Współczynnik proporcjonalności (współczynnik proporcjonalności liniowej) jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich boków podobnych liczb. Figury podobne to figury o tym samym kształcie, ale różnych rozmiarach. Współczynnik proporcjonalności służy do rozwiązywania podstawowych problemów geometrycznych. Do obliczenia długości nieznanych boków można zastosować współczynnik proporcjonalności. Z drugiej strony współczynnik proporcjonalności można obliczyć z odpowiednich stron. Takie obliczenia obejmują operację mnożenia lub upraszczania ułamków.

Kroki

Obliczanie współczynnika proporcjonalności liczb podobnych

Upewnij się, że kształty są podobne. Na takich figurach wszystkie kąty są równe, a boki są powiązane w określonej proporcji. Podobne figury mają ten sam kształt, ale jedna figura jest większa od drugiej.

• Zadanie powinno polegać na tym, że figury są podobne lub że mają równe kąty, lub że boki są proporcjonalne, lub że jedna figura jest proporcjonalna do drugiej.

1. Znajdź odpowiednie boki obu figur. Może zaistnieć potrzeba obrócenia lub odbicia lustrzanego jednego z kształtów, aby wyrównać oba kształty i określić odpowiadające im boki. Z reguły problemy podają długości odpowiednich boków; w przeciwnym razie zmierz je. Jeśli nie znasz wartości przynajmniej pary odpowiednich boków, nie da się znaleźć współczynnika proporcjonalności.

   • Na przykład biorąc pod uwagę trójkąt o podstawie 15 cm i podobny trójkąt o podstawie równej 10 cm.

2. Zapisz nastawienie. Każda para podobnych figur ma dwa współczynniki proporcjonalności: jeden służy do zwiększania rozmiaru, a drugi do zmniejszania. Jeśli rozmiar mniejszej figury zwiększa się do rozmiaru większej figury, użyj proporcji: współczynnik kształtu = (bok większej figury)/(bok mniejszej figury). Jeśli rozmiar większej figury zostanie zmniejszony do rozmiaru mniejszej figury, użyj proporcji: współczynnik proporcji = (bok mniejszej figury) / (bok większej figury).

   • Na przykład, jeśli trójkąt o podstawie 15 cm zostanie zredukowany do trójkąta o podstawie 10 cm, należy zastosować stosunek: współczynnik proporcjonalności = (bok mniejszej figury) / (bok większej figury).
     Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy: współczynnik proporcjonalności = .

3. Uprość swoje podejście. Uproszczony stosunek (ułamek) jest współczynnikiem proporcjonalności. Przy zmniejszaniu rozmiaru współczynnik proporcjonalności jest ułamkiem właściwym. Przy zwiększaniu rozmiaru współczynnik proporcjonalności jest liczbą całkowitą lub ułamkiem niewłaściwym, który można zamienić na ułamek dziesiętny.

   • Na przykład postawa 10 15 (\ Displaystyle (\ Frac (10) (15))) upraszcza do. Zatem współczynnik proporcjonalności dwóch trójkątów o podstawach 15 cm i 10 cm jest równy 2 3 (\ Displaystyle (\ Frac (2) (3))).

   Obliczanie boków za pomocą współczynnika proporcjonalności

   1. Znajdź wartości boków figury. Podane zostaną wartości boczne jednej z tych liczb; w przeciwnym razie zmierz je. Jeśli boki jednej z tych figur nie są znane, nie można obliczyć boków drugiej figury.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, którego nogi mają długość 4 cm i 3 cm, a przeciwprostokątna wynosi 5 cm.

   2. Dowiedz się, czy podobna figura będzie większa, czy mniejsza od tej. Jeśli więcej, boki będą większe, a współczynnik proporcjonalności będzie liczbą całkowitą, ułamkiem niewłaściwym lub dziesiętnym. Jeżeli podobna figura jest mniejsza od podanej, to boki będą mniejsze, a współczynnik proporcjonalności będzie ułamkiem właściwym.

      • Na przykład, jeśli współczynnik proporcjonalności wynosi 2, podobna liczba jest większa niż podana liczba.

