Оста на симетрия е права линия, когато се завърти около нея под определен ъгъл, фигурата се комбинира със себе си.

Най-малкият ъгъл на завъртане, който довежда фигурата до самоподравняване, се нарича елементарен ъгъл на завъртане на оста. Елементарният ъгъл на завъртане на оста  съдържа цяло число, умножено по 360 :

където n е цяло число.

Числото n, показващо колко пъти елементарният ъгъл на завъртане на оста се съдържа в 360 0 , се нарича ред на осите.

В геометричните фигури могат да присъстват оси от всякакъв ред, като се започне от оста на първи ред и се стигне до оста на безкраен ред.

Елементарният ъгъл на завъртане на ос от първи ред (n = 1) е равен на 360 0 . Тъй като всяка фигура, завъртяна около всяка посока на 360 0, се комбинира със себе си, тогава всяка фигура има безкраен брой оси от първи ред. Такива оси не са характерни, така че обикновено не се споменават.

Ос от безкраен ред съответства на безкрайно малък елементарен ъгъл на завъртане. Тази ос присъства във всички фигури на въртене като ос на въртене.

Примери за оси от трети, четвърти, пети, шести и т.н. ред са перпендикуляри към равнината на фигурата, минаващи през центровете на правилни многоъгълници, триъгълници, квадрати, петоъгълници и др.

По този начин в геометрията има безкраен брой оси от различен ред.

В кристалните полиедри обаче не са възможни оси на симетрия, а само оси от първи, втори, трети, четвърти и шести ред.

Оси на симетрия от пети и над шести ред в кристалите са невъзможни. Тази позиция е един от основните закони на кристалографията и се нарича закон за симетрия на кристала.

Подобно на други геометрични закони на кристалографията, законът за симетрия на кристалите се обяснява със структурата на решетката на кристалното вещество. Всъщност, тъй като симетрията на кристала е проява на симетрията на неговата вътрешна структура, тогава в кристалите са възможни само такива елементи на симетрия, които не противоречат на свойствата на пространствената решетка.

Нека докажем, че оста от пети ред не удовлетворява законите на пространствената решетка и по този начин да докажем нейната невъзможност в кристалните полиедри.

Да приемем, че е възможна ос от пети ред в пространствената решетка. Нека тази ос е перпендикулярна на равнината на чертежа, пресичайки я в точка O (фиг. 2.9). В конкретен случай точката O може да съвпадне с един от възлите на решетката.

Ориз. 2.9. Ос на симетрия от пети ред е невъзможна в пространствените решетки

Нека вземем най-близкия до оста възел на решетката A 1, лежащ в равнината на чертежа. Тъй като всичко се повтаря пет пъти около оста от пети ред, тогава най-близките до нея възли в равнината на чертежа трябва да бъдат само пет A 1, A 2, A 3, A 4, A 5. Разположени на равни разстояния от точка О във върховете на правилен петоъгълник, те се съчетават помежду си при завъртане около О на 360/5=72°.

Тези пет възела, разположени в една и съща равнина, образуват плоска решетка на пространствена решетка и следователно всички основни свойства на решетката са приложими към тях. Ако възлите A 1 и A 2 принадлежат на ред от плоска решетка с празнина A 1 A 2 , тогава през всеки възел на решетката е възможно да се начертае ред, успореден на реда A 1 A 2 . Нека начертаем такава серия през възел A 3. Този ред, минаващ през възела A 5, трябва да има междина, равна на A 1 A 2, тъй като в пространствената решетка всички успоредни редове имат еднаква плътност.

Следователно, на разстояние A 3 A x \u003d A 1 A 2 от възел A 3 трябва да има друг възел A x. Въпреки това, допълнителният възел A x се оказва по-близо до точката O, отколкото възелът A 1 , който се приема, че е най-близо до оста от пети ред.

По този начин нашето предположение за възможността за ос от пети ред в пространствените решетки ни доведе до очевиден абсурд и следователно е погрешно.

Тъй като съществуването на ос от пети ред е несъвместимо с основните свойства на пространствената решетка, такава ос също е невъзможна в кристалите.

