Коли ми працюємо з різними виразами, що включають цифри, літери та змінні, нам доводиться виконувати велику кількість арифметичних дій. Коли ми робимо перетворення або обчислюємо значення, дуже важливо дотримуватися правильної черговості цих дій. Інакше висловлюючись, арифметичні дії мають свій особливий порядок виконання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

У цій статті ми розповімо, які дії треба робити насамперед, а які після. Для початку розберемо кілька простих виразів, у яких є лише змінні чи числові значення, і навіть знаки поділу, множення, віднімання і складання. Потім візьмемо приклади з дужками і розглянемо, у порядку слід обчислювати їх. У третій частині ми наведемо потрібний порядок перетворень і обчислень у тих прикладах, які включають знаки коренів, ступенів та інших функцій.

Визначення 1

У разі виразів без дужок порядок дій визначається однозначно:

1. Усі дії виконуються зліва направо.
2. Насамперед ми виконуємо розподіл і множення, у другу – віднімання та додавання.

Сенс цих правил легко усвідомити. Традиційний порядок запису зліва направо визначає основну послідовність обчислень, а необхідність спочатку помножити чи розділити пояснюється суттю цих операцій.

Візьмемо для наочності кілька завдань. Ми використовували лише найпростіші числові вирази, щоб усі обчислення можна було провести в голові. Так можна швидше запам'ятати потрібний порядок та швидко перевірити результати.

Приклад 1

Умова:обчисліть, скільки буде 7 − 3 + 6 .

Рішення

У нашому виразі дужок немає, множення та розподіл також відсутні, тому виконуємо всі дії у вказаному порядку. Спочатку віднімаємо три із семи, потім додаємо до залишку шість і у підсумку отримуємо десять. Ось запис всього рішення:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Відповідь: 7 − 3 + 6 = 10 .

Приклад 2

Умова:в якому порядку потрібно виконувати обчислення у виразі 6: 2 · 8: 3?

Рішення

Щоб дати відповідь це питання, перечитаємо правило для висловлювань без дужок, сформульоване нами раніше. У нас тут є тільки множення та поділ, отже, ми зберігаємо записаний порядок обчислень і послідовно лікуємо зліва направо.

Відповідь:спочатку виконуємо розподіл шести на два, результат множимо на вісім і число, що вийшло в результаті, ділимо на три.

Приклад 3

Умова:підрахуйте, скільки буде 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Рішення

Спочатку визначимо правильний порядок дій, оскільки у нас тут є всі основні види арифметичних операцій - додавання, віднімання, множення, поділ. Насамперед нам треба розділити і помножити. Ці дії не мають пріоритету одна перед одною, тому виконуємо їх у написаному порядку праворуч наліво. Тобто 5 треба помножити на 6 і отримати 30 , потім розділити 30 на 3 і отримати 10 . Після цього ділимо 4 на 2 це 2 . Підставимо знайдені значення у вихідний вираз:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Тут вже немає ні поділу, ні множення, тому робимо обчислення, що залишилися, по порядку і отримуємо відповідь:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Відповідь:17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Поки порядок виконання дій не заучено твердо, можна ставити над знаками арифметичних дій цифри, що означають порядок обчислення. Наприклад, для завдання вище ми могли б записати так:

Якщо у нас є буквені вирази, то з ними ми чинимо так само: спочатку множимо і ділимо, потім складаємо та віднімаємо.

Що таке дії першого та другого ступеня

Іноді у довідниках всі арифметичні дії поділяють на дії першого та другого ступеня. Сформулюємо потрібне визначення.

До дій першого ступеня відносяться віднімання та додавання, другий – множення та розподіл.

Знаючи ці назви, ми можемо записати це правило щодо порядку дій так:

Визначення 2

У виразі, в якому немає дужок, спочатку треба виконати дії другого ступеня у напрямку зліва направо, потім дії першого ступеня (у тому самому напрямку).

Порядок обчислень у виразах із дужками

Дужки власними силами є знаком, який повідомляє нам необхідний порядок виконання дій. У такому разі потрібне правило можна записати так:

Визначення 3

Якщо у виразі є дужки, то насамперед виконується дія в них, після чого ми множимо і ділимо, а потім складаємо та віднімаємо у напрямку зліва направо.