   3. Pomnóż wartość jednej strony przez współczynnik proporcjonalności. Należy podać współczynnik proporcjonalności. Jeśli pomnożysz bok przez współczynnik proporcjonalności, możesz znaleźć wartość odpowiedniego boku podobnej figury.

      • Na przykład, jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 5 cm, a współczynnik proporcjonalności wynosi 2, przeciwprostokątną podobnego trójkąta oblicza się w następujący sposób: 5 × 2 = 10 (\ Displaystyle 5 \ razy 2 = 10). Zatem przeciwprostokątna podobnego trójkąta wynosi 10 cm.

   4. Znajdź wartości pozostałych boków podobnej figury. Aby to zrobić, pomnóż znane wartości boków przez współczynnik proporcjonalności. Otrzymasz wartości odpowiednich boków takiej figury.

      • Na przykład, jeśli podstawa trójkąta prostokątnego wynosi 4 cm, a współczynnik proporcjonalności wynosi 2, podstawę podobnego trójkąta oblicza się w następujący sposób: 4 × 2 = 8 (\ Displaystyle 4 \ razy 2 = 8). Zatem podstawa podobnego trójkąta wynosi 8 cm, jeśli ramię trójkąta prostokątnego ma długość 3 cm, a współczynnik proporcjonalności wynosi 2, nogę podobnego trójkąta oblicza się w następujący sposób: 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle 3 \ razy 2 = 6). Zatem bok podobnego trójkąta ma długość 6 cm.

   Przykłady rozwiązywania problemów

   1. Zadanie 1. Znajdź współczynnik proporcjonalności następujących figur podobnych: prostokąta o szerokości 6 cm i prostokąta o szerokości 54 cm.

      • Zapisz stosunek w oparciu o dwie szerokości. Wraz ze wzrostem rozmiaru stosunek zostanie zapisany w następujący sposób: współczynnik proporcjonalności = . Przy zmniejszaniu rozmiaru stosunek zostanie zapisany w następujący sposób: współczynnik proporcjonalności = .
      • Uprość swoje podejście. Postawa 54 6 (\ Displaystyle (\ Frac (54) (6))) upraszcza do 9 1 = 9 (\ Displaystyle (\ Frac (9) (1)) = 9). Postawa 6 54 (\ Displaystyle (\ Frac (6) (54))) upraszcza do. Zatem współczynnik proporcjonalności dwóch prostokątów jest równy 9 (\ displaystyle 9) Lub 1 9 (\ Displaystyle (\ Frac (1) (9))).

   2. Zadanie 2. Bok nieregularnego wielokąta ma długość 14 cm Bok podobnego wielokąta ma długość 8 cm Znajdź współczynnik proporcjonalności.

Równanie reakcji w chemii to zapis procesu chemicznego za pomocą wzorów chemicznych i symboli matematycznych.

Ten zapis jest schematem reakcji chemicznej. Kiedy pojawia się znak „=”, nazywa się to „równaniem”. Spróbujmy to rozwiązać.

Przykład analizy prostych reakcji

W wapniu jest jeden atom, ponieważ współczynnik nie jest tego wart. Indeks również nie jest tutaj zapisany, co oznacza jeden. Po prawej stronie równania Ca również wynosi jeden. Nie musimy pracować nad wapniem.

Przyjrzyjmy się kolejnemu pierwiastkowi – tlenowi. Indeks 2 wskazuje, że istnieją 2 jony tlenu. Po prawej stronie nie ma żadnych wskaźników, czyli jednej cząstki tlenu, a po lewej stronie są 2 cząsteczki. Co my robimy? Do wzoru chemicznego nie można wprowadzać żadnych dodatkowych wskaźników ani poprawek, ponieważ jest on zapisany poprawnie.

Współczynniki są tym, co jest zapisane przed najmniejszą częścią. Mają prawo się zmienić. Dla wygody nie przepisujemy samej formuły. Po prawej stronie mnożymy jeden przez 2, aby uzyskać tam 2 jony tlenu.

Po ustaleniu współczynnika otrzymaliśmy 2 atomy wapnia. Jest tylko jeden po lewej stronie. Oznacza to, że teraz musimy postawić 2 przed wapniem.

Teraz sprawdźmy wynik. Jeśli liczba atomów pierwiastka jest równa po obu stronach, możemy postawić znak równości.

Kolejny wyraźny przykład: po lewej stronie są dwa wodory, a za strzałką też mamy dwa wodory.

• Przed strzałką znajdują się dwa atomy tlenu, ale za strzałką nie ma żadnych indeksów, co oznacza, że ​​jest jeden.
• Więcej jest po lewej stronie, a mniej po prawej.
• Ustawiamy współczynnik 2 przed wodą.

Pomnożyliśmy cały wzór przez 2 i teraz zmieniła się ilość wodoru. Mnożymy indeks przez współczynnik i otrzymujemy 4. A po lewej stronie pozostały dwa atomy wodoru. Aby otrzymać 4, musimy pomnożyć wodór przez dwa.

Dzieje się tak w przypadku, gdy element w jednym i drugim wzorze znajduje się po tej samej stronie, aż do strzałki.

Jeden jon siarki po lewej stronie i jeden jon po prawej stronie. Dwie cząsteczki tlenu i dwie kolejne cząstki tlenu. Oznacza to, że po lewej stronie znajdują się 4 atomy tlenu. Po prawej stronie znajdują się 3 tlenki. Oznacza to, że po jednej stronie jest parzysta liczba atomów, a po drugiej nieparzysta. Jeśli pomnożymy liczbę nieparzystą przez dwa razy, otrzymamy liczbę parzystą. Najpierw doprowadzamy to do parzystej wartości. Aby to zrobić, pomnóż całą formułę za strzałką przez dwa. Po pomnożeniu otrzymujemy sześć jonów tlenu, a także 2 atomy siarki. Po lewej stronie mamy jedną mikrocząstkę siarki. Teraz to wyrównajmy. Równania umieszczamy po lewej stronie przed szarym 2.

Zwany.

Złożone reakcje

Ten przykład jest bardziej złożony, ponieważ jest więcej elementów materii.

Nazywa się to reakcją neutralizacji. Co tutaj należy najpierw wyrównać:

• Po lewej stronie znajduje się jeden atom sodu.
• Po prawej stronie indeks mówi, że są 2 sód.

Wniosek sam w sobie sugeruje, że należy pomnożyć całą formułę przez dwa.

Zobaczmy teraz, ile jest siarki. Po jednym po lewej i prawej stronie. Zwróćmy uwagę na tlen. Po lewej stronie mamy 6 atomów tlenu. Z drugiej strony – 5. Mniej po prawej, więcej po lewej. Liczbę nieparzystą należy doprowadzić do liczby parzystej. Aby to zrobić, mnożymy formułę wody przez 2, to znaczy z jednego atomu tlenu tworzymy 2.

Teraz po prawej stronie jest już 6 atomów tlenu. Po lewej stronie znajduje się również 6 atomów. Sprawdźmy wodór. Dwa atomy wodoru i jeszcze 2 atomy wodoru. Zatem po lewej stronie będą cztery atomy wodoru. A po drugiej stronie są też cztery atomy wodoru. Wszystkie elementy są równe. Stawiamy znak równości.

Następny przykład.

Tutaj przykład jest interesujący, ponieważ pojawiają się nawiasy. Mówią, że jeśli współczynnik znajduje się za nawiasami, to każdy element w nawiasach jest przez niego mnożony. Musisz zacząć od azotu, ponieważ jest go mniej niż tlenu i wodoru. Po lewej stronie znajduje się jeden azot, a po prawej, biorąc pod uwagę nawiasy, są dwa.

Po prawej stronie znajdują się dwa atomy wodoru, ale potrzebne są cztery. Wychodzimy z tego po prostu mnożąc wodę przez dwa, co daje cztery wodory. Świetnie, wodór się wyrównał. Został tlen. Przed reakcją jest 8 atomów, po - także 8.

Świetnie, wszystkie elementy są równe, możemy ustawić „równe”.

Ostatni przykład.

Następny w kolejce jest bar. Jest wyrównany, nie trzeba go dotykać. Przed reakcją są dwa chlory, po niej tylko jeden. Co musi być zrobione? Po reakcji umieść 2 przed chlorem.

