Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Ang solusyon ng trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto: pagbabago ng equation para maging simple uri (tingnan sa itaas) at solusyonnakuha ang pinakasimpleng trigonometriko equation. May pito mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

1. Algebraic na pamamaraan.

(variable substitution at substitution method).

2. Factorization.

HALIMBAWA 1. Lutasin ang equation: kasalanan x+ cos x = 1 .

Solusyon. Ilipat ang lahat ng termino ng equation sa kaliwa:

kasalanan x+ cos x – 1 = 0 ,

Ibahin natin at i-factor ang expression sa

Kaliwang bahagi ng equation:

Halimbawa 2. Lutasin ang equation: cos 2 x+ kasalanan x cos x = 1.

SOLUTION cos 2 x+ kasalanan x cos x– kasalanan 2 x– dahil 2 x = 0 ,

kasalanan x cos x– kasalanan 2 x = 0 ,

kasalanan x(cos x– kasalanan x ) = 0 ,

Halimbawa 3. Lutasin ang equation: kasi 2 x– dahil 8 x+ cos 6 x = 1.

SOLUTION cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 cos 4 x kasi 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– dahil 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 kasalanan 3 x kasalanan x = 0 ,

1). kasi 4 x= 0 , 2). kasalanan 3 x= 0 , 3). kasalanan x = 0 ,

3. Dinadala sa pare-parehong equation. Ang equation tinawag homogenous mula sa medyo kasalanan At cos , Kung lahat ng ito mga tuntunin ng parehong antas na may paggalang sa kasalanan At cos ang parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, kailangan mo: A) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi; b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket; V) equate ang lahat ng mga kadahilanan at bracket sa zero; G) panaklong itinakda sa zero give homogenous equation ng mas mababang antas, na dapat hatiin sa cos(o kasalanan) sa senior degree; d) lutasin ang resultang algebraic equation na may kinalaman sakulay-balat . kasalanan 2 x+ 4 kasalanan x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Solusyon: 3sin 2 x+ 4 kasalanan x cos x+ 5 cos 2 x= 2 kasalanan 2 x+ 2 cos 2 x , Kasalanan 2 x+ 4 kasalanan x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , mula rito y 2 + 4y +3 = 0 , Ang mga ugat ng equation na ito ay:y 1 = - 1, y 2 = - 3, samakatuwid 1) kayumanggi x= –1, 2) kayumanggi x = –3,

4. Lumipat sa kalahating sulok.

Tingnan natin ang pamamaraang ito sa isang halimbawa:

HALIMBAWA Lutasin ang Equation: 3 kasalanan x– 5cos x = 7.

Solusyon: 6 kasalanan ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 kasalanan² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 kasalanan² ( x/ 2) – 6 kasalanan ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo.

Isaalang-alang ang isang equation ng form:

a kasalanan x + b cos x = c ,

saan a, b, c- mga coefficient;x- hindi kilala.

Ngayon ang mga coefficient ng equation ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin: module (absolute value) ng bawat isa na hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay 1. Pagkatapos ay maaaring italaga ng isa kanila ayon sa pagkakabanggit Paano cos at kasalanan (dito - tinatawag na pantulong na anggulo), Atang aming equation ay

Mga equation ng trigonometric

Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation

Mga degree at radian

Panimula sa trigonometriko na bilog

Mga pag-ikot sa isang trigonometriko na bilog

Gaano karaming sakit ang nauugnay sa salitang trigonometry. Lumilitaw ang paksang ito sa ika-9 na baitang at hindi nawala kahit saan. Mahirap para sa mga hindi agad naiintindihan ang isang bagay. Subukan nating ayusin ito upang lumiwanag ang iyong mukha sa isang ngiti sa salitang trigonometry, o hindi bababa sa makamit ang isang "poker face".

Upang magsimula sa, tulad ng haba ay maaaring ipahayag sa metro o milya, kaya maaari ang anggulo ay maaaring ipahayag sa radians o degrees.

1 radian = 180/π ≈ 57.3 degrees

Ngunit mas madaling matandaan ang mga integer: 3.14 radians = 180 degrees. Ang mga ito ay pareho ang halaga ng numerong π.

Alalahanin na kung hihilingin sa atin na lumiko, kailangan nating lumiko ng 180 degrees, at ngayon ay maaari rin nating sabihin: Lumiko π!

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga graph ng sine, cosine at tange sa isa pang artikulo.

At ngayon magsimula tayo sa Cartesian (rectangular) coordinate system.

