Những điều cho một đứa trẻ 

Các mô hình toán học hiện đại. Nhiều cách khác nhau để xây dựng một mô hình toán học


Trong bài báo đã thu hút sự chú ý của bạn, chúng tôi đưa ra các ví dụ về các mô hình toán học. Ngoài ra, chúng ta sẽ chú ý đến các giai đoạn tạo mô hình và phân tích một số vấn đề liên quan đến mô hình toán học.

Một vấn đề khác của chúng ta là các mô hình toán học trong kinh tế học, các ví dụ mà chúng ta sẽ xem xét một định nghĩa sau đó một chút. Chúng tôi đề xuất bắt đầu cuộc trò chuyện của mình với khái niệm “mô hình”, xem xét ngắn gọn phân loại của chúng và chuyển sang các câu hỏi chính của chúng tôi.

Khái niệm "mô hình"

Chúng ta thường nghe từ "người mẫu". Nó là gì? Thuật ngữ này có nhiều định nghĩa, đây chỉ là ba trong số chúng:

  • một đối tượng cụ thể được tạo ra để tiếp nhận và lưu trữ thông tin, phản ánh một số thuộc tính hoặc đặc điểm, v.v. của bản gốc của đối tượng này (đối tượng cụ thể này có thể được thể hiện dưới các hình thức khác nhau: tinh thần, mô tả bằng dấu hiệu, v.v.);
  • một mô hình cũng có nghĩa là hiển thị bất kỳ tình huống, cuộc sống hoặc quản lý cụ thể nào;
  • một bản sao nhỏ của một đối tượng có thể dùng làm mô hình (chúng được tạo ra để nghiên cứu và phân tích chi tiết hơn, vì mô hình phản ánh cấu trúc và các mối quan hệ).

Dựa trên tất cả những gì đã nói trước đó, chúng ta có thể rút ra một kết luận nhỏ: mô hình cho phép bạn nghiên cứu chi tiết một hệ thống hoặc đối tượng phức tạp.

Tất cả các mô hình có thể được phân loại theo một số tính năng:

  • theo lĩnh vực sử dụng (giáo dục, thử nghiệm, khoa học và kỹ thuật, chơi game, mô phỏng);
  • bằng động lực học (tĩnh và động);
  • theo nhánh kiến ​​thức (vật lý, hóa học, địa lý, lịch sử, xã hội học, kinh tế, toán học);
  • theo phương pháp trình bày (tư liệu và thông tin).

Đến lượt mình, các mô hình thông tin được chia thành dấu hiệu và lời nói. Và mang tính biểu tượng - trên máy tính và không máy tính. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét chi tiết các ví dụ về một mô hình toán học.

Mô hình toán học

Như bạn có thể đoán, một mô hình toán học phản ánh một số đặc điểm của một đối tượng hoặc hiện tượng bằng cách sử dụng các ký hiệu toán học đặc biệt. Toán học là cần thiết để mô hình hóa các quy luật của thế giới bằng ngôn ngữ cụ thể của riêng nó.

Phương pháp mô hình toán học có nguồn gốc từ khá lâu, cách đây hàng nghìn năm, cùng với sự ra đời của ngành khoa học này. Tuy nhiên, động lực cho sự phát triển của phương pháp mô hình hóa này được đưa ra bởi sự xuất hiện của máy tính (máy tính điện tử).

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phân loại. Nó cũng có thể được thực hiện theo một số dấu hiệu. Chúng được trình bày trong bảng dưới đây.

Chúng tôi đề xuất dừng lại và xem xét kỹ hơn cách phân loại cuối cùng, vì nó phản ánh các dạng mô hình chung và mục tiêu của các mô hình được tạo ra.

Mô hình mô tả

Trong chương này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu chi tiết hơn về các mô hình toán học mô tả. Để làm cho mọi thứ thật rõ ràng, một ví dụ sẽ được đưa ra.

Để bắt đầu, chế độ xem này có thể được gọi là mô tả. Điều này là do chúng ta chỉ đơn giản thực hiện các tính toán và dự báo, nhưng chúng ta không thể tác động đến kết quả của sự kiện theo bất kỳ cách nào.

Một ví dụ nổi bật của mô hình toán học mô tả là tính toán đường bay, tốc độ, khoảng cách từ Trái đất của một sao chổi xâm nhập vào vùng mở rộng của hệ mặt trời của chúng ta. Mô hình này là mô tả, vì tất cả các kết quả thu được chỉ có thể cảnh báo chúng ta về một số loại nguy hiểm. Thật không may, chúng tôi không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện. Tuy nhiên, dựa trên những tính toán thu được, người ta có thể thực hiện bất kỳ biện pháp nào để bảo tồn sự sống trên Trái đất.

Các mô hình tối ưu hóa

Bây giờ chúng ta sẽ nói một chút về các mô hình kinh tế và toán học, các ví dụ có thể là các tình huống khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình giúp tìm ra câu trả lời đúng trong những điều kiện nhất định. Chúng phải có một số tham số. Để làm cho nó rõ ràng hơn, hãy xem xét một ví dụ từ phần nông nghiệp.

Chúng tôi có một vựa lúa, nhưng ngũ cốc hư hỏng rất nhanh. Trong trường hợp này, chúng ta cần chọn chế độ nhiệt độ phù hợp và tối ưu hóa quá trình bảo quản.

Như vậy, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm "mô hình tối ưu hóa". Theo nghĩa toán học, đây là một hệ phương trình (cả tuyến tính và không tuyến tính), giải pháp giúp tìm ra giải pháp tối ưu trong một tình huống kinh tế cụ thể. Chúng ta đã xem xét một ví dụ về mô hình toán học (tối ưu hóa), nhưng tôi muốn nói thêm một điều nữa: loại này thuộc loại bài toán cực trị, chúng giúp mô tả hoạt động của hệ thống kinh tế.

Chúng tôi lưu ý thêm một sắc thái: các mô hình có thể có bản chất khác (xem bảng bên dưới).

Các mô hình đa tiêu chí

Bây giờ chúng tôi mời bạn nói một chút về mô hình toán học của tối ưu hóa đa mục tiêu. Trước đó, chúng tôi đã đưa ra một ví dụ về một mô hình toán học để tối ưu hóa một quy trình theo bất kỳ một tiêu chí nào, nhưng nếu có nhiều tiêu chí thì sao?

Một ví dụ nổi bật của nhiệm vụ đa tiêu chí là tổ chức dinh dưỡng hợp lý, lành mạnh và đồng thời tiết kiệm cho các nhóm lớn người. Những nhiệm vụ như vậy thường gặp trong quân đội, căng tin trường học, trại hè, bệnh viện, v.v.

Tiêu chí nào được đưa ra cho chúng tôi trong nhiệm vụ này?

  1. Thức ăn phải tốt cho sức khỏe.
  2. Chi phí ăn uống nên được giữ ở mức tối thiểu.

Như bạn có thể thấy, những mục tiêu này hoàn toàn không trùng khớp. Điều này có nghĩa là khi giải một bài toán, cần tìm kiếm giải pháp tối ưu, cân đối giữa hai tiêu chí.

Mô hình trò chơi

Nói về mô hình trò chơi, cần hiểu rõ khái niệm “lý thuyết trò chơi”. Nói một cách đơn giản, các mô hình này phản ánh các mô hình toán học về các xung đột thực tế. Chỉ đáng hiểu rằng, không giống như một cuộc xung đột thực sự, một mô hình toán học trò chơi có các quy tắc cụ thể của riêng nó.

Bây giờ tôi sẽ cung cấp thông tin tối thiểu từ lý thuyết trò chơi, điều này sẽ giúp bạn hiểu mô hình trò chơi là gì. Và như vậy, trong mô hình nhất thiết phải có các bên (hai hoặc nhiều hơn), thường được gọi là người chơi.

Tất cả các mô hình đều có những đặc điểm nhất định.

Mô hình trò chơi có thể được ghép nối hoặc nhiều mô hình. Nếu chúng ta có hai chủ thể, thì xung đột được ghép nối, nếu nhiều hơn - nhiều hơn. Trò chơi đối kháng cũng có thể phân biệt, nó còn được gọi là trò chơi có tổng bằng không. Đây là một mô hình trong đó lợi ích của một trong những người tham gia bằng với mất mát của người kia.

mô hình mô phỏng

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào các mô hình toán học mô phỏng. Ví dụ về các nhiệm vụ là:

  • mô hình động thái số lượng vi sinh vật;
  • mô hình chuyển động của phân tử, v.v.

Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình càng gần với quy trình thực càng tốt. Nhìn chung, chúng bắt chước bất kỳ biểu hiện nào trong tự nhiên. Ví dụ, trong trường hợp đầu tiên, chúng ta có thể lập mô hình động lực học của số lượng kiến ​​trong một đàn. Trong trường hợp này, bạn có thể quan sát số phận của từng cá nhân. Trong trường hợp này, mô tả toán học hiếm khi được sử dụng, thường có các điều kiện viết:

  • sau năm ngày, con cái đẻ trứng;
  • sau hai mươi ngày con kiến ​​chết, vân vân.

Do đó, được sử dụng để mô tả một hệ thống lớn. Kết luận toán học là xử lý dữ liệu thống kê nhận được.

Yêu cầu

Điều rất quan trọng là phải biết rằng có một số yêu cầu đối với loại mô hình này, trong số đó là những yêu cầu được đưa ra trong bảng dưới đây.

Tính linh hoạt

Thuộc tính này cho phép bạn sử dụng cùng một mô hình khi mô tả các nhóm đối tượng cùng loại. Điều quan trọng cần lưu ý là các mô hình toán học phổ quát hoàn toàn độc lập với bản chất vật lý của đối tượng được nghiên cứu.

Đầy đủ

Ở đây, điều quan trọng là phải hiểu rằng thuộc tính này cho phép sao chép chính xác nhất các quy trình thực. Trong các bài toán hoạt động, tính chất này của mô hình toán học là rất quan trọng. Một ví dụ về mô hình là quá trình tối ưu hóa việc sử dụng hệ thống khí đốt. Trong trường hợp này, các chỉ số tính toán và thực tế được so sánh, do đó, tính đúng đắn của mô hình đã biên dịch được kiểm tra.

Sự chính xác

Yêu cầu này ngụ ý sự trùng hợp của các giá trị mà chúng ta thu được khi tính toán mô hình toán học và các tham số đầu vào của đối tượng thực của chúng ta

nền kinh tế

Yêu cầu của nền kinh tế đối với bất kỳ mô hình toán học nào được đặc trưng bởi chi phí thực hiện. Nếu công việc với mô hình được thực hiện theo cách thủ công, thì cần phải tính xem cần bao nhiêu thời gian để giải một bài toán bằng cách sử dụng mô hình toán học này. Nếu chúng ta đang nói về thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính, thì các chỉ số về thời gian và bộ nhớ máy tính được tính

Các bước lập mô hình

Nói chung, theo thói quen, người ta thường phân biệt bốn giai đoạn trong mô hình toán học.

  1. Xây dựng luật liên kết các bộ phận của mô hình.
  2. Nghiên cứu các vấn đề toán học.
  3. Tìm ra sự trùng hợp giữa các kết quả thực tế và lý thuyết.
  4. Phân tích và hiện đại hóa mô hình.

Mô hình kinh tế và toán học

Trong phần này, chúng tôi sẽ làm nổi bật vấn đề một cách ngắn gọn. Ví dụ về các nhiệm vụ có thể là:

  • hình thành chương trình sản xuất sản phẩm thịt, đảm bảo sản xuất đạt lợi nhuận tối đa;
  • tối đa hóa lợi nhuận của tổ chức bằng cách tính toán số lượng bàn ghế tối ưu được sản xuất trong một nhà máy sản xuất đồ nội thất, v.v.

Mô hình kinh tế-toán học hiển thị một sự trừu tượng kinh tế, được thể hiện bằng cách sử dụng các thuật ngữ và dấu hiệu toán học.

Mô hình toán học máy tính

Ví dụ về một mô hình toán học máy tính là:

  • nhiệm vụ thủy lực sử dụng lưu đồ, sơ đồ, bảng, v.v.;
  • các vấn đề về cơ học rắn, v.v.

Mô hình máy tính là hình ảnh của một đối tượng hoặc hệ thống, được trình bày dưới dạng:

  • những cái bàn;
  • sơ đồ khối;
  • sơ đồ;
  • đồ họa, v.v.

Đồng thời, mô hình này phản ánh cấu trúc và các mối liên kết của hệ thống.

Xây dựng mô hình kinh tế và toán học

Chúng ta đã nói về mô hình toán học-kinh tế là gì. Một ví dụ về việc giải quyết vấn đề sẽ được xem xét ngay bây giờ. Chúng ta cần phân tích chương trình sản xuất để xác định mức dự trữ nhằm tăng lợi nhuận khi có sự thay đổi trong phân loại.

Chúng ta sẽ không xem xét đầy đủ vấn đề mà chỉ xây dựng một mô hình kinh tế và toán học. Tiêu chí của nhiệm vụ của chúng tôi là tối đa hóa lợi nhuận. Khi đó hàm có dạng: Л = р1 * х1 + р2 * х2… có xu hướng đạt cực đại. Trong mô hình này, p là lợi nhuận trên mỗi đơn vị, x là số đơn vị sản xuất. Hơn nữa, dựa trên mô hình đã xây dựng, cần phải tính toán và tổng hợp.

Một ví dụ về việc xây dựng một mô hình toán học đơn giản

Một nhiệm vụ. Người đánh cá trở về với số tiền đánh bắt được như sau:

  • 8 con cá - cư dân của các vùng biển phía Bắc;
  • 20% sản lượng đánh bắt - cư dân của các vùng biển phía nam;
  • không một con cá nào được tìm thấy từ sông địa phương.

Người đó đã mua bao nhiêu con cá ở cửa hàng?

Vì vậy, một ví dụ về việc xây dựng một mô hình toán học của bài toán này như sau. Chúng tôi ký hiệu tổng số cá là x. Theo điều kiện, 0,2x là số lượng cá sống ở vĩ độ nam. Bây giờ chúng ta kết hợp tất cả các thông tin có sẵn và nhận được một mô hình toán học của bài toán: x = 0,2x + 8. Chúng ta giải phương trình và nhận được câu trả lời cho câu hỏi chính: anh ta mua 10 con cá trong cửa hàng.

Mô hình toán học

1. Mô hình toán học là gì?

Từ giữa TK XX. trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, các phương pháp toán học và máy tính bắt đầu được sử dụng rộng rãi. Các ngành mới như "toán học kinh tế", "toán học hóa học", "ngôn ngữ học toán học", v.v., đã xuất hiện nghiên cứu các mô hình toán học của các đối tượng và hiện tượng tương ứng, cũng như các phương pháp nghiên cứu các mô hình này.

Mô hình toán học là một mô tả gần đúng của bất kỳ lớp hiện tượng hoặc đối tượng nào trong thế giới thực bằng ngôn ngữ toán học. Mục đích chính của việc lập mô hình là khám phá những đối tượng này và dự đoán kết quả của những lần quan sát trong tương lai. Tuy nhiên, mô hình hóa cũng là một phương pháp nhận thức về thế giới xung quanh, giúp chúng ta có thể kiểm soát được nó.

Mô hình toán học và thí nghiệm máy tính liên quan là không thể thiếu trong trường hợp một thí nghiệm toàn diện là không thể hoặc khó khăn vì lý do này hay lý do khác. Ví dụ, không thể thiết lập một thí nghiệm quy mô toàn diện trong lịch sử để kiểm tra “điều gì sẽ xảy ra nếu ...” Không thể kiểm tra tính đúng đắn của lý thuyết vũ trụ này hay lý thuyết vũ trụ đó. Về nguyên tắc, có thể, nhưng khó hợp lý, thử nghiệm sự lây lan của một số loại dịch bệnh, chẳng hạn như bệnh dịch hạch, hoặc thực hiện một vụ nổ hạt nhân để nghiên cứu hậu quả của nó. Tuy nhiên, tất cả điều này có thể được thực hiện trên máy tính, trước đó đã xây dựng các mô hình toán học của các hiện tượng đang nghiên cứu.

2. Các giai đoạn chính của mô hình toán học

1) Xây dựng mô hình. Ở giai đoạn này, một số đối tượng "phi toán học" được xác định cụ thể - một hiện tượng tự nhiên, xây dựng, kế hoạch kinh tế, quá trình sản xuất, v.v. Trong trường hợp này, như một quy luật, việc mô tả rõ ràng tình hình là rất khó. Đầu tiên, các đặc điểm chính của hiện tượng và mối quan hệ giữa chúng ở mức độ định tính được xác định. Sau đó, các phụ thuộc định tính được tìm thấy được xây dựng bằng ngôn ngữ toán học, tức là, một mô hình toán học được xây dựng. Đây là phần khó nhất của mô hình.

2) Giải quyết vấn đề toán học mà mô hình dẫn đến. Ở giai đoạn này, người ta chú ý nhiều đến việc phát triển các thuật toán và phương pháp số để giải bài toán trên máy tính, với sự trợ giúp của kết quả có thể được tìm thấy với độ chính xác cần thiết và trong thời gian có thể chấp nhận được.

3) Giải thích các hệ quả thu được từ mô hình toán học. Các hệ quả thu được từ mô hình bằng ngôn ngữ toán học được giải thích bằng ngôn ngữ được chấp nhận trong lĩnh vực này.

4) Kiểm tra tính đầy đủ của mô hình.Ở giai đoạn này, nó được tìm hiểu xem liệu kết quả của thí nghiệm có đồng ý với các hệ quả lý thuyết từ mô hình trong một độ chính xác nhất định hay không.

5) Sửa đổi mô hình.Ở giai đoạn này, mô hình trở nên phức tạp hơn để phù hợp hơn với thực tế, hoặc nó được đơn giản hóa để đạt được một giải pháp thực tế có thể chấp nhận được.

3. Phân loại mô hình

Các mô hình có thể được phân loại theo các tiêu chí khác nhau. Ví dụ, theo bản chất của các vấn đề đang được giải quyết, các mô hình có thể được chia thành các mô hình chức năng và cấu trúc. Trong trường hợp đầu tiên, tất cả các đại lượng đặc trưng cho một hiện tượng hoặc một đối tượng đều được biểu thị một cách định lượng. Đồng thời, một số trong số chúng được coi là các biến độc lập, trong khi một số khác được coi là hàm của các đại lượng này. Một mô hình toán học thường là một hệ phương trình ở nhiều dạng khác nhau (vi phân, đại số, v.v.) thiết lập các mối quan hệ định lượng giữa các đại lượng đang xét. Trong trường hợp thứ hai, mô hình đặc trưng cho cấu trúc của một đối tượng phức tạp, bao gồm các bộ phận riêng biệt, giữa chúng có những mối liên hệ nhất định. Thông thường, các mối quan hệ này không thể định lượng được. Để xây dựng các mô hình như vậy, rất tiện lợi khi sử dụng lý thuyết đồ thị. Đồ thị là một đối tượng toán học, là một tập hợp các điểm (đỉnh) trên một mặt phẳng hoặc trong không gian, một số điểm được nối với nhau bằng các đường (cạnh).

Theo bản chất của dữ liệu ban đầu và kết quả dự đoán, các mô hình có thể được chia thành thống kê xác định và xác suất. Các mô hình thuộc loại đầu tiên đưa ra các dự đoán xác định, rõ ràng. Các mô hình thuộc loại thứ hai dựa trên thông tin thống kê và các dự đoán thu được với sự trợ giúp của chúng có tính chất xác suất.

4. Ví dụ về các mô hình toán học

1) Các vấn đề về chuyển động của đường đạn.

Hãy xem xét vấn đề sau đây trong cơ khí.

Đạn được phóng từ Trái đất với vận tốc ban đầu v 0 = 30 m / s với góc a = 45 ° so với bề mặt của nó; yêu cầu tìm quỹ đạo chuyển động của nó và khoảng cách S giữa điểm đầu và điểm cuối của quỹ đạo này.

Sau đó, như đã biết từ khóa học vật lý ở trường, chuyển động của viên đạn được mô tả bằng các công thức:

trong đó t - thời gian, g = 10 m / s 2 - gia tốc rơi tự do. Các công thức này đưa ra mô hình toán học của nhiệm vụ. Biểu diễn t theo x từ phương trình thứ nhất và thay nó vào phương trình thứ hai, ta được phương trình quỹ đạo của đường đạn:

Đường cong này (hình parabol) cắt trục x tại hai điểm: x 1 \ u003d 0 (điểm đầu của quỹ đạo) và (nơi quả đạn rơi xuống). Thay các giá trị v0 và a đã cho vào các công thức thu được, chúng ta thu được

câu trả lời: y \ u003d x - 90x 2, S \ u003d 90 m.

Lưu ý rằng một số giả thiết đã được sử dụng trong việc xây dựng mô hình này: ví dụ, giả định rằng Trái đất phẳng, không khí và chuyển động quay của Trái đất không ảnh hưởng đến chuyển động của đường đạn.

2) Bài toán về một cái bể có diện tích bề mặt nhỏ nhất.

Yêu cầu tìm chiều cao h 0 và bán kính r 0 của một cái bể thiếc có thể tích V = 30 m 3, có dạng là một hình trụ tròn kín, tại đó diện tích bề mặt S là nhỏ nhất (trong trường hợp này, lượng thiếc nhỏ nhất sẽ được sản xuất).

Chúng tôi viết các công thức sau cho thể tích và diện tích bề mặt của một hình trụ có chiều cao h và bán kính r:

V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).

Biểu diễn h theo r và V từ công thức đầu tiên và thay biểu thức thu được vào biểu thức thứ hai, ta được:

Do đó, theo quan điểm toán học, bài toán rút gọn là xác định giá trị của r tại đó hàm S (r) đạt cực tiểu. Hãy để chúng tôi tìm những giá trị của r 0 mà đạo hàm

đi về 0: Bạn có thể kiểm tra đạo hàm cấp hai của hàm S (r) đổi dấu từ trừ sang cộng khi đối số r đi qua điểm r 0. Do đó, hàm số S (r) có cực tiểu tại điểm r0. Giá trị tương ứng h 0 = 2r 0. Thay giá trị đã cho V vào biểu thức cho r 0 và h 0, chúng ta thu được bán kính mong muốn và chiều cao

3) Nhiệm vụ vận chuyển.

Có hai kho bột mì và hai tiệm bánh mì trong thành phố. Mỗi ngày từ kho thứ nhất xuất 50 tấn bột, kho thứ hai xuất 70 tấn, kho thứ nhất 40 tấn, kho thứ hai 80 tấn.

Biểu thị bởi một ij là chi phí vận chuyển 1 tấn bột từ kho thứ i đến nhà máy thứ j (i, j = 1,2). Để cho

một 11 \ u003d 1,2 p., một 12 \ u003d 1.6 p., một 21 \ u003d 0,8 p., một 22 = 1 tr.

Nên lập kế hoạch vận chuyển như thế nào để chi phí của chúng là tối thiểu?

Hãy cung cấp cho vấn đề một công thức toán học. Ta ký hiệu là x 1 và x 2 lượng bột phải vận chuyển từ kho thứ nhất đến nhà máy thứ nhất và thứ hai, và lần lượt qua x 3 và x 4 - từ kho thứ hai đến nhà máy thứ nhất và thứ hai. Sau đó:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Tổng chi phí vận chuyển được xác định theo công thức

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Từ quan điểm toán học, nhiệm vụ là tìm bốn số x 1, x 2, x 3 và x 4 thỏa mãn tất cả các điều kiện cho trước và cho điểm cực tiểu của hàm số f. Hãy giải hệ phương trình (1) với xi (i = 1, 2, 3, 4) bằng phương pháp loại bỏ ẩn số. Chúng tôi nhận được điều đó

x 1 \ u003d x 4 - 30, x 2 \ u003d 80 - x 4, x 3 \ u003d 70 - x 4, (2)

và x 4 không thể được xác định duy nhất. Vì x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4) nên từ phương trình (2) ta được 30J x 4 J 70. Thay biểu thức x 1, x 2, x 3 vào công thức của f, ta thu được

f \ u003d 148 - 0,2x 4.

Dễ thấy rằng cực tiểu của hàm này đạt giá trị lớn nhất có thể là x 4, tức là x 4 = 70. Giá trị tương ứng của các ẩn số khác được xác định theo công thức (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Vấn đề phân rã phóng xạ.

Gọi N (0) là số nguyên tử ban đầu của chất phóng xạ và N (t) là số nguyên tử chưa phân hủy tại thời điểm t. Thực nghiệm đã chứng minh rằng tốc độ thay đổi số lượng các nguyên tử N "(t) này tỷ lệ với N (t), tức là, N" (t) \ u003d -l N (t), l> 0 là hằng số hoạt độ phóng xạ của một chất đã cho. Trong quá trình học giải tích toán học, người ta chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân này có dạng N (t) = N (0) e –l t. Thời gian T, trong đó số nguyên tử ban đầu giảm đi một nửa, được gọi là chu kỳ bán rã, và là một đặc trưng quan trọng của độ phóng xạ của một chất. Để xác định T, cần đưa vào công thức sau đó Ví dụ, đối với radon l = 2,084 10–6, và do đó T = 3,15 ngày.

5) Vấn đề nhân viên bán hàng đi du lịch.

Một người bán hàng lưu động sống ở thành phố A 1 cần đến thăm các thành phố A 2, A 3 và A 4, mỗi thành phố đúng một lần, rồi quay trở lại A 1. Người ta biết rằng tất cả các thành phố được nối với nhau theo từng cặp đường, và độ dài của các con đường b ij giữa các thành phố A i và A j (i, j = 1, 2, 3, 4) như sau:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Cần xác định thứ tự tham quan các thành phố, trong đó độ dài của con đường tương ứng là nhỏ nhất.

Hãy mô tả mỗi thành phố dưới dạng một điểm trên mặt phẳng và đánh dấu nó bằng nhãn tương ứng Ai (i = 1, 2, 3, 4). Hãy kết nối các điểm này với các đoạn đường: chúng sẽ mô tả các con đường giữa các thành phố. Đối với mỗi “con đường”, chúng tôi chỉ ra chiều dài của nó bằng km (Hình 2). Kết quả là một đồ thị - một đối tượng toán học bao gồm một tập hợp các điểm nhất định trên mặt phẳng (gọi là các đỉnh) và một tập hợp các đoạn thẳng nối các điểm này (gọi là các cạnh). Hơn nữa, biểu đồ này được gắn nhãn, vì một số nhãn được gán cho các đỉnh và cạnh của nó - số (cạnh) hoặc ký hiệu (đỉnh). Chu trình trên đồ thị là một dãy các đỉnh V 1, V 2, ..., V k, V 1 sao cho các đỉnh V 1, ..., V k khác nhau và bất kỳ cặp đỉnh V i, V i + 1 (i = 1, ..., k - 1) và cặp V 1, V k được nối với nhau bằng một cạnh. Do đó, vấn đề đang được xem xét là tìm một chu trình như vậy trên đồ thị đi qua cả bốn đỉnh mà tổng của tất cả các trọng số cạnh là nhỏ nhất. Hãy tìm kiếm qua tất cả các chu trình khác nhau đi qua bốn đỉnh và bắt đầu từ A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm độ dài của các chu kỳ này (tính bằng km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Vì vậy, tuyến đường có chiều dài nhỏ nhất là tuyến đầu tiên.

Lưu ý rằng nếu có n đỉnh trong một đồ thị và tất cả các đỉnh được nối thành từng cặp bằng các cạnh (đồ thị như vậy được gọi là hoàn chỉnh), thì số chu trình đi qua tất cả các đỉnh là bằng nhau. Do đó, trong trường hợp của chúng ta có đúng ba chu trình .

6) Bài toán tìm mối liên hệ giữa cấu tạo và tính chất của các chất.

Hãy xem xét một số hợp chất hóa học được gọi là ankan thông thường. Chúng gồm n nguyên tử cacbon và n + 2 nguyên tử hiđro (n = 1, 2 ...), liên kết với nhau như trong hình 3 với n = 3. Hãy cho biết các giá trị thực nghiệm của điểm sôi của các hợp chất này:

y e (3) = - 42 °, y e (4) = 0 °, y e (5) = 28 °, y e (6) = 69 °.

Yêu cầu tìm mối quan hệ gần đúng giữa điểm sôi và số n đối với các hợp chất này. Chúng tôi giả định rằng sự phụ thuộc này có dạng

y » một n + b

ở đâu một, b - hằng số cần xác định. Để tìm một và b chúng ta thay thế lần lượt vào công thức này n = 3, 4, 5, 6 và các giá trị tương ứng của các điểm sôi. Chúng ta có:

- 42 »3 một+ b, 0 »4 một+ b, 28 »5 một+ b, 69 »6 một+ b.

Để xác định tốt nhất một và b có nhiều phương pháp khác nhau. Hãy sử dụng chúng đơn giản nhất. Chúng tôi thể hiện b về một từ các phương trình này:

b "- 42 - 3 một, B 4 một, b »28 - 5 một, b »69 - 6 một.

Chúng ta hãy lấy b mong muốn làm trung bình cộng của các giá trị này, tức là, chúng ta đặt b »16 - 4,5 một. Hãy thay giá trị b này vào hệ phương trình ban đầu và tính một, chúng tôi nhận được cho một các giá trị sau: một»37, một»28, một»28, một»36 một giá trị trung bình của những con số này, nghĩa là chúng tôi đặt một»34. Vậy, phương trình mong muốn có dạng

y »34n - 139.

Hãy kiểm tra độ chính xác của mô hình trên bốn hợp chất ban đầu, mà chúng tôi tính điểm sôi theo công thức thu được:

y r (3) = - 37 °, y r (4) = - 3 °, y r (5) = 31 °, y r (6) = 65 °.

Do đó, sai số tính toán của đặc tính này đối với các hợp chất này không vượt quá 5 °. Chúng tôi sử dụng phương trình kết quả để tính điểm sôi của hợp chất có n = 7, không có trong tập hợp ban đầu, mà chúng tôi thay n = 7 vào phương trình này: y р (7) = 99 °. Kết quả hóa ra khá chính xác: người ta biết rằng giá trị thực nghiệm của điểm sôi y e (7) = 98 °.

7) Bài toán xác định độ tin cậy của mạch điện.

Ở đây chúng ta xem xét một ví dụ về mô hình xác suất. Đầu tiên, hãy cung cấp một số thông tin từ lý thuyết xác suất - một bộ môn toán học nghiên cứu các mô hình của hiện tượng ngẫu nhiên được quan sát trong quá trình lặp đi lặp lại một thí nghiệm. Hãy gọi một sự kiện ngẫu nhiên A là một kết quả có thể có của một kinh nghiệm nào đó. Các sự kiện A 1, ..., A k tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nếu một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra do kết quả của thí nghiệm. Các sự kiện được gọi là không tương thích nếu chúng không thể xảy ra đồng thời trong cùng một trải nghiệm. Cho biến cố A xảy ra m lần trong thời gian lặp lại lần thứ n của thí nghiệm. Tần số của biến cố A là số W =. Rõ ràng, giá trị của W không thể được dự đoán chính xác cho đến khi một loạt n thí nghiệm được thực hiện. Tuy nhiên, bản chất của các sự kiện ngẫu nhiên là trong thực tế, hiệu ứng sau đây đôi khi được quan sát thấy: với sự gia tăng số lượng thí nghiệm, giá trị thực tế không còn ngẫu nhiên và ổn định xung quanh một số không ngẫu nhiên P (A), được gọi là xác suất của biến cố A. Đối với biến cố bất khả thi (không bao giờ xảy ra trong thí nghiệm) P (A) = 0 và đối với một biến cố nhất định (luôn xảy ra trong thí nghiệm) P (A) = 1. Nếu các sự kiện A 1, ..., A k tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích thì P (A 1) + ... + P (A k) = 1.

Ví dụ, kinh nghiệm bao gồm ném một con xúc xắc và quan sát số điểm rơi X. Sau đó, chúng ta có thể giới thiệu các sự kiện ngẫu nhiên sau A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Chúng hình thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau không tương thích, do đó P (A i) = (i = 1, ..., 6).

Tổng của các sự kiện A và B là sự kiện A + B, bao gồm thực tế là ít nhất một trong số chúng xảy ra trong thử nghiệm. Tích của các sự kiện A và B là sự kiện AB, bao gồm sự xuất hiện đồng thời của các sự kiện này. Đối với các sự kiện độc lập A và B, công thức là đúng

P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).

8) Bây giờ hãy xem xét những điều sau nhiệm vụ. Giả sử ba phần tử mắc nối tiếp trong một mạch điện, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hư hỏng của phần tử thứ 1, thứ 2 và thứ 3 lần lượt là P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Chúng ta sẽ coi mạch là đáng tin cậy nếu xác suất không có dòng điện trong mạch không lớn hơn 0,4. Cần phải xác định xem chuỗi đã cho có đáng tin cậy hay không.

Vì các phần tử mắc nối tiếp nên sẽ không có dòng điện trong mạch (sự kiện A) nếu ít nhất một trong các phần tử bị hỏng. Gọi A i là biến cố mà phần tử thứ i hoạt động (i = 1, 2, 3). Khi đó P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Rõ ràng, A 1 A 2 A 3 là sự kiện mà cả ba yếu tố hoạt động đồng thời, và

P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0,612.

Khi đó P (A) + P (A 1 A 2 A 3) = 1 nên P (A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Kết luận, chúng tôi lưu ý rằng các ví dụ trên về các mô hình toán học (trong số đó có các mô hình chức năng và cấu trúc, xác định và xác suất) là minh họa và rõ ràng là không làm kiệt quệ toàn bộ các mô hình toán học phát sinh trong khoa học tự nhiên và nhân văn.

MÔ HÌNH TOÁN - biểu diễn một hiện tượng hoặc quá trình được nghiên cứu bằng kiến ​​thức khoa học cụ thể bằng ngôn ngữ của các khái niệm toán học. Đồng thời, một số thuộc tính của hiện tượng đang nghiên cứu được cho là sẽ thu được trên con đường nghiên cứu các đặc điểm toán học thực tế của mô hình. Công trình xây dựng của M.m. thường được quyết định bởi nhu cầu phân tích định lượng các hiện tượng và quá trình đã nghiên cứu, do đó, không thể đưa ra các dự đoán có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm về quá trình của chúng.

Quá trình mô hình toán học, như một quy luật, trải qua các giai đoạn sau. Ở giai đoạn đầu, các liên kết giữa các thông số chính của M.m. Trước hết, chúng ta đang nói về phân tích định tính các hiện tượng đang nghiên cứu và việc xây dựng các mô hình liên kết các đối tượng chính của nghiên cứu. Trên cơ sở này, việc xác định các đối tượng cho phép mô tả định lượng được thực hiện. Giai đoạn kết thúc với việc xây dựng một mô hình giả định, hay nói cách khác, một bản ghi bằng ngôn ngữ của các khái niệm toán học về các ý tưởng định tính về mối quan hệ giữa các đối tượng chính của mô hình, có thể được đặc trưng về mặt định lượng.

Ở giai đoạn thứ hai, việc nghiên cứu các vấn đề toán học thực tế, mà mô hình giả thuyết đã xây dựng dẫn đến, sẽ diễn ra. Điều chính ở giai đoạn này là thu được các hệ quả lý thuyết có thể kiểm chứng được bằng thực nghiệm (lời giải của bài toán trực tiếp) là kết quả của việc phân tích toán học của mô hình. Đồng thời, những trường hợp không hiếm khi cho rằng, việc xây dựng và học tập của M.m. trong các lĩnh vực kiến ​​thức khoa học cụ thể khác nhau, cùng một bộ máy toán học được sử dụng (ví dụ, phương trình vi phân) và các vấn đề toán học cùng loại, mặc dù rất không tầm thường trong từng trường hợp cụ thể, nảy sinh. Ngoài ra, ở giai đoạn này, việc sử dụng công nghệ tính toán tốc độ cao (máy tính) trở nên vô cùng quan trọng, giúp có thể có được một giải pháp gần đúng của các vấn đề, thường là không thể trong khuôn khổ của toán học thuần túy, với một giải pháp trước đây không khả dụng (không có việc sử dụng máy tính) mức độ chính xác.

Giai đoạn thứ ba được đặc trưng bởi các hoạt động để xác định mức độ đầy đủ của M.m giả thuyết đã xây dựng. những hiện tượng và quá trình nghiên cứu mà nó đã được dự định. Cụ thể, trong trường hợp tất cả các tham số của mô hình đã được xác định, các nhà nghiên cứu cố gắng tìm ra cách, trong độ chính xác của các quan sát, kết quả của họ phù hợp với hệ quả lý thuyết của mô hình. Những sai lệch ngoài độ chính xác của các quan sát cho thấy sự không phù hợp của mô hình. Tuy nhiên, thường có những trường hợp khi xây dựng một mô hình, một số tham số của nó vẫn không thay đổi.

vô thời hạn. Các bài toán trong đó các đặc trưng tham số của mô hình được thiết lập sao cho các hệ quả lý thuyết có thể so sánh được trong độ chính xác của các quan sát với kết quả của các bài kiểm tra thực nghiệm được gọi là các bài toán nghịch đảo.

Ở giai đoạn thứ tư, có tính đến việc xác định mức độ đầy đủ của mô hình giả thuyết đã xây dựng và sự xuất hiện của dữ liệu thực nghiệm mới về các hiện tượng đang nghiên cứu, việc phân tích và sửa đổi mô hình tiếp theo sẽ diễn ra. Ở đây, quyết định được đưa ra thay đổi từ việc bác bỏ vô điều kiện các công cụ toán học được áp dụng sang việc chấp nhận mô hình đã xây dựng làm nền tảng để xây dựng một lý thuyết khoa học mới về cơ bản.

M.m đầu tiên xuất hiện trong khoa học cổ đại. Vì vậy, để mô hình hóa hệ mặt trời, nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp Eudoxus đã cho mỗi hành tinh bốn quả cầu, sự kết hợp chuyển động của chúng tạo ra một con hà mã - một đường cong toán học tương tự như chuyển động của hành tinh. Tuy nhiên, vì mô hình này không thể giải thích tất cả các dị thường quan sát được trong chuyển động của các hành tinh, nên sau đó nó đã được thay thế bằng mô hình sử thi của Apollonius từ Perge. Hipparchus đã sử dụng mô hình mới nhất trong nghiên cứu của mình, và sau đó, áp dụng nó vào một số sửa đổi, Ptolemy. Mô hình này, giống như những người tiền nhiệm của nó, dựa trên niềm tin rằng các hành tinh tạo ra chuyển động tròn đều, sự chồng chéo của nó giải thích cho những bất thường rõ ràng. Đồng thời, cần lưu ý rằng mô hình Copernic về cơ bản chỉ mới theo nghĩa định tính (chứ không phải mô hình M.M.). Và chỉ Kepler, dựa trên những quan sát của Tycho Brahe, đã xây dựng một M.m. Hệ mặt trời, chứng minh rằng các hành tinh chuyển động không phải theo hình tròn mà theo quỹ đạo hình elip.

Hiện tại, đầy đủ nhất là các MM được xây dựng để mô tả các hiện tượng cơ học và vật lý. Về sự đầy đủ của M.m. ngoài vật lý, người ta có thể, với một vài trường hợp ngoại lệ, nói chuyện với một mức độ thận trọng. Tuy nhiên, việc sửa chữa giả thuyết, và thường chỉ đơn giản là sự thiếu sót của M.m. trong các lĩnh vực tri thức khác nhau, không nên đánh giá thấp vai trò của chúng đối với sự phát triển của khoa học. Có những trường hợp thường xuyên xảy ra khi ngay cả những mô hình không đủ phù hợp ở mức độ lớn được tổ chức và kích thích nghiên cứu thêm, cùng với những kết luận sai lầm, chứa đựng những hạt chân lý hoàn toàn chứng minh cho những nỗ lực đã bỏ ra để phát triển những mô hình này.

Văn chương:

Mô hình toán học. M., năm 1979;

Ruzavin G.I. Toán học hóa kiến ​​thức khoa học. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Phương trình vi phân trong sinh thái học: phản ánh lịch sử và phương pháp // Những vấn đề của lịch sử khoa học tự nhiên và công nghệ. 1997. số 3.

Từ điển thuật ngữ triết học. Ấn bản khoa học của Giáo sư V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, tr. 310-311.

Bốn lớp bảy.

Lớp 7A có 15 nữ và 13 nam,

ở lớp 7B - 12 nữ và 12 nam,

ở lớp 7B - 9 nữ và 18 nam,

trong 7G - 20 nữ và 10 nam.

Nếu chúng ta cần trả lời câu hỏi có bao nhiêu học sinh trong mỗi lớp 7, thì chúng ta sẽ phải thực hiện cùng một phép cộng 4 lần:

trong 7A có 15 + 13 = 28 học sinh;
ở lớp 7B 12 +12 = 24 học sinh;
ở lớp 7B 9 + 18 = 27 học sinh;
trong 7D 20 + 10 = 30 học sinh.

A. V. Pogorelov, Hình học lớp 7-11, Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục

Nội dung bài học Tom tăt bai học hỗ trợ khung trình bày bài học phương pháp tăng tốc công nghệ tương tác Thực tiễn nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, trường hợp, nhiệm vụ bài tập về nhà thảo luận câu hỏi câu hỏi tu từ học sinh Hình ảnh minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiệnảnh, đồ họa hình ảnh, bảng, kế hoạch hài hước, giai thoại, truyện cười, ngụ ngôn truyện tranh, câu nói, câu đố ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt các chip bài báo dành cho các sách giáo khoa cơ bản và bổ sung bảng thuật ngữ cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải tiến sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa các yếu tố đổi mới trong bài học thay thế kiến ​​thức cũ bằng kiến ​​thức mới Chỉ dành cho giáo viên những bài học hoàn hảo kế hoạch lịch cho các khuyến nghị phương pháp luận trong năm của chương trình thảo luận Bài học tích hợp

Bài giảng 1

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA MÔ HÌNH

    Hiện trạng của vấn đề mô hình hóa hệ thống

Các khái niệm về mô hình hóa và mô phỏng

Mô hình hóa có thể được coi là sự thay thế đối tượng được điều tra (ban đầu) bằng hình ảnh, mô tả có điều kiện của nó hoặc một đối tượng khác, được gọi là người mẫu và cung cấp hành vi gần với nguyên bản trong phạm vi các giả định nhất định và các lỗi có thể chấp nhận được. Mô hình hóa thường được thực hiện với mục đích biết các thuộc tính của bản gốc bằng cách kiểm tra mô hình của nó, chứ không phải bản thân đối tượng. Tất nhiên, việc tạo mô hình là hợp lý trong trường hợp nó đơn giản hơn việc tạo ra bản gốc, hoặc khi cái sau, vì lý do nào đó, tốt hơn là không nên tạo ra.

Dưới người mẫu một đối tượng vật lý hoặc trừu tượng được hiểu là các thuộc tính của chúng theo một nghĩa nào đó giống với các thuộc tính của đối tượng đang nghiên cứu. Trong trường hợp này, các yêu cầu đối với mô hình được xác định bởi vấn đề đang được giải quyết và các phương tiện sẵn có. Có một số yêu cầu chung cho các mô hình:

2) tính đầy đủ - cung cấp cho người nhận tất cả các thông tin cần thiết

về đối tượng;

3) tính linh hoạt - khả năng tái tạo các tình huống khác nhau trong mọi thứ

phạm vi các điều kiện và thông số thay đổi;

4) sự phức tạp của quá trình phát triển phải được chấp nhận đối với

thời gian và phần mềm.

Mô hình hóa là quá trình xây dựng mô hình của một đối tượng và nghiên cứu các thuộc tính của nó bằng cách xem xét mô hình.

Do đó, mô hình hóa bao gồm 2 giai đoạn chính:

1) phát triển mô hình;

2) nghiên cứu mô hình và rút ra kết luận.

Đồng thời, ở mỗi giai đoạn, các nhiệm vụ khác nhau được giải quyết và

về bản chất là các phương pháp và phương tiện khác nhau.

Trong thực tế, các phương pháp mô hình hóa khác nhau được sử dụng. Tùy thuộc vào phương pháp thực hiện, tất cả các mô hình có thể được chia thành hai lớp lớn: vật lý và toán học.

Mô hình toán học Thông thường người ta coi nó như một phương tiện để nghiên cứu các quá trình hoặc hiện tượng với sự trợ giúp của các mô hình toán học của chúng.

Dưới mô hình vật lýđược hiểu là việc nghiên cứu các đối tượng và hiện tượng trên các mô hình vật lý, khi quá trình đang nghiên cứu được tái tạo với sự bảo toàn bản chất vật lý của nó hoặc một hiện tượng vật lý khác tương tự như hiện tượng đang nghiên cứu được sử dụng. Trong đó mô hình vật lý Theo quy luật, họ cho rằng hiện thân thực sự của những đặc tính vật lý của nguyên bản là thiết yếu trong một tình huống cụ thể. Ví dụ, khi thiết kế một chiếc máy bay mới, mô hình của nó được tạo ra có cùng đặc tính khí động học; khi quy hoạch một tòa nhà, các kiến ​​trúc sư đưa ra một bố cục phản ánh sự sắp xếp không gian của các yếu tố của nó. Về vấn đề này, mô hình vật lý còn được gọi là tạo mẫu.

Mô hình hóa HIL là một nghiên cứu về các hệ thống được điều khiển trên các tổ hợp mô phỏng với việc đưa các thiết bị thực vào mô hình. Cùng với thiết bị thực, mô hình khép kín bao gồm các bộ mô phỏng va chạm và giao thoa, các mô hình toán học của môi trường bên ngoài và các quá trình mà mô tả toán học đủ chính xác chưa được biết đến. Việc đưa thiết bị thực hoặc hệ thống thực vào mạch để mô hình hóa các quá trình phức tạp giúp giảm thiểu độ không đảm bảo tiên nghiệm và điều tra các quá trình mà không có mô tả toán học chính xác. Với sự trợ giúp của mô phỏng bán tự nhiên, các nghiên cứu được thực hiện có tính đến các hằng số thời gian nhỏ và sự không tuyến tính vốn có trong thiết bị thực. Trong nghiên cứu các mô hình có bao gồm thiết bị thực, khái niệm mô phỏng động, trong việc nghiên cứu các hệ thống và hiện tượng phức tạp - tiến hóa, sự bắt chước và mô phỏng điều khiển học.

Rõ ràng, lợi ích thực sự của việc lập mô hình chỉ có thể đạt được nếu đáp ứng hai điều kiện:

1) mô hình cung cấp hiển thị đúng (đầy đủ) các thuộc tính

bản gốc, quan trọng theo quan điểm của hoạt động đang nghiên cứu;

2) mô hình làm cho nó có thể loại bỏ các vấn đề được liệt kê ở trên, vốn là

tiến hành nghiên cứu các đối tượng thực tế.

2. Các khái niệm cơ bản về mô hình toán học

Việc giải các bài toán thực tế bằng phương pháp toán học được thực hiện nhất quán bằng cách xây dựng bài toán (phát triển mô hình toán học), lựa chọn phương pháp nghiên cứu mô hình toán học thu được và phân tích kết quả toán học thu được. Công thức toán học của bài toán thường được trình bày dưới dạng hình ảnh hình học, hàm số, hệ phương trình, v.v. Mô tả của một đối tượng (hiện tượng) có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng liên tục hoặc rời rạc, xác định hoặc ngẫu nhiên và các dạng toán học khác.

Lý thuyết về mô hình toán họcđảm bảo việc xác định các quy luật trong quá trình xảy ra các hiện tượng khác nhau của thế giới xung quanh hoặc hoạt động của các hệ thống và thiết bị bằng mô tả và mô hình toán học của chúng mà không cần thử nghiệm tại hiện trường. Trong trường hợp này, các quy định và định luật toán học được sử dụng để mô tả các hiện tượng, hệ thống hoặc thiết bị được mô phỏng ở một mức độ lý tưởng hóa nhất định của chúng.

Mô hình toán học (MM) là một mô tả chính thức hóa của một hệ thống (hoặc hoạt động) bằng một số ngôn ngữ trừu tượng, ví dụ, dưới dạng một tập hợp các quan hệ toán học hoặc một lược đồ thuật toán, tức là e. một mô tả toán học cung cấp sự mô phỏng hoạt động của các hệ thống hoặc thiết bị ở mức đủ gần với hành vi thực của chúng thu được trong quá trình thử nghiệm toàn bộ hệ thống hoặc thiết bị.

MM bất kỳ mô tả một đối tượng, hiện tượng hoặc quá trình thực với một mức độ gần đúng với thực tế. Loại MM phụ thuộc cả vào bản chất của đối tượng thực và mục tiêu của nghiên cứu.

Mô hình toán học Các hiện tượng xã hội, kinh tế, sinh học và vật lý, các đối tượng, hệ thống và các thiết bị khác nhau là một trong những phương tiện quan trọng nhất để hiểu bản chất và thiết kế nhiều loại hệ thống và thiết bị. Có những ví dụ đã biết về việc sử dụng hiệu quả mô hình trong việc tạo ra công nghệ hạt nhân, hệ thống hàng không và vũ trụ, trong dự báo các hiện tượng khí quyển và đại dương, thời tiết, v.v.

Tuy nhiên, các lĩnh vực mô hình hóa nghiêm trọng như vậy thường đòi hỏi siêu máy tính và nhiều năm làm việc của các nhóm lớn các nhà khoa học để chuẩn bị dữ liệu cho mô hình hóa và gỡ lỗi của nó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, mô hình toán học của các hệ thống và thiết bị phức tạp không chỉ tiết kiệm tiền cho nghiên cứu và thử nghiệm mà còn có thể loại bỏ các thảm họa môi trường - ví dụ, nó cho phép bạn từ bỏ việc thử nghiệm vũ khí hạt nhân và nhiệt hạch để chuyển sang mô hình toán học của nó hoặc thử nghiệm các hệ thống hàng không vũ trụ trước các chuyến bay thực của chúng. Đồng thời, mô hình toán học ở cấp độ giải quyết các vấn đề đơn giản hơn, ví dụ, từ lĩnh vực cơ khí, kỹ thuật điện, điện tử, kỹ thuật vô tuyến và nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ khác, đã hiện có sẵn để biểu diễn trên PC hiện đại. Và khi sử dụng các mô hình tổng quát hóa, có thể mô hình hóa các hệ thống khá phức tạp, ví dụ, các hệ thống và mạng viễn thông, hệ thống định vị bằng radar hoặc vô tuyến.

Mục đích của mô hình toán học là sự phân tích các quá trình thực (trong tự nhiên hoặc công nghệ) bằng các phương pháp toán học. Đổi lại, điều này đòi hỏi phải nghiên cứu chính thức quá trình MM. Mô hình có thể là một biểu thức toán học chứa các biến có hành vi tương tự như hành vi của một hệ thống thực. Mô hình có thể bao gồm các yếu tố ngẫu nhiên có tính đến xác suất của các hành động có thể xảy ra của hai hoặc nhiều "người chơi", trò chơi; hoặc nó có thể đại diện cho các biến thực của các phần được kết nối với nhau của hệ điều hành.

Mô hình toán học để nghiên cứu các đặc tính của hệ thống có thể được chia thành phân tích, mô phỏng và kết hợp. Đổi lại, MM được chia thành mô phỏng và phân tích.

Mô hình phân tích

Vì mô hình phân tíchđặc trưng là các quá trình hoạt động của hệ được viết dưới dạng một số quan hệ hàm (phương trình đại số, vi phân, tích phân). Mô hình phân tích có thể được khảo sát bằng các phương pháp sau:

1) phân tích, khi họ cố gắng đạt được các thuật ngữ chung về sự phụ thuộc rõ ràng đối với các đặc tính của hệ thống;

2) dạng số, khi không thể tìm ra lời giải cho các phương trình ở dạng tổng quát và chúng được giải cho các dữ liệu ban đầu cụ thể;

3) định tính, khi, trong trường hợp không có giải pháp, một số tính chất của nó được tìm thấy.

Các mô hình phân tích chỉ có thể thu được đối với các hệ thống tương đối đơn giản. Đối với các hệ thống phức tạp, các vấn đề toán học lớn thường nảy sinh. Để áp dụng phương pháp phân tích, người ta phải đơn giản hóa đáng kể mô hình ban đầu. Tuy nhiên, một nghiên cứu trên một mô hình đơn giản chỉ giúp thu được các kết quả mang tính chỉ dẫn. Các mô hình phân tích phản ánh một cách chính xác về mặt toán học mối quan hệ giữa các biến và tham số đầu vào và đầu ra. Nhưng cấu trúc của chúng không phản ánh cấu trúc bên trong của đối tượng.

Trong mô hình phân tích, kết quả của nó được trình bày dưới dạng các biểu thức phân tích. Ví dụ, bằng cách kết nối RC- mạch đến nguồn điện áp không đổi E(R, C và E là các thành phần của mô hình này), chúng ta có thể lập biểu thức phân tích cho sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp u(t) trên tụ điện C:

Đây là một phương trình vi phân tuyến tính (DE) và là một mô hình phân tích của mạch tuyến tính đơn giản này. Giải pháp phân tích của nó, trong điều kiện ban đầu u(0) = 0, nghĩa là một tụ điện đã phóng điện Cở đầu mô phỏng, cho phép bạn tìm sự phụ thuộc cần thiết - dưới dạng công thức:

u(t) = E(1− Ví dụP(- t/ RC)). (2)

Tuy nhiên, ngay cả trong ví dụ đơn giản nhất này, cần có những nỗ lực nhất định để giải phương trình vi phân (1) hoặc áp dụng hệ thống toán học máy tính(SCM) với các phép tính ký hiệu - hệ thống đại số máy tính. Đối với trường hợp khá đơn giản này, giải pháp của vấn đề mô hình hóa tuyến tính RC-circuit cung cấp một biểu thức phân tích (2) ở dạng khá tổng quát - nó phù hợp để mô tả hoạt động của mạch đối với bất kỳ xếp hạng thành phần nào R, C và E và mô tả điện tích theo cấp số nhân của tụ điện C thông qua một điện trở R từ một nguồn điện áp không đổi E.

Không còn nghi ngờ gì nữa, việc tìm kiếm các giải pháp phân tích trong mô hình phân tích hóa ra lại vô cùng có giá trị để tiết lộ các quy luật lý thuyết chung của các mạch tuyến tính đơn giản, hệ thống và thiết bị. phương trình trạng thái mô tả sự gia tăng đối tượng được mô hình hóa. Bạn có thể nhận được nhiều hơn hoặc ít kết quả hiển thị hơn khi lập mô hình các đối tượng ở bậc thứ hai hoặc thứ ba, nhưng ngay cả với bậc cao hơn, các biểu thức phân tích trở nên quá cồng kềnh, phức tạp và khó hiểu. Ví dụ, ngay cả một bộ khuếch đại điện tử đơn giản thường chứa hàng chục thành phần. Tuy nhiên, nhiều SCM hiện đại, chẳng hạn như hệ thống toán học biểu tượng Maple, Mathematica hoặc thứ tư MATLAB có khả năng tự động hóa ở mức độ lớn giải pháp của các vấn đề phức tạp của mô hình phân tích.

Một loại mô hình là mô phỏng số, bao gồm việc thu thập dữ liệu định lượng cần thiết về hoạt động của hệ thống hoặc thiết bị bằng bất kỳ phương pháp số thích hợp nào, chẳng hạn như phương pháp Euler hoặc Runge-Kutta. Trong thực tế, việc mô hình hóa các hệ thống và thiết bị phi tuyến sử dụng phương pháp số hiệu quả hơn nhiều so với việc mô hình hóa phân tích các mạch, hệ thống hoặc thiết bị tuyến tính riêng lẻ. Ví dụ, để giải các hệ thống DE (1) hoặc DE trong các trường hợp phức tạp hơn, không thu được giải pháp ở dạng phân tích, nhưng dữ liệu mô phỏng số có thể cung cấp đầy đủ dữ liệu về hoạt động của các hệ thống và thiết bị được mô phỏng, cũng như biểu đồ đồ thị mô tả hành vi này của các phụ thuộc.

Mô phỏng

Tại sự bắt chước Trong mô hình hóa, thuật toán thực hiện mô hình tái tạo quá trình hoạt động của hệ thống theo thời gian. Các hiện tượng cơ bản tạo nên quá trình được bắt chước, với sự bảo toàn cấu trúc lôgic của chúng và trình tự của dòng chảy trong thời gian.

Ưu điểm chính của mô hình mô phỏng so với mô hình phân tích là khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp hơn.

Mô hình mô phỏng giúp dễ dàng tính đến sự hiện diện của các phần tử rời rạc hoặc liên tục, các đặc tính phi tuyến, các hiệu ứng ngẫu nhiên,… Vì vậy, phương pháp này được sử dụng rộng rãi ở giai đoạn thiết kế các hệ thống phức tạp. Công cụ chính để thực hiện mô hình hóa mô phỏng là một máy tính cho phép mô hình hóa kỹ thuật số các hệ thống và tín hiệu.

Về vấn đề này, chúng tôi định nghĩa cụm từ " mô hình máy tính”, Được sử dụng ngày càng nhiều trong văn học. Chúng tôi sẽ giả định rằng mô hình máy tính- đây là mô hình toán học sử dụng công nghệ máy tính. Theo đó, công nghệ mô phỏng máy tính bao gồm các hành động sau:

1) định nghĩa về mục đích của mô hình hóa;

2) phát triển một mô hình khái niệm;

3) chính thức hóa mô hình;

4) phần mềm thực hiện mô hình;

5) lập kế hoạch thí nghiệm mô hình;

6) thực hiện kế hoạch thử nghiệm;

7) phân tích và giải thích kết quả mô phỏng.

Tại mô hình mô phỏng MM được sử dụng tái tạo thuật toán (“logic”) về hoạt động của hệ thống đang nghiên cứu trong thời gian cho các kết hợp giá trị khác nhau của các tham số của hệ thống và môi trường.

Một ví dụ của mô hình phân tích đơn giản nhất là phương trình của chuyển động thẳng đều. Khi nghiên cứu một quá trình như vậy với sự trợ giúp của mô hình mô phỏng, cần thực hiện quan sát sự thay đổi của con đường di chuyển theo thời gian. Rõ ràng, trong một số trường hợp, mô hình phân tích được ưu tiên hơn, trong những trường hợp khác - mô phỏng (hoặc kết hợp cả hai) . Để thực hiện một lựa chọn tốt, hai câu hỏi phải được trả lời.

Mục đích của mô hình là gì?

Hiện tượng mô phỏng có thể được gán cho lớp nào?

Câu trả lời cho cả hai câu hỏi này có thể nhận được trong quá trình thực hiện hai giai đoạn đầu tiên của mô hình.

Mô hình mô phỏng không chỉ ở các thuộc tính, mà cả cấu trúc tương ứng với đối tượng được mô hình hóa. Trong trường hợp này, có sự tương ứng rõ ràng và rõ ràng giữa các quá trình thu được trên mô hình và các quá trình xảy ra trên đối tượng. Nhược điểm của mô hình mô phỏng là mất nhiều thời gian để giải quyết vấn đề để có được độ chính xác tốt.

Kết quả của mô hình hóa mô phỏng công việc của một hệ thống ngẫu nhiên là sự hiện thực hóa các biến hoặc quá trình ngẫu nhiên. Do đó, để tìm ra các đặc tính của hệ thống, cần phải lặp lại nhiều lần và xử lý dữ liệu tiếp theo. Thông thường, trong trường hợp này, một loại mô phỏng được sử dụng: thống kê

làm mẫu(hoặc phương pháp Monte Carlo), tức là tái sản xuất trong các mô hình của các yếu tố ngẫu nhiên, sự kiện, đại lượng, quá trình, trường.

Theo kết quả của mô hình thống kê, các ước lượng về tiêu chí chất lượng xác suất, nói chung và đặc biệt, đặc trưng cho hoạt động và hiệu quả của hệ thống được kiểm soát được xác định. Mô hình thống kê được sử dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề khoa học và ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Phương pháp mô hình thống kê được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các hệ thống động lực phức tạp, đánh giá hoạt động và hiệu quả của chúng.

Giai đoạn cuối cùng của mô hình thống kê dựa trên xử lý toán học của các kết quả thu được. Ở đây, các phương pháp thống kê toán học được sử dụng (ước lượng tham số và phi tham số, kiểm định giả thuyết). Một ví dụ về đánh giá tham số là giá trị trung bình mẫu của một thước đo hiệu suất. Trong số các phương pháp phi tham số, phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất phương pháp biểu đồ.

Phương án được xem xét dựa trên nhiều thử nghiệm thống kê của hệ thống và phương pháp thống kê các biến ngẫu nhiên độc lập. Có thể giảm thời gian kiểm tra hệ thống bằng cách sử dụng các phương pháp ước tính chính xác hơn. Như đã biết từ thống kê toán học, các ước tính hiệu quả có độ chính xác cao nhất đối với một cỡ mẫu nhất định. Phương pháp lọc tối ưu và phương pháp khả năng xảy ra tối đa cung cấp một phương pháp chung để thu được các ước tính như vậy.

Việc kiểm soát các đặc tính của các hiệu ứng ngẫu nhiên đầu vào cũng rất quan trọng. Việc kiểm soát bao gồm việc kiểm tra xem liệu các bản phân phối của các quá trình được tạo có tương ứng với các bản phân phối đã cho hay không. Nhiệm vụ này thường được xây dựng dưới dạng nhiệm vụ kiểm tra giả thuyết.

Xu hướng chung trong mô phỏng có sự hỗ trợ của máy tính đối với các hệ thống điều khiển phức tạp là mong muốn giảm thời gian mô phỏng, cũng như thực hiện nghiên cứu trong thời gian thực. Các thuật toán tính toán được biểu diễn thuận tiện dưới dạng lặp lại cho phép thực hiện chúng với tốc độ thông tin hiện tại.

CÁC NGUYÊN TẮC CỦA CÁCH TIẾP CẬN HỆ THỐNG TRONG LẬP MÔ HÌNH

    Cơ bản của lý thuyết hệ thống

Các quy định chính của lý thuyết về hệ thống đã nảy sinh trong quá trình nghiên cứu các hệ thống động lực và các yếu tố chức năng của chúng. Hệ thống được hiểu là một nhóm các yếu tố có liên quan với nhau hoạt động cùng nhau để thực hiện một nhiệm vụ được xác định trước. Phân tích hệ thống cho phép bạn xác định những cách thực tế nhất để thực hiện nhiệm vụ, đảm bảo đáp ứng tối đa các yêu cầu.

Các yếu tố hình thành cơ sở của lý thuyết hệ thống không được tạo ra với sự trợ giúp của các giả thuyết, mà được khám phá bằng thực nghiệm. Để bắt đầu xây dựng hệ thống cần có những đặc điểm chung của các quy trình công nghệ. Điều này cũng đúng đối với các nguyên tắc tạo ra các tiêu chí công thức toán học mà một quá trình hoặc mô tả lý thuyết của nó phải thỏa mãn. Mô hình hóa là một trong những phương pháp nghiên cứu và thực nghiệm khoa học quan trọng nhất.

Khi xây dựng mô hình của các đối tượng, phương pháp tiếp cận hệ thống được sử dụng, là một phương pháp luận để giải quyết các vấn đề phức tạp, dựa trên việc xem xét một đối tượng như một hệ thống hoạt động trong một môi trường nhất định. Cách tiếp cận hệ thống liên quan đến việc tiết lộ tính toàn vẹn của đối tượng, xác định và nghiên cứu cấu trúc bên trong của nó, cũng như các kết nối với môi trường bên ngoài. Trong trường hợp này, đối tượng được trình bày như một phần của thế giới thực, được xác định và nghiên cứu liên quan đến vấn đề xây dựng mô hình đang được giải quyết. Ngoài ra, cách tiếp cận hệ thống liên quan đến sự chuyển đổi nhất quán từ cái chung sang cái riêng, khi việc xem xét dựa trên mục tiêu thiết kế và đối tượng được xem xét trong mối quan hệ với môi trường.

Một đối tượng phức tạp có thể được chia thành các hệ thống con, là các phần của đối tượng đáp ứng các yêu cầu sau:

1) hệ thống con là một phần độc lập về mặt chức năng của đối tượng. Nó được kết nối với các hệ thống con khác, trao đổi thông tin và năng lượng với chúng;

2) đối với mỗi hệ thống con, các chức năng hoặc thuộc tính không trùng với thuộc tính của toàn bộ hệ thống có thể được xác định;

3) mỗi hệ thống con có thể được chia nhỏ hơn nữa theo cấp độ của các phần tử.

Trong trường hợp này, một phần tử được hiểu là một hệ thống con của cấp độ thấp hơn, việc phân chia thêm của nó là không phù hợp với quan điểm của vấn đề đang được giải quyết.

Do đó, một hệ thống có thể được định nghĩa là một đại diện của một đối tượng dưới dạng một tập hợp các hệ thống con, các phần tử và các mối quan hệ nhằm mục đích tạo ra, nghiên cứu hoặc cải tiến nó. Đồng thời, sự thể hiện mở rộng của hệ thống, bao gồm các hệ thống con chính và các kết nối giữa chúng, được gọi là cấu trúc vĩ mô, và sự tiết lộ chi tiết về cấu trúc bên trong của hệ thống ở cấp độ các phần tử được gọi là cấu trúc vi mô.

Cùng với hệ thống, thường có một hệ thống siêu cấp - một hệ thống ở cấp độ cao hơn, bao gồm đối tượng đang được xem xét, và chức năng của bất kỳ hệ thống nào chỉ có thể được xác định thông qua hệ thống siêu cấp.

Cần làm nổi bật khái niệm môi trường như một tập hợp các đối tượng của thế giới bên ngoài có ảnh hưởng đáng kể đến hiệu quả của hệ thống, nhưng không phải là một phần của hệ thống và siêu hệ thống của nó.

Liên quan đến cách tiếp cận hệ thống để xây dựng mô hình, khái niệm cơ sở hạ tầng được sử dụng, mô tả mối quan hệ của hệ thống với môi trường của nó (môi trường). Trong trường hợp này, việc lựa chọn, mô tả và nghiên cứu các thuộc tính của một đối tượng có ý nghĩa trong một nhiệm vụ cụ thể được gọi là phân tầng của một đối tượng, và bất kỳ mô hình nào của một đối tượng là mô tả phân tầng của nó.

Đối với cách tiếp cận có hệ thống, điều quan trọng là phải xác định cấu trúc của hệ thống, tức là tập hợp các liên kết giữa các phần tử của hệ thống, phản ánh sự tương tác của chúng. Để làm điều này, trước tiên chúng ta xem xét các cách tiếp cận cấu trúc và chức năng để mô hình hóa.

Với cách tiếp cận cấu trúc, thành phần của các phần tử được lựa chọn của hệ thống và các liên kết giữa chúng được tiết lộ. Tính tổng thể của các yếu tố và mối quan hệ giúp ta có thể phán đoán cấu trúc của hệ thống. Mô tả chung nhất của một cấu trúc là mô tả cấu trúc liên kết. Nó cho phép bạn xác định các thành phần của hệ thống và mối quan hệ của chúng bằng cách sử dụng đồ thị. Ít tổng quát hơn là mô tả chức năng khi các chức năng riêng lẻ được xem xét, tức là các thuật toán cho hành vi của hệ thống. Đồng thời, một cách tiếp cận chức năng được thực hiện để xác định các chức năng mà hệ thống thực hiện.

Trên cơ sở phương pháp tiếp cận có hệ thống, một trình tự phát triển mô hình có thể được đề xuất, khi hai giai đoạn thiết kế chính được phân biệt: thiết kế vĩ mô và thiết kế vi mô.

Ở giai đoạn thiết kế vĩ mô, một mô hình về môi trường bên ngoài được xây dựng, các nguồn lực và các ràng buộc được xác định, một mô hình hệ thống và các tiêu chí để đánh giá mức độ đầy đủ được lựa chọn.

Giai đoạn thiết kế vi mô phần lớn phụ thuộc vào loại mô hình cụ thể được chọn. Trong trường hợp chung, nó liên quan đến việc tạo ra thông tin, hỗ trợ toán học, kỹ thuật và phần mềm cho hệ thống mô hình hóa. Ở giai đoạn này, các đặc tính kỹ thuật chính của mô hình đã tạo được thiết lập, thời gian làm việc với mô hình đó và chi phí tài nguyên để có được chất lượng nhất định của mô hình được ước tính.

Bất kể loại mô hình nào, khi xây dựng nó, cần phải được hướng dẫn bởi một số nguyên tắc của cách tiếp cận có hệ thống:

1) tiến trình nhất quán qua các giai đoạn tạo mô hình;

2) sự phối hợp của thông tin, nguồn lực, độ tin cậy và các đặc điểm khác;

3) tỷ lệ chính xác của các cấp độ xây dựng mô hình khác nhau;

4) tính toàn vẹn của các giai đoạn thiết kế mô hình riêng lẻ.