Niech będą znane ich prawdopodobieństwa i odpowiadające im prawdopodobieństwa warunkowe. Wówczas prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

Ta formuła nazywa się wzory na prawdopodobieństwo całkowite. W podręcznikach formułuje się go jako twierdzenie, którego dowód jest elementarny: według algebra zdarzeń, (wystąpiło wydarzenie I Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie Lub …. Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie). Od hipotez są niezgodne, a zdarzenie jest zależne, to zgodnie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych (pierwszy krok) I twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych (drugi krok):

Wiele osób zapewne przewiduje treść pierwszego przykładu =)

Gdziekolwiek spluniesz, tam jest urna:

Problem 1

Istnieją trzy identyczne urny. W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 7 czarnych, w drugiej tylko kule białe, a w trzeciej tylko kule czarne. Wybieramy losowo jedną urnę i losujemy z niej kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula jest czarna?

Rozwiązanie: rozważ wydarzenie - z losowo wybranej urny zostanie wylosowana czarna kula. Zdarzenie to może nastąpić w wyniku jednej z następujących hipotez:
– zostanie wybrana pierwsza urna;
– zostanie wybrana druga urna;
– zostanie wybrana trzecia urna.

Ponieważ urna jest wybierana losowo, wybór którejkolwiek z trzech urn równie możliwe, stąd:

Należy pamiętać, że powyższe hipotezy powstają pełen zespół wydarzeń, czyli zgodnie z warunkiem, czarna kula może pojawić się tylko z tych urn i nie może na przykład pochodzić ze stołu bilardowego. Zróbmy prostą kontrolę pośrednią:
, OK, przejdźmy dalej:

Pierwsza urna zawiera 4 białe + 7 czarnych = 11 kul w każdej klasyczna definicja:
– prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jeśli się uwzględni, że wybrana zostanie pierwsza urna.

W drugiej urnie znajdują się wyłącznie kule białe, tzw jeśli wybrany pojawia się czarna kula niemożliwe: .

I wreszcie trzecia urna zawiera tylko czarne kule, czyli odpowiadające im kule warunkowe prawdopodobieństwo będzie wyodrębnienie czarnej kuli (wydarzenie jest wiarygodne).

– prawdopodobieństwo, że z losowo wybranej urny zostanie wylosowana kula czarna.

Odpowiedź:

Analizowany przykład ponownie sugeruje, jak ważne jest zagłębienie się w WARUNK. Weźmy te same problemy z urnami i kulami - pomimo ich zewnętrznego podobieństwa, metody rozwiązania mogą być zupełnie inne: gdzieś wystarczy tylko użyć klasyczna definicja prawdopodobieństwa, gdzieś wydarzenia niezależny, gdzieś zależny, a gdzieś mówimy o hipotezach. Jednocześnie nie ma jasnego formalnego kryterium wyboru rozwiązania – prawie zawsze trzeba się nad tym zastanowić. Jak doskonalić swoje umiejętności? Decydujemy, decydujemy i jeszcze raz decydujemy!

Problem 2

Strzelnica posiada 5 karabinów o różnej celności. Prawdopodobieństwa trafienia w cel dla danego strzelca wynoszą odpowiednio 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 i 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu?

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W większości problemów tematycznych hipotezy nie są oczywiście równie prawdopodobne:

Problem 3

W piramidzie znajduje się 5 karabinów, z czego trzy są wyposażone w celownik optyczny. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel podczas strzelania z karabinu z celownikiem teleskopowym, wynosi 0,95; dla karabinu bez celownika optycznego prawdopodobieństwo to wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu.

Rozwiązanie: w tym zadaniu liczba karabinów jest dokładnie taka sama jak w poprzednim, ale są tylko dwie hipotezy:
– strzelec wybierze karabin z celownikiem optycznym;
– strzelec wybierze karabin bez celownika optycznego.
Przez klasyczna definicja prawdopodobieństwa: .
Kontrola:

Rozważmy zdarzenie: – strzelec trafia w cel z losowo wybranego karabinu.
Według warunku: .

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

Odpowiedź: 0,85

W praktyce skrócony sposób formatowania zadania, który również znasz, jest całkiem do przyjęcia:

Rozwiązanie: zgodnie z klasyczną definicją: – prawdopodobieństwa wyboru karabinu odpowiednio z celownikiem optycznym i bez celownika optycznego.

Według warunku, – prawdopodobieństwo trafienia w cel z odpowiednich typów karabinów.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
– prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel z losowo wybranego karabinu.

Odpowiedź: 0,85

Poniższe zadanie należy rozwiązać samodzielnie:

Problem 4

Silnik pracuje w trzech trybach: normalnym, wymuszonym i jałowym. W trybie jałowym prawdopodobieństwo jego awarii wynosi 0,05, w trybie normalnej pracy – 0,1, a w trybie wymuszonym – 0,7. W 70% przypadków silnik pracuje w trybie normalnym, a w 20% w trybie wymuszonym. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii silnika podczas pracy?

Na wszelki wypadek przypomnę, że aby otrzymać wartości prawdopodobieństwa, należy podzielić procenty przez 100. Bądź bardzo ostrożny! Z moich obserwacji wynika, że ​​ludzie często próbują pomylić warunki problemów związanych ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite; i specjalnie wybrałem ten przykład. Zdradzę Ci sekret - sam prawie się pogubiłem =)

Rozwiązanie na końcu lekcji (sformatowane w skrócie)

Problemy ze stosowaniem wzorów Bayesa

Materiał jest ściśle powiązany z treścią poprzedniego akapitu. Niech zdarzenie nastąpi w wyniku realizacji jednej z hipotez . Jak określić prawdopodobieństwo wystąpienia danej hipotezy?