Dati, tumulong siyang bumuo ng mga graph, at ngayon ay tutulong siya sa sine at cosine.

Sa intersection ng X-axis at ang Y-axis, bumuo kami ng isang unit (radius ay 1) na bilog:

Pagkatapos ang cosine axis ay magkakasabay sa x, ang sine axis na may y. Ang mga axes ng tangents at cotangents ay ipinapakita din sa figure.

At ngayon tandaan namin ang mga pangunahing halaga ng mga degree at radian sa isang bilog.

tayo sasang-ayon kami sa iyo, bilang mga matatanda: sa isang bilog, markahan namin ang anggulo sa radians, iyon ay, sa pamamagitan ng Pi.

Sapat na tandaan na π = 180°(pagkatapos ay π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

Ngayon ay iikot tayo sa mga bilog! Nakaugalian na kunin ang pinakakanang punto ng bilog (kung saan 0 °) bilang simula ng ulat:

Mula dito nagtakda kami ng karagdagang pagliko. Maaari naming paikutin ang parehong sa positibong direksyon (counterclockwise) at sa negatibong direksyon (clockwise).

Mayroong dalawang paraan upang lumiko sa 45°: sa kaliwang balikat 45° sa (+) gilid, o sa kanang balikat 315° sa (-).

Ang pangunahing bagay ay ang direksyon kung saan tayo titingin, hindi ang anggulo!

Kinakailangang idirekta ang tuldok-tuldok na linya sa 100 puntos, at kung gaano karaming mga rebolusyon at kung saang direksyon tayo gagawa sa paligid natin - hindi mahalaga!

Maaari kang makakuha ng 100 puntos sa pamamagitan ng pagliko sa 135° o 360°+135°, o -225°, o -225°-360°...

At ngayon mayroon kang dalawang paraan:

Alamin ang buong bilog (trigonometer). Ang isang mahusay na pagpipilian kung ang lahat ay maayos sa iyong memorya, at walang lilipad sa iyong ulo sa isang mahalagang sandali:

At maaari mong matandaan ang ilang mga sulok ng talahanayan at ang kanilang mga kaukulang halaga, at pagkatapos ay gamitin ang mga ito.

Maghanap ng pantay na mga anggulo (vertical, kaukulang) sa isang trigonometric na bilog. Maaari kang makarating sa anumang punto gamit ang kabuuan o pagkakaiba ng dalawang mga halaga ng tabular.

Subukan nating maunawaan ito gamit ang isang halimbawa:

Halimbawa #1. cos(x) = ½

1) Tandaan na ang cos(x) axis ay ang horizontal axis. Minarkahan namin ang halaga ½ dito at gumuhit ng isang patayo (lilang) tuwid na linya sa mga intersection na may bilog.

2) Nakakuha ng dalawang punto ng intersection sa bilog, ang halaga ng mga anggulong ito ang magiging solusyon ng equation.

Ang punto ay maliit - upang mahanap ang mga sulok na ito.

Mas mainam na makayanan ang "maliit na dugo" at alamin ang halaga ng sine at cosine para sa mga anggulo mula 30 ° hanggang 60 °.

O tandaan ang trick na ito:

Lagyan ng numero ang iyong mga daliri mula 0 hanggang 4 mula pinky hanggang hinlalaki. Ang anggulo ay nakatakda sa pagitan ng maliit na daliri at anumang iba pang daliri (mula 0 hanggang 90).

Halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang kasalanan(π/2): π / 2 ay ang hinlalaki, ang n = 4 ay pinapalitan sa formula para sa sine: kasalanan(π/2) = √4/2 = 1 => kasalanan(π/2) = 1.

cos(π/4) - ? Ang π/4 ay tumutugma sa gitnang daliri (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

Sa halagang cos (x) = ½ mula sa talahanayan o gamit ang mnemonic rule, nakita namin ang x = 60 ° (ang unang punto x = + π / 3 dahil sa ang katunayan na ang pag-ikot ay counterclockwise (+), ang anggulo ay ipinapakita ng isang itim na arko).

Ang pangalawang punto ay tumutugma sa eksaktong parehong anggulo, tanging ang pag-ikot ay magiging clockwise (-). x = −π/3 (ang anggulo ay ipinapakita ng mas mababang itim na arko).

At ang huli, bago mo tuluyang matuklasan ang lihim na kaalaman sa trigonometrya:

Kapag kinakailangan na maabot ang "100 puntos", maaari nating pindutin ang mga ito sa pamamagitan ng pagliko sa...=-225°=135°=495°=...

Pareho dito! Ang iba't ibang mga anggulo ay maaaring magpakita ng parehong direksyon.