Що стосується самого виразу в дужках, його можна розглядати як складову основного виразу. При підрахунку значення виразу в дужках ми зберігаємо той самий відомий нам порядок дій. Проілюструємо нашу думку прикладом.

Приклад 4

Умова:обчисліть, скільки буде 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2.

Рішення

У цьому виразі є дужки, тож почнемо з них. Насамперед обчислимо, скільки буде 7 − 2 · 3 . Тут нам треба помножити 2 на 3 і відняти результат від 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Вважаємо результат у других дужках. Там у нас всього одна дія: 6 − 4 = 2 .

Тепер нам потрібно підставити значення, що вийшло, в початковий вираз:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Почнемо з множення та поділу, потім виконаємо віднімання та отримаємо:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На цьому обчислення можна закінчити.

Відповідь: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6.

Не лякайтеся, якщо в умові у нас міститься вираз, в якому одні дужки укладають інші. Нам треба тільки застосовувати правило вище послідовно по відношенню до всіх виразів у дужках. Візьмемо таке завдання.

Приклад 5

Умова:обчисліть, скільки буде 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)).

Рішення

У нас є дужки у дужках. Починаємо з 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), а саме з 2 + 3 . Це буде 5 . Значення треба буде підставити у вираз та підрахувати, що 3 + 1 + 4 · 5 . Ми пам'ятаємо, що спочатку треба помножити, а потім скласти: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Підставивши знайдені значення у вихідний вираз, обчислимо відповідь: 4 + 24 = 28 .

Відповідь: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Інакше кажучи, при обчисленні значення виразу, що включає дужки в дужках, ми починаємо з внутрішніх дужок і просуваємося до зовнішніх.

Допустимо, нам треба знайти, скільки буде (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Починаємо з виразу у внутрішніх дужках. Оскільки 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , вихідний вираз можна записати як (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Знову звертаємось до внутрішніх дужок: 4 + 1 = 5 . Ми дійшли виразу (4 + 5 − 1) − 1 . Вважаємо 4 + 5 − 1 = 8 і в результаті отримуємо різницю 8 - 1 , результатом якої буде 7 .

Порядок обчислення у виразах зі ступенями, корінням, логарифмами та іншими функціями

Якщо у нас в умові стоїть вираз зі ступенем, коренем, логарифмом або тригонометричною функцією (синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом) або іншими функціями, то насамперед ми обчислюємо значення функції. Після цього ми діємо за правилами, зазначеними у попередніх пунктах. Інакше висловлюючись, функції за рівнем важливості прирівнюються до виразу, укладеному в дужки.

Розберемо приклад такого обчислення.

Приклад 6

Умова:знайдіть скільки буде (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Рішення

У нас є вираз зі ступенем, значення якого треба знайти насамперед. Вважаємо: 6 2 = 36 . Тепер підставимо результат у вираз, після чого він набуде вигляду (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Відповідь: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

В окремій статті, присвяченій обчисленню значень виразів, ми наводимо й інші, складніші приклади підрахунків у разі виразів з корінням, ступенем та ін. Рекомендуємо вам ознайомитися з нею.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Жовтень 24th, 2017 admin

Лопатко Ірина Георгіївна

Ціль:формування знань про порядок виконання арифметичних дій у числових виразах без дужок та з дужками, що складаються з 2-3 дій.

Завдання:

Освітня:формувати в учнів вміння користуватися правилами порядку виконання дій при обчисленні конкретних виразів, вміння застосовувати алгоритм дій.

Розвиваюча:розвивати навички роботи в парі, розумову діяльність учнів, вміння розмірковувати, зіставляти та порівнювати, навички обчислення та математичну мову.

Виховна:виховувати інтерес до предмета, толерантне ставлення одне до одного, взаємне співробітництво.

Типу:вивчення нового матеріалу

Обладнання:презентація, наочність, роздатковий матеріал, картки, підручник.

Методи:словесний, наочно-образний.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Вітання.

Ми сюди прийшли вчитися,

Не лінуватися, а працювати.

Працюємо старанно,

Слухаємо уважно.

Маркушевич сказав великі слова: “Хто з дитячих років займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість та завзятість у досягненні мети.” Ласкаво просимо до уроку математики!

1. Актуалізація знань

Предмет математики настільки серйозний, що не слід упускати жодної можливості зробити його цікавішим.(Б. Паскаль)

Пропоную виконати логічні завдання. Ви готові?

Які два числа, якщо їх перемножити, дають такий самий результат, що й за їхнього складання? (2 та 2)

З-під паркану видно 6 пар кінських ніг. Скільки цих тварин у дворі? (3)

Півень стоячи на одній нозі важить 5кг. Скільки він важитиме, стоячи на двох ногах? (5кг)

На руках 10 пальців. Скільки пальців на 6 руках? (30)

Батьки мають 6 синів. Кожен має сестру. Скільки всього дітей у сім'ї? (7)

Скільки хвостів у семи котів?

Скільки носів у двох псів?

Скільки вух у 5 малюків?

Хлопці, саме такої роботи я й чекала від вас: ви були активними, уважними, кмітливими.

Оцінювання: словесне.

Усний рахунок

КОРОБКА ЗНАНЬ

Добуток чисел 2*3, 4*2;

Приватні числа 15: 3, 10:2;

Сума чисел 100+20, 130+6, 650+4;

Різниця чисел 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.

Компоненти множення, поділу, додавання, віднімання.

Оцінювання: учні самостійно оцінюють один одного

1. Повідомлення теми та мети уроку

"Щоб переварити знання, треба поглинати їх із апетитом."(А.Франц)

Чи готові ви поглинати знання з апетитом?

Хлопцям, Маші та Миші було запропоновано такий ланцюжок

24 + 40: 8 – 4=

Маша її вирішила так:

24 + 40: 8 - 4 = 25 правильно? Відповіді дітей.

А Мишко вирішив ось так:

24 + 40: 8 - 4 = 4 правильно? Відповіді дітей.

Що вас здивувало? Начебто і Маша і Мишко вирішили правильно. Тоді чому відповіді вони різні?

Вони рахували в різному порядку, не домовилися, в якому порядку вважатимуть.

Від чого залежить результат обчислення? Від порядку.

Що ви бачите у цих виразах? Числа, знаки.

Як у математиці називають знаки? Дії.

Про який порядок не домовились хлопці та дівчата? Про порядок дій.

Що ми вивчатимемо на уроці? Яка тема уроку?

Ми вивчатимемо порядок арифметичних дій у виразах.

Навіщо нам потрібно знати порядок дій? Правильно виконувати обчислення у довгих виразах

«Кошик знань». (Кошик висить на дошці)

Учні називають асоціації, пов'язані з темою.

1. Вивчення нового матеріалу

Діти, послухайте, будь ласка, що говорив французький математик Д.Пойя: "Найкращий спосіб вивчити щось - це відкрити самому".Ви готові до відкриття?

180 – (9 + 2) =

Прочитайте вирази. Порівняйте їх.

Чим схожі? 2 дії, числа однакові

Чим відрізняються? Дужки, різні дії

Правило 1.

Прочитайте правило на слайді. Діти читають уголос правило.

У виразах без дужок, що містять тільки додавання та віднімання абомноження та розподіл, дії виконуються у тому порядку, як вони записані: зліва направо.

Про які дії тут йдеться? +, — або : , ·

З цих виразів знайдіть лише ті, які відповідають правилу 1. Запишіть їх у зошит.

Обчисліть значення виразів.

Перевірка.

180 – 9 + 2 = 173

Правило 2

Прочитайте правило на слайді.

Діти читають уголос правило.

У виразах без дужок спочатку виконуються по порядку зліва направо множення або поділ, а потім додавання або віднімання.

:, · і +, - (разом)

Чи є дужки? Ні.

Які дії виконуватимемо спочатку? ·, : зліва направо

Які дії виконуватимемо потім? +, - ліворуч, праворуч

Знайдіть їх значення.

Перевірка.

180 – 9 * 2 = 162

Правило 3

У виразах з дужками спочатку обчислюють значення виразів у дужках, потімвиконуються по порядку зліва направо множення або поділ, а потім додавання або віднімання.

А тут які арифметичні дії вказано?

:, · і +, - (разом)

Чи є дужки? Так.

Які дії виконуватимемо спочатку? В дужках

Які дії виконуватимемо потім? ·, : зліва направо

А потім? +, - ліворуч, праворуч

Випишіть вирази, які стосуються другого правила.

Знайдіть їх значення.

Перевірка.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Ще раз усі разом промовляємо правило.

ФІЗМИНУТКА

1. Закріплення

"Багато з математики не залишається в пам'яті, але коли зрозумієш її, тоді легко при нагоді згадати забуте.", говорив М.В. Остроградський. Ось і ми зараз згадаємо, що ми щойно вивчили і застосуємо нові знання на практиці .

Сторінка 52 №2

(52 – 48) * 4 =

Сторінка 52 №6 (1)

Учні зібрали в теплиці 700 кг овочів: 340 кг огірків, 150 кг помідорів, інші – перець. Скільки кілограмів перцю зібрали учні?

Про що йдеться? Що відомо? Що потрібно знайти?

Давайте спробуємо вирішити це завдання виразом!

700 - (340 + 150) = 210 (кг)

Відповідь: 210 кг перцю зібрали учні.

Робота у парах.

Дано картки із завданням.

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Оцінювання:

• швидкість – 1 б
• правильність - 2 б
• логічність – 2 б

1. Домашнє завдання

Сторінка 52 № 6 (2) розв'язати задачу, записати рішення у вигляді виразу.

1. Підсумок, рефлексія

Кубик Блума

Назвитему нашого уроку?

Пояснипорядок виконання дій у виразах із дужками.

Чомуважливо вивчати цю тему?

Продовжиперше правило.

Придумайалгоритм виконання дій у виразах із дужками.

“Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є можливість. Вона надасть вам величезну допомогу у всій вашій роботі.”(М.І. Калінін)

Дякую за роботу на уроці!

ПОДІЛИТИСЯВи можете

Початкова школа добігає кінця, незабаром дитина зробить крок у поглиблений світ математики. Але вже цей період школяр стикається з труднощами науки. Виконуючи просте завдання, дитина плутається, втрачається, що в результаті призводить до негативної позначки за виконану роботу. Щоб уникнути подібних неприємностей, потрібно при вирішенні прикладів вміти орієнтуватися в порядку, за яким потрібно вирішувати приклад. Не правильно розподіливши дії, дитина не правильно виконує завдання. У статті розкриваються основні правила розв'язання прикладів, що містять у собі весь спектр математичних обчислень, включаючи дужки. Порядок дій у математиці 4 клас правила та приклади.

Перед виконанням завдання попросіть своє чадо пронумерувати дії, які він збирається виконати. Якщо виникли труднощі – допоможіть.

Деякі правила, яких необхідно дотримуватись при вирішенні прикладів без дужок:

Якщо в завданні необхідно виконати ряд дій, спочатку потрібно виконати поділ або множення, потім . Усі дії виконуються протягом листа. Інакше результат рішення буде не вірним.

Якщо в прикладі потрібно виконати, виконуємо по порядку, зліва направо.

27-5+15=37 (при вирішенні прикладу керуємося правилом. Спочатку виконуємо віднімання, потім – додавання).

Навчіть дитину завжди планувати і нумерувати дії, що виконуються.

Відповіді на кожну вирішену дію записуються над прикладом. Так дитині набагато легше буде орієнтуватися у діях.

Розглянемо ще один варіант, де необхідно розподілити дії по порядку:

Як бачимо, при рішенні дотримано правило, спочатку шукаємо твір, потім — різницю.

Це прості приклади, при вирішенні яких необхідна уважність. Багато дітей впадають у ступор побачивши завдання, у якому є як множення і розподіл, а й дужки. У школяра, який знає порядок виконання дій, виникають питання, які заважають виконати завдання.

Як говорилося у правилі, спочатку знайдемо твір чи приватне, а потім все інше. Але тут є дужки! Як вчинити у цьому випадку?

Рішення прикладів із дужками

Розберемо конкретний приклад:

• При виконанні цього завдання спочатку знайдемо значення виразу, укладеного в дужки.
• Почати слід з множення, далі – додавання.
• Після того, як вираз у дужках вирішено, приступаємо до дій поза ними.
• За правилами порядку дій наступним кроком буде множення.
• Завершальним етапом стане.

Як бачимо на наочному прикладі, всі події пронумеровані. Для закріплення теми запропонуйте дитині самостійно вирішити кілька прикладів:

Порядок, яким слід обчислювати значення висловлювання вже розставлений. Дитині залишиться лише виконати безпосередньо рішення.

Ускладнимо завдання. Нехай дитина знайде значення виразів самостійно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Привчіть дитину вирішувати всі завдання у чорновому варіанті. У такому разі, у школяра буде можливість виправити неправильне рішення чи помарок. У робочому зошит виправлення не допустимі. Виконуючи самостійно завдання, діти бачать свої помилки.

Батьки, у свою чергу, повинні звернути увагу на помилки, допомогти дитині розібратися та виправити їх. Не варто навантажувати мозок школяра більшими обсягами завдань. Такими діями ви відіб'єте прагнення дитини до знань. У всьому має бути почуття міри.

Робіть перерву. Дитина повинна відволікатися та відпочивати від занять. Головне пам'ятати, що не всі мають математичний склад розуму. Може, з вашої дитини виросте знаменитий філософ.

Ми розглянемо у цій статті три варіанти прикладів:

1. Приклади з дужками (дії додавання та віднімання)

2. Приклади з дужками (додавання, віднімання, множення, розподіл)

3. Приклади, у яких багато дій

1 Приклади з дужками (дії додавання та віднімання)

Розглянемо три приклади. У кожному їх порядок дій позначений цифрами червоного цвета:

Ми бачимо, що порядок дій у кожному прикладі буде різним, хоча числа та знаки однакові. Це тому, що у другому і третьому прикладі є дужки.

*Це правило для прикладів без множення та поділу. Правила для прикладів з дужками, що включають дії множення та поділу, ми розглянемо в другій частині цієї статті.

Щоб не заплутатися у прикладі з дужками, можна перетворити його на звичайний приклад, без дужок. Для цього результат, отриманий у дужках, записуємо над дужками, далі переписуємо весь приклад, записуючи замість дужок цей результат, і далі виконуємо всі дії по порядку, зліва направо:

У нескладних прикладах можна всі ці операції робити в думці. Головне спочатку виконати дію в дужках і запам'ятати результат, а потім рахувати по порядку, зліва направо.

А тепер – тренажери!

1) Приклади з дужками не більше 20. Онлайн тренажер.

2) Приклади з дужками не більше 100. Онлайн тренажер.

3) Приклади зі дужками. Тренажер №2

4) Встав пропущене число - приклади з дужками. Тренажер

2 Приклади з дужками (додавання, віднімання, множення, поділ)

Тепер розглянемо приклади, у яких крім складання та віднімання є множення та розподіл.

Спочатку розглянемо приклади без дужок:

Є одна хитрість, як не заплутатися під час вирішення прикладів на порядок дій. Якщо немає дужок, то виконуємо дії множення та поділу, далі переписуємо приклад, записуючи замість цих дій отримані результати. Потім виконуємо складання та віднімання по порядку:

Якщо в прикладі є дужки, то спочатку потрібно позбавитися дужок: переписати приклад, записуючи замість дужок отриманий в них результат. Потім потрібно виділити подумки частини прикладу, розділені знаками "+" і "-", і порахувати кожну частину окремо. Потім виконати додавання та віднімання по порядку:

3 Приклади, в яких багато дій

Якщо в прикладі багато дій, то зручніше не розставляти порядок дій у всьому прикладі, а виділити блоки, і вирішити кожен блок окремо. І тому знаходимо вільні знаки «+» і «–» (вільні — отже над дужках, малюнку показані стрілочками).

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.