По същия начин се доказва невъзможността за съществуване на оси на симетрия над шестия ред в кристалите и, обратно, възможността за оси от втори, трети, четвърти и шести ред в кристалите, чието наличие не противоречи на свойствата на пространствени решетки.

Буквата L се използва за обозначаване на осите на симетрия, а редът на оста се обозначава с малко число, разположено вдясно от буквата (например L 4 е оста на четвъртия ред).

В кристалните полиедри осите на симетрия могат да минават през центровете на противоположни страни, перпендикулярни на тях, през средите на противоположни ръбове, перпендикулярни на тях (само L 2), и през върховете на многостена. В последния случай симетричните лица и ръбове са еднакво наклонени спрямо дадената ос.

Един кристал може да има няколко оси на симетрия от един и същи ред, чийто брой се обозначава с коефициента пред буквата. Например в правоъгълен паралелепипед има 3L 2, т.е. три оси на симетрия от втори ред; в един куб има 3L 4 , 4L 3 и 6L 2 , т.е. три оси на симетрия от четвърти ред, четири оси от трети ред и шест оси от втори ред и т.н.

точки МИ М 1 се наричат ​​симетрични спрямо дадена права Лако тази права е перпендикулярна ъглополовяща на отсечката ММ 1 (Фигура 1). Всяка точка от линията Лсиметричен на себе си. Равнинна трансформация, при която всяка точка се преобразува в точка, симетрична на нея по отношение на дадена права Л, е наречен аксиално симетричен на оста Lи означено С Л :С Л (М) = М 1 .

точки МИ М 1 са взаимно симетрични по отношение на Л, Ето защо С Л (М 1 )=М. Следователно трансформацията, обратна на аксиалната симетрия, е същата аксиална симетрия: С Л -1=S Л , С L° С Л = Е. С други думи, аксиалната симетрия на равнината е инволютивнатрансформация.

Образът на дадена точка с аксиална симетрия може лесно да се конструира с помощта само на един компас. Позволявам Л- ос на симетрия, АИ б- произволни точки на тази ос (фиг. 2). Ако С Л (М) = М 1 , тогава по свойството на точките на ъглополовящата на отсечката имаме: AM = AM 1 И BM=BM 1 . Така че точката М 1 принадлежи на две окръжности: окръжности с център Арадиус сутринтаи кръгове с център брадиус BM (М-дадена точка). Фигура Еи нейния образ Е 1 с аксиална симетрия се наричат ​​симетрични фигури спрямо права линия Л(Фигура 3).

Теорема. Аксиалната симетрия на равнината е движение.

Ако АИ IN- всякакви точки от равнината и С Л (А)=А 1 , С Л (B)=B 1, тогава трябва да докажем това А 1 б 1 = АВ. За целта въвеждаме правоъгълна координатна система ОКСИтака че оста ОХсъвпада с оста на симетрия. точки АИ INимат координати A(x 1 ,-y 1 ) И B(x 1 ,-y 2 ) .Точки А 1 и IN 1 има координати А 1 (х 1 ,г 1 ) И б 1 (х 1 ,г 2 ) (Фигура 4 - 8). Използвайки формулата за разстоянието между две точки, намираме:

От тези отношения става ясно, че АВ=А 1 IN 1 , което подлежеше на доказване.

От сравнение на ориентациите на триъгълника и неговото изображение получаваме, че аксиалната симетрия на равнината е движение от втори вид.

Аксиалната симетрия преобразува всяка линия в линия. По-специално, всяка от линиите, перпендикулярни на оста на симетрия, се преобразува от тази симетрия върху себе си.

Теорема. Права линия, различна от перпендикуляр на оста на симетрия, и нейното изображение под тази симетрия се пресичат на оста на симетрия или са успоредни на нея.

Доказателство.Нека е дадена права линия, която не е перпендикулярна на оста Лсиметрия. Ако m? L=PИ С Л (m)=m 1, тогава м 1 ?мИ С Л (P)=P, Ето защо Pm1(Фигура 9). Ако m || Л, Че м 1 || Л, тъй като иначе прекият мИ м 1 ще се пресичат в точка на правата Л, което противоречи на условието м||л(Фигура 10).