Jeśli się uwzględni to wydarzenie już się wydarzyło, prawdopodobieństwa hipotez przereklamowany według formuł, które otrzymały imię angielskiego księdza Thomasa Bayesa:

– prawdopodobieństwo, że hipoteza miała miejsce;
– prawdopodobieństwo, że hipoteza miała miejsce;
…
– prawdopodobieństwo, że hipoteza miała miejsce.

Na pierwszy rzut oka wydaje się to całkowicie absurdalne - po co przeliczać prawdopodobieństwa hipotez, jeśli są już znane? Ale w rzeczywistości jest różnica:

- Ten apriorycznie(szacowany zanim testy) prawdopodobieństwo.

- Ten a posteriori(szacowany Po testy) prawdopodobieństwa tych samych hipotez, przeliczone w związku z „nowo odkrytymi okolicznościami” – biorąc pod uwagę fakt, że zdarzenie zdecydowanie się wydarzyło.

Przyjrzyjmy się tej różnicy na konkretnym przykładzie:

Problem 5

Do magazynu dotarły 2 partie produktów: pierwsza - 4000 sztuk, druga - 6000 sztuk. Średni odsetek wyrobów niestandardowych w pierwszej partii wynosi 20%, a w drugiej – 10%. Produkt pobrany losowo z magazynu okazał się standardowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest to: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Pierwsza część rozwiązania polega na zastosowaniu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Innymi słowy, obliczenia przeprowadza się przy założeniu, że test jeszcze nie wyprodukowany i wydarzenie „produkt okazał się standardowy” Jeszcze nie.

Rozważmy dwie hipotezy:
– produkt pobrany losowo będzie pochodził z I partii;
– produkt pobrany losowo będzie pochodził z II partii.

Razem: 4000 + 6000 = 10000 artykułów w magazynie. Według klasycznej definicji:
.

Kontrola:

Rozważmy zdarzenie zależne: – produkt pobrany losowo z magazynu będzie standard.

W pierwszej partii 100% – 20% = 80% produktów standardowych, zatem: jeśli się uwzględniże należy do pierwszej strony.

Podobnie w drugiej partii 100% – 10% = 90% produktów standardowych i – prawdopodobieństwo, że losowo pobrany z magazynu produkt będzie standardowy jeśli się uwzględniże należy do drugiej strony.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
– prawdopodobieństwo, że losowo pobrany z magazynu produkt będzie standardowy.

Część druga. Niech produkt pobrany losowo z magazynu okaże się standardem. To wyrażenie jest bezpośrednio wyrażone w warunku i stwierdza fakt, że zdarzenie stało się.

Według wzorów Bayesa:

a) jest prawdopodobieństwem, że wybrany produkt standardowy należy do 1. partii;

b) jest prawdopodobieństwem, że wybrany produkt standardowy należy do drugiej partii.

Po przeszacowanie hipotezy oczywiście wciąż powstają pełna grupa:
(badanie;-))

Odpowiedź:

Iwan Wasiljewicz, który ponownie zmienił zawód i został dyrektorem zakładu, pomoże nam zrozumieć znaczenie przewartościowania hipotez. Wie, że dzisiaj I warsztat wysłał do magazynu 4000 produktów, a II warsztat 6000 produktów i przychodzi o to zadbać. Załóżmy, że wszystkie produkty są tego samego typu i znajdują się w tym samym pojemniku. Oczywiście Iwan Wasiljewicz wstępnie obliczył, że produkt, który teraz zabierze do kontroli, najprawdopodobniej zostanie wyprodukowany w pierwszym warsztacie i najprawdopodobniej w drugim. Ale kiedy wybrany produkt okazuje się standardem, wykrzykuje: „Co za fajny śrubokręt! „To raczej zostało wydane na drugim warsztacie.” Zatem prawdopodobieństwo drugiej hipotezy jest przeszacowane na lepsze, a prawdopodobieństwo pierwszej hipotezy jest niedoszacowane: . I to przewartościowanie nie jest bezpodstawne – w końcu drugi warsztat nie tylko wyprodukował więcej produktów, ale także działa 2 razy lepiej!

Czysty subiektywizm, mówisz? Po części - zresztą tak, zinterpretował sam Bayes a posteriori prawdopodobieństwa jak poziom zaufania. Jednak nie wszystko jest takie proste – w podejściu bayesowskim jest też ziarno obiektywne. W końcu istnieje prawdopodobieństwo, że produkt będzie standardem (0,8 i 0,9 odpowiednio dla I i II warsztatu) Ten wstępny(a priori) i przeciętny oceny. Ale mówiąc filozoficznie, wszystko płynie, wszystko się zmienia, łącznie z prawdopodobieństwami. Jest to całkiem możliwe w czasie studiów Im bardziej udany drugi warsztat, tym większy odsetek wytwarzanych produktów standardowych (i/lub 1. warsztat obniżony), a jeśli sprawdzisz większą liczbę lub wszystkie 10 tysięcy produktów w magazynie, to zawyżone wartości okażą się znacznie bliższe prawdy.

Nawiasem mówiąc, jeśli Iwan Wasiljewicz wyodrębni niestandardową część, to wręcz przeciwnie, będzie bardziej „podejrzany” w stosunku do pierwszego warsztatu, a mniej do drugiego. Proponuję sprawdzić to samodzielnie:

Problem 6

Do magazynu dotarły 2 partie produktów: pierwsza - 4000 sztuk, druga - 6000 sztuk. Średni odsetek produktów niestandardowych w pierwszej partii wynosi 20%, w drugiej – 10%. Produkt pobrany losowo z magazynu okazał się być Nie standard. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest to: a) z pierwszej partii, b) z drugiej partii.

Warunek ten wyróżniają dwie litery, które zaznaczyłem pogrubioną czcionką. Problem można rozwiązać od podstaw lub korzystając z wyników wcześniejszych obliczeń. W próbie przeprowadziłem pełne rozwiązanie, ale aby uniknąć formalnego nakładania się na Problem nr 5, zdarzenie „produkt pobrany losowo z magazynu będzie niestandardowy” wskazany przez .

