LLC 1996. ALGEBRA AT MGA SIMULA NG PAGSUSURI Teksbuk / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Weitz. "Enlightenment" 1975. Upang gawin ito, suriin muna ang katotohanan ng pahayag numero 1 - induction base, at pagkatapos ay napatunayan na kung ang pahayag na may numero ay totoo n, kung gayon ang sumusunod na pahayag na may numero ay totoo rin n + 1 - hakbang ng induction, o induction transition. Ang patunay sa pamamagitan ng induction ay maaaring malinaw na ipinakita sa anyo ng tinatawag na prinsipyo ng domino. Hayaan ang anumang bilang ng mga domino tile na ilagay sa isang hilera sa paraang ang bawat domino tile, kapag bumabagsak, ay kinakailangang i-overturn ang domino stone kasunod nito (ito ang inductive transition). Pagkatapos, kung itulak natin ang unang buto (ito ang base ng induction), kung gayon ang lahat ng mga buto sa hilera ay mahuhulog. Ang lohikal na batayan para sa pamamaraang ito ng patunay ay ang tinatawag na axiom ng induction, ang ikalima sa mga axiom ni Peano na tumutukoy sa mga natural na numero. Ang kawastuhan ng paraan ng induction ay katumbas ng katotohanan na sa anumang subset ng mga natural na numero ay may kaunting elemento. Mayroon ding pagkakaiba-iba, ang tinatawag na prinsipyo ng kumpletong induction ng matematika. Narito ang mahigpit na pagbabalangkas nito: Ang prinsipyo ng kumpletong mathematical induction ay katumbas din ng induction axiom sa Peano's axioms. Gawain. Upang patunayan iyon, anuman ang natural n at totoo q≠ 1, nananatili ang pagkakapantay-pantay Patunay. Naka-on ang induction n. Base, n = 1: Transisyon: Magpanggap tayo Q.E.D. Komento: kawastuhan ng pahayag P n sa patunay na ito - kapareho ng katotohanan ng pagkakapantay-pantay Wikimedia Foundation. 2010. Ang induction ng matematika sa matematika ay isa sa mga pamamaraan ng patunay. Ginagamit upang patunayan ang katotohanan ng isang tiyak na pahayag para sa lahat ng natural na numero. Upang gawin ito, ang katotohanan ng pahayag na may numero 1 ay unang sinusuri batay sa induction, at pagkatapos ay... ... Wikipedia Isang paraan ng pagbuo ng isang teorya, kung saan ito ay nakabatay sa ilang mga probisyon nito - axioms o postulates - kung saan ang lahat ng iba pang mga probisyon ng teorya (theorems) ay hinuhusgahan sa pamamagitan ng pangangatwiran, na tinatawag na proofs m i. Mga panuntunan ayon sa Crimea...... Philosophical Encyclopedia Ang induction (lat. inductio guidance) ay ang proseso ng lohikal na inference batay sa paglipat mula sa isang partikular na sitwasyon tungo sa isang pangkalahatan. Ang inductive inference ay nag-uugnay sa mga partikular na lugar sa konklusyon hindi sa pamamagitan ng mga batas ng lohika, ngunit sa halip sa pamamagitan ng ilang ... ... Wikipedia GENETIC NA PARAAN- isang paraan ng pagtukoy sa nilalaman at kakanyahan ng paksang pinag-aaralan hindi sa pamamagitan ng convention, idealization o lohikal na konklusyon, ngunit sa pamamagitan ng pag-aaral ng pinagmulan nito (batay sa pag-aaral ng mga dahilan na humantong sa paglitaw nito, ang mekanismo ng pagbuo). Malawak...... Pilosopiya ng Agham: Glosaryo ng Pangunahing Termino Isang paraan ng pagbuo ng isang siyentipikong teorya kung saan ito ay nakabatay sa ilang mga paunang probisyon (mga paghatol) ng isang axiom (Tingnan ang Axiom), o Postulates, kung saan ang lahat ng iba pang mga pahayag ng agham na ito (theorems (Tingnan ang Theorem)) ay dapat na mahihinuha. .... Great Soviet Encyclopedia axiomatic na pamamaraan- AXIOMATIC METHOD (mula sa Greek axioma) ay isang tinatanggap na posisyon - isang paraan ng pagbuo ng isang siyentipikong teorya, kung saan ang mga axioms, postulates at mga pahayag na dating nagmula sa kanila ang ginagamit sa mga patunay. Sa unang pagkakataon ay malinaw na ipinakita... ... Encyclopedia of Epistemology at Philosophy of Science Isa sa mga pamamaraan ng error sa teorya para sa pagtatantya ng hindi kilalang dami mula sa mga resulta ng pagsukat na naglalaman ng mga random na error. Ginagamit din ang N.K.M. upang tantiyahin ang representasyon ng isang naibigay na function ng iba pang (mas simple) na function at kadalasang lumalabas na... Mathematical Encyclopedia Ang mathematical induction ay isa sa mga pamamaraan ng mathematical proof, na ginagamit upang patunayan ang katotohanan ng isang tiyak na pahayag para sa lahat ng natural na numero. Upang gawin ito, suriin muna ang ... Wikipedia Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Induction. Ang induction (lat. inductio guidance) ay ang proseso ng lohikal na inference batay sa paglipat mula sa isang partikular na sitwasyon tungo sa isang pangkalahatan. Inductive inference connects particular premises... ... Wikipedia MBOU Lyceum "Teknikal at Pang-ekonomiya"
PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION
PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION.
PALIWANAG TALA
Ang methodological development na "Paraan ng mathematical induction" ay pinagsama-sama para sa mga mag-aaral ng ika-10 baitang ng isang mathematical profile. Pangunahing layunin: upang ipakilala sa mga mag-aaral ang pamamaraan ng matematikal na induction at ituro kung paano ilapat ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema. Ang metodolohikal na pag-unlad ay tumutugon sa mga isyu ng elementarya na matematika: mga problema sa divisibility, patunay ng mga pagkakakilanlan, patunay ng hindi pagkakapantay-pantay, mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado ay iminungkahi, kabilang ang mga problema na iminungkahi sa mga Olympiad. Napakahusay ng papel ng mga inductive na konklusyon sa mga pang-eksperimentong agham. Ibinibigay nila ang mga probisyon kung saan ang mga karagdagang konklusyon ay iginuhit sa pamamagitan ng pagbabawas. Pangalan paraan ng mathematical induction mapanlinlang - sa katunayan, ang pamamaraang ito ay deduktibo at nagbibigay ng mahigpit na patunay ng mga pahayag na nahulaan sa pamamagitan ng induction. Ang pamamaraan ng mathematical induction ay nakakatulong upang matukoy ang mga koneksyon sa pagitan ng iba't ibang sangay ng matematika at tumutulong sa pagbuo ng matematikal na kultura ng mag-aaral. Kahulugan ng paraan ng mathematical induction. Kumpleto at hindi kumpletong induction. Patunay ng hindi pagkakapantay-pantay. Patunay ng pagkakakilanlan. Paglutas ng mga problema sa divisibility. Paglutas ng iba't ibang mga problema sa paksang "Paraan ng induction ng matematika". PANITIKAN PARA SA MGA GURO
1. M.L. Galitsky. Malalim na pag-aaral ng kurso ng algebra at mathematical analysis. – M. Edukasyon. 1986. 2. L.I.Zvavich. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic. M. Bustard.2001. 3. N.Ya.Vilenkin. Algebra at mathematical analysis. M Enlightenment.1995. 4. Yu.V.Mikheev. Paraan ng mathematical induction. NSU.1995. PANITIKAN PARA SA MGA MAG-AARAL
1. N.Ya.Vilenkin. Algebra at mathematical analysis. M Enlightenment.1995. 2. Yu.V.Mikheev. Paraan ng mathematical induction. NSU.1995. MGA KEYWORDS
Induction, axiom, prinsipyo ng mathematical induction, complete induction, incomplete induction, statement, identity, inequality, divisibility. DIDACTIC APPENDIX SA PAKSA
"PARAAN NG MATHEMATICAL INDUCTION".