По силата на определението за равни фигури, прави линии, симетрични спрямо права линия Л, форма с права линия Лравни ъгли (Фигура 9).

Направо ЛНаречен оста на симетрия на фигурата F, ако е със симетрия с оста Лфигура Епоказва се върху себе си: С Л (F)=F. Казват, че фигурата Есиметричен спрямо права линия Л.

Например всяка права линия, съдържаща центъра на кръг, е оста на симетрия на този кръг. Наистина, нека М- произволна точка от окръжността schцентриран ОТНОСНО, OL, С Л (М)=М 1 . Тогава С Л (О)=ОИ ОМ 1 =ОМ, т.е. М 1 є u. И така, изображението на всяка точка от окръжност принадлежи на тази окръжност. следователно С Л (u)=u.

Осите на симетрия на двойка неуспоредни прави са две перпендикулярни прави, съдържащи ъглополовящите на ъглите между тези прави. Оста на симетрия на сегмент е правата, която го съдържа, както и перпендикулярната ъглополовяща към този сегмент.

Свойства на аксиалната симетрия

• 1. При аксиална симетрия изображението на права линия е права линия, изображението на успоредни линии са успоредни линии
• 3. Аксиалната симетрия запазва простото съотношение на три точки.
• 3. При аксиална симетрия отсечката преминава в отсечка, лъч в лъч, полуравнина в полуравнина.
• 4. При аксиална симетрия ъгълът преминава в равен ъгъл.
• 5. При аксиална симетрия спрямо оста d всяка права линия, перпендикулярна на оста d, остава на мястото си.
• 6. При аксиална симетрия ортонормалната рамка преминава в ортонормалната рамка. В този случай точката M с координати x и y спрямо рамката R отива в точката M` със същите координати x и y, но спрямо рамката R`.
• 7. Аксиалната симетрия на равнината превежда дясната ортонормална рамка в лявата и, обратно, лявата ортонормална рамка в дясната.
• 8. Композицията на две аксиални симетрии на равнина с успоредни оси е успоредна транслация от вектор, перпендикулярен на дадените прави, чиято дължина е два пъти разстоянието между дадените прави

Цели:

• образователен:
  • дайте представа за симетрия;
  • въведе основните видове симетрия в равнината и в пространството;
  • развиват силни умения за конструиране на симетрични фигури;
  • разширете представите за известни фигури, като ги запознаете със свойствата, свързани със симетрията;
  • показват възможностите за използване на симетрия при решаване на различни проблеми;
  • затвърдете придобитите знания;
• общо образование:
  • научете се да се настройвате за работа;
  • научете да контролирате себе си и съсед на бюрото;
  • да научите как да оценявате себе си и съсед на бюрото си;
• развитие:
  • активизират самостоятелна дейност;
  • развиват когнитивната активност;
  • научете се да обобщавате и систематизирате получената информация;
• образователен:
  • възпитават у учениците „чувство за рамо“;
  • култивирайте комуникацията;
  • възпитава култура на общуване.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Пред всеки има ножица и лист хартия.

Упражнение 1(3 минути).

- Вземете лист хартия, сгънете го наполовина и изрежете някаква фигура. Сега разгънете листа и погледнете линията на сгъване.

Въпрос:Каква е функцията на тази линия?

Предложен отговор:Тази линия разделя фигурата наполовина.

Въпрос:Как са разположени всички точки на фигурата върху двете получени половини?

Предложен отговор:Всички точки на половинките са на еднакво разстояние от линията на сгъване и на същото ниво.

- И така, линията на сгъване разделя фигурата наполовина, така че 1 половина е копие на 2 половини, т.е. тази линия не е проста, тя има забележително свойство (всички точки спрямо нея са на едно и също разстояние), тази линия е оста на симетрия.

Задача 2 (2 минути).

- Изрежете снежинка, намерете оста на симетрия, охарактеризирайте я.

Задача 3 (5 минути).

- Начертайте кръг в тетрадката си.

Въпрос:Определете как минава оста на симетрия?

Предложен отговор:различно.

Въпрос:И така, колко оси на симетрия има една окръжност?

Предложен отговор:Много.

