Неврология 

Задачи, които не се решават с пергел и линийка. Конструкция с пергел и линийка


Тази статия е написана въз основа на материали от един от разделите на книгата „Програмиране в Python“ от Седжуик, Уейн и Дондеро, която вече беше спомената по-рано. Този раздел се нарича „Системи от итеративни функции“ и описва изграждането на различни изображения, като триъгълника на Серпински, папрата от Барнсли и някои други, като се използва доста прост алгоритъм, който освен това е лесен за изпълнение.

Ще започна с описание на този алгоритъм. Ще използвам математическа терминология, включително тази, която авторите на книгата не използват в хода на разказа си. Чисто математическият поглед върху алгоритмите ме улеснява да ги разбирам и ми е доста удобно да ги изразя с помощта на математически език.

Така че, за да разбере теоретичната част на статията, читателят ще се нуждае от познания по някои клонове на математиката, които обикновено се преподават в техническите университети. А именно би било полезно да се запознаете с теорията на вероятностите и елементите на математическия анализ.

Теоретичната част на статията ще бъде последвана от практическа, описваща изпълнението на алгоритъма на езика C99. Тъй като резултатите от програмата ще бъдат изображения, ще използваме графичната библиотека pgraph в програмата, ако приемем, че читателят е поне като цяло запознат с нея.

И така, нека да преминем към теоретичната част от нашата история.

Итеративни функции и произволни последователности

Преди да очертаем схемата, по която ще бъдат изградени изображенията, нека поговорим за последователности, чиито членове се изчисляват с помощта на повтарящи се формули.

Нека дефинираме 2 последователности, x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞, като използваме следните рекурентни формули:

X n = f x n - 1, y n - 1, n ∈ ℕ, y n = g x n - 1, y n - 1, n ∈ ℕ.

Нека обясним това х 0 и г 0 са някои предварително дефинирани числа и f(х, г) И ж(х, г) са някои функции на две променливи, наречени итеративен. Процесът на изчисляване на следващия член на определена последователност чрез такива функции ще бъде извикан итерации, а горният набор от повтарящи се формули е итеративна схема.

Рекурсивният метод за определяне на последователности най-вероятно е познат на читателя, ако е учил математика в университет. „Кръстосаният“ метод за изчисляване на членове на последователности може да изглежда малко необичаен, в който да се изчисли н-терминът на всяка от двете последователности е необходим не само н− 1-ви член на същата редица, но също н− 1-вият член е различен.

Сега нека разгледаме схема за конструиране на членове на две последователности, използвайки не една двойка итеративни функции, а мпара. Всяка от тези функции ще бъде линейна и в двете променливи и също така ще съдържа допълнителна константа. По-конкретно, функциите ще изглеждат така:

F k x, y = a k x + b k y + c k g k x, y = d k x + e k y + h k, k = 0, 1, …, m - 1.

За всеки н, започвайки от 1, число от 0 до м− 1, а при пресмятане x nИ y nрекурентните формули ще използват двойка итеративни функции, чиито индекси са равни на даденото произволно число. Имайте предвид, че произволните числа, които се „появяват“ преди всяка итерация, не трябва да са еднакво вероятни. Въпреки това, за различни стъпки вероятността да се появи определено фиксирано число е една и съща.

Нека сега формулираме казаното на строг математически език. Нека разгледаме поредица от дискретни, колективно независими случайни променливи T n = 1 ∞ , разпределени по същия закон. А именно: всяка случайна променлива приема стойности 0, 1, ..., м− 1 със съответните вероятности стр 0 , стр 1 , …, стр м-1 .

Сега дефинираме последователностите x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞, като използваме следната итеративна схема:

X n = f T n x n-1, y n-1, n ∈ ℕ, y n = g T n x n-1, y n-1, n ∈ ℕ.

Както по-рано, х 0 и г 0 са някои предварително дефинирани числа.

По този начин всяка от последователностите е случайна, т.е. нейните членове са случайни променливи. Въпреки това, всяка от тези последователности може да бъде „реализирана“, тоест всички нейни членове могат да бъдат изчислени (разбира се, ще има безкраен брой такива реализации).

Нека си зададем основния въпрос на този раздел. Какво общо имат изображенията, които ще конструираме, с тази двойка произволни последователности? Много просто. Нека изградим реализация на тези две последователности. За всеки естествен ндвойка ( x n, y n) могат да се разглеждат като координати на точка, определена в декартова правоъгълна координатна система в равнина. И така, изображението, съответстващо на определена двойка реализирани последователности, представлява геометричното местоположение на всички такива точки в равнината.

Изглежда, че за всяка реализация на двойка последователности ще получим собствен образ, различен от останалите. Въпреки това, парадоксално, получените изображения ще бъдат практически идентични всеки път (тоест, когато са конструирани на компютър, те ще бъдат неразличими за човешкото око). И с подходящия подбор на итерационни функции и закони за разпределение на случайни променливи, участващи във формирането на членове на последователност, могат да бъдат създадени много интересни модели.

Нека добавим, че когато конструираме изображения на компютър, ние, разбира се, ще извършим само краен (но доста голям) брой итерации.

Относно генерирането на псевдослучайни числа

Когато пишем програма, ще се сблъскаме с необходимостта да генерираме псевдослучайни числа, които най-общо казано не са разпределени равномерно, а по предварително зададен закон. В същото време ще имаме само софтуерен генератор на псевдослучайни числа, равномерно разпределени в интервала. Как да вземем първото от второто разпределение?

Нека преведем проблема в математическа равнина. Нека има непрекъсната случайна променлива U, разпределени равномерно върху отсечката . Нека си поставим за цел да конструираме дискретна случайна променлива Tкато функция на U, По начина, по който Tвзе стойностите 0, 1, …, м− 1 със съответните вероятности стр 0 , стр 1 , …, стр м-1 .

Решаването на проблема е съвсем просто. Нека въведем сумите на вероятностите в разглеждане

s k = ∑ i = 0 k - 1 p i , k = 0 , 1 , … , m - 1 .

Ако горната граница на сумиране над азе по-малко от по-ниското, тогава по дефиниция ще приемем, че такава сума е равна на 0.

Tнека го изразим чрез Uпо следния начин:

T = 0, ако U ∈ s 0, s 1, 1, ако U ∈ s 1, s 2, 2, ако U ∈ s 2, s 3, … … … … … …, … … … … … …, m - 1, ако U ∈ s m - 1, 1.

