Alergia

Wszystkie modele matematyczne są błędne. Wykład: Modelowanie matematyczne

Komputery mocno wkroczyły w nasze życie i praktycznie nie ma takiej dziedziny ludzkiej działalności, w której komputery nie byłyby używane. Komputery są obecnie szeroko stosowane w procesie tworzenia i badania nowych maszyn, nowych procesów technologicznych oraz poszukiwania ich optymalnych opcji; przy rozwiązywaniu problemów ekonomicznych, przy rozwiązywaniu problemów planowania i zarządzania produkcją na różnych poziomach. Tworzenie dużych obiektów w przemyśle rakietowym, lotniczym, stoczniowym, a także projektowanie zapór, mostów itp. jest generalnie niemożliwe bez użycia komputerów.

Aby użyć komputera do rozwiązywania problemów aplikacyjnych, po pierwsze, zastosowany problem musi być "przetłumaczony" na formalny język matematyczny, tj. dla rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu należy zbudować jego model matematyczny.

Słowo „Model” pochodzi od łacińskiego modus (kopia, obraz, zarys). Modelowanie to zastąpienie pewnego obiektu A innym obiektem B. Zastąpiony obiekt A nazywany jest oryginałem lub obiektem modelującym, a zamiennik B nazywany jest modelem. Innymi słowy, model jest zamiennikiem obiektu oryginalnego obiektu, zapewniającym badanie niektórych właściwości oryginału.

Celem modelowania jest pozyskiwanie, przetwarzanie, przedstawianie i wykorzystywanie informacji o obiektach wchodzących w interakcje ze sobą oraz ze środowiskiem zewnętrznym; a model działa tutaj jako środek poznania właściwości i wzorców zachowania obiektu.

Modelowanie matematyczne to sposób badania rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu poprzez zastąpienie ich modelem matematycznym, który jest wygodniejszy w badaniach eksperymentalnych z wykorzystaniem komputera.

Modelowanie matematyczne to proces konstruowania i badania modeli matematycznych rzeczywistych procesów i zjawisk. Wszystkie nauki przyrodnicze i społeczne, które posługują się aparatem matematycznym, zasadniczo zajmują się modelowaniem matematycznym: zastępują rzeczywisty obiekt jego modelem, a następnie badają ten drugi. Jak w przypadku każdej symulacji, model matematyczny nie opisuje w pełni badanego zjawiska, a pytania o przydatność uzyskanych w ten sposób wyników są bardzo wymowne. Model matematyczny to uproszczony opis rzeczywistości za pomocą pojęć matematycznych.

Model matematyczny wyraża podstawowe cechy obiektu lub procesu w języku równań i innych środków matematycznych. Ściśle mówiąc, sama matematyka zawdzięcza swoje istnienie temu, co stara się odzwierciedlać, tj. modelować, we własnym, specyficznym języku, wzorce otaczającego świata.

Na modelowanie matematyczne badanie obiektu odbywa się za pomocą modelu sformułowanego w języku matematyki przy użyciu określonych metod matematycznych.

Ścieżka modelowania matematycznego w naszych czasach jest znacznie bardziej wszechstronna niż modelowanie naturalne. Ogromny impuls do rozwoju modelowania matematycznego nadało pojawienie się komputerów, choć sama metoda narodziła się równocześnie z matematyką tysiące lat temu.

Modelowanie matematyczne jako takie nie zawsze wymaga wsparcia komputerowego. Każdy specjalista zawodowo zajmujący się modelowaniem matematycznym robi wszystko, co możliwe dla analitycznego badania modelu. Rozwiązania analityczne (tj. reprezentowane przez wzory wyrażające wyniki badania za pomocą danych początkowych) są zwykle wygodniejsze i zawierają więcej informacji niż rozwiązania numeryczne. Możliwości metod analitycznych rozwiązywania złożonych problemów matematycznych są jednak bardzo ograniczone i z reguły metody te są znacznie bardziej skomplikowane niż metody numeryczne.

Model matematyczny to przybliżone odwzorowanie rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów, wyrażone w kategoriach matematycznych i zachowujące zasadnicze cechy oryginału. Modele matematyczne w postaci ilościowej, za pomocą konstrukcji logicznych i matematycznych, opisują główne właściwości obiektu, procesu lub systemu, jego parametry, powiązania wewnętrzne i zewnętrzne

Wszystkie modele można podzielić na dwie klasy:

prawdziwy,
ideał.

Z kolei modele rzeczywiste można podzielić na:

naturalny,
fizyczny,
matematyczny.

Modele idealne można podzielić na:

wizualny,
ikonowy,
matematyczny.

Prawdziwe modele w pełnej skali to rzeczywiste obiekty, procesy i systemy, na których przeprowadza się eksperymenty naukowe, techniczne i przemysłowe.

Prawdziwe modele fizyczne to makiety, modele odtwarzające właściwości fizyczne oryginałów (modele kinematyczne, dynamiczne, hydrauliczne, termiczne, elektryczne, lekkie).

Prawdziwe matematyczne to modele analogowe, strukturalne, geometryczne, graficzne, cyfrowe i cybernetyczne.

Idealnymi modelami wizualnymi są diagramy, mapy, rysunki, wykresy, wykresy, analogi, modele strukturalne i geometryczne.

Idealnymi modelami znaków są symbole, alfabet, języki programowania, notacja uporządkowana, notacja topologiczna, reprezentacja sieci.

Idealnymi modelami matematycznymi są modele analityczne, funkcjonalne, symulacyjne, kombinowane.

W powyższej klasyfikacji niektóre modele mają podwójną interpretację (na przykład analogową). Od tego czasu wszystkie modele, z wyjątkiem pełnoskalowych, można połączyć w jedną klasę modeli mentalnych są produktem abstrakcyjnego myślenia człowieka.

Elementy teorii gier

W ogólnym przypadku rozwiązanie gry jest raczej trudnym problemem, a złożoność problemu i ilość obliczeń wymaganych do jego rozwiązania gwałtownie rosną wraz ze wzrostem . Trudności te nie mają jednak charakteru fundamentalnego i wiążą się jedynie z bardzo dużą objętością obliczeń, co w wielu przypadkach może okazać się praktycznie niewykonalne. Podstawowa strona metody znajdowania rozwiązania pozostaje dla każdego jeden i ten sam.

Zilustrujmy to przykładem gry. Nadajmy temu interpretację geometryczną - już przestrzenną. Nasze trzy strategie przedstawimy za pomocą trzech punktów na płaszczyźnie ; pierwszy leży na początku (ryc. 1). drugi i trzeci - na osiach Oh I jednostka organizacyjna w odległości 1 od początku.

Osie I-I, II-II i III-III są poprowadzone przez punkty prostopadle do płaszczyzny . Na osi I-I wykreślono wypłaty dla strategii, na osiach II-II i III-III - wypłaty dla strategii. Każda strategia wroga będzie reprezentowana przez płaszczyznę odcinającą w osiach I-I, II-II i III-III, odcinki równe wzmocnieniom

z odpowiednią strategią i strategią . Skonstruowawszy w ten sposób wszystkie strategie wroga, otrzymamy rodzinę samolotów nad trójkątem (ryc. 2).

Dla tej rodziny można również skonstruować dolną granicę wypłat, tak jak zrobiliśmy to w przypadku, i znaleźć na tej granicy punkt N o maksymalnej wysokości na płaszczyźnie . Ta wysokość będzie ceną gry.

Częstotliwości strategii w strategii optymalnej zostaną określone przez współrzędne (x, y) punkty N, a mianowicie:

Jednak taka geometryczna konstrukcja, nawet jak na przypadek, nie jest łatwa do wykonania i wymaga ogromnej inwestycji czasu i wyobraźni. W ogólnym przypadku gry jest ona jednak przenoszona do przestrzeni dwuwymiarowej i traci wszelką klarowność, chociaż użycie terminologii geometrycznej w niektórych przypadkach może być przydatne. Podczas rozwiązywania gier w praktyce wygodniej jest używać nie analogii geometrycznych, ale analitycznych metod obliczeniowych, zwłaszcza że tylko te metody nadają się do rozwiązywania problemów na komputerach.

Wszystkie te metody sprowadzają się zasadniczo do rozwiązania problemu poprzez kolejne próby, jednak uporządkowanie sekwencji prób pozwala na zbudowanie algorytmu prowadzącego do rozwiązania w najbardziej ekonomiczny sposób.

Tutaj pokrótce omówimy jedną metodę obliczeniową rozwiązywania gier - na tak zwanej metodzie „programowania liniowego”.