- Точно така, кръгът има много оси на симетрия. Същата прекрасна фигура е топката (пространствена фигура)

Въпрос:Кои други фигури имат повече от една ос на симетрия?

Предложен отговор:Квадрат, правоъгълник, равнобедрен и равностранен триъгълник.

– Разглеждане на триизмерни фигури: куб, пирамида, конус, цилиндър и др. Тези фигури също имат ос на симетрия.Определете колко оси на симетрия имат квадрат, правоъгълник, равностранен триъгълник и предложените триизмерни фигури?

Раздавам на учениците половинките фигурки от пластилин.

Задача 4 (3 минути).

- Използвайки получената информация, довършете липсващата част от фигурата.

Забележка: фигурката може да бъде както плоска, така и триизмерна. Важно е учениците да определят как върви оста на симетрия и да попълнят липсващия елемент. Правилността на изпълнението се определя от съседа по бюрото, оценява колко добре е свършена работата.

Линия е изложена от дантела от същия цвят на работния плот (затворена, отворена, със самопреминаване, без самопреминаване).

Задача 5 (групова работа 5 минути).

- Визуално определете оста на симетрия и спрямо нея изпълнете втората част от дантела с различен цвят.

Правилността на извършената работа се определя от самите ученици.

На учениците се представят елементи от рисунки

Задача 6 (2 минути).

Намерете симетричните части на тези чертежи.

За консолидиране на преминатия материал предлагам следните задачи, предвидени за 15 минути:

Назовете всички равни елементи на триъгълника KOR и KOM. Какви са видовете тези триъгълници?

2. Начертайте в тетрадка няколко равнобедрени триъгълника с обща основа равна на 6 cm.

3. Начертайте отсечка AB. Построете права, перпендикулярна на отсечката AB и минаваща през нейната среда. Отбележете върху него точки C и D така, че четириъгълникът ACBD да е симетричен на правата AB.

- Първоначалните ни представи за формата принадлежат към много далечна епоха на древната каменна епоха - палеолита. В продължение на стотици хиляди години от този период хората са живели в пещери, в условия, които малко се различават от живота на животните. Хората изработват инструменти за лов и риболов, развиват език за общуване помежду си, а в епохата на късния палеолит те украсяват съществуването си, създавайки произведения на изкуството, фигурки и рисунки, които разкриват чудесен усет за форма.
Когато се извършва преход от просто събиране на храна към активното й производство, от лов и риболов към земеделие, човечеството навлиза в нова каменна ера - неолита.
Неолитният човек е имал изострено чувство за геометрична форма. Изпичането и оцветяването на глинени съдове, производството на тръстикови рогозки, кошници, тъкани и по-късно обработката на метала развиват идеи за равнинни и пространствени фигури. Неолитните орнаменти са били приятни за окото, разкривайки равенство и симетрия.
Къде се среща симетрията в природата?

Предложен отговор:крила на пеперуди, бръмбари, дървесни листа...

„Симетрията може да се види и в архитектурата. При изграждането на сгради строителите ясно се придържат към симетрията.

Ето защо сградите са толкова красиви. Също така пример за симетрия е човек, животни.

Домашна работа:

1. Измислете свой собствен орнамент, изобразете го на лист А4 (можете да го нарисувате под формата на килим).
2. Начертайте пеперуди, маркирайте къде има елементи на симетрия.

„Симетрията около нас” – Всички видове осова симетрия. Ротации. Гръцката дума симетрия означава „пропорционалност“, „хармония“. Произволно. Централна точка. Симетрия в пространството. Въртене (завъртане). В геометрията има фигури, които имат. Симетрия. Аксиален. Един вид симетрия. Около нас. Централна.

"В света на симетрията" - Орнаментите, фризовете са базирани на периодично повтарящ се модел. Симетрични са формите на бръмбар, червей, гъба, листо, цвете и пр. Повечето от сградите са огледално симетрични. Трябва ли всичко в живота да е симетрично? Защо трябва да знаете за симетрията, когато изучавате инженерство? Какво е симетрия? Симетрия в природата и техниката.