Очевидно случайна променлива Tразпределени според закона, който изискваме. Имайте предвид, че всъщност T- това е номерът на интервала, в който попада случайната променлива U(при условие, че номерираме интервалите с числа от 0 до м− 1 във възходящ ред на левите им граници).

От практическа гледна точка, полученият резултат позволява на всяка стъпка на итерация да се вземе като брой на итерационните функции номера на интервала, в който числото, генерирано от сензора на псевдослучайни числа, равномерно разпределени на сегмента, пада.

Сега можете да преминете към писане на програмата.

Структура на програмата

Програмата се състои от файла main.c и файловете, които съставляват графичната библиотека pgraph. Съдържанието на файла main.c започва със следната директива, която включва графичната библиотека:

#включете "pgraph.h"

Файлът по-долу съдържа описания на глобални постоянни променливи и постоянни масиви. Зад тях са дефинициите на функциите get_random_value() и main(). Първият от тях генерира псевдослучайни числа, а вторият върши основната работа по конструирането на изображения.

Глобални постоянни променливи и постоянни масиви

Цялата информация, необходима за конструиране на конкретно изображение, се съдържа в глобални постоянни променливи и постоянни масиви. Разбира се, за всяко изображение наборът от стойности на константите и елементите на постоянните масиви ще бъде „собствен“.

По-долу са описания на тези константи и масиви.

  • n - брой повторения;
  • w - ширина на изображението в пиксели;
  • h - височина на изображението в пиксели;
  • xc - абсцисата на началото на новата координатна система в старата система;
  • yc - ордината на началото на новата координатна система в старата система;
  • l е дължината в пиксели на сегмент, успореден на една от координатните оси, който има единична дължина в новата координатна система;
  • m е броят на двойките итеративни функции, т.е м;
  • s - едномерен масив от размер м, съдържащ сумите на вероятностите на случайни променливи Tn (кЕлементът от масива съдържа s k);
  • f е двумерен масив, състоящ се от м fk(х, гк, 0), (к, 1), (к, 2) съдържат числа a k, b k, c kсъответно, където 0 ≤ к ≤ м − 1);
  • g е двуизмерен масив, състоящ се от м"редове" и 3 "колони", съдържащи константи, участващи във функции g k(х, г) (елементи на масив с индекси ( к, 0), (к, 1), (к, 2) съдържат числа dk, e k, з ксъответно, където 0 ≤ к ≤ м − 1).

Всички променливи са от тип int, а основният тип на всички масиви е double.

Нека поясним, че „старата“ координатна система означава тази, дефинирана в pgraph библиотеката. Всички изображения ще бъдат конструирани в нова система, получена от старата чрез паралелен трансфер (отместванията по абсцисната и ординатната ос са равни, съответно x cИ y c) и "компресия" в лведнъж. Така точка с координати в новата система ( х, г), в стария ще има координати ( х л + x c, y l + y c). Мисля, че е излишно да обяснявам какъв вид съхранение на числа x c, y cИ лпостоянните променливи xc, yc и l са отговорни съответно.

За съхраняване на числа х 0 и г 0 променливи не са маркирани, тъй като във всички случаи на конструиране на изображения като тези числа се вземат нули.

Генериране на псевдослучайни числа: функция get_random_value().

Функцията get_random_value() генерира псевдослучайно цяло число в диапазона от 0 до м− 1 в съответствие с описаната по-горе схема. Ето кода за тази функция:

1. int get_random_value() 2. { 3. двойно r = (двойно) rand() / RAND_MAX; 4. int c = 1; 5. докато (s[c]< r && ++c < m) 6. ; 7. връщане c - 1 ; 8. }

Използвайки стандартната библиотечна функция rand(), получаваме псевдослучайно число в диапазона от 0 до стойността на макроса RAND_MAX, разделяме резултата на тази стойност и присвояваме частното на променливата r (стр. 3). Сега r съхранява число, принадлежащо на сегмента. Може приблизително да се счита за стойността на случайна променлива, равномерно разпределена в този сегмент.

Нека обясним, че стойността на макроса RAND_MAX в нашия случай (т.е. в случай на използване на компилатор MinGW64 версия 4.9.2 за 64-битови системи) е 32767.

Сега, използвайки линейно търсене с помощта на цикъл while, ние търсим индекса на най-големия елемент от масива s, който не е по-голям от стойността на r, увеличена с единица, и го съхраняваме в променливата c (вижте страници 4-6 ). Обърнете внимание, че ако стойността на r е нула, цикълът не се изпълнява нито веднъж и променливата c запазва стойността си единица (вижте страница 4).

Стойността, върната от функцията, може приблизително да се разглежда като стойност на случайна променлива Tописан в раздела, споменат по-горе.

Генериране на изображение: функция main().

А ето и кода за функцията main():

1. int main() 2. { 3. изображение *img = create_image(w, h); 4. двойно x = 0, y = 0; 5. за (int i = 0; i< n; i++) 6. { 7. int r = get_random_value(); 8. двойно x1 = f[r] * x + f[r] * y + f[r]; 9. двойно y1 = g[r] * x + g[r] * y + g[r]; 10. x = x1; 11. y = y1; 12. set_color(img, кръгъл(x * l) + xc, кръгъл(y * l) + yc, ЧЕРЕН); 13. } 14. save_to_file(img, "out.bmp"); 15.безплатно(img); 16. върнете 0; 17. }

Създаваме изображение с дадените размери (стр. 3). Разпределяне на памет за променливи хИ г, в който ще се съхраняват текущите членове на последователностите, и ги инициализирайте до нула (стр. 4). Нека ви напомня, че като числа х 0 и г 0, участващи в изчисляването на първите членове на всяка от последователностите, се вземат нули.

Ние изчисляваме първите в for цикъла нчленове на всяка последователност (стр. 5-13). Първо получаваме псевдослучайно число и го записваме в r (стр. 7). След това изчисляваме текущите стойности на членовете на двете последователности, като ги поставяме във временни променливи x1 и y1 (страници 8, ​​9). Когато изчисляваме, използваме константи, които се появяват в итерационни функции и се съхраняват в масиви f и g. Изборът на една или друга двойка набори от коефициенти (и следователно двойка итеративни функции) зависи от стойността на r, която се използва като първи индекси на елементите на масива, включени в изчисленията.

Пренаписваме изчислените текущи стойности в променливите x и y (страници 10, 11). Координатите на точката, съдържащи се в тези променливи, се преобразуват в координатите на оригиналната координатна система, закръглени до цели числа, и точката с получените координати се нанася върху изображението в черно (стр. 12).