Maaari mong ganap na sabihin na kailangan mong lumiko sa kinakailangang anggulo, at pagkatapos ay maaari mong i-360 ° = 2π (sa asul) nang maraming beses hangga't gusto mo at sa anumang direksyon.

Kaya, maaari kang makapasok sa unang direksyon 60°: ...,60°-360°, 60°, 60°+360°,...

At kung paano isulat ang natitirang mga anggulo, hindi upang isulat ang isang walang katapusang bilang ng mga puntos? (Sana makita ko to☻)

Samakatuwid, tama na isulat ang sagot: x = 60 + 360n, kung saan ang n ay isang integer (n∈Ζ) (pumihit tayo ng 60 degrees, at pagkatapos ay bilugan nang maraming beses hangga't gusto natin, ang pangunahing bagay ay ang direksyon nananatiling pareho). Katulad nito, x = −60 + 360n.

Ngunit napagkasunduan namin na ang lahat ng nasa bilog ay nakasulat sa pamamagitan ng π, kaya cos(x) = ½ para sa x=π/3 + 2πn, n∈Z at x = −π/3 + 2πk, k∈Z.

Sagot: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Z.

Halimbawa #2. 2sinx = √2

Ang unang bagay na dapat gawin ay ilipat ang 2 sa kanan => sinx=√2/2

1) ang sin(x) ay tumutugma sa Y axis. Sa sin(x) axis, markahan ang √2/2 at iguhit ang ⊥ lilang tuwid na linya patungo sa intersection sa bilog.

2) Mula sa talahanayan sinx = √2/2 sa x = π/4, at hahanapin natin ang pangalawang punto sa pamamagitan ng pagliko sa π, at pagkatapos ay kailangan nating bumalik sa π/4.

Samakatuwid, ang pangalawang punto ay magiging x = π − π/4 = 3π/4, maaari rin itong maabot sa tulong ng mga pulang arrow o sa ibang paraan.

At huwag nating kalimutang magdagdag ng +2πn, n∈Ζ.

Sagot: 3π/4 + 2πn at π/4 + 2πk, k at n ay anumang integer.

Halimbawa #3. tg(x + π/4) = √3

Mukhang tama ang lahat, ang tangent ay katumbas ng numero, ngunit ang pi / 4 sa tangent ay nalilito. Pagkatapos ay ginagawa namin ang pagpapalit: y = x + π/4.

tg(y) = √3 ay hindi na mukhang masama. Tandaan natin kung nasaan ang axis ng tangents.

1) At ngayon sa axis ng tangents napapansin natin ang halaga √3, na mas mataas sa 1.

2) Gumuhit ng purple na linya sa pamamagitan ng value na √3 at ang pinagmulan. Muli, sa intersection sa bilog, 2 puntos ang nakuha.

Ayon sa mnemonic rule, na may tangent na √3, ang unang halaga ay π/3.

3) Upang makarating sa pangalawang punto, maaari mong idagdag ang π => y = π/3 + π = 4π/3 sa unang punto (π/3).

4) Ngunit natagpuan lamang namin ang y , pabalik sa x. y = π/3 + 2πn at y = x + π/4, pagkatapos x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Z.

Pangalawang ugat: y = 4π/3 + 2πk at y = x + π/4, pagkatapos x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Ngayon ang mga ugat sa bilog ay narito:

Sagot: π/12 + 2πn at 13π/12 + 2πk, k at n- anumang buong numero.

Siyempre, ang dalawang sagot na ito ay maaaring pagsamahin sa isa. Mula sa 0, lumiko sa pamamagitan ng π / 12, at pagkatapos ay uulitin ng bawat ugat ang bawat π (180 °).

Ang sagot ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod: π/12 + πn, n∈Z.

Halimbawa #4: −10ctg(x) = 10

Ilipat natin ang (−10) sa ibang bahagi: ctg(x) = −1. Tandaan ang halaga -1 sa axis ng cotangents.

1) Gumuhit ng tuwid na linya sa puntong ito at sa pinanggalingan.

2) Kailangan nating tandaan muli kapag ang paghahati ng cosine sa sine ay magbibigay ng isang yunit (ito ay nakuha sa π / 4). Ngunit dito -1, kaya ang isang punto ay magiging -π/4. At nahanap natin ang pangalawa sa pamamagitan ng pag-angat sa π, at pagkatapos ay pabalik ng π/4 (π − π/4).