Schemat Bayesa służący do ponownego szacowania prawdopodobieństw można spotkać wszędzie i jest on również aktywnie wykorzystywany przez różnego rodzaju oszustów. Weźmy pod uwagę trzyliterową spółkę akcyjną, która stała się powszechnie znana, która przyciąga depozyty od społeczeństwa, rzekomo gdzieś je inwestuje, regularnie wypłaca dywidendy itp. Co się dzieje? Dzień po dniu, miesiąc po miesiącu i coraz więcej nowych faktów przekazywanych za pośrednictwem reklam i przekazu ustnego, tylko zwiększają poziom zaufania do piramidy finansowej (ponowne oszacowanie bayesowskie na podstawie wydarzeń z przeszłości!). Oznacza to, że w oczach inwestorów prawdopodobieństwo tego stale rośnie „to poważna firma”; natomiast prawdopodobieństwo hipotezy przeciwnej („to po prostu kolejni oszuści”) oczywiście maleje i maleje. Myślę, że to, co następuje, jest jasne. Warto zauważyć, że zdobyta reputacja daje organizatorom czas na skuteczne ukrycie się przed Iwanem Wasiljewiczem, który został nie tylko bez partii śrub, ale także bez spodni.

Do równie interesujących przykładów powrócimy nieco później, ale na razie kolejnym krokiem jest chyba najczęstszy przypadek z trzema hipotezami:

Problem 7

Lampy elektryczne produkowane są w trzech fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 30% całkowitej liczby lamp, druga - 55%, a trzecia - resztę. Produkty pierwszego zakładu zawierają 1% wadliwych lamp, drugiego - 1,5%, trzeciego - 2%. Do sklepu trafiają produkty ze wszystkich trzech fabryk. Zakupiona lampa okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został wyprodukowany przez roślinę nr 2?

Należy pamiętać, że w problemach ze wzorami Bayesa w warunku Koniecznie jest pewne co się stało wydarzenie, w tym przypadku zakup lampy.

Liczba wydarzeń wzrosła i rozwiązanie Wygodniej jest ułożyć to w stylu „szybkim”.

Algorytm jest dokładnie taki sam: w pierwszym kroku znajdujemy prawdopodobieństwo, że zakupiona lampa jest okazało się wadliwy.

Korzystając z danych początkowych, zamieniamy procenty na prawdopodobieństwa:
– prawdopodobieństwo, że lampa została wyprodukowana odpowiednio przez 1., 2. i 3. fabrykę.
Kontrola:

Podobnie: – prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej lampy dla odpowiednich fabryk.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:

– prawdopodobieństwo, że zakupiona lampa będzie wadliwa.

Krok drugi. Niech zakupiona lampa okaże się wadliwa (zdarzenie miało miejsce)

Według wzoru Bayesa:
– prawdopodobieństwo, że zakupiona wadliwa lampa została wyprodukowana w drugim zakładzie

Odpowiedź:

Dlaczego początkowe prawdopodobieństwo drugiej hipotezy wzrosło po przeszacowaniu? Przecież drugi zakład produkuje lampy średniej jakości (pierwszy jest lepszy, trzeci gorszy). Dlaczego więc wzrósł a posteriori Czy jest możliwe, że uszkodzona lampa pochodzi z 2. fabryki? Nie da się tego już wytłumaczyć „reputacją”, ale rozmiarem. Ponieważ zakład nr 2 wyprodukował najwięcej lamp, obwiniają go (przynajmniej subiektywnie): „najprawdopodobniej stamtąd pochodzi ta uszkodzona lampa”.

Warto zauważyć, że prawdopodobieństwa hipotezy 1. i 3. zostały przeszacowane w oczekiwanych kierunkach i zrównały się:

Kontrola: , co należało sprawdzić.

Nawiasem mówiąc, o niedoszacowanych i zawyżonych szacunkach:

Problem 8

W grupie studenckiej 3 osoby posiadają poziom wyszkolenia wysoki, 19 osób poziom średni i 3 osoby poziom niski. Prawdopodobieństwo pomyślnego zdania egzaminu dla tych uczniów wynosi odpowiednio: 0,95; 0,7 i 0,4. Wiadomo, że część uczniów zdała egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) był bardzo dobrze przygotowany;
b) był umiarkowanie przygotowany;
c) był słabo przygotowany.

Wykonaj obliczenia i przeanalizuj wyniki ponownej oceny hipotez.

Zadanie jest bliskie rzeczywistości i szczególnie prawdopodobne w przypadku grupy studentów studiów niestacjonarnych, gdzie nauczyciel nie ma praktycznie żadnej wiedzy o możliwościach konkretnego ucznia. W takim przypadku wynik może spowodować dość nieoczekiwane konsekwencje. (szczególnie do egzaminów w I semestrze). Jeśli słabo przygotowany uczeń będzie miał szczęście i dostanie bilet, nauczyciel prawdopodobnie uzna go za ucznia dobrego, a nawet silnego, co zaprocentuje w przyszłości (oczywiście trzeba „podnieść poprzeczkę” i utrzymać swój wizerunek). Jeśli student uczył się, wkuwał i powtarzał przez 7 dni i 7 nocy, ale po prostu miał pecha, to dalsze wydarzenia mogą potoczyć się w najgorszy możliwy sposób – z licznymi powtórkami i balansowaniem na granicy eliminacji.

Nie trzeba dodawać, że reputacja jest najważniejszym kapitałem; to nie przypadek, że wiele korporacji nosi nazwiska swoich ojców założycieli, którzy prowadzili biznes 100-200 lat temu i zasłynęli dzięki nienagannej reputacji.

Tak, podejście bayesowskie jest w pewnym stopniu subiektywne, ale… tak działa życie!

