В тази статия ще разгледаме основни операции с алгебрични дроби:

• намаляване на дроби
• умножение на дроби
• деление на дроби

Да започнем с намаляване на алгебрични дроби.

Изглежда, че алгоритъмочевидно.

Да се намаляване на алгебричните дроби, трябва да

1. Разложете на множители числителя и знаменателя на дробта.

2. Намалете равните фактори.

Учениците обаче често правят грешката да „намаляват“ не факторите, а условията. Например, има аматьори, които „намаляват“ дроби с и получават като резултат , което, разбира се, не е вярно.

Нека да разгледаме примери:

1. Намаляване на дроб:

1. Нека разложим числителя на множители по формулата на квадрата на сбора, а знаменателя по формулата на разликата на квадратите

2. Разделете числителя и знаменателя на

2. Намаляване на дроб:

1. Нека разложим числителя на множители. Тъй като числителят съдържа четири члена, използваме групиране.

2. Нека разложим знаменателя на множители. Можем да използваме и групиране.

3. Нека запишем получената дроб и намалим същите множители:

Умножение на алгебрични дроби.

Когато умножаваме алгебрични дроби, ние умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.

важно!Няма нужда да бързате да умножите числителя и знаменателя на дроб. След като сме записали произведението на числителите на дробите в числителя и произведението на знаменателите в знаменателя, трябва да разделим всеки множител и да намалим дробта.

Нека да разгледаме примери:

3. Опростете израза:

1. Нека запишем произведението на дробите: в числителя произведението на числителите, а в знаменателя произведението на знаменателите:

2. Нека факторизираме всяка скоба:

Сега трябва да намалим същите фактори. Имайте предвид, че изразите и се различават само по знак: и в резултат на разделянето на първия израз на втория получаваме -1.

Така,

Разделяме алгебричните дроби по следното правило:

Това е За да разделите на дроб, трябва да умножите по "обърнатото".

Виждаме, че деленето на дроби се свежда до умножение и умножението в крайна сметка се свежда до намаляване на дроби.

Да разгледаме един пример:

4. Опростете израза:

Нека разберем какво е намаляване на дроби, защо и как да намалим дроби и да дадем правилото за намаляване на дроби и примери за неговото използване.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е "намаляване на дроби"

Намалете фракцията

Да съкратиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на общ множител, който е положителен и различен от единица.

В резултат на това действие ще се получи дроб с нов числител и знаменател, равна на първоначалната дроб.

Например, нека вземем обикновената дроб 6 24 и я съкратим. Разделете числителя и знаменателя на 2, което води до 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. В този пример намалихме първоначалната дроб с 2.

Редуциране на дроби до несъкратима форма

В предишния пример намалихме дробта 6 24 с 2, което доведе до дробта 3 12. Лесно е да се види, че тази фракция може да бъде допълнително намалена. Обикновено целта на намаляването на дроби е да се получи несъкратима дроб. Как да съкратим дроб до несъкратимата й форма?

Това може да стане чрез намаляване на числителя и знаменателя с техния най-голям общ множител (НОД). Тогава по свойството на най-големия общ делител числителят и знаменателят ще имат взаимно прости числа и дробта ще бъде несъкратима.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Редуциране на дроб до несъкратим вид

За да намалите дроб до нейната несъкратима форма, трябва да разделите нейния числител и знаменател на техния gcd.

Нека се върнем към дробта 6 24 от първия пример и да я доведем до нейната несъкратима форма. Най-големият общ делител на числата 6 и 24 е 6. Нека намалим дробта:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Намаляването на дроби е удобно за използване, за да не се работи с големи числа. Като цяло има негласно правило в математиката: ако можете да опростите всеки израз, тогава трябва да го направите. Намаляването на дроб най-често означава свеждането й до несъкратим вид, а не просто намаляването й с общия делител на числителя и знаменателя.

Правило за съкращаване на дроби

За да намалите дробите, просто запомнете правилото, което се състои от две стъпки.