Maaari mong gawin ito nang iba (sa pula), ngunit ang payo ko sa iyo: palaging binibilang mula sa mga integer na halaga ng pi(π, 2π, 3π...) na mas malamang na malito.

Huwag kalimutang magdagdag ng 2πk sa bawat punto.

Sagot: 3π/4 + 2πn at −π/4 + 2πk, k at n ay anumang integer.

Algorithm para sa paglutas ng mga trigonometric equation (halimbawa, cos(x) = − √ 3/2) :

1. Minarkahan namin ang halaga (−√3/2) sa axis ng trigonometric function (cosines, ito ang X axis).
2. Gumuhit kami ng isang patayo na linya sa axis (cosines) sa mga intersection na may bilog.
3. Ang mga punto ng intersection sa bilog ay magiging mga ugat ng equation.
4. Ang halaga ng isang punto (kahit paano ka pumasok dito)+2pk.

Ang mga pangunahing kaalaman ay sapat na, bago ka magpatuloy, pagsamahin ang kaalaman na nakuha.

Sa araling ito, titingnan natin pangunahing trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph, at listahan din pangunahing uri ng trigonometriko equation at sistema. Bilang karagdagan, ipinapahiwatig namin pangkalahatang mga solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga espesyal na kaso.

Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng takdang-aralin. B5 at C1.

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika

Eksperimento

Aralin 10 Trigonometric equation at ang kanilang mga sistema.

Teorya

Buod ng aralin

Paulit-ulit na nating ginamit ang terminong "trigonometric function". Bumalik sa unang aralin ng paksang ito, tinukoy namin ang mga ito gamit ang isang tamang tatsulok at isang yunit ng trigonometric na bilog. Gamit ang gayong mga pamamaraan ng pagtukoy ng mga function ng trigonometriko, maaari na nating tapusin na para sa kanila ang isang halaga ng argumento (o anggulo) ay tumutugma sa eksaktong isang halaga ng function, i.e. may karapatan tayong tawagan ang sine, cosine, tangent at cotangent na eksaktong function.

Sa araling ito, oras na upang subukang mag-abstract mula sa mga naunang tinalakay na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Ngayon ay magpapatuloy tayo sa karaniwang algebraic na diskarte sa pagtatrabaho sa mga function, isasaalang-alang natin ang kanilang mga katangian at gumuhit ng mga graph.

Tulad ng para sa mga katangian ng trigonometriko function, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa:

Domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga, dahil para sa sine at cosine may mga paghihigpit sa hanay ng mga halaga, at para sa tangent at cotangent may mga paghihigpit sa hanay ng kahulugan;

Ang periodicity ng lahat ng trigonometriko function, dahil Napansin na natin ang pagkakaroon ng pinakamaliit na di-zero na argumento, ang pagdaragdag nito ay hindi nagbabago sa halaga ng function. Ang ganitong argumento ay tinatawag na panahon ng function at tinutukoy ng titik . Para sa sine/cosine at tangent/cottangent, magkaiba ang mga panahong ito.

Isaalang-alang ang isang function:

1) Domain ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng lugar, na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. Bilang karagdagan, para sa pag-plot, kapaki-pakinabang na tandaan ang mga halaga ng mga sine ng ilang mga pangunahing anggulo ng talahanayan, halimbawa, na Papayagan ka nitong bumuo ng unang kumpletong "alon" ng graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan. at umalis, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay mauulit na may offset ng isang tuldok, i.e. sa .

Ngayon tingnan natin ang function:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay pantay Ito ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na may paggalang sa y-axis;

4) Ang function ay hindi monotone sa buong domain ng kahulugan nito;

I-plot natin ang function. Pati na rin kapag gumagawa ng sine, maginhawang magsimula sa larawan ng lugar na naglilimita sa graph mula sa itaas ng numero 1 at mula sa ibaba ng numero , na nauugnay sa hanay ng function. I-plot din namin ang mga coordinate ng ilang mga punto sa graph, kung saan kinakailangang tandaan ang mga halaga ng cosine​ ng ilang pangunahing mga anggulo ng talahanayan, halimbawa, gamit ang mga puntong ito, maaari naming bumuo ng unang kumpletong "alon" ng ang graph at pagkatapos ay i-redraw ito sa kanan at kaliwa, sinasamantala ang katotohanan na ang larawan ay uulit sa isang pagbabago ng panahon, i.e. sa .

