त्रिकोणमितीय समीकरण व्याख्या. त्रिकोणमितीय समीकरणे

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची संकल्पना.

त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, ते एक किंवा अधिक मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये रूपांतरित करा. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवणे शेवटी चार मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते.

मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण.

मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांचे 4 प्रकार आहेत:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यामध्ये एकक वर्तुळावरील विविध x पोझिशन्स पाहणे, तसेच रूपांतरण तक्ता (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरणे समाविष्ट आहे.
उदाहरण 1. sin x = 0.866. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = π/3. युनिट वर्तुळ दुसरे उत्तर देते: 2π/3. लक्षात ठेवा: सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक असतात, म्हणजेच त्यांची मूल्ये पुनरावृत्ती केली जातात. उदाहरणार्थ, sin x आणि cos x ची नियतकालिकता 2πn आहे आणि tg x आणि ctg x ची नियतकालिकता πn आहे. तर उत्तर असे लिहिले आहे:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
उदाहरण 2 cos x = -1/2. रूपांतरण सारणी (किंवा कॅल्क्युलेटर) वापरून, तुम्हाला उत्तर मिळेल: x = 2π/3. युनिट वर्तुळ दुसरे उत्तर देते: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
उदाहरण 3. tg (x - π/4) = 0.
उत्तर: x \u003d π / 4 + πn.
उदाहरण 4. ctg 2x = 1.732.
उत्तर: x \u003d π / 12 + πn.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरलेली परिवर्तने.

त्रिकोणमितीय समीकरणे बदलण्यासाठी, बीजगणितीय परिवर्तने (घटकीकरण, एकसंध संज्ञा कमी करणे इ.) आणि त्रिकोणमितीय ओळख वापरली जातात.
उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 हे समीकरण 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 मध्ये रूपांतरित केले जाते. अशा प्रकारे, खालील मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे निराकरण करणे आवश्यक आहे: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन शोधणे.
- त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे शिकण्यापूर्वी, तुम्हाला फंक्शन्सच्या ज्ञात मूल्यांमधून कोन कसे शोधायचे हे शिकणे आवश्यक आहे. हे रूपांतरण टेबल किंवा कॅल्क्युलेटर वापरून केले जाऊ शकते.
- उदाहरण: cos x = 0.732. कॅल्क्युलेटर उत्तर देईल x = 42.95 अंश. युनिट वर्तुळ अतिरिक्त कोन देईल, ज्याचा कोसाइन देखील 0.732 च्या समान आहे.
युनिट वर्तुळावरील द्रावण बाजूला ठेवा.
- तुम्ही एकक वर्तुळावर त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण करू शकता. एकक वर्तुळावरील त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण हे नियमित बहुभुजाचे शिरोबिंदू आहेत.
- उदाहरण: एकक वर्तुळावरील x = π/3 + πn/2 हे द्रावण हे चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत.
- उदाहरण: एकक वर्तुळावरील x = π/4 + πn/3 हे द्रावण हे नियमित षटकोनीचे शिरोबिंदू आहेत.
त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती.
- दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणामध्ये फक्त एक त्रिकोणमितीय कार्य असल्यास, हे समीकरण मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवा. दिलेल्या समीकरणामध्ये दोन किंवा अधिक त्रिकोणमितीय कार्ये समाविष्ट असल्यास, असे समीकरण सोडवण्यासाठी 2 पद्धती आहेत (त्याच्या परिवर्तनाच्या शक्यतेवर अवलंबून).
  - पद्धत 1
- या समीकरणाचे रुपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: f(x)*g(x)*h(x) = 0, जिथे f(x), g(x), h(x) ही मूळ त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत.
- उदाहरण 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- उपाय. दुहेरी कोन सूत्र sin 2x = 2*sin x*cos x वापरून, sin 2x बदला.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos x = 0 आणि (sin x + 1) = 0.
- उदाहरण 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, या समीकरणाचे रूपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: cos 2x(2cos x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2cos x + 1) = 0.
- उदाहरण 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- उपाय: त्रिकोणमितीय ओळख वापरून, या समीकरणाचे रूपांतर फॉर्मच्या समीकरणात करा: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. आता दोन मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा: cos 2x = 0 आणि (2sin x + 1) = 0.
  - पद्धत 2
- दिलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणाला फक्त एक त्रिकोणमितीय कार्य असलेल्या समीकरणात रूपांतरित करा. नंतर हे त्रिकोणमितीय फंक्शन काही अज्ञातांसह बदला, उदाहरणार्थ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, इ.).
- उदाहरण 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- उपाय. या समीकरणामध्ये, (cos^2 x) ला (1 - sin^2 x) (ओळखानुसार) बदला. बदललेले समीकरण असे दिसते:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ला t ने बदला. आता समीकरण असे दिसते: 5t^2 - 4t - 9 = 0. हे दोन मुळे असलेले द्विघात समीकरण आहे: t1 = -1 आणि t2 = 9/5. दुसरा रूट t2 फंक्शनची श्रेणी पूर्ण करत नाही (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- उदाहरण 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- उपाय. tg x ला t ने बदला. खालीलप्रमाणे मूळ समीकरण पुन्हा लिहा: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. आता t शोधा आणि नंतर t = tg x साठी x शोधा.
विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे.
- अनेक विशेष त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत ज्यांना विशिष्ट परिवर्तनांची आवश्यकता असते. उदाहरणे:
- a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
त्रिकोणमितीय कार्यांची आवर्तता.
- आधी सांगितल्याप्रमाणे, सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिक असतात, म्हणजेच त्यांची मूल्ये एका विशिष्ट कालावधीनंतर पुनरावृत्ती होते. उदाहरणे:
  - फंक्शन f(x) = sin x 2π आहे.
  - फंक्शनचा कालावधी f(x) = tg x π च्या बरोबरीचा आहे.
  - फंक्शन f(x) = sin 2x चा कालावधी π च्या बरोबरीचा आहे.
  - फंक्शनचा कालावधी f(x) = cos (x/2) 4π आहे.
- समस्येमध्ये कालावधी निर्दिष्ट केला असल्यास, त्या कालावधीतील x मूल्याची गणना करा.
- टीप: त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे सोपे काम नाही आणि त्यामुळे अनेकदा चुका होतात. त्यामुळे तुमची उत्तरे काळजीपूर्वक तपासा. हे करण्यासाठी, दिलेले समीकरण R(x) = 0 प्लॉट करण्यासाठी तुम्ही आलेख कॅल्क्युलेटर वापरू शकता. अशा प्रकरणांमध्ये, समाधाने दशांश म्हणून दर्शविली जातील (म्हणजे, π ची जागा 3.14 ने घेतली आहे).