Правило за съкращаване на дроби

За да намалите дроб, трябва:

1. Намерете gcd на числителя и знаменателя.
2. Разделете числителя и знаменателя на техния gcd.

Нека да разгледаме практически примери.

Пример 1. Нека съкратим дробта.

Дадена е дробта 182 195. Нека го съкратим.

Нека намерим gcd на числителя и знаменателя. За да направите това, в този случай е най-удобно да използвате Евклидовия алгоритъм.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Разделете числителя и знаменателя на 13. Получаваме:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готов. Получихме несъкратима дроб, която е равна на първоначалната дроб.

Как иначе можете да намалите дробите? В някои случаи е удобно да разложите числителя и знаменателя на прости множители и след това да премахнете всички общи множители от горната и долната част на дробта.

Пример 2. Намалете фракцията

Дадена е дробта 360 2940. Нека го съкратим.

За да направите това, представете си оригиналната дроб във формата:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Нека се отървем от общите множители в числителя и знаменателя, което води до:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

И накрая, нека разгледаме друг начин за намаляване на дроби. Това е така нареченото последователно намаляване. С помощта на този метод редукцията се извършва на няколко етапа, във всеки от които фракцията се намалява с някакъв очевиден общ фактор.

Пример 3. Намалете дробта

Нека намалим дробта 2000 на 4400.

Веднага става ясно, че числителят и знаменателят имат общ коефициент 100. Намаляваме дроба със 100 и получаваме:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Намаляваме получения резултат отново с 2 и получаваме нередуцируема дроб:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тази статия продължава темата за преобразуване на алгебрични дроби: разглеждайте такова действие като намаляване на алгебрични дроби. Нека дефинираме самия термин, формулираме правило за намаляване и анализираме практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Значението на намаляването на алгебрична дроб

В материали за обикновени дроби разгледахме неговото намаляване. Дефинирахме съкращаването на дроб като разделяне на нейния числител и знаменател на общ множител.

Намаляването на алгебрична дроб е подобна операция.

Определение 1

Намаляване на алгебрична дробе разделянето на неговия числител и знаменател на общ множител. В този случай, за разлика от редуцирането на обикновена дроб (общият знаменател може да бъде само число), общият фактор на числителя и знаменателя на алгебрична дроб може да бъде полином, по-специално моном или число.

Например, алгебричната дроб 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 може да бъде намалена с числото 3, което води до: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Можем да намалим същата дроб с променливата x и това ще ни даде израза 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Също така е възможно да се намали дадена дроб с моном 3 хили някой от полиномите x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y или 3 x 2 + 6 x y.

Крайната цел за намаляване на алгебрична дроб е дроб с по-проста форма, в най-добрия случай несъкратима дроб.

Всички алгебрични дроби подлежат ли на съкращаване?

Отново, от материалите за обикновените дроби знаем, че има съкратими и несъкратими дроби. Несъкратимите дроби са дроби, които нямат общи множители в числителя и знаменателя, различни от 1.

Същото е и с алгебричните дроби: те може да имат общи множители в числителя и знаменателя, а може и да нямат. Наличието на общи множители ви позволява да опростите първоначалната дроб чрез редукция. Когато няма общи множители, е невъзможно да се оптимизира дадена фракция с помощта на метода на редукция.

В общи случаи, като се има предвид вида на фракцията, е доста трудно да се разбере дали тя може да бъде намалена. Разбира се, в някои случаи наличието на общ множител между числителя и знаменателя е очевидно. Например в алгебричната дроб 3 x 2 3 y е съвсем ясно, че общият множител е числото 3.

В дробта - x · y 5 · x · y · z 3 също веднага разбираме, че тя може да бъде намалена с x, или y, или x · y. И все пак много по-често има примери за алгебрични дроби, когато общият коефициент на числителя и знаменателя не е толкова лесен за разглеждане, а дори по-често той просто отсъства.

