मागे पुढे

लक्ष द्या! स्‍लाइड प्रीव्‍ह्यू हे केवळ माहितीच्‍या उद्देशांसाठी आहे आणि प्रेझेंटेशनच्‍या संपूर्ण मर्यादेचे प्रतिनिधीत्व करू शकत नाही. तुम्हाला या कामात स्वारस्य असल्यास, कृपया पूर्ण आवृत्ती डाउनलोड करा.

धड्याची उद्दिष्टे: डायहेड्रल कोन आणि त्याच्या रेखीय कोनाची संकल्पना सादर करा;

या संकल्पनांच्या वापरासाठी कार्ये विचारात घ्या;

विमानांमधील कोन शोधण्याचे रचनात्मक कौशल्य तयार करणे;

या संकल्पना लागू करण्यासाठी कार्ये विचारात घ्या.

वर्ग दरम्यान

I. संघटनात्मक क्षण.

धड्याच्या विषयाची माहिती द्या, धड्याची उद्दिष्टे तयार करा.

II. विद्यार्थ्यांच्या ज्ञानाचे वास्तविकीकरण (स्लाइड 2, 3).

1. नवीन सामग्रीच्या अभ्यासाची तयारी.

विमानावरील कोन कशाला म्हणतात?

अंतराळातील रेषांमधील कोनाला काय म्हणतात?

रेषा आणि विमान यांच्यातील कोनाला काय म्हणतात?

तीन लंब प्रमेय तयार करा

III. नवीन साहित्य शिकणे.

• डायहेड्रल अँगलची संकल्पना.

MN रेषेतून जाणार्‍या दोन अर्ध-विमानांनी तयार केलेल्या आकृतीला डायहेड्रल अँगल (स्लाइड 4) म्हणतात.

अर्ध-विमान चेहरे आहेत, सरळ रेषा MN ही डायहेड्रल कोनाची एक धार आहे.

दैनंदिन जीवनातील कोणत्या वस्तूंना डायहेड्रल अँगलचा आकार असतो? (स्लाइड 5)

• विमाने ACH आणि CHD मधील कोन डायहेड्रल कोन ACND आहे, जेथे CH एक धार आहे. बिंदू A आणि D या कोनाच्या चेहऱ्यावर आहेत. कोन AFD हा डायहेड्रल अँगल ACHD (स्लाइड 6) चा रेखीय कोन आहे.

• रेखीय कोन तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम (स्लाइड 7).

1 मार्ग. काठावर, कोणताही बिंदू O घ्या आणि या बिंदूवर लंब काढा (PO DE, KO DE) आणि कोन ROCK - रेखीय मिळवा.

2 मार्ग. एका अर्ध्या विमानात K बिंदू घ्या आणि त्यातून दोन लंब दुसऱ्या अर्ध्या समतलावर टाका आणि एक किनार (KO आणि KR), नंतर व्यस्त TTP प्रमेय PODE द्वारे.

• डायहेड्रल अँगलचे सर्व रेषीय कोन समान असतात (स्लाइड 8). पुरावा: किरण OA आणि O 1 A 1 सह-दिग्दर्शित आहेत, किरण OB आणि O 1 B 1 देखील सह-दिग्दर्शित आहेत, कोन BOA आणि B 1 O 1 A 1 सह-दिग्दर्शित बाजू असलेल्या कोनांच्या समान आहेत.

• डायहेड्रल अँगलचे डिग्री माप हे त्याच्या रेषीय कोनाचे डिग्री माप आहे (स्लाइड 9).

IV. अभ्यास केलेल्या सामग्रीचे एकत्रीकरण.

• समस्या सोडवणे (तयार-तयार रेखाचित्रांनुसार तोंडी). (स्लाइड 10-12)

1. आरएव्हीएस - पिरॅमिड; कोन ACB 90° आहे, सरळ रेषा PB विमान ABC ला लंब आहे. कोन PCB हा डायहेड्रल अँगलचा रेखीय कोन आहे हे सिद्ध करा

2. आरएव्हीएस - पिरॅमिड; AB \u003d BC, D हा AC खंडाचा मध्यबिंदू आहे, PB ही सरळ रेषा ABC या समतलाला लंब आहे. कोन PDB हा एज AC सह डायहेड्रल अँगलचा रेषीय कोन आहे हे सिद्ध करा.

3. PABCD - पिरॅमिड; रेखा PB ही ABC ला लंब आहे, BC DC ला लंब आहे. कोन PKB हा एज सीडी असलेल्या डायहेड्रल अँगलचा रेषीय कोन आहे हे सिद्ध करा.

• रेखीय कोन तयार करण्यासाठी कार्ये (स्लाइड 13-14).

1. एज AC सह डायहेड्रल अँगलचा रेखीय कोन तयार करा, जर पिरॅमिड RABC मध्ये चेहरा ABC हा एक नियमित त्रिकोण असेल, O हा मध्यकाचा छेदनबिंदू असेल, तर सरळ रेषा RO विमान ABC ला लंब असेल

2. समभुज चौकोन ABCD दिलेला आहे. सरळ रेषा PC ABCD या समतलाला लंब आहे.

एज BD सह डायहेड्रल अँगलचा एक रेषीय कोन आणि किनारा AD सह डायहेड्रल अँगलचा रेषीय कोन तयार करा.

• संगणकीय कार्य. (स्लाइड १५)

समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये, ADC हा कोन 120 0 आहे, AD = 8 सेमी,

DC = 6 सेमी, सरळ रेषा PC विमान ABC ला लंब आहे, PC = 9 सेमी.

किनारा AD आणि समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ असलेल्या डायहेड्रल कोनाचे मूल्य शोधा.

V. गृहपाठ (स्लाइड 16).

पृ. 22, क्रमांक 168, 171.

वापरलेली पुस्तके:

1. भूमिती 10-11 L.S. Atanasyan.
2. एमव्ही सेवोस्ट्यानोव्हा (मुर्मन्स्क), जर्नल मॅथेमॅटिक्स स्कूल 198 द्वारे "डायहेड्रल अँगल" या विषयावरील कार्यांची प्रणाली ...

धड्याचे मजकूर स्पष्टीकरण:

प्लॅनिमेट्रीमध्ये, मुख्य वस्तू रेषा, खंड, किरण आणि बिंदू आहेत. एका बिंदूतून निघणारे किरण त्यांचा एक भौमितिक आकार बनवतात - एक कोन.

आपल्याला माहित आहे की रेखीय कोन अंश आणि रेडियनमध्ये मोजला जातो.

स्टिरिओमेट्रीमध्ये, वस्तूंमध्ये एक विमान जोडले जाते. भूमितीमध्ये समान समतलाशी संबंधित नसलेली समान सीमा असलेल्या a आणि दोन अर्ध्या समतलाने सरळ रेषा तयार केलेल्या आकृतीला डायहेड्रल अँगल म्हणतात. अर्धे विमान हे डायहेड्रल अँगलचे चेहरे आहेत. सरळ रेषा a ही डायहेड्रल कोनाची किनार आहे.

एक डायहेड्रल कोन, रेखीय कोनाप्रमाणे, नाव दिले जाऊ शकते, मोजले जाऊ शकते, बांधले जाऊ शकते. हे आपण या धड्यात जाणून घेणार आहोत.

ABCD टेट्राहेड्रॉन मॉडेलवर डायहेड्रल कोन शोधा.

एबी एज असलेल्या डायहेड्रल अँगलला सीएबीडी म्हणतात, जिथे सी आणि डी बिंदू कोनाच्या वेगवेगळ्या चेहऱ्यांशी संबंधित असतात आणि एबी किनारी मध्यभागी म्हणतात.

आपल्या आजूबाजूला डिहेड्रल अँगलच्या रूपात घटक असलेल्या अनेक वस्तू आहेत.

अनेक शहरांमध्ये, उद्यानांमध्ये सामंजस्यासाठी विशेष बेंच बसविण्यात आले आहेत. बेंच मध्यभागी एकत्रित होणार्‍या दोन झुकलेल्या विमानांच्या स्वरूपात बनविला जातो.

घरांच्या बांधकामात, तथाकथित गॅबल छप्पर बहुतेकदा वापरले जाते. या घराचे छत 90 अंशांच्या डायहेड्रल अँगलच्या स्वरूपात बनवले आहे.

डायहेड्रल कोन देखील अंश किंवा रेडियनमध्ये मोजला जातो, परंतु तो कसा मोजायचा.

हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की घरांची छप्पर राफ्टर्सवर पडलेली आहे. आणि राफ्टर्सचे क्रेट दिलेल्या कोनात दोन छताचे उतार बनवतात.

चला प्रतिमा रेखांकनात हस्तांतरित करूया. रेखांकनामध्ये, डायहेड्रल कोन शोधण्यासाठी, बिंदू B त्याच्या काठावर चिन्हांकित केला आहे. या बिंदूपासून, BA आणि BC हे दोन बीम कोनाच्या काठावर लंब काढले आहेत. या किरणांनी तयार केलेल्या ABC कोनाला द्विहेड्रल अँगलचा रेखीय कोन म्हणतात.

डायहेड्रल कोनाचे डिग्री माप त्याच्या रेषीय कोनाच्या डिग्री मापाच्या बरोबरीचे असते.

चला कोन AOB मोजू.

दिलेल्या डायहेड्रल कोनाचे अंश माप साठ अंश आहे.

डायहेड्रल कोनासाठी रेखीय कोन अनंत संख्येने काढले जाऊ शकतात, हे जाणून घेणे महत्त्वाचे आहे की ते सर्व समान आहेत.

दोन रेखीय कोन AOB आणि A1O1B1 विचारात घ्या. OA आणि O1A1 किरण एकाच चेहऱ्यावर असतात आणि OO1 या सरळ रेषेला लंब असतात, त्यामुळे ते सह-निर्देशित असतात. किरण OB आणि O1B1 देखील सह-निर्देशित आहेत. म्हणून, कोन AOB हा कोन A1O1B1 सह कोन दिशात्मक बाजू असलेल्या कोनांच्या बरोबरीचा आहे.

तर डायहेड्रल कोन एका रेखीय कोनाद्वारे दर्शविला जातो आणि रेखीय कोन तीव्र, स्थूल आणि उजवे असतात. डायहेड्रल अँगलच्या मॉडेल्सचा विचार करा.

स्थूल कोन म्हणजे ज्याचा रेखीय कोन 90 ते 180 अंशांच्या दरम्यान असतो.

काटकोन जर त्याचा रेखीय कोन 90 अंश असेल.

तीव्र कोन, जर त्याचा रेखीय कोन 0 आणि 90 अंशांच्या दरम्यान असेल.

रेखीय कोनाचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म सिद्ध करू.

रेषीय कोनाचे समतल डायहेड्रल कोनाच्या काठावर लंब असते.

कोन AOB हा दिलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन असू द्या. बांधकामानुसार, AO आणि OB किरण सरळ रेषेच्या a ला लंब असतात.

प्रमेयानुसार एओबी विमान दोन छेदणाऱ्या रेषांमधून एओ आणि ओबी जाते: एक विमान दोन छेदणाऱ्या रेषांमधून जाते आणि शिवाय, फक्त एक.

रेषा a ही या समतलात असलेल्या दोन छेदणाऱ्या रेषांना लंब आहे, याचा अर्थ रेषा आणि समतल यांच्या लंबकाच्या चिन्हानुसार, रेषा a ही समतल AOB ला लंब आहे.

समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, दिलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन तयार करण्यास सक्षम असणे महत्वाचे आहे. टेट्राहेड्रॉन ABCD साठी एज AB सह डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन तयार करा.

आपण एका डायहेड्रल कोनाबद्दल बोलत आहोत, जो प्रथमतः एज एज, एक फेसट एबीडी, दुसरा फेसॅट एबीसी द्वारे तयार होतो.

येथे तयार करण्याचा एक मार्ग आहे.

बिंदू D पासून ABC च्या समतलापर्यंत लंब काढू, बिंदू M ला लंबाचा पाया म्हणून चिन्हांकित करा. आठवा की टेट्राहेड्रॉनमध्ये लंबाचा पाया टेट्राहेड्रॉनच्या पायथ्याशी कोरलेल्या वर्तुळाच्या केंद्राशी जुळतो.

बिंदू D पासून लंब AB काठापर्यंत उतार काढा, बिंदू N ला उताराचा पाया म्हणून चिन्हांकित करा.

त्रिकोण DMN मध्ये, खंड NM हा ABC वरील तिरकस DN चे प्रक्षेपण असेल. तीन लंब प्रमेयानुसार, एज AB प्रोजेक्शन NM ला लंब असेल.

याचा अर्थ DNM कोनाच्या बाजू एज AB ला लंब आहेत, याचा अर्थ असा की तयार केलेला कोन DNM हा आवश्यक रेषीय कोन आहे.

डायहेड्रल कोन मोजण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

समद्विभुज त्रिकोण ABC आणि नियमित त्रिकोण ADB एकाच समतलात नसतात. सेगमेंट सीडी विमान ADB ला लंब आहे. AC=CB=2cm, AB=4cm असल्यास डायहेड्रल कोन DABC शोधा.

डायहेड्रल कोन DABC त्याच्या रेखीय कोनाइतका आहे. चला हा कोपरा बांधूया.

AB च्या काठावर तिरकस SM लंब काढू, कारण ACB त्रिकोण समद्विभुज आहे, तर M बिंदू AB च्या मध्यबिंदूशी एकरूप होईल.

रेखा CD ही विमान ADB ला लंब आहे, याचा अर्थ ती या विमानात असलेल्या DM रेषेला लंब आहे. आणि सेगमेंट MD हे ADB वरील तिरकस SM चे प्रक्षेपण आहे.

AB ही रेषा बांधणीनुसार तिरकस CM ला लंब आहे, याचा अर्थ तीन लंब प्रमेयाने ती प्रोजेक्शन MD ला लंब आहे.

तर, CM आणि DM हे दोन लंब AB च्या काठावर आढळतात. त्यामुळे ते डायहेड्रल कोन DABC चा एक रेषीय कोन СMD तयार करतात. आणि SDM या काटकोन त्रिकोणातून शोधणे आपल्यासाठी राहते.

सेगमेंट SM हा मध्यक आहे आणि समद्विभुज त्रिकोण ASV ची उंची आहे, तर पायथागोरियन प्रमेयानुसार, SM चा पाय 4 सेमी आहे.

पायथागोरियन प्रमेयानुसार, काटकोन त्रिकोण DMB वरून, पाय DM तीनच्या दोन मुळांच्या समान आहे.

काटकोन त्रिकोणातील कोनाचा कोसाइन हा समीप लेग MD आणि कर्ण CM च्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचा असतो आणि तीन बाय दोनच्या तीन मुळे असतो. तर कोन CMD 30 अंश आहे.

भूमितीमध्ये, आकृत्यांचा अभ्यास करण्यासाठी दोन महत्त्वाची वैशिष्ट्ये वापरली जातात: बाजूंची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन. अवकाशीय आकृत्यांच्या बाबतीत, या वैशिष्ट्यांमध्ये डायहेड्रल कोन जोडले जातात. चला ते काय आहे याचा विचार करूया आणि पिरॅमिडचे उदाहरण वापरून हे कोन निश्चित करण्याच्या पद्धतीचे वर्णन करूया.

डायहेड्रल अँगलची संकल्पना

प्रत्येकाला माहीत आहे की दोन छेदणाऱ्या रेषा त्यांच्या छेदनबिंदूवर शिरोबिंदूसह एक कोन बनवतात. हा कोन प्रोट्रेक्टरने मोजला जाऊ शकतो किंवा तुम्ही त्याची गणना करण्यासाठी त्रिकोणमितीय फंक्शन्स वापरू शकता. दोन काटकोनांनी बनलेल्या कोनाला रेखीय कोन म्हणतात.

आता कल्पना करा की त्रिमितीय जागेत दोन विमाने आहेत जी एका सरळ रेषेत छेदतात. ते चित्रात दर्शविले आहेत.

डायहेड्रल अँगल म्हणजे दोन छेदणाऱ्या विमानांमधील कोन. रेखीय प्रमाणे, ते अंश किंवा रेडियनमध्ये मोजले जाते. विमाने ज्या सरळ रेषेला छेदतात त्या कोणत्याही बिंदूपर्यंत, या विमानांमध्ये पडलेले दोन लंब पुनर्संचयित केल्यास, त्यांच्यामधील कोन इच्छित डिहेड्रल असेल. हा कोन ठरवण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे विमानांची सामान्य समीकरणे वापरणे.

विमानांचे समीकरण आणि त्यांच्यामधील कोनाचे सूत्र

अंतराळातील कोणत्याही विमानाचे समीकरण सर्वसाधारणपणे खालीलप्रमाणे लिहिलेले असते.

A × x + B × y + C × z + D = 0.

येथे x, y, z हे समतल बिंदूंचे समन्वय आहेत, गुणांक A, B, C, D या काही ज्ञात संख्या आहेत. डायहेड्रल कोनांची गणना करण्यासाठी या समानतेची सोय अशी आहे की त्यामध्ये स्पष्टपणे विमानाच्या दिशा वेक्टरचे निर्देशांक असतात. आम्ही ते n¯ ने दर्शवू. मग:

सदिश n¯ हा विमानाला लंब असतो. दोन विमानांमधील कोन त्यांच्या n 1 ¯ आणि n 2 ¯ मधील कोनाइतका असतो. गणितावरून हे ज्ञात आहे की दोन सदिशांनी तयार केलेला कोन त्यांच्या स्केलर गुणाकारावरून अद्वितीयपणे निर्धारित केला जातो. हे आपल्याला दोन विमानांमधील डायहेड्रल कोन मोजण्यासाठी एक सूत्र लिहू देते:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × | n 2 ¯|)).

जर आपण व्हेक्टरचे निर्देशांक बदलले, तर सूत्र स्पष्टपणे लिहिले जाईल:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + क 2 2))).

अंशातील मॉड्युलो चिन्ह फक्त तीव्र कोन परिभाषित करण्यासाठी वापरले जाते, कारण डायहेड्रल कोन नेहमी 90 o पेक्षा कमी किंवा समान असतो.

पिरॅमिड आणि त्याचे कोपरे

पिरॅमिड ही एक आकृती आहे जी एका n-gon आणि n त्रिकोणांनी बनलेली असते. येथे n हा पिरॅमिडचा पाया असलेल्या बहुभुजाच्या बाजूंच्या संख्येइतका पूर्णांक आहे. ही अवकाशीय आकृती पॉलिहेड्रॉन किंवा पॉलिहेड्रॉन आहे, कारण त्यात सपाट चेहरे (बाजू) असतात.

पिरॅमिड पॉलिहेड्रा दोन प्रकारचे असू शकते:

• पाया आणि बाजू (त्रिकोण) दरम्यान;
• दोन बाजूंच्या दरम्यान.

जर पिरॅमिड योग्य मानला गेला तर त्यासाठी नामांकित कोन निश्चित करणे कठीण नाही. हे करण्यासाठी, तीन ज्ञात बिंदूंच्या निर्देशांकांनुसार, विमानांचे समीकरण तयार केले पाहिजे आणि नंतर φ कोनासाठी वरील परिच्छेदात दिलेले सूत्र वापरा.

खाली आम्ही एक उदाहरण देतो ज्यामध्ये आम्ही चौकोनी रेग्युलर पिरॅमिडच्या पायथ्याशी डायहेड्रल कोन कसे शोधायचे ते दाखवतो.

चौकोनी आणि त्याच्या पायथ्याशी असलेला कोन

समजा आपल्याला चौरस बेससह एक नियमित पिरॅमिड दिला आहे. चौरसाच्या बाजूची लांबी a आहे, आकृतीची उंची h आहे. पिरॅमिडचा पाया आणि त्याची बाजू यांच्यातील कोन शोधा.

आम्ही स्क्वेअरच्या मध्यभागी समन्वय प्रणालीची उत्पत्ती ठेवतो. मग आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या A, B, C, D बिंदूंचे समन्वय समान असतील:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

ACB आणि ADB या विमानांचा विचार करा. अर्थात, ACB विमानासाठी दिशा वेक्टर n 1 ¯ समान असेल:

ADB समतल n 2 ¯ ची दिशा ठरवण्यासाठी, आम्ही पुढीलप्रमाणे पुढे जाऊ: आम्‍हाला त्‍यांच्‍या मालकीचे दोन सदिश आढळतात, उदाहरणार्थ, AD¯ आणि AB¯, नंतर आम्‍ही त्‍यांच्‍या क्रॉस उत्‍पादनाची गणना करतो. त्याचा परिणाम निर्देशांक n 2 ¯ देईल. आमच्याकडे आहे:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2/2).

सदिशाचा संख्येने गुणाकार आणि भागाकार केल्याने तिची दिशा बदलत नाही, आपण परिणामी n 2 ¯ चे रूपांतर करतो, त्याचे निर्देशांक -a ने विभाजित करतो, आपल्याला मिळते:

आम्ही बेस प्लेन्स ACB आणि पार्श्व बाजू ADB साठी n 1 ¯ आणि n 2 ¯ दिशा वेक्टर परिभाषित केले आहेत. कोन φ साठी सूत्र वापरणे बाकी आहे:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × | n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

चला परिणामी अभिव्यक्तीचे रूपांतर करू आणि ते असे पुन्हा लिहू:

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

आम्ही नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडसाठी पायथ्यावरील डायहेड्रल कोनासाठी सूत्र प्राप्त केले आहे. आकृतीची उंची आणि त्याच्या बाजूची लांबी जाणून घेऊन, आपण कोन φ काढू शकता. उदाहरणार्थ, चेप्सच्या पिरॅमिडसाठी, ज्याच्या पायाची बाजू 230.4 मीटर आहे आणि प्रारंभिक उंची 146.5 मीटर आहे, कोन φ 51.8 o असेल.

तुम्ही भौमितिक पद्धतीचा वापर करून चतुर्भुज रेग्युलर पिरॅमिडसाठी डायहेड्रल कोन देखील निर्धारित करू शकता. हे करण्यासाठी, h उंचीने तयार केलेला काटकोन त्रिकोण, पाया a / 2 च्या अर्ध्या लांबीचा आणि समद्विभुज त्रिकोणाचा एपोथेम विचारात घेणे पुरेसे आहे.

सादरीकरणांचे पूर्वावलोकन वापरण्यासाठी, एक Google खाते (खाते) तयार करा आणि साइन इन करा: https://accounts.google.com

स्लाइड मथळे:

दुहेरी कोन गणित शिक्षक GOU माध्यमिक शाळा №10 Eremenko M.A.

धड्याची मुख्य उद्दिष्टे: डायहेड्रल अँगल आणि त्याचा रेखीय कोन ही संकल्पना सादर करा या संकल्पनांच्या वापरासाठी कार्ये विचारात घ्या

व्याख्या: डायहेड्रल अँगल ही एक समान सीमारेषा असलेल्या दोन अर्ध-विमानांनी तयार केलेली आकृती आहे.

डायहेड्रल कोनाचे मूल्य हे त्याच्या रेखीय कोनाचे मूल्य आहे. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB हा डायहेड्रल कोन ACD B चा रेखीय कोन आहे

डायहेड्रल अँगलचे सर्व रेषीय कोन एकमेकांना समान आहेत हे सिद्ध करूया. दोन रेखीय कोन AOB आणि A 1 OB 1 विचारात घ्या. OA आणि OA 1 किरण एकाच चेहऱ्यावर असतात आणि OO 1 ला लंब असतात, त्यामुळे ते सह-निर्देशित असतात. किरण OB आणि OB 1 देखील सह-निर्देशित आहेत. म्हणून, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (कोडायरेक्शनल बाजूंसह कोन म्हणून).

डायहेड्रल कोनांची उदाहरणे:

व्याख्या: दोन छेदणार्‍या समतलांमधील कोन हा या समतलांनी तयार केलेल्या द्विहेड्रल कोनांपैकी सर्वात लहान आहे.

कार्य 1: घन A ... D 1 मध्ये ABC आणि CDD 1 या विमानांमधील कोन शोधा. उत्तर: 90o.

कार्य 2: घन A ... D 1 मध्ये ABC आणि CDA 1 या विमानांमधील कोन शोधा. उत्तर: 45o.

कार्य 3: घन A ... D 1 मध्ये ABC आणि BDD 1 या विमानांमधील कोन शोधा. उत्तर: 90o.

कार्य 4: घन A ... D 1 मध्ये ACC 1 आणि BDD 1 या विमानांमधील कोन शोधा. उत्तर: 90o.

कार्य 5: घन A ... D 1 मध्ये BC 1 D आणि BA 1 D या विमानांमधील कोन शोधा. ऊत्तराची: O हा B D चा मध्यबिंदू मानूया. A 1 OC 1 हा डायहेड्रल कोन A 1 B D C 1 चा रेखीय कोन आहे.

समस्या 6: टेट्राहेड्रॉन DABC मध्ये सर्व कडा समान आहेत, बिंदू M हा एज AC चा मध्यबिंदू आहे. हे सिद्ध करा की ∠ DMB हा डायहेड्रल कोन BACD चा रेखीय कोन आहे.

ऊत्तराची: ABC आणि ADC त्रिकोण नियमित आहेत, म्हणून BM ⊥ AC आणि DM ⊥ AC आणि म्हणून ∠ DMB हा डायहेड्रल कोन DACB चा एक रेषीय कोन आहे.

कार्य 7: ABC त्रिकोणाच्या B शिरोबिंदूपासून, ज्याची बाजू AC समतल α मध्ये आहे, या समतलावर लंब BB 1 काढला आहे. बिंदू B पासून रेषा AC पर्यंत आणि समतल αif AB=2, ∠BAC=150 0 पर्यंतचे अंतर शोधा आणि डायहेड्रल कोन BACB 1 45 0 आहे.

ऊत्तराची: ABC हा स्थूल कोन A असलेला स्थूल त्रिकोण आहे, त्यामुळे BK चा पाया बाजूच्या AC च्या विस्तारावर आहे. VC हे बिंदू B पासून AC पर्यंतचे अंतर आहे. BB 1 - बिंदू B पासून विमान α पर्यंतचे अंतर

2) AS ⊥VK असल्याने, नंतर AS⊥KV 1 (प्रमेयाद्वारे तीन लंब प्रमेयाशी संवाद साधला जातो). म्हणून, ∠VKV 1 हा डायहेड्रल कोन BACB 1 आणि ∠VKV 1 = 45 0 चा रेखीय कोन आहे. 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d

विमानांच्या कोणत्याही सापेक्ष स्थितीसाठी दोन भिन्न विमानांमधील कोन निर्धारित केला जाऊ शकतो.

विमाने समांतर असल्यास क्षुल्लक बाब आहे. मग त्यांच्यातील कोन शून्य समान मानला जातो.

विमाने एकमेकांना छेदत असल्यास क्षुल्लक केस. हे प्रकरण अधिक चर्चेचा विषय आहे. प्रथम आपल्याला डायहेड्रल अँगलची संकल्पना आवश्यक आहे.

9.1 डिहेड्रल कोन

डायहेड्रल अँगल हे दोन अर्ध-विमान असतात ज्यात सामान्य सरळ रेषा असते (ज्याला डायहेड्रल अँगलची किनार म्हणतात). अंजीर वर. 50 अर्ध्या-विमानांनी बनवलेला डायहेड्रल कोन दर्शवितो आणि; या डायहेड्रल कोनाची धार ही दिलेल्या अर्ध्या विमानांसाठी सामान्य असलेली रेषा आहे.

तांदूळ. 50. डिहेड्रल कोन

डायहेड्रल कोन एका शब्दात अंश किंवा रेडियनमध्ये मोजला जाऊ शकतो, डायहेड्रल कोनाचे कोनीय मूल्य प्रविष्ट करा. हे खालील प्रकारे केले जाते.

अर्ध्या-विमानांनी तयार केलेल्या डायहेड्रल कोनाच्या काठावर आणि, आपण एक अनियंत्रित बिंदू M घेऊ. या अर्ध-विमानांमध्ये अनुक्रमे MA आणि MB किरण काढू आणि काठावर लंब आहेत (चित्र 51).

तांदूळ. 51. रेखीय कोन डायहेड्रल कोन

परिणामी कोन AMB हा डायहेड्रल कोनचा रेखीय कोन आहे. कोन " = \AMB हे आपल्या डायहेड्रल कोनाचे अचूक कोनीय मूल्य आहे.

व्याख्या. डायहेड्रल कोनाचे कोनीय परिमाण हे दिलेल्या डायहेड्रल कोनाच्या रेषीय कोनाचे परिमाण असते.

डायहेड्रल कोनाचे सर्व रेषीय कोन एकमेकांशी समान असतात (शेवटी, ते समांतर शिफ्टद्वारे एकमेकांकडून मिळवले जातात). म्हणून, ही व्याख्या बरोबर आहे: मूल्य "डायहेड्रल कोनाच्या काठावरील M बिंदूच्या विशिष्ट निवडीवर अवलंबून नाही.

9.2 विमानांमधील कोन निश्चित करणे

जेव्हा दोन विमाने एकमेकांना छेदतात तेव्हा चार डायहेड्रल कोन प्राप्त होतात. जर त्यांचे सर्व मूल्य समान असेल (प्रत्येकी 90), तर विमानांना लंब म्हणतात; नंतर विमानांमधील कोन 90 आहे.

जर सर्व डायहेड्रल कोन सारखे नसतील (म्हणजे दोन तीव्र आणि दोन ओबटस आहेत), तर विमानांमधील कोन हे तीव्र डायहेड्रल कोन (चित्र 52) चे मूल्य आहे.

तांदूळ. 52. विमानांमधील कोन

9.3 समस्या सोडवण्याची उदाहरणे

चला तीन कार्यांचा विचार करूया. पहिले सोपे आहे, दुसरे आणि तिसरे गणिताच्या परीक्षेत C2 च्या पातळीवर आहेत.

कार्य 1. नियमित टेट्राहेड्रॉनच्या दोन चेहऱ्यांमधील कोन शोधा.

उपाय. ABCD हा नियमित टेट्राहेड्रॉन असू द्या. चला संबंधित चेहऱ्यांचे मध्यक AM आणि DM काढू, तसेच टेट्राहेड्रॉन DH (Fig. 53) ची उंची काढू.

तांदूळ. 53. समस्या 1

मध्यवर्ती असल्याने, AM आणि DM हे समभुज त्रिकोण ABC आणि DBC ची उंची देखील आहेत. म्हणून, कोन " = \AMD हा ABC आणि DBC चे चेहरे बनवलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेषीय कोन आहे. आम्हाला तो DHM त्रिकोणातून सापडतो:

			1AM

उत्तर: arccos 1 3 .

समस्या 2. नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड SABCD (शिरोबिंदू S सह) मध्ये, पार्श्व किनार पायाच्या बाजूच्या समान असते. बिंदू K हा किनारा SA चा मध्यबिंदू आहे. विमानांमधील कोन शोधा

उपाय. रेखा BC ही AD ला समांतर आहे आणि त्यामुळे समांतर ADS ला समांतर आहे. म्हणून, KBC विमान BC (Fig. 54) च्या समांतर सरळ रेषा KL बाजूने ADS विमानाला छेदते.

तांदूळ. 54. समस्या 2

या प्रकरणात, KL देखील AD रेषेच्या समांतर असेल; म्हणून KL ही त्रिकोण ADS ची मध्यरेखा आहे आणि बिंदू L हा DS चा मध्यबिंदू आहे.

पिरॅमिड SO ची उंची काढा. N ला DO चा मध्यबिंदू समजा. मग LN ही DOS त्रिकोणाची मध्यरेखा आहे आणि म्हणून LN k SO. तर LN हे विमान ABC ला लंब आहे.

N बिंदूपासून आपण लंब NM BC रेषेवर टाकतो. सरळ रेषा NM हे विमान ABC वर तिरकस LM चे प्रक्षेपण असेल. त्यानंतर तीन लंब प्रमेयातून असे दिसून येते की LM देखील BC ला लंब आहे.

अशाप्रकारे, कोन " = \LMN हा अर्ध-विमान KBC आणि ABC द्वारे तयार केलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन आहे. आपण हा कोन LMN काटकोन त्रिकोणातून शोधू.

पिरॅमिडची किनार असू द्या. प्रथम, पिरॅमिडची उंची शोधा:

SO=p

उपाय. L हा A1 K आणि AB रेषांचा छेदनबिंदू मानू. नंतर विमान A1 KC विमान ABC ला सरळ रेषेने CL (Fig.55) छेदते.

ए सी

तांदूळ. 55. समस्या 3

त्रिकोण A1 B1 K आणि KBL लेग आणि तीव्र कोनात समान आहेत. म्हणून, इतर पाय देखील समान आहेत: A1 B1 = BL.

त्रिकोण ACL विचारात घ्या. त्यात BA = BC = BL. CBL कोन 120 आहे; म्हणून \BCL = ३० . तसेच, \BCA = 60 . म्हणून \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

तर एलसी? एसी. परंतु रेखा AC ही ABC या विमानावरील A1 C रेषेचे प्रक्षेपण आहे. तीन लंब प्रमेयाद्वारे, आपण असा निष्कर्ष काढू की LC? A1C.

अशा प्रकारे, कोन A1 CA हा अर्ध-विमान A1 KC आणि ABC द्वारे तयार केलेल्या डायहेड्रल कोनाचा रेखीय कोन आहे. हे आवश्यक कोन आहे. समद्विभुज काटकोन त्रिकोण A1 AC वरून आपण पाहतो की ते 45 च्या बरोबरीचे आहे.