Lumipat tayo sa pag-andar:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Naipahiwatig na natin sa mga nakaraang aralin na wala. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng tangent;

2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga tangent na halaga ay hindi limitado;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

4) Ang function na monotonically ay tumataas sa loob ng tinatawag nitong tangent branches, na makikita natin ngayon sa figure;

5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa domain ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng tangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Kasabay nito, huwag kalimutan na ang bawat sangay ay monotonically pagtaas. Inilalarawan namin ang lahat ng mga sangay sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng . Ito ay makikita mula sa katotohanan na ang bawat sangay ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng kalapit na isa kasama ang x-axis.

At nagtatapos kami sa isang pagtingin sa pag-andar:

Ang mga pangunahing katangian ng function na ito:

1) Domain ng kahulugan maliban sa , kung saan . Ayon sa talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, alam na natin na hindi ito umiiral. Ang pahayag na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa panahon ng cotangent;

2) Ang hanay ng mga halaga, ibig sabihin. ang mga halaga ng cotangent ay hindi limitado;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ;

4) Ang function na monotonically bumababa sa loob ng mga sanga nito, na katulad ng mga padaplis na sanga;

5) Ang function ay panaka-nakang may tuldok

I-plot natin ang function. Sa kasong ito, tulad ng para sa tangent, ito ay maginhawa upang simulan ang konstruksiyon mula sa imahe ng mga vertical asymptotes ng graph sa mga punto na hindi kasama sa lugar ng kahulugan, i.e. atbp. Susunod, inilalarawan namin ang mga sanga ng cotangent sa loob ng bawat isa sa mga piraso na nabuo ng mga asymptotes, na pinindot ang mga ito sa kaliwang asymptote at sa kanan. Sa kasong ito, isinasaalang-alang namin na ang bawat sangay ay monotonically bumababa. Ang lahat ng mga sanga, katulad ng tangent, ay inilalarawan sa parehong paraan, dahil ang function ay may period na katumbas ng .

Hiwalay, dapat tandaan na ang mga function ng trigonometriko na may isang kumplikadong argumento ay maaaring magkaroon ng isang hindi pamantayang panahon. Ito ang mga function ng form:

Pareho sila ng period. At tungkol sa mga function:

Pareho sila ng period.

Tulad ng nakikita mo, upang makalkula ang isang bagong panahon, ang karaniwang panahon ay hinati lamang ng kadahilanan sa argumento. Hindi ito nakasalalay sa iba pang mga pagbabago ng function.

Maiintindihan at mauunawaan mo nang mas detalyado kung saan nanggaling ang mga formula na ito sa aralin tungkol sa pagbuo at pag-convert ng mga function graph.

Nakarating na kami sa isa sa pinakamahalagang bahagi ng paksang "Trigonometry", na ilalaan namin sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang kakayahang malutas ang mga naturang equation ay mahalaga, halimbawa, kapag naglalarawan ng mga proseso ng oscillatory sa pisika. Isipin natin na nagmaneho ka ng ilang laps sa isang kart sa isang sports car, ang paglutas ng isang trigonometric equation ay makakatulong na matukoy kung gaano ka na katagal nakikilahok sa karera, depende sa posisyon ng kotse sa track.

Isulat natin ang pinakasimpleng trigonometric equation:

Ang solusyon ng naturang equation ay ang mga argumento, na ang sine ay katumbas ng. Ngunit alam na natin na dahil sa periodicity ng sine, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang argumento. Kaya, ang solusyon ng equation na ito ay, atbp. Ang parehong naaangkop sa paglutas ng anumang iba pang simpleng trigonometric equation, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga ito.

Ang mga equation ng trigonometric ay nahahati sa ilang pangunahing uri. Hiwalay, ang isa ay dapat tumira sa pinakasimpleng, dahil. lahat ng iba ay nabawasan sa kanila. Mayroong apat na mga equation (ayon sa bilang ng mga pangunahing trigonometriko function). Para sa kanila, ang mga karaniwang solusyon ay kilala, dapat silang tandaan.

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation at ang kanilang mga pangkalahatang solusyon ganito ang hitsura:

Pakitandaan na ang mga halaga ng sine at cosine ay dapat isaalang-alang ang mga limitasyon na alam namin. Kung, halimbawa, , kung gayon ang equation ay walang mga solusyon at ang formula na ito ay hindi dapat ilapat.

Bilang karagdagan, ang mga root formula na ito ay naglalaman ng isang parameter sa anyo ng isang arbitrary integer . Sa kurikulum ng paaralan, ito lamang ang kaso kapag ang solusyon ng isang equation na walang parameter ay naglalaman ng isang parameter. Ang di-makatwirang integer na ito ay nagpapakita na posibleng magsulat ng walang katapusang bilang ng mga ugat ng alinman sa mga ipinahiwatig na equation sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng lahat ng integer.

Maaari kang maging pamilyar sa detalyadong pagtanggap ng mga formula na ito sa pamamagitan ng pag-uulit sa kabanata na "Trigonometric Equation" sa programang algebra ng ika-10 baitang.

Hiwalay, kinakailangang bigyang-pansin ang solusyon ng mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation na may sine at cosine. Ang mga equation na ito ay mukhang:

Ang mga formula para sa paghahanap ng mga pangkalahatang solusyon ay hindi dapat ilapat sa kanila. Ang ganitong mga equation ay pinaka-maginhawang nalutas gamit ang isang trigonometriko na bilog, na nagbibigay ng isang mas simpleng resulta kaysa sa mga pangkalahatang formula ng solusyon.

Halimbawa, ang solusyon sa equation ay . Subukang kunin ang sagot na ito sa iyong sarili at lutasin ang iba pang ipinahiwatig na mga equation.

Bilang karagdagan sa pinakakaraniwang uri ng mga trigonometrikong equation na ipinahiwatig, may ilan pang mga pamantayan. Inilista namin ang mga ito, na isinasaalang-alang ang mga naipahiwatig na namin:

1) Protozoa, Halimbawa, ;

2) Mga partikular na kaso ng pinakasimpleng equation, Halimbawa, ;

3) Mga Complex Argument Equation, Halimbawa, ;

4) Ang mga equation ay nabawasan sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, Halimbawa, ;

5) Nabawasan ang mga equation sa kanilang pinakasimpleng anyo sa pamamagitan ng pagbabago ng mga function na trigonometriko, Halimbawa, ;

6) Mga Equation na Nababawasan sa Pinakasimple sa pamamagitan ng Pagpapalit, Halimbawa, ;

7) Mga homogenous na equation, Halimbawa, ;

8) Mga equation na nalutas gamit ang mga katangian ng mga function, Halimbawa, . Huwag matakot sa katotohanan na ang equation na ito ay may dalawang variable, ito ay malulutas sa parehong oras;

Pati na rin ang mga equation na nalutas gamit ang iba't ibang pamamaraan.

Bilang karagdagan sa paglutas ng mga trigonometric equation, kinakailangan upang malutas ang kanilang mga sistema.

Ang pinakakaraniwang uri ng mga sistema ay:

1) Kung saan ang isa sa mga equation ay isang batas ng kapangyarihan, Halimbawa, ;

2) Mga sistema ng simpleng trigonometric equation, Halimbawa, .

Sa aralin ngayon, tiningnan natin ang mga pangunahing trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph. At nakilala din ang mga pangkalahatang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, na ipinahiwatig ang mga pangunahing uri ng naturang mga equation at ang kanilang mga system.

Sa praktikal na bahagi ng aralin, susuriin natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation at ang kanilang mga sistema.

Kahon 1.Solusyon ng mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation.

Tulad ng sinabi namin sa pangunahing bahagi ng aralin, ang mga espesyal na kaso ng trigonometric equation na may sinus at cosine ng form:

magkaroon ng mas simpleng mga solusyon kaysa sa ibinibigay ng mga pangkalahatang formula ng solusyon.

Para dito, ginagamit ang isang trigonometriko na bilog. Suriin natin ang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito gamit ang equation bilang isang halimbawa.

Gumuhit ng punto sa isang trigonometric na bilog kung saan ang cosine value ay zero, na siya ring coordinate sa kahabaan ng x-axis. Tulad ng nakikita mo, mayroong dalawang ganoong punto. Ang aming gawain ay ipahiwatig kung ano ang anggulo na tumutugma sa mga puntong ito sa bilog.

Nagsisimula kaming magbilang mula sa positibong direksyon ng abscissa axis (cosine axis) at, kapag ipinagpaliban ang anggulo, nakarating kami sa unang punto na ipinakita, i.e. ang isang solusyon ay ang halaga ng anggulong ito. Ngunit nasiyahan pa rin kami sa anggulo na tumutugma sa pangalawang punto. Paano makapasok dito?

Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema !!!

Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at isasaalang-alang pa natin ang kanilang mga formula.

Ang pinakasimpleng equation ay ang `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kung saan ang `x` ay ang anggulo na makikita, ang `a` ay anumang numero. Isulat natin ang root formula para sa bawat isa sa kanila.

1. Equation `sin x=a`.

Para sa `|a|>1` wala itong mga solusyon.

Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equation `cos x=a`

Para sa `|a|>1` - tulad ng sa kaso ng sine, walang mga solusyon sa mga tunay na numero.

Gamit ang `|a| Ang \leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph.

3. Equation `tg x=a`

Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equation `ctg x=a`

Mayroon din itong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa talahanayan

Para sa sinus:
Para sa cosine:
Para sa tangent at cotangent:
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Ang solusyon ng anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:

• ginagamit upang i-convert ito sa pinakasimpleng;
• lutasin ang resultang simpleng equation gamit ang mga formula sa itaas para sa mga ugat at talahanayan.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing pamamaraan ng solusyon gamit ang mga halimbawa.

algebraic na pamamaraan.

Sa pamamaraang ito, ginagawa ang pagpapalit ng isang variable at ang pagpapalit nito sa pagkakapantay-pantay.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gumawa ng kapalit: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pagkatapos ay `2y^2-3y+1=0`,

nakita namin ang mga ugat: `y_1=1, y_2=1/2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Sagot: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x+cos x=1`.

Solusyon. Ilipat sa kaliwa ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay: `sin x+cos x-1=0`. Gamit ang , binabago namin at ginagawang factorize ang kaliwang bahagi:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Sagot: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pagbawas sa isang homogenous na equation

Una, kailangan mong dalhin ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang anyo:

`a sin x+b cos x=0` (homogeneous equation ng unang degree) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ne 0` para sa unang kaso, at ng `cos^2 x \ne 0` para sa pangalawa. Nakukuha namin ang mga equation para sa `tg x`: `a tg x+b=0` at `a tg^2 x + b tg x +c =0`, na dapat lutasin gamit ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solusyon. Isulat natin ang kanang bahagi bilang `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, na hinahati ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos^2 x \ne 0`, nakukuha natin:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ipakilala natin ang kapalit na `tg x=t`, bilang resulta `t^2 + t - 2=0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1=-2` at `t_2=1`. Pagkatapos:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Sagot. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Pumunta sa Half Corner

Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Solusyon. Ang paglalapat ng mga formula ng double angle, ang resulta ay: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan na inilarawan sa itaas, makuha namin ang:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo

Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x =c`, kung saan ang a,b,c ay coefficients at x ay isang variable, hinahati namin ang parehong bahagi sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin, ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1. Tukuyin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, pagkatapos:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x+4 cos x=2`.

Solusyon. Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng `sqrt (3^2+4^2)`, makuha natin ang:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Ipahiwatig ang `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Dahil ang `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kinukuha namin ang `\varphi=arcsin 4/5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Sagot. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fractional-rational trigonometric equation

Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga fraction, sa mga numerator at denominator kung saan mayroong mga trigonometric function.

Halimbawa. Lutasin ang equation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng equation sa `(1+cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Dahil hindi maaaring zero ang denominator, nakukuha natin ang `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

I-equate ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pagkatapos ay `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dahil sa `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ang mga solusyon ay `x=2\pi n, n \in Z` at `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Sagot. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, at engineering. Ang pag-aaral ay nagsisimula sa ika-10 baitang, palaging may mga gawain para sa pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng trigonometriko equation - tiyak na darating ang mga ito para sa iyo!

Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan, at makapag-deduce. Hindi ito kasing hirap ng tila. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.

Ang konsepto ng paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang malutas ang isang trigonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang pangunahing trigonometriko equation. Ang paglutas ng trigonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing trigonometric equation.

Solusyon ng mga pangunahing trigonometriko equation.

• Mayroong 4 na uri ng mga pangunahing trigonometric equation:
• kasalanan x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Ang paglutas ng mga pangunahing trigonometric equation ay kinabibilangan ng pagtingin sa iba't ibang x na posisyon sa unit circle, pati na rin ang paggamit ng conversion table (o calculator).
• Halimbawa 1. sin x = 0.866. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: 2π/3. Tandaan: ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay paulit-ulit. Halimbawa, ang periodicity ng sin x at cos x ay 2πn, at ang periodicity ng tg x at ctg x ay πn. Kaya ang sagot ay nakasulat tulad nito:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Halimbawa 2 cos x = -1/2. Gamit ang talahanayan ng conversion (o calculator), makukuha mo ang sagot: x = 2π/3. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng isa pang sagot: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Halimbawa 3. tg (x - π/4) = 0.
• Sagot: x \u003d π / 4 + πn.
• Halimbawa 4. ctg 2x = 1.732.
• Sagot: x \u003d π / 12 + πn.

Mga pagbabagong ginamit sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

• Upang baguhin ang mga trigonometriko equation, algebraic transformations (factoring, pagbabawas ng homogenous terms, atbp.) at trigonometriko pagkakakilanlan ay ginagamit.
• Halimbawa 5. Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ang equation na sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ay na-convert sa equation na 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Kaya, ang mga sumusunod na pangunahing trigonometric equation kailangang lutasin: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Paghahanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function.

  • Bago matutunan kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko, kailangan mong matutunan kung paano maghanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga function. Magagawa ito gamit ang isang talahanayan ng conversion o calculator.
  • Halimbawa: cos x = 0.732. Ibibigay ng calculator ang sagot na x = 42.95 degrees. Ang bilog ng yunit ay magbibigay ng karagdagang mga anggulo, ang cosine nito ay katumbas din ng 0.732.

• Itabi ang solusyon sa bilog ng yunit.

  • Maaari kang maglagay ng mga solusyon sa trigonometric equation sa unit circle. Ang mga solusyon ng trigonometric equation sa unit circle ay ang vertices ng isang regular na polygon.
  • Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/3 + πn/2 sa unit circle ay ang mga vertices ng square.
  • Halimbawa: Ang mga solusyon na x = π/4 + πn/3 sa unit circle ay ang mga vertices ng isang regular na hexagon.

• Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

  • Kung ang ibinigay na trigonometric equation ay naglalaman lamang ng isang trigonometric function, lutasin ang equation na ito bilang pangunahing trigonometric equation. Kung ang isang ibinigay na equation ay may kasamang dalawa o higit pang trigonometriko na pag-andar, kung gayon mayroong 2 mga pamamaraan para sa paglutas ng naturang equation (depende sa posibilidad ng pagbabago nito).
    • Paraan 1
  • Ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kung saan ang f(x), g(x), h(x) ay ang mga pangunahing trigonometric equation.
  • Halimbawa 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusyon. Gamit ang double angle formula sin 2x = 2*sin x*cos x, palitan ang sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos x = 0 at (sin x + 1) = 0.
  • Halimbawa 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometric equation: cos 2x = 0 at (2cos x + 1) = 0.
  • Halimbawa 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solusyon: Gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng anyo: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang dalawang pangunahing trigonometriko equation: cos 2x = 0 at (2sin x + 1) = 0.
    • Paraan 2
  • I-convert ang ibinigay na trigonometric equation sa isang equation na naglalaman lamang ng isang trigonometric function. Pagkatapos ay palitan ang trigonometrikong function na ito ng ilang hindi alam, halimbawa, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, atbp.).
  • Halimbawa 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Solusyon. Sa equation na ito, palitan ang (cos^2 x) ng (1 - sin^2 x) (ayon sa pagkakakilanlan). Ang binagong equation ay ganito ang hitsura:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Palitan ang sin x ng t. Ngayon ang equation ay mukhang: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ito ay isang quadratic equation na may dalawang ugat: t1 = -1 at t2 = 9/5. Ang pangalawang ugat na t2 ay hindi nakakatugon sa hanay ng function (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Halimbawa 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solusyon. Palitan ang tg x ng t. Isulat muli ang orihinal na equation tulad ng sumusunod: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ngayon hanapin ang t at pagkatapos ay hanapin ang x para sa t = tg x.

• Espesyal na trigonometriko equation.

  • Mayroong ilang mga espesyal na trigonometriko equation na nangangailangan ng mga tiyak na pagbabago. Mga halimbawa:
  • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Periodicity ng trigonometriko function.

  • Tulad ng nabanggit kanina, ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay umuulit pagkatapos ng isang tiyak na panahon. Mga halimbawa:
    • Ang panahon ng function na f(x) = sin x ay 2π.
    • Ang panahon ng function na f(x) = tg x ay katumbas ng π.
    • Ang panahon ng function na f(x) = sin 2x ay katumbas ng π.
    • Ang panahon ng function na f(x) = cos (x/2) ay 4π.
  • Kung ang isang panahon ay tinukoy sa problema, kalkulahin ang halaga ng x sa loob ng panahong iyon.
  • Tandaan: Ang paglutas ng mga trigonometric equation ay hindi isang madaling gawain at kadalasang humahantong sa mga pagkakamali. Kaya suriing mabuti ang iyong mga sagot. Upang gawin ito, maaari kang gumamit ng graphing calculator upang i-plot ang ibinigay na equation R(x) = 0. Sa ganitong mga kaso, ang mga solusyon ay kakatawanin bilang mga decimal (iyon ay, ang π ay papalitan ng 3.14).