Aralin #1.
Kahulugan ng paraan ng mathematical induction.
Ang pamamaraan ng mathematical induction ay isa sa mga pinaka-epektibong paraan ng paghahanap ng mga bagong resulta at pagpapatunay ng katotohanan ng mga pagpapalagay na ginawa. Bagama't hindi bago ang pamamaraang ito sa matematika, hindi nawawala ang interes dito. Sa kauna-unahang pagkakataon sa isang malinaw na pagtatanghal, ang pamamaraan ng matematikal na induction ay ginamit noong ika-17 siglo ng namumukod-tanging Pranses na siyentipiko na si Blaise Pascal nang pinatutunayan ang mga katangian ng numerong tatsulok, na mula noon ay nagdala ng kanyang pangalan. Gayunpaman, ang ideya ng induction ng matematika ay kilala sa mga sinaunang Greeks. Ang pamamaraan ng mathematical induction ay batay sa prinsipyo ng mathematical induction, na tinatanggap bilang isang axiom. Tingnan natin ang ideya ng induction ng matematika gamit ang mga halimbawa. Halimbawa Blg. 1.
Ang parisukat ay nahahati sa dalawang bahagi ng isang segment, pagkatapos ay ang isa sa mga resultang bahagi ay nahahati sa dalawang bahagi, at iba pa. Tukuyin kung gaano karaming mga bahagi ang parisukat ay mahahati sa P hakbang? Solusyon. Pagkatapos ng unang hakbang, ayon sa kondisyon, makakakuha tayo ng 2 bahagi. Sa pangalawang hakbang, iniiwan namin ang isang bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang pangalawa sa 2 bahagi at kumuha ng 3 bahagi. Sa ikatlong hakbang, iniiwan namin ang 2 bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang pangatlo sa dalawang bahagi at kumuha ng 4 na bahagi. Sa ika-apat na hakbang, iniiwan namin ang 3 bahagi na hindi nagbabago, at hatiin ang huling bahagi sa dalawang bahagi at kumuha ng 5 bahagi. Sa ikalimang hakbang makakakuha tayo ng 6 na bahagi. Ito ay humihingi ng mungkahi na sa pamamagitan ng P mga hakbang na ating makukuha (n+1) Bahagi. Ngunit ang panukalang ito ay kailangang patunayan. Ipagpalagay natin na pagkatapos Upang mga hakbang na hahatiin ang parisukat (k+1) Bahagi. Pagkatapos ay sa (k+1) hakbang na ating ginagawa Upang ang mga bahagi ay iiwang hindi magbabago, ngunit (k+1) hatiin ang bahagi sa dalawang bahagi at makuha (k+2) mga bahagi. Napansin mong maaari kang makipagtalo sa ganitong paraan hangga't gusto mo, ad infinitum. Ibig sabihin, ang assumption natin ay na through P mga hakbang na hahatiin ang parisukat (n+1) bahagi ay nagiging napatunayan. Halimbawa Blg. 2.
Ang aking lola ay may isang apo na talagang mahilig sa jam, at lalo na ang uri na dumating sa isang litro ng garapon. Pero hindi ako pinayagan ng lola ko na hawakan siya. At binalak ng mga apo na linlangin ang kanilang lola. Nagpasya siyang kumain ng 1/10 litro mula sa garapon na ito araw-araw at lagyan ng tubig, hinahalo nang maigi. Ilang araw ang aabutin para matuklasan ni lola ang panlilinlang kung ang jam ay nananatiling pareho sa hitsura kapag natunaw ng kalahati ng tubig? Solusyon. Alamin natin kung gaano karaming purong jam ang natitira sa garapon pagkatapos P araw. Pagkatapos ng unang araw, ang isang halo na binubuo ng 9/10 jam at 1/10 na tubig ay mananatili sa garapon. Pagkatapos ng dalawang araw, 1/10 ng pinaghalong tubig at jam ang mawawala sa garapon at mananatili (1 litro ng halo ay naglalaman ng 9/10 litro ng jam, 1/10 litro ng halo ay naglalaman ng 9/100 litro ng jam. ) 9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 litro ng jam. Sa ikatlong araw, mawawala sa garapon ang 1/10 litro ng halo na binubuo ng 81/100 jam at 19/100 na tubig. Ang 1 litro ng halo ay naglalaman ng 81/100 litro ng jam, 1/10 litro ng halo ay naglalaman ng 81/1000 litro ng jam. 81/100 – 81/1000= 729/1000=(9/10) 3 litro ng jam ang mananatili pagkatapos ng 3 araw, at ang natitira ay kukunin ng tubig. Lumilitaw ang isang pattern. Sa pamamagitan ng P mga araw na natitira sa bangko (9/10) P siksikan ako. Ngunit ito, muli, ay aming hula lamang. Hayaan Upang– isang arbitrary na natural na numero. Ipagpalagay natin na pagkatapos Upang araw ay may (9/10) litro ng jam na natitira sa garapon. Tingnan natin kung ano ang nasa bangko sa ibang araw, iyon ay, sa (k+1) araw. Mawawala sa garapon 1/10l isang halo na binubuo ng (9/10)
Upang l jam at tubig. SA 1l ang timpla ay (9/10)
Upang l jam, sa 1/10l pinaghalong (9/10)
k+1 l jam. Ngayon ay ligtas nating masasabi iyon sa pamamagitan ng P araw na natitira sa bangko (9/10)
P l jam. Sa 6 na araw magkakaroon ang bangko 531444/1000000l jam, pagkatapos ng 7 araw - 4782969/10000000l jam, iyon ay, wala pang kalahati. Sagot: After 7 days, matutuklasan ni lola ang panloloko. Subukan nating i-highlight ang pinakamahalagang bagay sa paglutas ng mga problemang isinasaalang-alang. Sinimulan naming lutasin ang bawat isa sa kanila sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa indibidwal o, gaya ng sinasabi nila, mga espesyal na kaso. Pagkatapos, batay sa aming mga obserbasyon, gumawa kami ng ilang pagpapalagay P(n), depende sa natural P.
ang pahayag ay napatunayan, iyon ay, napatunayan P(1), P(2), P(3);
nagmungkahi na P(n) wasto para sa p=k at napagpasyahan na ito ay magiging totoo sa susunod n, n=k+1.
At pagkatapos ay nangangatuwiran sila ng ganito: P(1) tama, P(2) tama, P(3) tama, P(4) tama... ibig sabihin tama P(p).
Ang prinsipyo ng mathematical induction.
Pahayag P(n), depende sa natural P, wasto para sa lahat ng natural P, Kung 1) napatunayan ang bisa ng pahayag kung kailan n=1;
2) mula sa pagpapalagay ng bisa ng pahayag P(n) sa p=k dapat hustisya P(n) sa n=k+1.