या धड्यात आपण पाहू मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्ये, त्यांचे गुणधर्म आणि आलेख, आणि सूची देखील त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि प्रणालींचे मुख्य प्रकार. याव्यतिरिक्त, आम्ही सूचित करतो सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची सामान्य निराकरणे आणि त्यांची विशेष प्रकरणे.

हा धडा तुम्हाला असाइनमेंटच्या प्रकारांपैकी एकाची तयारी करण्यास मदत करेल. B5 आणि C1.

गणित विषयाच्या परीक्षेची तयारी

प्रयोग

धडा 10 त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांची प्रणाली.

सिद्धांत

धडा सारांश

"त्रिकोनमितीय कार्य" हा शब्द आम्ही आधीच वारंवार वापरला आहे. या विषयाच्या पहिल्या धड्यात, आम्ही काटकोन त्रिकोण आणि एकक त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून त्यांची व्याख्या केली. त्रिकोणमितीय फंक्शन्स निर्दिष्ट करण्याच्या अशा पद्धतींचा वापर करून, आम्ही आधीच असा निष्कर्ष काढू शकतो की त्यांच्यासाठी युक्तिवादाचे एक मूल्य (किंवा कोन) फंक्शनच्या अगदी एका मूल्याशी संबंधित आहे, म्हणजे. आम्हाला साइन, कोसाइन, टॅन्जेंट आणि कोटॅंजेंट अचूक फंक्शन्स कॉल करण्याचा अधिकार आहे.

या धड्यात, त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी पूर्वी चर्चा केलेल्या पद्धतींमधून गोषवारा घेण्याचा प्रयत्न करण्याची वेळ आली आहे. आज आपण फंक्शन्ससह कार्य करण्यासाठी नेहमीच्या बीजगणितीय दृष्टिकोनाकडे जाऊ, आपण त्यांच्या गुणधर्मांचा विचार करू आणि आलेख काढू.

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणधर्मांबद्दल, विशेष लक्ष दिले पाहिजे:

परिभाषाचे डोमेन आणि मूल्यांची श्रेणी, पासून साइन आणि कोसाइनसाठी मूल्यांच्या श्रेणीवर बंधने आहेत आणि स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटसाठी परिभाषाच्या श्रेणीवर बंधने आहेत;

सर्व त्रिकोणमितीय कार्यांची नियतकालिकता, पासून सर्वात लहान नॉन-झिरो युक्तिवादाची उपस्थिती आम्ही आधीच लक्षात घेतली आहे, ज्याच्या जोडण्याने फंक्शनचे मूल्य बदलत नाही. अशा युक्तिवादाला कार्याचा कालावधी म्हणतात आणि अक्षराने दर्शविला जातो. साइन/कोसाइन आणि स्पर्शिका/कोटॅंजंटसाठी, हे पूर्णविराम भिन्न आहेत.