"Симетрия в изкуството" - Централна аксиална симетрия в архитектурата. II.1. пропорция в архитектурата. Палацо Спада (Рим). По естеството на творческите им възможности периодичността е универсално явление. III. Льо Корбюие. Ритъмът е един от основните елементи на изразителността на мелодията. Р. Декарт. Ж. А. Фабр. Геометрични методи за изобразяване на пространствени фигури:

„Точка на симетрия“ – Фигури, които нямат оси на симетрия. Точката О се нарича център на симетрия. Две точки A и A1 се наричат ​​симетрични спрямо O, ако O е средата на отсечката AA1. Равнобедреният трапец има само аксиална симетрия. Симетрия в природата. Правоъгълник и ромб, които не са квадрати, имат две оси на симетрия.

"Математическа симетрия" - Въпреки това, сложните молекули, като правило, нямат симетрия. палиндроми. Аксиален. централна симетрия. Аксиална симетрия. Видове симетрия. Симетрия в биологията. ротационна симетрия. Симетрия в изкуствата. ИМА МНОГО ОБЩО С ТРАНСЛАЦИОННАТА СИМЕТРИЯ В МАТЕМАТИКАТА. Спирална симетрия. Преводачески.

„Видове симетрия“ – Централната симетрия е движение. Огледалният близнак се оказва "обърнат" по посока, перпендикулярна на равнината на огледалото. Аксиалната симетрия също е движение. Теорема. Паралелен трансфер. централна симетрия. Видове движение. Концепцията за движение. Паралелният трансфер е един от видовете движение.

В темата има общо 11 презентации

Човешкият живот е изпълнен със симетрия. Това е удобно, красиво, няма нужда да измисляте нови стандарти. Но каква е тя всъщност и дали е толкова красива по природа, колкото се смята?

Симетрия

От древни времена хората се стремят да рационализират света около себе си. Следователно нещо се смята за красиво, а нещо не е така. От естетическа гледна точка за привлекателни се считат златното и сребърното сечение, както и разбира се симетрията. Този термин е от гръцки произход и буквално означава "пропорция". Разбира се, говорим не само за съвпадение на тази основа, но и на някои други. В общ смисъл симетрията е такова свойство на обект, когато в резултат на определени образувания резултатът е равен на първоначалните данни. Среща се както в живата, така и в неживата природа, както и в предмети, направени от човека.

На първо място, терминът "симетрия" се използва в геометрията, но намира приложение в много научни области и значението му като цяло остава непроменено. Това явление е доста често срещано и се счита за интересно, тъй като няколко от неговите видове, както и елементи, се различават. Използването на симетрия също е интересно, защото се среща не само в природата, но и в орнаменти върху тъкани, граници на сгради и много други предмети, създадени от човека. Струва си да разгледаме това явление по-подробно, защото е изключително вълнуващо.

Използване на термина в други научни области

В бъдеще симетрията ще се разглежда от гледна точка на геометрията, но си струва да се отбележи, че тази дума се използва не само тук. Биология, вирусология, химия, физика, кристалография - всичко това е непълен списък от области, в които това явление се изучава от различни ъгли и при различни условия. Класификацията например зависи от това към коя наука се отнася този термин. Така разделението на типове варира значително, въпреки че някои основни може би остават непроменени навсякъде.

Подобни видеа

Класификация

Има няколко основни типа симетрия, от които три са най-често срещаните:

В допълнение, следните видове също се отличават в геометрията, те са много по-рядко срещани, но не по-малко любопитни:

• плъзгане;
• ротационен;
• точка;
• прогресивен;
• винт;
• фрактал;
• и т.н.

В биологията всички видове се наричат ​​малко по-различно, въпреки че всъщност те могат да бъдат еднакви. Разделянето на определени групи става въз основа на наличието или отсъствието, както и броя на определени елементи, като центрове, равнини и оси на симетрия. Те трябва да бъдат разгледани поотделно и по-подробно.

Основни елементи

В явлението се разграничават някои черти, една от които задължително присъства. Така наречените основни елементи включват равнини, центрове и оси на симетрия. В съответствие с тяхното наличие, липса и количество се определя видът.