Aby to zrobić, najpierw podajemy ogólne stwierdzenie problemu znalezienia rozwiązania gry. Niech gra będzie dana T strategie graczy A I N strategie graczy W i podana jest macierz wypłat

Wymagane jest znalezienie rozwiązania gry, czyli dwóch optymalnych strategii mieszanych dla graczy A i B

gdzie (niektóre liczby i mogą być równe zeru).

Nasza optymalna strategia S*A powinien dać nam wypłatę nie mniejszą niż , za każde zachowanie wroga i wypłatę równą , za jego optymalne zachowanie (strategia S*B).Podobnie strategia S*B musi zapewnić wrogowi stratę nie większą niż , za jakiekolwiek nasze zachowanie i równą dla naszego optymalnego zachowania (strategia S*A).

Wartość gry w tym przypadku jest nam nieznana; założymy, że jest ona równa pewnej liczbie dodatniej. Przyjmując to, nie naruszamy ogólności rozumowania; aby było > 0, oczywiście wystarczy, aby wszystkie elementy macierzy były nieujemne. Zawsze można to osiągnąć dodając odpowiednio dużą dodatnią wartość L do elementów; w takim przypadku koszt gry wzrośnie o L, a rozwiązanie się nie zmieni.

Wybierzmy naszą optymalną strategię S* A. Wtedy nasza średnia wypłata dla strategii przeciwnika będzie równa:

Nasza optymalna strategia S*A ma tę właściwość, że za każde zachowanie przeciwnika zapewnia zysk nie mniejszy niż ; dlatego żadna z liczb nie może być mniejsza niż . Otrzymujemy szereg warunków:

(1)

Podziel nierówności (1) przez wartość dodatnią i oznacz:

Wówczas warunek (1) można zapisać jako

(2)

gdzie to liczby nieujemne. Ponieważ ilości spełniają warunek

Chcemy, aby nasza gwarantowana wygrana była jak najwyższa; Oczywiście w tym przypadku prawa strona równości (3) przyjmuje wartość minimalną.

Zatem problem znalezienia rozwiązania gry sprowadza się do następującego problemu matematycznego: zdefiniuj wielkości nieujemne spełniające warunki (2), tak aby ich suma

był minimalny.

Zwykle przy rozwiązywaniu problemów związanych ze znalezieniem wartości ekstremalnych (maksimum i minimów) funkcja jest różniczkowana, a pochodne zrównywane do zera. Ale taka technika jest w tym przypadku bezużyteczna, ponieważ funkcja Ф, która potrzebować minimalizuje, jest liniowa, a jej pochodne względem wszystkich argumentów są równe jeden, czyli nigdzie nie znikają. W konsekwencji maksimum funkcji osiągane jest gdzieś na granicy obszaru zmian argumentów, co jest określone wymogiem nieujemności argumentów i warunków (2). Metoda znajdowania wartości ekstremalnych za pomocą różniczkowania jest również nieodpowiednia w tych przypadkach, gdy dla rozwiązania gry określa się maksimum dolnej (lub minimum górnej) granicy wypłaty, jak to zrobiliśmy. robili to np. przy rozwiązywaniu gier. Rzeczywiście dolną granicę tworzą odcinki prostych, a maksimum osiągane jest nie w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru (taki punkt w ogóle nie istnieje), ale na granicy przedziału lub w punkcie przecięcia odcinków prostych.

Aby rozwiązać takie problemy, które są dość powszechne w praktyce, w matematyce opracowano specjalny aparat. Programowanie liniowe.

Problem programowania liniowego jest postawiony w następujący sposób.

Biorąc pod uwagę układ równań liniowych:

(4)

Wymagane jest znalezienie nieujemnych wartości wielkości spełniających warunki (4) i jednocześnie minimalizujących daną jednorodną funkcję liniową wielkości (postać liniowa):

Łatwo zauważyć, że postawiony powyżej problem teorii gier jest szczególnym przypadkiem problemu programowania liniowego dla

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że warunki (2) nie są równoważne warunkom (4), ponieważ zamiast znaków równości zawierają znaki nierówności. Łatwo jednak pozbyć się znaków nierówności, wprowadzając nowe fikcyjne zmienne nieujemne i zapisując warunki (2) w postaci:

(5)

Forma Ф, którą należy zminimalizować, jest równa

Urządzenie do programowania liniowego pozwala, za pomocą stosunkowo małej liczby kolejnych próbek, na wybranie wartości , spełniający wymagania. Dla większej przejrzystości zademonstrujemy tutaj użycie tego aparatu bezpośrednio na materiale rozwiązywania konkretnych gier.

W artykule, na który zwrócono uwagę, oferujemy przykłady modeli matematycznych. Ponadto zwrócimy uwagę na etapy tworzenia modeli oraz przeanalizujemy niektóre problemy związane z modelowaniem matematycznym.

Kolejnym naszym zagadnieniem są modele matematyczne w ekonomii, których przykładami zajmiemy się definicją nieco później. Proponujemy rozpocząć rozmowę od samego pojęcia „modeli”, krótko rozważyć ich klasyfikację i przejść do naszych głównych pytań.

Pojęcie „modelu”

Często słyszymy słowo „model”. Co to jest? Ten termin ma wiele definicji, oto tylko trzy z nich:

określony przedmiot, który jest tworzony w celu odbierania i przechowywania informacji, odzwierciedlając pewne właściwości lub cechy itp. oryginału tego obiektu (ten konkretny przedmiot można wyrazić w różnych formach: mentalnej, opisu za pomocą znaków itp.);
model oznacza również przedstawienie dowolnej konkretnej sytuacji, życia lub zarządzania;
mała kopia obiektu może służyć jako model (są one tworzone do bardziej szczegółowych badań i analiz, ponieważ model odzwierciedla strukturę i relacje).

Na podstawie wszystkiego, co zostało powiedziane wcześniej, możemy wyciągnąć mały wniosek: model pozwala szczegółowo zbadać złożony system lub obiekt.

Wszystkie modele można sklasyfikować według kilku kryteriów:

według obszaru użytkowania (edukacyjne, eksperymentalne, naukowo-techniczne, gry, symulacje);
przez dynamikę (statyczną i dynamiczną);
według gałęzi wiedzy (fizyczna, chemiczna, geograficzna, historyczna, socjologiczna, ekonomiczna, matematyczna);
według sposobu prezentacji (materiałowy i informacyjny).

Z kolei modele informacyjne dzielą się na znakowe i werbalne. I kultowe - na komputerze i poza komputerem. Przejdźmy teraz do szczegółowego rozważenia przykładów modelu matematycznego.

Model matematyczny

Jak można się domyślić, model matematyczny odzwierciedla pewne cechy obiektu lub zjawiska za pomocą specjalnych symboli matematycznych. Matematyka jest potrzebna do modelowania praw świata w jego własnym, specyficznym języku.

Metoda modelowania matematycznego powstała dość dawno, tysiące lat temu, wraz z pojawieniem się tej nauki. Impulsem do rozwoju tej metody modelowania było jednak pojawienie się komputerów (komputerów elektronicznych).

Przejdźmy teraz do klasyfikacji. Można to również przeprowadzić zgodnie z niektórymi znakami. Przedstawiono je w tabeli poniżej.

Proponujemy zatrzymać się i przyjrzeć bliżej ostatniej klasyfikacji, ponieważ odzwierciedla ona ogólne wzorce modelowania i cele tworzonych modeli.

Modele opisowe

W tym rozdziale proponujemy bardziej szczegółowe omówienie opisowych modeli matematycznych. Aby wszystko było bardzo jasne, podany zostanie przykład.

Na początek widok ten można nazwać opisowym. Wynika to z faktu, że po prostu dokonujemy obliczeń i prognoz, ale nie możemy w żaden sposób wpłynąć na wynik wydarzenia.

Uderzającym przykładem opisowego modelu matematycznego jest obliczenie toru lotu, prędkości, odległości od Ziemi komety, która zaatakowała obszary naszego Układu Słonecznego. Ten model ma charakter opisowy, ponieważ wszystkie uzyskane wyniki mogą nas jedynie ostrzec przed jakimś niebezpieczeństwem. Niestety nie mamy wpływu na wynik wydarzenia. Jednak na podstawie uzyskanych obliczeń możliwe jest podjęcie wszelkich działań w celu zachowania życia na Ziemi.