След завършване на цикъла запишете генерираното изображение във файла “out.bmp” (стр. 14) и освободете паметта, заета от изображението (стр. 15). Това завършва функцията.

Построяване на изображение на триъгълника на Серпински

Триъгълникът на Серпински е набор от точки, получени от всички точки на някакъв оригинален равностранен триъгълник, както следва. Триъгълникът е разделен с три средни линии на 4 триъгълника, след което "централният" триъгълник се премахва. След това същата операция се извършва с всеки от останалите три равностранни триъгълника. Накрая правим същото с получените девет равностранни триъгълника.

Продължавайки описаните операции ad infinitum, в крайна сметка премахваме от оригиналния триъгълник безкраен брой равностранни триъгълници, сумата от площите на които е равна на площта на оригиналния. Останалите точки образуват права, наречена Триъгълник на Сиерпински, което играе важна роля в теорията на множествата.

Книгата на Седжуик и други автори предлага следния метод за конструиране на изображение на триъгълника на Серпински. Помислете за 3 точки на равнината, които са върховете на равностранен триъгълник, например точки с координати 0, 0, 0, 1, 1/2, 3/2 в декартовата правоъгълна координатна система. Избираме произволно (с равни вероятности) един от трите върха на триъгълника и построяваме точка, разделяща отсечката, свързваща върха с координати 0, 0 и произволно избрания връх наполовина. Това е първата точка от нашия образ.

Горният алгоритъм може да бъде поставен в описаната по-горе схема за генериране на изображения, като се използват произволни последователности и итеративни функции.

Ще ни трябват 3 двойки итеративни функции. Техните индекси 0, 1, 2 трябва да бъдат избрани съответно с вероятности 1/3, 1/3, 1/3. Самите итерационни функции са дадени по-долу.

F 0 x, y = 1/2 x, g 0 x, y = 1/2 y, f 1 x, y = 1/2 x + 1/2, g 1 x, y = 1/2 y, f 2 x, y = 1/2 x + 1/4, g 2 x, y = 1/2 y + 3/4.

Сега нека вмъкнем в нашата програма описания на глобални постоянни променливи и постоянни масиви, съответстващи на тези вероятности и тези итеративни функции. Но първо, нека дефинираме макроса TRIANGLE, като поставим следната инструкция във файла main.c след израза #include

#define ТРИЪГЪЛНИК

След инструкциите поставете следния код във файла:

//Триъгълник на Серпински #ifdef ТРИЪГЪЛНИК const int n = 100000; //брой итерации const int w = 620, h = 550; //размери на изображението const int xc = 10, yc = 10; //координати на началото на новата координатна система в старата const int l = 600; //коефициент на компресия const int m = 3; //брой двойки итеративни функции const двойно s = (0, 0.3333333, 0.6666667); // масив от вероятностни суми const двойно f = ((0.5 , 0.0 , 0.0 ), //масив от коефициенти за функции f(x,y), {0.5 , 0.0 , 0.5 }, // участва в изчисленията x {0.5 , 0.0 , 0.25 }}; const двойно g = ((0.0 , 0.5 , 0.0 ), //масив от коефициенти за функции g(x,y), {0.0 , 0.5 , 0.0 }, // участва в изчисленията y {0.0 , 0.5 , 0.4330127 }}; #endif

Даденият кодов фрагмент (без директиви за препроцесор) ще бъде компилиран само ако макросът TRIANGLE е дефиниран (и той е дефиниран). Разбира се, ние закръглихме константи, които могат да бъдат представени само с помощта на безкрайни десетични дроби (рационални или ирационални).

В резултат на компилирането и изпълнението на програмата в главната директория на изпълнимия файл се появява графичен файл out.bmp, съдържащ следното изображение:

Конструиране на изображение на папрат от Барнсли

Следващото изображение, чиято конструкция е описана в книгата на Седжуик и други, е това на Папрат от Барнсли. Сега ще ни трябват 4 двойки итеративни функции. Техните индекси 0, 1, 2, 3 ще бъдат избрани съответно с вероятности 0.01, 0.85, 0.07, 0.07. А ето и самите итерационни функции:

F 0 x, y = 0,5, g 0 x, y = 0, 16 y, f 1 x, y = 0,85 x + 0,04 y + 0,075, g 1 x, y = - 0, 04 x + 0, 85 y + 0, 18, f 2 x, y = 0, 2 x - 0, 26 y + 0, 4, g 2 x, y = 0, 23 x + 0, 22 y + 0, 045, f 3 x, y = - 0,15 x + 0,28 y + 0,575, g 3 x, y = 0,26 x + 0,24 y - 0,086.

Сега правим промени в програмата. Инструкцията #define се заменя с инструкцията

#define ПАПРАТ

И след блока #ifdef поставяме следния кодов фрагмент:

//Папрат от Барнсли #ifdef ПАПРАТ const int n = 100000; const int l = 600; const int m = 4; const double s = (0, 0,01, 0,86, 0,93); const двойно f = ((0.0 , 0.0 , 0.5 ), {0.85 , 0.04 , 0.075 }, {0.2 , -0.26 , 0.4 }, {-0.15 , 0.28 , 0.575 }}; const двойно g = ((0.0 , 0.16 , 0.0 ), {-0.04 , 0.85 , 0.18 }, {0.23 , 0.22 , 0.045 }, {0.26 , 0.24 , -0.086 }}; #endif

Резултатът от компилирането и стартирането на програмата е следното изображение:

Изграждане на изображение на дърво

Сега нека изградим това, което Седжуик и други наричат ​​"дърво" в книгата, въпреки че това, което е показано, е по-скоро като колекция от дървета с различни размери. Този път в процеса на итерация ще участват 6 двойки итерационни функции. Техните индекси 0, 1, 2, 3, 4, 5 ще бъдат избрани съответно с вероятности 0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2. Това са функциите:

F 0 x, y = 0,55, g 0 x, y = 0,6 y, f 1 x, y = - 0,05 x + 0,525, g 1 x, y = - 0,5 x + 0, 75, f 2 x, y = 0 , 46 x - 0 , 15 y + 0 , 27 , g 2 x , y = 0 , 39 x + 0 , 38 y + 0 , 105 , f 3 x , y = 0 , 47 x - 0 , 15 y + 0 , 265 , g 3 x , y = 0 , 17 x + 0 , 42 y + 0 , 465 , f 4 x , y = 0 , 43 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 4 x , y = - 0, 25 x + 0, 45 y + 0, 625, f 5 x, y = 0, 42 x + 0, 26 y + 0, 29, g 5 x, y = - 0,35 x + 0,31 y + 0,525.