Teraz, ze względu na właśnie ustawiony współczynnik, po reakcji otrzymaliśmy dwa sód, a przed reakcją również dwa. Świetnie, wszystko inne jest wyrównane.

Można także wyrównywać reakcje stosując metodę wagi elektronicznej. Metoda ta ma szereg zasad, według których można ją wdrożyć. Następnym krokiem jest uporządkowanie stopni utlenienia wszystkich pierwiastków w każdej substancji, aby zrozumieć, gdzie nastąpiło utlenianie, a gdzie nastąpiła redukcja.

W opisach matematycznych termin „ współczynnik liczbowy”, w szczególności podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi i wyrażeniami ze zmiennymi wygodnie jest zastosować koncepcję liczbowego współczynnika wyrażenia. W tym artykule podamy definicję współczynnika liczbowego wyrażenia i przeanalizujemy przykłady jego znalezienia.

Nawigacja strony.

Wyznaczanie współczynnika numerycznego, przykłady

W podręczniku matematyki N. Ya Vilenkina dla klasy 6 podano, co następuje wyznaczanie współczynnika liczbowego wyrażenia.

Definicja.

Jeśli wyrażenie literowe jest iloczynem jednej lub więcej liter i jednej cyfry, wówczas wywoływana jest ta liczba liczbowy współczynnik wyrazu.

Nawiasem mówiąc, współczynnik liczbowy jest często nazywany po prostu współczynnikiem.

Definicja dźwięczna pozwala nam dawać przykłady liczbowych współczynników wyrażeń. Najpierw rozważmy iloczyn liczby 3 i litery a postaci 3·a. Liczba 3 jest z definicji współczynnikiem liczbowym tego wyrażenia. Inny przykład: w iloczynie x·y·0,2·x·x·z jedynym czynnikiem liczbowym jest 0,2, który jest współczynnikiem liczbowym tego wyrażenia.

Podajmy teraz kontrprzykład. Liczba 3 nie jest współczynnikiem liczbowym wyrażenia 3·x+y, ponieważ pierwotne wyrażenie nie jest iloczynem. Ale ta liczba 3 jest współczynnikiem liczbowym pierwszego z terminów w oryginalnym wyrażeniu.

A iloczyn 5·a·2·b·3·c zawiera nie jedną, ale trzy liczby. Aby wyznaczyć współczynnik liczbowy tego wyrażenia, należy go przeliczyć na iloczyn zawierający pojedynczy współczynnik liczbowy. Dowiemy się, jak to zrobić w następnym akapicie tego artykułu; to jest proces.

Warto zauważyć, że iloczyny identycznych liter można zapisać w postaci , dlatego definicja współczynnika liczbowego nadaje się również do wyrażeń z potęgami. Na przykład wyrażenie 5 x 3 y z 2 jest zasadniczo wyrażeniem postaci 5 x x x x y z z, jego współczynnikiem z definicji jest liczba 5.

Musisz także skupić się na współczynnikach liczbowych 1 i -1. Ich osobliwością jest to, że prawie nigdy nie są one wyraźnie spisane. Jeśli wyrażenie jest iloczynem kilku liter (bez współczynnika liczbowego) i z przodu znajduje się znak plus lub nie ma znaku, wówczas za współczynnik liczbowy takiego wyrażenia uważa się liczbę 1. Jeśli iloczyn kilku liter jest poprzedzony znakiem minus, wówczas za współczynnik takiego wyrażenia przyjmuje się liczbę -1. Na przykład współczynnik liczbowy wyrażenia a b jest równy jeden (ponieważ a b można zapisać jako 1 a b ), a współczynnik liczbowy wyrażenia −x jest równy minus jeden (ponieważ −x jest identycznie równe wyrażeniu ( −1) x ) .

Następnie definicja współczynnika liczbowego została rozszerzona z iloczynu liczby i kilku liter na iloczyn jednej liczby i kilku wyrażeń literowych. Na przykład w iloczynie liczbę -5 można uznać za współczynnik numeryczny. Podobnie liczba 3 jest współczynnikiem wyrażenia 3·(1+1/x)·x i jest współczynnikiem wyrażenia .

