Bây giờ và những gì tiếp theo, chúng ta sẽ giả định rằng ít nhất một trong những con số này khác 0. Nếu tất cả các số đã cho đều bằng 0, thì ước chung của chúng là bất kỳ số nguyên nào, và vì có vô hạn số nguyên nên chúng ta không thể nói về ước lớn nhất của chúng. Do đó, người ta không thể nói về ước số chung lớn nhất của các số, mỗi ước số đều bằng không.

Bây giờ chúng ta có thể cho tìm ước số chung lớn nhất hai số.

Sự định nghĩa.

Ước chung lớn nhất của hai số nguyên là số nguyên lớn nhất chia hai số nguyên đã cho.

Chữ viết tắt GCD thường được dùng để rút gọn ước chung lớn nhất - Greatest Common Divisor. Ngoài ra, ước số chung lớn nhất của hai số a và b thường được ký hiệu là gcd (a, b).

Hãy mang theo Ví dụ về số chia chung lớn nhất (gcd) hai số nguyên. Ước chung lớn nhất của 6 và −15 là 3. Hãy chứng minh điều này. Hãy viết ra tất cả các ước của số sáu: ± 6, ± 3, ± 1 và ước của số −15 là các số ± 15, ± 5, ± 3 và ± 1. Bây giờ bạn có thể tìm tất cả các ước chung của các số 6 và −15, đó là các số −3, −1, 1 và 3. Kể từ −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Định nghĩa ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số nguyên tương tự như định nghĩa gcd của hai số.

Sự định nghĩa.

Ước chung lớn nhất ba hoặc nhiều số nguyên là số nguyên lớn nhất chia đồng thời tất cả các số đã cho.

Ước chung lớn nhất của n số nguyên a 1, a 2,…, a n chúng ta sẽ ký hiệu là gcd (a 1, a 2,…, a n). Nếu tìm được giá trị b của ước chung lớn nhất của các số này thì chúng ta có thể viết GCD (a 1, a 2,…, a n) = b.

Ví dụ, với gcd của bốn số nguyên −8, 52, 16 và −12, nó bằng 4, tức là gcd (−8, 52, 16, −12) = 4. Điều này có thể được kiểm tra bằng cách viết ra tất cả các ước của các số đã cho, chọn các ước chung từ chúng và xác định ước chung lớn nhất.

Lưu ý rằng ước chung lớn nhất của các số nguyên có thể bằng một trong những số này. Phát biểu này đúng nếu tất cả các số đã cho đều chia hết cho một trong số chúng (bằng chứng được đưa ra trong đoạn tiếp theo của bài viết này). Ví dụ: gcd (15, 60, −45) = 15. Điều này đúng vì 15 chia cho 15, 60 và −45, và không có ước chung nào của 15, 60 và −45 lớn hơn 15.

Mối quan tâm đặc biệt là cái gọi là số nguyên tố tương đối, - những số nguyên như vậy, ước số chung lớn nhất của nó bằng một.

Thuộc tính số chia phổ biến nhất, Thuật toán Euclid

Ước chung lớn nhất có một số kết quả đặc trưng, ​​hay nói cách khác là một số thuộc tính. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê các thuộc tính của ước số chung lớn nhất (gcd), chúng ta sẽ hình thành chúng dưới dạng định lý và đưa ra ngay cách chứng minh.

Chúng tôi sẽ hình thành tất cả các thuộc tính của ước số chung lớn nhất cho các số nguyên dương, trong khi chúng tôi sẽ chỉ xem xét các ước số dương của những số này.

Ước chung lớn nhất của a và b bằng ước chung lớn nhất của b và a, tức là gcd (a, b) = gcd (a, b).

Thuộc tính GCD này theo sau trực tiếp từ định nghĩa của ước số chung lớn nhất.

Nếu a chia hết cho b thì tập các ước chung của a và b cũng giống như tập các ước của b, cụ thể là gcd (a, b) = b.

Bằng chứng.