#define ДЪРВО

След последния блок #ifdef вмъкваме следния код:

//Дърво #ifdef ДЪРВО const int n = 100000; const int w = 620, h = 620; const int xc = 0, yc = 10; const int l = 600; const int m = 6; const double s = (0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8); const двойно f = ((0.0 , 0.0 , 0.55 ), {-0.05 , 0.0 , 0.525 }, {0.46 , -0.15 , 0.27 }, {0.47 , -0.15 , 0.265 }, {0.43 , 0.26 , 0.29 }, {0.42 , 0.26 , 0.29 }}; const двойно g = ((0.0 , 0.6 , 0.0 ), {-0.5 , 0.0 , 0.75 }, {0.39 , 0.38 , 0.105 }, {0.17 , 0.42 , 0.465 }, {-0.25 , 0.45 , 0.625 }, {-0.35 , 0.31 , 0.525 }}; #endif

Резултатът от компилираната програма е изображението по-долу:

Последното изображение, което ще изградим, ръководейки се от книгата на Седжуик, е изображение на корал. Ще ни трябват 3 двойки итеративни функции. Техните индекси 0, 1, 2 ще бъдат избрани с вероятности съответно 0.4, 0.15, 0.45. Итерационните функции са дадени по-долу.

F 0 x, y = 0, 3077 x - 0, 5315 y + 0, 8863, g 0 x, y = - 0, 4615 x - 0, 2937 y + 1, 0962, f 1 x, y = 0, 3077 x - 0, 0769 y + 0, 2166, g 1 x, y = 0, 1538 x - 0, 4476 y + 0, 3384, f 2 x, y = 0, 5455 y + 0, 0106, g 2 x, y = 0,6923 x - 0,1958 y + 0,3808.

Заменете инструкцията #define с инструкцията

#define CORAL

След последния блок #ifdef вмъкваме нов блок:

//Корал #ifdef КОРАЛ const int n = 100000; const int w = 620, h = 620; const int xc = 10, yc = 10; const int l = 600; const int m = 3; const double s = (0, 0.4, 0.55); const двойно f = ((0,3077, -0,5315, 0,8863), {0.3077 , -0.0769 , 0.2166 }, {0.0 , 0.5455 , 0.0106 }}; const двойно g = ((-0,4615, -0,2937, 1,0962), {0.1538 , -0.4476 , 0.3384 }, {0.6923 , -0.1958 , 0.3808 }}; #endif

Това е изображението, което получаваме в резултат на компилирането и изпълнението на програмата:

Заключение

Не знам за вас, но за мен беше интересно да гледам как набори от математически формули се „превръщат“ в много забавни изображения. Това, което също ме учудва, е, че тези, които измислиха всичко това, успяха да изберат вероятностите и константите, включени в итерационните функции, по такъв начин, че да постигнат такива невероятни картини! Методът за избор на всички тези числа (с изключение на случая с триъгълника на Серпински) ми е напълно непонятен!

Отбелязвам, че съдейки по изображенията, триъгълникът на Серпински и папратът от Барнсли са фрактали. Най-вероятно същото може да се каже за „дърво“ и „корал“, но тяхната фрактална природа може би е малко по-малко очевидна.

От връзката по-долу, както винаги, можете да изтеглите изходния код на програмата, разгледана в статията. Има четири оператора #define в main.c, всеки от които съответства на едно от четирите изображения. Три от тях са коментирани. Ясно е, че преминаването от едно изображение към друго изисква да коментирате некоментираното твърдение и да разкоментирате едно от коментираните. Е, разбирате...

И с помощта на прост алгоритъм можете да гарантирате, че изображенията, обсъждани в статията, плавно се „преобразуват“ едно в друго. Но това е тема за отделна статия.

В задачите за конструиране ще разгледаме построяването на геометрична фигура, което може да се направи с линийка и пергел.

С помощта на линийка можете:

    произволна права линия;

    произволна права, минаваща през дадена точка;

    права, минаваща през две дадени точки.

С помощта на компас можете да опишете окръжност с даден радиус от даден център.

С помощта на компас можете да начертаете отсечка на дадена линия от дадена точка.

Нека разгледаме основните строителни задачи.

Задача 1.Построете триъгълник с дадени страни a, b, c (фиг. 1).

Решение. С помощта на линийка начертайте произволна права линия и върху нея вземете произволна точка B. С помощта на пергел, равен на a, описваме окръжност с център B и радиус a. Нека C е точката на нейното пресичане с правата. С отвор на компаса, равен на c, описваме окръжност от центъра B, а с отвор на компаса, равен на b, описваме окръжност от центъра C. Нека A е пресечната точка на тези окръжности. Триъгълник ABC има страни, равни на a, b, c.

Коментирайте. За да могат три прави отсечки да служат като страни на триъгълник, е необходимо най-голямата от тях да е по-малка от сбора на другите две (и< b + с).

Задача 2.

Решение. Този ъгъл с върха A и лъча OM са показани на фигура 2.

Нека начертаем произволна окръжност с център във върха А на дадения ъгъл. Нека B и C са точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла (фиг. 3, а). С радиус AB начертаваме окръжност с център в точка O - началната точка на този лъч (фиг. 3, b). Нека означим пресечната точка на тази окръжност с този лъч като C 1 . Нека опишем окръжност с център C 1 и радиус BC. Точка B 1 на пресечната точка на две окръжности лежи от страната на желания ъгъл. Това следва от равенството Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (третият знак за равенство на триъгълниците).

Задача 3.Построете ъглополовящата на този ъгъл (фиг. 4).

Решение. От връх A на даден ъгъл, като от центъра, начертаваме окръжност с произволен радиус. Нека B и C са точките на неговото пресичане със страните на ъгъла. От точки B и C описваме окръжности с еднакъв радиус. Нека D е тяхната пресечна точка, различна от A. Лъч AD разполовява ъгъл A. Това следва от равенството Δ ABD = Δ ACD (третият критерий за равенство на триъгълниците).

Задача 4.Начертайте перпендикулярна ъглополовяща към този сегмент (фиг. 5).