Utrwalmy materiał końcowym przykładem przemysłowym, w którym opowiem o nieznanych dotąd zawiłościach technicznych rozwiązania:

Problem 9

Trzy warsztaty zakładu produkują tego samego rodzaju części, które trafiają do wspólnego kontenera w celu montażu. Wiadomo, że warsztat pierwszy produkuje 2 razy więcej części niż warsztat drugi i 4 razy więcej niż warsztat trzeci. W pierwszym warsztacie odsetek defektów wynosi 12%, w drugim – 8%, w trzecim – 4%. Do kontroli pobierana jest jedna część z pojemnika. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie uszkodzony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęta wadliwa część została wyprodukowana przez trzeci warsztat?

Iwan Wasiljewicz znów na koniu =) Film musi mieć szczęśliwe zakończenie =)

Rozwiązanie: w przeciwieństwie do Zadań nr 5-8, tutaj wyraźnie zadawane jest pytanie, które jest rozwiązywane przy użyciu wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Ale z drugiej strony warunek jest trochę „zaszyfrowany”, a szkolna umiejętność układania prostych równań pomoże nam rozwiązać tę zagadkę. Najwygodniej jest przyjąć najmniejszą wartość jako „x”:

Niech będzie udziałem części wyprodukowanych przez trzeci warsztat.

Zgodnie z warunkiem pierwszy warsztat produkuje 4 razy więcej niż trzeci warsztat, więc udział pierwszego warsztatu wynosi .

Ponadto warsztat pierwszy wytwarza 2 razy więcej produktów niż warsztat drugi, co oznacza udział tego ostatniego: .

Utwórzmy i rozwiążmy równanie:

A zatem: – prawdopodobieństwo, że część wyjęta z kontenera została wyprodukowana odpowiednio w warsztacie 1., 2. i 3.

Kontrola: . Ponadto nie zaszkodzi ponownie spojrzeć na to zdanie „Wiadomo, że pierwszy warsztat wytwarza produkty 2 razy więcej niż drugi warsztat i 4 razy więcej niż trzeci warsztat.” i upewnij się, że uzyskane wartości prawdopodobieństwa rzeczywiście odpowiadają temu warunkowi.

Początkowo można było przyjąć udział pierwszego lub drugiego warsztatu jako „X” – prawdopodobieństwa byłyby takie same. Ale tak czy inaczej najtrudniejsza część została zaliczona, a rozwiązanie jest na dobrej drodze:

Z warunku znajdujemy:
– prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej części dla odpowiednich warsztatów.

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
– prawdopodobieństwo, że losowo wyjęta z kontenera część okaże się niestandardowa.

Pytanie drugie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęta wadliwa część została wyprodukowana przez trzeci warsztat? W tym pytaniu zakłada się, że część została już usunięta i okazała się wadliwa. Ponownie oceniamy hipotezę, korzystając ze wzoru Bayesa:
– pożądane prawdopodobieństwo. Całkowicie oczekiwane - w końcu trzeci warsztat nie tylko produkuje najmniejszą część części, ale także przoduje pod względem jakości!

W tym przypadku było to konieczne uprościć ułamek czteropiętrowy, co trzeba dość często robić przy zadaniach z wykorzystaniem wzorów Bayesa. Ale na tę lekcję w jakiś sposób losowo wybrałem przykłady, w których wiele obliczeń można przeprowadzić bez zwykłych ułamków.

Ponieważ warunek nie zawiera punktów „a” i „be”, lepiej jest podać odpowiedź w komentarzach tekstowych:

Odpowiedź: – prawdopodobieństwo, że część wyjęta z kontenera będzie wadliwa; – prawdopodobieństwo, że wyodrębniona wadliwa część została wyprodukowana przez trzeci warsztat.

Jak widać, problemy ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite i wzorem Bayesa są dość proste i prawdopodobnie z tego powodu tak często próbują skomplikować warunek, o którym wspomniałem już na początku artykułu.

Dodatkowe przykłady znajdują się w pliku with gotowe rozwiązania dla F.P.V. i wzory Bayesa poza tym zapewne znajdą się tacy, którzy będą chcieli głębiej zapoznać się z tym tematem w innych źródłach. A temat jest naprawdę bardzo ciekawy - ile to jest warte? Paradoks Bayesa, co uzasadnia codzienną radę, że jeśli u danej osoby zdiagnozowano chorobę rzadką, wówczas sensowne jest przeprowadzenie przez nią ponownego, a nawet dwóch niezależnych badań. Wydawać by się mogło, że robią to wyłącznie z desperacji… – ale nie! Ale nie mówmy o smutnych rzeczach.

to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student zda egzamin.
Pozwól uczniowi zdać egzamin. Według wzorów Bayesa:
A) – prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin, był bardzo dobrze przygotowany. Obiektywne początkowe prawdopodobieństwo okazuje się przeszacowane, ponieważ prawie zawsze niektórzy „przeciętni ludzie” mają szczęście w zadawaniu pytań i udzielają bardzo mocnych odpowiedzi, co stwarza błędne wrażenie nienagannego przygotowania.
B) – prawdopodobieństwo, że student, który zdał egzamin, był przeciętnie przygotowany. Początkowe prawdopodobieństwo okazuje się nieco zawyżone, gdyż uczniowie o średnim poziomie przygotowania stanowią zazwyczaj większość, dodatkowo tutaj nauczycielem będą uwzględnieni uczniowie „świetni”, którzy odpowiedzieli negatywnie, a czasem także uczeń słabo radzący sobie z egzaminem, któremu udało się zdobyć bilet.
V) – prawdopodobieństwo, że student przystępujący do egzaminu był słabo przygotowany. Początkowe prawdopodobieństwo zostało przeszacowane na gorsze. Nie zaskakujący.
Badanie:
Odpowiedź :

Formularz wydarzeń pełna grupa, jeśli przynajmniej jeden z nich na pewno wystąpi w wyniku eksperymentu i są parami niezgodne.

Załóżmy, że zdarzenie A może wystąpić tylko razem z jednym z kilku niekompatybilnych parami zdarzeń, które tworzą kompletną grupę. Będziemy wywoływać zdarzenia ( I= 1, 2,…, N) hipotezy dodatkowe doświadczenie (a priori). Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określa wzór pełne prawdopodobieństwo :

Przykład 16. Są trzy urny. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne, w drugiej 4 kule białe i 4 czarne, a w trzeciej 8 kul białych. Jedna z urn jest wybierana losowo (może to oznaczać np., że wyboru dokonuje się z urny pomocniczej, w której znajdują się trzy kule o numerach 1, 2 i 3). Z tej urny losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie czarny?

Rozwiązanie. Wydarzenie A– czarna kula zostaje usunięta. Gdyby było wiadomo, z której urny została wylosowana kula, wówczas pożądane prawdopodobieństwo można by obliczyć, korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przedstawmy założenia (hipotezy) dotyczące tego, która urna zostanie wybrana do odzyskania piłki.

Kulę można wylosować albo z pierwszej urny (przypuszczenie), albo z drugiej (przypuszczenie), albo z trzeciej (przypuszczenie). Ponieważ szanse na wybranie którejkolwiek z urn są równe .

Wynika, że

Przykład 17. Lampy elektryczne produkowane są w trzech fabrykach. Pierwsza fabryka produkuje 30% całkowitej liczby lamp elektrycznych, druga - 25%,
i trzeci - reszta. Produkty pierwszego zakładu zawierają 1% wadliwych lamp elektrycznych, drugiego - 1,5%, trzeciego - 2%. Do sklepu trafiają produkty ze wszystkich trzech fabryk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że lampa zakupiona w sklepie okaże się wadliwa?

Rozwiązanie. Należy przyjąć założenia dotyczące tego, w jakim zakładzie została wyprodukowana żarówka. Wiedząc o tym, możemy określić prawdopodobieństwo, że jest on uszkodzony. Wprowadźmy notację zdarzeń: A– zakupiona lampa elektryczna okazała się wadliwa, – lampa została wyprodukowana w pierwszym zakładzie, – lampa została wyprodukowana w drugim zakładzie,
– lampę wyprodukował trzeci zakład.

Pożądane prawdopodobieństwo znajdujemy za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

Wzór Bayesa. Pozwolić będzie kompletną grupą zdarzeń niezgodnych parami (hipotez). A– zdarzenie losowe. Następnie,

Ostatni wzór, który pozwala na ponowne oszacowanie prawdopodobieństw hipotez po znanym wyniku testu, w wyniku którego nastąpiło zdarzenie A, nazywa się Formuła Bayesa .

Przykład 18.Średnio 50% pacjentów z tą chorobą trafia do specjalistycznego szpitala DO, 30% – z chorobą L, 20 % –
z chorobą M. Prawdopodobieństwo całkowitego wyleczenia choroby K równy 0,7 dla chorób L I M prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio 0,8 i 0,9. Pacjent przyjęty do szpitala został wypisany jako zdrowy. Znajdź prawdopodobieństwo, że ten pacjent cierpiał na tę chorobę K.

Rozwiązanie. Wprowadźmy hipotezy: – pacjent cierpiał na chorobę DO L, – pacjent cierpiał na chorobę M.

Następnie, zgodnie z warunkami problemu, mamy . Przedstawmy wydarzenie A– pacjent przyjęty do szpitala został wypisany zdrowy. Według warunku

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:

Według wzoru Bayesa.

Przykład 19. Niech w urnie będzie pięć kul, a wszystkie domysły dotyczące liczby kul białych będą równie możliwe. Z urny wylosowano kulę, która okazała się biała. Jakie założenie dotyczące początkowego składu urny jest najbardziej prawdopodobne?

Rozwiązanie. Załóżmy, że w urnie znajdują się kule białe , tj. można przyjąć sześć założeń. Następnie, zgodnie z warunkami problemu, mamy .

Przedstawmy wydarzenie A– losowo wybrana kula biała. Obliczmy. Ponieważ , to zgodnie ze wzorem Bayesa mamy:

Zatem najbardziej prawdopodobna hipoteza brzmi: ponieważ .

Przykład 20. Uszkodzone zostały dwa z trzech niezależnie działających elementów urządzenia obliczeniowego. Znajdź prawdopodobieństwo, że pierwszy i drugi element uległy uszkodzeniu, jeśli prawdopodobieństwo uszkodzenia odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego elementu wynosi 0,2; 0,4 i 0,3.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A wydarzenie – zawiodły dwa elementy. Można postawić następujące hipotezy:

– awaria pierwszego i drugiego elementu, ale trzeci element jest sprawny. Ponieważ elementy działają niezależnie, obowiązuje twierdzenie o mnożeniu:

Przykład nr 1. Firma produkująca komputery otrzymuje identyczne komponenty od trzech dostawców. Pierwszy dostarcza 50% wszystkich komponentów, drugi - 20%, trzeci - 30% części.
Wiadomo, że jakość dostarczanych części jest różna i w produktach pierwszego dostawcy odsetek wad wynosi 4%, drugiego 5%, a trzeciego 2%. Określ prawdopodobieństwo, że część wybrana losowo spośród wszystkich otrzymanych będzie wadliwa.

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: A - „wybrana część jest wadliwa”, H i - „wybrana część została odebrana od i-tego dostawcy”, i = 1, 2, 3 Hipotezy Formularz H 1, H 2, H 3 kompletna grupa niezgodnych zdarzeń. Według warunku
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite (1.11) prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana część będzie wadliwa, wynosi 0,036.

Załóżmy, że w warunkach z poprzedniego przykładu wystąpiło już zdarzenie A: wybrana część okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziło ono od pierwszego dostawcy? Odpowiedź na to pytanie daje wzór Bayesa.
Analizę prawdopodobieństw rozpoczęliśmy jedynie od wstępnych, apriorycznych wartości prawdopodobieństw zdarzeń. Następnie przeprowadzono eksperyment (wybrano część) i otrzymaliśmy dodatkowe informacje o interesującym nas zdarzeniu. Dzięki tym nowym informacjom możemy udoskonalić nasze wcześniejsze prawdopodobieństwa. Nowe wartości prawdopodobieństw tych samych zdarzeń będą już prawdopodobieństwami a posteriori (poeksperymentalnymi) hipotez (ryc. 1.5).

Schemat ponownej oceny hipotez
Niech zdarzenie A będzie realizowane tylko razem z jedną z hipotez H 1 , H 2 , …, H n (pełna grupa zdarzeń niezgodnych). Prawdopodobieństwa aprioryczne hipotez oznaczyliśmy jako P(H i), a prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Jeżeli eksperyment został już przeprowadzony i w jego wyniku zaszło zdarzenie A, to prawdopodobieństwami późniejszymi hipotez będą prawdopodobieństwa warunkowe P(H i |A), i = 1, 2,…, n. W zapisie poprzedniego przykładu P(H 1 |A) oznacza prawdopodobieństwo, że wybrana część, która okazała się wadliwa, została otrzymana od pierwszego dostawcy.
Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia H k |A Rozważmy wspólne wystąpienie zdarzeń H k i A, czyli zdarzenie AH k. Jego prawdopodobieństwo można wyznaczyć na dwa sposoby, korzystając ze wzorów na mnożenie (1.5) i (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Przyrównajmy prawe strony tych wzorów
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

stąd prawdopodobieństwo późniejsze hipotezy H k jest równe

W mianowniku zawarte jest prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A. Zastępując jego wartość zamiast P(A) zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite (1.11) otrzymujemy:
(1.12)
Nazywa się wzór (1.12). Formuła Bayesa i służy do ponownego oszacowania prawdopodobieństw hipotez.
W warunkach z poprzedniego przykładu znajdziemy prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od pierwszego dostawcy. Podsumujmy w jednej tabeli prawdopodobieństwa aprioryczne znanych nam hipotez P(H i), prawdopodobieństwa warunkowe P(A|H i) oraz prawdopodobieństwa łączne obliczone w procesie rozwiązywania P(AH i) = P(H i) P(A|H i) i prawdopodobieństwa późniejsze P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n obliczone ze wzoru (1.12) (tabela 1.3).

Tabela 1.3 – Ponowna ocena hipotez

Hipotezy Cześć	Prawdopodobieństwa
	A priori P(H i)	Warunkowe P(A|H i)	Wspólne P(AH i)	A posteriori P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - część otrzymana od pierwszego dostawcy	0.5	0.04	0.02
H 2 - część otrzymana od drugiego dostawcy	0.2	0.05	0.01
H 3 - część otrzymana od trzeciego dostawcy	0.3	0.02	0.006
Suma	1.0	-	0.036	1

Spójrzmy na ostatni wiersz tej tabeli. Druga kolumna zawiera sumę prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń H1, H2, H3, tworzących kompletną grupę:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
W czwartej kolumnie wartość w każdym wierszu (łączne prawdopodobieństwa) uzyskuje się z reguły mnożenia prawdopodobieństw poprzez pomnożenie odpowiednich wartości w drugiej i trzeciej kolumnie, a w ostatnim wierszu 0,036 to całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia A ( korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite).
W kolumnie 5 obliczono późniejsze prawdopodobieństwa hipotez, korzystając ze wzoru Bayesa (1.12):

Prawdopodobieństwa późniejsze P(H 2 |A) i P(H 3 |A) oblicza się w podobny sposób, przy czym licznikiem ułamka są łączne prawdopodobieństwa zapisane w odpowiednich wierszach kolumny 4, a mianownikiem jest całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia A zapisane w ostatnim wierszu kolumny 4.
Suma prawdopodobieństw hipotez po eksperymencie wynosi 1 i jest zapisana w ostatnim wierszu piątej kolumny.
Zatem prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od pierwszego dostawcy, wynosi 0,555. Prawdopodobieństwo poeksperymentalne jest większe niż aprioryczne (ze względu na dużą wielkość podaży). Poeksperymentowe prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od drugiego dostawcy wynosi 0,278 i jest również większe od prawdopodobieństwa przedeksperymentalnego (ze względu na dużą liczbę defektów). Po teście prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od trzeciego dostawcy, wynosi 0,167.

Przykład nr 3. Istnieją trzy identyczne urny; w pierwszej urnie znajdują się dwie kule białe i jedna czarna; w drugim - trzy białe i jeden czarny; w trzeciej są dwie białe i dwie czarne kule. Do doświadczenia wybiera się losowo jedną urnę i losuje z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała.
Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy: H 1 – wybrano pierwszą urnę, H 2 – wybrano drugą urnę, H 3 – wybrano trzecią urnę i zdarzenie A – wylosowano białą kulę.
Ponieważ hipotezy dotyczące warunków problemu są jednakowo możliwe, zatem

Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A w ramach tych hipotez są odpowiednio równe:
Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

Przykład nr 4. W piramidzie znajduje się 19 karabinów, w tym 3 z celownikami optycznymi. Strzelec strzelający z karabinu z celownikiem optycznym może trafić w cel z prawdopodobieństwem 0,81, a strzelając z karabinu bez celownika optycznego z prawdopodobieństwem 0,46. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel przy użyciu losowego karabinu.
Rozwiązanie. Tutaj pierwszym testem jest losowy wybór karabinu, drugim strzelanie do celu. Rozważmy następujące zdarzenia: A - strzelec trafia w cel; H 1 – strzelec weźmie ze sobą karabin z celownikiem optycznym; H 2 - strzelec weźmie karabin bez celownika optycznego. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Mamy

Biorąc pod uwagę, że karabiny są wybierane pojedynczo i korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymujemy: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Prawdopodobieństwa warunkowe są określone w stwierdzeniu problemu: P(A|H 1) = 0,81 i P(A|H 2) = 0,46. Stąd,

Przykład nr 5. Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy dwie kule i do urny dodajemy 1 kulę białą. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana kula będzie biała.
Rozwiązanie. Zdarzenie „wylosowano kulę białą” oznaczamy przez A. Zdarzenie H 1 - losowane są dwie kule białe; H 2 - wylosowano dwie czarne kule; H 3 - wylosowano jedną kulę białą i jedną czarną. Następnie prawdopodobieństwa postawionych hipotez

Prawdopodobieństwa warunkowe w ramach tych hipotez są odpowiednio równe: P(A|H 1) = 1/4 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie znajduje się obecnie jedna kula biała i trzy czarne, P(A|H 2) = 3/4 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie są aktualnie trzy kule białe i jedna czarna, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie są aktualnie w urnie są dwie kule białe i jedna czarna. Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

Przykład nr 6. Do tarczy padają dwa strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale wynosi 0,2, przy drugim - 0,6. Prawdopodobieństwo zniszczenia celu jednym trafieniem wynosi 0,3, a dwoma - 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie zniszczony.
Rozwiązanie. Niech zdarzenie A - cel zostanie zniszczony. Aby to zrobić, wystarczy trafić jednym strzałem z dwóch lub trafić w cel dwoma strzałami z rzędu, nie chybiając. Postawmy hipotezy: H 1 - oba strzały trafiły w cel. Wtedy P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - albo za pierwszym, albo za drugim razem spudłowano. Wtedy P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hipoteza H 3 – oba strzały były niecelne – nie jest brana pod uwagę, gdyż prawdopodobieństwo zniszczenia celu wynosi zero. Wówczas prawdopodobieństwa warunkowe są odpowiednio równe: prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy oddaniu obu udanych strzałów wynosi P(A|H 1) = 0,9, a prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy tylko jednym udanym strzale wynosi P(A|H 2) = 0,3. Wtedy prawdopodobieństwo zniszczenia celu według wzoru na prawdopodobieństwo całkowite jest równe.

Konsekwencją dwóch głównych twierdzeń teorii prawdopodobieństwa – twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu – są wzory na prawdopodobieństwo całkowite oraz wzory Bayesa.

W języku algebry zdarzeń zbiór , , ¼ nazywa się pełen zespół wydarzeń, Jeśli:

1. Zdarzenia są niekompatybilne parami, tj. , , ;.

2. Suma sumuje całą przestrzeń prawdopodobieństwa .

Twierdzenie 5 (Wzór na całkowite prawdopodobieństwo). Jeśli wydarzenie A może zaistnieć tylko wtedy, gdy pojawi się jedno ze zdarzeń (hipotez) ,,¼, tworząc kompletną grupę, wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia A równy

Dowód. Ponieważ hipotezy , ,¼, są jedynymi możliwymi i zdarzeniem A zgodnie z warunkami twierdzenia może wystąpić tylko razem z jedną z hipotez, a następnie . Od niezgodności hipotez następuje niezgodność .

Stosujemy twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa w postaci (6):

Z twierdzenia o mnożeniu. Podstawiając to przedstawienie do wzoru (13) otrzymujemy ostatecznie: , co należało udowodnić.

Przykład 8. Firma eksportowo-importowa ma zamiar zawrzeć kontrakt na dostawę sprzętu rolniczego do jednego z krajów rozwijających się. Jeżeli główny konkurent firmy nie ubiega się jednocześnie o kontrakt, wówczas prawdopodobieństwo otrzymania zamówienia szacuje się na 0,45; w przeciwnym razie – o 0,25. Zdaniem ekspertów firmy prawdopodobieństwo, że konkurent złoży propozycje zawarcia umowy, wynosi 0,40. Jakie jest prawdopodobieństwo zawarcia umowy?

Rozwiązanie. A -„firma zawrze umowę”, - „konkurent złoży swoje propozycje”, - „konkurent nie złoży swoich propozycji”. Zgodnie z warunkami problemu , . Warunkowe prawdopodobieństwo zawarcia umowy dla firmy , . Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

Następstwem twierdzenia o mnożeniu i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite jest wzór Bayesa.

Formuła Bayesa pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa każdej z hipotez, pod warunkiem, że zdarzenie miało miejsce. (Ma to zastosowanie, gdy zdarzenie A, które może wystąpić tylko w przypadku jednej z hipotez tworzących kompletną grupę zdarzeń, wystąpiło i konieczne jest ilościowe przewartościowanie znanych przed testem prawdopodobieństw wcześniejszych tych hipotez, tj. należy znaleźć późniejsze (uzyskane po teście) prawdopodobieństwa warunkowe hipotez) , ,…, .

Twierdzenie 6 (Wzór Bayesa). Jeśli wydarzenie A wydarzyło się, następnie prawdopodobieństwa warunkowe hipotez oblicza się za pomocą wzoru zwanego wzorem Bayesa:

Dowód. Aby uzyskać wymagany wzór, piszemy twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń A oraz w dwóch postaciach:

Gdzie co było do okazania

Znaczenie wzoru Bayesa jest takie, że zachodzi zdarzenie A, te. W miarę otrzymywania nowych informacji możemy testować i korygować hipotezy wysunięte przed testowaniem. Podejście to, zwane Bayesowskim, umożliwia korygowanie decyzji zarządczych w ekonomii, szacunki nieznanych parametrów rozkładu cech badanych w analizie statystycznej itp.

Zadanie 9. W skład grupy wchodzi 6 uczniów wyróżniających się, 12 uczniów osiągających dobre wyniki i 22 uczniów osiągających przeciętne wyniki. Znakomity uczeń odpowiada na 5 i 4 z równym prawdopodobieństwem, doskonały uczeń odpowiada na 5, 4 i 3 z równym prawdopodobieństwem, a przeciętny uczeń odpowiada na 4, 3 i 2 z równym prawdopodobieństwem. Losowo wybrany uczeń odpowiedział 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wezwano ucznia osiągającego przeciętne wyniki?

Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy:

Wydarzenie, o którym mowa. Z opisu problemu wiadomo, że

, , .

Znajdźmy prawdopodobieństwa hipotez. Ponieważ w grupie jest tylko 40 uczniów i 6 doskonałych uczniów . Podobnie, , . Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite, znajdujemy

Teraz zastosujemy wzór Bayesa do hipotezy:

Przykład 10. Ekonomista-analityk warunkowo dzieli sytuację gospodarczą w kraju na „dobrą”, „przeciętną” i „złą” i szacuje ich prawdopodobieństwo w danym momencie na 0,15; Odpowiednio 0,70 i 0,15. Pewien wskaźnik kondycji ekonomicznej wzrasta z prawdopodobieństwem 0,60, gdy sytuacja jest „dobra”; z prawdopodobieństwem 0,30, gdy sytuacja jest przeciętna i z prawdopodobieństwem 0,10, gdy sytuacja jest „zła”. Niech w tej chwili wskaźnik kondycji ekonomicznej wzrośnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gospodarka kraju kwitnie?

Rozwiązanie. A= „wskaźnik kondycji ekonomicznej kraju wzrośnie”, H 1= „sytuacja gospodarcza w kraju jest «dobra»”, H 2= „sytuacja gospodarcza w kraju jest «przeciętna»”, N 3= „sytuacja gospodarcza w kraju jest„ zła ”.” Według warunku: , , . Prawdopodobieństwa warunkowe: ,, . Musisz znaleźć prawdopodobieństwo. Znajdujemy to korzystając ze wzoru Bayesa:

Przykład 11. Spółka handlowa otrzymała telewizory od trzech dostawców w proporcji 1:4:5. Praktyka pokazuje, że telewizory pochodzące od pierwszego, drugiego i trzeciego dostawcy nie będą wymagały naprawy w okresie gwarancyjnym odpowiednio w 98%, 88% i 92% przypadków.

Konsekwencją obu głównych twierdzeń – twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw i twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw – jest tzw. wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Niech konieczne będzie określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, które może wystąpić razem z jednym ze zdarzeń:

tworząc kompletną grupę niezgodnych ze sobą zdarzeń. Nazwiemy te zdarzenia hipotezami.

Udowodnijmy to w tym przypadku

, (3.4.1)

te. prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się jako sumę iloczynów prawdopodobieństwa każdej hipotezy i prawdopodobieństwa zdarzenia w ramach tej hipotezy.

Wzór (3.4.1) nazywany jest wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

Dowód. Ponieważ hipotezy tworzą kompletną grupę, zdarzenie może pojawić się tylko w połączeniu z dowolną z tych hipotez:

Ponieważ hipotezy są niespójne, kombinacje również niezgodne; Stosując do nich twierdzenie o dodawaniu, otrzymujemy:

Stosując twierdzenie o mnożeniu do zdarzenia, otrzymujemy:

,

co było do okazania

Przykład 1. Istnieją trzy identycznie wyglądające urny; w pierwszej urnie znajdują się dwie kule białe i jedna czarna; w drugim - trzy białe i jeden czarny; w trzeciej są dwie białe i dwie czarne kule. Ktoś wybiera losowo jedną z urn i bierze z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała.

Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy:

Wybór pierwszej urny wyborczej

Wybór drugiej urny

Wybór trzeciej urny

a wydarzeniem jest pojawienie się białej kuli.

Ponieważ hipotezy, zgodnie z warunkami problemu, są zatem równie możliwe

.

Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia w ramach tych hipotez są odpowiednio równe:

Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite

.

Przykład 2. W stronę samolotu padają trzy pojedyncze strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale wynosi 0,4, przy drugim – 0,5, przy trzecim – 0,7. Trzy trafienia wystarczą oczywiście, aby unieruchomić samolot; przy jednym trafieniu samolot ulega awarii z prawdopodobieństwem 0,2, przy dwóch trafieniach - z prawdopodobieństwem 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że samolot zostanie unieruchomiony w wyniku trzech strzałów.

Rozwiązanie. Rozważmy cztery hipotezy:

Ani jeden pocisk nie trafił w samolot,

Jeden pocisk trafił w samolot,

Samolot został trafiony dwoma pociskami,

Samolot został trafiony trzema pociskami.

Korzystając z twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu, znajdujemy prawdopodobieństwa tych hipotez:

Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia (awaria statku powietrznego) w ramach tych hipotez są równe:

Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:

Należy zauważyć, że pierwszej hipotezy nie można było uwzględnić, ponieważ odpowiadający jej człon we wzorze na prawdopodobieństwo całkowite znika. Tak się zwykle robi, stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając nie całą grupę niezgodnych hipotez, ale tylko te, w ramach których dane zdarzenie jest możliwe.

Przykład 3. Pracą silnika sterują dwa regulatory. Rozważa się pewien okres czasu, w którym pożądane jest zapewnienie bezawaryjnej pracy silnika. Jeśli oba regulatory są obecne, silnik ulegnie awarii z prawdopodobieństwem, jeśli tylko pierwszy z nich będzie działał - z prawdopodobieństwem, jeśli zadziała tylko drugi - , jeśli oba regulatory zawiodą - z prawdopodobieństwem. Pierwszy z regulatorów ma niezawodność, drugi -. Wszystkie elementy zawodzą niezależnie od siebie. Znaleźć niezawodność całkowitą (prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy) silnika.