Mọi ước chung của các số a và b là ước của mỗi số này, kể cả số b. Mặt khác, vì a là bội của b nên bất kỳ ước nào của số b cũng là ước của số a do phép chia có tính chất chuyển hóa, do đó, bất kỳ ước nào của số b là a ước chung của các số a và b. Điều này chứng tỏ rằng nếu a chia hết cho b thì tập hợp các ước của hai số a và b trùng với tập hợp các ước của một số b. Và vì ước số lớn nhất của số b là chính số b, nên ước số chung lớn nhất của hai số a và b cũng bằng b, tức là gcd (a, b) = b.

Đặc biệt, nếu số a và b bằng nhau thì gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b. Ví dụ: gcd (132, 132) = 132.

Tính chất ước số lớn nhất đã được chứng minh cho phép chúng ta tìm gcd của hai số khi một trong số chúng chia hết cho số kia. Trong trường hợp này, GCD bằng một trong những số này, mà một số khác chia hết. Ví dụ: gcd (8, 24) = 8 vì 24 là bội số của tám.

Nếu a = b q + c, trong đó a, b, c và q là các số nguyên, thì tập các ước chung của các số a và b trùng với tập các ước chung của các số b và c, cụ thể là gcd ( a, b) = gcd (b, c).

Hãy để chúng tôi chứng minh tính chất này của GCD.

Vì đẳng thức a = b · q + c có nên bất kỳ ước chung nào của số a và b cũng chia hết c (điều này xuất phát từ tính chất của phép chia hết). Vì lý do tương tự, mọi ước số chung của b và c đều chia hết a. Do đó, tập hợp các ước chung của các số a và b cũng giống như tập các ước chung của các số b và c. Đặc biệt, ước lớn nhất trong các ước chung này cũng phải trùng khớp, tức là hằng đẳng thức sau phải có giá trị gcd (a, b) = gcd (b, c).

Bây giờ chúng ta xây dựng và chứng minh một định lý, đó là Thuật toán Euclid. Thuật toán Euclid cho phép bạn tìm GCD của hai số (xem việc tìm GCD bằng thuật toán Euclid). Hơn nữa, thuật toán Euclid sẽ cho phép chúng ta chứng minh các tính chất sau của ước số chung lớn nhất.

Trước khi đưa ra phát biểu của định lý, chúng tôi khuyên bạn nên làm mới bộ nhớ của định lý từ phần lý thuyết, trong đó nói rằng số bị chia a có thể được biểu diễn dưới dạng b q + r, trong đó b là một số chia, q là một số nguyên nào đó được gọi là thương riêng, và r là số nguyên thỏa mãn điều kiện, gọi là phần dư.

Vì vậy, để cho hai số nguyên dương khác không a và b, một loạt các giá trị bằng nhau là đúng

kết thúc khi r k + 1 = 0 (điều này là không thể tránh khỏi, vì b> r 1> r 2> r 3,… là một chuỗi các số nguyên giảm dần và chuỗi này không thể chứa nhiều hơn một số hữu hạn các số dương), thì r k - là ước chung lớn nhất của a và b, nghĩa là r k = gcd (a, b).

Bằng chứng.

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh rằng r k là một ước chung của các số a và b, sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng r k không chỉ là một ước số mà còn là ước chung lớn nhất của các số a và b.

Chúng tôi sẽ di chuyển dọc theo các bằng nhau được viết từ dưới lên trên. Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể nói rằng r k − 1 chia hết cho r k. Với thực tế này, cũng như tính chất GCD trước đó, đẳng thức áp chót r k − 2 = r k − 1 q k + r k cho phép chúng ta khẳng định rằng r k − 2 chia hết cho r k, vì r k − 1 chia hết cho r k và r k chia hết bởi r k. Bằng phép loại suy, từ đẳng thức thứ ba từ dưới lên, chúng ta kết luận rằng r k − 3 chia hết cho r k. Và như thế. Từ đẳng thức thứ hai, chúng ta nhận được rằng b chia hết cho r k, và từ đẳng thức đầu tiên chúng tôi nhận được rằng a chia hết cho r k. Do đó, r k là ước chung của a và b.