Центърът на симетрия се нарича точката вътре във фигурата или кристала, в която линиите се събират, свързвайки по двойки всички страни, успоредни една на друга. Разбира се, не винаги съществува. Ако има страни, към които няма успоредна двойка, тогава такава точка не може да бъде намерена, тъй като няма такава. Според дефиницията е очевидно, че центърът на симетрия е този, през който фигурата може да се отрази към себе си. Пример е например кръг и точка в средата му. Този елемент обикновено се нарича C.

Равнината на симетрия, разбира се, е въображаема, но тя е тази, която разделя фигурата на две части, равни една на друга. Тя може да минава през една или повече страни, да е успоредна на нея или да ги разделя. За една и съща фигура могат да съществуват няколко равнини наведнъж. Тези елементи обикновено се наричат ​​P.

Но може би най-често срещаното е това, което се нарича "оси на симетрия". Това често срещано явление може да се види както в геометрията, така и в природата. И заслужава отделно разглеждане.

брадви

Често елементът, по отношение на който фигурата може да се нарече симетрична,

е права линия или сегмент. Във всеки случай не говорим за точка или равнина. След това се разглеждат осите на симетрия на фигурите. Може да има много от тях и те могат да бъдат разположени по всякакъв начин: да разделят страните или да са успоредни на тях, както и да пресичат ъгли или не. Осите на симетрия обикновено се означават като L.

Примери за това са равнобедрените и равностранните триъгълници. В първия случай ще има вертикална ос на симетрия, от двете страни на която има равни лица, а във втория линиите ще пресичат всеки ъгъл и ще съвпадат с всички ъглополовящи, медиани и височини. Обикновените триъгълници го нямат.

Между другото, съвкупността от всички горепосочени елементи в кристалографията и стереометрията се нарича степен на симетрия. Този индикатор зависи от броя на осите, равнините и центровете.

Примери по геометрия

Условно е възможно да се раздели целият набор от обекти на изследване на математиците на фигури, които имат ос на симетрия, и такива, които нямат. Всички правилни многоъгълници, кръгове, овали, както и някои специални случаи автоматично попадат в първата категория, докато останалите попадат във втората група.

Както в случая, когато беше казано за оста на симетрия на триъгълника, този елемент за четириъгълника не винаги съществува. За квадрат, правоъгълник, ромб или успоредник е така, но за неправилна фигура съответно не е така. За кръг оста на симетрия е набор от прави линии, които минават през неговия център.

Освен това е интересно да се разгледат обемните фигури от тази гледна точка. Поне една ос на симетрия, в допълнение към всички правилни многоъгълници и топката, ще има някои конуси, както и пирамиди, паралелограми и някои други. Всеки случай трябва да се разглежда отделно.

Примери в природата

Огледалната симетрия в живота се нарича двустранна, тя е най-често срещана
често. Всеки човек и много животни са пример за това. Аксиалният се нарича радиален и е много по-рядко срещан, като правило, в растителния свят. И все пак са. Например, струва си да разгледаме колко оси на симетрия има една звезда и има ли ги изобщо? Разбира се, говорим за морския живот, а не за предмета на изучаване на астрономите. И правилният отговор би бил следният: зависи от броя на лъчите на звездата, например пет, ако е петлъчева.

В допълнение, много цветя имат радиална симетрия: маргаритки, метличина, слънчогледи и др. Има огромен брой примери, те са буквално навсякъде.

аритмия

Този термин, на първо място, напомня най-много на медицината и кардиологията, но първоначално има малко по-различно значение. В този случай синонимът ще бъде "асиметрия", тоест липса или нарушение на редовността в една или друга форма. Може да се намери като случайност, а понякога може да бъде красиво устройство, например в облеклото или архитектурата. В крайна сметка има много симетрични сгради, но известната наклонена кула в Пиза е леко наклонена и въпреки че не е единствената, това е най-известният пример. Известно е, че това се случи случайно, но в това има своя чар.

Освен това е очевидно, че лицата и телата на хората и животните също не са напълно симетрични. Има дори проучвания, според резултатите от които "правилните" лица се считат за неодушевени или просто непривлекателни. Все пак възприемането на симетрията и това явление само по себе си са удивителни и все още не са напълно проучени, поради което са изключително интересни.