Modele optymalizacji

Teraz porozmawiamy trochę o modelach ekonomicznych i matematycznych, których przykładami mogą być różne sytuacje. W tym przypadku mówimy o modelach, które pomagają znaleźć właściwą odpowiedź w określonych warunkach. Muszą mieć jakieś parametry. Aby było to bardzo jasne, rozważmy przykład z części agrarnej.

Mamy spichlerz, ale zboże bardzo szybko się psuje. W takim przypadku musimy wybrać odpowiedni reżim temperaturowy i zoptymalizować proces przechowywania.

W ten sposób możemy zdefiniować pojęcie „modelu optymalizacji”. W sensie matematycznym jest to układ równań (zarówno liniowych, jak i nieliniowych), których rozwiązanie pomaga znaleźć optymalne rozwiązanie w określonej sytuacji ekonomicznej. Rozważaliśmy przykład modelu matematycznego (optymalizacji), ale chciałbym dodać jeszcze jedną rzecz: ten typ należy do klasy problemów ekstremalnych, pomagają one opisać funkcjonowanie systemu gospodarczego.

Zwracamy uwagę na jeszcze jeden niuans: modele mogą mieć inny charakter (patrz tabela poniżej).

Modele wielokryterialne

Teraz zapraszamy do krótkiej rozmowy na temat matematycznego modelu optymalizacji wielokryterialnej. Wcześniej podaliśmy przykład matematycznego modelu optymalizacji procesu według dowolnego kryterium, ale co, jeśli jest ich dużo?

Uderzającym przykładem zadania wielokryterialnego jest organizacja prawidłowego, zdrowego i jednocześnie ekonomicznego żywienia dużych grup ludności. Z takimi zadaniami często spotyka się wojsko, stołówki szkolne, kolonie letnie, szpitale i tak dalej.

Jakie kryteria są nam dane w tym zadaniu?

Jedzenie powinno być zdrowe.
Wydatki na żywność należy ograniczyć do minimum.

Jak widać, te cele wcale się nie pokrywają. Oznacza to, że rozwiązując problem, należy szukać rozwiązania optymalnego, równowagi między tymi dwoma kryteriami.

Modele gier

Mówiąc o modelach gier, konieczne jest zrozumienie pojęcia „teorii gier”. Mówiąc najprościej, modele te odzwierciedlają matematyczne modele rzeczywistych konfliktów. Warto tylko zrozumieć, że w przeciwieństwie do prawdziwego konfliktu, model matematyczny gry ma swoje specyficzne reguły.

Teraz podam minimum informacji z teorii gier, które pomogą Ci zrozumieć czym jest model gry. I tak w modelu koniecznie są partie (dwie lub więcej), które zwykle nazywane są graczami.

Wszystkie modele mają określone cechy.

Model gry może być sparowany lub wielokrotny. Jeśli mamy dwa podmioty, to konflikt jest sparowany, jeśli więcej - wielokrotny. Wyróżnić można również grę antagonistyczną, nazywaną też grą o sumie zerowej. Jest to model, w którym zysk jednego z uczestników jest równy stracie drugiego.

modele symulacyjne

W tej części skupimy się na symulacyjnych modelach matematycznych. Przykładowe zadania to:

model dynamiki liczebności mikroorganizmów;
model ruchu molekularnego i tak dalej.

W tym przypadku mówimy o modelach jak najbardziej zbliżonych do rzeczywistych procesów. Ogólnie rzecz biorąc, naśladują wszelkie przejawy natury. Na przykład w pierwszym przypadku możemy modelować dynamikę liczby mrówek w jednej kolonii. W takim przypadku możesz obserwować losy każdej osoby. W tym przypadku opis matematyczny jest rzadko używany, częściej występują warunki pisane:

po pięciu dniach samica składa jaja;
po dwudziestu dniach mrówka umiera i tak dalej.

W ten sposób są używane do opisu dużego systemu. Wniosek matematyczny to przetwarzanie otrzymanych danych statystycznych.

Wymagania

Bardzo ważne jest, aby wiedzieć, że istnieją pewne wymagania dotyczące tego typu modelu, między innymi te podane w poniższej tabeli.

Wszechstronność	Ta właściwość pozwala na użycie tego samego modelu przy opisywaniu grup obiektów tego samego typu. Należy zauważyć, że uniwersalne modele matematyczne są całkowicie niezależne od fizycznej natury badanego obiektu.
Adekwatność	Tutaj ważne jest, aby zrozumieć, że ta właściwość pozwala na najbardziej poprawną reprodukcję rzeczywistych procesów. W problemach operacyjnych ta właściwość modelowania matematycznego jest bardzo ważna. Przykładem modelu jest proces optymalizacji wykorzystania systemu gazowego. W takim przypadku porównywane są wskaźniki obliczone i rzeczywiste, w wyniku czego sprawdzana jest poprawność opracowanego modelu.
Dokładność	Wymóg ten implikuje zbieżność wartości, które uzyskujemy podczas obliczania modelu matematycznego i parametrów wejściowych naszego rzeczywistego obiektu
gospodarka	Wymóg oszczędności dla każdego modelu matematycznego charakteryzuje się kosztami implementacji. Jeśli praca z modelem odbywa się ręcznie, należy obliczyć, ile czasu zajmie rozwiązanie jednego problemu za pomocą tego modelu matematycznego. Jeśli mówimy o projektowaniu wspomaganym komputerowo, obliczane są wskaźniki czasu i pamięci komputera

Etapy modelowania

W sumie zwyczajowo wyróżnia się cztery etapy modelowania matematycznego.

Formułowanie praw łączących części modelu.
Badanie problemów matematycznych.
Znalezienie zbieżności wyników praktycznych i teoretycznych.
Analiza i modernizacja modelu.

Model ekonomiczny i matematyczny

W tej sekcji pokrótce omówimy to zagadnienie.Przykładowe zadania mogą być następujące:

tworzenie programu produkcyjnego do produkcji wyrobów mięsnych, zapewniającego maksymalny zysk z produkcji;
maksymalizacja zysku organizacji poprzez obliczenie optymalnej liczby stołów i krzeseł do wyprodukowania w fabryce mebli i tak dalej.

Model ekonomiczno-matematyczny przedstawia abstrakcję ekonomiczną, wyrażoną za pomocą terminów i znaków matematycznych.

Komputerowy model matematyczny

Przykładami komputerowego modelu matematycznego są:

zadania hydrauliczne z wykorzystaniem schematów blokowych, diagramów, tabel itp.;
problemy z mechaniki ciał stałych i tak dalej.

Model komputerowy to obraz obiektu lub systemu, przedstawiony jako:

stoły;
schematy blokowe;
diagramy;
grafika i tak dalej.

Jednocześnie model ten odzwierciedla strukturę i wzajemne powiązania systemu.

Budowa modelu ekonomicznego i matematycznego

Mówiliśmy już o tym, czym jest model ekonomiczno-matematyczny. Przykład rozwiązania problemu zostanie teraz rozważony. Musimy przeanalizować program produkcyjny, aby zidentyfikować rezerwę na zwiększenie zysków przy zmianie asortymentu.

Nie będziemy w pełni rozważać problemu, a jedynie zbudujemy model ekonomiczny i matematyczny. Kryterium naszego zadania jest maksymalizacja zysku. Wtedy funkcja ma postać: Л=р1*х1+р2*х2… dążąc do maksimum. W tym modelu p to zysk na jednostkę, x to liczba wyprodukowanych jednostek. Ponadto na podstawie skonstruowanego modelu należy dokonać obliczeń i podsumować.

Przykład budowy prostego modelu matematycznego

Zadanie. Rybak wrócił z następującym połowem:

8 ryb - mieszkańcy mórz północnych;
20% połowu - mieszkańcy mórz południowych;
z miejscowej rzeki nie znaleziono ani jednej ryby.

Ile ryb kupił w sklepie?

Tak więc przykład konstrukcji modelu matematycznego tego problemu jest następujący. Całkowitą liczbę ryb oznaczamy jako x. Zgodnie z tym warunkiem 0,2x to liczba ryb żyjących na południowych szerokościach geograficznych. Teraz łączymy wszystkie dostępne informacje i otrzymujemy model matematyczny problemu: x=0,2x+8. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy odpowiedź na główne pytanie: kupił w sklepie 10 ryb.

MODEL MATEMATYCZNY – przedstawienie badanego zjawiska lub procesu w konkretnej wiedzy naukowej w języku pojęć matematycznych. Jednocześnie szereg właściwości badanego zjawiska ma być uzyskany na ścieżce badania rzeczywistych charakterystyk matematycznych modelu. Budowa M.m. najczęściej podyktowane koniecznością ilościowej analizy badanych zjawisk i procesów, bez której z kolei niemożliwe jest eksperymentalnie weryfikowalne przewidywanie ich przebiegu.

