Ang materyal sa talatang ito ay maaaring gamitin sa mga elektibong klase. Maaari itong iharap sa mga mag-aaral, kapwa sa anyo ng isang panayam at sa anyo ng mga ulat ng mag-aaral.

Ang mga problema na kilala mula noong sinaunang panahon bilang "mga sikat na problema ng unang panahon" ay nakakuha ng maraming pansin sa maraming siglo. Tatlong sikat na problema ang karaniwang lumitaw sa ilalim ng pangalang ito:

1) parisukat ang bilog,

2) trisection ng anggulo,

3) pagdodoble ng kubo.

Ang lahat ng mga gawaing ito ay lumitaw noong sinaunang panahon mula sa mga praktikal na pangangailangan ng mga tao. Sa unang yugto ng kanilang pag-iral, kumilos sila bilang mga problema sa computational: gamit ang ilang "mga recipe", tinatayang mga halaga ng nais na dami (lugar ng isang bilog, circumference, atbp.) ay kinakalkula. Sa ikalawang yugto ng kasaysayan ng mga problemang ito, ang mga makabuluhang pagbabago sa kanilang kalikasan ay nagaganap: sila ay naging mga geometriko (nakabubuo) na mga problema.

Sa Sinaunang Greece sa panahong ito, binigyan sila ng mga klasikal na pormulasyon:

1) bumuo ng isang parisukat na katumbas ng laki sa ibinigay na bilog;

2) hatiin ang anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi;

3) bumuo ng isang gilid ng isang bagong kubo, ang dami nito ay magiging dalawang beses kaysa sa ibinigay na kubo.

Ang lahat ng mga geometric na konstruksyon ay iminungkahi na isagawa gamit ang isang compass at ruler.

Ang pagiging simple ng pagbabalangkas ng mga problemang ito at ang "hindi malulutas na mga paghihirap" na nakatagpo sa paraan upang malutas ang mga ito ay nag-ambag sa paglago ng kanilang katanyagan. Sa pagsisikap na magbigay ng mahigpit na solusyon sa mga problemang ito, ang mga sinaunang Griyegong siyentipiko "sa daan" ay nakakuha ng maraming mahahalagang resulta para sa matematika, na nag-ambag sa pagbabago ng magkakaibang kaalaman sa matematika tungo sa isang independiyenteng deduktibong agham (ang Pythagoreans, Hippocrates of Chios at Archimedes ay umalis isang partikular na kapansin-pansing marka sa oras na iyon).

Ang problema ng pagdodoble ng kubo.

Ang problema ng pagdodoble ng isang kubo ay ang mga sumusunod: pag-alam sa gilid ng isang ibinigay na kubo, bumuo ng isang gilid ng isang kubo na ang dami ay magiging dalawang beses sa dami ng ibinigay na kubo.

Hayaang ang a ay ang haba ng gilid ng isang ibinigay na kubo, x ang haba ng gilid ng gustong kubo. Hayaan ang dami ng isang naibigay na kubo, at ang dami ng nais na kubo, pagkatapos, ayon sa pormula para sa pagkalkula ng dami ng isang kubo, mayroon tayo na: =, at dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, tayo dumating sa equation.

Alam mula sa algebra na ang mga nakapangangatwiran na ugat ng ibinigay na equation na may mga integer coefficient ay maaari lamang maging integer at mapabilang sa mga divisors ng libreng termino ng equation. Ngunit ang tanging divisors ng numero 2 ay ang mga numerong +1, - 1, +2, - 2, at wala sa mga ito ang nakakatugon sa orihinal na equation. Samakatuwid, ang equation ay walang makatwirang mga ugat, na nangangahulugan na ang problema ng pagdodoble ng isang kubo ay hindi malulutas gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema ng pagdodoble ng isang kubo gamit ang isang compass at ruler ay maaari lamang malutas nang humigit-kumulang. Narito ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang humigit-kumulang na malutas ang problemang ito.

Hayaan ang AB=BC=a, at ABC. Binubuo namin ang AD=AC, pagkatapos ay ang CD na may katumpakan na 1%. Sa katunayan, ang CD 1.2586…. Kasabay nito = 1.2599….

Ang problema ng pag-squaring ng bilog.

Ang pagbibigay-katwiran sa hindi malulutas ng problema gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema sa pag-squaring ng isang bilog ay ang mga sumusunod: bumuo ng isang parisukat na katumbas ng laki ng bilog.

Hayaan ang radius ng ibinigay na bilog, at hayaan ang haba ng gilid ng gustong parisukat. Pagkatapos, mula rito.

Dahil dito, malulutas ang problema sa pag-squaring ng bilog kung gagawa tayo ng isang segment ng haba. Kung ang radius ng isang partikular na bilog ay kinuha bilang isang segment ng yunit (=1), kung gayon ang bagay ay mababawasan sa pagbuo ng isang segment ng haba mula sa isang segment ng yunit.

Tulad ng nalalaman, ang pag-alam sa isang segment ng yunit, maaari tayong gumamit ng isang compass at ruler upang bumuo lamang ng mga segment na ang mga haba ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga rational na numero gamit ang isang may hangganan na hanay ng mga rational na operasyon at pagkuha ng mga square root at, samakatuwid, ay mga algebraic na numero. Sa kasong ito, hindi lahat ng algebraic na numero ay gagamitin. Halimbawa, hindi ka makakagawa ng isang segment ng haba, atbp.

Noong 1882, pinatunayan ni Lindemann na ito ay transendental. Ito ay sumusunod na imposibleng bumuo ng isang segment ng haba na may isang compass at isang ruler at, samakatuwid, sa mga ibig sabihin nito ang problema ng pag-squaring ng isang bilog ay hindi malulutas.

Tinatayang solusyon ng problema gamit ang compass at ruler.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga diskarte para sa tinatayang pagtatayo ng mga segment ng haba. Ang pamamaraan na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang-kapat ng bilog na AB na may sentro sa punto O at isang radius na katumbas ng isa ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto C. Sa pagpapatuloy ng diameter CD, tinanggal namin ang isang segment DE na katumbas ng radius. Mula sa punto E gumuhit kami ng mga sinag na EA at EB hanggang sa mag-intersect sila sa tangent sa punto C. Ang cut segment AB ay humigit-kumulang katumbas ng haba ng arc AB, at ang dobleng segment ay katumbas ng kalahating bilog.

Ang relatibong error ng approximation na ito ay hindi lalampas sa 0.227%.

Problema sa trisection ng anggulo.

Ang pagbibigay-katwiran sa hindi malulutas ng problema gamit ang isang compass at ruler.

Ang problema sa trisection ng anggulo ay ang mga sumusunod: Hatiin ang anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi.

Limitahan natin ang ating sarili sa paglutas ng problema para sa mga anggulo na hindi hihigit sa 90. Kung ang anggulo ay malabo, kung gayon =180-, kung saan<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Tandaan na (sa pagkakaroon ng isang segment ng yunit) ang problema sa pagbuo ng anggulo (90) ay katumbas ng problema ng pagbuo ng segment x=cos. Sa katunayan, kung ang anggulo ay itinayo, kung gayon ang pagtatayo ng segment x = cos ay nabawasan sa pagbuo ng isang tamang tatsulok gamit ang hypotenuse at isang matinding anggulo.

Bumalik. Kung ang isang segment x ay itinayo, kung gayon ang pagtatayo ng isang anggulo na ang x = cos ay nabawasan sa pagbuo ng isang right triangle gamit ang hypotenuse at leg.

Hayaan ang ibinigay na anggulo at ang nais na anggulo, kaya =. Pagkatapos cos=cos 3. Ito ay kilala na cos 3= 4cos-3cos. Samakatuwid, sa pag-aakalang cos = at cos =, dumating tayo sa equation:

cos =4cos-3cos,

Ang isang segment, at samakatuwid ay isang anggulo, ay mabubuo lamang kung ang equation na ito ay may hindi bababa sa isang rational root. Ngunit hindi ito nangyayari para sa lahat, at samakatuwid ang problema ng trisection ng isang anggulo, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas gamit ang isang compass at isang ruler. Halimbawa. Para sa =60 nakukuha natin ang =1 at ang nahanap na equation ay nasa anyo: . Madaling i-verify na ang equation na ito ay walang anumang makatwirang ugat, na nangangahulugan na imposibleng hatiin ang isang anggulo ng 60 sa tatlong pantay na bahagi gamit ang isang compass at ruler. Kaya, ang problema ng trisection ng isang anggulo ay hindi malulutas sa isang compass at isang ruler sa pangkalahatang anyo.

Tinatayang solusyon ng problema gamit ang compass at ruler.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng problema gamit ang isang compass at ruler, na iminungkahi ni Albert Durer (1471-1528).

Hayaang ibigay ang anggulong ASB. Mula sa vertex S inilalarawan namin ang isang bilog na may di-makatwirang radius at ikinonekta ang mga punto ng intersection ng mga gilid ng anggulo sa bilog sa pamamagitan ng chord AB. Hinahati namin ang chord na ito sa tatlong pantay na bahagi sa mga puntong R at R (A R = R R = RB). Mula sa mga puntong A at B, tulad ng mula sa mga sentro, na may radii A R = RB, inilalarawan natin ang mga arko na nagsasalubong sa bilog sa mga puntong T at T. Isagawa natin ang RSAB. Sa radii A S= BS gumuhit kami ng mga arko na nagsasalubong sa AB sa mga puntong U at U. Ang mga arko AT, SS at TB ay pantay sa isa't isa, dahil ang mga ito ay nasa ilalim ng pantay na mga kuwerdas.

Upang mahanap ang mga trisection point ng anggulo X at X, hinahati ni Dürer ang mga segment na RU at RU sa tatlong pantay na bahagi ng mga puntos na PV at PV. Pagkatapos ay gumuhit kami ng mga arko na may radii AV at BV na nagsalubong sa bilog sa mga puntong X at X. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa S, nakukuha namin ang dibisyon ng anggulong ito sa tatlong pantay na bahagi na may magandang pagtatantya sa mga tunay na halaga.

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

sekondaryang paaralan Blg. 34 na may malalim na pag-aaral ng mga indibidwal na paksa

MAN, physics at mathematics section

"Mga geometriko na konstruksyon gamit ang compass at ruler"

Nakumpleto ng: mag-aaral ng grade 7 "A"

Batishcheva Victoria

Pinuno: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Pagbuo ng anggulo na katumbas ng ibinigay.

P Gumuhit tayo ng isang arbitrary na bilog na may sentro sa vertex A ng isang naibigay na anggulo (Larawan 3). Hayaang B at C ang mga punto ng intersection ng bilog na may mga gilid ng anggulo. Sa radius AB gumuhit kami ng isang bilog na may sentro sa punto O, ang panimulang punto ng kalahating linyang ito. Tukuyin natin ang punto ng intersection ng bilog na ito sa kalahating linya na ito bilang C 1 . Ilarawan natin ang isang bilog na may gitnang C 1 at Fig.3

radius ng sasakyang panghimpapawid. Punto B 1 ang intersection ng mga itinayong bilog sa ipinahiwatig na kalahating eroplano ay nasa gilid ng nais na anggulo.

6. Konstruksyon ng mga patayong linya.

Gumuhit kami ng isang bilog na may arbitrary na radius r na may sentro sa punto O sa Fig. 6. Ang bilog ay nag-intersect sa linya sa mga puntong A at B.Mula sa mga punto A at B gumuhit kami ng mga bilog na may radius AB. Hayaan ang mapanglaw na C ang punto ng intersection ng mga bilog na ito. Nakuha namin ang mga puntos A at B sa unang hakbang, kapag gumagawa ng isang bilog na may di-makatwirang radius.

Ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa mga punto C at O.

Fig.6

Mga Kilalang Isyu

1.Ang problema ni Brahmagupta

Bumuo ng inscribed quadrilateral gamit ang apat na gilid nito. Ang isang solusyon ay gumagamit ng bilog na Apollonius.Lutasin natin ang problema ni Apollonius gamit ang pagkakatulad sa pagitan ng tricircle at triangle. Paano namin nahanap ang isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok: itinatayo namin ang punto ng intersection ng mga bisector, bumaba ang mga patayo mula dito hanggang sa mga gilid ng tatsulok, ang mga base ng mga patayo (ang mga punto ng intersection ng patayo sa gilid kung saan ito ay bumaba) at bigyan kami ng tatlong puntos na nakahiga sa nais na bilog. Gumuhit ng bilog sa tatlong puntong ito - handa na ang solusyon. Gagawin din natin ang problema ni Apollonius.

2. Problema ni Apollonius

Gamit ang isang compass at ruler, bumuo ng isang bilog na padaplis sa tatlong ibinigay na mga bilog. Ayon sa alamat, ang problema ay binuo ni Apollonius ng Perga noong 220 BC. e. sa aklat na "Touch," na nawala, ngunit naibalik noong 1600 ni François Viète, ang "Gallic Apollonius," gaya ng tawag sa kanya ng kanyang mga kontemporaryo.

Kung wala sa mga ibinigay na bilog ang nasa loob ng isa, ang problemang ito ay may 8 makabuluhang magkakaibang mga solusyon.

Konstruksyon ng mga regular na polygon.

P

tama (o equilateral ) tatsulok - Ito regular na polygonna may tatlong panig, ang una sa mga regular na polygon. Lahat gilid ng isang regular na tatsulok ay pantay sa isa't isa, at lahat ang mga anggulo ay 60°. Upang makabuo ng isang equilateral triangle, kailangan mong hatiin ang bilog sa 3 pantay na bahagi. Upang gawin ito, kinakailangan upang gumuhit ng isang arko ng radius R ng bilog na ito mula sa isang dulo lamang ng diameter, nakuha namin ang una at pangalawang dibisyon. Ang ikatlong dibisyon ay nasa tapat na dulo ng diameter. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito, nakakakuha tayo ng equilateral triangle.

Regular na heksagono Pwedebumuo gamit ang isang compass at ruler. sa ibabaang paraan ng pagtatayo ay ibinigaysa pamamagitan ng paghahati ng bilog sa 6 na bahagi. Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga gilid ng isang regular na hexagon sa radius ng circumscribed na bilog. Mula sa magkasalungat na dulo ng isa sa mga diameter ng bilog ay inilalarawan namin ang mga arko ng radius R. Ang mga punto ng intersection ng mga arko na ito na may isang ibinigay na bilog ay hahatiin ito sa 6 na pantay na bahagi. Sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkonekta sa mga nahanap na punto, ang isang regular na heksagono ay nakuha.

Konstruksyon ng isang regular na pentagon.

P
ang isang regular na pentagon ay maaaringginawa gamit ang isang compass at ruler, o sa pamamagitan ng paglalagay nito sa isang ibinigaybilog, o konstruksyon batay sa isang partikular na panig. Ang prosesong ito ay inilarawan ni Euclidsa kanyang Elemento noong mga 300 BC. e.

Narito ang isang paraan para sa pagbuo ng isang regular na pentagon sa isang partikular na bilog:

Bumuo ng bilog kung saan susulatan ang pentagon at markahan ang gitna nito bilangO . (Ito ang berdeng bilog sa diagram sa kanan).

Pumili ng isang punto sa bilogA , na magiging isa sa mga vertex ng pentagon. Bumuo ng isang tuwid na linyaO AtA .

Bumuo ng isang linya na patayo sa linyaO.A. , dumadaan sa puntoO . Italaga ang isa sa mga intersection nito sa bilog bilang isang puntoB .

Mag-plot ng puntoC sa gitna ng pagitanO AtB .

C sa pamamagitan ng puntoA . Markahan ang intersection nito sa linyaO.B. (sa loob ng orihinal na bilog) bilang isang puntoD .

Gumuhit ng bilog na may gitna saA hanggang sa punto D, markahan ang intersection ng bilog na ito ng orihinal (berdeng bilog) bilang mga puntoE AtF .

Gumuhit ng bilog na may gitna saE sa pamamagitan ng puntoA G .

Gumuhit ng bilog na may gitna saF sa pamamagitan ng puntoA . Lagyan ng label ang ibang intersection nito ng orihinal na bilog bilang isang puntoH .

Bumuo ng isang regular na pentagonAEGHF .

Mga problemang hindi malulutas

Ang sumusunod na tatlong gawain sa pagtatayo ay itinakda noong unang panahon:

Trisection ng isang anggulo - hatiin ang isang arbitrary na anggulo sa tatlong pantay na bahagi.

Sa madaling salita, kinakailangan na bumuo ng mga trisector ng anggulo - mga sinag na naghahati sa anggulo sa tatlong pantay na bahagi. Pinatunayan ni P. L. Wanzel noong 1837 na ang problema ay malulutas lamang kapag, halimbawa, ang trisection ay magagawa para sa mga anggulo α = 360°/n, sa kondisyon na ang integer n ay hindi mahahati ng 3. Gayunpaman, sa press paminsan-minsan (hindi tama ) mga pamamaraan para sa pag-trisect ng isang anggulo na may compass at ruler ay nai-publish.

Pagdodoble ng kubo - klasikal na sinaunang problema ng pagtatayo gamit ang isang compass at ruler sa gilid ng isang kubo, ang dami nito ay dalawang beses ang dami ng isang ibinigay na kubo.

Sa modernong notasyon, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng equation. Ang lahat ay nagmumula sa problema ng pagbuo ng isang segment ng haba. Pinatunayan ni P. Wantzel noong 1837 na ang problemang ito ay hindi malulutas gamit ang isang kumpas at tuwid na gilid.

Pag-squaring ng bilog - isang gawain na binubuo sa paghahanap ng isang construction gamit ang isang compass at isang ruler ng isang parisukat na katumbas ng lugar sa ibinigay na bilog.

Tulad ng alam mo, sa tulong ng isang compass at isang ruler maaari mong isagawa ang lahat ng 4 na operasyon ng aritmetika at kunin ang square root; ito ay sumusunod na ang pag-square ng bilog ay posible kung at kung lamang, gamit ang isang may hangganang bilang ng mga naturang aksyon, posible na bumuo ng isang segment ng haba π. Kaya, ang kawalang-kalutasan ng problemang ito ay sumusunod mula sa di-algebraic na kalikasan (transcendence) ng bilang na π, na pinatunayan noong 1882 ni Lindemann.

Ang isa pang kilalang problema na hindi malulutas gamit ang isang kumpas at ruler aypaggawa ng isang tatsulok gamit ang tatlong ibinigay na haba ng bisector .

Bukod dito, ang problemang ito ay nananatiling hindi malulutas kahit na sa pagkakaroon ng isang trisector.

Noong ika-19 na siglo lamang napatunayan na ang lahat ng tatlong problema ay hindi malulutas gamit lamang ang isang compass at straightedge. Ang tanong ng posibilidad ng pagtatayo ay ganap na nalutas sa pamamagitan ng algebraic na pamamaraan batay sa Galois theory.

ALAM MO BA NA...

(mula sa kasaysayan ng mga geometric na konstruksyon)

Noong unang panahon, isang mystical na kahulugan ang namuhunan sa pagtatayo ng mga regular na polygon.

Kaya, ang mga Pythagorean, mga tagasunod ng relihiyon at pilosopikal na pagtuturo na itinatag ni Pythagoras, at naninirahan sa sinaunang Greece (V ako-ako Vmga siglo BC BC), pinagtibay bilang tanda ng kanilang unyon ang isang polygon na hugis bituin na nabuo ng mga diagonal ng isang regular na pentagon.

Ang mga patakaran para sa mahigpit na geometriko na pagtatayo ng ilang mga regular na polygon ay itinakda sa aklat na "Mga Elemento" ng sinaunang Greek mathematician na si Euclid, na nanirahan saIIIV. BC. Upang maisakatuparan ang mga konstruksyon na ito, iminungkahi ni Euclid na gumamit lamang ng isang ruler at isang compass, na sa oras na iyon ay walang hinged device para sa pagkonekta sa mga binti (tulad ng isang limitasyon sa mga instrumento ay isang hindi nababagong pangangailangan ng sinaunang matematika).

Ang mga regular na polygon ay malawakang ginagamit sa sinaunang astronomiya. Kung interesado si Euclid sa pagtatayo ng mga figure na ito mula sa punto ng view ng matematika, kung gayon para sa sinaunang astronomong Greek na si Claudius Ptolemy (mga 90 - 160 AD) ito ay naging kinakailangan bilang isang pantulong na tool sa paglutas ng mga problema sa astronomiya. Kaya, sa 1st book ng Almagests, ang buong ikasampung kabanata ay nakatuon sa pagbuo ng mga regular na pentagons at decagons.

Gayunpaman, bilang karagdagan sa mga purong siyentipikong gawa, ang pagtatayo ng mga regular na polygon ay isang mahalagang bahagi ng mga aklat para sa mga tagabuo, manggagawa, at artista. Ang kakayahang ilarawan ang mga figure na ito ay matagal nang kinakailangan sa arkitektura, alahas, at sining.

Ang "Sampung Aklat sa Arkitektura" ng Romanong arkitekto na si Vitruvius (na nabuhay humigit-kumulang 63-14 BC) ay nagsasabi na ang mga pader ng lungsod ay dapat magkaroon ng anyo ng isang regular na polygon sa plano, at ang mga tore ng kuta ay "dapat gawing bilog o polygonal. , para sa isang quadrangle na medyo nawasak ng mga sandata ng pagkubkob."

Ang layout ng mga lungsod ay may malaking interes kay Vitruvius, na naniniwala na kinakailangan na planuhin ang mga lansangan upang ang mga pangunahing hangin ay hindi umihip sa kanila. Ipinapalagay na mayroong walong ganoong hangin at umihip ang mga ito sa ilang direksyon.

Sa panahon ng Renaissance, ang pagtatayo ng mga regular na polygon, at lalo na ang pentagon, ay hindi isang simpleng larong matematika, ngunit isang kinakailangang paunang kinakailangan para sa pagtatayo ng mga kuta.

Ang regular na hexagon ay paksa ng isang espesyal na pag-aaral ng mahusay na Aleman na astronomo at matematiko na si Johannes Kepler (1571-1630), na binanggit niya sa kanyang aklat na "Regalo ng Bagong Taon, o Hexagonal Snowflakes." Ang pagtalakay sa mga dahilan kung bakit ang mga snowflake ay may heksagonal na hugis, ang mga tala niya, sa partikular, ang mga sumusunod: “... ang isang eroplano ay maaaring takpan nang walang gaps lamang sa mga sumusunod na figure: equilateral triangles, squares at regular hexagons. Sa mga figure na ito, ang regular na hexagon ay sumasakop sa pinakamalaking lugar."

Ang isa sa mga pinakatanyag na siyentipiko na kasangkot sa mga geometric na konstruksyon ay ang mahusay na Aleman na artista at matematiko na si Albrecht Durer (1471 -1528), na nag-alay ng isang makabuluhang bahagi ng kanyang aklat na "Manual..." sa kanila. Nagmungkahi siya ng mga panuntunan para sa pagbuo ng mga regular na polygon na may 3, 4, 5... 16 na panig. Ang mga pamamaraan para sa paghahati ng isang bilog na iminungkahi ni Dürer ay hindi pangkalahatan; isang indibidwal na pamamaraan ang ginagamit sa bawat partikular na kaso.

Gumamit si Dürer ng mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga regular na polygon sa artistikong kasanayan, halimbawa, kapag gumagawa ng iba't ibang uri ng mga burloloy at pattern para sa parquet. Nag-sketch siya ng gayong mga pattern sa isang paglalakbay sa Netherlands, kung saan matatagpuan ang mga parquet floor sa maraming tahanan.

Binubuo ni Dürer ang mga burloloy mula sa mga regular na polygon, na konektado sa mga singsing (mga singsing na may anim na equilateral triangles, apat na quadrangles, tatlo o anim na hexagons, labing-apat na heptagons, apat na octagon).

Konklusyon

Kaya,mga geometric na konstruksyon ay isang paraan ng paglutas ng isang problema kung saan ang sagot ay nakuha sa grapiko. Ang mga konstruksyon ay isinasagawa gamit ang mga tool sa pagguhit na may pinakamataas na katumpakan at katumpakan ng trabaho, dahil ang kawastuhan ng solusyon ay nakasalalay dito.

Salamat sa gawaing ito, nakilala ko ang kasaysayan ng pinagmulan ng compass, naging mas pamilyar sa mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga geometric na konstruksyon, nakakuha ng bagong kaalaman at inilapat ito sa pagsasanay.
Ang paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng pagtatayo gamit ang mga compass at isang ruler ay isang kapaki-pakinabang na palipasan ng oras na nagbibigay-daan sa iyo upang tingnan ang mga kilalang katangian ng mga geometric na figure at ang kanilang mga elemento.Ang papel na ito ay tumatalakay sa mga pinakamabigat na problemang nauugnay sa mga geometric na konstruksyon gamit ang mga compass at ruler. Ang mga pangunahing problema ay isinasaalang-alang at ang kanilang mga solusyon ay ibinigay. Ang mga ibinigay na problema ay may makabuluhang praktikal na interes, pinagsama ang nakuhang kaalaman sa geometry at maaaring magamit para sa praktikal na gawain.
Kaya, ang layunin ng gawain ay nakamit, ang mga nakatalagang gawain ay nakumpleto na.

Kilala mula noong sinaunang panahon.

Ang mga sumusunod na operasyon ay posible sa mga gawain sa pagtatayo:

• Markahan ang alinman punto sa isang eroplano, isang punto sa isa sa mga constructed lines, o ang intersection point ng dalawang constructed lines.
• Sa pamamagitan ng paggamit kumpas gumuhit ng isang bilog na may sentro sa constructed point at isang radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang na constructed point.
• Sa pamamagitan ng paggamit mga pinuno gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang itinayong punto.

Sa kasong ito, ang isang compass at isang ruler ay itinuturing na perpektong mga tool, lalo na:

1. Simpleng halimbawa

Paghahati ng isang segment sa kalahati

Gawain. Gumamit ng compass at ruler para hatiin ang segment na ito AB sa dalawang pantay na bahagi. Ang isa sa mga solusyon ay ipinapakita sa figure:

• Gamit ang isang compass gumawa kami ng isang bilog na may gitna sa isang punto A radius AB.
• Pagbuo ng isang bilog na may sentro sa isang punto B radius AB.
• Paghahanap ng mga intersection point P At Q dalawang nabuong bilog.
• Gumamit ng ruler upang gumuhit ng linya na nagdudugtong sa mga punto P At Q.
• Paghahanap ng intersection point AB At P.Q. Ito ang gustong midpoint ng segment AB.

2. Mga regular na polygon

Alam ng mga sinaunang geometer ang mga pamamaraan para sa pagtatayo ng tama n-gons para sa at .

4. Posible at imposibleng mga konstruksyon

Ang lahat ng mga konstruksyon ay walang iba kundi isang solusyon sa ilang equation, at ang mga coefficient ng equation na ito ay nauugnay sa mga haba ng ibinigay na mga segment. Samakatuwid, ito ay maginhawa upang pag-usapan ang pagbuo ng isang numero - isang graphical na solusyon sa isang equation ng isang tiyak na uri.

Sa loob ng balangkas ng mga kinakailangan sa gusali, posible ang mga sumusunod na gusali:

Sa madaling salita, maaari ka lamang bumuo ng mga numero na katumbas ng mga expression ng aritmetika gamit ang square root ng orihinal na mga numero (ang mga haba ng mga segment). Halimbawa,

5. Mga pagkakaiba-iba at paglalahat

6. Nakakatuwang mga katotohanan

• GeoGebra, Kig, KSEG - mga programa na nagbibigay-daan sa iyo upang magsagawa ng mga konstruksyon gamit ang mga compass at ruler.

Panitikan

• A. Adler. Teorya ng mga geometric na konstruksyon, Pagsasalin mula sa Aleman ni G. M. Fikhtengolts. Ikatlong edisyon. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
• I. Alexandrov, Koleksyon ng mga problema sa geometric na konstruksiyon, Ikalabing walong edisyon, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• B. I. Argunov, MB Balk.

Kilala mula noong sinaunang panahon.

Ang mga sumusunod na operasyon ay posible sa mga gawain sa pagtatayo:

• Pumili ng anuman punto sa isang eroplano, isang punto sa isa sa mga constructed lines, o ang intersection point ng dalawang constructed lines.
• Sa pamamagitan ng paggamit kumpas Gumuhit ng bilog na may sentro sa itinayong punto na may radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang itinayong punto.
• Sa pamamagitan ng paggamit mga pinuno gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang itinayong punto.

Simpleng halimbawa

Gawain. Gumamit ng compass at ruler para hatiin ang segment na ito AB sa dalawang pantay na bahagi. Ang isa sa mga solusyon ay ipinapakita sa figure:

• Gamit ang isang compass gumuhit kami ng isang bilog na may gitna sa punto A radius AB.
• Gumuhit ng isang bilog na may gitna sa punto B radius AB.
• Paghahanap ng mga intersection point P At Q dalawang nabuong bilog.
• Gumamit ng ruler upang gumuhit ng linya na nagdudugtong sa mga punto P At Q.
• Paghahanap ng intersection point AB At PQ. Ito ang gustong midpoint ng segment AB.

Mga regular na polygon

Alam ng mga sinaunang geometer kung paano gumawa ng tama n=2^k\,\!, 3\cdot 2^k, 5\cdot 2^k At 3\cdot5\cdot2^k.

Mga problemang hindi malulutas

Ang sumusunod na tatlong gawain sa pagtatayo ay itinakda noong unang panahon:

• - hatiin ang isang arbitrary na anggulo sa tatlong pantay na bahagi.
• - bumuo ng isang segment na isang gilid ng isang kubo na may dalawang beses ang dami ng isang kubo na may isang ibinigay na gilid.
• - bumuo ng isang parisukat na katumbas ng lugar sa ibinigay na bilog.

Mga konstruksyon na may isang compass at isang ruler

Ayon sa Mohr–Mascheroni theorem, gamit ang isang compass maaari kang bumuo ng anumang figure na maaaring itayo gamit ang isang compass at isang ruler. Sa kasong ito, ang isang tuwid na linya ay itinuturing na itinayo kung ang dalawang punto ay tinukoy dito.

Madaling makita na sa tulong ng isang tagapamahala lamang ang mga projective-invariant na konstruksyon ay maaaring isagawa (tingnan, halimbawa, sa teorya sa ibabaw ).

Sa partikular, imposibleng hatiin ang isang segment sa dalawang pantay na bahagi. Ngunit kung mayroong isang paunang iginuhit na bilog sa eroplano na may markang sentro, gamit ang isang ruler maaari mong isagawa ang parehong mga konstruksyon tulad ng sa isang compass at ruler ( Poncelet-Steiner theorem (Poncelet-Steiner theorem), .

Tingnan din

• - isang programa na nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng mga constructions gamit ang isang compass at ruler.

Panitikan

• A. Adler. Teorya ng mga geometric na konstruksyon, Pagsasalin mula sa Aleman ni G. M. Fichtengolts. Ikatlong edisyon. L., Uchpedgiz, 1940 - 232 p.
• I. I. Alexandrov, Koleksyon ng mga problema sa geometric na konstruksiyon, Ikalabing walong edisyon, M., Uchpedgiz, 1950 - 176 p.
• B. I. Argunov, MB Balk. Mga geometric na konstruksyon sa isang eroplano, Isang manwal para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pedagogical. Ikalawang edisyon. M., Uchpedgiz, 1957 - 268 p.
• A. M. Voronets. Geometry ng compass, Sikat na aklatan sa matematika sa ilalim ng pangkalahatang pag-edit ng L.A. Lyusternik, M.-L., ONTI, 1934 - 40 p.
• Yu. I. Manin, Sa paglutas ng mga problema sa pagtatayo gamit ang mga compass at pinuno, Encyclopedia of Elementary Mathematics apat na aklat (geometry), M., Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Y. Petersen. Mga pamamaraan at teorya para sa paglutas ng mga problema sa geometric construction, Moscow, bahay-imprenta ng E. Lissner at Y. Roman, 1892 - VIII + 114 p.
• V. V. Prasolov Tatlong klasikong problema sa konstruksiyon. Pagdodoble ng kubo, trisection ang anggulo, squaring ang bilog, M.: Nauka, 1992. 80 p. Serye Mga sikat na lektura sa matematika, isyu 62
• J. Steiner, Ang mga geometric na konstruksyon na isinagawa gamit ang isang tuwid na linya at isang nakapirming bilog, M., Uchpedgiz, 1939 - 80 p.

Ang mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga parallel na linya gamit ang iba't ibang mga tool ay batay sa mga palatandaan ng parallel na linya.

Pagbuo ng parallel lines gamit ang compass at ruler

Isaalang-alang natin ang prinsipyo ng pagbuo ng isang parallel na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto, gamit ang isang compass at ruler.

Hayaang magbigay ng linya at ilang punto A na hindi kabilang sa ibinigay na linya.

Ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto $A$ parallel sa ibinigay na linya.

Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan na bumuo ng dalawa o higit pang magkatulad na linya nang walang ibinigay na linya at punto. Sa kasong ito, kinakailangan na gumuhit ng isang tuwid na linya nang arbitraryo at markahan ang anumang punto na hindi magsisinungaling sa tuwid na linya na ito.

Isaalang-alang natin mga yugto ng pagbuo ng parallel line:

Sa pagsasagawa, ginagamit din nila ang paraan ng pagbuo ng mga parallel na linya gamit ang isang drawing square at isang ruler.

Pagbuo ng mga parallel na linya gamit ang isang parisukat at ruler

Para sa pagbuo ng isang linya na dadaan sa point M na kahanay sa isang ibinigay na linya a, kailangan:

1. Ilapat ang parisukat sa tuwid na linya $a$ pahilis (tingnan ang figure), at ikabit ang isang ruler sa mas malaking binti nito.
2. Ilipat ang parisukat sa kahabaan ng ruler hanggang ang ibinigay na puntong $M$ ay nasa dayagonal ng parisukat.
3. Iguhit ang kinakailangang tuwid na linya $b$ sa puntong $M$.

Nakakuha kami ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto $M$, parallel sa isang ibinigay na linya $a$:

$a \parallel b$, ibig sabihin, $M \in b$.

Ang parallelism ng mga tuwid na linya na $a$ at $b$ ay makikita mula sa pagkakapantay-pantay ng mga katumbas na anggulo, na minarkahan sa figure na may mga titik na $\alpha$ at $\beta$.

Konstruksyon ng isang parallel line na may pagitan sa isang tinukoy na distansya mula sa isang naibigay na linya

Kung ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang tuwid na linya parallel sa isang ibinigay na tuwid na linya at spaced mula dito sa isang tiyak na distansya, maaari mong gamitin ang isang ruler at isang parisukat.

Hayaang magbigay ng isang tuwid na linya na $MN$ at isang distansya na $a$.

1. Markahan natin ang isang arbitrary na punto sa ibinigay na linya na $MN$ at tawagan itong $B$.
2. Sa pamamagitan ng puntong $B$ gumuhit kami ng linyang patayo sa linyang $MN$ at tinatawag itong $AB$.
3. Sa tuwid na linya na $AB$ mula sa puntong $B$ ay inilalagay namin ang segment na $BC=a$.
4. Gamit ang isang parisukat at isang ruler, gumuhit kami ng isang tuwid na linya $CD$ sa puntong $C$, na magiging parallel sa ibinigay na tuwid na linya na $AB$.

Kung i-plot natin ang segment na $BC=a$ sa tuwid na linya $AB$ mula sa puntong $B$ sa kabilang direksyon, makakakuha tayo ng isa pang parallel na linya sa ibinigay na isa, na may pagitan mula dito sa isang partikular na distansya $a$.

Iba pang mga paraan upang makabuo ng mga parallel na linya

Ang isa pang paraan upang bumuo ng mga parallel na linya ay ang pagbuo gamit ang isang crossbar. Kadalasan ang pamamaraang ito ay ginagamit sa pagsasanay sa pagguhit.

Kapag nagsasagawa ng gawaing karpintero para sa pagmamarka at paggawa ng mga parallel na linya, ginagamit ang isang espesyal na tool sa pagguhit - isang clapper - dalawang sahig na gawa sa kahoy na nakakabit sa isang bisagra.