Znajdowanie współczynnika liczbowego wyrażenia

Jeśli wyrażenie jest iloczynem z jednym czynnikiem numerycznym, tym czynnikiem jest współczynnik numeryczny. Gdy wyrażenie ma inną postać, znalezienie jego współczynnika liczbowego oznacza wstępne wykonanie identycznych przekształceń, za pomocą których pierwotne wyrażenie zostaje sprowadzone do iloczynu z jednym współczynnikiem liczbowym.

Przykład.

Znajdź współczynnik liczbowy wyrażenia −4·x·(−2) .

Rozwiązanie.

Pogrupujmy czynniki, które są liczbami, a następnie pomnóżmy je: −4 x (−2)=((−4) (−2)) x=8 x. Teraz wymagany współczynnik jest wyraźnie widoczny i wynosi 8.

Gdzie x·y, x, y to średnie wartości próbek; σ(x), σ(y) – odchylenia standardowe.
Dodatkowo współczynnik korelacji par liniowych można wyznaczyć poprzez współczynnik regresji b: , gdzie σ(x)=S(x), σ(y)=S(y) - odchylenia standardowe, b - współczynnik przed x w regresji równanie y= a+bx .

Inne opcje formuły:
Lub

K xy - moment korelacji (współczynnik kowariancji)

Współczynnik korelacji liniowej przyjmuje wartości od –1 do +1 (patrz skala Chaddocka). Przykładowo, analizując bliskość korelacji liniowej pomiędzy dwiema zmiennymi, uzyskano sparowany współczynnik korelacji liniowej równy –1. Oznacza to, że pomiędzy zmiennymi istnieje dokładnie odwrotna zależność liniowa.

Znaczenie geometryczne współczynnika korelacji: r xy pokazuje, jak różne jest nachylenie dwóch linii regresji: y(x) i x(y) oraz jak bardzo różnią się wyniki minimalizacji odchyleń w x i y. Im większy kąt między liniami, tym większe r xy.
Znak współczynnika korelacji pokrywa się ze znakiem współczynnika regresji i określa nachylenie linii regresji, tj. ogólny kierunek zależności (rosnący lub malejący). Wartość bezwzględna współczynnika korelacji zależy od stopnia bliskości punktów do linii regresji.

Własności współczynnika korelacji

1. |r xy | ≤ 1;
2. jeśli X i Y są niezależne, to r xy = 0, sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdziwa;
3. jeśli |r xy |=1, to Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, gdzie a i b są stałymi, a ≠ 0;
4. |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1, a 2 X+b 2)|, gdzie a 1, a 2, b 1, b 2 są stałymi.

Instrukcje. Określ ilość danych wejściowych. Wynikowe rozwiązanie zapisywane jest w pliku Word (patrz Przykład znajdowania równania regresji). Szablon rozwiązania jest również tworzony automatycznie w programie Excel. .

Liczba linii (dane źródłowe)
Podano końcowe wartości wielkości (∑x, ∑x 2, ∑xy, ∑y, ∑y 2)

Termin „współczynnik liczbowy” często pojawia się w opisach matematycznych, na przykład podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi i wyrażeniami ze zmiennymi. W poniższym artykule przedstawiono koncepcję tego terminu, łącznie z przykładem rozwiązywania problemów znalezienia współczynnika liczbowego.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wyznaczanie współczynnika numerycznego. Przykłady

Podręcznik N.Ya. Vilenkina (materiały edukacyjne dla uczniów klas szóstych) podaje następującą definicję współczynnika liczbowego wyrażenia:

Definicja 1

Jeśli wyrażenie literowe jest iloczynem jednej lub więcej liter i jednej cyfry, wówczas wywoływana jest ta liczba liczbowy współczynnik wyrazu.

Współczynnik liczbowy jest często nazywany po prostu współczynnikiem.

Definicja ta pozwala wskazać przykłady liczbowych współczynników wyrażeń.

Przykład 1

Rozważmy iloczyn liczby 5 i litery a, który będzie miał następującą formę: 5a. Liczba 5 jest współczynnikiem liczbowym wyrażenia określonego powyżej.