Sa matematika, ang prinsipyo ng mathematical induction ay pinili, bilang panuntunan, bilang isa sa mga axiom na tumutukoy sa natural na serye ng mga numero, at, samakatuwid, ay tinatanggap nang walang patunay. Ang paraan ng patunay gamit ang prinsipyo ng mathematical induction ay karaniwang tinatawag na paraan ng mathematical induction. Tandaan na ang paraang ito ay malawakang ginagamit sa pagpapatunay ng mga teorema, pagkakakilanlan, hindi pagkakapantay-pantay sa paglutas ng mga problema sa divisibility at marami pang ibang problema. Aralin #2
Kumpleto at hindi kumpletong induction.
Sa kaso kung saan ang isang mathematical statement ay may kinalaman sa isang may hangganang bilang ng mga bagay, ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagsubok para sa bawat bagay, halimbawa, ang pahayag na "Bawat dalawang-digit na even na numero ay ang kabuuan ng dalawang prime number." Ang paraan ng patunay kung saan sinusuri natin ang isang pahayag para sa isang may hangganang bilang ng mga kaso ay tinatawag na kumpletong mathematical induction. Ang pamamaraang ito ay medyo bihirang ginagamit, dahil ang mga pahayag ay madalas na isinasaalang-alang sa mga walang katapusan na hanay. Halimbawa, ang theorem na "Anumang kahit na numero ay katumbas ng kabuuan ng dalawang prime na numero" ay hindi pa napatunayan o hindi napatunayan. Kahit na sinubukan natin ang theorem na ito para sa unang bilyon, hindi ito magdadala sa atin ng isang hakbang na mas malapit sa patunay nito. Sa mga natural na agham, ginagamit ang hindi kumpletong induction, sinusuri ang eksperimento nang maraming beses at inililipat ang resulta sa lahat ng mga kaso. Halimbawa Blg. 3.
Hulaan natin, gamit ang hindi kumpletong induction, ang formula para sa kabuuan ng mga cube ng mga natural na numero. Solusyon. 1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 . Patunay. Hayaan itong maging totoo para sa p=k.
Patunayan natin na totoo iyon n=k+1.
Konklusyon: ang formula para sa kabuuan ng mga cube ng mga natural na numero ay totoo para sa anumang natural na numero P.
Halimbawa Blg. 4.
Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay at hulaan kung anong pangkalahatang batas ang humahantong sa mga halimbawang ito. Solusyon. 1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
Halimbawa Blg. 5.
Isulat ang mga sumusunod na expression bilang kabuuan: 1) Halimbawa Blg. 6.
Isulat ang mga sumusunod na halaga gamit ang sign 2) Halimbawa Blg. 7.
Isulat ang mga sumusunod na expression bilang mga produkto: 1) 3) Halimbawa Blg. 8.
Isulat ang mga sumusunod na akda gamit ang tanda (kapital na letrang Griyego na "pi") 1) Halimbawa Blg. 9.
Kinakalkula ang halaga ng isang polynomial Tama ba ang palagay na ito? Solusyon. Kung ang bawat termino ng isang kabuuan ay nahahati sa isang numero, kung gayon ang kabuuan ay hinati sa numerong iyon, Ang pagsusuri sa isang may hangganang bilang ng mga kaso ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika: nang hindi nagbibigay ng patunay ng isang partikular na pahayag, nakakatulong itong hulaan ang tamang pagbabalangkas ng pahayag na ito kung hindi pa ito nalalaman. Ganito ang naging hypothesis ni Goldbach, isang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, na anumang natural na numero, simula sa dalawa, ay ang kabuuan ng hindi hihigit sa tatlong prime number. Aralin #3.
Ang paraan ng mathematical induction ay nagpapahintulot sa isa na patunayan ang iba't ibang pagkakakilanlan. Halimbawa Blg. 10. Patunayan natin iyan para sa lahat P taglay ang pagkakakilanlan Solusyon. Ilagay natin Kailangan nating patunayan iyon Patunayan natin na Noon mula sa katotohanan ng pagkakakilanlan Gamit ang prinsipyo ng mathematical induction, ang katotohanan ng pagkakakilanlan ay napatunayan para sa lahat P.
Halimbawa Blg. 11.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. ang mga nagresultang pagkakapantay-pantay sa bawat termino. Aralin Blg. 4.
Katibayan ng pagkakakilanlan gamit ang pamamaraan ng mathematical induction.
Halimbawa Blg. 12.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. Gamit ang prinsipyo ng mathematical induction, napatunayan namin na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat P.
Halimbawa Blg. 13.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. Gamit ang prinsipyo ng mathematical induction, napatunayan namin na ang pahayag ay totoo para sa anumang natural P.
Halimbawa Blg. 14.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. Halimbawa Blg. 15.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan 1)
n=1;
2) para sa p=k
pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay 3) pinatunayan namin na ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan p=k+1:
Konklusyon: ang pagkakakilanlan ay may bisa para sa anumang natural P.
Halimbawa Blg. 16. Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. Kung n=1
, Iyon Hayaang manatili ang pagkakakilanlan p=k.
Patunayan natin na pinanghahawakan ang pagkakakilanlan n=k+1.
Kung gayon ang pagkakakilanlan ay totoo para sa anumang natural P.
Aralin Blg. 5.
Katibayan ng pagkakakilanlan gamit ang pamamaraan ng mathematical induction.
Halimbawa Blg. 17. Patunayan natin ang pagkakakilanlan Patunay. Kung n=2
, pagkatapos ay makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay: Hayaang maging totoo ang pagkakapantay-pantayp=k:
Patunayan natin ang bisa ng pahayag kung kailan n=k+1.
Ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pagkakakilanlan ay napatunayan. Halimbawa Blg. 18.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Sa n=2
ang pagkakakilanlang ito ay maaaring muling isulat sa isang napakasimpleng anyo at halatang totoo. Hayaan sa p=k Talaga Patunayan natin ang bisa ng pahayag kung kailann=k+1,
ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay ay mayroong: . Kaya, napatunayan namin na ang pagkakakilanlan ay totoo para sa anumang natural na numero n≥2.
Halimbawa Blg. 19.
Patunayan natin ang pagkakakilanlan Sa n=1
nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay: Ipagpalagay natin na kapag p=k nakukuha rin natin ang tamang pagkakapantay-pantay: Patunayan natin na wasto ang pagkakapantay-pantay p=k+1:
Pagkatapos ang pagkakakilanlan ay wasto para sa anumang natural na numero P.
Aralin Blg. 6.
Paglutas ng mga problema sa divisibility.
Halimbawa Blg. 20. Patunayan sa pamamagitan ng mathematical induction na Patunay. Sa n=1
may dibisyon sa6
walang bakas, Hayaan sa p=k
pagpapahayag Patunayan natin na kung kailan p=k+1
pagpapahayag Ang bawat termino ay maramihang 6
, samakatuwid ang kabuuan ay maramihang 6
.
Halimbawa Blg. 21.
Patunay. Sa n=1
ang expression ay nahahati nang walang natitira Hayaan sa p=k
pagpapahayag Sa p=k+1 hinati ng 5
.
Halimbawa Blg. 22.
Patunayan ang divisibility ng isang expression Patunay. Sa n=1 maramihan 16
.
Hayaan sa p=k
Sa p=k+1
Ang lahat ng mga termino ay nahahati ng 16:
ang una ay halata, ang pangalawa ay sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangatlo ay may kahit na numero sa mga bracket. Halimbawa Blg. 23.
Patunayan ang divisibility Patunay. Patunayan muna natin yan Sa n=0
Hayaan sa p=k
Pagkatapos sa p=k+1 hinati ng 26
.
Ngayon ay isasagawa natin ang isang patunay ng pahayag na nabuo sa pahayag ng problema. Sa n=1 hinati ng 676.
Sa p=k
totoo yan Sa p=k+1
.
Ang parehong mga termino ay nahahati ng 676
; una - dahil napatunayan namin ang divisibility sa pamamagitan ng 26
expression sa panaklong, at ang pangalawa ay hinati ayon sa pagpapalagay ng induction. Aralin Blg. 7.
Paglutas ng mga problema sa divisibility.
Halimbawa Blg. 24.
Patunayan mo yan Patunay. Sa n=1
Sa p=k
Sa p=k+1
ang bawat termino ay hinati ng5
walang bakas. Halimbawa Blg. 25.
Patunayan mo yan Patunay. Sa n=1
Hayaan sa p=k
Sa p=k+1 hinati ng 6
nang walang nalalabi, dahil ang bawat termino ay nahahati ng6
walang natitira: ang unang termino ay sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang pangalawa ay halata, ang pangatlo ay dahil Halimbawa Blg. 26.
Patunayan mo yan Patunay. Patunayan natin yan Sa n=1 Sa p=k+1 hinati ng 9
.
Halimbawa Blg. 27.
Patunayan na ito ay nahahati ng15
walang bakas. Patunay. Sa n=1 hinati ng 15
.
Hayaan sa p=k hinati ng 15
walang bakas. Sa p=k+1
Ang unang termino ay maramihang15
sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang pangalawang termino ay isang multiple ng15
– malinaw naman, ang ikatlong termino ay maramihan ng15
, dahil Aralin Blg. 8-9.
Pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mathematical induction
Halimbawa Blg. 28. Sa n=1 meron kami Hayaan sa p=k Sa p=k+1 Kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural P. Halimbawa Blg. 29. Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo Sa n=1 nakukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 4 >1.
Hayaan sa p=k totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Patunayan natin na kung kailan p=k+1 totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Para sa anumang natural Upang may hindi pagkakapantay-pantay. Kung Halimbawa Blg. 30. Hayaan n=1 Ipagpalagay natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa p=k: Sa p=k+1 Halimbawa Blg. 31. Patunayan ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay Patunayan muna natin iyon para sa anumang natural T totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Sa n=1 tama ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay Hayaang manatili ang hindi pagkakapantay-pantay p=k: Sa p=k+1 Aralin Blg. 10.
Paglutas ng mga problema sa paksa
Paraan ng mathematical induction.
Halimbawa Blg. 32. Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli. Kung Patunay. Sa n=1
ang hindi pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay tumatagal ng anyo Dahil sa kondisyon kasi Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanan nito sa p=k ito ay sumusunod na ito ay totoo kahit na n=k+1. Nangangahulugan ito na, sa pamamagitan ng mathematical induction, ito ay humahawak para sa lahat ng natural P.
Halimbawa, Halimbawa Blg. 33.
Hanapin ang lahat ng natural na halagaP
, kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay Solusyon. Sa n=1 patas ang hindi pagkakapantay-pantay. Sa n=2 totoo rin ang hindi pagkakapantay-pantay. Sa n=3 hindi na hawak ang hindi pagkakapantay-pantay. Kapag lang n=6 ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak, kaya maaari nating gawin bilang batayan ng induction n=6.
Ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa ilang natural Para kay:
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan kung Gamit ang paraan ng mathematical induction, patunayan iyon para sa anumang natural n ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay wasto: Solusyon. a) Kailan n= 1 ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Ipagpalagay ang bisa ng pagkakapantay-pantay sa n, ipakita natin ang bisa nito kahit kailan n+ 1. Sa katunayan, Q.E.D. b) Kailan n= 1 ang bisa ng pagkakapantay-pantay ay halata. Mula sa pagpapalagay ng bisa nito sa n dapat Dahil sa pagkakapantay-pantay 1 + 2 + ... + n = n(n+ 1)/2, nakukuha namin 1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 , ibig sabihin, totoo rin ang pahayag kapag n + 1. Halimbawa 1. Patunayan ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay Solusyon. a) Kailan n= 1 ang pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyong 1=1, samakatuwid, P(1) ay totoo. Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, ibig sabihin, pinanghahawakan nito Kaya, ayon sa paraan ng mathematical induction, ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n. Tandaan 2. Ang halimbawang ito ay maaaring nalutas sa ibang paraan. Sa katunayan, ang kabuuan ay 1 + 2 + 3 + ... + n ay ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng isang pag-unlad ng aritmetika sa unang termino a 1 = 1 at pagkakaiba d= 1. Sa bisa ng kilalang pormula b) Kailan n= 1 ang pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyo: 2 1 - 1 = 1 2 o 1=1, ibig sabihin, P(1) ay totoo. Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 at patunayan na ito ay nangyayariP(n + 1):
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 o 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 . Gamit ang induction hypothesis, nakuha namin 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 . kaya, P(n+ 1) ay totoo at, samakatuwid, ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay napatunayan. Tandaan 3. Ang halimbawang ito ay maaaring malutas (katulad ng nauna) nang hindi gumagamit ng paraan ng matematikal na induction. c) Kailan n= 1 ang pagkakapantay-pantay ay totoo: 1=1. Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay ay totoo d) Kailan n= 1 ang pagkakapantay-pantay ay totoo: 1=1. Ipagpalagay natin na ito ay nagaganap Talaga, e) Pag-apruba P(1) totoo: 2=2. Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay Dahil dito, ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa anumang natural n. f) P(1) totoo: Sa katunayan, isinasaalang-alang iyon P(n) hawak, nakukuha namin Kaya, ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan. g) Kailan n= 1 mayroon kami a + b = b + a at samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay patas. Hayaang maging wasto ang binomial formula ni Newton para sa n = k, yan ay, Halimbawa 2. Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay Solusyon. a) Kailan n= 1 nakukuha natin ang tunay na hindi pagkakapantay-pantay 1 + a ≥ 1 + a . Ipagpalagay natin na mayroong hindi pagkakapantay-pantay Sa katunayan, dahil ang a > -1 ay nagpapahiwatig ng + 1 > 0, pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (1) sa (a + 1), nakukuha namin (1 + a) n(1 + a) ≥ (1 + n a )(1 + a ) o (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n a 2 Dahil n a 2 ≥ 0, samakatuwid(1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n isang 2 ≥ 1 + ( n+ 1)a . Kaya, kung P(n) ay totoo, kung gayon P(n+ 1) ay totoo, samakatuwid, ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay totoo. b) Kailan n= 1 ang nakukuha namin x 1 = 1 at samakatuwid x 1 ≥ 1 iyon ay P(1) ay isang patas na pahayag. Magpanggap na tayo P(n) ay totoo, ibig sabihin, kung adica, x 1 ,x 2 ,...,x n - n mga positibong numero na ang produkto ay katumbas ng isa, x 1 x 2 ·...· x n= 1, at x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n. Ipakita natin na ang pangungusap na ito ay nagsasangkot ng katotohanan ng mga sumusunod: kung x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) positibong mga numero tulad na x 1 x 2 ·...· x n · x n+1 = 1, pagkatapos x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang kaso: 1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. Kung gayon ang kabuuan ng mga numerong ito ay ( n+ 1), at ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan; 2) hindi bababa sa isang numero ang iba sa isa, hayaan, halimbawa, na mas malaki sa isa. Tapos, since x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1, mayroong kahit isa pang numero na naiiba sa isa (mas tiyak, mas mababa sa isa). Hayaan x n+ 1 > 1 at x n < 1. Рассмотрим n mga positibong numero Dahil ang (1 - x n)(x n+1 - 1) > 0, pagkatapos n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n = Tandaan 4. Ang pantay na tanda ay mayroong kung at kung lamang x 1 = x 2 = ... = x n = 1. c) Hayaan x 1 ,x 2 ,...,x n- di-makatwirang positibong mga numero. Isaalang-alang ang mga sumusunod n positibong numero: Tandaan 5. Ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan kung at kung lamang x 1 = x 2 = ... = x n . d) P(1) ay isang patas na pahayag: sin 2 a + cos 2 a = 1. Ipagpalagay natin na P(n) ay isang totoong pahayag: Kasalanan 2 n a + cos 2 n a ≤ 1 at ipakita kung ano ang nangyayariP(n+ 1). Talaga, kasalanan 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = kasalanan 2 n isang kasalanan 2 a + cos 2 n isang cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (kung sin 2 a ≤ 1, cos 2 a < 1, и обратно: если cos
2 a ≤ 1, pagkatapos ay kasalanan 2 a < 1). Таким образом, для любого
n TUNGKOL SA N kasalanan 2 n a + cos 2 n ≤ 1 at ang equality sign ay makakamit lamang kapagn = 1.
e) Kailan n= 1 pahayag ay totoo: 1< 3 / 2 . Ipagpalagay natin na f) Isinasaalang-alang ang puna 1, suriin natin P(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, samakatuwid, para sa n= 10 ang pahayag ay totoo. Ipagpalagay natin na 2 n > n 3 (n> 10) at patunayan P(n+ 1), iyon ay 2 n+1 > (n + 1) 3 . Kailan pa n> 10 meron tayo o 2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 o n 3 > 3n 2 + 3n + 1. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay (2 n >
n 3), nakakakuha tayo ng 2 n+1 = 2 n·2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 . Kaya, ayon sa paraan ng mathematical induction, para sa anumang natural n TUNGKOL SA N, n≥ 10 mayroon kaming 2 n > n 3 . Halimbawa 3. Patunayan iyon para sa sinuman n TUNGKOL SA N Solusyon. a) P(1) ay isang tunay na pahayag (0 ay hinati sa 6). Hayaan P(n) ay patas, kumbaga n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) ay nahahati sa 6. Ipakita natin na pagkatapos ito ay nangyayari P(n+ 1), iyon ay, ( n + 1)n(2n+ 1) ay nahahati sa 6. Sa katunayan, dahil kaya, P(n+ 1) ay isang patas na pahayag, at samakatuwid n(2n 2 - 3n+ 1) mahahati ng 6 para sa alinman n TUNGKOL SA N. b) Suriin natin P(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, samakatuwid, P(1) ay isang patas na pahayag. Dapat patunayan na kung 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 ay nahahati sa 11 ( P(n)), pagkatapos ay 62 n + 3 n+2 + 3 n mahahati din sa 11 ( P(n+ 1)). Sa katunayan, mula noong 6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 at tulad ng 6 2 n-2 + 3
n+1 + 3
n-1 at 33 6 2 n-2 ay nahahati sa 11, kung gayon ang kanilang kabuuan ay 6 2n + 3
n+2 + 3
n ay nahahati sa 11. Napatunayan ang pahayag. Induction sa geometry Halimbawa 4. Kalkulahin ang bahagi ng tama 2 n-isang tatsulok na nakasulat sa isang bilog na radius R. Ang tunay na kaalaman sa lahat ng oras ay nakabatay sa pagtatatag ng isang huwaran at pagpapatunay ng katotohanan nito sa ilang mga pangyayari. Sa napakahabang yugto ng pagkakaroon ng lohikal na pangangatwiran, ang mga pormulasyon ng mga tuntunin ay ibinigay, at si Aristotle ay nagtipon pa nga ng isang listahan ng "tamang pangangatwiran." Sa kasaysayan, nakaugalian nang hatiin ang lahat ng hinuha sa dalawang uri - mula sa kongkreto hanggang sa maramihang (induction) at vice versa (deduction). Dapat pansinin na ang mga uri ng ebidensya mula partikular hanggang pangkalahatan at mula pangkalahatan hanggang partikular ay umiiral lamang nang magkakasama at hindi maaaring palitan. Ang terminong "induction" ay may salitang Latin at literal na isinalin bilang "guidance." Sa mas malapit na pag-aaral, maaaring i-highlight ng isa ang istruktura ng salita, katulad ng Latin prefix - in- (nagsasaad ng direktang aksyon papasok o nasa loob) at -duction - panimula. Kapansin-pansin na mayroong dalawang uri - kumpleto at hindi kumpletong induction. Ang buong anyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga konklusyon na nakuha mula sa pag-aaral ng lahat ng mga bagay ng isang tiyak na klase. Hindi kumpleto - mga konklusyon na naaangkop sa lahat ng mga paksa ng klase, ngunit ginawa batay sa pag-aaral ng ilang mga yunit lamang. Ang kumpletong mathematical induction ay isang hinuha batay sa isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa buong klase ng anumang mga bagay na gumagana na konektado sa pamamagitan ng mga relasyon ng isang natural na serye ng mga numero batay sa kaalaman sa functional na koneksyon na ito. Sa kasong ito, ang proseso ng patunay ay nagaganap sa tatlong yugto: Para sa kadalian ng pag-unawa, ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang pamamaraan ng induction ng matematika ay ipinakita sa anyo ng mga problema sa biro. Ito ang gawaing "Polite Queue": Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng paraan ng mathematical induction ay ang problemang "Dimensionless flight": Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema at equation sa pamamagitan ng mathematical induction ay medyo karaniwan. Bilang isang paglalarawan ng pamamaraang ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema. Kundisyon: may mga h bilog sa eroplano. Kinakailangang patunayan na, para sa anumang pag-aayos ng mga numero, ang mapa na kanilang nabuo ay maaaring kulayan nang tama ng dalawang kulay. Solusyon: kapag h=1 ang katotohanan ng pahayag ay halata, kaya ang patunay ay bubuuin para sa bilang ng mga lupon h+1. Tanggapin natin ang pagpapalagay na ang pahayag ay wasto para sa anumang mapa, at may mga h+1 na bilog sa eroplano. Sa pamamagitan ng pag-alis ng isa sa mga bilog mula sa kabuuan, maaari kang makakuha ng isang mapa na may tamang kulay na may dalawang kulay (itim at puti). Kapag ibinabalik ang isang tinanggal na bilog, ang kulay ng bawat lugar ay nagbabago sa kabaligtaran (sa kasong ito, sa loob ng bilog). Ang resulta ay isang mapa na tama ang kulay sa dalawang kulay, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan. Ang aplikasyon ng pamamaraan ng induction ng matematika ay malinaw na ipinapakita sa ibaba. Mga halimbawa ng solusyon: Patunayan na para sa anumang h ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay tama: 1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6. 1. Hayaan ang h=1, na nangangahulugang: R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1 Ito ay sumusunod mula dito na para sa h=1 ang pahayag ay tama. 2. Ipagpalagay na h=d, ang equation ay nakuha: R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1 3. Sa pag-aakalang h=d+1, lumalabas na: R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6 R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6= (d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6. Kaya, ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa h=d+1 ay napatunayan, samakatuwid ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na numero, tulad ng ipinapakita sa halimbawang solusyon sa pamamagitan ng mathematical induction. Gawain Kundisyon: kailangan ng patunay na para sa anumang halaga ng h ang expression na 7 h -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira. Solusyon: 1. Sabihin nating h=1, sa kasong ito: R 1 =7 1 -1=6 (ibig sabihin, hinati sa 6 na walang natitira) Samakatuwid, para sa h=1 ang pahayag ay totoo; 2. Hayaang hatiin ang h=d at 7 d -1 sa 6 na walang nalalabi; 3. Ang patunay ng bisa ng pahayag para sa h=d+1 ay ang formula: R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6 Sa kasong ito, ang unang termino ay nahahati sa 6 ayon sa pagpapalagay ng unang punto, at ang pangalawang termino ay katumbas ng 6. Ang pahayag na ang 7 h -1 ay nahahati ng 6 na walang nalalabi para sa anumang natural na h ay totoo. Kadalasan ang maling pangangatwiran ay ginagamit sa mga patunay dahil sa hindi kawastuhan ng mga lohikal na konstruksiyon na ginamit. Pangunahing nangyayari ito kapag ang istraktura at lohika ng patunay ay nilabag. Ang isang halimbawa ng maling pangangatwiran ay ang sumusunod na paglalarawan. Gawain Kundisyon: kailangan ng patunay na ang anumang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok. Solusyon: 1. Sabihin nating h=1, sa kasong ito ay mayroong 1 bato sa tumpok at ang pahayag ay totoo (batayan); 2. Hayaang totoo para sa h=d na ang isang tumpok ng mga bato ay hindi isang tumpok (pagpapalagay); 3. Hayaan ang h=d+1, kung saan sumusunod na kapag nagdagdag ng isa pang bato, ang hanay ay hindi magiging isang bunton. Ang konklusyon ay nagmumungkahi mismo na ang palagay ay wasto para sa lahat ng natural na h. Ang pagkakamali ay walang kahulugan kung gaano karaming mga bato ang bumubuo ng isang tumpok. Ang ganitong pagkukulang ay tinatawag na madaliang paglalahat sa pamamaraan ng mathematical induction. Ang isang halimbawa ay malinaw na nagpapakita nito. Sa kasaysayan, palagi silang "maglalakad nang magkahawak-kamay." Ang mga siyentipikong disiplina tulad ng lohika at pilosopiya ay naglalarawan sa kanila sa anyo ng mga magkasalungat. Mula sa punto ng view ng batas ng lohika, ang mga inductive na kahulugan ay umaasa sa mga katotohanan, at ang katotohanan ng mga lugar ay hindi tumutukoy sa kawastuhan ng nagresultang pahayag. Kadalasan ang mga konklusyon ay nakuha na may isang tiyak na antas ng posibilidad at pagiging totoo, na, natural, ay dapat na mapatunayan at kumpirmahin ng karagdagang pananaliksik. Ang isang halimbawa ng induction sa logic ay ang sumusunod na pahayag: May tagtuyot sa Estonia, tagtuyot sa Latvia, tagtuyot sa Lithuania. Ang Estonia, Latvia at Lithuania ay mga estado ng Baltic. May tagtuyot sa lahat ng mga estado ng Baltic. Mula sa halimbawa ay mahihinuha natin na ang bagong impormasyon o katotohanan ay hindi makukuha gamit ang paraan ng induction. Ang tanging maaasahan ay ang ilang posibleng katotohanan ng mga konklusyon. Bukod dito, ang katotohanan ng lugar ay hindi ginagarantiyahan ang parehong mga konklusyon. Gayunpaman, ang katotohanang ito ay hindi nangangahulugan na ang induction ay humihina sa mga margin ng pagbabawas: isang malaking bilang ng mga probisyon at mga batas na pang-agham ay napatunayan gamit ang paraan ng induction. Ang isang halimbawa ay ang parehong matematika, biology at iba pang mga agham. Ito ay kadalasang dahil sa paraan ng kumpletong induction, ngunit sa ilang mga kaso ay naaangkop din ang bahagyang induction. Ang kagalang-galang na edad ng induction ay pinahintulutan itong tumagos sa halos lahat ng mga larangan ng aktibidad ng tao - ito ay agham, ekonomiya, at pang-araw-araw na konklusyon. Ang pamamaraan ng induction ay nangangailangan ng isang maingat na saloobin, dahil masyadong marami ang nakasalalay sa bilang ng mga bahagi ng buong pinag-aralan: mas malaki ang bilang na pinag-aralan, mas maaasahan ang resulta. Batay sa tampok na ito, ang mga siyentipikong batas na nakuha sa pamamagitan ng induction ay nasubok nang mahabang panahon sa antas ng mga probabilistikong pagpapalagay upang ihiwalay at pag-aralan ang lahat ng posibleng elemento ng istruktura, koneksyon at impluwensya. Sa agham, ang isang inductive na konklusyon ay batay sa mga makabuluhang tampok, maliban sa mga random na probisyon. Ang katotohanang ito ay mahalaga kaugnay ng mga detalye ng kaalamang pang-agham. Ito ay malinaw na nakikita sa mga halimbawa ng induction sa agham. Mayroong dalawang uri ng induction sa siyentipikong mundo (kaugnay ng paraan ng pag-aaral): Ang unang uri ay nakikilala sa pamamagitan ng methodical (scrupulous) na pagpili ng mga sample ng isang klase (subclasses) mula sa iba't ibang lugar nito. Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng induction ay ang mga sumusunod: ang pilak (o mga silver salt) ay nagpapadalisay ng tubig. Ang konklusyon ay batay sa maraming taon ng mga obserbasyon (isang uri ng pagpili ng mga kumpirmasyon at pagtanggi - pagpili). Ang pangalawang uri ng induction ay batay sa mga konklusyon na nagtatatag ng mga ugnayang sanhi at nagbubukod ng mga pangyayari na hindi tumutugma sa mga katangian nito, lalo na ang pagiging pangkalahatan, pagsunod sa temporal na pagkakasunud-sunod, pangangailangan at hindi malabo. Sa pagbabalik-tanaw sa kasaysayan, ang terminong induction ay unang binanggit ni Socrates. Inilarawan ni Aristotle ang mga halimbawa ng induction sa pilosopiya sa isang mas tinatayang terminolohikal na diksyunaryo, ngunit ang tanong ng hindi kumpletong induction ay nananatiling bukas. Matapos ang pag-uusig ng Aristotelian syllogism, ang inductive na pamamaraan ay nagsimulang makilala bilang mabunga at ang tanging posible sa natural na agham. Ang Bacon ay itinuturing na ama ng induction bilang isang independiyenteng espesyal na pamamaraan, ngunit nabigo siyang paghiwalayin ang induction mula sa paraan ng deduktibo, tulad ng hinihiling ng kanyang mga kontemporaryo. Ang induction ay higit pang binuo ni J. Mill, na isinasaalang-alang ang inductive theory mula sa pananaw ng apat na pangunahing pamamaraan: kasunduan, pagkakaiba, nalalabi at kaukulang mga pagbabago. Hindi nakakagulat na ngayon ang mga nakalistang pamamaraan, kung susuriin nang detalyado, ay deduktibo. Ang pagsasakatuparan ng hindi pagkakapare-pareho ng mga teorya ng Bacon at Mill ay humantong sa mga siyentipiko na pag-aralan ang probabilistikong batayan ng induction. Gayunpaman, kahit na dito mayroong ilang mga sukdulan: ang mga pagtatangka ay ginawa upang bawasan ang induction sa teorya ng probabilidad kasama ang lahat ng kasunod na mga kahihinatnan. Ang induction ay tumatanggap ng boto ng kumpiyansa sa pamamagitan ng praktikal na aplikasyon sa ilang partikular na paksa at salamat sa metric accuracy ng inductive na batayan. Ang isang halimbawa ng induction at deduction sa pilosopiya ay maaaring ituring na Batas ng Universal Gravitation. Sa petsa ng pagkatuklas ng batas, nagawang i-verify ito ni Newton na may katumpakan na 4 na porsyento. At nang suriin pagkalipas ng mahigit dalawang daang taon, nakumpirma ang kawastuhan na may katumpakan na 0.0001 porsyento, bagama't ang pag-verify ay isinagawa ng parehong inductive generalizations. Mas binibigyang pansin ng modernong pilosopiya ang pagbabawas, na idinidikta ng lohikal na pagnanais na makakuha ng bagong kaalaman (o mga katotohanan) mula sa kung ano ang alam na, nang hindi gumagamit ng karanasan o intuwisyon, ngunit gumagamit ng "dalisay" na pangangatwiran. Kapag tinutukoy ang totoong premises sa deductive method, sa lahat ng kaso ang output ay isang totoong pahayag. Ang napakahalagang katangiang ito ay hindi dapat lumalim sa halaga ng inductive method. Dahil ang induction, batay sa mga nakamit ng karanasan, ay nagiging isang paraan ng pagproseso nito (kabilang ang generalization at systematization). Ang induction at deduction ay matagal nang ginagamit bilang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng ekonomiya at pagtataya ng pag-unlad nito. Ang saklaw ng paggamit ng paraan ng induction ay medyo malawak: pag-aaral ng katuparan ng mga tagapagpahiwatig ng forecast (kita, pamumura, atbp.) At isang pangkalahatang pagtatasa ng estado ng negosyo; pagbuo ng isang epektibong patakaran sa promosyon ng negosyo batay sa mga katotohanan at kanilang mga relasyon. Ang parehong paraan ng induction ay ginagamit sa "Shewhart na mga mapa", kung saan, sa ilalim ng pagpapalagay ng paghahati ng mga proseso sa kontrolado at hindi makontrol, ito ay nakasaad na ang balangkas ng kinokontrol na proseso ay hindi aktibo. Dapat pansinin na ang mga batas na pang-agham ay napatunayan at nakumpirma gamit ang pamamaraan ng induction, at dahil ang ekonomiya ay isang agham na madalas na gumagamit ng mathematical analysis, risk theory at statistics, hindi talaga nakakagulat na ang induction ay nasa listahan ng mga pangunahing pamamaraan. Ang isang halimbawa ng induction at deduction sa ekonomiya ay ang sumusunod na sitwasyon. Ang pagtaas ng presyo ng pagkain (mula sa basket ng consumer) at mahahalagang produkto ay nagtutulak sa mamimili na isipin ang umuusbong na mataas na gastos sa estado (induction). Kasabay nito, mula sa katotohanan ng mataas na presyo, gamit ang mga pamamaraan ng matematika, posible na makakuha ng mga tagapagpahiwatig ng paglago ng presyo para sa mga indibidwal na kalakal o kategorya ng mga kalakal (bawas). Kadalasan, ang mga tauhan ng pamamahala, mga tagapamahala, at mga ekonomista ay bumaling sa paraan ng induction. Upang mahuhulaan nang may sapat na katotohanan ang pag-unlad ng isang negosyo, pag-uugali sa merkado, at ang mga kahihinatnan ng kumpetisyon, isang inductive-deductive na diskarte sa pagsusuri at pagproseso ng impormasyon ay kinakailangan. Isang malinaw na halimbawa ng induction sa ekonomiya na may kaugnayan sa mga maling paghuhusga: Ang halimbawa ay isang makulay na paglalarawan kung paano nakakatulong ang hindi wastong paggamit ng induction method sa pagkasira ng isang negosyo. Dahil mayroong isang pamamaraan, kung gayon, lohikal, mayroon ding maayos na pag-iisip (gamitin ang pamamaraan). Ang sikolohiya bilang isang agham na nag-aaral ng mga proseso ng pag-iisip, ang kanilang pagbuo, pag-unlad, mga relasyon, pakikipag-ugnayan, ay binibigyang pansin ang "deductive" na pag-iisip, bilang isa sa mga anyo ng pagpapakita ng pagbabawas at induction. Sa kasamaang palad, sa mga pahina ng sikolohiya sa Internet ay halos walang katwiran para sa integridad ng deductive-inductive na pamamaraan. Kahit na ang mga propesyonal na psychologist ay mas madalas na nakatagpo ng mga pagpapakita ng induction, o sa halip, mga maling konklusyon. Ang isang halimbawa ng induction sa sikolohiya, bilang isang paglalarawan ng mga maling paghuhusga, ay ang pahayag: ang aking ina ay nanlilinlang, samakatuwid, lahat ng kababaihan ay manlilinlang. Makakakuha ka ng higit pang "mali" na mga halimbawa ng induction mula sa buhay: At marami pang ibang paghatol sa halaga batay sa ganap na random at, kung minsan, hindi gaanong halaga. Dapat pansinin: kapag ang kamalian ng paghatol ng isang tao ay umabot sa punto ng kahangalan, isang hangganan ng trabaho ang lilitaw para sa psychotherapist. Isang halimbawa ng induction sa isang appointment sa espesyalista: "Ang pasyente ay ganap na sigurado na ang kulay pula ay mapanganib lamang para sa kanya sa anumang anyo. Bilang isang resulta, ang tao ay hindi kasama ang scheme ng kulay na ito mula sa kanyang buhay - hangga't maaari. Maraming mga pagkakataon para sa isang komportableng pananatili sa bahay. Maaari mong tanggihan ang lahat ng mga pulang item o palitan ang mga ito ng mga analogue na ginawa sa ibang scheme ng kulay. Ngunit sa mga pampublikong lugar, sa trabaho, sa isang tindahan - imposible. Kapag nasumpungan ng isang pasyente ang kanyang sarili sa isang nakababahalang sitwasyon, sa bawat oras na nakakaranas siya ng isang "tide" ng ganap na magkakaibang mga emosyonal na estado, na maaaring magdulot ng panganib sa iba." Ang halimbawang ito ng induction, at unconscious induction, ay tinatawag na "fixed ideas." Kung nangyari ito sa isang taong malusog sa pag-iisip, maaari nating pag-usapan ang kakulangan ng organisasyon ng aktibidad ng pag-iisip. Ang isang paraan upang maalis ang mga obsessive na estado ay maaaring ang elementarya na pag-unlad ng deductive na pag-iisip. Sa ibang mga kaso, nakikipagtulungan ang mga psychiatrist sa mga naturang pasyente. Ang mga halimbawa sa itaas ng induction ay nagpapahiwatig na "ang kamangmangan sa batas ay hindi nagpapaliban sa iyo mula sa mga kahihinatnan (ng mga maling paghatol)." Ang mga sikologo, na nagtatrabaho sa paksa ng deduktibong pag-iisip, ay nagtipon ng isang listahan ng mga rekomendasyon na idinisenyo upang matulungan ang mga tao na makabisado ang pamamaraang ito. Ang unang punto ay paglutas ng problema. Tulad ng makikita, ang anyo ng induction na ginamit sa matematika ay maaaring ituring na "klasikal", at ang paggamit ng pamamaraang ito ay nakakatulong sa "disiplina" ng isip. Ang susunod na kondisyon para sa pag-unlad ng deduktibong pag-iisip ay ang pagpapalawak ng mga abot-tanaw ng isang tao (yaong mga nag-iisip ng malinaw na nagpapahayag ng kanilang sarili nang malinaw). Idinidirekta ng rekomendasyong ito ang "pagdurusa" sa mga yaman ng agham at impormasyon (mga aklatan, website, mga hakbangin sa edukasyon, paglalakbay, atbp.). Espesyal na pagbanggit ang dapat gawin sa tinatawag na "psychological induction". Ang terminong ito, bagaman hindi madalas, ay matatagpuan sa Internet. Ang lahat ng mga mapagkukunan ay hindi nagbibigay ng hindi bababa sa isang maikling pormulasyon ng kahulugan ng terminong ito, ngunit tumutukoy sa "mga halimbawa mula sa buhay," habang pumasa bilang isang bagong uri ng induction alinman sa mungkahi, o ilang uri ng sakit sa isip, o matinding estado ng pag-iisip ng tao. Mula sa lahat ng nasa itaas, malinaw na ang pagtatangkang kumuha ng "bagong termino" batay sa maling (madalas na hindi totoo) na mga lugar ay humahamak sa eksperimento na makakuha ng isang maling (o padalos-dalos) na pahayag. Dapat tandaan na ang pagtukoy sa mga eksperimento noong 1960 (nang hindi ipinapahiwatig ang lokasyon, ang mga pangalan ng mga nag-eksperimento, ang sample ng mga paksa at, higit sa lahat, ang layunin ng eksperimento) ay mukhang, upang ilagay ito nang mahinahon, hindi nakakumbinsi, at ang pahayag na ang utak ay nakakakita ng impormasyon na lumalampas sa lahat ng mga organo ng pang-unawa (ang pariralang "naaapektuhan" ay mas akma sa organikong paraan sa kasong ito), ay nag-iisip tungkol sa pagiging mapaniwalain at hindi mapanuri ng may-akda ng pahayag. Ito ay hindi para sa wala na ang reyna ng mga agham, matematika, ay gumagamit ng lahat ng posibleng mga reserba ng paraan ng induction at deduction. Ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang mababaw at hindi wasto (walang pag-iisip, gaya ng sinasabi nila) na paggamit ng kahit na ang pinakatumpak at maaasahang mga pamamaraan ay palaging humahantong sa mga maling resulta. Sa kamalayan ng masa, ang paraan ng pagbabawas ay nauugnay sa sikat na Sherlock Holmes, na sa kanyang mga lohikal na konstruksyon ay mas madalas na gumagamit ng mga halimbawa ng induction, gamit ang pagbabawas sa mga tamang sitwasyon. Sinuri ng artikulo ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pamamaraang ito sa iba't ibang mga agham at larangan ng aktibidad ng tao.Mga halimbawa
,
Tingnan din
Mga pagkakaiba-iba at paglalahat
Panitikan
Tingnan kung ano ang "Paraan ng mathematical induction" sa iba pang mga diksyunaryo:
2) 
3)
; 4) 
.
Greek letter "sigma".
:
4) 
2)
f
(
n
)=
n
2
+
n
+11
, sa n=1,2,3,4.5,6,7
ang isa ay maaaring gumawa ng pagpapalagay na para sa anumang naturalP numero f
(
n
)
simple lang.
ay hindi isang prime number para sa anumang natural na numeroP.
sumusunod sa katotohanan ng pagkakakilanlan 
; 
. Nangangahulugan ito na ang pagkakakilanlang ito ay totoo para sa lahatP
.
kapag n≥2.
.
hinati ng 6
walang bakas.
.
maramihan6.
maramihan6
.
sa5
walang bakas.
.
nahahati din sa5
walang bakas.
sa16.
maramihan16.
sa676.
hinati ng 
.
.
hinati ng26
.
hinati ng26
2
.
hinati ng5
walang bakas.
hinati ng5.
hinati ng5
walang bakas.
hinati ng6
walang bakas.
hinati ng6
walang bakas.
hinati ng6
walang bakas.
kahit na numero.
kapag hinati ng9
nagbibigay ng natitira 1
.
hinati ng9
.
hinati ng 9
. Hayaan sa p=k
hinati ng9
.
maramihan5
(napatunayan sa halimbawa Blg. 21), ang ikaapat at ikalimang termino ay maramihan din5
, na halata, kung gayon ang kabuuan ay isang maramihan15
.
.
- tama.
- tunay na hindi pagkakapantay-pantay.
sa anumang P.
.
sa 
yun
sa ilalim ng anumang natural P at anuman 
, tama.
.
sa ilalim ng anumang natural P.
I-multiply natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng 
. Nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay o 
; 
; - ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nananatili sa anumang natural T.
; 
; 
.
.
, pagkatapos ay para sa lahat ng natural na halagaP
hindi pagkakapantay-pantay hawak
at halatang patas. Ipagpalagay natin na ito ay totoo para sap=k
, ibig sabihin, ano 
.
, Iyon 
, at samakatuwid ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago ng kahulugan nito kapag ang parehong mga bahagi nito ay pinarami ng 
:
, pagkatapos makuha namin iyon
.
Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay
Ang gawaing pagsubok sa paksang p=1 ay ibinibigay nang paulit-ulit: p≥5, kung saan P- -natural na numero.
A) 
;
b) 
.
, nakukuha namin
1/3 = 1/3. Magkaroon ng pagkakapantay-pantay P(n):a) Bernoulli hindi pagkakapantay-pantay: (1 + a) n ≥ 1 + n a , a > -1, n TUNGKOL SA N.
b) x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n, Kung x 1 x 2 · ... · x n= 1 at x i > 0, .
c) Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy tungkol sa arithemetic mean at geometric mean
saan x i > 0, , n ≥ 2.
d) kasalanan 2 n a + cos 2 n a ≤ 1, n TUNGKOL SA N.
e)
f) 2 n > n 3 , n TUNGKOL SA N, n ≥ 10.
at ipapakita namin na pagkatapos ito ay magaganap at(1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a . (1 + a) n ≥ 1 + n a (1)
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. Samakatuwid, x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1, ibig sabihin, kung P(n) ay totoo, kung gayonP(n+ 1) patas. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan.
at papatunayan natin yan
isinasaalang-alang P(n), nakukuha namin 
, kasunod niyanInduction sa matematika
Parehong pabiro at seryoso
Mga pamilyar na bilog
Mga halimbawa na may natural na mga numero
Mga pagkakamali sa paghatol
Induction at ang mga batas ng lohika
Induction sa komunidad na pang-agham
Induction at deduction mula sa posisyon ng pilosopiya
Paglalapat ng induction sa ekonomiya
pinalawak ng isang nakikipagkumpitensyang kumpanya ang linya ng produkto nito;
walang ibang nagbago;
Pagbawas at induction sa sikolohiya
Sa halip na isang konklusyon