Proces modelowania matematycznego z reguły przebiega przez następujące etapy. W pierwszym etapie powiązania między głównymi parametrami przyszłego M.m. Przede wszystkim mówimy o jakościowej analizie badanych zjawisk i sformułowaniu wzorców łączących główne obiekty badań. Na tej podstawie przeprowadzana jest identyfikacja obiektów, które umożliwiają opis ilościowy. Etap kończy się budową hipotetycznego modelu, czyli zapisem w języku pojęć matematycznych idei jakościowych o relacjach między głównymi obiektami modelu, które można scharakteryzować ilościowo.

W drugim etapie następuje badanie rzeczywistych problemów matematycznych, do których prowadzi skonstruowany hipotetyczny model. Na tym etapie najważniejsze jest uzyskanie empirycznie weryfikowalnych konsekwencji teoretycznych (rozwiązania problemu bezpośredniego) w wyniku matematycznej analizy modelu. Jednocześnie nierzadko zdarzają się przypadki, gdy do budowy i badania M.m. w różnych obszarach konkretnej wiedzy naukowej stosuje się ten sam aparat matematyczny (np. równania różniczkowe) i pojawiają się problemy matematyczne tego samego typu, choć w każdym konkretnym przypadku bardzo nietrywialne. Ponadto na tym etapie ogromnego znaczenia nabiera wykorzystanie technologii szybkich obliczeń (komputera), która umożliwia uzyskanie przybliżonego rozwiązania problemów, często niemożliwych w ramach czystej matematyki, z niedostępnym wcześniej (bez użycia komputera) stopniem dokładności.

Etap trzeci charakteryzuje się działaniami mającymi na celu określenie stopnia adekwatności skonstruowanego hipotetycznego M.m. te zjawiska i procesy, których badanie było przeznaczone. Mianowicie, w przypadku, gdy określono wszystkie parametry modelu, badacze próbują dowiedzieć się, w jaki sposób, w ramach dokładności obserwacji, ich wyniki są zgodne z teoretycznymi konsekwencjami modelu. Odchylenia wykraczające poza dokładność obserwacji wskazują na nieadekwatność modelu. Jednak często zdarzają się przypadki, gdy podczas budowania modelu wiele jego parametrów pozostaje niezmienionych.

nieokreślony. Problemy, w których charakterystyki parametryczne modelu są ustalone w taki sposób, że konsekwencje teoretyczne są porównywalne w zakresie dokładności obserwacji z wynikami testów empirycznych, nazywane są problemami odwrotnymi.

Na czwartym etapie, uwzględniając identyfikację stopnia adekwatności skonstruowanego modelu hipotetycznego oraz pojawienie się nowych danych eksperymentalnych dotyczących badanych zjawisk, następuje dalsza analiza i modyfikacja modelu. Tutaj podejmowana decyzja waha się od bezwarunkowego odrzucenia zastosowanych narzędzi matematycznych do przyjęcia skonstruowanego modelu jako podstawy do zbudowania zasadniczo nowej teorii naukowej.

pierwsza mama pojawił się w nauce starożytnej. Tak więc, aby modelować Układ Słoneczny, grecki matematyk i astronom Eudoksos dał każdej planecie cztery kule, których połączenie ruchu stworzyło hiponoga - matematyczną krzywą podobną do obserwowanego ruchu planety. Ponieważ jednak model ten nie mógł wyjaśnić wszystkich zaobserwowanych anomalii w ruchu planet, został później zastąpiony przez model epicykliczny Apoloniusza z Perge. Najnowszy model wykorzystał w swoich badaniach Hipparch, a następnie, poddając go pewnej modyfikacji, Ptolemeusz. Model ten, podobnie jak jego poprzednicy, opierał się na przekonaniu, że planety wykonują jednostajne ruchy kołowe, których nakładanie się tłumaczyło widoczne nieprawidłowości. Jednocześnie należy zauważyć, że model kopernikański był zasadniczo nowy tylko w sensie jakościowym (ale nie jako M.M.). I tylko Kepler, opierając się na obserwacjach Tycho Brahe, zbudował nową M.m. Układ Słoneczny, dowodzący, że planety poruszają się nie po orbitach kołowych, ale po eliptycznych orbitach.

Obecnie najbardziej adekwatne są MM konstruowane do opisu zjawisk mechanicznych i fizycznych. W sprawie adekwatności M.m. poza fizyką można, z kilkoma wyjątkami, mówić z dużą dozą ostrożności. Niemniej jednak ustalenie hipotetyczności, a często po prostu nieadekwatności M.m. w różnych dziedzinach wiedzy nie należy lekceważyć ich roli w rozwoju nauki. Często zdarza się, że nawet modele dalekie od adekwatności w dużym stopniu zorganizowane i stymulowane do dalszych badań, wraz z błędnymi wnioskami, zawierały te ziarna prawdy, które w pełni uzasadniały wysiłek włożony w opracowanie tych modeli.

Literatura:

Modelowanie matematyczne. M., 1979;

Ruzawin GI Matematyzacja wiedzy naukowej. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabaszewa Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Równania różniczkowe w ekologii: refleksja historyczna i metodologiczna // Problemy historii nauk przyrodniczych i techniki. 1997. nr 3.

Słownik terminów filozoficznych. Wydanie naukowe profesora V.G. Kuzniecowa. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Co to jest model matematyczny?

Pojęcie modelu matematycznego.

Model matematyczny to bardzo prosta koncepcja. I bardzo ważne. To modele matematyczne łączą matematykę z prawdziwym życiem.

W prostych słowach, model matematyczny to matematyczny opis dowolnej sytuacji. I to wszystko. Model może być prymitywny, może być bardzo złożony. Jaka jest sytuacja, jaki jest model.)

W każdym (powtarzam - w jakimkolwiek!) biznes, w którym trzeba coś obliczyć i obliczyć - zajmujemy się modelowaniem matematycznym. Nawet jeśli o tym nie wiemy).

P. \u003d 2 CB + 3 CB

Zapis ten będzie matematycznym modelem wydatków na nasze zakupy. Model nie uwzględnia koloru opakowania, daty ważności, uprzejmości kasjerów itp. Dlatego ona Model, nie prawdziwy zakup. Ale koszty, tj. Czego potrzebujemy- przekonamy się na pewno. Oczywiście, jeśli model jest poprawny.

Warto sobie wyobrazić, czym jest model matematyczny, ale to nie wystarczy. Najważniejsza jest umiejętność budowania tych modeli.

Kompilacja (konstrukcja) modelu matematycznego problemu.

Stworzenie modelu matematycznego oznacza przełożenie warunków problemu na postać matematyczną. Te. zamień słowa w równanie, wzór, nierówność itp. Co więcej, obróć go tak, aby ta matematyka ściśle odpowiadała oryginalnemu tekstowi. W przeciwnym razie skończymy z matematycznym modelem jakiegoś innego, nieznanego nam problemu.)

Dokładniej, potrzebujesz

Na świecie istnieje nieskończona liczba zadań. Dlatego, aby zaoferować jasne instrukcje krok po kroku dotyczące kompilacji modelu matematycznego każdy zadania są niemożliwe.

Ale są trzy główne punkty, na które należy zwrócić uwagę.

1. Co dziwne, w każdym zadaniu jest tekst.) Ten tekst z reguły ma jasne, otwarte informacje. Liczby, wartości itp.

2. W każdym zadaniu jest ukryte informacje. Jest to tekst, który zakłada obecność dodatkowej wiedzy w głowie. Bez nich - nic. Ponadto informacje matematyczne są często ukryte za prostymi słowami i… umykają uwadze.

3. W każdym zadaniu należy podać komunikacja między danymi. To połączenie może być podane czystym tekstem (coś równa się czemuś) lub może być ukryte za prostymi słowami. Ale proste i jasne fakty są często pomijane. A model nie jest w żaden sposób kompilowany.

Muszę od razu powiedzieć, że aby zastosować te trzy punkty, problem należy przeczytać (i to uważnie!) kilka razy. Zwykła rzecz.

A teraz - przykłady.

Zacznijmy od prostego problemu:

Pietrowicz wrócił z połowów i z dumą zaprezentował rodzinie swój połów. Po bliższym zbadaniu okazało się, że 8 ryb pochodzi z mórz północnych, 20% wszystkich ryb pochodzi z mórz południowych, a ani jednej z miejscowej rzeki, w której łowił Pietrowicz. Ile ryb Piotrowicz kupił w sklepie z owocami morza?

Wszystkie te słowa należy przekształcić w jakieś równanie. Aby to zrobić, powtarzam, ustalić matematyczną zależność między wszystkimi danymi problemu.

Gdzie zacząć? Najpierw wyodrębnimy wszystkie dane z zadania. Zacznijmy po kolei:

Skupmy się na punkcie pierwszym.

Co tu jest wyraźny informacje matematyczne? 8 ryb i 20%. Nie dużo, ale nie potrzebujemy dużo.)

Zwróćmy uwagę na drugi punkt.

Szuka ukryty Informacja. Ona jest tutaj. Oto słowa: „20% wszystkich ryb". Tutaj musisz zrozumieć, jakie są procenty i jak są obliczane. W przeciwnym razie zadania nie można rozwiązać. To jest dokładnie dodatkowa informacja, która powinna znajdować się w głowie.

Istnieje również tutaj matematyczny informacje, które są całkowicie niewidoczne. Ten pytanie do zadania: "Ile kupiłeś ryb... To też liczba. A bez tego żaden model nie zostanie skompilowany. Dlatego oznaczmy tę liczbę literą "X". Nie wiemy jeszcze, ile równa się x, ale takie oznaczenie bardzo nam się przyda. Aby uzyskać więcej informacji o tym, co wziąć za x i jak sobie z tym poradzić, zobacz lekcję Jak rozwiązywać problemy matematyczne? Napiszmy od razu:

x sztuk - łączna liczba ryb.

W naszym problemie ryby południowe podano w procentach. Musimy je przetłumaczyć na kawałki. Po co? Więc co jest w środku każdy powinno być zadaniem modelki w tych samych ilościach. Kawałki - więc wszystko jest w kawałkach. Jeśli mamy podane, powiedzmy, godziny i minuty, przekładamy wszystko na jedną rzecz – albo tylko godziny, albo tylko minuty. Nie ma znaczenia co. To jest ważne, by wszystkie wartości były takie same.

Powrót do ujawnienia. Kto nie wie, jaki to procent, nigdy nie zdradzi, tak… A kto wie, od razu powie, że tutaj podane są procenty ogólnej liczby ryb. Nie znamy tego numeru. Nic z tego nie będzie!

Całkowita liczba ryb (w kawałkach!) nie idzie na marne z literą "X" wyznaczony. Liczenie południowych ryb w kawałkach nie zadziała, ale czy możemy to zapisać? Lubię to:

0,2 x sztuk - ilość ryb z mórz południowych.

Teraz pobraliśmy wszystkie informacje z zadania. Zarówno jawne, jak i ukryte.

Zwróćmy uwagę na punkt trzeci.

Szuka związek matematyczny między danymi zadania. To połączenie jest tak proste, że wielu go nie zauważa... Często tak się dzieje. Tutaj warto po prostu spisać zebrane dane w paczce i zobaczyć, co jest czym.

Co my mamy? Jeść 8 sztuk ryba północna, 0,2 szt- ryba południowa i x ryba- całkowita kwota. Czy można jakoś połączyć te dane? Tak Łatwe! łączna liczba ryb równa się suma południowej i północnej! Cóż, kto by pomyślał ...) Więc zapisujemy:

x = 8 + 0,2x

To będzie równanie model matematyczny naszego problemu.

Należy pamiętać, że w tym problemie nie jesteśmy proszeni o składanie czegokolwiek! To my sami, poza naszymi głowami, zdaliśmy sobie sprawę, że suma ryb południowych i północnych da nam całkowitą liczbę. Sprawa jest tak oczywista, że umyka uwadze. Ale bez tych dowodów nie można skompilować modelu matematycznego. Lubię to.

Teraz możesz zastosować całą moc matematyki, aby rozwiązać to równanie). Właśnie po to został zaprojektowany model matematyczny. Rozwiązujemy to równanie liniowe i otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x=10

Stwórzmy model matematyczny innego problemu:

Zapytano Pietrowicza: „Ile masz pieniędzy?” Pietrowicz zapłakał i odpowiedział: "Tak, tylko trochę. Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy, a połowę reszty, zostanie mi tylko jeden worek pieniędzy ..." Ile pieniędzy ma Pietrowicz?

Ponownie pracujemy punkt po punkcie.

1. Szukamy jednoznacznych informacji. Nie znajdziesz go od razu! Jawna informacja jest jeden torba z pieniędzmi. Jest kilka innych połówek... Cóż, wyjaśnimy to w drugim akapicie.

2. Szukamy ukrytych informacji. To są połówki. Co? Niezbyt jasne. Szukasz więcej. Jest jeszcze jedna kwestia: „Ile pieniędzy ma Pietrowicz?” Oznaczmy ilość pieniędzy literą "X":

X- wszystkie pieniądze

I ponownie przeczytaj problem. Już wiedząc, że Pietrowicz X pieniądze. Tu działają połówki! Zapisujemy:

0,5x- połowa wszystkich pieniędzy.

Reszta też będzie połową, tj. 0,5x. A połowę z połowy można zapisać tak:

0,5 0,5x = 0,25x- połowa reszty.

Teraz wszystkie ukryte informacje są ujawniane i rejestrowane.

3. Szukamy związku między zarejestrowanymi danymi. Tutaj możesz po prostu przeczytać cierpienia Pietrowicza i zapisać je matematycznie):

Jeśli wydam połowę wszystkich pieniędzy...

Zapiszmy ten proces. Wszystkie pieniądze - X. Połowa - 0,5x. Wydać znaczy zabrać. Fraza staje się:

x - 0,5 x

i połowa reszty...

Odejmij drugą połowę reszty:

x - 0,5 x - 0,25 x

wtedy zostanie ze mną tylko jeden worek pieniędzy ...

I jest równość! Po wszystkich odejmowaniach pozostaje jeden worek pieniędzy:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Oto on, model matematyczny! To znowu równanie liniowe, rozwiązujemy, otrzymujemy:

Pytanie do rozważenia. Cztery to co? Rubel, dolar, juan? A w jakich jednostkach mamy pieniądze w modelu matematycznym? W torbach! Więc cztery torba Pieniądze Pietrowicza. Też dobrze.)

Zadania są oczywiście elementarne. Ma to na celu uchwycenie istoty tworzenia modelu matematycznego. W niektórych zadaniach może być znacznie więcej danych, w których łatwo się pogubić. Często dzieje się tak w tzw. zadania kompetencyjne. Jak wyciągnąć treść matematyczną ze stosu słów i liczb pokazano na przykładach

Jeszcze jedna uwaga. W klasycznych problemach szkolnych (rury wypełniają basen, gdzieś płyną łodzie itp.) Wszystkie dane są z reguły wybierane bardzo ostrożnie. Istnieją dwie zasady:
- w problemie jest wystarczająco dużo informacji, aby go rozwiązać,
- w zadaniu nie ma dodatkowych informacji.

To jest wskazówka. Jeśli w modelu matematycznym jest jakaś niewykorzystana wartość, zastanów się, czy nie ma błędu. Jeśli w jakikolwiek sposób nie ma wystarczającej ilości danych, najprawdopodobniej nie wszystkie ukryte informacje zostały ujawnione i zapisane.

W kompetencjach i innych zadaniach życiowych zasady te nie są ściśle przestrzegane. nie mam pojęcia. Ale takie problemy też można rozwiązać. Chyba że oczywiście ćwiczysz na klasyku.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

NOTATKI Z WYKŁADU

według stawki

„Modelowanie matematyczne maszyn i systemów transportowych”

Przedmiot obejmuje zagadnienia związane z modelowaniem matematycznym, z postacią i zasadą reprezentacji modeli matematycznych. Rozważane są numeryczne metody rozwiązywania jednowymiarowych układów nieliniowych. Podkreślono kwestie modelowania komputerowego i eksperymentu obliczeniowego. Rozważane są metody przetwarzania danych uzyskanych w wyniku eksperymentów naukowych lub przemysłowych; badanie różnych procesów, identyfikacja wzorców w zachowaniu obiektów, procesów i systemów. Omówiono metody interpolacji i aproksymacji danych eksperymentalnych. Rozważane są zagadnienia związane z symulacją komputerową i rozwiązywaniem nieliniowych układów dynamicznych. W szczególności rozważane są metody numerycznego całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów.

Wykład: Modelowanie matematyczne. Forma i zasady reprezentacji modeli matematycznych

Wykład dotyczy ogólnych zagadnień modelowania matematycznego. Podano klasyfikację modeli matematycznych.

Modelowanie znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach działalności człowieka, zwłaszcza w obszarach projektowania i zarządzania, gdzie procesy podejmowania skutecznych decyzji na podstawie otrzymanych informacji mają szczególny charakter.

Model jest zawsze budowany z myślą o określonym celu, który wpływa na to, które właściwości obiektywnego zjawiska są istotne, a które nie. Model jest niejako projekcją obiektywnej rzeczywistości z określonego punktu widzenia. Czasami, w zależności od celów, można uzyskać szereg projekcji obiektywnej rzeczywistości, które wchodzą w konflikt. Jest to z reguły typowe dla złożonych systemów, w których każda projekcja wyodrębnia to, co jest istotne dla określonego celu, z zestawu nieistotnych.

Teoria modelowania to dziedzina nauki, która bada sposoby badania właściwości oryginalnych obiektów w oparciu o zastąpienie ich innymi obiektami modelowymi. Teoria podobieństwa leży u podstaw teorii modelowania. Podczas modelowania nie zachodzi bezwzględne podobieństwo, a jedynie dążenie do tego, aby model wystarczająco dobrze odzwierciedlał badaną stronę funkcjonowania obiektu. Absolutne podobieństwo może mieć miejsce tylko wtedy, gdy jeden przedmiot zostanie zastąpiony innym, dokładnie takim samym.

Wszystkie modele można podzielić na dwie klasy:

1. prawdziwy,

2. doskonały.

Z kolei modele rzeczywiste można podzielić na:

1. naturalny,

2. fizyczne,

3. matematyczny.

Modele idealne można podzielić na:

1. wizualny,

2. kultowy,

3. matematyczny.

Prawdziwe modele w pełnej skali to rzeczywiste obiekty, procesy i systemy, na których przeprowadza się eksperymenty naukowe, techniczne i przemysłowe.

Prawdziwe modele fizyczne to makiety, modele odtwarzające właściwości fizyczne oryginałów (modele kinematyczne, dynamiczne, hydrauliczne, termiczne, elektryczne, lekkie).

Prawdziwe matematyczne to modele analogowe, strukturalne, geometryczne, graficzne, cyfrowe i cybernetyczne.

Idealnymi modelami wizualnymi są diagramy, mapy, rysunki, wykresy, wykresy, analogi, modele strukturalne i geometryczne.

Idealnymi modelami znaków są symbole, alfabet, języki programowania, notacja uporządkowana, notacja topologiczna, reprezentacja sieci.

Idealnymi modelami matematycznymi są modele analityczne, funkcjonalne, symulacyjne, kombinowane.

Zatrzymajmy się na jednym z najbardziej uniwersalnych rodzajów modelowania - matematycznym, który w korespondencji z symulowanym procesem fizycznym umieszcza układ zależności matematycznych, którego rozwiązanie pozwala uzyskać odpowiedź na pytanie o zachowanie się obiektu bez tworzenia modelu fizycznego, co często okazuje się kosztowne i nieefektywne.

W ogólnym przypadku model matematyczny rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu jest reprezentowany jako system funkcjonałów

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

gdzie X jest wektorem zmiennych wejściowych, X= t ,

Y - wektor zmiennych wyjściowych, Y= t ,

Z - wektor wpływów zewnętrznych, Z= t ,

t - współrzędna czasu.

Budowa modelu matematycznego polega na określeniu zależności między określonymi procesami i zjawiskami, stworzeniu aparatu matematycznego, który pozwala wyrazić ilościowo i jakościowo związek między określonymi procesami i zjawiskami, między interesującymi specjalistę wielkościami fizycznymi, a czynnikami wpływającymi na wynik końcowy.

Zwykle jest ich tak dużo, że nie ma możliwości wprowadzenia całego ich zestawu do modelu. Podczas konstruowania modelu matematycznego, przed rozpoczęciem badań, pojawia się zadanie zidentyfikowania i wykluczenia z rozważań czynników, które nie mają istotnego wpływu na wynik końcowy (model matematyczny zawiera zwykle znacznie mniejszą liczbę czynników niż w rzeczywistości). Na podstawie danych eksperymentalnych stawiane są hipotezy dotyczące zależności między wielkościami wyrażającymi wynik końcowy a czynnikami wprowadzonymi do modelu matematycznego. Taki związek często wyrażają układy równań różniczkowych w pochodnych cząstkowych (np. w zagadnieniach mechaniki ciała stałego, cieczy i gazów, teorii filtracji, przewodnictwa ciepła, teorii pól elektrostatycznych i elektrodynamicznych).

Ostatecznym celem tego etapu jest sformułowanie problemu matematycznego, którego rozwiązanie z wymaganą dokładnością wyraża wyniki interesujące specjalistę.

Forma i zasady reprezentacji modelu matematycznego zależą od wielu czynników.

Zgodnie z zasadami budowy modele matematyczne dzielą się na:

1. analityczny;

2. imitacja.

W modelach analitycznych procesy funkcjonowania rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów zapisywane są w postaci jawnych zależności funkcjonalnych.

Model analityczny dzieli się na typy w zależności od problemu matematycznego:

1. równania (algebraiczne, przestępne, różniczkowe, całkowe),

2. zagadnienia aproksymacji (interpolacja, ekstrapolacja, całkowanie i różniczkowanie numeryczne),

3. problemy optymalizacyjne,

4. problemy stochastyczne.

Jednak w miarę jak modelowany obiekt staje się bardziej złożony, konstrukcja modelu analitycznego staje się trudnym problemem. Wtedy badacz jest zmuszony do zastosowania modelowania symulacyjnego.

W modelowaniu symulacyjnym funkcjonowanie obiektów, procesów lub systemów opisywane jest za pomocą zestawu algorytmów. Algorytmy imitują rzeczywiste elementarne zjawiska składające się na proces lub system, zachowując ich logiczną strukturę i kolejność w czasie. Modelowanie symulacyjne umożliwia uzyskanie informacji o stanach procesu lub systemu w określonych punktach czasowych z danych początkowych, ale trudno jest przewidzieć zachowanie obiektów, procesów lub systemów. Można powiedzieć, że modele symulacyjne to komputerowe eksperymenty obliczeniowe z modelami matematycznymi, które symulują zachowanie rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów.

W zależności od charakteru badanych rzeczywistych procesów i układów, modele matematyczne mogą być:

1. deterministyczny,

2. stochastyczny.

W modelach deterministycznych zakłada się, że nie ma wpływów losowych, elementy modelu (zmienne, zależności matematyczne) są dość dobrze ustalone, a zachowanie systemu można dokładnie określić. Przy konstruowaniu modeli deterministycznych najczęściej stosuje się równania algebraiczne, równania całkowe i algebrę macierzową.

Model stochastyczny uwzględnia losowość procesów zachodzących w badanych obiektach i układach, którą opisują metody rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Ze względu na rodzaj wprowadzanych informacji modele dzielą się na:

1. ciągły,

2. dyskretny.

Jeśli informacje i parametry są ciągłe, a zależności matematyczne są stabilne, to model jest ciągły. I odwrotnie, jeśli informacje i parametry są dyskretne, a połączenia są niestabilne, to model matematyczny jest również dyskretny.

Ze względu na zachowanie się modeli w czasie dzieli się je na:

1. statyczny,

2. dynamiczny.

Modele statyczne opisują zachowanie obiektu, procesu lub systemu w dowolnym momencie. Modele dynamiczne odzwierciedlają zachowanie obiektu, procesu lub systemu w czasie.

Ze względu na stopień zgodności modelu matematycznego z rzeczywistym obiektem, procesem lub systemem modele matematyczne dzielą się na:

1. izomorficzny (taki sam kształt),

2. homomorficzny (różny kształt).

Model nazywamy izomorficznym, jeśli istnieje pełna zgodność element po elemencie między nim a rzeczywistym obiektem, procesem lub systemem. Homomorficzny - jeśli istnieje zgodność tylko między najbardziej znaczącymi składnikami obiektu i modelu.

W przyszłości dla zwięzłego zdefiniowania typu modelu matematycznego w powyższej klasyfikacji będziemy posługiwać się następującą notacją:

Pierwsza litera:

D - deterministyczny,

C - stochastyczny.

Drugi list:

H - ciągły,

D - dyskretny.

Trzecia litera:

A - analityczny,

I - imitacja.

1. Nie ma (dokładniej nie jest to brane pod uwagę) wpływu procesów losowych, tj. model deterministyczny (D).

2. Informacje i parametry są ciągłe, tj. model - ciągły (H),

3. Funkcjonowanie modelu mechanizmu korbowego opisano w postaci nieliniowych równań przestępnych, tj. model - analityczny (A)

2. Wykład: Cechy budowania modeli matematycznych

Wykład opisuje proces budowy modelu matematycznego. Podano słowny algorytm procesu.

Aby wykorzystać komputery do rozwiązywania problemów aplikacyjnych, należy przede wszystkim problem aplikacyjny „przetłumaczyć” na formalny język matematyczny, tj. dla rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu należy zbudować jego model matematyczny.

Modele matematyczne w postaci ilościowej, za pomocą konstrukcji logicznych i matematycznych, opisują główne właściwości obiektu, procesu lub systemu, jego parametry, powiązania wewnętrzne i zewnętrzne.

Aby zbudować model matematyczny, potrzebujesz:

1. dokładnie przeanalizować rzeczywisty obiekt lub proces;

2. wskazać jego najważniejsze cechy i właściwości;

3. zdefiniuj zmienne, tj. parametry, których wartości wpływają na główne cechy i właściwości przedmiotu;

4. opisać zależność podstawowych właściwości obiektu, procesu lub układu od wartości zmiennych za pomocą zależności logicznych i matematycznych (równania, równości, nierówności, konstrukcje logiczne i matematyczne);

5. wyróżniać wewnętrzne powiązania obiektu, procesu lub systemu za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych;

6. określać stosunki zewnętrzne i opisywać je za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych.

Modelowanie matematyczne, oprócz badania obiektu, procesu lub systemu i sporządzania ich opisu matematycznego, obejmuje również:

1. budowa algorytmu modelującego zachowanie obiektu, procesu lub systemu;

2. weryfikacja adekwatności modelu i obiektu, procesu lub systemu na podstawie eksperymentu obliczeniowego i przyrodniczego;

3. dopasowanie modelu;

4. wykorzystanie modelu.

Matematyczny opis badanych procesów i systemów zależy od:

1. charakter rzeczywistego procesu lub układu i jest opracowywany na podstawie praw fizyki, chemii, mechaniki, termodynamiki, hydrodynamiki, elektrotechniki, teorii plastyczności, teorii sprężystości itp.

2. wymagana rzetelność i dokładność badania i badania rzeczywistych procesów i systemów.

Na etapie wyboru modelu matematycznego ustala się: liniowość i nieliniowość obiektu, procesu lub układu, dynamikę lub statykę, stacjonarność lub niestacjonarność, a także stopień determinizmu badanego obiektu lub procesu. W modelowaniu matematycznym celowo abstrahuje się od specyficznej natury fizycznej obiektów, procesów lub systemów i skupia się głównie na badaniu zależności ilościowych między wielkościami opisującymi te procesy.

Model matematyczny nigdy nie jest całkowicie identyczny z rozpatrywanym obiektem, procesem czy systemem. Oparty na uproszczeniu, idealizacji, jest przybliżonym opisem obiektu. Dlatego wyniki uzyskane w analizie modelu są przybliżone. O ich dokładności decyduje stopień adekwatności (zgodności) modelu i obiektu.

Budowa modelu matematycznego zwykle zaczyna się od konstrukcji i analizy najprostszego, najbardziej przybliżonego modelu matematycznego rozważanego obiektu, procesu lub systemu. W przyszłości, jeśli to konieczne, model jest udoskonalany, jego zgodność z obiektem jest pełniejsza.

Weźmy prosty przykład. Musisz określić powierzchnię biurka. Zwykle w tym celu mierzy się jego długość i szerokość, a następnie mnoży uzyskane liczby. Taka elementarna procedura w rzeczywistości oznacza, że rzeczywisty obiekt (powierzchnia stołu) zostaje zastąpiony abstrakcyjnym modelem matematycznym - prostokątem. Wymiary uzyskane w wyniku pomiaru długości i szerokości powierzchni stołu są przypisywane prostokątowi, a obszar takiego prostokąta jest w przybliżeniu traktowany jako pożądany obszar stołu.

Jednak model prostokątnego biurka jest najprostszym, najbardziej prymitywnym modelem. Przy poważniejszym podejściu do problemu, przed zastosowaniem modelu prostokątnego do wyznaczenia powierzchni stołu należy ten model sprawdzić. Kontrole można przeprowadzić w następujący sposób: zmierzyć długości przeciwległych boków stołu, a także długości jego przekątnych i porównać je ze sobą. Jeśli z wymaganym stopniem dokładności długości przeciwległych boków i długości przekątnych są parami równe, to powierzchnię stołu można rzeczywiście uznać za prostokąt. W przeciwnym razie model prostokątny będzie musiał zostać odrzucony i zastąpiony ogólnym modelem czworobocznym. Przy wyższych wymaganiach co do dokładności może być konieczne dalsze dopracowanie modelu, np. uwzględnienie zaokrągleń rogów stołu.

Na tym prostym przykładzie wykazano, że model matematyczny nie jest jednoznacznie określony przez badany obiekt, proces lub system. Dla tej samej tabeli możemy zaakceptować albo model prostokąta, albo bardziej złożony model ogólnego czworoboku lub czworoboku z zaokrąglonymi rogami. Wybór jednego lub drugiego modelu zależy od wymogu dokładności. Wraz ze wzrostem dokładności model musi być skomplikowany, uwzględniający coraz to nowe cechy badanego obiektu, procesu czy systemu.

Rozważmy inny przykład: badanie ruchu mechanizmu korbowego (ryc. 2.1).

Ryż. 2.1.

Do analizy kinematycznej tego mechanizmu konieczne jest przede wszystkim zbudowanie jego modelu kinematycznego. Dla tego:

1. Zastępujemy mechanizm jego schematem kinematycznym, w którym wszystkie ogniwa są zastępowane sztywnymi ogniwami;

2. Korzystając z tego schematu wyprowadzamy równanie ruchu mechanizmu;

3. Różniczkując te ostatnie, otrzymujemy równania prędkości i przyspieszenia, które są równaniami różniczkowymi I i II rzędu.

Zapiszmy te równania:

gdzie C 0 to skrajnie prawe położenie suwaka C:

r jest promieniem korby AB;

l jest długością korbowodu BC;

- kąt obrotu korby;

Otrzymane równania przestępne reprezentują matematyczny model ruchu płaskiego osiowego mechanizmu korbowego oparty na następujących założeniach upraszczających:

1. Nie interesowały nas formy konstrukcyjne i rozmieszczenie mas wchodzących w skład mechanizmu korpusów, a wszystkie korpusy mechanizmu zastąpiliśmy odcinkami liniowymi. W rzeczywistości wszystkie ogniwa mechanizmu mają masę i dość złożony kształt. Na przykład korbowód jest złożonym prefabrykowanym połączeniem, którego kształt i wymiary oczywiście wpłyną na ruch mechanizmu;

2. konstruując matematyczny model ruchu rozpatrywanego mechanizmu, nie uwzględniliśmy również sprężystości ciał wchodzących w skład mechanizmu, tj. wszystkie ogniwa uznano za abstrakcyjne, absolutnie sztywne bryły. W rzeczywistości wszystkie ciała wchodzące w skład mechanizmu są ciałami sprężystymi. Kiedy mechanizm się poruszy, zostaną one w jakiś sposób zdeformowane, mogą nawet wystąpić w nich drgania sprężyste. Wszystko to oczywiście wpłynie również na ruch mechanizmu;

3. nie uwzględniliśmy błędu wykonania ogniw, luk w parach kinematycznych A, B, C itp.

Tym samym należy jeszcze raz podkreślić, że im wyższe wymagania co do dokładności wyników rozwiązania problemu, tym większa potrzeba uwzględnienia cech badanego obiektu, procesu lub systemu przy konstruowaniu modelu matematycznego. Jednak ważne jest, aby zatrzymać się tutaj w czasie, ponieważ złożony model matematyczny może okazać się trudnym zadaniem.

Najprościej model buduje się wtedy, gdy prawa określające zachowanie i właściwości obiektu, procesu lub systemu są dobrze znane i istnieje duże praktyczne doświadczenie w ich stosowaniu.

Bardziej skomplikowana sytuacja powstaje, gdy nasza wiedza o badanym obiekcie, procesie lub systemie jest niewystarczająca. W takim przypadku przy konstruowaniu modelu matematycznego trzeba przyjąć dodatkowe założenia, które mają charakter hipotez, taki model nazywamy hipotetycznym. Wnioski wyciągnięte z badania takiego hipotetycznego modelu są warunkowe. Aby zweryfikować wnioski, konieczne jest porównanie wyników badania modelu na komputerze z wynikami eksperymentu w pełnej skali. Tak więc kwestia zastosowania określonego modelu matematycznego do badania rozważanego obiektu, procesu lub systemu nie jest kwestią matematyczną i nie można jej rozwiązać metodami matematycznymi.

Głównym kryterium prawdy jest eksperyment, praktyka w najszerszym tego słowa znaczeniu.

Budowa modelu matematycznego w problemach stosowanych jest jednym z najbardziej złożonych i odpowiedzialnych etapów pracy. Doświadczenie pokazuje, że w wielu przypadkach wybór odpowiedniego modelu oznacza rozwiązanie problemu o ponad połowę. Trudność tego etapu polega na tym, że wymaga połączenia wiedzy matematycznej i specjalistycznej. Dlatego bardzo ważne jest, aby matematycy przy rozwiązywaniu problemów aplikacyjnych posiadali specjalistyczną wiedzę o przedmiocie, a ich partnerzy, specjaliści, pewną kulturę matematyczną, doświadczenie badawcze w swojej dziedzinie, znajomość komputerów i programowania.

Wykład 3. Modelowanie komputerowe i eksperyment obliczeniowy. Rozwiązywanie modeli matematycznych

Modelowanie komputerowe jako nowa metoda badań naukowych opiera się na:

1. budowanie modeli matematycznych opisujących badane procesy;

2. korzystanie z najnowszych komputerów o dużej szybkości (miliony operacji na sekundę) i zdolnych do prowadzenia dialogu z człowiekiem.

Istota symulacji komputerowej polega na tym, że na podstawie modelu matematycznego przeprowadza się serię eksperymentów obliczeniowych przy pomocy komputera, tj. badane są właściwości obiektów lub procesów, znajdowane są ich optymalne parametry i tryby działania, model jest udoskonalany. Na przykład, mając równanie opisujące przebieg określonego procesu, można zmienić jego współczynniki, warunki początkowe i brzegowe oraz zbadać, jak obiekt zachowa się w tym przypadku. Ponadto możliwe jest przewidywanie zachowania się obiektu w różnych warunkach.

Eksperyment obliczeniowy umożliwia zastąpienie kosztownego eksperymentu na pełną skalę obliczeniami komputerowymi. Pozwala w krótkim czasie i bez znacznych kosztów materiałowych przeprowadzić badanie dużej liczby opcji projektowanego obiektu lub procesu dla różnych trybów jego działania, co znacznie skraca czas potrzebny do opracowania złożonych systemów i ich wprowadzenia do produkcji.

Modelowanie komputerowe i eksperyment obliczeniowy jako nowa metoda badań naukowych powoduje konieczność doskonalenia aparatu matematycznego stosowanego w budowie modeli matematycznych, pozwala metodami matematycznymi udoskonalać i komplikować modele matematyczne. Najbardziej obiecujące dla przeprowadzenia eksperymentu obliczeniowego jest jego wykorzystanie do rozwiązywania głównych problemów naukowych, technicznych i społeczno-ekonomicznych naszych czasów (projektowanie reaktorów dla elektrowni jądrowych, projektowanie zapór i elektrowni wodnych, magnetohydrodynamicznych przetworników energii, aw dziedzinie ekonomii - opracowywanie zrównoważonego planu dla branży, regionu, kraju itp.).

W niektórych procesach, w których pełnowymiarowy eksperyment jest niebezpieczny dla życia i zdrowia człowieka, eksperyment obliczeniowy jest jedynym możliwym (fuzja termojądrowa, eksploracja kosmosu, projektowanie i badania przemysłu chemicznego i innych).

Aby sprawdzić adekwatność modelu matematycznego do rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu, wyniki badań na komputerze porównuje się z wynikami eksperymentu na próbie eksperymentalnej w pełnej skali. Wyniki weryfikacji służą do korygowania modelu matematycznego lub rozstrzyga się kwestię przydatności skonstruowanego modelu matematycznego do projektowania lub badania danych obiektów, procesów lub systemów.

Podsumowując, jeszcze raz podkreślamy, że symulacja komputerowa i eksperyment obliczeniowy pozwalają sprowadzić badanie obiektu „niematematycznego” do rozwiązania problemu matematycznego. Otwiera to możliwość wykorzystania dobrze rozwiniętego aparatu matematycznego do jego badań w połączeniu z potężną technologią komputerową. Jest to podstawa wykorzystania matematyki i komputerów do poznania praw świata rzeczywistego i ich zastosowania w praktyce.

W zadaniach projektowania lub badania zachowania rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów modele matematyczne są z reguły nieliniowe, ponieważ muszą odzwierciedlać rzeczywiste fizyczne procesy nieliniowe w nich zachodzące. Jednocześnie parametry (zmienne) tych procesów są ze sobą powiązane fizycznymi nieliniowymi prawami. Dlatego w problemach projektowania lub badania zachowania rzeczywistych obiektów, procesów czy systemów najczęściej wykorzystuje się modele matematyczne typu DND.

Zgodnie z klasyfikacją podaną na wykładzie 1:

D - model jest deterministyczny, nie ma (dokładniej nie jest brany pod uwagę) wpływu procesów losowych.

H - model jest ciągły, informacje i parametry są ciągłe.

A - model analityczny, działanie modelu opisane jest w postaci równań (liniowe, nieliniowe, układy równań, równania różniczkowe i całkowe).

Zbudowaliśmy więc model matematyczny rozważanego obiektu, procesu lub systemu, tj. przedstawił problem stosowany jako matematyczny. Następnie rozpoczyna się drugi etap rozwiązania zastosowanego problemu - poszukiwanie lub opracowanie metody rozwiązania sformułowanego problemu matematycznego. Metoda powinna być wygodna do wdrożenia na komputerze, zapewniać niezbędną jakość rozwiązania.

Wszystkie metody rozwiązywania problemów matematycznych można podzielić na 2 grupy:

1. dokładne metody rozwiązywania problemów;

2. numeryczne metody rozwiązywania problemów.

W dokładnych metodach rozwiązywania problemów matematycznych odpowiedź można uzyskać w postaci wzorów.

Na przykład obliczanie pierwiastków równania kwadratowego:

lub np. obliczanie funkcji pochodnych:

lub obliczenie całki oznaczonej:

Jednak podstawiając liczby do wzoru jako skończone ułamki dziesiętne, nadal otrzymujemy przybliżone wartości wyniku.

W przypadku większości problemów napotykanych w praktyce dokładne metody rozwiązania są albo nieznane, albo dają bardzo kłopotliwe formuły. Jednak nie zawsze są one konieczne. Zastosowany problem można uznać za praktycznie rozwiązany, jeśli potrafimy go rozwiązać z wymaganym stopniem dokładności.

Aby rozwiązać takie problemy, opracowano metody numeryczne, w których rozwiązanie złożonych problemów matematycznych sprowadza się do sekwencyjnego wykonywania dużej liczby prostych operacji arytmetycznych. Bezpośredni rozwój metod numerycznych należy do matematyki obliczeniowej.

Przykładem metody numerycznej jest metoda prostokątów do całkowania przybliżonego, która nie wymaga obliczania funkcji pierwotnej dla całki. Zamiast całki obliczana jest końcowa suma kwadraturowa:

x 1 =a – dolna granica całkowania;

x n+1 =b – górna granica całkowania;

n to liczba segmentów, na które podzielony jest przedział całkowania (a, b);

jest długością odcinka elementarnego;

f(x i) jest wartością całki na końcach elementarnych segmentów całkowania.

Im większa liczba segmentów n, na które podzielony jest przedział całkowania, tym przybliżone rozwiązanie jest bliższe prawdziwemu, tj. tym dokładniejszy wynik.

Zatem w stosowanych problemach, zarówno przy użyciu metod rozwiązania dokładnego, jak i metod rozwiązania numerycznego, wyniki obliczeń są przybliżone. Ważne jest tylko, aby upewnić się, że błędy mieszczą się w wymaganej dokładności.

Numeryczne metody rozwiązywania problemów matematycznych znane były od dawna, jeszcze przed pojawieniem się komputerów, jednak ze względu na ogromną złożoność obliczeń były stosowane rzadko i tylko w stosunkowo prostych przypadkach. Powszechne stosowanie metod numerycznych stało się możliwe dzięki komputerom.