Inny przykład:

Przykład 2

W danym dziele x y 1, 3 x x z ułamek dziesiętny 1, 3 jest jedynym czynnikiem liczbowym, który będzie służyć jako współczynnik liczbowy wyrażenia.

Przyjrzyjmy się także następującemu wyrażeniu:

Przykład 3

7 x + y. Liczba 7 w tym przypadku nie służy jako współczynnik liczbowy wyrażenia, ponieważ dane wyrażenie nie jest iloczynem. Ale jednocześnie liczba 7 jest współczynnikiem liczbowym pierwszego wyrazu w danym wyrażeniu.

Przykład 4

Niech produkt zostanie podany 2 za 6 b 9 do.

Widzimy, że zapis wyrażenia zawiera trzy liczby i aby znaleźć współczynnik liczbowy pierwotnego wyrażenia, należy je przepisać jako wyrażenie z pojedynczym czynnikiem liczbowym. Właściwie jest to proces znajdowania współczynnika numerycznego.

Należy zauważyć, że iloczyny identycznych liter można przedstawić w postaci potęg z wykładnikiem naturalnym, dlatego definicja współczynnika liczbowego jest prawdziwa również w przypadku wyrażeń z potęgami.

Np:

Przykład 5

Wyrażenie 3 x 3 i z 2– zasadniczo zoptymalizowana wersja wyrażenia 3 · x · x · x · y · z · z, gdzie współczynnikiem wyrażenia jest liczba 3.

Porozmawiajmy osobno o współczynnikach liczbowych 1 i - 1. Bardzo rzadko są one zapisane wprost i na tym polega ich osobliwość. Gdy iloczyn składa się z kilku liter (bez wyraźnego czynnika liczbowego) i jest poprzedzony znakiem plus lub w ogóle go nie ma, możemy powiedzieć, że współczynnikiem liczbowym takiego wyrażenia jest cyfra 1. Gdy przed iloczynem liter wskazany jest znak minus, można argumentować, że w tym przypadku współczynnikiem liczbowym jest liczba - 1.

Przykład 6

Na przykład w iloczynie - 5 x + 1, liczba - 5 będzie służyć jako współczynnik numeryczny.

Przez analogię w wyrażeniu 8 1 + 1 x x cyfra 8 – współczynnik wyrazu; i w wyrażeniu π + 1 4 · sin x + π 6 · cos - π 3 + 2 · x współczynnik liczbowy wynosi π + 1 4.

Znajdowanie współczynnika liczbowego wyrażenia

Powiedzieliśmy powyżej, że jeśli wyrażenie jest iloczynem z pojedynczym czynnikiem liczbowym, wówczas czynnikiem tym będzie współczynnik liczbowy wyrażenia. W przypadku, gdy wyrażenie zapisane jest w innej formie, należy wykonać szereg identycznych przekształceń, które doprowadzą dane wyrażenie do postaci iloczynu z pojedynczym współczynnikiem liczbowym.

Przykład 7

Wyrażenie podane − 3 x (− 6). Konieczne jest określenie jego współczynnika liczbowego.

Rozwiązanie

Przeprowadźmy identyczne przekształcenie, czyli zgrupujemy czynniki będące liczbami i pomnożymy je. Następnie otrzymujemy: − 3 x (− 6) = ((− 3) (− 6)) x = 18 x .

W wynikowym wyrażeniu widzimy wyraźny współczynnik liczbowy równy 18.

Odpowiedź: 18

Przykład 8

Podane wyrażenie to a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 . Konieczne jest określenie jego współczynnika liczbowego.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć współczynnik liczbowy, dane wyrażenie całkowite przekształcamy na wielomian. Otwórzmy nawiasy i dodajmy podobne terminy, otrzymamy:

a - 1 2 2 a - 6 - 2 a 2 - 3 a - 3 = = 2 a 2 - 6 a - za + 3 - 2 za 2 + 6 a - 3 = - a

Współczynnikiem liczbowym wynikowego wyrażenia będzie liczba - 1.

Odpowiedź: - 1 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter