Тя ще бъде посветена на основите на математическата логика, която е не само отделен раздел на математиката, но също така е от голямо значение при изучаването на цялата кула (и не само кули). „Съществува и е единствен“, „следва от това“, „необходимо условие“, „достатъчност“, „ако и само тогава“ – познати фрази, нали? И това не са просто „дежурни“ клишета, които могат да бъдат пренебрегнати - това са стабилни изрази, които имат строг смисълс които ще се запознаем в тази статия. В допълнение, материалът ще бъде полезен за начинаещи да изучават директно математическата логика - ще разгледам нейната основа: твърдения и действия върху тях, формули, основни закони + някои практически задачи. И, разбира се, ще научите една много важна и понякога много забавна разлика между математическата логика и нашата „обикновена“ логика. Нека започнем да полагаме основата:

Изказвания и предложни форми

изявлениее предложение, което може да се каже вярното или невярно. Изявленията обикновено се обозначават с малки латински букви, а тяхната истинност / неистинност съответно с единица и нула:

- този запис (да не се бърка с модул!) ни казва, че твърдението вярно;
- и този запис е за факта, че изявлението невярно.

Например:

- Костенурките не летят
- Луната е квадратна;
- два пъти две ще бъдат две;
- пет е повече от три.

Ясно е, че изявленията и вярно: ,
и изявления и невярно:

Разбира се, не всички изречения са твърдения. Те включват по-специално въпросителни и насърчителни изречения:

Не можеш ли да ми кажеш как да вляза библиотека?
Да отидем на баня!

Очевидно тук няма въпрос за истина или лъжа. Тъй като не се говори за тях в случай на несигурност или непълна информация:

Утре Петър ще мине изпита- дори да е научил всичко, не е факт, че ще премине; и обратното - ако не знае нищо, тогава може би ще премине „на топката“.

... хайде, Pet, не се притеснявай - ще минеш =)

– и тук не знаем на какво е равно „en“, така че това също не е твърдение.

Последното изречение обаче може да бъде разширено до изказване или по-скоро до пропозиционална форма, указваща допълнителна информация за "en". По правило предложните форми се пишат с т.нар квантификатори. Има две от тях:

– общ квантификатор (обърната букваА - от англ.Всичко)разбира се и се чете като "за всички", "за всеки (oh) (s)";

– екзистенциален квантор (отворено писмоЕ - от англ.съществува)разбира се и се чете като "съществува".

- за всеки естествено числонеравенството е изпълнено. Тази изразна форма невярно, тъй като очевидно не отговаря на естествените числа.

- и ето вече предложната форма вярно, Как вярнои например това твърдение:
... добре, какво ще стане, ако има естествено число, което е по-малко от -10?

Предупреждавам ви за безразсъдното използване на този квантификатор, защото "за всеки" всъщност може да се окаже "не за никого".

внимание! Ако не разбирате нещо в нотацията, моля, върнете се към урока за комплекти.

- съществува естествено числокоето е по-голямо от две. Вярно...и най-важното е, че не можете да спорите =)

– лъжа

Доста често квантификаторите "работят в един екип":

- за всеки векторима обратен вектор. Главна буква вярно, или по-скоро аксиомата (декларация се приема без доказателство)векторно пространство.

Обърнете внимание, че екзистенциалният квантор предполага самият фактсъществуването на обект (поне един), който отговаря на определени характеристики. Нека единствената бяла врана съществува в света, но те съществуват. Освен това в математиката (училищна и висша) се доказват много теореми съществуванеи просто уникалноствсичко. Доказателството на такава теорема се състои от две части:

1) Съществуването на обект, който отговаря на определени критерии. В тази част се обосновава самия факт на съществуването му.

2) Уникалността на дадения обект. Тази точка обикновено се доказва от противоречие, т.е. предполага се, че има 2-ри обект с абсолютно същите характеристики, след което това предположение се опровергава.

Те обаче се опитват да не плашат учениците с такава терминология и теоремата често се представя в завоалирана форма, например:

Във всеки триъгълник можете да впишете кръг и освен това само един

Между другото, какво изобщо е теорема? Много скоро ще научим логическата същност на тази ужасна дума ....

Логически операции (действия върху изрази)

Точно както можете да извършвате аритметични операции с числа (събиране, умножение и т.н.), изразите също имат свои собствени операции. Има три основни логически операции:

отрицаниеизявления;

съчетаниеили логическо умножение на предложения;

дизюнкцияили логическо добавяне на твърдения.

По ред:

1) Отрицание на твърдението

НЕи символ

Отричанеизказване се нарича изказване (прочетете "не е"), който невярноако е вярно и вярно- ако е невярно:

Така например изявлението - костенурките не летятвярно: ,
и неговото отрицание костенурките летят, ако ги ритнеш силно– невярно: ;

изявление - два пъти две е двеневярно: ,
и неговото отричане - не е вярно, че два пъти две ще са две- вярно: .

Между другото, няма нужда да се смеете на примера с костенурките;) садисти

Добър физически модел на тази операция е обикновена електрическа крушка и превключвател:

свети - логично или вярно,
светлината е изключена - логическа нула или невярно.

2) Конюнкция (логическо умножение на твърдения)

Тази операция съответства на логическата връзка Икакто и символ

съчетание (прочетете "а и бъдете"), което е вярно тогава и само ако и дветепоговорки и:

Тази операция също се случва през цялото време. Да се ​​върнем на нашия герой от първото гише: да предположим, че Петя получи допускане до изпит по висша математика, ако издържи курсовата си работа Идоклад по темата. Помислете за следните твърдения:
– Петя издържа курсовата работа;
- Петя издържа теста.

Имайте предвид, че за разлика от формулировката "Петя ще предаде утре"Тук във всеки момент можете да разберете дали е вярно или невярно.

изявление (изводът е, че Петя е допусната до изпит)ще бъде вярно, ако и само ако е преминал курсовата работа Исметка за . Ако поне нещо не се предаде (вижте долните три реда на таблицата), тогава връзката е невярна.

И много навреме, на ум ми дойде отличен математически пример: знакът на системата свързва уравненията / неравенствата, включени в нея, точно според правилото И. Така например записването на две линейни уравнения системапредполага, че трябва да намерим ТАКИВА корени (ако съществуват), които също удовлетворяват първото Ивторо уравнение.

Разглежданата логическа операция се простира до по-голям брой твърдения. Относително казано, ако има 5 уравнения в системата, тогава нейните корени ( ако съществуват)трябва да отговаря и на 1-во И 2-ро И 3-то И 4-ти И 5-то уравнение на тази система.

И в заключение на параграфа, нека отново се обърнем към домашната електротехника: конюнктивното правило добре моделира превключвателя в стаята и превключвателя на електрическото табло във входа (серийно свързване). Помислете за твърденията:

– ключът в стаята е включен;

– ключът във входа е включен.

Вероятно всеки вече е разбрал, че връзката се чете по най-естествения начин:
– ключът в стаята е включен ИКлючът във входа е включен.

Очевидно, ако и само ако . В други три случая (анализирайте кои)веригата ще се отвори и светлината ще изгасне: .

Нека добавим още едно твърдение:
– ключът на подстанцията е включен.

По същия начин връзката ще бъде вярна тогава и само ако . Тук, между другото, вече ще има 7 различни опции за прекъсване на веригата.

3) Дизюнкция (логическо добавяне на твърдения)

Тази операция съответства на логическата връзка ИЛИи символ

дизюнкцияизявления и извикайте изявлението (прочетете "a или be"), което е невярно тогава и само ако и двете твърдения и са неверни:

Да приемем, че има 2 въпроса в изпитната карта по висша математика и студентът издържа изпита, ако отговори за поне единвъпрос. Помислете за следните твърдения:
– Петър отговори на първия въпрос;
– Петя отговори на 2-рия въпрос.

Разделителната нотация се чете просто и ясно: Петя отговори на 1-во или 2-ри въпроси предполага три верни резултата (виж таблицата). В същото време Петър няма да издържи изпита в единствения случай - ако „прецака“ и двата въпроса:

Трябва да се отбележи, че ние много често разбираме съюза „или“ като „изключително или“ и освен това често трябва да се разбира като такова! От същата фраза за успешното преминаване на изпита човек най-вероятно ще заключи, че Петя е отговорила само на 1-ви или само на 2-ри въпрос. Обаче разглежданото ИЛИ не е филистимско „или“.

Операцията за логическо добавяне е приложима и за три или повече твърдения. Някои лоялни учители задават по 10-15 въпроса и поставят изпит, ако ученикът знае поне нещо =) С други думи, логическото ИЛИ крие връзката зад себе си "поне за един"(и това изобщо не означава, че е СИГНАЛНО едно!).

Е, нека се отклоним от битовото електричество: по-голямата част от интернет сайтовете са разположени на професионални сървъри, които обикновено се захранват с две захранвания. В електротехниката това се нарича паралелна връзка, която просто моделира правилото ИЛИ - сървърът работи, ако работи поне единзахранващ агрегат. Оборудването, между другото, поддържа "гореща" подмяна, т.е. изгорял захранващ блок може да бъде заменен без изключване на сървъра. Същата история и с хард дисковете - те се дублират в т.нар RAID масив, а освен това самият център за данни, където са разположени сървърите, обикновено се захранва от два независими електропровода + дизелов генератор за всеки случай. Тези мерки ни позволяват да осигурим максимално време за работа на сайтовете.

И тъй като говорим за компютри, те ... се основават на разгледаните логически операции! Изглежда невероятно, но нека се замислим - какво изобщо могат да "разберат" тези "железни парчета"? И те могат да разберат следното:

има ток в жицата логическа единица;
проводникът е без ток логическа нула.

Именно този факт е основната причина за това, че измерването на количеството информация се основава на степен две:
и т.н.

Най-простият "компютър" е... обикновен превключвател - той съхранява информация в 1 бит (true или false в горния смисъл). Централният процесор на съвременния компютър има стотици милиони (!)транзистори, и най-сложният софтуер, най-"фантастичната игра" се разлага на много нули и единици, които се обработват с елементарни логически операции!

И следващите две операции, които ще разгледаме са не е независим, тоест те могат да бъдат изразени чрез отрицание, връзка и дизюнкция:

Подтекст и логическо следствие.
Необходимо условие. Достатъчно условие

До болка познати обрати: „следователно“, „следва от това“, „ако, тогава“ и т.н.

внушениеизявления (пакет)И (последствие)те наричат ​​твърдение, което е невярно в единствения случай - когато е вярно, и - е невярно:

Основният смисъл на операцията е (прочетете и разгледайте таблицата отгоре надолу):

само истината може да следва от истинатаи не може да следва лъжа;

всичко може да последва от лъжата (долните два реда), при което:

истината на предпоставката е достатъчно условиеза истинността на заключението,

и истината на заключението е необходимо условиеза истинността на предпоставката.

Нека да разгледаме конкретен пример:

Нека направим внушение от твърдения - валиИ - влажно отвън:

Ако и двете твърдения са верни, тогава импликацията, разбира се, също е вярна. – ако навън вали, значи навън е влажно. В същото време не може да бъде валеше, А навън беше сухо :

Ако няма дъжд, Че навън може да е сухо :

толкова влажно :
(например, поради факта, че снегът се е стопил).

И сега НИЕ МИСЛИМ за тези "щамповани" думи необходимостИ адекватност:

Дъждът е достатъчноусловие да е влажно навън, а от друга страна, влага на улицата необходимида приемем, че е валяло (защото ако е сухо, значи определено не е валяло).

Обратната импликация е незаконна: - все още има влага на улицата не достатъчноза да оправдае факта на дъжда, а освен това дъждът не е НЕОБХОДИМА причина за влага (защото например градушка може да мине и да се стопи).

Изглежда ясно, но за всеки случай още няколко примера:

- Да се ​​науча как да правя матрични операции, необходимода може да събира и умножава числа. Но това, както правилно предвиждате, не достатъчно.

– Да се ​​научиш да правиш аритметика достатъчнозавърши 9 класа. Но това не е така състояние необходимо- Баба също може да научи броене, и дори в детската градина.

– Да се ​​намери лицето на триъгълник достатъчнознае неговата страна и височината, начертана към тази страна. Това обаче отново не е така необходимост, площта на триъгълник може да се намери и от три страни (формула на Херон) или, например, с помощта на векторен продукт.

– За допускане до изпит по висша математика Петя необходимодоклад за курсовата работа. Но това не достатъчно- защото все още трябва да преминете теста.

- За да получи кредит цялата група достатъчнодонесе кутия коняк на учителя. А тук, както е лесно да се предположи, няма необходимостда науча нещо =) Но, обърнете внимание, подготовката изобщо не е забранена;)

Има ли необходими и същевременно достатъчни условия? Със сигурност! И много скоро ще стигнем до тях. А сега за един важен принцип на математическата логика:

Математическата логика е формална

Тя се интересува от истинността или неверността на твърденията, но не и от тяхното съдържание.! Така че, ако направим внушение Ако костенурките не летят, тогава две по две е равно на четири., тогава ще е истина! С други думи, всяко вярно твърдение може да бъде оправдано с всяка истина. (1-ви ред на таблицата), и от гледна точка на формалната логика това ще е вярно!

Но още по-интересна е ситуацията с фалшивото послание: всяка лъжа може да оправдае всичко - и истината, и лъжата:

– ако Луната е в квадрат, то ;
- ако пингвините носят ботуши от филц, тогава костенурките носят чехли.

И какво? Според таблицата и двете твърдения са верни!

Тези факти се наричат импликационен парадокс, но в действителност, разбира се, обмисляме примери, които имат смисъл от гледна точка на нашата логика на съдържанието.

И още един много важен момент: значението често се обозначава с икона (прочетете също "следователно", "следва от това"), които използваме и при решаване на задачи, доказване на теореми и др. И тук Става въпрос за съвпадение на етикети.- това, което използваме в "обикновените" математически изчисления, строго погледнато, не е импликация. Каква е разликата? Когато решим проблем и напишем това ("от a следва да бъде"), тогава поставяме изявлението очевидно вярно, и освен това, ние извеждаме от него друга истина . В математическата логика това се нарича логично следствие. Обикновено следствието подлежи на обосновка и затова, когато подготвяте доклади, винаги се опитвайте да обясните кои аксиоми, теореми, решени задачи и т.н. сте използвали за този или онзи изход.

Теоремата по своята същност също е логическо следствие: нейното условие се основава на вярноколети (аксиоми, доказани преди това теореми и др.). Доказателството установява истинността на следствието и в този процес не могат да се използват фалшиви разсъждения.

Недоказаната теорема се нарича хипотеза, и има два варианта: или извежда истината от истината и е теорема, или хипотезата е невярна, т.е. от много истински изпращания следва "не бъде":. В случай на опровержение се получава тривиално заключение като " Хипотезата на Иван Петров е невярна", но също така се случва да струва много - осмелявам се, скъпи читатели!

Помислете за пример, разбира се, не мега-теорема, а твърдение, което изисква обосновка, макар и проста. Въпреки че няма да бъде =) =):

- числото се дели на 4;
- числото се дели на 2.

Очевидно е, че следствието вярно, тоест от факта, че числото се дели на 4, следва делимостта му на 2. И съответно обратното заключение е лъжа:

В същото време още веднъж обръщам внимание на факта, че предпоставката първоначално е постулирана като вярна (за разлика от подразбиране, където може да е невярно).

За логически следствия и в хода на концепцията трябваИ достатъчност, копирайте няколко реда отгоре:

истината на посланието е достатъчно условиеза истинността на заключението,

истината на заключението е необходимо условиеза истинността на предпоставката.

В нашия случай:

Делимост на числото на 4 е достатъчноусловие то да се дели на 2. А от друга страна, делимостта на едно число на 2 е необходимоделимост на 4.

Трябва да се отбележи, че разглежданият пример може да бъде написан и като импликация:
(използвайки таблицата, анализирайте сами всички оформления)

въпреки това в общия случай "трансфер на понятия" е некоректно! Тоест, ако говорим за това, това не означава, че внушението ще бъде валидно. И ще дам такъв пример в последния параграф. и трябва да положи 3 изпита (в противен случай сесията няма да бъде предадена)и в същото време това достатъчно (защото нищо друго не трябва да се прави).

Особеността на еквивалентността е, че има едно от двете и двете, или Нищо, Например:

Петя прави щанга тогава и само ако Маша танцува на масата

Това означава, че или Петя прави щанга, а Маша танцува на масата, или и двете лежат на дивана, Петър, заслужаваш го! =) Толкова приятелски настроени Петя и Маша. Сега една привидно подобна фраза без "тогава и само тогава":

Петя е на щанга, докато Маша танцува на масата

Но значението се е променило донякъде: тук можем да предположим, че Петя понякога дърпа бара без Маша, а от друга страна, Маша „не се интересува“ дали Петя се люлее по време на танца си.

Това е силата на необходимото и достатъчно условие! - обединява и дисциплинира =)

... Исках да разпределя ролите напротив за забавление, но след това промених решението си ... в края на краищата това не може да се рекламира =)

Между другото, относно дисциплината - рационалният подход просто предполага необходимост и достатъчност - когато човек прави точно толкова, колкото е необходимо, за да постигне някаква цел, и не повече. Това, разбира се, е скучно в обикновения живот, но се приветства по всякакъв възможен начин в математическите разсъждения, които вече чакахме:

Триъгълникът е равностранен тогава и само ако има равни ъгли

поговорки - равностранен триъгълникИ - има равни ъглимогат да бъдат съотнесени чрез еквивалентност, но на практика почти винаги ги свързваме със знак с двоен ръб логическата последица се нарича хипотенуза

Тази точка всъщност е Питагоровата теорема, чиято формулировка ни е позната от училище: „Ако триъгълникът е правоъгълен, тогава“.

2) На втората стъпка е оправдано адекватност:
- тук е необходимо да се докаже, че валидността на равенството достатъчноза да направите триъгълника прав.

Отново учениците не се плашат от такива думи и втората точка е формулирана под формата на обратната теорема на Питагор: „Ако, тогава триъгълникът е правоъгълен“.

В математиката има много връзки „ако и само тогава“ и аз току-що дадох стандартна схема за доказването им. И, разбира се, винаги анализирайте какво "необходимо"

Очаквам ви във втората част на нашия вълнуващ урок, където ще се запознаем с основните логически формули и законии решаване на практически проблеми. За да разрешите проблемите, ще ви трябват пет таблетки от тази страница, така че препоръчвам незабавно да ги пренапишете на лист хартия - така че да са пред очите ви.

Освен това ще ви разкрия тайната на успешното изучаване на математическата логика;)

съвременен математически модел на формалната логика като наука за правилните разсъждения. Според удачния израз на руския логик Порецки, математическата логика е същността на логиката в предмета и математиката - по отношение на метода за решаване на проблемите. Систематичното развитие на математическата логика започва с работата на Болцано, Фреге, Ръсел и Витгенщайн. Същността на тази логика е разглеждането на повечето логически категории (понятие, предикат, преценка, извод, заключение, доказателство) като логически функции, чийто обхват са стойностите на истината. Как се интерпретират логическите функции и всички логически оператори (термините "Всички", "Съществува", "Някои", "Едно", "Няма", "и", "или", "ако, тогава", "идентично", "евентуално", "необходимо" и т.н. и т.н.). Всички логически функции се дефинират в крайна сметка по табличен начин, като се използват всички възможни комбинации от въведения брой стойности на истината на "входа" и "изхода" на тези функции. Така, например, логическата връзка "ако, тогава ..." се моделира с помощта на функцията =), наречена материална импликация.

Страхотна дефиниция

Непълна дефиниция ↓

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА

логика, развита в точна наука, която използва мат. методи, или, според П. С. Порецки, логика по предмет, математика по методи. Идеята за изграждане на M. l. е изразено за първи път от Лайбниц. Но едва през 19 век. в оп. „Математическият анализ на логиката" на Бул (G. Boole, „Математическият анализ на логиката", 1847) поставя началото на систематичното развитие на тази наука. решения, за които старите средства на класическата формална логика са неподходящи. Един от тези проблеми беше проблемът на недоказуемостта на 5-тия постулат на Евклид в геометрията.Този проблем е свързан с аксиоматичния метод, който е най-разпространеният начин за логическа систематизация на математиката.Той изисква точна формулировка на основните, приети без доказателство положения на развитата теория - така наречената аксиома, от която логически се извежда цялото й по-нататъшно съдържание. "Класическият прототип на такава конструкция на математическа теория е евклидовата конструкция на геометрията. Във връзка с всяка аксиоматична теория естествено възникват редица логически проблеми По-специално, възниква проблемът с логическата независимост на аксиомите на дадена теория, който се състои в установяването, че нито една от аксиомите на теорията не може да бъде чисто логически изведена от останалите аксиоми. За евклидовата геометрия в продължение на две хилядолетия въпросът за логичното. независимост на 5-тия постулат на Евклид. Бяха направени много напразни опити да се изведе от останалите аксиоми на евклидовата геометрия, докато накрая в трудовете на Н. И. Лобачевски за първи път изрично беше изразено убеждението в невъзможността на подобно заключение. Това убеждение беше подсилено от конструкцията на Лобачевски за нова геометрия, коренно различна от Евклидовата. В геометрията на Лобачевски, внимателно разработена от нейния създател, не са открити противоречия; това вдъхва увереност, че противоречия изобщо не могат да възникнат, независимо колко далеч е напреднало извеждането на следствията от аксиомите на новата геометрия. Впоследствие немски математикът Ф. Клайн доказва, че противоречията не могат да възникнат в геометрията на Лобачевски, ако не могат да възникнат в евклидовата геометрия (виж Аксиоматичния метод). Така възникнаха и бяха частично решени исторически първите проблеми на "недоказуемостта" и последователността в аксиомата. теории. Точната формулировка на такива проблеми, разглеждането им като математически проблеми изисква прецизиране на понятието доказателство. Всякаква математика доказателството се състои в последователното прилагане на определени логически. средства към стартовите позиции. Но логично. средствата не са нещо абсолютно, фиксирано веднъж завинаги. Те са разработени от векове човешка практика; „... практическата дейност на човека милиарди пъти е трябвало да доведе съзнанието на човека до повторение на различни логически фигури, за да могат тези фигури да получат стойността на аксиома“ (Ленин В.И., Съч., 38, стр. 181–82). Човешката практика обаче е във всеки исторически ограничен етап, а обемът му расте през цялото време. Логика означава, че задоволително отразеното човешко мислене на даден етап или в дадена област може вече да не е подходящо за следата. сцена или в други области. Тогава в зависимост от изменението на съдържанието на разглеждания предмет се променя и начинът на разглеждане – изменят се логическите. съоръжения. Това се отнася особено за математиката, с нейните широкообхватни многостепенни абстракции. Тук е безсмислено да говорим за логика. означава като нещо дадено в неговата цялост, като нещо абсолютно. Но има смисъл да се счита за логично. означава, използвано в същата или друга специфична среда, срещана в математиката. Установяването им за к.-л. аксиоматичен теория и представлява желаното усъвършенстване на концепцията за доказателство за тази теория. Значението на това усъвършенстване за развитието на математиката стана особено ясно в последно време. При разработването на теорията на множествата учените се сблъскват с редица трудни проблеми, по-специално с проблема за силата на континуума, поставен от Г. Кантор (1883 г.), който до 1939 г. не се смята за задоволителен. подходи. д-р проблеми, които упорито се съпротивляваха на решение, се срещнаха в описателната теория на множествата, разработена от Sov. математици. Постепенно стана ясно, че трудността на тези проблеми е логическа, че е свързана с непълната идентификация на приложената логика. средства и аксиоми и че единиците. начинът да се преодолее е да се изяснят и двете. Следователно се оказа, че решаването на тези проблеми изисква участието на ML, което следователно е наука, необходима за развитието на математиката. В настоящето времето на надеждата, възложена на M. l. във връзка с тези проблеми, вече се оправдаха. По отношение на проблема за континуума, много важен резултат е получен от К. Гьодел (1939), който доказва последователността на обобщената хипотеза за континуума на Кантор с аксиомите на теорията на множествата, при условие че последните са последователни. По отношение на редица трудни проблеми в дескриптивната теория на множествата важни резултати са получени от П. С. Новиков (1951). Изясняване на концепциите за доказателство в аксиоматика. теория е важен етап от нейното развитие. Теории, които са преминали този етап, т.е. аксиоматичен теории с установени логически. средства, се наричат ​​дедуктивни и в n и teoriya m и. Само за тях проблемите на доказуемостта и последователността в аксиомата, които представляват интерес за математиците, позволяват точна формулировка. теории. За решаване на тези проблеми в съвременния М. л. прилага се методът на формализиране на доказателствата. Идеята за метода за формализиране на доказателството принадлежи на него. математик Д. Хилберт. Осъществяването на тази идея стана възможно благодарение на предишното развитие на M. l. Буле, Порецки, Шрьодер, Фреге, Пеано и др. От време на време методът на формализиране на доказателството е мощен изследователски инструмент в проблемите на обосноваването на математиката. Прилагането на метода на формализиране обикновено се свързва с разпределението на логическите. част от разглежданата дедуктивна теория. Това логично част, която като цялата теория е оформена под формата на определено смятане, т.е. система от формализирани аксиоми и формални правила за извод може да се разглежда като независимо цяло. Най-простото от логичните смятането е пропозиционално смятане, класическо и конструктивно. Формалната разлика между двете пропозиционални изчисления отразява дълбока разлика в техните интерпретации относно значението на пропозиционалните променливи и логическите. съединители (вж. Интуиционизъм, Проблемно смятане, Пропозиционална логика). Най-широко използван в изграждането на дедуктивна математика. теории е налице. класическо време. предикатно смятане, което е развитие и усъвършенстване на класическото. Теорията на Аристотел за съжденията и в същото време съответната теория на множествата. система за абстракция. Конструктивното смятане на предикатите принадлежи към класическото. предикатното смятане по същия начин като конструктивното пропозиционално смятане към класическото. пропозиционално смятане. Най-съществената от разликите между тези две предикатни изчисления е свързана с тяхната интерпретация на конкретни или екзистенциални преценки. Докато в конструктивното предикатно смятане такива преценки се тълкуват като твърдения за възможността за дефиниране. структури и се считат за установени само когато тези структури са посочени, в клас. В изчислението на предикатите екзистенциалните предложения обикновено се третират изолирано от конструктивните възможности като някакъв вид "чисти" твърдения за съществуването (вж. конструктивно направление). По-задоволителното тълкуване на екзистенциалните преценки е класическото. предикатно смятане, свързващо дефиницията. По подобен начин това смятане с конструктивно смятане на предикатите е открито от А. Н. Колмогоров през 1925 г. В математиката, логически. Прилага се смятане в комбинация със специфични. аксиоми на приложими дедуктивни теории. Например, теорията на естествените числа може да бъде изградена чрез комбиниране на аксиомите на Пеано за аритметика с предикатно смятане (класическо или конструктивно). Логическият съюз, използван в този случай. символиката с математика не само ви позволява да съставяте математически. теория под формата на смятане, но може да бъде и ключът към изясняването на значението на математиката. предлага. В настоящето време на сова. математикът Н. А. Шанин разработи точни правила за конструктивна интерпретация на математическите. съждения, обхващащи широки области на математиката. Прилагането на тези правила става възможно само след като въпросното съждение е написано на подходящо точен логико-математически език. език. В резултат на прилагането на правилата за тълкуване може да се разкрие конструктивна задача, свързана с това решение. Това обаче не винаги се случва: не при всеки математик. предложението е задължително свързано с конструктивна задача. Следните концепции и идеи са свързани с смятането. Смята се, че едно смятане е последователно, ако в него не може да се изведе формула от формата U заедно с формулата U (където има знак за отрицание). Проблемът за установяване на последователността на смятането, използвано в математиката, е един от гл. задачи М. л. В настоящето този проблем се решава само за много ограничено време. сила на звука. Използват се различни. концепции за пълнота на смятането. Като се има предвид обхващането на една или друга смислено дефинирана област на математиката, смятането се счита за завършено по отношение на тази област, ако всяка формула, изразяваща вярно твърдение от тази област, е изведена в нея. Друго понятие за пълнотата на смятането е свързано с изискването да се осигури доказателство или опровержение за всяко предложение, формулирано в смятането. От първостепенно значение във връзка с тези концепции е теоремата на Гьодел-Росер, която твърди несъвместимостта на изискването за пълнота с изискванията за последователност за много широк клас изчисления. Съгласно теоремата на Гьодел–Росер нито едно последователно смятане от този клас не може да бъде пълно по отношение на аритметиката: за всяко такова смятане може да се конструира правилна аритметика. твърдение, формализирано, но неподлежащо на извеждане в това смятане (вж. Метатеория). Тази теорема, без да се намалява стойността на M. l. като мощен организиращ инструмент в науката, фундаментално убива надеждите за тази дисциплина като нещо, способно да реализира универсалното покритие на математиката в рамките на една дедуктивна теория. Надежди от този род бяха изразени от мнозина. учени, включително Хилберт – основният представител на формализма в математиката – направление, което се опитва да сведе цялата математика до манипулации с формули по определени веднъж завинаги установени правила. Резултатът на Гьодел и Росер нанесе съкрушителен удар на тази посока. По силата на тяхната теорема дори такава сравнително елементарна част от математиката като аритметиката на естествените числа не може да бъде обхваната от една единствена дедуктивна теория. М. л. органично свързан с кибернетиката, по-специално с теорията на релейно-контактните вериги и автомати, машинната математика и математическата лингвистика. Приложения M. l. към релейно-контактни схеми се основават на факта, че всяка двуполюсна релейно-контактна верига в след. в смисъл на моделиране на определена формула U класическа. пропозиционално смятане. Ако веригата се управлява от n релета, тогава U съдържа същия брой различни пропозиционални променливи и ако означим с bi предложението "Реле номер i работи", тогава веригата ще бъде затворена тогава и само ако резултатът от заместването на предложения b1, ... , bn вместо съответните логически. променливи в U. Конструирането на такава симулирана формула, описваща "условията на работа" на веригата, се оказва особено проста за т.нар. ?-схема, получена на базата на елементарни едноконтактни вериги чрез паралелни и последователни връзки. Това се дължи на факта, че паралелните и последователните връзки на вериги моделират съответно дизюнкция и конюнкция на преценки. Наистина, верига, получена чрез паралелно (последователно) свързване на вериги C1 и C2, е затворена тогава и само ако верига C1 е затворена или (и) верига C2 е затворена. Прилагането на пропозиционално смятане към релейни вериги отвори плодотворен подход към важни проблеми в съвременните времена. технология. В същото време тази връзка между теория и практика доведе до формулирането и частичното разрешаване на мн нови и трудни проблеми на М. л., сред които на първо място т.нар. проблемът с минимизирането, който се състои в намирането на ефективни методи за намиране на най-простата формула, еквивалентна на дадена формула. Релейно-контактните вериги са частен случай на управляващи вериги, използвани в съвременните. автоматични машини. Контролни вериги от други типове, по-специално вериги от вакуумни тръби или полупроводникови елементи, имащи още по-практични. стойност, може да се разработи и с помощта на M. l., което предоставя адекватни средства както за анализ, така и за синтез на такива схеми. Език М. л. се оказа приложим и в създадената в настоящето теория на програмирането. време във връзка с развитието на машинната математика. Накрая, създаден в M. l. апаратът на смятането се оказва приложим в математическата лингвистика, която изучава езика на математиката. методи. Един от основните Проблемът на тази наука е точното формулиране на граматическите правила на въпросния език, т.е. точна дефиниция на това какво трябва да се разбира под "граматически правилна фраза на този език". Както показва амер. учен Чомски, има всички основания да се търси решение на този проблем в следната форма: конструира се определено смятане и изрази, съставени от знаците на азбуката на даден език и изведени в това смятане, се обявяват за граматически правилни фрази. Работата в тази посока продължава. Вижте също Алгебра на логиката, Конструктивна логика, Комбинаторна логика, Логика на класовете, Логическо смятане, Модална логика и лит. с тези статии. А. Марков. Москва.

Едно от имената на съвременната логика, което дойде във втората. етаж. 19 рано 20-ти век вместо традиционната логика. Терминът символна логика се използва и като друго наименование на съвременния етап в развитието на науката логика. Определение…… Философска енциклопедия

математическа логика- СИМВОЛНА ЛОГИКА, математическа логика, теоретична логика, област на логиката, в която логическите заключения се изследват с помощта на логическо смятане, базирано на строг символичен език. Терминът Л. С." явно беше за първи път...... Енциклопедия на епистемологията и философията на науката

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- Нарича се още символична логика. М. л. това е същата аристотелова силогистична логика, но само тромавите словесни заключения са заменени в нея с математически символи. Така се постига, първо, краткост, второ, яснота, в ... ... Енциклопедия на културологията

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- МАТЕМАТИЧЕСКА логика, дедуктивна логика, използваща математически методи за изследване на начините на разсъждение (изводи); математическа теория на дедуктивните начини на разсъждение ... Съвременна енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- дедуктивна логика, включително математически методи за изследване на методите на разсъждение (заключения); математическа теория на дедуктивните методи на разсъждение. Математическата логика се нарича още логиката, използвана в математиката ... Голям енциклопедичен речник

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- (символна логика), аналитичен раздел на логиката, резултат от прилагането на математически методи към проблеми на класическата логика. Разглежда понятия, които могат да бъдат верни или неверни, връзката между понятията и действието им, включително ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- един от водещите раздели на съвременната логика и математика. Образуваният през 1920 г. чл. като реализация на идеята за възможността да се запишат всички първоначални предположения на езика на знаците, подобни на математическите, и по този начин да се заменят разсъжденията с изчисления. ... ... Най-новият философски речник

математическа логика- съществително име, брой синоними: 1 логистика (9) ASIS синонимен речник. В.Н. Тришин. 2013 ... Речник на синонимите

математическа логика- - Телекомуникационни теми, основни понятия на EN математическата логика ... Наръчник за технически преводач

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- теоретична логика, символна логика, клон на математиката, посветен на изучаването на математиката. доказателства и въпроси на основите на математиката. Исторически очерк. Идеята за изграждане на универсален език за цялата математика и формализация, базирана на ... ... Математическа енциклопедия

Книги

• Математическа логика, Ершов Юрий Леонидович, Палютин Евгений Андреевич. Книгата очертава основните класически изчисления на математическата логика: пропозиционалното смятане и смятането на предикатите; има обобщение на основните концепции на теорията на множествата и теорията ... Купете за 1447 UAH (само Украйна)
• Математическа логика, Й. Л. Ершов Книгата очертава основните класически изчисления на математическата логика: пропозиционално смятане и смятане на предикати; има обобщение на основните понятия на теорията на множествата и теорията ...

Математическата логика, подобно на класическата логика, изследва процесите на умозаключение и позволява да се правят изводи от истинността на някои съждения относно истинността или неистинността на други, независимо от тяхното конкретно съдържание. Използването на математически методи в логиката (алгебризация на логиката и конструиране на логически изчисления) доведе до развитието на нова област на математиката, наречена "Математическа логика". Основната задача на математическата логика е формализирането на знанията и разсъжденията. Математиката е наука, в която всички твърдения се доказват с помощта на изводи, така че математическата логика по същество е наука за математиката.

Математическата логика предостави средствата за изграждане на логически теории и изчислителния апарат за решаване на проблеми. Математическата логика и теорията на алгоритмите са намерили широко приложение в различни области на научните изследвания и технологиите (например в теорията на автоматите, в лингвистиката, в теорията на релейно-контактните вериги, в икономическите изследвания, в компютърните технологии, в информационни системи и др.). Основните понятия на математическата логика са в основата на нейните приложения като бази данни, експертни системи и системи за логическо програмиране. Същите концепции стават методологична основа за описание на анализа и моделирането на автоматизирано интегрирано производство.

Въпросите, изучавани от математическата логика, могат да се разглеждат както чрез семантичната (семантичната) теория, която се основава на концепцията за алгебра, така и на формалната аксиоматична (синтактична) теория, основана на концепцията за логическо смятане. Този курс разглежда и двата подхода, като се започне с пропозиционална алгебра, която след това се обобщава до предикатна алгебра, като и двата служат за разбиране на конструкцията на логически изчисления и техните специални случаи: пропозиционално смятане и предикатно смятане.

Раздел I. Пропозиционална алгебра

Пропозиционалната алгебра може да се разглежда като превод на друг (алгебричен) език на резултатите, научени в раздела „Булеви функции“, използвайки функционалния език. При функционалния подход всяка от логическите операции и формули се свързва с определена двузначна функция. В алгебричния подход логическите операции се интерпретират като алгебрични, действащи върху набор от два елемента.

1. Изявления и операции върху тях. Формули

казвайки се нарича всяко твърдение, за което е възможно да се каже съвсем определено и обективно дали е вярно или невярно.

Например твърдението „2 > 0“ е твърдение и е вярно, а твърдението „2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Правете разлика между прости и сложни изявления, едно изявление се нарича просто, ако никоя част от него не е изявление. Простите твърдения ще бъдат обозначени с начални главни букви на латинската азбука A, B, C или A 1 , A 2 , . . .. Съставните твърдения се характеризират с това, че се образуват от няколко прости твърдения с помощта на логически операции, т.е. са формули на пропозиционалната алгебра.

Спомнете си, че алгебрична структура или алгебра е структура, образувана от определено множество заедно с въведените върху него операции. Нека дефинираме алгебрата на предложенията.

Означаваме с б = (0, 1) е множеството от твърдения. Дефинираме операции върху множеството б .

Отричане твърдение A се нарича твърдение, което се оценява на вярно, ако A е невярно, и обратно. Отрицанието се означава с (A) и е унарна операция.

Нека A и B са някои твърдения, въвеждаме двоични операции върху тях.

съчетание твърдения A и B се нарича твърдение, което приема стойността true тогава и само ако и двете твърдения A и B са верни.Конюнкцията се обозначава - A B (AB).

дизюнкция твърдения A и B се нарича твърдение, което приема стойността true, ако поне едно от твърденията A или B е вярно.Дизюнкцията се обозначава - A b.

внушение твърдения A и B се нарича твърдение, което се оценява на невярно, ако и само ако A е вярно и B е невярно. Наричано AB.

Еквивалентност на твърдения A и B се нарича твърдение, което се оценява на вярно тогава и само ако твърдения A и B имат една и съща стойност. Обозначение на операцията - АВ (АВ).

Логическите операции също се дефинират с помощта на таблици, наречени таблици на истината . Представяме обобщена таблица на истинност за всички въведени логически операции.

Пропозиционална (пропозиционална) променлива Извиква се променлива, чиито стойности са прости предложения. Означете пропозиционалните променливи с х 1 , х 2 , . . . , х н .

Понятието формула на пропозиционална алгебра се въвежда чрез индукция. Формули на пропозиционалната алгебра са:

1) логически константи 0 и 1;

2) пропозиционални променливи;

3) ако АИ В -формули, след това всеки от изразите ( а), (а) (IN), (а) (IN), (а) (IN), (А) ~ (IN) е формула;

4) формули, различни от тези, конструирани съгласно параграфи. 1) - 3), не.

Означаваме с М е множеството от всички формули на пропозиционалната алгебра, М е затворен при логически операции.

За формулата, конструирана по т. 3 от формулата АИ бсе наричат ​​подформули. Броят на скобите във формулата може да бъде намален Редът, в който се изпълняват операциите във формулата се определя от техния приоритет. Списък с логически операции в низходящ ред на приоритет:
~. Промяната на реда на операциите, както при алгебричните операции, се извършва с помощта на скоби.

Позволявам U – формула над пропозиционални променливи х 1 , х 2 , . . . , х н, означено U(х 1 , х 2 , . . . , х н). Набор от конкретни стойности на пропозиционални променливи х 1 , х 2 , . . . , х нсе нарича интерпретация на формулата Uи означено аз(U).

Формулата се нарича изпълнимо , ако има такъв набор от променливи стойности, за които тази формула приема стойност 1 (има интерпретация аз(U), на който формулата е вярна).

Формулата се нарича опровержимо , ако има такъв набор от променливи стойности, за които тази формула приема стойност 0 (има интерпретация аз(U), на който формулата е невярна).

Формулата се нарича идентично вярно (TI-формула) или тавтология , ако тази формула приема стойност 1 за всички набори от стойности на променливи (формулата е вярна при всички интерпретации).

Формулата се нарича идентично невярно (TL-формула) или противоречие ако тази формула приема стойност 0 за всички набори от стойности на променливи (формулата е невярна при всички интерпретации).

Формули АИ INНаречен еквивалентен (означено А  IN), ако за всякакви стойности на пропозиционални променливи стойността на формулата Асъответства на стойността на формулата IN.

Задачите за определяне на еквивалентността, изпълнимостта, опровержението, идентичната истина и неистинността на формулите могат да бъдат решени с помощта на изграждането на таблици на истината, но има по-малко тромави начини за решаване на тези проблеми.

Въведение

Въпроси за проучване:

Понятия и дефиниции на математическата логика.

Основни операции на пропозиционалната алгебра.

Закони и следствия от булевата алгебра.

Заключение

Въведение

Теоретичната основа за изграждането на компютри са специалните математически дисциплини. Една от тях е алгебрата на логиката или булевата алгебра (J. Boole е английски математик от 19 век, основател на тази дисциплина). Неговият апарат се използва широко за описание на компютърни схеми, тяхното проектиране и оптимизиране.

1. Понятия и дефиниции на математическата логика.

Логики- наука, която изучава законите и формите на мисленето; учението за методите на разсъждението и доказателствата.

Математическата логика (теоретична логика, символна логика) е клон на математиката, който изучава доказателствата и въпросите на основите на математиката. „Предметът на съвременната математическа логика е разнообразен.“ Според определението на П. С. Порецки „математическата логика е логика по предмет, математика по метод“. Според определението на Н. И. Кондаков, „математическата логика е вторият, след традиционната логика, етап в развитието на формалната логика, прилагайки математически методи и специален апарат от символи и изследвайки мисленето с помощта на смятане (формализирани езици).“ Това определение съответства на определението на S. K. Kleene: математическата логика е „логиката, разработена с помощта на математически методи“. Също така А. А. Марков определя съвременната логика като „точна наука, която прилага математически методи“. Всички тези определения не си противоречат, а се допълват.

Използването на математически методи в логиката става възможно, когато преценките са формулирани на някакъв точен език. Такива точни езици имат две страни: синтаксис и семантика. Синтаксисът е набор от правила за конструиране на езикови обекти (обикновено наричани формули). Семантиката е набор от конвенции, които описват разбирането ни за формулите (или някои от тях) и ни позволяват да считаме някои формули за верни, а други не.

Математическата логика изучава лежащите в основата логически връзки и отношения логическо (дедуктивно) заключение, използвайки езика на математиката.

Законите на света, същността на обектите, общото в тях, ние научаваме чрез абстрактното мислене. Основните форми на абстрактното мислене са понятията, съжденията и изводите.

концепция- форма на мислене, която отразява съществените характеристики на отделен обект или клас от еднородни обекти. Понятията в езика се изразяват с думи.

Обхватът на понятието- набор от обекти, всеки от които има атрибути, които съставляват съдържанието на понятието. Разграничават се понятията общо и единично.

По обем се разграничават следните отношения на понятия:

идентичностили съвпадение на обемите, което означава, че обемът на едно понятие е равен на обема на друго понятие;

субординацияили включване на обеми: обемът на едно от понятията се включва изцяло в обема на другото;

изключениетомове - случай, в който няма нито една особеност, която да е в два тома;

кръстовищеили частично съвпадение на обемите;

субординацияобеми - случаят, когато обемите на две концепции, изключващи се взаимно, са включени в обема на третото.

присъда- това е форма на мислене, в която се утвърждава или отрича нещо за обекти, знаци или техните отношения.

умозаключение- форма на мислене, чрез която от едно или повече съждения, наречени предпоставки, ние, съгласно определени правила за умозаключение, получаваме съждение-заключение.

Алгебрав широкия смисъл на думата, наука за общи операции, подобни на събиране и умножение, които могат да се извършват не само върху числа, но и върху други математически обекти.

Алгебра на логиката (пропозиционална алгебра, булева алгебра 1 ) - клон на математическата логика, който изучава логически операции върху твърдения. Най-често се приема (т.нар. бинарна или двоична логика, за разлика например от троичната логика), че твърденията могат да бъдат само верни или неверни.

Примери за алгебри: алгебра на естествените числа, алгебра на рационалните числа, алгебра на полиномите, алгебра на векторите, алгебра на матриците, алгебра на множествата и др. Обектите на алгебрата на логиката или булевата алгебра са предложения.

изявление- това е всяко изречение на всеки език (изявление), чието съдържание може да бъде определено като вярно или невярно.

Всяко изявление или вярно, или невярно; не може и двете едновременно.

В естествения език изказванията се изразяват в декларативни изречения. Възклицателните и въпросителните изречения не са твърдения.

Изявленията могат да бъдат изразени с помощта на математически, физически, химични и други знаци. От два числови израза могат да се направят твърдения, като се свържат със знаци за равенство или неравенство.

Изявлението се нарича просто(елементарно), ако никоя част от него сама по себе си не е твърдение.

Твърдение, съставено от прости твърдения, се нарича композитен(труден).

Простите твърдения в алгебрата на логиката се означават с главни латински букви:

А= (Аристотел е основателят на логиката),

IN= (Бананите растат на ябълкови дървета).

Обосноваването на истинността или неистинността на прости твърдения се решава извън алгебрата на логиката. Например истинността или неистинността на твърдението: „Сборът от ъглите на триъгълника е 180 градуса“ се установява от геометрията и – в геометрията на Евклид това твърдение е вярно, а в геометрията на Лобачевски е невярно.

На вярно твърдение се присвоява 1, на грешно - 0. По този начин, А = 1, IN = 0.

Алгебрата на логиката се абстрахира от семантичното съдържание на твърденията. Тя се интересува само от един факт - даденото твърдение е вярно или невярно, което дава възможност да се определи истинността или неистинността на съставните твърдения чрез алгебрични методи.