Например, можем да намалим дробта x 3 - 1 x 2 - 1 с x - 1, докато указаният общ множител не присъства в записа. Но дробта x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 не може да бъде намалена, тъй като числителят и знаменателят нямат общ множител.

По този начин въпросът за определяне на редуцируемостта на алгебрична дроб не е толкова прост и често е по-лесно да се работи с дроб от дадена форма, отколкото да се опитвате да разберете дали тя е редуцируема. В този случай се извършват такива трансформации, които в определени случаи позволяват да се определи общият фактор на числителя и знаменателя или да се направи заключение за несъкратимостта на дроб. Ще разгледаме подробно този въпрос в следващия параграф на статията.

Правило за съкращаване на алгебрични дроби

Правило за съкращаване на алгебрични дробисе състои от две последователни действия:

• намиране на общи множители на числителя и знаменателя;
• ако има такива, действието за намаляване на фракцията се извършва директно.

Най-удобният метод за намиране на общи знаменатели е полиномите да се разложат в числителя и знаменателя на дадена алгебрична дроб. Това ви позволява веднага ясно да видите наличието или отсъствието на общи фактори.

Самото действие за намаляване на алгебрична дроб се основава на основното свойство на алгебрична дроб, изразено чрез равенството undefined, където a, b, c са някои полиноми, а b и c са различни от нула. Първата стъпка е да редуцираме дробта до вида a · c b · c, в който веднага забелязваме общия множител c. Втората стъпка е да извършите намаление, т.е. преминаване към дроб от вида a b .

Типични примери

Въпреки известна очевидност, нека изясним специалния случай, когато числителят и знаменателят на алгебрична дроб са равни. Подобни дроби са идентично равни на 1 върху цялата ODZ на променливите на тази дроб:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Тъй като обикновените дроби са частен случай на алгебрични дроби, нека си припомним как се редуцират. Естествените числа, записани в числителя и знаменателя, се разлагат на прости множители, след което общите множители се премахват (ако има такива).

Например 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Продуктът от прости идентични множители може да се запише като степени и в процеса на намаляване на дроб да се използва свойството за деление на степени с еднакви основи. Тогава горното решение ще бъде:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(числител и знаменател, разделени на общ множител 2 2 3). Или за по-голяма яснота, въз основа на свойствата на умножението и делението, даваме на решението следната форма:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

По аналогия се извършва редукция на алгебрични дроби, в които числителят и знаменателят имат мономи с цели коефициенти.

Пример 1

Дадена е алгебричната дроб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да напишете числителя и знаменателя на дадена дроб като произведение на прости фактори и променливи и след това да извършите редукция:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Въпреки това, по-рационален начин би бил да напишете решението като израз със степени:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Отговор:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Когато числителят и знаменателят на алгебрична дроб съдържат дробни числови коефициенти, има два възможни начина за по-нататъшно действие: или да разделите тези дробни коефициенти отделно, или първо да се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по някакво естествено число. Последната трансформация се извършва поради основното свойство на алгебрична дроб (можете да прочетете за това в статията „Намаляване на алгебрична дроб до нов знаменател“).

Пример 2

Дадената дроб е 2 5 x 0, 3 x 3. Трябва да се намали.

Решение

Възможно е да се намали фракцията по следния начин:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Нека се опитаме да решим проблема по различен начин, като първо се отървем от дробните коефициенти - умножете числителя и знаменателя по най-малкото общо кратно на знаменателите на тези коефициенти, т.е. върху LCM (5, 10) = 10. Тогава получаваме:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Отговор: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Когато редуцираме общи алгебрични дроби, в които числителите и знаменателите могат да бъдат мономи или полиноми, може да има проблем, при който общият множител не винаги се вижда веднага. Или нещо повече, тя просто не съществува. След това, за да се определи общият фактор или да се запише фактът на неговото отсъствие, числителят и знаменателят на алгебричната дроб се разлагат на множители.

Пример 3

Дадена е рационалната дроб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Трябва да се намали.

Решение

Нека разложим полиномите в числителя и знаменателя. Нека го извадим от скоби:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Виждаме, че изразът в скоби може да бъде преобразуван с помощта на формули за съкратено умножение:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ясно се вижда, че е възможно да се намали дроб с общ множител b 2 (a + 7). Нека направим намаление:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Нека напишем кратко решение без обяснение като верига от равенства:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Отговор: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Случва се общите фактори да са скрити от числови коефициенти. След това, когато редуцирате дроби, оптимално е да поставите числените множители при по-високи степени на числителя и знаменателя извън скоби.

Пример 4

Дадена е алгебричната дроб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо е да се намали, ако е възможно.

Решение

На пръв поглед числителят и знаменателят нямат общ знаменател. Нека обаче се опитаме да преобразуваме дадената дроб. Нека извадим фактора x от числителя:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Сега можете да видите известно сходство между израза в скоби и израза в знаменателя поради x 2 y . Нека извадим числените коефициенти на по-високите степени на тези полиноми:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Сега общият фактор става видим, извършваме редукция:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Отговор: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Нека подчертаем, че умението за редуциране на рационални дроби зависи от способността да се факторират полиноми.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Много ученици правят същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила аритметика. Днес ще повторим тези правила върху конкретни задачи, които давам в часовете си.

Ето задачата, която предлагам на всички, които се готвят за Единния държавен изпит по математика:

Задача. Една морска свиня изяжда 150 грама храна на ден. Но тя порасна и започна да яде 20% повече. Колко грама фураж изяжда прасето сега?

Грешно решение. Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:

Много (много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на дроб:

Това е грешката, която моят ученик направи точно в деня на написването на тази статия. Числата, които са съкратени, са маркирани в червено.

Излишно е да казвам, че отговорът беше грешен. Съдете сами: прасето изяде 150 грама, но започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.

За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:

Само множителите могат да бъдат намалени. Сроковете не могат да бъдат намалявани!

Така правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Числата, които са съкратени в числителя и знаменателя, са отбелязани в червено. Както можете да видите, числителят е произведение, знаменателят е обикновено число. Следователно намалението е напълно законно.

Работа с пропорции

Друга проблемна област е пропорции. Особено когато променливата е от двете страни. Например:

Задача. Решете уравнението:

Грешно решение - някои хора буквално ги сърби да съкратят всичко с m:

Намалените променливи са показани в червено. Изразът 1/4 = 1/5 се оказва пълна глупост, тези числа никога не са равни.

И сега - правилното решение. По същество е обикновен линейно уравнение. Може да се реши или чрез преместване на всички елементи на една страна, или чрез основното свойство на пропорцията:

Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:

Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по всяко число, ненулев.

Пропуснахте ли трика? Можете да делите само с числа ненулев. По-специално, можете да разделите на променливата m само ако m != 0. Но какво ще стане, ако все пак m = 0? Нека заместим и проверим:

Получихме правилното числово равенство, т.е. m = 0 е коренът на уравнението. За останалите m != 0 получаваме израз от вида 1/4 = 1/5, което естествено е неправилно. Следователно няма ненулеви корени.

Изводи: всичко това заедно

И така, за да решите дробни рационални уравнения, запомнете три правила:

1. Само множителите могат да бъдат намалени. Добавките не са разрешени. Затова се научете да разделяте числителя и знаменателя на множители;
2. Основното свойство на пропорцията: произведението на екстремните елементи е равно на произведението на средните;
3. Уравненията могат да се умножават и делят само с числа k, различни от нула. Случаят k = 0 трябва да се провери отделно.

Запомнете тези правила и не правете грешки.

дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.

За да намалите обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.

Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на запис.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намалете дроба със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.

Получената дроб се намалява с 5.

Нека намалим тази дроб 4) На 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.

Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.

Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².

Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .

Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14 .

Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .

И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 На 3 .

(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Нека разгледаме други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .