Masaż 

Skrzyżuj dwie równoległe linie, jedna jest zielona. Znaki równoległości dwóch linii


Pojęcie linii równoległych

Definicja 1

Równoległe linie– linie proste leżące w tej samej płaszczyźnie nie pokrywają się i nie mają punktów wspólnych.

Jeśli proste mają wspólny punkt, to tak przecinać.

Jeśli wszystkie punkty są proste mecz, to zasadniczo mamy jedną linię prostą.

Jeśli linie leżą w różnych płaszczyznach, wówczas warunki ich równoległości są nieco większe.

Rozważając linie proste leżące na tej samej płaszczyźnie, można podać następującą definicję:

Definicja 2

Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli się nie przecinają.

W matematyce linie równoległe są zwykle oznaczane znakiem równoległości „$\parallel$”. Na przykład fakt, że linia $c$ jest równoległa do linii $d$, oznacza się następująco:

$c\równolegle d$.

Często rozważa się koncepcję segmentów równoległych.

Definicja 3

Nazywa się te dwa segmenty równoległy, jeśli leżą na prostych równoległych.

Na przykład na rysunku odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, ponieważ należą do prostych równoległych:

$AB \równoległe CD$.

Jednocześnie odcinki $MN$ i $AB$ lub $MN$ i $CD$ nie są równoległe. Fakt ten można zapisać za pomocą symboli w następujący sposób:

$MN ∦ AB$ i $MN ∦ CD$.

W podobny sposób określa się równoległość prostej i odcinka, prostej i półprostej, odcinka i półprostej lub dwóch półprostych.

Odniesienie historyczne

Z języka greckiego pojęcie „parallelos” tłumaczy się jako „przychodzenie obok siebie” lub „trzymanie obok siebie”. Termin ten był używany w starożytnej szkole Pitagorasa jeszcze przed zdefiniowaniem linii równoległych. Według faktów historycznych Euklides w III w. PNE. jego prace ujawniły jednak znaczenie pojęcia linii równoległych.

W starożytności symbol oznaczający linie równoległe miał inny wygląd niż ten, którego używamy we współczesnej matematyce. Na przykład starożytny grecki matematyk Pappus z III wieku. OGŁOSZENIE równoległość oznaczono znakiem równości. Te. fakt, że linia $l$ jest równoległa do linii $m$, był wcześniej oznaczany przez „$l=m$”. Później zaczęto używać znanego znaku „$\parallel$” do oznaczenia równoległości linii, a znaku równości zaczęto używać do oznaczania równości liczb i wyrażeń.

Równoległe linie w życiu

Często nie zauważamy, że w codziennym życiu otacza nas ogromna liczba równoległych linii. Na przykład w książce muzycznej i zbiorze piosenek z nutami pięciolinia jest wykonana za pomocą linii równoległych. Linie równoległe występują również w instrumentach muzycznych (na przykład strunach harfy, gitarze, klawiszach fortepianu itp.).

Przewody elektryczne położone wzdłuż ulic i dróg również biegną równolegle. Szyny linii metra i kolei są ułożone równolegle.

Oprócz życia codziennego równoległe linie można znaleźć w malarstwie, architekturze i konstrukcji budynków.

Linie równoległe w architekturze

Na prezentowanych obrazach struktury architektoniczne zawierają równoległe linie. Zastosowanie linii równoległych w konstrukcji pomaga zwiększyć żywotność takich konstrukcji i nadaje im niezwykłe piękno, atrakcyjność i wielkość. Linie energetyczne są również celowo układane równolegle, aby uniknąć ich krzyżowania się lub dotykania, co mogłoby prowadzić do zwarć, przerw w dostawie prądu i utraty energii elektrycznej. Aby pociąg mógł się swobodnie poruszać, szyny są również wykonane w równoległych liniach.

W malarstwie linie równoległe są przedstawiane jako zbiegające się w jedną linię lub blisko niej. Technika ta nazywana jest perspektywą i wynika z iluzji widzenia. Jeśli przez dłuższy czas będziesz patrzeć w dal, równoległe linie proste będą wyglądać jak dwie zbiegające się linie.

Które leżą w tej samej płaszczyźnie i albo pokrywają się, albo nie przecinają. W niektórych definicjach szkolnych zbieżne linie nie są uważane za równoległe; taka definicja nie jest tutaj rozważana.

Nieruchomości

  1. Równoległość jest binarną relacją równoważności, dlatego dzieli cały zbiór linii na klasy linii równoległych do siebie.
  2. Przez dowolny punkt można poprowadzić dokładnie jedną linię prostą równoległą do danej. Jest to charakterystyczna właściwość geometrii euklidesowej; w innych geometriach liczba 1 jest zastępowana innymi (w geometrii Łobaczewskiego są co najmniej dwie takie linie)
  3. 2 równoległe linie w przestrzeni leżą w tej samej płaszczyźnie.
  4. Kiedy przecinają się 2 równoległe linie, powstaje trzecia, tzw sieczna:
    1. Sieczna koniecznie przecina obie linie.
    2. Podczas przecięcia powstaje 8 kątów, z których niektóre charakterystyczne pary mają specjalne nazwy i właściwości:
      1. Leżąc w poprzek kąty są równe.
      2. Odpowiedni kąty są równe.
      3. Jednostronny kąty sumują się do 180°.

W geometrii Łobaczewskiego

W geometrii Łobaczewskiego w płaszczyźnie przechodzącej przez punkt Nie można przeanalizować wyrażenia (błąd leksykalny): Cpoza tą linią AB

Istnieje nieskończona liczba prostych, które się nie przecinają AB. Spośród nich równolegle do AB tylko dwa są nazwane.

Prosty Cmi zwaną linią równoboczną (równoległą). AB w kierunku od A Do B, Jeśli:

  1. zwrotnica B I mi leżeć po jednej stronie prostej AC ;
  2. prosty Cmi nie przecina linii AB, ale każdy promień przechodzący wewnątrz kąta ACmi, przecina promień AB .

Linię prostą definiuje się podobnie AB w kierunku od B Do A .

Wszystkie inne linie, które nie przecinają tej, nazywane są ultrarównoległe Lub rozbieżny.

Zobacz też


Fundacja Wikimedia. 2010.

  • Przekraczanie linii
  • Nesterikhin, Jurij Efremowicz

Zobacz, jakie „linie równoległe” znajdują się w innych słownikach:

    BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE- LINIE RÓWNOLEGŁE, czyli nieprzecinające się linie leżące w tej samej płaszczyźnie... Nowoczesna encyklopedia

    BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE Wielki słownik encyklopedyczny

    Równoległe linie- LINIE RÓWNOLEGŁE, czyli nieprzecinające się linie leżące w tej samej płaszczyźnie. ... Ilustrowany słownik encyklopedyczny

    Równoległe linie- w geometrii euklidesowej linie proste leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. W geometrii absolutnej (patrz Geometria absolutna) przez punkt nie leżący na danej linii co najmniej jedna prosta przechodzi przez punkt, który nie przecina danej. W… … Wielka encyklopedia radziecka

    równoległe linie- linie nieprzecinające się leżące w tej samej płaszczyźnie. * * * LINIE RÓWNOLEGŁE LINIE RÓWNOLEGŁE, nieprzecinające się linie leżące w tej samej płaszczyźnie... słownik encyklopedyczny

    BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE- w geometrii euklidesowej linie proste leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. W geometrii absolutnej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi co najmniej jedna prosta, która nie przecina danej. W geometrii euklidesowej jest tylko jeden... ... Encyklopedia matematyczna

    BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE- linie nieprzecinające się leżące w tej samej płaszczyźnie... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

    Światy równoległe w fikcji- Ten artykuł może zawierać oryginalne badania. Dodaj linki do źródeł, w przeciwnym razie może zostać ustawiony do usunięcia. Więcej informacji może być na stronie dyskusji. To... Wikipedia

    Światy równoległe- Świat równoległy (w fikcji) to rzeczywistość, która w jakiś sposób istnieje równolegle z naszą, ale niezależnie od niej. Ta autonomiczna rzeczywistość może mieć różne rozmiary: od małego obszaru geograficznego po cały wszechświat. Równolegle… Wikipedia

    Równoległy- linie Linie proste nazywane są P. jeśli ani one, ani ich przedłużenia nie przecinają się. Wiadomości z jednej z tych linii są w tej samej odległości od drugiej. Jednak zwyczajowo mówi się: dwie linie proste P. przecinają się w nieskończoności. Taki… … Encyklopedia Brockhausa i Efrona

Książki

  • Zestaw tabel. Matematyka. 6 klasa. 12 tabel + metodologia, . Tabele drukowane są na grubej tekturze zadrukowanej o wymiarach 680 x 980 mm. W zestawie broszura zawierająca wskazówki dydaktyczne dla nauczycieli. Album edukacyjny składający się z 12 arkuszy. Podzielność…

Znaki równoległości dwóch linii

Twierdzenie 1. Jeżeli dwie proste przecinają się z sieczną:

    skrzyżowane kąty są równe, lub

    odpowiednie kąty są równe, lub

    suma kątów jednostronnych wynosi zatem 180°

linie są równoległe(ryc. 1).

Dowód. Ograniczamy się do udowodnienia przypadku 1.

Niech przecinające się linie a i b będą poprzeczne, a kąty AB będą równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || B.

Załóżmy, że linie aib nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M i dlatego jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Dla pewności niech ∠ 4 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM, a ∠ 6 – kątem wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ​​∠ 4 jest większe od ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, który oznacza, że ​​proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.

Wniosek 1. Dwie różne linie leżące na płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(ryc. 2).

Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta otrzymała swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku wywodu przyjmuje się założenie sprzeczne (przeciwne) z tym, co należy udowodnić. Nazywa się to doprowadzeniem do absurdu, gdyż rozumując na podstawie przyjętych założeń, dochodzimy do absurdalnego wniosku (do absurdu). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.

Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, ale nie przechodzącą przez punkt M.

Rozwiązanie. Rysujemy prostą p przez punkt M prostopadle do prostej a (ryc. 3).

Następnie rysujemy linię b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Linia b jest równoległa do linii a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.

Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
przez punkt nie leżący na danej prostej zawsze można poprowadzić prostą równoległą do danej.

Główna właściwość linii równoległych jest następująca.

Aksjomat prostych równoległych. Przez dany punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

Rozważmy niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.

1) Jeżeli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą (ryc. 4).

2) Jeżeli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (ryc. 5).

Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.

Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to:

    kąty poprzeczne są równe;

    odpowiednie kąty są równe;

    suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej(patrz ryc. 2).

Komentarz. Twierdzenie 2 nazywane jest odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. Natomiast warunek Twierdzenia 1 jest konkluzją Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, to znaczy, jeśli dane twierdzenie jest prawda, to twierdzenie odwrotne może być fałszywe.

Wyjaśnimy to na przykładzie twierdzenia o kątach pionowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są one równe. Twierdzenie odwrotne brzmiałoby: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty nie muszą być pionowe.

Przykład 1. Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.

Nie przecinają się, niezależnie od tego, jak długo trwają. Równoległość linii prostych w piśmie oznacza się w następujący sposób: AB|| Zmi

Możliwość istnienia takich linii udowadnia twierdzenie.

Twierdzenie.

Przez dowolny punkt wychodzący poza daną linię można poprowadzić punkt równoległy do ​​tej prostej.

Pozwalać AB ta linia prosta i Z jakiś punkt poza nim. Należy to udowodnić Z możesz narysować linię prostą równoległyAB. Obniżmy to do AB z punktu Z prostopadłyZD i wtedy będziemy prowadzić Zmi^ ZD, co jest możliwe. Prosty CE równoległy AB.

Aby to udowodnić, załóżmy coś przeciwnego, tj. że CE przecina AB w pewnym momencie M. A potem od razu M do linii prostej ZD mielibyśmy dwie różne prostopadłe MD I SM, co jest niemożliwe. Oznacza, CE nie mogę przejść z AB, tj. Zmi równoległy AB.

Konsekwencja.

Dwie prostopadłe (CmiID.B.) do jednej linii prostej (CD) są równoległe.

Aksjomat prostych równoległych.

Przez ten sam punkt nie można poprowadzić dwóch różnych linii równoległych do tej samej linii.

Więc jeśli prosto ZD, przeciągnięty przez punkt Z równolegle do linii AB, a następnie co drugi wiersz Zmi, pociągnięty przez ten sam punkt Z, nie może być równoległe AB, tj. ona jest w trakcie kontynuacji będzie się przecinać Z AB.

Udowodnienie tej nie do końca oczywistej prawdy okazuje się niemożliwe. Przyjmuje się je bez dowodu, jako założenie konieczne (postulatum).

Konsekwencje.

1. Jeśli prosty(Zmi) przecina się z jednym z równoległy(NE), następnie przecina się z innym ( AB), bo inaczej przez ten sam punkt Z byłyby dwie różne linie przechodzące równolegle AB, co jest niemożliwe.

2. Jeśli każdy z dwóch bezpośredni (AIB) są równoległe do tej samej trzeciej linii ( Z) , wtedy oni równoległy pomiędzy nimi.

Rzeczywiście, jeśli tak założymy A I B przecinają się w pewnym momencie M, to przechodziłyby przez nie dwie różne linie równoległe do tego punktu Z, co jest niemożliwe.

Twierdzenie.

Jeśli linia jest prostopadła do jednej z równoległych linii, to jest prostopadła do drugiej równoległy.

Pozwalać AB || ZD I E.F. ^ AB Należy to udowodnić E.F. ^ ZD.

ProstopadłymiF, przecinający się z AB, z pewnością przetnie i ZD. Niech będzie punkt przecięcia H.

Załóżmy teraz, że ZD nie prostopadle do E.H.. Potem jakaś inna linia prosta, np H.K., będzie prostopadłe do E.H. a zatem przez ten sam punkt H będą dwa prosto równolegle AB: jeden ZD, według warunku i inne H.K. jak wcześniej udowodniono. Ponieważ jest to niemożliwe, nie można tego zakładać NE nie był prostopadły do E.H..

ROZDZIAŁ III.
BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE

§ 35. ZNAKI DWÓCH LINII RÓWNOLEGŁYCH.

Twierdzenie, że dwie prostopadłe do jednej prostej są równoległe (§ 33), daje znak, że dwie proste są równoległe. Możliwe jest wyprowadzenie bardziej ogólnych znaków równoległości dwóch linii.

1. Pierwsza oznaka równoległości.

Jeżeli przy przecięciu dwóch prostych z trzecią kąty wewnętrzne leżące naprzeciw siebie są równe, to linie te są równoległe.

Niech linie proste AB i CD przetną się z linią prostą EF i / 1 = / 2. Weźmy punkt O - środek odcinka KL siecznej EF (ryc. 189).

Opuśćmy prostopadłą OM z punktu O na prostą AB i kontynuujmy ją aż przetnie się z prostą CD AB_|_MN. Udowodnimy, że CD_|_MN.
Aby to zrobić, rozważ dwa trójkąty: MOE i NOK. Te trójkąty są sobie równe. Rzeczywiście: / 1 = / 2 zgodnie z warunkami twierdzenia; ОK = ОL - według konstrukcji;
/ MOL = / NOK, jak kąty pionowe. Zatem bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta; stąd, /\ MOL = /\ NIE, i dlatego
/ LMO = / KNO, ale / Oznacza to, że LMO jest bezpośrednie / KNO jest również proste. Zatem proste AB i CD są prostopadłe do tej samej prostej MN, a zatem są równoległe (§ 33), co należało udowodnić.

Notatka. Przecięcie prostych MO i CD można wyznaczyć obracając trójkąt MOL wokół punktu O o 180°.

2. Drugi znak równoległości.

Zobaczmy, czy proste AB i CD są równoległe, jeśli w momencie przecięcia z trzecią prostą EF odpowiadające im kąty są równe.

Niech niektóre odpowiednie kąty będą równe, na przykład / 3 = / 2 (rysunek 190);
/ 3 = / 1, ponieważ kąty są pionowe; Oznacza, / 2 będzie równe / 1. Ale kąty 2 i 1 przecinają kąty wewnętrzne i wiemy już, że jeśli gdy dwie proste przecinają trzecią, przecinające się kąty wewnętrzne są równe, to te proste są równoległe. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z trzecią, odpowiadające im kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.

Na tej właściwości opiera się konstrukcja linii równoległych za pomocą linijki i trójkąta rysunkowego. Odbywa się to w następujący sposób.

Przymocujmy trójkąt do linijki, jak pokazano na rysunku 191. Przesuniemy trójkąt tak, aby jeden z jego boków przesuwał się po linijce i narysujemy kilka prostych linii wzdłuż innego boku trójkąta. Linie te będą równoległe.

3. Trzeci znak równoległości.

Powiedzmy, że gdy dwie proste AB i CD przecinają się z trzecią prostą, to suma wszystkich kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 2 D(lub 180°). Czy w tym przypadku linie proste AB i CD będą równoległe (ryc. 192).

Pozwalać / 1 i / 2 to kąty wewnętrzne jednostronne i sumują się do 2 D.
Ale / 3 + / 2 = 2D jako sąsiednie kąty. Stąd, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Stąd / 1 = / 3, a te kąty wewnętrzne leżą poprzecznie. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeżeli dwie linie proste przecinają się z trzecią, suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 d, to te dwie linie są równoległe.

Ćwiczenia.

Udowodnić, że proste są równoległe:
a) jeśli zewnętrzne kąty poprzeczne są równe (ryc. 193);
b) jeśli suma zewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 2 D(rysunek 194).