Ця стаття про знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсуцього числа. Спочатку ми внесемо ясність, що називається значенням арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу. Далі отримаємо основні значення цих аркфункцій, після чого розберемося, як знаходяться значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу за таблицями синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів Брадіса. Зрештою, поговоримо про знаходження арксинусу числа, коли відомий арккосинус, арктангенс або арккотангенс цього числа і т.п.

Навігація на сторінці.

Значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу

Спочатку варто розібратися, що взагалі таке. значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу».

Таблиці синусів і косінусів, а також тангенсів та котангенсів Брадіса дозволяють знайти значення арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу позитивного числа в градусах з точністю до однієї хвилини. Тут варто зазначити, що знаходження значень арксинусу, арккосинусу, арктангенса і арккотангенса негативних чисел можна звести до знаходження значень відповідних аркфункцій позитивних чисел, звернувшись до формул arcsin, arccos, arctg і arcctg протилежних чисел (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a та arcctg(−a)=π−arcctg a .

Розберемося зі знаходженням значень арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу за таблицями Брадіса. Робитимемо це на прикладах.

Нехай нам потрібно знайти значення арксинусу 0,2857. Знаходимо це значення у таблиці синусів (випадки, коли це значення відсутня у таблиці, розберемо нижче). Йому відповідає синус 16 градусів 36 хвилин. Отже, шуканим значенням арксинусу числа 0,2857 є кут 16 36 хвилин.

Часто доводиться враховувати і виправлення з трьох праворуч стовпців таблиці. Наприклад, якщо потрібно знайти арксинус 0,2863 . По таблиці синусів це значення виходить як 0,2857 плюс поправка 0,0006, тобто, значення 0,2863 відповідає синус 16 градусів 38 хвилин (16 градусів 36 хвилин плюс 2 хвилини поправки).

Якщо ж число, арксинус якого нас цікавить, відсутня у таблиці і навіть може бути отримано з урахуванням поправок, то таблиці необхідно знайти два найближчих щодо нього значення синусів, між якими це число укладено. Наприклад, ми шукаємо значення арксинусу числа 0,2861573. Цього числа немає в таблиці, за допомогою виправлень це число теж не отримати. Тоді знаходимо два найбільш близькі значення 0,2860 і 0,2863, між якими вихідне число укладено, цим числам відповідають синуси 16 градусів 37 хвилин і 16 градусів 38 хвилин. Шукане значення арксинусу 0,2861573 укладено між ними, тобто, будь-яке з цих значень кута можна прийняти як наближене значення арксинусу з точністю до 1 хвилини.

Абсолютно аналогічно знаходяться значення арккосинусу, і значення арктангенса і значення арккотангенса (при цьому, звичайно, використовуються таблиці косінусів, тангенсів і котангенсів відповідно).

Знаходження значення arcsin через arccos, arctg, arcctg тощо.

Наприклад, нехай відомо, що arcsin a=−π/12 , а потрібно знайти значення arccos a . Обчислюємо потрібне нам значення арккосинусу: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Набагато цікавіше справа, коли за відомим значенням арксинусу або арккосинусу числа a потрібно знайти значення арктангенса або арккотангенса цього числа a або навпаки. Формул, які задають такі зв'язки, ми, на жаль, не знаємо. Як же бути? Розберемося з цим на прикладі.

Нехай нам відомо, що арккосинус числа a дорівнює π/10 і потрібно обчислити значення арктангенса цього числа a . Вирішити поставлене завдання можна так: за відомим значенням арккосинусу знайти число a після чого знайти арктангенс цього числа. Для цього нам спочатку знадобиться таблиця косінусів, а потім – таблиця тангенсів.

Кут ?

Залишилося звернутися до таблиці тангенсів, і з її допомогою знайти потрібне нам значення арктангенса 0,9511, воно приблизно дорівнює 43 градусів 34 хвилин.

Цю тему логічно продовжує матеріал статті обчислення значень виразів, що містять arcsin, arccos, arctg та arcctg.

Список литературы.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• І. В. Бойков, Л. Д. Романова. Збірник задач для підготовки до ЄДІ, частина 1, Пенза 2003.
• Брадіс Ст М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2

Раніше за програмою учні отримали уявлення про розв'язання тригонометричних рівнянь, ознайомилися з поняттями арккосинусу та арксинусу, прикладами розв'язків рівнянь cos t = a та sin t = a. У цьому уроці розглянемо рішення рівнянь tg x = a і ctg x = a.

На початку вивчення даної теми розглянемо рівняння tg x = 3 і tg x = - 3. Якщо рівняння tg x = 3 вирішуватимемо за допомогою графіка, то побачимо, що перетин графіків функцій y = tg x і y = 3 має безліч рішень, де x = x 1 + πk. Значення x 1 - це координата x точки перетину графіків функцій y = tg x і y = 3. Автор вводить поняття арктангенса: arctg 3 це число, tg якого дорівнює 3, і число належить інтервалу від -π/2 до π/2. Використовуючи поняття арктангенса, розв'язання рівняння tg x = 3 можна записати у вигляді x = arctg 3 + πk.

За аналогією вирішується рівняння tg x = - 3. За побудованими графіками функцій y = tg x і y = - 3 видно, що точки перетину графіків, а отже, і розв'язками рівнянь, буде x = x 2 + πk. За допомогою арктангенсу рішення можна записати як x = arctg(-3) + πk. На наступному малюнку побачимо, що arctg (-3) = arctg 3.

Загальне визначення арктангенса виглядає так: арктангенсом а називається таке число з проміжку від -π/2 до π/2, тангенс якого дорівнює а. Тоді розв'язком рівняння tg x = a є x = arctg a + πk.

Автор наводить приклад 1. Знайти рішення виразу arctg. Введемо позначення: арктангенс числа дорівнює x, тоді tg x дорівнюватиме цьому числу, де x належить відрізку від -π/2 до π/2. Як у прикладах попередніх темах, скористаємося таблицею значень. За цією таблицею тангенсу цього числа відповідає значення x = π/3. Запишемо рішення рівняння арктангенс заданого числа дорівнює π/3, π/3 належить інтервалу від -π/2 до π/2.

Приклад 2 – обчислити арктангенс негативного числа. Використовуючи рівність arctg (- a) = - arctg a, введемо значення x. Аналогічно прикладу 2 запишемо значення x, яке належить відрізку від -π/2 до π/2. За таблицею значень знайдемо, що x = π/3, отже - tg x = - π/3. Відповіддю рівняння буде - π/3.

Розглянемо приклад 3. Розв'яжемо рівняння tg x = 1. Запишемо, що x = arctg 1 + πk. У таблиці значення tg 1 відповідає значення x = π/4, отже, arctg 1 = π/4. Підставимо це значення у вихідну формулу x і запишемо відповідь x = π/4 + πk.

Приклад 4: обчислити tg x = – 4,1. В даному випадку x = arctg (-4,1) + πk. Т.к. знайти значення arctg в даному випадку немає можливості, відповідь виглядатиме як x = arctg (-4,1) + πk.

У прикладі 5 розглядається рішення нерівності tg x > 1. Для вирішення побудуємо графіки функцій y = tg x і y = 1. Як видно на малюнку, ці графіки перетинаються в точках x = π/4 + πk. Т.к. в даному випадку tg x > 1, на графіку виділимо область тангенсоіди, яка знаходиться вище графіка y = 1, де x належить інтервалу від π/4 до π/2. Відповідь запишемо як π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Далі розглянемо рівняння ctg x = a. На малюнку зображено графіки функцій у = ctg x, y = a, y = - a, які мають безліч точок перетину. Рішення можна записати як x = x 1 + πk, де x 1 = arcctg a та x = x 2 + πk, де x 2 = arcctg (-a). Зазначено, що x 2 = π - x1. З цього випливає рівність arcctg(-a) = π - arcctg a. Далі дається визначення арккотангенса: арккотангенсом називається таке число з проміжку від 0 до π, котангенс якого дорівнює а. Розв'язання рівняння сtg x = a записується як: x = arcctg a + πk.

Наприкінці відеоуроку робиться ще один важливий висновок - вираз ctg x = a можна записати у вигляді tg x = 1/a, за умови, що a не дорівнює нулю.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

Розглянемо рішення рівнянь tg х = 3 і tg х= - 3. Вирішуючи перше рівняння графічно, бачимо, що графіки функцій у = tg x і у = 3 мають нескінченно багато точок перетину, абсциси яких запишемо як

х = х 1 + πk, де х 1 - це абсцис точки перетину прямої у = 3 з головною гілкою тангенсоїди (рис.1), для якої було придумано позначення

arctg 3 (арктангенс трьох).

Як розуміти arctg 3?

Це число, тангенс якого дорівнює 3 і число належить інтервалу (- ;). Тоді всі коріння рівняння tg х = 3 можна записати формулою х = arctg 3+πk.

Аналогічно рішення рівняння tg х = - 3 можна записати у вигляді х = х 2 + πk, де х 2 - це абсцис точки перетину прямої у = - 3 з головною гілкою тангенсоіди (рис.1), для якої було придумано позначення arctg(- 3) (Арктангенс мінус трьох). Тоді все коріння рівняння можна записати формулою: х = arctg(-3) + πk. На малюнку видно, що arctg(- 3)= - arctg 3.

Сформулюємо визначення арктангенсу. Арктангенсом називається таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.

Часто використовують рівність: arctg(-а) = -arctg а, яка справедлива для будь-якого а.

Знаючи визначення арктангенсу, зробимо загальний висновок про рішення рівняння

tg х = a: рівняння tg х = a має розв'язок х = arctg а + πk.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1.Обчислити arctg.

Рішення. Нехай arctg = x, тоді tgх = і x (-;). Показати таблицю значень Отже, х =, тому що tg = і ϵ(-;).

Отже, arctg =.

ПРИКЛАД 2. Обчислити arctg (-).

Рішення. Використовуючи рівність arctg(- а) = - arctg а, запишемо:

arctg(-) = - arctg. Нехай arctg = х, тоді - tgх = і хϵ (-;). Отже, х =, тому що tg = і ? (-;). Показати таблицю значень

Отже arctg=- tgх= - .

ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння tgх = 1.

1. Запишемо формулу розв'язків: х = arctg 1 + πk.

2. Знайдемо значення арктангенсу

тому що tg = . Показати таблицю значень

Значить arctg1 = .

3. Поставимо знайдене значення у формулу рішень:

ПРИКЛАД 4. Вирішити рівняння tgх = - 4,1 (тангенс ікс дорівнює мінус чотири цілі одна десята).

Рішення. Запишемо формулу розв'язків: х = arctg(-4,1) + πk.

Обчислити значення арктангенса ми можемо, тому рішення рівняння залишимо отриманому вигляді.

ПРИКЛАД 5. Вирішити нерівність tgх 1.

Рішення. Вирішуватимемо графічно.

1. Побудуємо тангенсоіду

у = tgх і пряму у = 1 (рис.2). Вони перетинаються у точках виду х = + πk.

2. Виділимо проміжок осі ікс, на якому головна гілка тангенсоїди розташована вище за пряму у = 1, оскільки за умовою tgх 1. Це інтервал (;).

3. Використовуємо періодичність функції.

Властивість 2. у = tg х - періодична функція з основним періодом?

Враховуючи періодичність функції у = tgх, запишемо відповідь:

(;). Відповідь можна записати у вигляді подвійної нерівності:

Перейдемо до рівняння ctg x = a. Представимо графічну ілюстрацію рішення рівняння для позитивного та негативного а (рис.3).

Графіки функцій у = ctg х і у = а також

у= ctg х і у=-а

мають нескінченно багато загальних точок, абсциси яких мають вигляд:

х = х 1 + , де х 1 - це абсцис точки перетину прямої у = а з головною гілкою тангенсоїди і

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , де х 2 - це абсцис точки перетину прямої

у = - а з головною гілкою тангенсоїди і х 2 = arcсtg(-а).

Зауважимо, що х 2 = π - х 1 . Отже, запишемо важливу рівність:

arcсtg(-а) = π - arcсtg а.

Сформулюємо визначення: арккотангенсом а називається таке число з інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.

Розв'язання рівняння ctg х = a записуються як: х = arcсtg а + .

Звернімо увагу, що рівняння ctg х = a можна перетворити на вигляд

tg х = , крім, коли а = 0.

Що таке арксінус, арккосинус? Що таке Арктангенс, Арккотангенс?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

До понять арксінус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учень народ ставиться з побоюванням. Не розуміє він ці терміни і, отже, не довіряє цій славній родині.) А даремно. Це дуже прості поняття. Які, між іншим, колосально полегшують життя знаючому людині під час вирішення тригонометричних рівнянь!

Сумніваєтеся щодо простоти? Даремно.) Прямо тут і зараз ви в цьому переконаєтесь.

Зрозуміло, для розуміння, непогано знати, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс. Та їх табличні значення для деяких кутів... Хоча б у найзагальніших рисах. Тоді й тут проблем не буде.

Отже, дивуємось, але запам'ятовуємо: Арксінус, Арккосинус, Арктангенс і Арккотангенс - це просто якісь кути.Не більше не менше. Буває кут, скажімо 30 °. А буває кут arcsin0,4. Або arctg(-1,3). Будь-які кути бувають.) Просто записати кути можна різними способами. Можна записати кут через градуси чи радіани. А можна - через його синус, косинус, тангенс та котангенс...

Що означає вираз

arcsin 0,4?

Це кут, синус якого дорівнює 0,4! Так-так. Це сенс арксинусу. Спеціально повторю: arcsin 0,4 – це кут, синус якого дорівнює 0,4.

І все.

Щоб ця проста думка збереглася надовго в голові, я навіть наведу розбивочку цього жахливого терміна - арксинус:

arc sin 0,4
кут, синус якого дорівнює 0,4

Як пишеться, так і чується.) Майже. Приставка arcозначає дуга(слово арказнаєте?), т.к. древні люди замість кутів використовували дуги, але це справи не змінює. Запам'ятайте це елементарне розшифрування математичного терміна! Тим більше, для арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу розшифровка відрізняється лише назвою функції.

Що таке arccos 0,8?
Це кут, косинус якого дорівнює 0,8.

Що таке arctg(-1,3)?
Це кут, тангенс якого дорівнює -1,3.

Що таке arcctg 12?
Це кут, котангенс якого дорівнює 12.

Таке елементарне розшифрування дозволяє, до речі, уникнути епічних ляпів.) Наприклад, вираз arccos1,8 виглядає цілком солідно. Починаємо розшифровку: arccos1,8 – це кут, косинус якого дорівнює 1,8... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не буває більше одиниці!

Правильно. Вираз arccos1,8 немає сенсу. І запис такого виразу в якусь відповідь неабияк повеселить перевіряючого.)

Елементарно, як бачите.) Кожен кут має свій персональний синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс. Отже, знаючи тригонометричну функцію, можна записати і сам кут. Для цього і призначені арксинуси, арккосинуси, арктангенси та арккотангенси. Далі я всю цю сімейку називатиму зменшувально - арки.Щоб друкувати менше.)

Увага! Елементарна словесна та усвідомленарозшифровка арків дозволяє спокійно і впевнено вирішувати різні завдання. А в незвичнихзавдання тільки вона і рятує.

А можна переходити від арків до звичайних градусів чи радіанів?- чую обережне запитання.)

Чому – ні!? Легко. І туди можна і назад. Понад те, це іноді потрібно обов'язково робити. Арки - штука проста, але без них спокійніше, правда?)

Наприклад: що таке arcsin 0,5?

Згадуємо розшифрування: arcsin 0,5 - це кут, синус якого дорівнює 0,5.Тепер включаємо голову (або гугл)) та згадуємо, у якого кута синус дорівнює 0,5? Синус дорівнює 0,5 у кута в 30 градусів. Ось і всі справи: arcsin 0,5 - це кут 30 °.Можна сміливо записати:

arcsin 0,5 = 30 °

Або, більш солідно, через радіани:

Все, можна забути про арксинус і працювати далі зі звичними градусами чи радіанами.

Якщо ви усвідомили, що таке арксінус, арккосинус... Що таке арктангенс, арккотангенс...То легко розберетеся, наприклад, із таким монстром.)

Несвідома людина відсахнеться в жаху, так...) А обізнаний згадає розшифровку:арксинус - це кут, синус якого... Ну і таке інше. Якщо обізнана людина знає ще й таблицю синусів... Таблицю косинусів. Таблицю тангенсів та котангенсів, то проблем взагалі немає!

Досить збагнути, що:

Розшифрую, тобто. переведу формулу в слова: кут, тангенс якого дорівнює 1 (arctg1)- Це кут 45 °. Або що єдине, Пі/4. Аналогічно:

і все... Замінюємо всі арки на значення в радіанах, все скорочується, залишиться порахувати, скільки буде 1+1. Це буде 2.) Що і є правильною відповіддю.

Ось таким чином можна (і потрібно) переходити від арксінусів, арккосінусів, арктангенсів і арккотангенсів до звичайних градусів і радіанів. Це чудово спрощує страшні приклади!

Часто, в подібних прикладах, усередині арків стоять негативнізначення. Типу arctg(-1,3), або, наприклад, arccos(-0,8)... Це не проблема. Ось вам прості формули переходу від негативних значень до позитивних:

Потрібно вам, скажімо, визначити значення виразу:

Це можна і по тригонометричному колі вирішити, але вам не хочеться його малювати. Ну і добре. Переходимо від негативногозначення всередині арккосинусу до позитивномуза другою формулою:

Усередині арккосинусу справа вже позитивнезначення. Те, що

ви просто повинні знати. Залишається підставити радіани замість арккосинусу і порахувати відповідь:

Ось і все.

Обмеження на арксінус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

З прикладами 7 – 9 проблема? Так, є там деяка хитрість.)

Всі ці приклади, з 1-го по 9-й, ретельно розібрані по поличках у Розділі 555. Що, як і чому? З усіма таємними пастками та каверзами. Плюс методи різкого спрощення рішення. До речі, у цьому розділі багато корисної інформації та практичних порад щодо тригонометрії загалом. І не лише за тригонометрією. Дуже помагає.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Урок та презентація на теми: "Арксинус. Таблиця арксинусів. Формула y=arcsin(x)"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі

Що вивчатимемо:
1. Що таке арксинус?
2. Позначення арксинусу.
3. Трохи історії.
4. Визначення.

6. Приклади.

Що таке арксинус?

Діти, ми з вами вже навчилися вирішувати рівняння для косинуса, давайте тепер навчимося вирішувати подібні рівняння і для синуса. Розглянемо sin(x)=√3/2. Для розв'язання цього рівняння потрібно побудувати пряму y=√3/2 і подивитися: у яких точках вона перетинає числове коло. Видно, що пряме перетинає коло у двох точках F і G. Ці точки і будуть рішенням нашого рівняння. Позначимо F як x1, а G як x2. Розв'язання цього рівняння ми вже знаходили та отримали: x1= π/3 + 2πk,
а x2 = 2π/3 + 2πk.

Вирішити дане рівняння досить просто, але як вирішити, наприклад, рівняння
sin (x) = 5/6. Очевидно, що це рівняння матиме також два корені, але які значення відповідатимуть рішенню на числовому колі? Давайте уважно подивимося на наше рівняння sin(x)=5/6.
Рішенням нашого рівняння будуть дві точки: F = x1 + 2πk і G = x2 + 2πk,
де x1 - Довжина дуги AF, x2 - Довжина дуги AG.
Зауважимо: x2= π - x1, т.к. AF = AC - FC, але FC = AG, AF = AC - AG = π - x1.
Але що це за точки?

Зіткнувшись із подібною ситуацією, математики вигадали новий символ – arcsin(x). Читається, як арксинус.

Тоді рішення нашого рівняння запишеться так: x1 = arcsin (5/6), x2 = -arcsin (5/6).

І рішення у загальному вигляді: x= arcsin(5/6) + 2πk і x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус - це кут (довжина дуги AF, AG) синус якого дорівнює 5/6.

Трохи історії арксинусу

Історія походження нашого символу така ж, як і в arccos. Вперше символ arcsin з'являється у роботах математика Шерфера та відомого французького вченого Ж.Л. Лагранжа. Дещо раніше поняття арксинус розглядав Д. Бернулі, щоправда записував його іншими символами.

Загальноприйнятими ці символи стали лише наприкінці XVIII століття. Приставка "arc" походить від латинського "arcus" (цибуля, дуга). Це цілком узгоджується зі змістом поняття: arcsin x - це кут (а можна сказати і дуга), синус якого дорівнює x.

Визначення арксинусу

Якщо |а|≤ 1, то arcsin(a) – це число з відрізка [- π/2; π/2], синус якого дорівнює а.

Якщо |а|≤ 1, то рівняння sin(x)= a має розв'язок: x= arcsin(a) + 2πk і
x= π - arcsin(a) + 2πk

Перепишемо:

x = π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Діти, подивіться уважно на два наші рішення. Як вважаєте: чи можна їх записати загальною формулою? Зауважимо, що й перед арксинусом стоїть знак " плюс " , то π множиться на парне число 2πk, і якщо знак " мінус " , то множник - непарний 2k+1.
З урахуванням цього запишемо загальну формулу рішення для рівняння sin(x)=a:

Є три випадки, в яких воліють записувати рішення більш простим способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x=-π/2 + 2πk.

Для будь-якого -1 ≤ а ≤ 1 виконується рівність arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишемо таблицю значень косинуса і отримаємо таблицю для арксинуса.

Приклади

1. Обчислити: arcsin(√3/2).
Рішення: Нехай arcsin(√3/2)= x, тоді sin(x)=√3/2. За визначенням: - π/2 ≤x≤ π/2. Подивимося значення синуса у таблиці: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 і –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Відповідь: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Обчислити: arcsin(-1/2).
Рішення: Нехай arcsin(-1/2) = x, тоді sin (x) = -1/2. За визначенням: - π/2 ≤x≤ π/2. Подивимося значення синуса таблиці: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 і -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Відповідь: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Обчислити: arcsin(0).
Рішення: Нехай arcsin(0)= x, тоді sin(x)= 0. За визначенням: - π/2 ≤x≤ π/2. Подивимося значення синуса у таблиці: отже x= 0, т.к. sin(0)= 0 і - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Відповідь: arcsin(0)=0.

4. Розв'язати рівняння: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk і x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Подивимося у таблиці значення: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Відповідь: x=-π/4 + 2πk та x= 5π/4 + 2πk.

5. Розв'язати рівняння: sin(x) = 0.
Рішення: Скористаємося ухвалою, тоді рішення запишеться у вигляді:
x= arcsin(0) + 2πk і x= π - arcsin(0) + 2πk. Подивимося у таблиці значення: arcsin(0)= 0.
Відповідь: x= 2πk та x= π + 2πk

6. Розв'язати рівняння: sin(x) = 3/5.
Рішення: Скористаємося ухвалою, тоді рішення запишеться у вигляді:
x= arcsin(3/5) + 2πk і x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Відповідь: x = (-1) n - arcsin (3/5) + πk.

7. Вирішити нерівність sin(x) Рішення: Синус - це ордината точки числового кола. Значить: нам треба знайти такі точки, ордината яких менша за 0.7. Намалюємо пряму y=0.7. Вона перетинає числове коло у двох точках. Нерівності y Тоді розв'язанням нерівності буде: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Завдання на арксинус для самостійного вирішення

1) Обчислити: а) arcsin(√2/2); б) arcsin(1/2); в) arcsin(1); г) arcsin(-0.8).
2) Розв'язати рівняння: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Вирішити нерівність: а) sin(x) > 0.6; б) sin(x)≤ 1/2.

Арктангенс (y = arctg x) - Це функція, зворотна до тангенсу (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Арктангенс позначається так:
.

Графік функції арктангенс

Графік функції y = arctg x

Графік арктангенса виходить із графіка тангенсу, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, безліч значень обмежують інтервалом, на якому монотонна функція. Таке визначення називають основним значенням арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg x) - Це функція, зворотна до котангенсу (x = ctg y). Він має область визначення та безліч значень.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Арккотангенс позначається так:
.

Графік функції арккотангенс

Графік функції y = arcctg x

Графік арккотангенса виходить із графіка котангенса, якщо поміняти місцями осі абсцис та ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом на якому функція монотонна. Таке визначення називають основним значенням арккотангенса.

Парність

Функція арктангенс є непарною:
arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

Функція арккотангенс не є парною чи непарною:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арктангенс і арккотангенс безперервні у своїй області визначення, тобто всім x . (Див. доказ безперервності). Основні властивості арктангенсу та арккотангенсу представлені в таблиці.

	y = arctg x	y = arcctg x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Безліч значень
Зростання, спадання	монотонно зростає	монотонно зменшується
Максимуми, мінімуми	ні	ні
Нулі, y = 0	x = 0	ні
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Таблиця арктангенсів та арккотангенсів

У цій таблиці представлені значення арктангенсів та арккотангенсів, у градусах та радіанах, при деяких значеннях аргументу.

x	arctg x		arcctg x
	град.	радий.	град.	радий.
- ∞	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
- 1	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формули

Формули суми та різниці

при

при

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

,
.

Вирази через гіперболічні функції

Похідні

Див. Виведення похідних арктангенсу та арккотангенсу.

Похідні вищих порядків:
Нехай. Тоді похідну n-го порядку арктангенсу можна представити одним із таких способів:
;
.
Символ означає уявну частину виразу, що стоїть слідом.

Див. Виведення похідних вищих порядків арктангенсу та арккотангенсу.
Там же подано формули похідних перших п'яти порядків.

Аналогічно для арккотангенсу. Нехай. Тоді
;
.

Інтеграли

Робимо підстановку x = tg tі інтегруємо частинами:
;
;
;

Виразимо арккотангенс через арктангенс:
.

Розкладання в статечний ряд

За |x| ≤ 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арктангенсу та арккотангенсу є тангенс та котангенс відповідно.

Наступні формули справедливі по всій області визначення:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Наступні формули справедливі лише на безлічі значень арктангенсу та арккотангенсу:
arctg(tg x) = xпри
arcctg(ctg x) = xпри .

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.