फंक्शन विचारात घ्या:

1) व्याख्या डोमेन;

2) मूल्यांची श्रेणी ;

3) कार्य विषम आहे ;

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, क्षेत्राच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, जे वरील क्रमांक 1 ने आलेख मर्यादित करते आणि खाली क्रमांकाने, जे फंक्शनच्या श्रेणीशी संबंधित आहे. याव्यतिरिक्त, प्लॉटिंगसाठी, अनेक मुख्य सारणी कोनांच्या साइन्सची मूल्ये लक्षात ठेवणे उपयुक्त आहे, उदाहरणार्थ, हे आपल्याला आलेखाची पहिली संपूर्ण "वेव्ह" तयार करण्यास अनुमती देईल आणि नंतर उजवीकडे पुन्हा काढू शकेल. आणि डावीकडे, या वस्तुस्थितीचा फायदा घेऊन चित्राची पुनरावृत्ती एका कालावधीने ऑफसेटसह केली जाईल, उदा. वर

आता फंक्शन पाहू:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्या डोमेन;

2) मूल्यांची श्रेणी ;

3) कार्य सम आहे हे y-अक्षाच्या संदर्भात फंक्शनच्या आलेखाची सममिती सूचित करते;

4) फंक्शन त्याच्या संपूर्ण परिभाषेत मोनोटोन नाही;

फंक्शन प्लॉट करू. तसेच साइन तयार करताना, क्षेत्राच्या प्रतिमेसह प्रारंभ करणे सोयीचे आहे जे वरील क्रमांक 1 ने आलेख मर्यादित करते आणि खाली क्रमांकाने, जे फंक्शनच्या श्रेणीशी संबंधित आहे. आम्ही आलेखावरील अनेक बिंदूंचे निर्देशांक देखील प्लॉट करू, ज्यासाठी अनेक मुख्य सारणी कोनांची कोसाइन मूल्ये लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, या बिंदूंचा वापर करून, आपण प्रथम संपूर्ण "वेव्ह" तयार करू शकतो. आलेख आणि नंतर उजवीकडे आणि डावीकडे पुन्हा काढा, या वस्तुस्थितीचा फायदा घेऊन चित्राची पुनरावृत्ती पीरियड शिफ्टसह होईल, म्हणजे. वर

चला फंक्शन वर जाऊया:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्येचे डोमेन , कुठे . अस्तित्वात नसलेल्या मागील धड्यांमध्ये आम्ही आधीच सूचित केले आहे. हे विधान स्पर्शिकेचा कालावधी लक्षात घेऊन सामान्यीकृत केले जाऊ शकते;

2) मूल्यांची श्रेणी, उदा. स्पर्शिक मूल्ये मर्यादित नाहीत;

3) कार्य विषम आहे ;

4) फंक्शन त्याच्या तथाकथित स्पर्शिका शाखांमध्ये मोनोटोनली वाढते, जे आपण आता आकृतीमध्ये पाहू;

5) कार्य कालखंडासह नियतकालिक आहे

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, परिभाषाच्या डोमेनमध्ये समाविष्ट नसलेल्या बिंदूंवर आलेखाच्या अनुलंब लक्षणांच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, म्हणजे. इ. पुढे, आम्ही एसिम्प्टोट्सद्वारे तयार केलेल्या प्रत्येक पट्टीच्या आत स्पर्शिकेच्या शाखांचे चित्रण करतो, त्यांना डाव्या एसिम्प्टोट आणि उजव्या बाजूला दाबतो. त्याच वेळी, प्रत्येक शाखा नीरसपणे वाढत आहे हे विसरू नका. आम्ही सर्व शाखांचे त्याच प्रकारे चित्रण करतो, कारण फंक्शनचा कालावधी समान आहे. हे यावरून दिसून येते की प्रत्येक शाखा शेजारच्या एक्स-अक्षाच्या बाजूने हलवून प्राप्त केली जाते.

आणि आम्ही फंक्शनवर नजर टाकून निष्कर्ष काढतो:

या कार्याचे मुख्य गुणधर्म:

1) व्याख्येचे डोमेन , कुठे . त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांच्या सारणीनुसार, आम्हाला आधीच माहित आहे की ते अस्तित्वात नाही. हे विधान कोटॅंजेंटचा कालावधी लक्षात घेऊन सामान्यीकृत केले जाऊ शकते;

2) मूल्यांची श्रेणी, उदा. कोटॅंजेंट मूल्ये मर्यादित नाहीत;

3) कार्य विषम आहे ;

4) फंक्शन मोनोटोनिकरीत्या त्याच्या शाखांमध्ये कमी होते, जे स्पर्शिका शाखांसारखे असतात;

5) कार्य कालखंडासह नियतकालिक आहे

फंक्शन प्लॉट करू. या प्रकरणात, स्पर्शिकेसाठी, व्याख्या क्षेत्रामध्ये समाविष्ट नसलेल्या बिंदूंवर आलेखाच्या अनुलंब लक्षणांच्या प्रतिमेपासून बांधकाम सुरू करणे सोयीचे आहे, म्हणजे. इ. पुढे, आम्ही एसिम्प्टोट्सने तयार केलेल्या प्रत्येक पट्ट्यामध्ये कोटॅंजेंटच्या शाखांचे चित्रण करतो, त्यांना डावीकडे आणि उजव्या बाजूला दाबतो. या प्रकरणात, आम्ही लक्षात घेतो की प्रत्येक शाखा नीरसपणे कमी होत आहे. सर्व शाखा, स्पर्शिकेप्रमाणेच, त्याच प्रकारे चित्रित केल्या आहेत, कारण फंक्शनचा कालावधी समान आहे.

स्वतंत्रपणे, हे लक्षात घेतले पाहिजे की जटिल युक्तिवादासह त्रिकोणमितीय फंक्शन्समध्ये मानक नसलेला कालावधी असू शकतो. ही फॉर्मची कार्ये आहेत:

त्यांचा कालावधी समान आहे. आणि फंक्शन्सबद्दल:

त्यांचा कालावधी समान आहे.

तुम्ही पाहू शकता की, नवीन कालावधीची गणना करण्यासाठी, मानक कालावधी फक्त युक्तिवादातील घटकाद्वारे विभागला जातो. हे फंक्शनच्या इतर बदलांवर अवलंबून नाही.

फंक्शन आलेख तयार करणे आणि रूपांतरित करणे या धड्यात ही सूत्रे कोठून येतात ते तुम्ही अधिक तपशीलाने समजू आणि समजू शकता.

आम्ही "त्रिकोणमिती" या विषयाच्या सर्वात महत्वाच्या भागांपैकी एकावर आलो आहोत, जो आम्ही त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी समर्पित करू. अशी समीकरणे सोडवण्याची क्षमता महत्त्वाची आहे, उदाहरणार्थ, भौतिकशास्त्रातील दोलन प्रक्रियांचे वर्णन करताना. चला कल्पना करूया की तुम्ही स्पोर्ट्स कारमध्ये कार्टवर काही लॅप चालवले आहेत, त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवल्याने तुम्ही आधीच किती काळ शर्यतीत भाग घेत आहात हे निर्धारित करण्यात मदत होईल, ट्रॅकवरील कारच्या स्थितीनुसार.

चला सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण लिहू:

अशा समीकरणाचे समाधान म्हणजे वितर्क, ज्याची साइन समान आहे. परंतु आपल्याला आधीच माहित आहे की साइनच्या नियतकालिकतेमुळे, अशा वितर्कांची संख्या असीम आहे. अशा प्रकारे, या समीकरणाचे निराकरण होईल, इ. हेच इतर कोणत्याही साध्या त्रिकोणमितीय समीकरण सोडविण्यास लागू होते, त्यांची संख्या असीम असेल.

त्रिकोणमितीय समीकरणे अनेक मूलभूत प्रकारांमध्ये विभागली जातात. स्वतंत्रपणे, एखाद्याने सर्वात सोप्या गोष्टींवर लक्ष केंद्रित केले पाहिजे, कारण. बाकी सर्व त्यांच्यासाठी कमी केले जातात. अशी चार समीकरणे आहेत (मूलभूत त्रिकोणमितीय कार्यांच्या संख्येनुसार). त्यांच्यासाठी, सामान्य उपाय ज्ञात आहेत, ते लक्षात ठेवले पाहिजेत.

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांचे सामान्य निराकरणयासारखे पहा:

कृपया लक्षात घ्या की साइन आणि कोसाइन मूल्यांनी आम्हाला ज्ञात असलेल्या मर्यादा लक्षात घेतल्या पाहिजेत. जर, उदाहरणार्थ, , तर समीकरणाला कोणतेही उपाय नाहीत आणि हे सूत्र लागू केले जाऊ नये.

याव्यतिरिक्त, या मूळ सूत्रांमध्ये अनियंत्रित पूर्णांकाच्या स्वरूपात एक पॅरामीटर असतो. शालेय अभ्यासक्रमात, हे एकमेव प्रकरण आहे जेव्हा पॅरामीटरशिवाय समीकरणाच्या समाधानामध्ये पॅरामीटर असतो. हा अनियंत्रित पूर्णांक दर्शवितो की कोणत्याही दर्शविलेल्या समीकरणांच्या मुळांची अनंत संख्या लिहिणे शक्य आहे फक्त सर्व पूर्णांक बदलून.

10 व्या वर्गातील बीजगणित कार्यक्रमातील "त्रिकोणमितीय समीकरणे" या धड्याची पुनरावृत्ती करून तुम्ही या सूत्रांच्या तपशीलवार पावतीशी परिचित होऊ शकता.

स्वतंत्रपणे, साइन आणि कोसाइनसह सर्वात सोप्या समीकरणांच्या विशिष्ट प्रकरणांच्या निराकरणाकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. ही समीकरणे अशी दिसतात:

सामान्य उपाय शोधण्याची सूत्रे त्यांना लागू करू नयेत. अशी समीकरणे त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून सर्वात सोयीस्करपणे सोडवली जातात, जे सामान्य समाधान सूत्रांपेक्षा सोपे परिणाम देते.

उदाहरणार्थ, समीकरणाचा उपाय आहे . हे उत्तर स्वतः मिळवण्याचा प्रयत्न करा आणि बाकीची सूचित समीकरणे सोडवा.

दर्शविलेल्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या सर्वात सामान्य प्रकाराव्यतिरिक्त, आणखी अनेक मानक समीकरणे आहेत. आम्ही आधीच सूचित केलेल्या गोष्टी लक्षात घेऊन आम्ही त्यांची यादी करतो:

1) प्रोटोझोआ, उदाहरणार्थ, ;

2) सर्वात सोप्या समीकरणांची विशेष प्रकरणे, उदाहरणार्थ, ;

3) जटिल युक्तिवाद समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

4) एक सामान्य घटक काढून समीकरणे त्यांच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी केली जातात, उदाहरणार्थ, ;

5) त्रिकोणमितीय कार्ये बदलून समीकरणे त्यांच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी झाली, उदाहरणार्थ, ;

6) प्रतिस्थापनाद्वारे सर्वात सोपी ते कमी करता येणारी समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

7) एकसंध समीकरणे, उदाहरणार्थ, ;

8) फंक्शन्सचे गुणधर्म वापरून सोडवलेली समीकरणे, उदाहरणार्थ, . या समीकरणात दोन चल आहेत, ते एकाच वेळी सोडवले जाते या वस्तुस्थितीमुळे घाबरू नका;

तसेच विविध पद्धती वापरून सोडवलेली समीकरणे.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याव्यतिरिक्त, त्यांची प्रणाली सोडविण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

सिस्टमचे सर्वात सामान्य प्रकार आहेत:

1) ज्यामध्ये एक समीकरण शक्ती कायदा आहे, उदाहरणार्थ, ;

2) साध्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची प्रणाली, उदाहरणार्थ, .

आजच्या धड्यात, आपण मूळ त्रिकोणमितीय कार्ये, त्यांचे गुणधर्म आणि आलेख पाहिले. आणि सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी सामान्य सूत्रांशी देखील परिचित झाले, अशा समीकरणांचे मुख्य प्रकार आणि त्यांची प्रणाली दर्शविली.

धड्याच्या व्यावहारिक भागात, आम्ही त्रिकोणमितीय समीकरणे आणि त्यांच्या प्रणालींचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींचे विश्लेषण करू.

बॉक्स १.सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या विशेष प्रकरणांचे निराकरण.

आम्ही धड्याच्या मुख्य भागात म्हटल्याप्रमाणे, फॉर्मच्या साइन आणि कोसाइनसह त्रिकोणमितीय समीकरणांची विशेष प्रकरणे:

सामान्य सोल्यूशन फॉर्म्युल्यांपेक्षा सोपे उपाय आहेत.

यासाठी त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरले जाते. उदाहरण म्हणून समीकरण वापरून ते सोडवण्याच्या पद्धतीचे विश्लेषण करू.

त्रिकोणमितीय वर्तुळावर एक बिंदू काढा ज्यावर कोसाइन मूल्य शून्य आहे, जो x-अक्षासह समन्वय देखील आहे. तुम्ही बघू शकता, असे दोन मुद्दे आहेत. वर्तुळावरील या बिंदूंशी जुळणारा कोन कोणता आहे हे दर्शविणे हे आमचे कार्य आहे.

आम्ही अॅब्सिसा अक्ष (कोसाइन अक्ष) च्या सकारात्मक दिशेपासून मोजणे सुरू करतो आणि, कोन पुढे ढकलताना, आम्ही दर्शविलेल्या पहिल्या बिंदूवर पोहोचतो, म्हणजे. एक उपाय हे कोन मूल्य असेल. पण दुसऱ्या मुद्द्याशी सुसंगत असलेल्या कोनाबाबत आम्ही अजूनही समाधानी आहोत. त्यात कसे जायचे?

अनेक सोडवताना गणित समस्या, विशेषत: जे दहावीच्या आधी घडतात, त्या कृतींचा क्रम जो ध्येयाकडे नेईल ते स्पष्टपणे परिभाषित केले आहे. अशा समस्यांमध्ये, उदाहरणार्थ, रेखीय आणि द्विघातीय समीकरणे, रेखीय आणि द्विघातीय असमानता, अपूर्णांक समीकरणे आणि समीकरणे यांचा समावेश होतो जे चतुर्भुज समीकरणांमध्ये कमी होतात. नमूद केलेल्या प्रत्येक कार्याच्या यशस्वी निराकरणाचे तत्त्व खालीलप्रमाणे आहे: कोणत्या प्रकारची समस्या सोडवली जात आहे हे स्थापित करणे आवश्यक आहे, क्रियांचा आवश्यक क्रम लक्षात ठेवा ज्यामुळे इच्छित परिणाम मिळेल, उदा. उत्तर द्या आणि या चरणांचे अनुसरण करा.

साहजिकच, एखाद्या विशिष्ट समस्येचे निराकरण करण्यात यश किंवा अयशस्वी होणे हे मुख्यत्वे समीकरणाचा प्रकार किती योग्यरित्या निर्धारित केला जातो, त्याच्या निराकरणाच्या सर्व टप्प्यांचा क्रम किती योग्यरित्या पुनरुत्पादित केला जातो यावर अवलंबून असते. अर्थात, या प्रकरणात, समान परिवर्तने आणि गणना करण्यासाठी कौशल्य असणे आवश्यक आहे.

सह एक वेगळी परिस्थिती उद्भवते त्रिकोणमितीय समीकरणे.हे समीकरण त्रिकोणमितीय आहे हे सत्य स्थापित करणे कठीण नाही. कृतींचा क्रम ठरवताना अडचणी येतात ज्यामुळे योग्य उत्तर मिळेल.

समीकरणाच्या स्वरूपावरून त्याचा प्रकार निश्चित करणे कधीकधी कठीण असते. आणि समीकरणाचा प्रकार जाणून घेतल्याशिवाय, अनेक डझन त्रिकोणमितीय सूत्रांमधून योग्य एक निवडणे जवळजवळ अशक्य आहे.

त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, आपण प्रयत्न करणे आवश्यक आहे:

1. समीकरणात समाविष्ट केलेली सर्व कार्ये "समान कोनांवर" आणा;
2. समीकरण "समान कार्ये" वर आणा;
3. समीकरणाची डावी बाजू फॅक्टराइज करा, इ.

विचार करा त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धती.

I. सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये घट

उपाय योजना

1 ली पायरी.ज्ञात घटकांच्या संदर्भात त्रिकोणमितीय कार्य व्यक्त करा.

पायरी 2सूत्रे वापरून फंक्शन वितर्क शोधा:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n आर्कसिन a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

पायरी 3अज्ञात चल शोधा.

उदाहरण.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

उपाय.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. व्हेरिएबल प्रतिस्थापन

उपाय योजना

1 ली पायरी.त्रिकोणमितीय कार्यांपैकी एकाच्या संदर्भात समीकरण बीजगणितीय स्वरूपात आणा.

पायरी 2व्हेरिएबल t द्वारे परिणामी कार्य दर्शवा (आवश्यक असल्यास, t वर प्रतिबंध लागू करा).

पायरी 3परिणामी बीजगणितीय समीकरण लिहा आणि सोडवा.

पायरी 4उलट प्रतिस्थापन करा.

पायरी 5सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

उपाय.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, कुठे |t| करू द्या ≤ १.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 किंवा e = -3/2 |t| अट पूर्ण करत नाही ≤ १.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

III. समीकरण क्रम कमी करण्याची पद्धत

उपाय योजना

1 ली पायरी.पॉवर रिडक्शन फॉर्म्युला वापरून हे समीकरण एका रेखीय समीकरणाने बदला:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

पायरी 2 I आणि II पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

cos2x + cos2x = 5/4.

उपाय.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. एकसंध समीकरणे

उपाय योजना

1 ली पायरी.हे समीकरण फॉर्ममध्ये आणा

a) a sin x + b cos x = 0 (प्रथम अंशाचे एकसंध समीकरण)

किंवा दृश्यासाठी

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

पायरी 2समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी भागा

अ) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

आणि tg x साठी समीकरण मिळवा:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

पायरी 3ज्ञात पद्धती वापरून समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

उपाय.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) चला tg x = t, नंतर

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 किंवा t = -4, म्हणून

tg x = 1 किंवा tg x = -4.

पहिल्या समीकरणातून x = π/4 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून समीकरण बदलण्याची पद्धत

उपाय योजना

1 ली पायरी.सर्व प्रकारच्या त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून, हे समीकरण अशा समीकरणात आणा जे I, II, III, IV या पद्धतींनी सोडवता येईल.