Nó vẫn còn để chứng minh rằng r k = gcd (a, b). Đối với, nó đủ để chỉ ra rằng bất kỳ ước chung nào của các số a và b (chúng tôi ký hiệu là r 0) đều chia cho r k.

Chúng tôi sẽ di chuyển dọc theo các bằng nhau ban đầu từ trên xuống dưới. Theo tính chất trước, nó theo đẳng thức đầu tiên rằng r 1 chia hết cho r 0. Khi đó từ đẳng thức thứ hai ta nhận được rằng r 2 chia hết cho r 0. Và như thế. Từ đẳng thức cuối cùng ta nhận được rằng r k chia hết cho r 0. Do đó, r k = gcd (a, b).

Theo tính chất được xem xét của ước chung lớn nhất mà tập hợp các ước chung của các số a và b trùng với tập các ước của ước chung lớn nhất của các số này. Hệ quả này từ thuật toán Euclid cho phép chúng ta tìm tất cả các ước chung của hai số là ước của gcd của những số này.

Gọi a, b là các số nguyên không đồng thời bằng 0 thì tồn tại các số nguyên u 0 và v 0 như vậy thì đẳng thức gcd (a, b) = a u 0 + b v 0 là đúng. Đẳng thức cuối cùng là biểu diễn tuyến tính của ước số chung lớn nhất của các số a và b, đẳng thức này được gọi là tỷ lệ Bezout, và các số u 0 và v 0 là hệ số Bezout.

Bằng chứng.

Theo thuật toán Euclid, chúng ta có thể viết các giá trị bằng nhau sau



Từ đẳng thức đầu tiên, chúng ta có r 1 = a − b q 1, và, ký hiệu 1 = s 1 và −q 1 = t 1, đẳng thức này có dạng r 1 = s 1 a + t 1 b, và các số s 1 và t 1 là số nguyên. Khi đó từ đẳng thức thứ hai ta thu được r 2 = b − r 1 q 2 = b− (s 1 a + t 1 b) q 2 = −s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b. Ký hiệu −s 1 q 2 = s 2 và 1 − t 1 q 2 = t 2, đẳng thức cuối cùng có thể được viết dưới dạng r 2 = s 2 a + t 2 b, và s 2 và t 2 là các số nguyên (vì tổng , hiệu và tích của số nguyên là một số nguyên). Tương tự, từ đẳng thức thứ ba ta nhận được r 3 = s 3 · a + t 3 · b, từ đẳng thức thứ tư r 4 = s 4 · a + t 4 · b, v.v. Cuối cùng, r k = s k · a + t k · b, trong đó s k và t k là các số nguyên. Vì r k = gcd (a, b) và ký hiệu s k = u 0 và t k = v 0, chúng ta thu được biểu diễn tuyến tính của gcd ở dạng bắt buộc: gcd (a, b) = a u 0 + b v 0.

Nếu m là số tự nhiên bất kỳ thì gcd (m a, m b) = m gcd (a, b).

Cơ sở lý luận cho tính chất này của ước số chung lớn nhất như sau. Nếu chúng ta nhân với m cả hai vế của mỗi giá trị bằng nhau của thuật toán Euclid, chúng ta nhận được rằng gcd (m a, m b) = m r k và r k là gcd (a, b). Do đó, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b).

Tính chất của ước chung lớn nhất này là cơ sở cho phương pháp tìm GCD bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố.

Gọi p là ước chung của các số a và b, thì gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p, đặc biệt, nếu p = gcd (a, b) chúng ta có gcd (a: gcd (a, b), b: gcd (a, b)) = 1, nghĩa là, các số a: gcd (a, b) và b: gcd (a, b) là số nguyên tố.

Vì a = p (a: p) và b = p (b: p), và do tính chất trước, chúng ta có thể viết một chuỗi các bằng nhau có dạng gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p (b: p)) = p · gcd (a: p, b: p), khi đó đẳng thức được chứng minh sau đây.

Tính chất ước số chung lớn nhất vừa được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy nói thuộc tính GCD, làm giảm vấn đề tìm ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số thành liên tiếp tìm GCD của hai số.

Ước chung lớn nhất của các số a 1, a 2, ..., a k bằng số d k, được tìm thấy trong phép tính liên tiếp của GCD (a 1, a 2) = d 2, GCD (d 2, a 3) = d 3, GCD (d 3, a 4) = d 4,…, GCD (d k-1, a k) = d k.

Chứng minh dựa trên một hệ quả từ thuật toán Euclid. Ước chung của các số a 1 và a 2 cũng giống như ước của d 2. Khi đó ước chung của các số a 1, a 2 và a 3 trùng với ước chung của các số d 2 và a 3, do đó chúng trùng với ước của d 3. Các ước chung của các số a 1, a 2, a 3 và a 4 giống như ước chung của d 3 và a 4, do đó cũng giống như ước của d 4. Và như thế. Cuối cùng, ước chung của các số a 1, a 2,…, a k trùng với ước của d k. Và vì ước số lớn nhất của số d k là chính số d k, nên GCD (a 1, a 2,…, a k) = d k.

Điều này kết thúc việc xem xét các thuộc tính chính của ước số chung lớn nhất.

Thư mục.

• Vilenkin N.Ya. vv Toán học. Lớp 6: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục.
• Vinogradov I.M. Cơ bản của lý thuyết số.
• Mikhelovich Sh.Kh. Lý thuyết số.
• Kulikov L.Ya. và những người khác. Tuyển tập các bài toán trong lý thuyết đại số và số: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp fiz.-mat. các chuyên ngành của học viện sư phạm.

Máy tính trực tuyến cho phép bạn nhanh chóng tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của hai hoặc bất kỳ số nào khác.

Máy tính để tìm GCD và NOC

Tìm GCD và NOC

GCD và NOC được tìm thấy: 5806

Cách sử dụng máy tính

• Nhập số vào trường nhập
• Trong trường hợp nhập sai ký tự, trường nhập sẽ được tô màu đỏ
• nhấn nút "Tìm GCD và NOC"

Cách nhập số

• Các số được nhập cách nhau bằng dấu cách, dấu chấm hoặc dấu phẩy
• Độ dài của các số đã nhập không giới hạn, vì vậy việc tìm gcd và lcm của các số dài sẽ không khó

NOD và NOK là gì?

Ước chung lớn nhất của một số số là số nguyên tự nhiên lớn nhất mà tất cả các số ban đầu đều chia hết mà không có dư. Ước số chung lớn nhất được viết tắt là GCD.
Bội số chung nhỏ nhất một số số là số nhỏ nhất chia hết cho mỗi số ban đầu không có dư. Bội số chung nhỏ nhất được viết tắt là NOC.

Làm thế nào để kiểm tra một số có chia hết cho một số khác mà không có dư?

Để tìm hiểu xem một số có chia hết cho một số khác mà không có dư hay không, bạn có thể sử dụng một số tính chất về tính chất chia hết của các số. Sau đó, bằng cách kết hợp chúng, người ta có thể kiểm tra tính chất chia hết của một số chúng và tổ hợp của chúng.

Một số dấu hiệu chia hết các số

1. Dấu hiệu chia hết của một số cho 2
Để xác định xem một số có chia hết cho hai hay không (là số chẵn), chỉ cần nhìn vào chữ số cuối cùng của số này: nếu nó bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì số đó là chẵn, có nghĩa là nó chia hết cho 2.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 2 hay không.
Dung dịch: nhìn vào chữ số tận cùng: 8 nghĩa là số chia hết cho hai.

2. Dấu hiệu chia hết của một số cho 3
Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Do đó, để xác định một số có chia hết cho 3 hay không, bạn cần tính tổng các chữ số và kiểm tra xem nó có chia hết cho 3. Ngay cả khi tổng các chữ số là rất lớn, bạn có thể lặp lại quy trình tương tự. lại.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 3 không.
Dung dịch: ta đếm tổng các chữ số: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27. 27 chia hết cho 3 tức là số đó chia hết cho ba.

3. Dấu hiệu chia hết của một số cho 5
Một số chia hết cho 5 khi chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 5 hay không.
Dung dịch: nhìn vào chữ số cuối cùng: 8 có nghĩa là số KHÔNG chia hết cho năm.

4. Dấu hiệu chia hết của một số cho 9
Dấu hiệu này rất giống với dấu hiệu chia hết cho ba: một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Thí dụ: xác định xem số 34938 có chia hết cho 9 không.
Dung dịch: ta tính tổng các chữ số: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27. 27 chia hết cho 9 tức là số đó chia hết cho chín.

Cách tìm GCD và LCM của hai số

Cách tìm GCD của hai số

Cách đơn giản nhất để tính ước chung lớn nhất của hai số là tìm tất cả các ước có thể có của những số này và chọn ước lớn nhất của chúng.

Hãy xem xét phương pháp này bằng cách sử dụng ví dụ về tìm GCD (28, 36):

1. Ta tính thừa cả hai số: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Chúng ta tìm thừa số chung, nghĩa là những thừa số mà cả hai số đều có: 1, 2 và 2.
3. Chúng tôi tính tích của các thừa số này: 1 2 2 \ u003d 4 - đây là ước chung lớn nhất của các số 28 và 36.

Cách tìm LCM của hai số

Có hai cách phổ biến nhất để tìm bội nhỏ nhất của hai số. Cách đầu tiên là bạn có thể viết ra bội số đầu tiên của hai số, sau đó chọn trong số chúng một số sao cho là chung của cả hai số và đồng thời là số nhỏ nhất. Và thứ hai là tìm GCD của những con số này. Hãy cứ xem xét nó.

Để tính LCM, bạn cần tính tích của các số ban đầu và sau đó chia nó cho GCD đã tìm được trước đó. Hãy tìm LCM cho các số giống nhau 28 và 36:

1. Tìm tích của các số 28 và 36: 28 36 = 1008
2. gcd (28, 36) đã được biết đến là 4
3. LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.

Tìm GCD và LCM cho nhiều số

Ước số chung lớn nhất có thể được tìm thấy cho một số số, và không chỉ cho hai. Vì vậy, các số tìm được ước số chung lớn nhất được phân tích thành các thừa số nguyên tố, sau đó tích các số nguyên tố chung của các số này được tìm thấy. Ngoài ra, để tìm GCD của một số số, bạn có thể sử dụng mối quan hệ sau: gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).

Mối quan hệ tương tự cũng áp dụng cho bội số phổ biến nhất: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Thí dụ: tìm GCD và LCM cho các số 12, 32 và 36.

1. Đầu tiên, hãy phân tích các số: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
2. Hãy tìm thừa số chung: 1, 2 và 2.
3. Sản phẩm của họ sẽ cho gcd: 1 2 2 = 4
4. Bây giờ chúng ta hãy tìm LCM: đối với điều này, đầu tiên chúng ta tìm LCM (12, 32): 12 32/4 = 96.
5. Để tìm ƯCLN của cả ba số, bạn cần tìm ƯCLN (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Bài văn này là về tìm ước số chung lớn nhất (gcd) hai hoặc nhiều số. Đầu tiên, hãy xem xét thuật toán Euclid, nó cho phép bạn tìm GCD của hai số. Sau đó, chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp cho phép chúng ta tính toán GCD của các số như là một tích của các thừa số nguyên tố chung của chúng. Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết việc tìm ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số, và cũng đưa ra các ví dụ về tính GCD của các số âm.

Điều hướng trang.

Thuật toán Euclid để tìm GCD

Lưu ý rằng nếu chúng ta đã chuyển sang bảng số nguyên tố ngay từ đầu, chúng ta sẽ phát hiện ra rằng các số 661 và 113 là số nguyên tố, từ đó chúng ta có thể nói ngay rằng ước số chung lớn nhất của chúng là 1.

Câu trả lời:

gcd (661, 113) = 1.

Tìm GCD bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố

Hãy xem xét một cách khác để tìm GCD. Ước số chung lớn nhất có thể được tìm thấy bằng cách gộp các số thành thừa số nguyên tố. Hãy xây dựng quy tắc: Gcd của hai số nguyên dương a và b bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung trong phép phân tích của a và b thành các thừa số nguyên tố.

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ để giải thích quy tắc tìm GCD. Hãy cho biết khai triển của hai số 220 và 600 thành thừa số nguyên tố, chúng có dạng 220 = 2 2 5 11 và 600 = 2 2 2 3 5 5. Các thừa số nguyên tố phổ biến liên quan đến khai triển các số 220 và 600 là 2, 2 và 5. Do đó gcd (220, 600) = 2 2 5 = 20.

Vì vậy, nếu chúng ta phân tích các số a và b thành các thừa số nguyên tố và tìm tích của tất cả các thừa số chung của chúng, thì điều này sẽ tìm thấy ước chung lớn nhất của các số a và b.

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm GCD theo quy tắc đã thông báo.

Thí dụ.

Tìm ước chung lớn nhất của 72 và 96.

Dung dịch.

Hãy phân tích các số 72 và 96:

Tức là, 72 = 2 2 2 3 3 và 96 = 2 2 2 2 2 3. Các thừa số nguyên tố thường gặp là 2, 2, 2 và 3. Vậy gcd (72, 96) = 2 2 2 3 = 24.

Câu trả lời:

gcd (72, 96) = 24.

Trong phần kết luận của phần này, chúng tôi lưu ý rằng tính hợp lệ của quy tắc trên để tìm gcd tuân theo thuộc tính của ước số chung lớn nhất, quy tắc này nói rằng GCD (m a 1, m b 1) = m GCD (a 1, b 1), với m là một số nguyên dương bất kỳ.

Tìm GCD của ba số trở lên

Tìm ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số có thể được rút gọn thành liên tiếp tìm gcd của hai số. Chúng tôi đã đề cập đến điều này khi nghiên cứu các thuộc tính của GCD. Ở đó, chúng tôi xây dựng và chứng minh định lý: ước chung lớn nhất của một số a 1, a 2,…, a k bằng số d k, được tìm thấy trong phép tính liên tiếp của gcd (a 1, a 2) = d 2 , gcd (d 2, a 3) = d 3, GCD (d 3, a 4) = d 4,…, GCD (d k-1, a k) = d k.

Hãy xem quá trình tìm GCD của một số số như thế nào bằng cách xem xét lời giải của ví dụ.

Thí dụ.

Tìm ước chung lớn nhất của bốn số 78, 294, 570 và 36.

Dung dịch.

Trong ví dụ này, a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Đầu tiên, sử dụng thuật toán Euclid, chúng tôi xác định ước chung lớn nhất d 2 của hai số đầu tiên 78 và 294. Khi chia ta được các số bằng 294 = 78 3 + 60; 78 = 60 1 + 18; 60 = 18 3 + 6 và 18 = 6 3. Như vậy, d 2 = GCD (78, 294) = 6.

Bây giờ chúng ta hãy tính toán d 3 \ u003d GCD (d 2, a 3) \ u003d GCD (6, 570). Một lần nữa chúng ta áp dụng thuật toán Euclid: 570 = 6 · 95, do đó, d 3 = GCD (6, 570) = 6.

Nó vẫn còn để tính toán d 4 \ u003d GCD (d 3, a 4) \ u003d GCD (6, 36). Vì 36 chia hết cho 6 nên d 4 \ u003d GCD (6, 36) \ u003d 6.

Do đó, ước chung lớn nhất của bốn số đã cho là d 4 = 6, tức là gcd (78, 294, 570, 36) = 6.

Câu trả lời:

gcd (78, 294, 570, 36) = 6.

Việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố cũng cho phép bạn tính GCD của ba số trở lên. Trong trường hợp này, ước số chung lớn nhất được tìm thấy là tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của các số đã cho.

Thí dụ.

Tính GCD của các số từ ví dụ trước bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của chúng.

Dung dịch.

Ta phân tích các số 78, 294, 570 và 36 thành các thừa số nguyên tố, ta được 78 = 2 3 13, 294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3. Thừa số nguyên tố chung của bốn số đã cho là số 2 và số 3. Do đó, GCD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Tìm bội chung nhỏ nhất (LCM) và ước chung lớn nhất (GCD) của các số tự nhiên.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Chúng tôi viết ra các thừa số có trong khai triển của số đầu tiên trong các số này và thêm vào chúng thừa số còn thiếu 5 từ khai triển của số thứ hai. Ta được: 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300. Đã tìm thấy NOC, tức là tổng này = 300. Đừng quên thứ nguyên và viết câu trả lời:
Trả lời: Mẹ cho mỗi đứa 300 rúp.

Định nghĩa GCD: Số chia chung lớn nhất (GCD) số tự nhiên một và Trong gọi tên số tự nhiên lớn nhất c, đến và một, và b chia không dư. Những thứ kia. c là số tự nhiên nhỏ nhất mà và một và b là bội số.

Lời nhắc nhở: Có hai cách tiếp cận để định nghĩa số tự nhiên

• số dùng trong: liệt kê (đánh số) các mục (thứ nhất, thứ hai, thứ ba, ...); - trong trường học, thường là.
• cho biết số lượng vật phẩm (không có pokemon - số không, một pokemon, hai pokemon, ...).

Các số âm và không nguyên (hữu tỉ, thực, ...) không phải là số tự nhiên. Một số tác giả đưa số 0 vào tập hợp các số tự nhiên, những tác giả khác thì không. Tập hợp tất cả các số tự nhiên thường được ký hiệu bằng ký hiệu N

Lời nhắc nhở: Chia của một số tự nhiên một gọi số b, mà một chia không dư. Nhiều số tự nhiên bđược gọi là số tự nhiên một, được chia cho b Không một dâu vêt. Nếu số b- ước số một, sau đó một bội số b. Ví dụ: 2 là ước của 4 và 4 là bội của 2. 3 là ước của 12 và 12 là bội của 3.
Lời nhắc nhở: Các số tự nhiên được gọi là số nguyên tố nếu chúng chỉ chia hết mà không có dư chỉ cho chính chúng và cho 1. Số đồng phân là số chỉ có một ước chung bằng 1.

Định nghĩa cách tìm GCD trong trường hợp tổng quát:Để tìm GCD (Số chia chung lớn nhất) Một số số tự nhiên là cần thiết:
1) Phân tích chúng thành các thừa số nguyên tố. (Biểu đồ số nguyên tố có thể rất hữu ích cho việc này.)
2) Viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong số chúng.
3) Xóa những cái không có trong khai triển của các số còn lại.
4) Nhân các thừa số có được trong đoạn 3).

Nhiệm vụ 2 trên (NOK):Đến năm mới, Kolya Puzatov đã mua 48 con chuột hamster và 36 bình cà phê trong thành phố. Fekla Dormidontova, cô gái trung thực nhất trong lớp, được giao nhiệm vụ chia tài sản này thành số bộ quà tặng lớn nhất có thể cho giáo viên. Số bộ là bao nhiêu? Thành phần của các bộ là gì?

Ví dụ 2.1. giải bài toán tìm GCD. Tìm GCD theo lựa chọn.
Dung dịch: Mỗi số 48 và 36 phải chia hết cho số quà.
1) Viết ra các ước số 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Viết các ước số 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Chọn ước số chung lớn nhất. Op-la-la! Đã tìm thấy, đây là số lượng bộ gồm 12 mảnh.
3) Chia 48 cho 12 ta được 4, chia 36 cho 12 ta được 3. Đừng quên thứ nguyên và viết câu trả lời:
Trả lời: Bạn sẽ nhận được 12 bộ gồm 4 chuột đồng và 3 bình cà phê trong mỗi bộ.

Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên.

Các số chia hết cho 2 không có dư được gọi làthậm chí .

Các số không chia hết cho 2 được gọi làsố lẻ .

Dấu hiệu chia hết cho 2

Nếu bản ghi của một số tự nhiên có chữ số chẵn thì số này chia hết cho 2 mà không có dư, còn nếu bản ghi của một số có chữ số lẻ thì số này không chia hết cho 2 mà không có dư.

Ví dụ, các số 60 , 30 8 , 8 4 chia hết mà không có dư cho 2 và các số 51 , 8 5 , 16 7 không chia hết cho 2 mà không có dư.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 3 thì số đó không chia hết cho 3.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 2772825 có chia hết cho 3. Để làm điều này, chúng ta tính tổng các chữ số của số này: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33 - chia hết cho 3 .Vậy số 2772825 chia hết cho 3.

Dấu hiệu chia hết cho 5

Nếu bản ghi của một số tự nhiên kết thúc bằng chữ số 0 hoặc chữ số 5 thì số này chia hết mà không có dư cho 5. Nếu bản ghi của một số có chữ số khác thì số không có dư không chia hết cho 5.

Ví dụ, số 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 chia hết mà không có dư cho 5 và các số 17 , 37 8 , 9 1 không chia sẻ.

Dấu hiệu chia hết cho 9

Nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 9 thì số đó cũng chia hết cho 9; Nếu tổng các chữ số của một số không chia hết cho 9 thì số đó không chia hết cho 9.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm xem số 5402070 có chia hết cho 9. Để làm điều này, chúng tôi tính tổng các chữ số của số này: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 16 - không chia hết cho 9. Điều này có nghĩa là số 5402070 không chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 10

Nếu ghi một số tự nhiên có chữ số 0 thì số này chia hết cho 10 mà không có dư, nếu ghi một số tự nhiên có chữ số khác thì không chia hết cho 10 mà không có dư.

Ví dụ, các số 40 , 17 0 , 1409 0 chia hết không có dư cho 10 và các số 17 , 9 3 , 1430 7 - không chia sẻ.

Quy tắc tìm ước chung lớn nhất (gcd).

Để tìm ước chung lớn nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:

2) từ các yếu tố có trong khai triển của một trong những số này, gạch bỏ những yếu tố không có trong khai triển của các số khác;

3) tìm tích của các yếu tố còn lại.

Thí dụ. Hãy tìm GCD (48; 36). Hãy sử dụng quy tắc.

1. Ta phân tích các số 48 và 36 thành các thừa số nguyên tố.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Từ các yếu tố có trong khai triển số 48, chúng ta xóa các yếu tố không có trong khai triển số 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Có các yếu tố 2, 2 và 3.

3. Nhân các thừa số còn lại ta được 12. Số này là ước chung lớn nhất trong các số 48 và 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Quy tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của một số số tự nhiên, bạn cần:

1) phân hủy chúng thành các thừa số nguyên tố;

2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;

3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ các mở rộng của các số còn lại;

4) tìm tích của các yếu tố kết quả.

Thí dụ. Hãy tìm LCM (75; 60). Hãy sử dụng quy tắc.

1. Chúng ta phân tích các số 75 và 60 thành các thừa số nguyên tố.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Viết các thừa số có trong khai triển của số 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Thêm vào chúng những yếu tố còn thiếu từ sự phân hủy của số 60, tức là 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Tìm tích của các yếu tố kết quả

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.