Решение. Използвайки произволен, но идентичен отвор на компас (по-голям от 1/2 AB), ние описваме две дъги с центрове в точки A и B, които ще се пресичат в някои точки C и D. Правата CD ще бъде желаният перпендикуляр. Наистина, както се вижда от конструкцията, всяка от точките C и D е еднакво отдалечена от A и B; следователно тези точки трябва да лежат на ъглополовящата на отсечката AB.

Задача 5.Разделете този сегмент наполовина. Решава се по същия начин като задача 4 (виж фиг. 5).

Задача 6.През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права.

Решение. Има два възможни случая:

1) дадена точка O лежи на дадена права a (фиг. 6).

От точка O начертаваме окръжност с произволен радиус, пресичаща права a в точки A и B. От точки A и B начертайте окръжности със същия радиус. Нека O 1 е точката на тяхното пресичане, различна от O. Получаваме OO 1 ⊥ AB. Всъщност точките O и O 1 са на еднакво разстояние от краищата на сегмента AB и следователно лежат на ъглополовящата на този сегмент.

Гръцките геометри се гордееха със своята логическа чистота; обаче, когато става дума за физическото пространство, те са били водени от интуицията. Един аспект на гръцката геометрия, който беше особено повлиян от физически съображения, беше теорията на конструкциите. Голяма част от елементарната геометрия на прави линии и кръгове може да се разглежда като теория на конструкциите с помощта на линийка и компас. Самото име на обекта, линии и кръгове, отразява инструментите, които са използвани за тяхното начертаване. И много от елементарните задачи на геометрията, например разделянето на отсечка или ъгъл наполовина,

конструирането на перпендикуляр или чертането на окръжност през три дадени точки може да бъде решено чрез конструиране с помощта на линийка и пергел.

Когато се въведат координати, не е трудно да се покаже, че точките, които могат да бъдат конструирани от точки, имат координати в набора от числа, създадени от координати чрез операциите и [вижте Muaz (1963) или упражнения за раздел 6.3]. Квадратните корени, разбира се, се появяват поради теоремата на Питагор: ако се начертаят точки, тогава се начертава разстоянието между тях (раздел 1.6 и фигура 2.4). Обратно, възможно е да се конструира за всяка дадена дължина I (упражнение 2.3.2).

Фигура 2.4: Конструиране на разстояние

Ако погледнете от тази гледна точка, тогава конструкциите, използващи линийка и компас, изглеждат много специални и е малко вероятно да дадат такива числа, например. Въпреки това, гърците се опитаха много да решат този конкретен проблем, който беше известен като удвояване на куба (така наречен, защото, за да се удвои обемът на куб, трябва да се умножи страната по. Други прословути проблеми бяха трисекцията на ъгъл и квадратурата на окръжност. Последният проблем включваше конструирането на квадрат, равен по площ на дадена окръжност или конструиране на число, което е равно на същото. те очевидно никога не са се отказали от тези цели, въпреки че са признали възможността за отрицателно решение и са позволили решения чрез по-малко елементарни средства. Ще видим някои от тях в следващите раздели .

Невъзможността за решаване на тези проблеми чрез изграждане с линийка и пергел остава недоказана до деветнадесети век. Що се отнася до удвояването на куба и трисекцията на ъгъла, невъзможността е показана от Wantzel (1837). Заслугата за решаването на тези проблеми, с които най-добрите математици са се борили в продължение на 2000 години, рядко се приписва на Ванцел, може би защото неговите методи са заменени от по-мощната теория на Галоа.

Невъзможността за квадратура на окръжността е доказана от Линдеман (1882) по много строг начин, не само чрез неопределимо рационални операции и квадратни корени; то също е трансцендентално, т.е. не е корен на нито едно полиномно уравнение с рационални коефициенти. Подобно на работата на Wantzel, това беше рядък пример за значим резултат, доказан от второстепенен математик. В случая на Линдеман обяснението може да е

В това важна стъпка вече е била направена, когато Hermite (1873) доказва трансцендентността.Наличните доказателства за двата резултата могат да бъдат намерени в Klein (1924). Последвалата кариера на Линдеман беше математически незабележима, дори смущаваща. В отговор на скептиците, които вярваха, че успехът му е случайност, той се прицели в най-известния нерешен проблем в математиката, последната теорема на Ферма (вижте Глава 11 за произхода на този проблем). Усилията му завършват с неуспех в поредица от неубедителни документи, всяка от които коригира грешка в предишната. Фрич (1984) написа интересна биографична статия за Линдеман.

Материалът в този параграф може да се използва в избираемите часове. Може да се представя пред студенти, както под формата на лекция, така и под формата на студентски доклади.

Проблеми, които са били известни от древни времена като „известни проблеми на древността“, са привличали много внимание в продължение на много векове. Три известни проблема обикновено се появяват под това име:

1) квадратура на кръга,

2) трисекция на ъгъла,

3) удвояване на куба.

Всички тези задачи са възникнали в древността от практическите нужди на хората. На първия етап от тяхното съществуване те действаха като изчислителни проблеми: с помощта на някои „рецепти“ бяха изчислени приблизителните стойности на желаните количества (площ на кръг, обиколка и др.). На втория етап от историята на тези проблеми настъпват значителни промени в тяхната природа: те се превръщат в геометрични (конструктивни) задачи.

В Древна Гърция през този период са им дадени класически формулировки:

1) изградете квадрат, равен по размер на дадения кръг;

2) разделете този ъгъл на три равни части;

3) построете ръб на нов куб, чийто обем би бил два пъти по-голям от дадения куб.

Всички тези геометрични конструкции бяха предложени да се извършват с помощта на компас и владетел.

Простотата на формулирането на тези проблеми и „непреодолимите трудности“, срещани по пътя към решаването им, допринесоха за нарастването на тяхната популярност. В стремежа си да осигурят строги решения на тези проблеми, древногръцките учени „по пътя“ са получили много важни резултати за математиката, които са допринесли за трансформирането на различни математически знания в независима дедуктивна наука (Питагорейците, Хипократ от Хиос и Архимед напускат особено забележим белег по това време).

Проблемът с удвояването на куба.

Проблемът с удвояването на куб е следният: знаейки ръба на даден куб, построете ръб на куб, чийто обем би бил два пъти по-голям от обема на дадения куб.

Нека a е дължината на ръба на даден куб, x е дължината на ръба на желания куб. Нека е обемът на даден куб и е обемът на желания куб, тогава според формулата за изчисляване на обема на куб имаме, че: = и тъй като според условията на задачата ние стигна до уравнението.