पायरी 2ज्ञात पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

उपाय.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 किंवा 2cos x + 1 = 0;

पहिल्या समीकरणातून 2x = π/2 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून cos x = -1/2.

आमच्याकडे x = π/4 + πn/2, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामी, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची क्षमता आणि कौशल्य खूप आहे महत्वाचे, त्यांच्या विकासासाठी विद्यार्थी आणि शिक्षक या दोघांच्याही प्रयत्नांची आवश्यकता आहे.

स्टिरीओमेट्री, भौतिकशास्त्र इत्यादींच्या अनेक समस्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या निराकरणाशी निगडीत आहेत. अशा समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत, त्रिकोणमितीच्या घटकांचा अभ्यास करताना आत्मसात केलेले अनेक ज्ञान आणि कौशल्ये असतात.

सर्वसाधारणपणे गणित आणि व्यक्तिमत्व विकास शिकवण्याच्या प्रक्रियेत त्रिकोणमितीय समीकरणे महत्त्वाचे स्थान व्यापतात.

तुला काही प्रश्न आहेत का? त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
ट्यूटरची मदत घेण्यासाठी - नोंदणी करा.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

साइट, सामग्रीच्या पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

वर्ग: 10

"समीकरणे कायमची असतील."

A. आईन्स्टाईन

धड्याची उद्दिष्टे:

शैक्षणिक:
- त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींची गहन समज;
- फरक करण्यासाठी कौशल्ये तयार करण्यासाठी, त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याचे मार्ग योग्यरित्या निवडा.
शैक्षणिक:
- शैक्षणिक प्रक्रियेत संज्ञानात्मक स्वारस्य शिक्षण;
- कार्याचे विश्लेषण करण्याची क्षमता तयार करणे;
- वर्गातील मनोवैज्ञानिक वातावरण सुधारण्यास हातभार लावा.
शैक्षणिक:
- ज्ञानाच्या स्व-संपादनाच्या कौशल्याच्या विकासास प्रोत्साहन देण्यासाठी;
- विद्यार्थ्यांना त्यांच्या दृष्टिकोनावर तर्क करण्यास प्रोत्साहित करा;

उपकरणे:मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्र, संगणक, प्रोजेक्टर, स्क्रीनसह पोस्टर.

1 धडा

I. मूलभूत ज्ञानाचे प्रत्यक्षीकरण

तोंडी समीकरणे सोडवा:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x - sin 2 x \u003d 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
५) x \u003d (-1) + k;
6) x \u003d (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; ते Z.

II. नवीन साहित्य शिकणे

- आज आपण अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणांचा विचार करू. त्यांचे निराकरण करण्यासाठी 10 मार्गांचा विचार करा. मग एकत्र करण्यासाठी दोन धडे असतील आणि पुढील धडा एक चाचणी असेल. स्टँडवर "धड्याकडे" कार्ये पोस्ट केली जातात, जी चाचणीच्या कामावर असतील, ती चाचणी कार्यापूर्वी सोडविली जाणे आवश्यक आहे. (चाचणीच्या कामाच्या आदल्या दिवशी, स्टँडवर या कामांचे उपाय हँग आउट करा).

तर, आम्ही त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींचा विचार करू. यापैकी काही पद्धती कदाचित तुम्हाला अवघड वाटतील, तर काही सोप्या वाटतील, कारण. तुम्हाला समीकरणे सोडवण्याच्या काही पद्धती आधीच माहित आहेत.

वर्गातील चार विद्यार्थ्यांना एक वैयक्तिक कार्य प्राप्त झाले: त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याचे 4 मार्ग समजून घेणे आणि दाखवणे.

(बोलणारे विद्यार्थी अगोदरच स्लाइड्स तयार करतात. वर्गातील उर्वरित विद्यार्थी समीकरण सोडवण्याच्या मुख्य पायऱ्या नोटबुकमध्ये लिहून ठेवतात.)

1 विद्यार्थी: 1 मार्ग. फॅक्टरिंगद्वारे समीकरणे सोडवणे

sin 4x = 3 cos 2x

समीकरण सोडवण्यासाठी, आपण दुहेरी कोन sin 2 \u003d 2 sin cos च्या साइनसाठी सूत्र वापरतो
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. या घटकांचा गुणाकार शून्य असतो जर कमीत कमी एक घटक शून्य असेल.

2x = + k, k Z किंवा sin 2x = 1.5 - कोणतेही उपाय नाहीत, कारण | पाप | १
x = + k; ते Z.
उत्तर: x = + k, k Z.

2 विद्यार्थी. 2 मार्ग. त्रिकोणमितीय कार्यांची बेरीज किंवा फरक गुणाकारात रूपांतरित करून समीकरणे सोडवणे

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

समीकरण सोडवण्यासाठी आपण sin–sin = 2 sin cos हे सूत्र वापरतो

cos 3x + 2 sin cos = 0,

cos 3x - 2 sin x cos 3x \u003d 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. परिणामी समीकरण दोन समीकरणांच्या संयोगाच्या समतुल्य आहे:

पहिल्या समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या सेटमध्ये दुसऱ्या समीकरणाच्या सोल्यूशनचा संच पूर्णपणे समाविष्ट केला आहे. म्हणजे

उत्तर:

3 विद्यार्थी. 3 मार्ग. त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या गुणाकाराचे बेरीजमध्ये रूपांतर करून समीकरण सोडवणे

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

समीकरण सोडवण्यासाठी आपण सूत्र वापरतो

उत्तर:

4 विद्यार्थी. 4 मार्ग. चतुर्भुज समीकरणे कमी करणारी समीकरणे सोडवणे

3 sin x - 2 cos 2 x \u003d 0,
3 sin x - 2 (1 - sin 2 x) \u003d 0,
2 sin 2 x + 3 sin x - 2 = 0,

sin x = t, कुठे | t |. आपल्याला 2t 2 + 3t - 2 = 0 हे द्विघात समीकरण मिळते.

D = 9 + 16 = 25.

अशा प्रकारे . अट पूर्ण करत नाही | t |.

तर sin x = . म्हणून .

उत्तर:

III. ए.एन. कोल्मोगोरोव्ह यांनी पाठ्यपुस्तकातून काय अभ्यासले होते त्याचे एकत्रीकरण

1. क्रमांक 164 (a), 167 (a) (चतुर्भुज समीकरण)
2. क्रमांक 168 (अ) (फॅक्टरिंग)
3. क्र. 174 (अ) (उत्पादनात बेरजेचे रूपांतर)
4. (उत्पादनास बेरीजमध्ये रूपांतरित करा)

(पाठाच्या शेवटी, पडताळणीसाठी या समीकरणांचे समाधान स्क्रीनवर दाखवा)

№ 164 (अ)

2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
sin x = t, | t | 1. मग
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t= . कुठे

उत्तर:- .

№ 167 (अ)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

tg x \u003d 1 समजा, नंतर आपल्याला 3 t 2 + 2 t - 1 \u003d 0 हे समीकरण मिळेल.

उत्तर:

№ 168 (अ)

उत्तर:

№ 174 (अ)

समीकरण सोडवा:

उत्तर:

2 धडा (धडा-व्याख्यान)

IV. नवीन साहित्य शिकणे(सुरू)

- तर, त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास सुरू ठेवूया.

5 मार्ग. एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरणांचे समाधान

फॉर्मची समीकरणे a sin x + b cos x = 0, जेथे a आणि b काही संख्या आहेत, त्यांना sin x किंवा cos x च्या संदर्भात पहिल्या अंशाची एकसंध समीकरणे म्हणतात.

समीकरण विचारात घ्या

sin x – cos x = 0. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना cos x ने विभाजित करा. हे केले जाऊ शकते, रूटचे नुकसान होणार नाही, कारण. , तर cos x = 0,ते sin x = 0. परंतु हे मूळ त्रिकोणमितीय ओळखीच्या विरोधात आहे पाप 2 x + cos 2 x = 1.

मिळवा tg x - 1 = 0.

टॅन x = 1,

फॉर्मची समीकरणे म्हणून 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,कुठे a, b, cकाही संख्यांना sin x किंवा cos x च्या संदर्भात दुसऱ्या अंशाची एकसंध समीकरणे म्हणतात.

समीकरण विचारात घ्या

sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 \u003d 0. आपण समीकरणाचे दोन्ही भाग cos x ने विभाजित करतो, आणि मूळ नष्ट होणार नाही, कारण cos x = 0 हे या समीकरणाचे मूळ नाही.

tg 2x - 3tgx + 2 = 0.

चला tgx = t. डी \u003d 9 - 8 \u003d 1.

मग म्हणून tg x = 2 किंवा tg x = 1.

परिणामी x = arctg 2 + , x =

उत्तर: arctg 2 + ,

दुसरे समीकरण विचारात घ्या: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
आपण समीकरणाची उजवी बाजू 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x) या स्वरूपात बदलतो. मग आम्हाला मिळते:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x \u003d 0. (आम्हाला दुसरे समीकरण मिळाले, ज्याचे आम्ही आधीच विश्लेषण केले आहे).

उत्तर: arctg 2 + k,

6 मार्ग. रेखीय त्रिकोणमितीय समीकरणांचे समाधान

रेखीय त्रिकोणमितीय समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे a sin x + b cos x = c, जेथे a, b, c काही संख्या आहेत.

समीकरण विचारात घ्या sin x + cos x= – 1.
फॉर्ममध्ये समीकरण पुन्हा लिहू: