या लेखात, आम्ही गणितीय मॉडेलची उदाहरणे ऑफर करतो. याव्यतिरिक्त, आम्ही मॉडेल तयार करण्याच्या टप्प्यांकडे लक्ष देऊ आणि गणितीय मॉडेलिंगशी संबंधित काही समस्यांचे विश्लेषण करू.

आपल्याकडे दुसरा प्रश्न आहे तो म्हणजे अर्थशास्त्रातील गणिती मॉडेल्स, ज्याची उदाहरणे आपण थोड्या वेळाने व्याख्या पाहू. आम्ही आमचे संभाषण "मॉडेल" च्या अगदी संकल्पनेसह सुरू करण्याचा प्रस्ताव देतो, त्यांच्या वर्गीकरणाचा थोडक्यात विचार करा आणि आमच्या मुख्य प्रश्नांकडे जा.

"मॉडेल" ची संकल्पना

"मॉडेल" हा शब्द आपण अनेकदा ऐकतो. हे काय आहे? या संज्ञेच्या अनेक व्याख्या आहेत, त्यापैकी फक्त तीन येथे आहेत:

• एक विशिष्ट वस्तू जी माहिती प्राप्त करण्यासाठी आणि संग्रहित करण्यासाठी तयार केली गेली आहे, जी या ऑब्जेक्टच्या मूळचे काही गुणधर्म किंवा वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करते (ही विशिष्ट वस्तू वेगवेगळ्या स्वरूपात व्यक्त केली जाऊ शकते: मानसिक, चिन्हे वापरून वर्णन इ.);
• मॉडेलचा अर्थ एखाद्या विशिष्ट परिस्थितीचे, जीवनाचे किंवा व्यवस्थापनाचे प्रतिनिधित्व असा देखील होतो;
• मॉडेल एखाद्या वस्तूची कमी केलेली प्रत असू शकते (ते अधिक तपशीलवार अभ्यास आणि विश्लेषणासाठी तयार केले जातात, कारण मॉडेल रचना आणि संबंध प्रतिबिंबित करते).

आधी सांगितलेल्या प्रत्येक गोष्टीवर आधारित, आम्ही एक छोटासा निष्कर्ष काढू शकतो: मॉडेल आपल्याला जटिल प्रणाली किंवा ऑब्जेक्टचा तपशीलवार अभ्यास करण्यास अनुमती देते.

सर्व मॉडेल्सचे अनेक वैशिष्ट्यांनुसार वर्गीकरण केले जाऊ शकते:

• वापराच्या क्षेत्रानुसार (शैक्षणिक, प्रायोगिक, वैज्ञानिक आणि तांत्रिक, गेमिंग, सिम्युलेशन);
• डायनॅमिक्सद्वारे (स्थिर आणि गतिमान);
• ज्ञानाच्या शाखेनुसार (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, समाजशास्त्रीय, आर्थिक, गणितीय);
• सादरीकरणाच्या पद्धतीनुसार (साहित्य आणि माहितीपूर्ण).

माहिती मॉडेल, यामधून, लाक्षणिक आणि मौखिक मध्ये विभागलेले आहेत. आणि प्रतिकात्मक - संगणकात आणि संगणक नसलेल्यांमध्ये. आता गणितीय मॉडेलच्या उदाहरणांचा तपशीलवार विचार करूया.

गणिती मॉडेल

तुम्ही अंदाज लावू शकता, गणितीय मॉडेल विशेष गणितीय चिन्हे वापरून वस्तू किंवा घटनेची कोणतीही वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करते. आजूबाजूच्या जगाचे नमुने स्वतःच्या विशिष्ट भाषेत तयार करण्यासाठी गणिताची गरज आहे.

गणितीय मॉडेलिंगची पद्धत फार पूर्वी, हजारो वर्षांपूर्वी, या विज्ञानाच्या आगमनाबरोबरच उद्भवली. तथापि, या मॉडेलिंग पद्धतीच्या विकासास चालना संगणक (इलेक्ट्रॉनिक संगणक) च्या उदयाने दिली गेली.

आता वर्गीकरणाकडे वळू. हे काही चिन्हांनुसार देखील केले जाऊ शकते. ते खालील तक्त्यामध्ये सादर केले आहेत.

आम्ही नवीनतम वर्गीकरण थांबवण्याचा आणि जवळून पाहण्याचा प्रस्ताव देतो, कारण ते मॉडेलिंगचे सामान्य नमुने आणि तयार केलेल्या मॉडेल्सची उद्दिष्टे प्रतिबिंबित करते.

वर्णनात्मक मॉडेल

या प्रकरणात, आम्ही वर्णनात्मक गणितीय मॉडेल्सवर अधिक तपशीलवार विचार करण्याचा प्रस्ताव देतो. सर्वकाही अगदी स्पष्ट करण्यासाठी, एक उदाहरण दिले जाईल.

या प्रकाराला वर्णनात्मक म्हणता येईल या वस्तुस्थितीपासून सुरुवात करूया. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की आम्ही फक्त गणना आणि अंदाज लावतो, परंतु कोणत्याही प्रकारे इव्हेंटच्या परिणामावर प्रभाव टाकू शकत नाही.

वर्णनात्मक गणितीय मॉडेलचे एक उल्लेखनीय उदाहरण म्हणजे आपल्या सौरमालेच्या विस्तारावर आक्रमण करणाऱ्या धूमकेतूचा उड्डाण मार्ग, वेग आणि पृथ्वीपासूनचे अंतर यांची गणना. हे मॉडेल वर्णनात्मक आहे, कारण प्राप्त केलेले सर्व परिणाम आपल्याला कोणत्याही धोक्याची चेतावणी देऊ शकतात. दुर्दैवाने, आम्ही कार्यक्रमाच्या परिणामावर प्रभाव टाकू शकत नाही. तथापि, मिळालेल्या गणनेच्या आधारे, पृथ्वीवरील जीवसृष्टी टिकवण्यासाठी कोणतीही उपाययोजना करणे शक्य आहे.

ऑप्टिमायझेशन मॉडेल

आता आपण आर्थिक आणि गणितीय मॉडेल्सबद्दल थोडे बोलू, ज्याची उदाहरणे भिन्न वर्तमान परिस्थिती म्हणून काम करू शकतात. या प्रकरणात, आम्ही अशा मॉडेल्सबद्दल बोलत आहोत जे विशिष्ट परिस्थितीत योग्य उत्तर शोधण्यात मदत करतात. त्यांच्याकडे निश्चितपणे काही मापदंड आहेत. हे पूर्णपणे स्पष्ट करण्यासाठी, कृषी क्षेत्राचे उदाहरण पाहू.

आमच्याकडे धान्यसाठा आहे, पण धान्य फार लवकर खराब होते. या प्रकरणात, आम्हाला योग्य तापमान परिस्थिती निवडणे आणि स्टोरेज प्रक्रिया ऑप्टिमाइझ करणे आवश्यक आहे.

अशा प्रकारे, आपण "ऑप्टिमायझेशन मॉडेल" ची संकल्पना परिभाषित करू शकतो. गणितीय अर्थाने, ही समीकरणांची एक प्रणाली आहे (दोन्ही रेखीय आणि नाही), ज्याचे निराकरण विशिष्ट आर्थिक परिस्थितीत इष्टतम समाधान शोधण्यात मदत करते. आम्ही गणितीय मॉडेल (ऑप्टिमायझेशन) चे उदाहरण पाहिले, परंतु मी जोडू इच्छितो: हा प्रकार अत्यंत समस्यांच्या वर्गाशी संबंधित आहे, ते आर्थिक प्रणालीच्या कार्याचे वर्णन करण्यात मदत करतात.

चला आणखी एक बारकावे लक्षात घ्या: मॉडेल भिन्न स्वरूपाचे असू शकतात (खालील सारणी पहा).

मल्टीक्रिटेरिया मॉडेल्स

आता आम्ही तुम्हाला मल्टीक्रिटेरिया ऑप्टिमायझेशनच्या गणितीय मॉडेलबद्दल थोडे बोलण्यासाठी आमंत्रित करतो. याआधी, आम्ही कोणत्याही एका निकषानुसार प्रक्रिया ऑप्टिमाइझ करण्यासाठी गणितीय मॉडेलचे उदाहरण दिले, परंतु त्यापैकी अनेक असल्यास काय?

बहु-निकष कार्याचे एक उल्लेखनीय उदाहरण म्हणजे लोकांच्या मोठ्या गटांसाठी योग्य, निरोगी आणि त्याच वेळी आर्थिक पोषण. सैन्य, शाळेची कॅन्टीन, उन्हाळी शिबिरे, रुग्णालये, अशा अनेक ठिकाणी अशी कामे अनेकदा समोर येतात.

या कामात आम्हाला कोणते निकष दिले जातात?

1. अन्न निरोगी असावे.
2. अन्न खर्च कमीत कमी ठेवला पाहिजे.

जसे आपण पाहू शकता, ही उद्दिष्टे अजिबात जुळत नाहीत. याचा अर्थ असा की समस्या सोडवताना, इष्टतम उपाय शोधणे आवश्यक आहे, दोन निकषांमधील संतुलन.

गेम मॉडेल्स

गेम मॉडेल्सबद्दल बोलताना, "गेम थिअरी" ची संकल्पना समजून घेणे आवश्यक आहे. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, हे मॉडेल वास्तविक संघर्षांचे गणिती मॉडेल प्रतिबिंबित करतात. आपल्याला फक्त हे समजले पाहिजे की, वास्तविक संघर्षाच्या विपरीत, गेम गणितीय मॉडेलचे स्वतःचे विशिष्ट नियम आहेत.

आता मी गेम थिअरीवरून किमान माहिती देईन, जी तुम्हाला गेम मॉडेल काय आहे हे समजण्यास मदत करेल. आणि म्हणून, मॉडेलमध्ये अपरिहार्यपणे पक्ष (दोन किंवा अधिक) असतात, ज्यांना सहसा खेळाडू म्हणतात.

सर्व मॉडेल्समध्ये काही वैशिष्ट्ये आहेत.

गेम मॉडेल जोडलेले किंवा एकाधिक असू शकते. जर आपल्याकडे दोन विषय असतील, तर संघर्ष जोडला जाईल, जर जास्त असेल तर - एकाधिक. एक विरोधी खेळ देखील ओळखला जाऊ शकतो, त्याला शून्य-सम गेम देखील म्हणतात. हे एक मॉडेल आहे ज्यामध्ये सहभागींपैकी एकाचा नफा दुसर्‍याच्या तोट्याइतका आहे.

सिम्युलेशन मॉडेल

या विभागात, आम्ही सिम्युलेशन गणितीय मॉडेल्सवर लक्ष केंद्रित करू. कार्यांची उदाहरणे आहेत:

• सूक्ष्मजीवांच्या संख्येच्या गतिशीलतेचे मॉडेल;
• आण्विक गतीचे मॉडेल आणि असेच.

या प्रकरणात, आम्ही अशा मॉडेलबद्दल बोलत आहोत जे वास्तविक प्रक्रियेच्या शक्य तितक्या जवळ आहेत. मोठ्या प्रमाणावर, ते निसर्गातील काही प्रकटीकरणाचे अनुकरण करतात. पहिल्या प्रकरणात, उदाहरणार्थ, आम्ही एका कॉलनीतील मुंग्यांच्या संख्येच्या गतिशीलतेचे अनुकरण करू शकतो. त्याच वेळी, आपण प्रत्येक वैयक्तिक व्यक्तीचे भविष्य पाहू शकता. या प्रकरणात, गणितीय वर्णन क्वचितच वापरले जाते; लिखित अटी अधिक वेळा उपस्थित असतात:

• पाच दिवसांनी मादी अंडी घालते;
• वीस दिवसांनी मुंगी मरते, वगैरे.

अशा प्रकारे, ते मोठ्या प्रणालीचे वर्णन करण्यासाठी वापरले जातात. गणितीय निष्कर्ष म्हणजे प्राप्त सांख्यिकीय डेटावर प्रक्रिया करणे.

आवश्यकता

हे जाणून घेणे फार महत्वाचे आहे की या प्रकारच्या मॉडेलमध्ये काही आवश्यकता आहेत, ज्यात खालील तक्त्यामध्ये सूचीबद्ध आहेत.

अष्टपैलुत्व	ही गुणधर्म तुम्हाला समान मॉडेल वापरण्याची परवानगी देते जेव्हा वस्तूंच्या समान गटांचे वर्णन करते. हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की सार्वत्रिक गणितीय मॉडेल अभ्यासाधीन वस्तूच्या भौतिक स्वरूपापासून पूर्णपणे स्वतंत्र आहेत.
पर्याप्तता	येथे हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की ही मालमत्ता आपल्याला वास्तविक प्रक्रिया शक्य तितक्या अचूकपणे पुनरुत्पादित करण्याची परवानगी देते. ऑपरेशनल टास्कमध्ये, गणितीय मॉडेलिंगचा हा गुणधर्म खूप महत्वाचा आहे. मॉडेलचे उदाहरण म्हणजे गॅस सिस्टमचा वापर ऑप्टिमाइझ करण्याची प्रक्रिया. या प्रकरणात, गणना केलेल्या आणि वास्तविक निर्देशकांची तुलना केली जाते, परिणामी, संकलित मॉडेलची शुद्धता तपासली जाते
अचूकता	ही आवश्यकता गणितीय मॉडेल आणि आपल्या वास्तविक ऑब्जेक्टच्या इनपुट पॅरामीटर्सची गणना करताना आपल्याला प्राप्त झालेल्या मूल्यांचा योगायोग सूचित करते.
आर्थिकदृष्ट्या	कोणत्याही गणितीय मॉडेलसाठी खर्च-प्रभावीपणाची आवश्यकता अंमलबजावणी खर्चाद्वारे दर्शविली जाते. जर तुम्ही मॉडेलसोबत मॅन्युअली काम करत असाल, तर तुम्हाला हे गणितीय मॉडेल वापरून एक समस्या सोडवण्यासाठी किती वेळ लागेल याची गणना करणे आवश्यक आहे. जर आपण संगणक-सहाय्यित डिझाइनबद्दल बोलत आहोत, तर वेळ आणि संगणक मेमरी खर्चाचे निर्देशक मोजले जातात

मॉडेलिंगचे टप्पे

एकूण, गणितीय मॉडेलिंग सहसा चार टप्प्यात विभागले जाते.

1. मॉडेलचे भाग जोडणारे कायदे तयार करणे.
2. गणितीय समस्यांचा अभ्यास.
3. व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक परिणामांचा योगायोग निश्चित करणे.
4. मॉडेलचे विश्लेषण आणि आधुनिकीकरण.

आर्थिक आणि गणितीय मॉडेल

या विभागात आम्ही थोडक्यात समस्या हायलाइट करू. कार्यांच्या उदाहरणांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

• मांस उत्पादनांच्या उत्पादनासाठी उत्पादन कार्यक्रम तयार करणे जे जास्तीत जास्त उत्पादन नफा सुनिश्चित करते;
• फर्निचर कारखान्यात उत्पादित केलेल्या टेबल आणि खुर्च्यांच्या इष्टतम प्रमाणाची गणना करून संस्थेचा नफा वाढवणे इ.

आर्थिक-गणितीय मॉडेल आर्थिक अमूर्तता दर्शविते, जे गणितीय संज्ञा आणि चिन्हे वापरून व्यक्त केले जाते.

संगणक गणितीय मॉडेल

संगणक गणितीय मॉडेलची उदाहरणे आहेत:

• फ्लोचार्ट, आकृत्या, तक्ते इ. वापरून हायड्रॉलिक समस्या;
• सॉलिड मेकॅनिक्स वरील समस्या इ.

संगणक मॉडेल ही ऑब्जेक्ट किंवा सिस्टमची प्रतिमा आहे, जी फॉर्ममध्ये सादर केली जाते:

• टेबल;
• ब्लॉक आकृत्या;
• आकृत्या;
• ग्राफिक्स इ.

शिवाय, हे मॉडेल सिस्टमची रचना आणि परस्पर संबंध प्रतिबिंबित करते.

आर्थिक आणि गणितीय मॉडेलचे बांधकाम

आर्थिक-गणितीय मॉडेल म्हणजे काय याबद्दल आम्ही आधीच बोललो आहोत. समस्या सोडवण्याचे उदाहरण आत्ता विचारात घेतले जाईल. वर्गीकरणात बदल करून नफा वाढवण्यासाठी राखीव राखीव ओळखण्यासाठी आम्हाला उत्पादन कार्यक्रमाचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे.

आम्ही समस्येचा पूर्णपणे विचार करणार नाही, परंतु केवळ एक आर्थिक आणि गणितीय मॉडेल तयार करू. आमच्या कार्याचा निकष म्हणजे नफा वाढवणे. नंतर फंक्शनचे स्वरूप आहे: А=р1*х1+р2*х2..., जास्तीत जास्त प्रवृत्ती. या मॉडेलमध्ये, p हा प्रति युनिट नफा आहे आणि x ही उत्पादित युनिटची संख्या आहे. पुढे, तयार केलेल्या मॉडेलवर आधारित, गणना करणे आणि सारांश करणे आवश्यक आहे.

साधे गणितीय मॉडेल तयार करण्याचे उदाहरण

कार्य.मच्छीमार खालील झेल घेऊन परतला:

• 8 मासे - उत्तर समुद्रातील रहिवासी;
• 20% कॅच दक्षिणेकडील समुद्रातील रहिवासी आहेत;
• स्थानिक नदीतून एकही मासा सापडला नाही.

त्याने दुकानात किती मासे विकत घेतले?

तर, या समस्येचे गणितीय मॉडेल तयार करण्याचे उदाहरण असे दिसते. आपण माशांची एकूण संख्या x ने दर्शवतो. स्थितीनुसार, 0.2x ही दक्षिण अक्षांशांमध्ये राहणाऱ्या माशांची संख्या आहे. आता आपण सर्व उपलब्ध माहिती एकत्र करतो आणि समस्येचे गणितीय मॉडेल मिळवतो: x=0.2x+8. आम्ही समीकरण सोडवतो आणि मुख्य प्रश्नाचे उत्तर मिळवतो: त्याने स्टोअरमध्ये 10 मासे विकत घेतले.

गणित मॉडेलिंग

1. गणितीय मॉडेलिंग म्हणजे काय?

20 व्या शतकाच्या मध्यापासून. मानवी क्रियाकलापांच्या विविध क्षेत्रात गणितीय पद्धती आणि संगणक मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाऊ लागले. “गणितीय अर्थशास्त्र”, “गणितीय रसायनशास्त्र”, “गणितीय भाषाशास्त्र” इत्यादी, संबंधित वस्तू आणि घटनांच्या गणितीय मॉडेल्सचा अभ्यास करणे, तसेच या मॉडेल्सचा अभ्यास करण्याच्या पद्धती यासारख्या नवीन शाखा उदयास आल्या आहेत.

गणितीय मॉडेल हे गणिताच्या भाषेत वास्तविक जगाच्या घटना किंवा वस्तूंच्या कोणत्याही वर्गाचे अंदाजे वर्णन आहे. मॉडेलिंगचा मुख्य उद्देश या वस्तूंचा शोध घेणे आणि भविष्यातील निरीक्षणांच्या परिणामांचा अंदाज लावणे हा आहे. तथापि, मॉडेलिंग ही आपल्या सभोवतालचे जग समजून घेण्याची एक पद्धत आहे, ज्यामुळे त्यावर नियंत्रण ठेवणे शक्य होते.

गणितीय मॉडेलिंग आणि संबंधित संगणक प्रयोग अशा प्रकरणांमध्ये अपरिहार्य आहेत जेथे पूर्ण-प्रयोग एक किंवा दुसर्या कारणास्तव अशक्य किंवा कठीण आहे. उदाहरणार्थ, इतिहासात "काय झाले असते तर..." तपासण्यासाठी एक नैसर्गिक प्रयोग स्थापित करणे अशक्य आहे, एक किंवा दुसर्या वैश्विक सिद्धांताची शुद्धता तपासणे अशक्य आहे. प्लेगसारख्या रोगाच्या प्रसाराचा प्रयोग करणे किंवा त्याच्या परिणामांचा अभ्यास करण्यासाठी आण्विक स्फोट करणे शक्य आहे, परंतु वाजवी असण्याची शक्यता नाही. तथापि, हे सर्व संगणकावर प्रथम अभ्यासल्या जाणार्‍या घटनांचे गणितीय मॉडेल तयार करून केले जाऊ शकते.

2. गणितीय मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे

1) मॉडेल बिल्डिंग. या टप्प्यावर, काही "गैर-गणितीय" वस्तू निर्दिष्ट केल्या आहेत - एक नैसर्गिक घटना, डिझाइन, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया इ. या प्रकरणात, नियम म्हणून, परिस्थितीचे स्पष्ट वर्णन करणे कठीण आहे. प्रथम, इंद्रियगोचरची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणात्मक स्तरावर त्यांच्यातील कनेक्शन ओळखले जातात. मग सापडलेली गुणात्मक अवलंबित्व गणिताच्या भाषेत तयार केली जाते, म्हणजेच एक गणितीय मॉडेल तयार केले जाते. मॉडेलिंगचा हा सर्वात कठीण टप्पा आहे.

२) गणितीय समस्या सोडवणे ज्याकडे मॉडेल नेले आहे. या टप्प्यावर, संगणकावरील समस्या सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम आणि संख्यात्मक पद्धतींच्या विकासाकडे जास्त लक्ष दिले जाते, ज्याच्या मदतीने निकाल आवश्यक अचूकतेसह आणि स्वीकार्य वेळेत शोधला जाऊ शकतो.

3) गणितीय मॉडेलमधून प्राप्त परिणामांचे स्पष्टीकरण.गणिताच्या भाषेतील मॉडेलमधून घेतलेल्या परिणामांचा अर्थ क्षेत्रात स्वीकारलेल्या भाषेत केला जातो.

4) मॉडेलची पर्याप्तता तपासत आहे.या टप्प्यावर, प्रायोगिक परिणाम विशिष्ट अचूकतेमध्ये मॉडेलच्या सैद्धांतिक परिणामांशी सहमत आहेत की नाही हे निर्धारित केले जाते.

5) मॉडेलमध्ये बदल.या टप्प्यावर, एकतर मॉडेल क्लिष्ट आहे जेणेकरुन ते वास्तविकतेसाठी अधिक पुरेसे असेल किंवा व्यावहारिकदृष्ट्या स्वीकार्य समाधान मिळविण्यासाठी ते सोपे केले जाईल.

3. मॉडेलचे वर्गीकरण

विविध निकषांनुसार मॉडेलचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ज्या समस्यांचे निराकरण केले जात आहे त्यानुसार, मॉडेल्स फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरलमध्ये विभागली जाऊ शकतात. पहिल्या प्रकरणात, घटना किंवा वस्तूचे वैशिष्ट्य दर्शविणारे सर्व प्रमाण परिमाणवाचकपणे व्यक्त केले जातात. शिवाय, त्यापैकी काही स्वतंत्र व्हेरिएबल्स म्हणून मानले जातात, तर इतरांना या प्रमाणांचे कार्य मानले जाते. गणितीय मॉडेल ही सामान्यतः विविध प्रकारच्या समीकरणांची एक प्रणाली असते (विभेदक, बीजगणित, इ.) जी विचाराधीन प्रमाणांमध्ये परिमाणवाचक संबंध प्रस्थापित करते. दुस-या प्रकरणात, मॉडेल वैयक्तिक भागांचा समावेश असलेल्या जटिल ऑब्जेक्टची रचना दर्शवते, ज्यामध्ये काही विशिष्ट कनेक्शन असतात. सामान्यतः, हे कनेक्शन परिमाणयोग्य नसतात. अशी मॉडेल्स तयार करण्यासाठी, आलेख सिद्धांत वापरणे सोयीचे आहे. आलेख ही एक गणितीय वस्तू आहे जी समतल किंवा अंतराळातील बिंदूंचा (शिरोबिंदू) संच दर्शवते, ज्यापैकी काही रेषा (किनारे) द्वारे जोडलेले असतात.

प्रारंभिक डेटा आणि परिणामांच्या स्वरूपावर आधारित, भविष्यवाणी मॉडेल्सचे निर्धारणात्मक आणि संभाव्य-सांख्यिकीय मध्ये विभागले जाऊ शकते. पहिल्या प्रकारातील मॉडेल्स निश्चित, अस्पष्ट अंदाज लावतात. दुस-या प्रकारचे मॉडेल सांख्यिकीय माहितीवर आधारित आहेत आणि त्यांच्या मदतीने प्राप्त केलेले अंदाज संभाव्य स्वरूपाचे आहेत.

4. गणितीय मॉडेल्सची उदाहरणे

1) प्रक्षेपणाच्या गतीबद्दल समस्या.

खालील यांत्रिक समस्या विचारात घ्या.

प्रक्षेपण पृथ्वीवरून त्याच्या पृष्ठभागावर a = 45° या कोनात v 0 = 30 m/s या प्रारंभिक वेगासह प्रक्षेपित केले जाते; त्याच्या हालचालीचा मार्ग आणि या प्रक्षेपकाच्या सुरुवातीच्या आणि शेवटच्या बिंदूंमधील अंतर S शोधणे आवश्यक आहे.

मग, शालेय भौतिकशास्त्राच्या अभ्यासक्रमातून ओळखल्याप्रमाणे, प्रक्षेपणाची गती सूत्रांद्वारे वर्णन केली जाते:

जेथे t वेळ आहे, g = 10 m/s 2 हा गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग आहे. ही सूत्रे समस्येचे गणितीय मॉडेल देतात. पहिल्या समीकरणातून x च्या संदर्भात t व्यक्त केल्याने आणि त्यास दुस-यामध्ये बदलल्यास, आपल्याला प्रक्षेपणाच्या प्रक्षेपकासाठी समीकरण मिळते:

हा वक्र (पॅराबोला) x अक्षाला दोन बिंदूंनी छेदतो: x 1 = 0 (प्रक्षेपणाची सुरुवात) आणि (जेथे प्रक्षेपण पडले ते ठिकाण). v0 आणि a ची दिलेली मूल्ये परिणामी सूत्रांमध्ये बदलून, आम्हाला मिळते

उत्तर: y = x – 90x 2, S = 90 मी.

लक्षात घ्या की या मॉडेलच्या निर्मितीमध्ये अनेक गृहितकांचा वापर केला गेला आहे: उदाहरणार्थ, असे गृहीत धरले जाते की पृथ्वी सपाट आहे आणि पृथ्वीची हवा आणि परिभ्रमण प्रक्षेपणाच्या हालचालीवर परिणाम करत नाही.

2) पृष्ठभागाच्या सर्वात लहान क्षेत्रासह टाकीबद्दल समस्या.

बंद वर्तुळाकार सिलेंडरचा आकार असलेल्या V = 30 m 3 च्या टिन टाकीची उंची h 0 आणि त्रिज्या r 0 शोधणे आवश्यक आहे, ज्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ S किमान आहे (या प्रकरणात, सर्वात लहान रक्कम कथील त्याच्या उत्पादनात जाईल).

h आणि त्रिज्या r या उंचीच्या सिलेंडरच्या आकारमानासाठी आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी आम्ही खालील सूत्रे लिहितो:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

पहिल्या सूत्रातून r आणि V द्वारे h व्यक्त करणे आणि परिणामी अभिव्यक्ती दुसऱ्यामध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते:

अशाप्रकारे, गणिताच्या दृष्टिकोनातून, r चे मूल्य निश्चित करण्यात समस्या येते ज्यावर S(r) फंक्शन किमान पोहोचते. r 0 ची ती मूल्ये शोधू ज्यासाठी व्युत्पन्न

शून्यावर जाते: जेव्हा r बिंदू r 0 मधून जातो तेव्हा S(r) फंक्शनचे दुसरे डेरिव्हेटिव्ह वजा ते प्लसचे चिन्ह बदलते हे तुम्ही तपासू शकता. परिणामी, बिंदू r0 वर S(r) फंक्शन किमान आहे. संबंधित मूल्य h 0 = 2r 0 आहे. दिलेले मूल्य V ला r 0 आणि h 0 च्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्हाला इच्छित त्रिज्या मिळते आणि उंची

3) वाहतूक समस्या.

शहरात दोन पिठाची गोदामे आणि दोन बेकरी आहेत. दररोज, पहिल्या गोदामातून 50 टन मैदा, दुसऱ्या गोदामातून 70 टन, पहिल्या गोदामात 40 टन आणि दुसऱ्या गोदामात 80 टन पीठ नेले जाते.

द्वारे सूचित करूया a ij म्हणजे i-th वेअरहाऊसमधून j-th प्लांटपर्यंत 1 टन मैदा नेण्याचा खर्च (i, j = 1.2). द्या

a 11 = 1.2 रूबल, a 12 = 1.6 रूबल, a२१ = ०.८ घासणे., a 22 = 1 घासणे.

वाहतुकीचे नियोजन कसे केले पाहिजे जेणेकरून त्याची किंमत कमी असेल?

चला या समस्येचे गणितीय सूत्र देऊ. x 1 आणि x 2 ने पहिल्या गोदामातून पहिल्या आणि दुसर्‍या कारखान्यात आणि x 3 आणि x 4 ने अनुक्रमे दुसर्‍या गोदामातून पहिल्या आणि दुसर्‍या कारखान्यात नेले जाणारे पिठाचे प्रमाण दर्शवू. मग:

x १ + x २ = ५०, x ३ + x ४ = ७०, x १ + x ३ = ४०, x २ + x ४ = ८०. (१)

सर्व वाहतुकीची एकूण किंमत सूत्रानुसार निर्धारित केली जाते

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, समस्या म्हणजे चार संख्या शोधणे x 1, x 2, x 3 आणि x 4 जे सर्व दिलेल्या अटी पूर्ण करतात आणि फंक्शनचे किमान f देतात. अज्ञात गोष्टी काढून टाकून xi (i = 1, 2, 3, 4) साठी समीकरणांची प्रणाली (1) सोडवू. आम्हाला ते मिळते

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

आणि x 4 अद्वितीयपणे निर्धारित केले जाऊ शकत नाही. x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) पासून, हे समीकरण (2) वरून येते की 30Ј x 4 Ј 70. x 1, x 2, x 3 साठी x 1, x 2, x 3 चे सूत्र f च्या सूत्रामध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते

f = 148 – 0.2x 4.

हे पाहणे सोपे आहे की या फंक्शनचे किमान x 4 च्या जास्तीत जास्त संभाव्य मूल्यावर, म्हणजे x 4 = 70 वर प्राप्त झाले आहे. इतर अज्ञातांची संबंधित मूल्ये सूत्रांद्वारे निर्धारित केली जातात (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) किरणोत्सर्गी क्षयची समस्या.

N(0) ही किरणोत्सर्गी पदार्थाच्या अणूंची प्रारंभिक संख्या असू द्या आणि N(t) ही t वेळी न विरळलेल्या अणूंची संख्या असू द्या. हे प्रायोगिकरित्या स्थापित केले गेले आहे की या अणूंच्या संख्येतील बदलाचा दर N"(t) N(t) च्या प्रमाणात आहे, म्हणजेच N"(t)=–l N(t), l >0 आहे दिलेल्या पदार्थाची किरणोत्सर्गी स्थिरता. गणितीय विश्लेषणाच्या शालेय अभ्यासक्रमात असे दिसून येते की या विभेदक समीकरणाचे समाधान N(t) = N(0)e –l t आहे. ज्या काळात प्रारंभिक अणूंची संख्या निम्मी झाली त्या कालावधीला अर्ध-जीवन म्हणतात, आणि हे पदार्थाच्या किरणोत्सर्गीतेचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य आहे. T निश्चित करण्यासाठी, आपण सूत्र ठेवले पाहिजे मग उदाहरणार्थ, रेडॉन l = 2.084 · 10 –6, आणि म्हणून T = 3.15 दिवस.

5) प्रवासी सेल्समनची समस्या.

शहर A 1 मध्ये राहणाऱ्या प्रवासी सेल्समनला A 2, A 3 आणि A 4 या प्रत्येक शहराला एकदाच भेट द्यावी लागते आणि नंतर A 1 ला परत जावे लागते. सर्व शहरे रस्त्यांनी जोडलेली आहेत हे ज्ञात आहे आणि A i आणि A j (i, j = 1, 2, 3, 4) शहरांमधील रस्त्यांची लांबी खालीलप्रमाणे आहे:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

ज्या शहरांमध्ये संबंधित मार्गाची लांबी कमी आहे त्या शहरांना भेट देण्याचा क्रम निश्चित करणे आवश्यक आहे.

आपण प्रत्येक शहराचे समतल बिंदू म्हणून चित्रण करूया आणि त्यास संबंधित Ai (i = 1, 2, 3, 4) लेबलने चिन्हांकित करू या. चला हे बिंदू सरळ रेषांनी जोडूया: ते शहरांमधील रस्ते दर्शवतील. प्रत्येक “रस्त्यासाठी” आम्ही त्याची लांबी किलोमीटरमध्ये दर्शवतो (चित्र 2). परिणाम म्हणजे आलेख - एक गणितीय वस्तू ज्यामध्ये समतल बिंदूंचा एक विशिष्ट संच (ज्याला शिरोबिंदू म्हणतात) आणि या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषांचा विशिष्ट संच (ज्याला कडा म्हणतात). शिवाय, हा आलेख लेबल केलेला आहे, कारण त्याच्या शिरोबिंदू आणि कडांना काही लेबले नियुक्त केली आहेत - संख्या (किनारे) किंवा चिन्हे (शिरोबिंदू). आलेखावरील चक्र हा V 1 , V 2 , ... , V k , V 1 अशा शिरोबिंदूंचा क्रम असतो ज्यामध्ये V 1 , ..., V k हे शिरोबिंदू भिन्न असतात आणि V i , V ची कोणतीही जोडी i+1 (i = 1, ..., k – 1) आणि जोडी V 1, V k एका काठाने जोडलेली आहे. अशाप्रकारे, विचाराधीन समस्या ही आहे की चारही शिरोबिंदूंमधून जाणारे आलेखावर एक चक्र शोधणे ज्यासाठी सर्व काठाच्या वजनांची बेरीज किमान आहे. चार शिरोबिंदूंमधून जाणारी आणि A 1 पासून सुरू होणारी सर्व भिन्न चक्रे शोधू या:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

आता या चक्रांची लांबी (किमीमध्ये) शोधू या: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. तर, सर्वात लहान लांबीचा मार्ग पहिला आहे.

लक्षात घ्या की जर आलेखामध्ये n शिरोबिंदू असतील आणि सर्व शिरोबिंदू जोड्यांमध्ये कडांनी जोडलेले असतील (अशा आलेखाला पूर्ण म्हणतात), तर सर्व शिरोबिंदूंमधून जाणाऱ्या चक्रांची संख्या समान आहे. म्हणून, आमच्या बाबतीत अगदी तीन चक्रे आहेत. .

6) पदार्थांची रचना आणि गुणधर्म यांच्यातील संबंध शोधण्याची समस्या.

सामान्य अल्केन नावाच्या अनेक रासायनिक संयुगे पाहू. त्यामध्ये n कार्बन अणू आणि n + 2 हायड्रोजन अणू (n = 1, 2 ...) असतात, n = 3 साठी आकृती 3 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे एकमेकांशी जोडलेले असतात. या संयुगांच्या उकळत्या बिंदूंची प्रायोगिक मूल्ये ओळखू द्या:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

या संयुगांसाठी उत्कलन बिंदू आणि संख्या n यांच्यातील अंदाजे संबंध शोधणे आवश्यक आहे. या अवलंबनाचे स्वरूप आहे असे मानू या

y" a n+b,

कुठे a, b - स्थिरांक निश्चित करणे. शोधण्यासाठी aआणि b आपण या सूत्रामध्ये क्रमशः n = 3, 4, 5, 6 आणि उत्कलन बिंदूंची संबंधित मूल्ये बदलतो. आमच्याकडे आहे:

– ४२ » ३ a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ ब.

सर्वोत्तम ठरवण्यासाठी aआणि b अनेक वेगवेगळ्या पद्धती आहेत. चला त्यापैकी सर्वात सोपा वापरुया. b द्वारे व्यक्त करू aया समीकरणांमधून:

b » – ४२ – ३ a, b " - 4 a, b » २८ - ५ a, b » ६९ – ६ a.

या मूल्यांचा अंकगणितीय माध्य इच्छित b म्हणून घेऊ, म्हणजेच b » 16 – 4.5 ठेवू. a. b चे हे मूल्य समीकरणांच्या मूळ प्रणालीमध्ये बदलू आणि गणना करू a, आम्ही मिळवा aखालील मूल्ये: a» ३७, a» २८, a» २८, a" ३६. आवश्यकतेनुसार घेऊ aया संख्यांचे सरासरी मूल्य, म्हणजे टाकू a" 34. तर, आवश्यक समीकरणाला फॉर्म आहे

y » 34n – 139.

मूळ चार संयुगांवर मॉडेलची अचूकता तपासूया, ज्यासाठी आम्ही परिणामी सूत्र वापरून उकळत्या बिंदूंची गणना करतो:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

अशा प्रकारे, या संयुगांसाठी या गुणधर्माची गणना करताना त्रुटी 5° पेक्षा जास्त नाही. n = 7 सह कंपाऊंडचा उत्कल बिंदू काढण्यासाठी आम्ही परिणामी समीकरण वापरतो, जो मूळ संचामध्ये समाविष्ट नाही, ज्यासाठी आम्ही या समीकरणात n = 7 बदलतो: y р (7) = 99°. परिणाम अगदी अचूक होता: हे ज्ञात आहे की उकळत्या बिंदूचे प्रायोगिक मूल्य y e (7) = 98° आहे.

7) इलेक्ट्रिकल सर्किटची विश्वासार्हता निश्चित करण्याची समस्या.

येथे आपण संभाव्य मॉडेलचे उदाहरण पाहू. प्रथम, आम्ही संभाव्यता सिद्धांतावरून काही माहिती सादर करतो - एक गणितीय शिस्त जी प्रयोगांच्या वारंवार पुनरावृत्ती दरम्यान आढळलेल्या यादृच्छिक घटनांच्या नमुन्यांची अभ्यास करते. यादृच्छिक घटनेला आपण काही प्रयोगाचा संभाव्य परिणाम म्हणू या. इव्हेंट्स A 1, ..., A k पूर्ण गट तयार करतात जर त्यांपैकी एक प्रयोगाच्या परिणामी आवश्यक असेल. घटना एका अनुभवात एकाच वेळी घडू शकत नसल्यास त्यांना असंगत म्हणतात. प्रयोगाच्या n-पट पुनरावृत्ती दरम्यान घटना A ला m वेळा येऊ द्या. घटना A ची वारंवारता W = संख्या आहे. अर्थात, n प्रयोगांची मालिका पूर्ण होईपर्यंत W चे मूल्य अचूकपणे सांगता येत नाही. तथापि, यादृच्छिक घटनांचे स्वरूप असे आहे की व्यवहारात काहीवेळा खालील परिणाम दिसून येतो: जसजसे प्रयोगांची संख्या वाढते तसतसे मूल्य व्यावहारिकरित्या यादृच्छिक होणे थांबते आणि काही नॉन-यादृच्छिक संख्या P(A) च्या आसपास स्थिर होते, ज्याला संभाव्यता म्हणतात. इव्हेंट A. अशक्य इव्हेंटसाठी (जे प्रयोगात कधीच होत नाही) P(A)=0, आणि विश्वासार्ह इव्हेंटसाठी (जे नेहमी अनुभवात येते) P(A)=1. जर घटना A 1 , ..., A k विसंगत घटनांचा संपूर्ण समूह बनवतात, तर P(A 1)+...P(A k)=1.

उदाहरणार्थ, प्रयोगात एक फासे फेकणे आणि X ने किती गुण आणले याचे निरीक्षण करणे समाविष्ट आहे. त्यानंतर आपण खालील यादृच्छिक घटना A i = (X = i), i = 1, ..., 6 सादर करू शकतो. ते विसंगत तितक्याच संभाव्य घटनांचा एक संपूर्ण गट तयार करा, म्हणून P(A i) = (i = 1, ..., 6).

घटनांची बेरीज A आणि B ही घटना A + B आहे, ज्यामध्ये त्यापैकी किमान एक अनुभवात येतो. घटना A आणि B चे उत्पादन AB ही घटना आहे, ज्यामध्ये या घटना एकाच वेळी घडतात. स्वतंत्र घटना A आणि B साठी, खालील सूत्रे सत्य आहेत:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) आता पुढील गोष्टींचा विचार करू कार्य. आपण असे गृहीत धरू की तीन घटक एका इलेक्ट्रिकल सर्किटशी मालिकेत जोडलेले आहेत आणि एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे कार्य करतात. 1ल्या, 2ऱ्या आणि 3ऱ्या घटकांच्या अयशस्वी संभाव्यता अनुक्रमे P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2 च्या समान आहेत. सर्किटमध्ये विद्युत प्रवाह नसण्याची संभाव्यता 0.4 पेक्षा जास्त नसल्यास आम्ही सर्किट विश्वसनीय मानू. दिलेले सर्किट विश्वसनीय आहे की नाही हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

घटक मालिकेत जोडलेले असल्याने, किमान एक घटक अयशस्वी झाल्यास सर्किटमध्ये (इव्हेंट A) विद्युतप्रवाह नसेल. A i ही घटना असू द्या जी i-th घटक कार्य करते (i = 1, 2, 3). नंतर P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. अर्थात, A 1 A 2 A 3 ही एक घटना आहे ज्यामध्ये तिन्ही घटक एकाच वेळी कार्य करतात आणि

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

नंतर P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, तर P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

शेवटी, आम्ही लक्षात घेतो की गणितीय मॉडेल्सची (फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरल, डिटरमिनिस्टिक आणि संभाव्यता यासह) दिलेली उदाहरणे निसर्गात स्पष्टीकरणात्मक आहेत आणि स्वाभाविकच, नैसर्गिक विज्ञान आणि मानवतेमध्ये उद्भवलेल्या गणितीय मॉडेल्सची विविधता संपत नाही.

गणितीय मॉडेल - गणितीय संकल्पनांच्या भाषेत ठोस वैज्ञानिक ज्ञानामध्ये अभ्यास केलेल्या घटनेचे किंवा प्रक्रियेचे प्रतिनिधित्व. या प्रकरणात, मॉडेलच्या वास्तविक गणिती वैशिष्ट्यांच्या अभ्यासाद्वारे अभ्यासाधीन घटनेचे अनेक गुणधर्म प्राप्त करणे अपेक्षित आहे. बांधकाम M.m. बहुतेकदा घटना आणि प्रक्रियांचा अभ्यास केल्या जाणार्‍या परिमाणवाचक विश्लेषणाच्या गरजेनुसार ठरवले जाते, त्याशिवाय, त्यांच्या अभ्यासक्रमाबद्दल प्रायोगिकपणे सत्यापित करण्यायोग्य अंदाज बांधणे अशक्य आहे.

गणितीय मॉडेलिंगची प्रक्रिया, नियमानुसार, खालील टप्प्यांतून जाते. पहिल्या टप्प्यावर, भविष्यातील एमएमच्या मुख्य पॅरामीटर्समधील कनेक्शन ओळखले जातात. आम्ही प्रामुख्याने अभ्यासाच्या अंतर्गत घटनांचे गुणात्मक विश्लेषण आणि संशोधनाच्या मुख्य वस्तूंना जोडणारे नमुने तयार करण्याबद्दल बोलत आहोत. या आधारावर, ज्या वस्तूंचे परिमाणात्मक वर्णन केले जाऊ शकते ते ओळखले जातात. स्टेज एका काल्पनिक मॉडेलच्या निर्मितीसह समाप्त होतो, दुसऱ्या शब्दांत, गणितीय संकल्पनांच्या भाषेत रेकॉर्डिंग मॉडेलच्या मुख्य वस्तूंमधील संबंधांबद्दल गुणात्मक कल्पना, ज्याचे परिमाणात्मक वर्णन केले जाऊ शकते.

दुस-या टप्प्यावर, वास्तविक गणितीय समस्यांचा अभ्यास केला जातो ज्याकडे तयार केलेले काल्पनिक मॉडेल नेले आहे. या टप्प्यावर मुख्य गोष्ट म्हणजे मॉडेलच्या गणितीय विश्लेषणाच्या परिणामी प्रायोगिकदृष्ट्या सत्यापित सैद्धांतिक परिणाम (थेट समस्येचे निराकरण) प्राप्त करणे. त्याच वेळी, अनेकदा अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा, M.m.ची रचना आणि अभ्यास करण्यासाठी. ठोस वैज्ञानिक ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये, समान गणितीय उपकरणे वापरली जातात (उदाहरणार्थ, भिन्न समीकरणे) आणि प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात अगदी क्षुल्लक नसले तरीही त्याच प्रकारच्या गणितीय समस्या उद्भवतात. याव्यतिरिक्त, या टप्प्यावर, हाय-स्पीड कॉम्प्युटर (संगणक) चा वापर खूप महत्त्वाचा बनतो, ज्यामुळे समस्यांचे अंदाजे निराकरण करणे शक्य होते, जे शुद्ध गणिताच्या चौकटीत बरेचदा अशक्य होते, ज्यामध्ये अचूकतेची डिग्री पूर्वी अगम्य होती ( संगणकाचा वापर न करता).

तिसरा टप्पा तयार केलेल्या काल्पनिक M.M च्या पर्याप्ततेची डिग्री ओळखण्यासाठी क्रियाकलापांद्वारे दर्शविला जातो. ज्या घटना आणि प्रक्रियांचा अभ्यास करायचा होता. उदाहरणार्थ, मॉडेलचे सर्व मापदंड निर्दिष्ट केले असल्यास, संशोधक निरीक्षणाच्या अचूकतेच्या मर्यादेत किती प्रमाणात हे शोधण्याचा प्रयत्न करतात, त्यांचे परिणाम मॉडेलच्या सैद्धांतिक परिणामांशी सुसंगत आहेत. निरीक्षणात्मक अचूकतेच्या मर्यादेपलीकडे असलेले विचलन मॉडेलची अपुरीता दर्शवतात. तथापि, बर्याचदा अशी प्रकरणे असतात जेव्हा, मॉडेल तयार करताना, त्याचे अनेक पॅरामीटर्स राहतात

अनिश्चित ज्या समस्यांमध्ये प्रायोगिक चाचण्यांच्या परिणामांसह, निरीक्षणाच्या अचूकतेच्या मर्यादेत, सैद्धांतिक परिणामांची तुलना करता येईल अशा प्रकारे मॉडेलची पॅरामेट्रिक वैशिष्ट्ये स्थापित केली जातात त्यांना व्यस्त समस्या म्हणतात.

चौथ्या टप्प्यावर, तयार केलेल्या काल्पनिक मॉडेलच्या पर्याप्ततेची डिग्री आणि अभ्यासाधीन घटनांवरील नवीन प्रायोगिक डेटाचा उदय लक्षात घेऊन, मॉडेलचे त्यानंतरचे विश्लेषण आणि बदल घडतात. येथे घेतलेला निर्णय हा लागू केलेल्या गणिती साधनांच्या बिनशर्त नकारापासून मूलभूतपणे नवीन वैज्ञानिक सिद्धांताच्या बांधकामाचा पाया म्हणून तयार केलेल्या मॉडेलच्या स्वीकृतीपर्यंत बदलतो.

प्रथम M.m. प्राचीन विज्ञानात दिसू लागले. अशा प्रकारे, सूर्यमालेचे मॉडेल करण्यासाठी, ग्रीक गणितज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ युडोक्सस यांनी प्रत्येक ग्रहाला चार गोलाकार दिले, ज्याच्या हालचालींच्या संयोगाने हिप्पोपेडस तयार झाला - ग्रहाच्या निरीक्षण केलेल्या हालचालींप्रमाणेच एक गणितीय वक्र. तथापि, हे मॉडेल ग्रहांच्या हालचालीतील सर्व निरीक्षणातील विसंगती स्पष्ट करू शकत नसल्यामुळे, नंतर त्याची जागा पर्गाच्या अपोलोनियसच्या एपिसाइक्लिक मॉडेलने घेतली. शेवटचे मॉडेल हिप्पार्कसने त्याच्या अभ्यासात वापरले आणि नंतर टॉलेमीने त्यात काही बदल केले. हे मॉडेल, त्याच्या पूर्ववर्तींप्रमाणे, ग्रह एकसमान गोलाकार हालचालींमधून जातात या विश्वासावर आधारित होते, ज्याच्या ओव्हरलॅपने स्पष्ट अनियमितता स्पष्ट केल्या. हे लक्षात घेतले पाहिजे की कोपर्निकन मॉडेल मूलभूतपणे केवळ गुणात्मक अर्थाने नवीन होते (परंतु M.M. म्हणून नाही). आणि फक्त केप्लरने टायको ब्राहेच्या निरीक्षणावर आधारित नवीन एम.एम. सौर यंत्रणा, हे सिद्ध करते की ग्रह वर्तुळाकार नसून लंबवर्तुळाकार कक्षेत फिरतात.

सध्या, यांत्रिक आणि भौतिक घटनांचे वर्णन करण्यासाठी तयार केलेले सर्वात पुरेसे मानले जाते. M.m च्या पर्याप्ततेवर भौतिकशास्त्राच्या बाहेर, काही अपवाद वगळता, बर्‍यापैकी सावधगिरीने बोलता येते. असे असले तरी, काल्पनिक स्वरूप निश्चित करणे, आणि अनेकदा फक्त अपुरेपणा M.m. ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रात, विज्ञानाच्या विकासात त्यांची भूमिका कमी लेखली जाऊ नये. अनेकदा अशी प्रकरणे असतात जेव्हा अगदी पुरेशी नसलेली मॉडेल्स देखील लक्षणीयरीत्या आयोजित केली जातात आणि पुढील संशोधनास उत्तेजन देतात, तसेच चुकीचे निष्कर्ष देखील असतात ज्यात सत्याचे दाणे देखील असतात ज्यांनी या मॉडेल्सच्या विकासासाठी खर्च केलेल्या प्रयत्नांना पूर्णपणे न्याय्य ठरते.

साहित्य:

गणित मॉडेलिंग. एम., 1979;

रुझाविन जी.आय. वैज्ञानिक ज्ञानाचे गणितीकरण. एम., 1984;

टुटुबलिन व्ही.एन., बाराबाशेवा यु.एम., ग्रिगोरियन ए.ए., देवयात्कोवा जी.एन., उगर ई.जी. पर्यावरणशास्त्रातील भिन्न समीकरणे: ऐतिहासिक आणि पद्धतशीर प्रतिबिंब // नैसर्गिक विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या इतिहासाचे प्रश्न. 1997. क्रमांक 3.

तात्विक संज्ञांचा शब्दकोश. प्रोफेसर व्ही.जी.ची वैज्ञानिक आवृत्ती कुझनेत्सोवा. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

चौथी सातवीचे विद्यार्थी.

7A मध्ये 15 मुली आणि 13 मुले आहेत.

7B मध्ये - 12 मुली आणि 12 मुले,

7B मध्ये - 9 मुली आणि 18 मुले,

7G मध्ये - 20 मुली आणि 10 मुले.

प्रत्येक सातव्या इयत्तेत किती विद्यार्थी आहेत या प्रश्नाचे उत्तर द्यायचे असल्यास, आम्हाला 4 वेळा समान जोड ऑपरेशन करावे लागेल:

7A मध्ये 15 + 13 = 28 विद्यार्थी;
7B मध्ये 12 +12 = 24 विद्यार्थी;
7B मध्ये 9 + 18 = 27 विद्यार्थी;
7D मध्ये 20 + 10 = 30 विद्यार्थी.

ए.व्ही. पोगोरेलोव्ह, इयत्ता 7-11 साठी भूमिती, शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक

धडा सामग्री धड्याच्या नोट्सफ्रेम लेसन प्रेझेंटेशन प्रवेग पद्धती परस्परसंवादी तंत्रज्ञानास समर्थन देते सराव कार्ये आणि व्यायाम स्वयं-चाचणी कार्यशाळा, प्रशिक्षण, प्रकरणे, शोध गृहपाठ चर्चा प्रश्न विद्यार्थ्यांचे वक्तृत्व प्रश्न उदाहरणे ऑडिओ, व्हिडिओ क्लिप आणि मल्टीमीडियाछायाचित्रे, चित्रे, ग्राफिक्स, तक्ते, आकृत्या, विनोद, किस्सा, विनोद, कॉमिक्स, बोधकथा, म्हणी, शब्दकोडे, कोट अॅड-ऑन अमूर्तजिज्ञासू क्रिब्स पाठ्यपुस्तकांसाठी लेख युक्त्या मूलभूत आणि अटींचा अतिरिक्त शब्दकोश इतर पाठ्यपुस्तके आणि धडे सुधारणेपाठ्यपुस्तकातील चुका सुधारणेपाठ्यपुस्तकातील एक तुकडा अद्यतनित करणे, धड्यातील नावीन्यपूर्ण घटक, जुने ज्ञान नवीनसह बदलणे फक्त शिक्षकांसाठी परिपूर्ण धडेवर्षासाठी कॅलेंडर योजना; पद्धतशीर शिफारसी; चर्चा कार्यक्रम एकात्मिक धडे

व्याख्यान १.

मॉडेलिंगची पद्धतशीर मूलभूत तत्त्वे

सिस्टम मॉडेलिंगच्या समस्येची सद्य स्थिती

मॉडेलिंग आणि सिम्युलेशन संकल्पना

मॉडेलिंगअभ्यासाधीन वस्तू (मूळ) त्याच्या पारंपारिक प्रतिमा, वर्णन किंवा नावाच्या इतर ऑब्जेक्टसह बदली म्हणून मानले जाऊ शकते. मॉडेलआणि विशिष्ट गृहितकांच्या आणि स्वीकार्य त्रुटींच्या चौकटीत मूळच्या जवळचे वर्तन प्रदान करणे. मॉडेलिंग हे सहसा मूळचे गुणधर्म समजून घेण्याच्या उद्दिष्टाने केले जाते, त्याच्या मॉडेलचा अभ्यास करून, वस्तूच नव्हे. अर्थात, जेव्हा मूळ स्वतः तयार करण्यापेक्षा सोपे असते किंवा जेव्हा काही कारणास्तव मूळ तयार न करणे चांगले असते तेव्हा मॉडेलिंग न्याय्य आहे.

अंतर्गत मॉडेलभौतिक किंवा अमूर्त वस्तू म्हणून समजले जाते, ज्याचे गुणधर्म एका विशिष्ट अर्थाने अभ्यासाधीन ऑब्जेक्टच्या गुणधर्मांसारखे असतात. या प्रकरणात, मॉडेलच्या आवश्यकता सोडवल्या जाणार्‍या समस्या आणि उपलब्ध साधनांद्वारे निर्धारित केल्या जातात. मॉडेलसाठी अनेक सामान्य आवश्यकता आहेत:

२) पूर्णता – प्राप्तकर्त्याला सर्व आवश्यक माहिती प्रदान करणे

ऑब्जेक्ट बद्दल;

3) लवचिकता - प्रत्येक गोष्टीत वेगवेगळ्या परिस्थितींचे पुनरुत्पादन करण्याची क्षमता

परिस्थिती आणि पॅरामीटर्समधील बदलांची श्रेणी;

4) विकासाची जटिलता विद्यमान लोकांसाठी स्वीकार्य असणे आवश्यक आहे

वेळ आणि सॉफ्टवेअर.

मॉडेलिंगएखाद्या वस्तूचे मॉडेल तयार करण्याची आणि मॉडेलचे परीक्षण करून त्याच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करण्याची प्रक्रिया आहे.

अशा प्रकारे, मॉडेलिंगमध्ये 2 मुख्य टप्पे समाविष्ट आहेत:

1) मॉडेल विकास;

२) मॉडेलचा अभ्यास आणि निष्कर्ष काढणे.

त्याच वेळी, प्रत्येक टप्प्यावर भिन्न कार्ये सोडविली जातात आणि

मूलत: भिन्न पद्धती आणि साधने.

सराव मध्ये, विविध मॉडेलिंग पद्धती वापरल्या जातात. अंमलबजावणीच्या पद्धतीनुसार, सर्व मॉडेल्स दोन मोठ्या वर्गांमध्ये विभागली जाऊ शकतात: भौतिक आणि गणितीय.

गणित मॉडेलिंगहे सहसा त्यांचे गणितीय मॉडेल वापरून प्रक्रिया किंवा घटनांचा अभ्यास करण्याचे साधन मानले जाते.

अंतर्गत शारीरिक मॉडेलिंगभौतिक मॉडेल्सवरील वस्तू आणि घटनांच्या अभ्यासाचा संदर्भ देते, जेव्हा अभ्यास केल्या जाणार्‍या प्रक्रियेचे त्याचे भौतिक स्वरूप जतन करून पुनरुत्पादित केले जाते किंवा अभ्यास केल्या जात असलेल्या इतर भौतिक घटना वापरल्या जातात. ज्यामध्ये भौतिक मॉडेलनियमानुसार, ते मूळच्या त्या भौतिक गुणधर्मांचे वास्तविक मूर्त स्वरूप गृहीत धरतात जे विशिष्ट परिस्थितीत लक्षणीय असतात. उदाहरणार्थ, नवीन विमानाची रचना करताना, एक मॉक-अप तयार केला जातो ज्यामध्ये समान वायुगतिकीय गुणधर्म असतात; विकासाचे नियोजन करताना, वास्तुविशारद एक मॉडेल तयार करतात जे त्याच्या घटकांची स्थानिक व्यवस्था प्रतिबिंबित करते. या संदर्भात, शारीरिक मॉडेलिंग देखील म्हटले जाते प्रोटोटाइपिंग.

एचआयएल मॉडेलिंगमॉडेलमध्ये वास्तविक उपकरणे समाविष्ट करून मॉडेलिंग कॉम्प्लेक्सवरील नियंत्रणीय प्रणालींचा अभ्यास आहे. वास्तविक उपकरणांसह, बंद मॉडेलमध्ये प्रभाव आणि हस्तक्षेपाचे सिम्युलेटर, बाह्य वातावरणाचे गणितीय मॉडेल आणि प्रक्रियांचा समावेश आहे ज्यासाठी पुरेसे अचूक गणितीय वर्णन अज्ञात आहे. मॉडेलिंग जटिल प्रक्रियांच्या सर्किटमध्ये वास्तविक उपकरणे किंवा वास्तविक प्रणालींचा समावेश केल्याने प्राथमिक अनिश्चितता कमी करणे आणि प्रक्रियांचे अन्वेषण करणे शक्य होते ज्यासाठी कोणतेही अचूक गणितीय वर्णन नाही. अर्ध-नैसर्गिक मॉडेलिंगचा वापर करून, वास्तविक उपकरणांमध्ये अंतर्निहित लहान वेळ स्थिरता आणि रेखीयता लक्षात घेऊन संशोधन केले जाते. वास्तविक उपकरणे वापरून मॉडेल्सचा अभ्यास करताना, संकल्पना वापरली जाते डायनॅमिक सिम्युलेशन, जटिल प्रणाली आणि घटनांच्या अभ्यासात - उत्क्रांतीवादी, अनुकरणआणि सायबरनेटिक सिम्युलेशन.

अर्थात, मॉडेलिंगचा खरा फायदा केवळ दोन अटी पूर्ण झाल्यासच मिळू शकतो:

1) मॉडेल गुणधर्मांचे योग्य (पुरेसे) प्रदर्शन प्रदान करते

मूळ, अभ्यासाच्या अंतर्गत ऑपरेशनच्या दृष्टिकोनातून महत्त्वपूर्ण;

2) मॉडेल वर सूचीबद्ध केलेल्या समस्या दूर करणे शक्य करते, ज्या अंतर्निहित आहेत

वास्तविक वस्तूंवर संशोधन करणे.

2. गणितीय मॉडेलिंगच्या मूलभूत संकल्पना

गणितीय पद्धतींचा वापर करून व्यावहारिक समस्या सोडवणे ही समस्या तयार करून (गणितीय मॉडेल विकसित करणे), परिणामी गणितीय मॉडेलचा अभ्यास करण्यासाठी पद्धत निवडणे आणि प्राप्त गणिताच्या निकालाचे विश्लेषण करून सातत्याने केले जाते. समस्येचे गणितीय सूत्र सामान्यतः भौमितिक प्रतिमा, कार्ये, समीकरणे इत्यादींच्या स्वरूपात सादर केले जाते. एखाद्या वस्तूचे (घटना) वर्णन सतत किंवा वेगळे, नियतात्मक किंवा स्टोकेस्टिक आणि इतर गणितीय रूपे वापरून दर्शविले जाऊ शकते.

गणितीय मॉडेलिंगचा सिद्धांतआजूबाजूच्या जगात विविध घटना घडण्याच्या नमुन्यांची ओळख किंवा सिस्टीम आणि उपकरणे यांचे गणितीय वर्णन आणि मॉडेलिंगद्वारे पूर्ण-स्तरीय चाचण्या न करता त्यांचे ऑपरेशन सुनिश्चित करते. या प्रकरणात, गणिताच्या तरतुदी आणि कायदे वापरले जातात जे त्यांच्या आदर्शीकरणाच्या काही स्तरावर सिम्युलेटेड घटना, सिस्टम किंवा डिव्हाइसेसचे वर्णन करतात.

गणितीय मॉडेल (MM)काही अमूर्त भाषेत प्रणाली (किंवा ऑपरेशन) चे औपचारिक वर्णन आहे, उदाहरणार्थ, गणितीय संबंधांच्या संचाच्या स्वरूपात किंवा अल्गोरिदम आकृतीच्या स्वरूपात, म्हणजे. म्हणजे असे गणितीय वर्णन जे सिस्टम किंवा डिव्हाइसेसच्या पूर्ण-प्रमाणात चाचणी दरम्यान प्राप्त झालेल्या त्यांच्या वास्तविक वर्तनाच्या अगदी जवळ असलेल्या स्तरावर सिस्टम किंवा डिव्हाइसेसच्या ऑपरेशनचे सिम्युलेशन प्रदान करते.

कोणतीही MM वास्तविक वस्तू, घटना किंवा प्रक्रियेचे वास्तवाशी काही अंशी अंदाजे वर्णन करते. एमएमचा प्रकार वास्तविक ऑब्जेक्टच्या स्वरूपावर आणि अभ्यासाच्या उद्दिष्टांवर अवलंबून असतो.

गणित मॉडेलिंगसामाजिक, आर्थिक, जैविक आणि भौतिक घटना, वस्तू, प्रणाली आणि विविध उपकरणे हे निसर्ग समजून घेण्यासाठी आणि विविध प्रकारच्या प्रणाली आणि उपकरणांची रचना करण्याचे सर्वात महत्वाचे माध्यम आहे. अणु तंत्रज्ञान, विमानचालन आणि एरोस्पेस सिस्टीमच्या निर्मितीमध्ये, वातावरणीय आणि महासागरातील घटना, हवामान इत्यादींचा अंदाज लावण्यासाठी मॉडेलिंगच्या प्रभावी वापराची ज्ञात उदाहरणे आहेत.

तथापि, मॉडेलिंगच्या अशा गंभीर क्षेत्रांमध्ये मॉडेलिंग आणि त्याच्या डीबगिंगसाठी डेटा तयार करण्यासाठी शास्त्रज्ञांच्या मोठ्या कार्यसंघांना सुपरकॉम्प्युटर आणि वर्षानुवर्षे काम करावे लागते. तथापि, या प्रकरणात, जटिल प्रणाली आणि उपकरणांचे गणितीय मॉडेलिंग केवळ संशोधन आणि चाचणीवर पैसे वाचवत नाही, परंतु पर्यावरणीय आपत्ती देखील दूर करू शकते - उदाहरणार्थ, हे आपल्याला त्यांच्या गणितीय मॉडेलिंगच्या बाजूने आण्विक आणि थर्मोन्यूक्लियर शस्त्रांचे परीक्षण सोडण्याची परवानगी देते. किंवा त्यांच्या प्रत्यक्ष उड्डाणांपूर्वी एरोस्पेस सिस्टीमची चाचणी. या दरम्यान, सोप्या समस्या सोडवण्याच्या पातळीवर गणितीय मॉडेलिंग, उदाहरणार्थ, यांत्रिकी, इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, रेडिओ अभियांत्रिकी आणि विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या इतर अनेक क्षेत्रांमधून आता बनले आहे. आधुनिक पीसीवर कार्य करण्यासाठी उपलब्ध. आणि सामान्यीकृत मॉडेल वापरताना, बर्‍यापैकी जटिल प्रणालींचे अनुकरण करणे शक्य होते, उदाहरणार्थ, दूरसंचार प्रणाली आणि नेटवर्क, रडार किंवा रेडिओ नेव्हिगेशन सिस्टम.

गणितीय मॉडेलिंगचा उद्देशगणितीय पद्धती वापरून वास्तविक प्रक्रियांचे (निसर्ग किंवा तंत्रज्ञानातील) विश्लेषण आहे. या बदल्यात, यासाठी MM प्रक्रियेच्या औपचारिकतेचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे. मॉडेल एक गणितीय अभिव्यक्ती असू शकते ज्यामध्ये चल असतात ज्यांचे वर्तन वास्तविक प्रणालीच्या वर्तनासारखे असते. मॉडेलमध्ये यादृच्छिकतेचे घटक समाविष्ट असू शकतात जे संभाव्यता विचारात घेतात दोन किंवा अधिक "खेळाडू" च्या संभाव्य क्रिया, उदाहरणार्थ, सिद्धांत गेममध्ये; किंवा ते ऑपरेटिंग सिस्टमच्या परस्पर जोडलेल्या भागांचे वास्तविक व्हेरिएबल्स दर्शवू शकतात.

सिस्टमच्या वैशिष्ट्यांचा अभ्यास करण्यासाठी गणितीय मॉडेलिंग विश्लेषणात्मक, सिम्युलेशन आणि एकत्रित विभागली जाऊ शकते. या बदल्यात, एमएम सिम्युलेशन आणि विश्लेषणात्मक मध्ये विभागलेले आहेत.

विश्लेषणात्मक मॉडेलिंग

च्या साठी विश्लेषणात्मक मॉडेलिंगहे वैशिष्ट्यपूर्ण आहे की प्रणालीच्या कार्याच्या प्रक्रिया विशिष्ट कार्यात्मक संबंधांच्या स्वरूपात (बीजगणित, भिन्नता, अविभाज्य समीकरण) लिहिल्या जातात. विश्लेषणात्मक मॉडेलचा अभ्यास खालील पद्धती वापरून केला जाऊ शकतो:

1) विश्लेषणात्मक, जेव्हा ते प्राप्त करण्याचा प्रयत्न करतात, सामान्य स्वरूपात, सिस्टमच्या वैशिष्ट्यांसाठी स्पष्ट अवलंबित्व;

2) संख्यात्मक, जेव्हा सामान्य स्वरूपात समीकरणांचे निराकरण करणे शक्य नसते आणि ते विशिष्ट प्रारंभिक डेटासाठी सोडवले जातात;

3) गुणात्मक, जेव्हा समाधानाच्या अनुपस्थितीत त्याचे काही गुणधर्म आढळतात.

विश्लेषणात्मक मॉडेल्स फक्त तुलनेने सोप्या प्रणालींसाठी मिळू शकतात. जटिल प्रणालींसाठी, मोठ्या गणिती समस्या अनेकदा उद्भवतात. विश्लेषणात्मक पद्धत लागू करण्यासाठी, मूळ मॉडेलच्या महत्त्वपूर्ण सरलीकरणाकडे जाते. तथापि, सरलीकृत मॉडेलवरील अभ्यास केवळ सूचक परिणाम प्राप्त करण्यास मदत करतो. विश्लेषणात्मक मॉडेल्स गणितीयरित्या इनपुट आणि आउटपुट व्हेरिएबल्स आणि पॅरामीटर्समधील संबंध योग्यरित्या प्रतिबिंबित करतात. परंतु त्यांची रचना ऑब्जेक्टची अंतर्गत रचना दर्शवत नाही.

विश्लेषणात्मक मॉडेलिंगमध्ये, त्याचे परिणाम विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तीच्या स्वरूपात सादर केले जातात. उदाहरणार्थ, कनेक्ट करून आर.सी- स्थिर व्होल्टेज स्त्रोताकडे सर्किट इ(आर, सीआणि इया मॉडेलचे घटक आहेत), आम्ही व्होल्टेजच्या वेळेच्या अवलंबनासाठी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती करू शकतो u(ट) कॅपेसिटर वर सी:

हे एक रेखीय भिन्न समीकरण (DE) आहे आणि या साध्या रेखीय सर्किटचे विश्लेषणात्मक मॉडेल आहे. प्रारंभिक स्थिती अंतर्गत त्याचे विश्लेषणात्मक समाधान u(0) = 0, म्हणजे डिस्चार्ज केलेला कॅपेसिटर सीसिम्युलेशनच्या सुरूवातीस, आपल्याला आवश्यक अवलंबन शोधण्याची परवानगी देते - सूत्राच्या स्वरूपात:

u(ट) = इ(1− उदाp(- ट/RC)). (2)

तथापि, या सर्वात सोप्या उदाहरणामध्ये देखील, भिन्न समीकरण (1) सोडवण्यासाठी किंवा लागू करण्यासाठी काही प्रयत्न आवश्यक आहेत संगणक गणित प्रणाली(एससीएम) प्रतिकात्मक गणनेसह - संगणक बीजगणित प्रणाली. या पूर्णपणे क्षुल्लक केससाठी, रेखीय मॉडेलिंगची समस्या सोडवणे आर.सी-सर्किट ऐवजी सामान्य स्वरूपाचे विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती (2) देते - कोणत्याही घटक रेटिंगसाठी सर्किटच्या ऑपरेशनचे वर्णन करण्यासाठी ते योग्य आहे आर, सीआणि इ, आणि कॅपेसिटरच्या घातांक शुल्काचे वर्णन करते सीरेझिस्टरद्वारे आरस्थिर व्होल्टेज स्रोत पासून इ.

निःसंशयपणे, विश्लेषणात्मक मॉडेलिंगमध्ये विश्लेषणात्मक उपाय शोधणे हे साध्या रेखीय सर्किट्स, सिस्टम्स आणि डिव्हाइसेसचे सामान्य सैद्धांतिक नियम उघड करण्यासाठी अत्यंत मौल्यवान ठरते. तथापि, मॉडेलवरील प्रभाव अधिक जटिल झाल्यामुळे त्याची जटिलता झपाट्याने वाढते आणि क्रम आणि संख्या. स्थितीची समीकरणे जी मॉडेल केलेल्या वस्तूच्या वाढीचे वर्णन करतात. दुसर्‍या किंवा तिसर्‍या क्रमाच्या वस्तूंचे मॉडेलिंग करताना तुम्हाला कमी-जास्त दृश्यमान परिणाम मिळू शकतात, परंतु उच्च क्रमाने देखील, विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती खूप अवजड, जटिल आणि समजण्यास कठीण बनतात. उदाहरणार्थ, अगदी साध्या इलेक्ट्रॉनिक अॅम्प्लिफायरमध्येही डझनभर घटक असतात. तथापि, अनेक आधुनिक एससीएम, उदाहरणार्थ, प्रतीकात्मक गणिताच्या प्रणाली मॅपल, मॅथेमॅटिकाकिंवा पर्यावरण MATLABविश्लेषणात्मक मॉडेलिंगच्या जटिल समस्यांचे निराकरण मोठ्या प्रमाणात स्वयंचलित करण्यास सक्षम आहेत.

मॉडेलिंगचा एक प्रकार आहे संख्यात्मक अनुकरण,ज्यामध्ये यूलर किंवा रंज-कुट्टा पद्धतींसारख्या कोणत्याही योग्य संख्यात्मक पद्धतीद्वारे सिस्टम किंवा उपकरणांच्या वर्तनावर आवश्यक परिमाणात्मक डेटा प्राप्त करणे समाविष्ट आहे. सराव मध्ये, संख्यात्मक पद्धती वापरून नॉनलाइनर सिस्टम आणि डिव्हाइसेसचे मॉडेलिंग वैयक्तिक खाजगी रेखीय सर्किट्स, सिस्टम किंवा डिव्हाइसेसच्या विश्लेषणात्मक मॉडेलिंगपेक्षा बरेच प्रभावी ठरते. उदाहरणार्थ, अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये DE (1) किंवा DE सिस्टम सोडवण्यासाठी, विश्लेषणात्मक स्वरूपात समाधान मिळू शकत नाही, परंतु संख्यात्मक सिम्युलेशन डेटा वापरून, आपण सिम्युलेटेड सिस्टम आणि डिव्हाइसेसच्या वर्तनावर पूर्ण डेटा मिळवू शकता. या वर्तनाचे वर्णन करणारे अवलंबित्वांचे आलेख तयार करा.

सिम्युलेशन मॉडेलिंग

येथे अनुकरण 10 आणि मॉडेलिंग, मॉडेलची अंमलबजावणी करणारे अल्गोरिदम कालांतराने सिस्टम कार्य करण्याच्या प्रक्रियेचे पुनरुत्पादन करते. प्रक्रिया बनवणाऱ्या प्राथमिक घटना नक्कल केल्या जातात, त्यांची तार्किक रचना आणि कालांतराने घटनांचा क्रम जतन करतात.

विश्लेषणात्मक मॉडेलच्या तुलनेत सिम्युलेशन मॉडेलचा मुख्य फायदा म्हणजे अधिक जटिल समस्या सोडविण्याची क्षमता.

सिम्युलेशन मॉडेल्स वेगळ्या किंवा सतत घटकांची उपस्थिती, नॉनलाइनर वैशिष्ट्ये, यादृच्छिक प्रभाव इत्यादी लक्षात घेणे सोपे करतात. म्हणून, जटिल प्रणालींच्या डिझाइन टप्प्यावर ही पद्धत मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. सिम्युलेशन मॉडेलिंगची अंमलबजावणी करण्याचे मुख्य साधन म्हणजे संगणक, जे सिस्टम आणि सिग्नलचे डिजिटल मॉडेलिंग करण्यास अनुमती देते.

या संदर्भात, आपण वाक्यांश परिभाषित करूया " संगणक मॉडेलिंग”, जे साहित्यात वाढत्या प्रमाणात वापरले जाते. आम्ही ते गृहीत धरू संगणक मॉडेलिंगसंगणक तंत्रज्ञानाचा वापर करून गणितीय मॉडेलिंग आहे. त्यानुसार, संगणक मॉडेलिंग तंत्रज्ञानामध्ये खालील क्रिया करणे समाविष्ट आहे:

1) मॉडेलिंगचा उद्देश निश्चित करणे;

2) संकल्पनात्मक मॉडेलचा विकास;

3) मॉडेलचे औपचारिकीकरण;

4) मॉडेलचे सॉफ्टवेअर अंमलबजावणी;

5) मॉडेल प्रयोगांचे नियोजन;

6) प्रायोगिक योजनेची अंमलबजावणी;

7) मॉडेलिंग परिणामांचे विश्लेषण आणि व्याख्या.

येथे सिम्युलेशन मॉडेलिंगवापरलेला एमएम सिस्टम पॅरामीटर्स आणि बाह्य वातावरणाच्या मूल्यांच्या विविध संयोजनांसाठी अभ्यासाधीन प्रणालीच्या कार्याचे अल्गोरिदम (“तर्कशास्त्र”) पुनरुत्पादित करते.

सर्वात सोप्या विश्लेषणात्मक मॉडेलचे उदाहरण म्हणजे रेक्टलाइनियर एकसमान गतीचे समीकरण. सिम्युलेशन मॉडेल वापरून अशा प्रक्रियेचा अभ्यास करताना, कालांतराने प्रवास केलेल्या मार्गातील बदलांचे निरीक्षण अंमलात आणले पाहिजे. अर्थात, काही प्रकरणांमध्ये विश्लेषणात्मक मॉडेलिंग अधिक श्रेयस्कर असते, इतरांमध्ये - सिम्युलेशन (किंवा दोन्हीचे संयोजन). यशस्वी निवड करण्यासाठी, आपल्याला दोन प्रश्नांची उत्तरे देणे आवश्यक आहे.

मॉडेलिंगचा उद्देश काय आहे?

मॉडेल केलेल्या घटनेचे कोणत्या वर्गात वर्गीकरण केले जाऊ शकते?

या दोन्ही प्रश्नांची उत्तरे मॉडेलिंगच्या पहिल्या दोन टप्प्यात मिळू शकतात.

सिम्युलेशन मॉडेल केवळ गुणधर्मांमध्येच नाही तर संरचनेत देखील मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टशी संबंधित असतात. या प्रकरणात, मॉडेलवर प्राप्त झालेल्या प्रक्रिया आणि ऑब्जेक्टवर होणार्‍या प्रक्रियांमध्ये एक अस्पष्ट आणि स्पष्ट पत्रव्यवहार आहे. सिम्युलेशनचा तोटा असा आहे की चांगली अचूकता मिळविण्यासाठी समस्येचे निराकरण करण्यासाठी बराच वेळ लागतो.

स्टोकास्टिक प्रणालीच्या ऑपरेशनच्या सिम्युलेशन मॉडेलिंगचे परिणाम म्हणजे यादृच्छिक चल किंवा प्रक्रियांची प्राप्ती. म्हणून, सिस्टमची वैशिष्ट्ये शोधण्यासाठी, एकाधिक पुनरावृत्ती आणि त्यानंतरच्या डेटा प्रोसेसिंगची आवश्यकता आहे. बर्याचदा या प्रकरणात, एक प्रकारचा सिम्युलेशन वापरला जातो - सांख्यिकीय

मॉडेलिंग(किंवा मॉन्टे कार्लो पद्धत), i.e. मॉडेलमधील यादृच्छिक घटक, घटना, प्रमाण, प्रक्रिया, फील्ड यांचे पुनरुत्पादन.

सांख्यिकीय मॉडेलिंगच्या परिणामांवर आधारित, संभाव्य गुणवत्तेच्या निकषांचे अंदाज, सामान्य आणि विशिष्ट, व्यवस्थापित प्रणालीचे कार्य आणि कार्यक्षमता वैशिष्ट्यीकृत केले जातात. विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या विविध क्षेत्रातील वैज्ञानिक आणि लागू समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी सांख्यिकीय मॉडेलिंगचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो. सांख्यिकीय मॉडेलिंग पद्धती जटिल डायनॅमिक सिस्टीमच्या अभ्यासामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जातात, त्यांचे कार्य आणि कार्यक्षमतेचे मूल्यांकन करतात.

सांख्यिकीय मॉडेलिंगचा अंतिम टप्पा प्राप्त झालेल्या निकालांच्या गणितीय प्रक्रियेवर आधारित आहे. येथे, गणितीय आकडेवारीच्या पद्धती वापरल्या जातात (पॅरामेट्रिक आणि नॉनपॅरामेट्रिक अंदाज, गृहीतक चाचणी). पॅरामेट्रिक एस्टिमेटरचे उदाहरण म्हणजे कार्यप्रदर्शन मोजमापाचा नमुना सरासरी. नॉनपॅरामेट्रिक पद्धतींमध्ये, व्यापक हिस्टोग्राम पद्धत.

विचारात घेतलेली योजना प्रणालीच्या पुनरावृत्ती केलेल्या सांख्यिकीय चाचण्यांवर आणि स्वतंत्र यादृच्छिक चलांच्या आकडेवारीच्या पद्धतींवर आधारित आहे. ही योजना नेहमी व्यवहारात नैसर्गिक आणि खर्चाच्या दृष्टीने इष्टतम नसते. अधिक अचूक मूल्यमापन पद्धती वापरून सिस्टम चाचणी वेळ कमी करणे शक्य आहे. गणितीय आकडेवारीवरून ओळखल्याप्रमाणे, दिलेल्या नमुन्याच्या आकारासाठी प्रभावी अंदाजांमध्ये सर्वात जास्त अचूकता असते. इष्टतम फिल्टरिंग आणि जास्तीत जास्त संभाव्यता पद्धत अशा अंदाजे प्राप्त करण्यासाठी एक सामान्य पद्धत प्रदान करते. सांख्यिकीय मॉडेलिंग समस्यांमध्ये, केवळ आउटपुट प्रक्रियांचे विश्लेषण करण्यासाठीच नव्हे तर यादृच्छिक प्रक्रियांची प्रक्रिया अंमलबजावणी आवश्यक आहे.

इनपुट यादृच्छिक प्रभावांच्या वैशिष्ट्यांचे नियंत्रण देखील खूप महत्वाचे आहे. नियंत्रणामध्ये दिलेल्या वितरणासह व्युत्पन्न प्रक्रियेच्या वितरणाचे अनुपालन तपासणे समाविष्ट असते. ही समस्या अनेकदा म्हणून तयार केली जाते परिकल्पना चाचणी समस्या.

कॉम्प्लेक्स कंट्रोल्ड सिस्टम्सच्या कॉम्प्युटर मॉडेलिंगमधील सामान्य कल म्हणजे मॉडेलिंगचा वेळ कमी करण्याची इच्छा, तसेच रिअल टाइममध्ये संशोधन करणे. वर्तमान माहितीच्या प्राप्तीच्या दराने त्यांची अंमलबजावणी करण्यास अनुमती देऊन, आवर्ती स्वरूपात संगणकीय अल्गोरिदमचे प्रतिनिधित्व करणे सोयीचे आहे.

मॉडेलिंगमध्ये प्रणालीच्या दृष्टिकोनाची तत्त्वे

सिस्टम सिद्धांताची मूलभूत तत्त्वे

डायनॅमिक सिस्टम आणि त्यांच्या कार्यात्मक घटकांच्या अभ्यासादरम्यान सिस्टम सिद्धांताची मूलभूत तत्त्वे उद्भवली. प्रणाली एकमेकांशी जोडलेल्या घटकांचा समूह म्हणून समजली जाते जी पूर्वनिर्धारित कार्य पूर्ण करण्यासाठी एकत्रितपणे कार्य करते. सिस्टीमचे विश्लेषण आम्हाला दिलेले कार्य करण्यासाठी सर्वात वास्तविक मार्ग निर्धारित करण्यास अनुमती देते, नमूद केलेल्या आवश्यकतांचे जास्तीत जास्त समाधान सुनिश्चित करते.

सिस्टीम सिद्धांताचा आधार बनवणारे घटक गृहीतकांद्वारे तयार केले जात नाहीत, परंतु प्रायोगिकरित्या शोधले जातात. सिस्टम तयार करणे सुरू करण्यासाठी, तांत्रिक प्रक्रियेची सामान्य वैशिष्ट्ये असणे आवश्यक आहे. प्रक्रिया किंवा त्याचे सैद्धांतिक वर्णन पूर्ण करणे आवश्यक आहे असे गणितीय निकष तयार करण्याच्या तत्त्वांच्या बाबतीतही हेच खरे आहे. मॉडेलिंग ही वैज्ञानिक संशोधन आणि प्रयोगाची सर्वात महत्त्वाची पद्धत आहे.

ऑब्जेक्ट्सचे मॉडेल तयार करताना, सिस्टम दृष्टीकोन वापरला जातो, जी जटिल समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी एक पद्धत आहे, जी विशिष्ट वातावरणात कार्य करणारी प्रणाली म्हणून ऑब्जेक्टचा विचार करण्यावर आधारित आहे. पद्धतशीर दृष्टिकोनामध्ये एखाद्या वस्तूची अखंडता प्रकट करणे, त्याची अंतर्गत रचना ओळखणे आणि त्याचा अभ्यास करणे तसेच बाह्य वातावरणाशी जोडणे यांचा समावेश होतो. या प्रकरणात, ऑब्जेक्ट वास्तविक जगाचा एक भाग म्हणून सादर केला जातो, जो मॉडेल तयार करण्याच्या समस्येच्या संदर्भात वेगळा आणि अभ्यास केला जातो. याव्यतिरिक्त, सिस्टमच्या दृष्टिकोनामध्ये सामान्य ते विशिष्टमध्ये एक सुसंगत संक्रमण समाविष्ट असते, जेव्हा डिझाइनचे लक्ष्य विचाराचा आधार असतो आणि ऑब्जेक्टचा पर्यावरणाच्या संबंधात विचार केला जातो.

जटिल ऑब्जेक्टला उपप्रणालींमध्ये विभागले जाऊ शकते, जे ऑब्जेक्टचे भाग आहेत जे खालील आवश्यकता पूर्ण करतात:

1) उपप्रणाली हा ऑब्जेक्टचा कार्यात्मकपणे स्वतंत्र भाग आहे. हे इतर उपप्रणालींशी जोडलेले आहे, त्यांच्याशी माहिती आणि ऊर्जा देवाणघेवाण करते;

2) प्रत्येक उपप्रणालीसाठी कार्ये किंवा गुणधर्म जे संपूर्ण सिस्टमच्या गुणधर्मांशी जुळत नाहीत ते परिभाषित केले जाऊ शकतात;

3) प्रत्येक उपप्रणालीला घटकांच्या पातळीवर पुढील विभागणी करता येते.

या प्रकरणात, एक घटक निम्न-स्तरीय उपप्रणाली म्हणून समजला जातो, ज्याचे पुढील विभाजन समस्येचे निराकरण करण्याच्या दृष्टिकोनातून अयोग्य आहे.

अशाप्रकारे, एखाद्या सिस्टमची निर्मिती, संशोधन किंवा सुधारणा करण्याच्या उद्देशाने उपप्रणाली, घटक आणि कनेक्शनच्या संचाच्या स्वरूपात ऑब्जेक्टचे प्रतिनिधित्व म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते. या प्रकरणात, मुख्य उपप्रणाली आणि त्यांच्यामधील कनेक्शनसह, सिस्टमच्या विस्तारित प्रतिनिधित्वास मॅक्रोस्ट्रक्चर म्हणतात आणि सिस्टमच्या अंतर्गत संरचनेच्या घटकांच्या पातळीपर्यंत तपशीलवार प्रकटीकरणास मायक्रोस्ट्रक्चर म्हणतात.

प्रणालीसह, सामान्यतः एक सुपरसिस्टम असते - उच्च पातळीची एक प्रणाली, ज्यामध्ये प्रश्नातील ऑब्जेक्ट समाविष्ट असतो आणि कोणत्याही प्रणालीचे कार्य केवळ सुपरसिस्टमद्वारे निर्धारित केले जाऊ शकते.

बाह्य जगाच्या वस्तूंचा संच म्हणून पर्यावरणाची संकल्पना हायलाइट करणे आवश्यक आहे जे सिस्टमच्या कार्यक्षमतेवर लक्षणीय परिणाम करतात, परंतु सिस्टम आणि त्याच्या सुपरसिस्टमचा भाग नाहीत.

बिल्डिंग मॉडेल्सच्या सिस्टमच्या दृष्टिकोनाच्या संबंधात, पायाभूत सुविधांची संकल्पना वापरली जाते, जी सिस्टमच्या पर्यावरणाशी (पर्यावरण) संबंधांचे वर्णन करते. या प्रकरणात, एखाद्या वस्तूच्या गुणधर्मांची ओळख, वर्णन आणि अभ्यास आवश्यक आहे. एखाद्या विशिष्ट कार्याच्या चौकटीत ऑब्जेक्टचे स्तरीकरण म्हणतात आणि ऑब्जेक्टचे कोणतेही मॉडेल त्याचे स्तरीकृत वर्णन असते.

सिस्टमच्या दृष्टिकोनासाठी, सिस्टमची रचना निश्चित करणे महत्वाचे आहे, म्हणजे. सिस्टमच्या घटकांमधील कनेक्शनचा संच, त्यांच्या परस्परसंवादाला प्रतिबिंबित करतो. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रथम मॉडेलिंगच्या स्ट्रक्चरल आणि फंक्शनल पध्दतींचा विचार करतो.

स्ट्रक्चरल दृष्टिकोनासह, सिस्टमच्या निवडलेल्या घटकांची रचना आणि त्यांच्यातील कनेक्शन प्रकट होतात. घटक आणि कनेक्शनचा संच आपल्याला सिस्टमच्या संरचनेचा न्याय करण्यास अनुमती देतो. संरचनेचे सर्वात सामान्य वर्णन हे टोपोलॉजिकल वर्णन आहे. हे आपल्याला आलेख वापरून सिस्टमचे घटक आणि त्यांचे कनेक्शन निर्धारित करण्यास अनुमती देते. कमी सामान्य म्हणजे कार्यात्मक वर्णन, जेव्हा वैयक्तिक कार्ये विचारात घेतली जातात, म्हणजे, सिस्टमच्या वर्तनासाठी अल्गोरिदम. या प्रकरणात, एक कार्यात्मक दृष्टीकोन अंमलात आणला जातो जो सिस्टम करत असलेली कार्ये परिभाषित करतो.

सिस्टमच्या दृष्टिकोनावर आधारित, मॉडेल विकासाचा एक क्रम प्रस्तावित केला जाऊ शकतो, जेव्हा दोन मुख्य डिझाइन टप्पे वेगळे केले जातात: मॅक्रोडिझाइन आणि मायक्रोडिझाइन.

मॅक्रो-डिझाइन टप्प्यावर, बाह्य वातावरणाचे एक मॉडेल तयार केले जाते, संसाधने आणि मर्यादा ओळखल्या जातात, पर्याप्ततेचे मूल्यांकन करण्यासाठी सिस्टम मॉडेल आणि निकष निवडले जातात.

मायक्रो-डिझाइन स्टेज मुख्यत्वे निवडलेल्या विशिष्ट प्रकारच्या मॉडेलवर अवलंबून असते. सर्वसाधारणपणे, यात माहिती, गणितीय, तांत्रिक आणि सॉफ्टवेअर मॉडेलिंग सिस्टम तयार करणे समाविष्ट आहे. या टप्प्यावर, तयार केलेल्या मॉडेलची मुख्य तांत्रिक वैशिष्ट्ये स्थापित केली जातात, त्यासह कार्य करण्यासाठी लागणारा वेळ आणि मॉडेलची निर्दिष्ट गुणवत्ता प्राप्त करण्यासाठी संसाधनांची किंमत अंदाजित केली जाते.

मॉडेलच्या प्रकाराकडे दुर्लक्ष करून, ते तयार करताना, पद्धतशीर दृष्टिकोनाच्या अनेक तत्त्वांद्वारे मार्गदर्शन करणे आवश्यक आहे:

1) मॉडेल तयार करण्याच्या टप्प्यांतून सातत्यपूर्ण प्रगती;

2) माहिती, संसाधन, विश्वसनीयता आणि इतर वैशिष्ट्यांचे समन्वय;

3) मॉडेल बांधकामाच्या विविध स्तरांमधील योग्य संबंध;

4) मॉडेल डिझाइनच्या वैयक्तिक टप्प्यांची अखंडता.