От алгебрата е известно, че рационалните корени на даденото уравнение с цели коефициенти могат да бъдат само цели числа и да се съдържат сред делителите на свободния член на уравнението. Но единствените делители на числото 2 са числата +1, - 1, +2, - 2 и нито едно от тях не отговаря на първоначалното уравнение. Следователно уравнението няма рационални корени, което означава, че проблемът с удвояването на куб не може да бъде решен с помощта на пергел и линийка.

Проблемът с удвояването на куб с помощта на пергел и линийка може да бъде решен само приблизително. Ето един от най-простите начини за приблизително решаване на този проблем.

Нека AB=BC=a и ABC. Построяваме AD=AC, след това CD с точност до 1%. Наистина, CD 1.2586... В същото време =1,2599….

Задачата за квадратура на окръжността.

Обосновка на неразрешимостта на проблема с помощта на пергел и линийка.

Задачата за квадратура на кръг е следната: построете квадрат, равен по размер на кръга.

Нека е радиусът на дадения кръг и нека е дължината на страната на желания квадрат. Тогава, от тук.

Следователно проблемът с квадратурата на окръжността ще бъде решен, ако построим сегмент от дължина. Ако радиусът на дадена окръжност се приеме за единична отсечка (=1), тогава въпросът ще се сведе до конструиране на отсечка с дължина от единична отсечка.

Както е известно, знаейки единичен сегмент, можем да използваме пергел и линийка, за да конструираме само онези сегменти, чиито дължини са изразени чрез рационални числа, използвайки краен набор от рационални операции и извличане на квадратни корени и следователно са алгебрични числа. В този случай няма да се използват всички алгебрични числа. Например не можете да конструирате отрязък от дължина и т.н.

През 1882 г. Линдеман доказва, че тя е трансцендентална. От това следва, че е невъзможно да се построи отсечка от дължина с пергел и линийка и следователно с тези средства проблемът с квадратурата на окръжност е неразрешим.

Приблизително решение на задачата с помощта на пергел и линийка.

Нека разгледаме една от техниките за приблизително конструиране на сегменти по дължина. Тази техника е както следва. Една четвърт от окръжността AB с център в точка O и радиус, равен на единица, е разделена наполовина от точка C. Върху продължението на диаметъра CD оставяме отсечка DE, равна на радиуса. От точка E изчертаваме лъчите EA и EB до пресичането им с допирателната в точка C. Отсечената отсечка AB е приблизително равна на дължината на дъгата AB, а удвоената отсечка е равна на полуокръжността.

Относителната грешка на това приближение не надвишава 0,227%.

Проблем с трисекция на ъгъл.

Обосновка на неразрешимостта на проблема с помощта на пергел и линийка.

Проблемът с трисекцията на ъгъла е следният: Разделете този ъгъл на три равни части.

Нека се ограничим до решаването на проблема за ъгли, които не надвишават 90. Ако е тъп ъгъл, тогава =180-, където<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Забележете, че (при наличието на единична отсечка) задачата за построяване на ъгъл (90) е еквивалентна на задачата за построяване на отсечката x=cos. Всъщност, ако ъгълът е конструиран, тогава конструкцията на сегмента x = cos се свежда до конструирането на правоъгълен триъгълник с помощта на хипотенузата и остър ъгъл.

Обратно. Ако се конструира отсечка x, тогава конструирането на ъгъл, така че x = cos, се свежда до конструирането на правоъгълен триъгълник с помощта на хипотенузата и крака.

Нека е дадения ъгъл и е желаният ъгъл, така че =. Тогава cos=cos 3. Известно е, че cos 3= 4cos-3cos. Следователно, приемайки cos = и cos =, стигаме до уравнението:

cos =4cos-3cos,

Отсечка и следователно ъгъл могат да бъдат конструирани само ако това уравнение има поне един рационален корен. Но това не се случва при всички и следователно проблемът с трисекцията на ъгъл, най-общо казано, не може да бъде решен с помощта на пергел и линийка. Например. За =60 получаваме =1 и намереното уравнение приема формата: . Лесно е да се провери, че това уравнение няма рационален корен, което означава, че е невъзможно да се раздели ъгъл от 60 на три равни части с помощта на пергел и линийка. По този начин проблемът за трисекция на ъгъл не може да бъде решен с компас и линийка в общ вид.

Приблизително решение на задачата с помощта на пергел и линийка.

Нека разгледаме един от методите за приблизително решаване на проблема с помощта на компас и линийка, предложен от Алберт Дюрер (1471-1528).

Нека е даден ъгъл ASB. От върха S описваме окръжност с произволен радиус и свързваме пресечните точки на страните на ъгъла с окръжността с хорда AB. Разделяме тази хорда на три равни части в точки R и R (A R = R R = RB). От точки A и B, както от центрове, с радиуси A R = RB описваме дъги, пресичащи окръжността в точки T и T. Нека проведем RSAB. С радиуси A S= BS начертаваме дъги, пресичащи AB в точките U и U. Дъгите AT, SS и TB са равни помежду си, тъй като те се простират от равни хорди.

За да намери точките на трисечение на ъгъла X и X, Дюрер разделя отсечките RU и RU на три равни части с точките PV и PV. След това начертаваме дъги с радиуси AV и BV, които пресичат окръжността в точки X и X. Свързвайки тези точки с S, получаваме разделянето на този ъгъл на три равни части с добро приближение до истинските стойности.

Геометрични конструктивни задачи

Използване на пергел и линийка

Ученик от 8 клас

Ръководител:Москаева В.Н.,

учител по математика

Нижни Новгород

Въведение

Визуализацията и въображението принадлежат повече към изкуството, строгата логика е привилегия на науката. Сухостта на точното заключение и яркостта на визуалната картина - „ледът и огънят не са толкова различни един от друг“. Геометрията съчетава тези две противоположности.

А. Д. Александров

Когато се приготвяме за училище, не забравяме да сложим в куфарчето си пергел, линийка и транспортир. Тези инструменти ви помагат да завършите вашите рисунки правилно и да рисувате красиво. Тези инструменти се използват от инженери, архитекти, работници, дизайнери на дрехи и обувки, строители и ландшафтни дизайнери. Въпреки че има компютри, все още не можете да ги използвате на строителна площадка или в градината.

Машината рисува моментално за секунди. Математикът трябва да отдели доста време, за да обясни на машината на разбираем за машината език какво трябва да направи - да напише програма и да я въведе в машината, така че дизайнерите често предпочитат да работят с най-простите и най-старите инструменти - пергел и линийка.

Какво може да бъде по-просто? Гладка дъска с прав ръб - линийка, две заострени пръчици, вързани в единия край - пергел. С помощта на линийка начертайте права линия през две дадени точки. С пергел начертайте окръжности с даден център и радиус, заделете отсечка, равна на дадената.

Компасите и линийките са известни от повече от 3 хиляди години, преди 200-300 години те са били украсени с орнаменти и шарки. Но въпреки това те все още ни обслужват редовно. Най-простите инструменти са достатъчни за огромен брой конструкции. Древните гърци са смятали, че е възможно да се извърши всяка разумна конструкция с тези инструменти, докато не открият три важни проблема на древността: „квадратура на кръга“, „трисекция на ъгъла“, „удвояване на куба“.

Затова считам темата на моята работа за съвременна и важна за човешката дейност в много области на човешката дейност.

Всеки знае много добре, че математиката се използва в различни професии и житейски ситуации. Математиката е труден предмет. И повечето ученици наричат ​​геометрията „трудна“. Конструктивните задачи са различни от традиционните геометрични задачи.

Решаването на конструктивни задачи развива геометричното мислене много по-пълно и изострено от решаването на изчислителни задачи и може да създаде страст към работата, което води до повишено любопитство и желание за разширяване и задълбочаване на изучаването на геометрията.

Въпреки богатото историческо минало, проблемът с решаването на строителните проблеми остава актуален и през 21 век. В днешно време компютърните технологии се развиват бързо с използването на графични редактори за рисуване на геометрични обекти. Средствата за създаване на геометрични обекти се промениха поради появата на нови компютърни технологии. Въпреки това, както в древността, основните елементи в конструкцията на геометричните обекти остават кръг и права линия, с други думи пергел и линийка. С навлизането на новите компютърни технологии възникнаха нови проблеми на конструирането с помощта на едни и същи обекти - права линия и кръг. Ето защо проблемът с решаването на строителни проблеми става още по-актуален.

Програмата по геометрия включва изучаване само на най-простите техники и методи на конструиране. Но прилагането на тези техники често създава трудности. Затова обект на моето изследване са геометрични фигури, построени с помощта на пергел и линийка.

Целта на моята работа:разгледайте различни начини за конструиране на геометрични фигури с помощта на пергел и линийки.

Изследователски методи:

ü Анализ на съществуващите строителни методи

ü Търсене на нови методи, които са лесни за използване (HMT и Steiner конструкции)

Задачи:

ü придобият по-пълно разбиране за различните методи на строителство

ü проследете развитието на този фрагмент от геометрията в историята на математиката

ü продължават да развиват изследователски умения.

Из историята на геометричното конструиране с пергел и линийка.

Традиционното ограничение на инструментите за геометрични конструкции датира от древни времена. В книгата си "Елементи" Евклид (3 век пр. н. е.) стриктно се придържа към геометричните конструкции, извършвани с пергел и линийка, въпреки че никъде не споменава имената на инструментите. Ограниченията очевидно се дължат на факта, че тези инструменти заменят въжето, което първоначално е служило както за рисуване на прави линии, така и за описване на кръгове. Но много историци-математици обясняват избора на материал от Евклид с факта, че той, следвайки Платон и питагорейците, счита само правата линия и кръга за „перфектни“ линии.

Изкуството за конструиране на геометрични фигури е било силно развито в Древна Гърция. Древногръцките математици преди 3000 години извършват своите конструкции с помощта на два инструмента: гладка дъска с прав ръб - линийка и две заострени пръчки, свързани в единия край - пергел. Тези прости инструменти обаче се оказаха достатъчни за извършване на огромно разнообразие от различни конструкции. Дори на древните гърци им се е струвало, че всяка разумна конструкция може да бъде извършена с тези инструменти, докато не са изправени пред три по-късни известни проблема.

Те отдавна трансформират всяка праволинейна фигура с помощта на пергел и линийка в произволна праволинейна фигура с еднакъв размер. По-специално, всяка праволинейна фигура се трансформира в квадрат с еднакъв размер. Следователно е ясно, че е възникнала идеята да се обобщи този проблем: да се изгради с помощта на компас и линийка квадрат, чиято площ ще бъде равна на площта на даден кръг. Тази задача се нарича квадратура на кръга. Следи от тази задача могат да се видят в древногръцки и вавилонски паметници от второто хилядолетие пр.н.е. Неговата директна формулировка обаче се намира в гръцките писания от 5 век пр.н.е.

Още два проблема от древността привличат вниманието на видни учени в продължение на много векове. Това е проблемът с удвоения куб. Състои се в построяване на куб с пергел и линийка с обем два пъти по-голям от обема на дадения куб. Появата му се свързва с легендата, че на остров Делос в Егейско море оракул, за да спаси жителите от чумна епидемия, наредил олтарът, който бил във формата на куб, да бъде удвоен. И третата задача за трисекция на ъгъл е за разделянето на ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линийка.

Тези три проблема, така наречените 3 известни класически проблема на древността, привличат вниманието на видни математици в продължение на две хилядолетия. И едва в средата на 19 век е доказана тяхната неразрешимост, тоест невъзможността тези конструкции да се използват само с пергел и линийка. В математиката това бяха първите резултати за неразрешимостта на проблемите, когато са посочени средствата за решение. Те са получени не чрез геометрията, а чрез алгебрата (превеждайки тези проблеми на езика на уравненията), което още веднъж подчертава единството на математиката. Невъзможни да бъдат решени, тези проблеми обогатиха математиката със значителни резултати и доведоха до създаването на нови направления в математическата мисъл.

Друга интересна задача, включваща конструиране с помощта на пергел и линийка, е задачата за конструиране на правилен многоъгълник с даден брой страни. Древните гърци са знаели как да построят правилен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник и 15-ъгълник, както и всички многоъгълници, които се получават от тях чрез удвояване на страните и само тях. Едва през 1796 г. великият немски математик К. Ф. Гаус открива метод за конструиране на правилен 17-ъгълник с помощта на компас и линийка и посочва всички стойности на N, при които е възможно да се конструира правилен N-ъгълник с помощта на посочените средства . Студент първа година в университета в Гьотинген, Карл Гаус, реши задача, на която математическата наука се поддаваше повече от 2 хиляди години. По този начин се доказва невъзможността да се построят правилните 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.н. с помощта на пергел и линийка. ъгли.

Теорията за конструиране с пергел и линийка беше доразвита. Беше получен отговор на въпроса: възможно ли е да се реши проблемът само с един от двата разглеждани инструмента и беше доста неочакван. Независимо един от друг, датчанинът Г. Мор през 1672 г. и италианецът Л. Маскерони през 1797 г. доказаха, че всеки строителен проблем, решен с пергел и линийка, може да бъде решен точно с помощта само на един компас. Изглежда невероятно, но е истина. А през 19 век е доказано, че всяка конструкция, извършена с пергел и линийка, може да се извърши само с помощта на една линийка, при условие че в строителната равнина е определен определен кръг и е посочен неговият център.

3. Най-простите задачи за конструиране на геометрични фигури с помощта на пергел и линийка

Нека разгледаме основните (елементарни) конструкции, които най-често се срещат в практиката за решаване на строителни задачи. Проблеми от този вид се разглеждат още в първите глави на училищния курс.

Строителство 1.Построяване на отсечка, равна на дадената.

дадени:сегмент с дължина a.

Изграждане:отсечка AB с дължина a.

Конструкция:

Строителство 2. Построяване на ъгъл, равен на даден.

дадени:∟AOB.

Изграждане:∟ KMN, равно на ∟ AOB.

Конструкция:

Строителство 3.Разделяне на отсечка наполовина (конструиране на средата на отсечката).

дадени:сегмент AB.

Изграждане:точка O е средата на AB.

Конструкция:

Строителство 4.Деление на ъгъл наполовина (построяване на ъглополовяща).

дадени:∟ ABC.

Изграждане:ВD – ъглополовяща ∟АВС.

Конструкция:

Строителство 5.Построяване на перпендикуляр към дадена права, минаващ през дадена точка.

а) дадени:права линия a, точка A a.

Изграждане:

прав а.

Строителство:

б) дадени:права линия a, точка A a.

Изграждане:права, минаваща през точка А, перпендикулярна на

прав а.

Конструкция:

Образуване 6. Построяване на права, успоредна на дадена права и минаваща през дадена точка.

дадени:права линия a, точка A a.

Изграждане:права, минаваща през точка А и успоредна на права а.

Метод I (през два перпендикуляра).

Конструкция:

Метод II (чрез успоредник).

Конструкция:

Строителство 7.Построяване на триъгълник с помощта на три страни.

дадени:сегменти с дължина a, b, c.

Изграждане:Δ ABC.

Конструкция:

Образуване 8.Построяване на триъгълник с помощта на двете страни и ъгъла между тях.

дадени:сегменти с дължина b, c, ъгъл α.

Изграждане:триъгълник ABC.

Конструкция:

Образуване 9.Построяване на триъгълник с помощта на страна и два съседни ъгъла.

дадени:отсечка с дължина c, ъгли α и β.

Изграждане:ΔABC.

Конструкция:

Образуване 10.Построяване на допирателна към дадена окръжност, минаваща през дадена точка.

дадени:кръг (O), точка А извън него.

Изграждане:допирателна към окръжността ω(O), минаваща през точка A.

Конструкция:

Разгледаните проблеми са включени като компоненти в решението на по-сложни задачи, поради което в бъдеще не се описват етапите на основните конструкции.

Решаването на строителни задачи се състои от четири части:

1. Приемайки, че проблемът е решен, правим приблизителна ръчна рисунка на желаната фигура и след това внимателно разглеждаме нарисуваната фигура, опитвайки се да намерим такива зависимости между данните за проблема и необходимите, които биха ни позволили да намалим проблема до други, известни по-рано. Тази най-важна част от решаването на проблем, с цел изготвяне на план за решение, се нарича анализ.

2. Когато по този начин е намерен план за решение, те се изпълняват в съответствие с него. строителство.

3. доказателство - за да проверят правилността на плана, въз основа на добре известни теореми, те доказват, че получената фигура отговаря на всички изисквания на проблема.

4. Проучване - задайте два въпроса:

1) Възможно ли е решение при дадени данни?

2) Колко решения има?

Нека разгледаме приложението на тези етапи, като използваме примера за решаване на следния проблем.

Задача:Да се ​​построи триъгълник с основа b, ъгъл A, съседен на основата, и сборът s от двете страни.

Анализ:Да приемем, че проблемът е решен, т.е. е намерено ΔABC, чиято основа AC=b, ∟ВАС=AИ AB+BC=s. Нека сега разгледаме получения чертеж. страна климатик,равна на b, ∟BAC=A, ние знаем как да строим. И така, всичко, което остава, е да се намери от другата страна ∟Aтакава точка INтака че сумата AB+BCизравнени с. Продължава AB, оставете сегмента настрана AD, равен с. Сега въпросът се свежда до факта, че по права линия ADнамери такава точка IN, които биха били еднакво отдалечени от СЪСИ д. Такава точка, както знаем, трябва да лежи върху перпендикуляр, начертан към сегмента CDпрез средата му. Точка INсе намира в пресечната точка на този перпендикуляр с AD.

Конструкция:

1. Ние строим ∟A, равен на дадения ъгъл

2. Оставете настрани AC=bИ AD=s

3. През средата на права отсечка CDначертайте перпендикуляр БЪДА

4. БЪДАкръстове ADв точката IN

5. Свързване на точките INИ СЪС

6. ΔАВС - желаното.

Доказателство:

Да разгледаме полученото ΔABC, в което ∟A е равно на дадения ъгъл (съгласно точка № 1 от конструкцията). отстрани AC=b(точка No 2) и страните ABИ слънцеобщата сума е s (точки № 2,3,4). Следователно, според 1-ви критерий за равенство на триъгълниците, ΔABC е търсеният.

проучване:

1.Възможно ли е решение при дадени данни?

Имайки предвид конструкцията, забелязваме, че задачата не е възможна с всички данни. Наистина, ако сборът s е даден твърде малък в сравнение с b, тогава перпендикулярът БЪДАне може да пресече сегмента AD(или ще пресече продължението му отвъд точка D), в който случай задачата ще бъде невъзможна.

И, независимо от конструкцията, може да се види, че задачата е невъзможна, ако с< b или s =b, защото не може да има триъгълник, в който сумата от двете страни да е по-малка или равна на третата страна.

2. Колко решения има?

В случай, че даден проблем е възможен, той има само едно решение, т.е. има само един триъгълник, който отговаря на изискванията на проблема, тъй като пресечната точка на перпендикуляра БЪДАс права линия ADможе да бъде само в една точка.


©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 2016-04-27