Kapag nilulutas ang ilang mga geometric na problema gamit ang paraan ng coordinate, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya. Kadalasan, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano, ngunit kung minsan ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo. Sa artikulong ito, haharapin natin ang paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan nagsalubong ang dalawang linya.

Pag-navigate sa pahina.

Ang punto ng intersection ng dalawang linya ay isang kahulugan.

Tukuyin muna natin ang punto ng intersection ng dalawang linya.

Sa seksyon sa relatibong posisyon ng mga linya sa eroplano, ipinapakita na ang dalawang linya sa eroplano ay maaaring mag-coincide (at ang mga ito ay may walang katapusan na maraming mga puntong magkapareho), o magkatulad (sa kasong ito, ang dalawang linya ay walang magkatulad na mga punto), o magsalubong, na mayroong isang puntong magkapareho. Mayroong higit pang mga pagpipilian para sa magkaparehong pag-aayos ng dalawang linya sa kalawakan - maaari silang magkasabay (magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga karaniwang punto), maaaring magkatulad (iyon ay, nakahiga sa parehong eroplano at hindi nagsalubong), maaaring intersecting (hindi nakahiga sa parehong eroplano), at maaari ding magkaroon ng isang karaniwang punto, iyon ay, bumalandra. Kaya, ang dalawang linya sa eroplano at sa kalawakan ay tinatawag na intersecting kung mayroon silang isang karaniwang punto.

Mula sa kahulugan ng mga intersecting na linya ito ay sumusunod pagpapasiya ng punto ng intersection ng mga linya: Ang punto kung saan nagsalubong ang dalawang linya ay tinatawag na punto ng intersection ng mga linyang ito. Sa madaling salita, ang tanging karaniwang punto ng dalawang intersecting na linya ay ang punto ng intersection ng mga linyang ito.

Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng isang graphical na paglalarawan ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano at sa kalawakan.

Ibabaw ng Pahina

Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano ayon sa kanilang mga kilalang equation, isinasaalang-alang namin ang isang pantulong na problema.

Oxy a At b. Ipagpalagay natin na ang direktang a tumutugma sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya, at ang tuwid na linya b- uri. Hayaan ang ilang punto ng eroplano, at ito ay kinakailangan upang malaman kung ang punto ay M 0 ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Solusyonan natin ang problema.

Kung M0 a At b, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ay kabilang din ito sa linya a at direktang b, ibig sabihin, ang mga coordinate nito ay dapat magkasabay na matugunan ang parehong equation at ang equation . Samakatuwid, kailangan nating palitan ang mga coordinate ng punto M 0 sa mga equation ng mga ibinigay na linya at tingnan kung nakuha ang dalawang tunay na pagkakapantay-pantay. Kung ang mga coordinate ng punto M 0 masiyahan ang parehong mga equation at , pagkatapos ay ang punto ng intersection ng mga linya a At b, kung hindi M 0 .

Ay ang punto M 0 may mga coordinate (2, -3) punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0?

Kung M 0 ay ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng mga linya. Suriin natin ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng punto M 0 sa ibinigay na mga equation:

Mayroon kaming dalawang tunay na pagkakapantay-pantay, samakatuwid, M 0 (2, -3)- punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0.

Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng isang guhit na nagpapakita ng mga tuwid na linya at nagpapakita ng mga coordinate ng punto ng kanilang intersection.

oo, tuldok M 0 (2, -3) ay ang punto ng intersection ng mga linya 5x-2y-16=0 At 2x-5y-19=0.

Nagsalubong ba ang mga linya? 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0 sa punto M 0 (2, -3)?

Palitan ang mga coordinate ng punto M 0 sa mga equation ng mga linya, sa pamamagitan ng pagkilos na ito ay susuriin natin kung ang punto ay kabilang sa M 0 magkasabay na linya:

Dahil ang pangalawang equation, kapag pinapalitan ang mga coordinate ng punto dito M 0 ay hindi naging isang tunay na pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay ang punto M 0 hindi kabilang sa linya 7x-2y+11=0. Mula sa katotohanang ito, maaari nating tapusin na ang punto M 0 ay hindi isang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Malinaw ding makikita sa drawing na ang punto M 0 ay hindi isang punto ng intersection ng mga linya 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0. Malinaw, ang mga ibinigay na linya ay nagsalubong sa isang punto na may mga coordinate (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ay hindi isang punto ng intersection ng mga linya 5x+3y-1=0 At 7x-2y+11=0.

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa problema ng paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ayon sa ibinigay na mga equation ng mga linya sa eroplano.

Hayaang ayusin ang isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa eroplano Oxy at binigyan ng dalawang magkasalubong na linya a At b equation at ayon sa pagkakabanggit. Tukuyin natin ang punto ng intersection ng mga ibinigay na linya bilang M 0 at lutasin ang sumusunod na problema: hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya a At b ayon sa mga kilalang equation ng mga linyang ito at .

Dot M0 nabibilang sa bawat isa sa mga intersecting na linya a At b a-prioryo. Pagkatapos ay ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b masiyahan ang parehong equation at ang equation. Samakatuwid, ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya a At b ay isang solusyon sa isang sistema ng mga equation (tingnan ang artikulo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation).

Kaya, upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa eroplano sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, kinakailangan upang malutas ang isang sistema na binubuo ng mga equation ng mga ibinigay na linya.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Hanapin ang punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system sa eroplano sa pamamagitan ng mga equation x-9y+14=0 At 5x-2y-16=0.

Binigyan kami ng dalawang pangkalahatang equation ng mga linya, bubuo kami ng isang sistema mula sa kanila: . Ang mga solusyon ng resultang sistema ng mga equation ay madaling matagpuan kung ang unang equation nito ay malulutas na may kinalaman sa variable. x at palitan ang expression na ito sa pangalawang equation:

Ang nahanap na solusyon ng sistema ng mga equation ay nagbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya.

M 0 (4, 2)- punto ng intersection ng mga linya x-9y+14=0 At 5x-2y-16=0.

Kaya, ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya, na tinukoy ng mga pangkalahatang equation sa eroplano, ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi kilalang mga variable. Ngunit paano kung ang mga tuwid na linya sa eroplano ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, ngunit sa pamamagitan ng mga equation ng ibang uri (tingnan ang mga uri ng equation ng isang tuwid na linya sa eroplano)? Sa mga kasong ito, maaari mo munang dalhin ang mga equation ng mga linya sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos lamang na hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, dinadala namin ang kanilang mga equation sa isang pangkalahatang anyo. Ang paglipat mula sa mga parametric equation ng isang tuwid na linya patungo sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya na ito ay ang mga sumusunod:

Ngayon ay isasagawa namin ang mga kinakailangang aksyon gamit ang canonical equation ng linya:

Kaya, ang nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon sa sistema ng mga equation ng form. Ginagamit namin ang paraan ng Cramer upang malutas ito:

M 0 (-5, 1)

May isa pang paraan upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano. Maginhawang gamitin ito kapag ang isa sa mga tuwid na linya ay ibinigay ng mga parametric na equation ng form , at ang isa ay ibinibigay ng isang straight line equation ng ibang uri. Sa kasong ito, sa isa pang equation sa halip na mga variable x At y maaari mong palitan ang mga expression at , mula sa kung saan maaari mong makuha ang halaga na tumutugma sa punto ng intersection ng mga ibinigay na linya. Sa kasong ito, ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate .

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya mula sa nakaraang halimbawa sa ganitong paraan.

Tukuyin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at .

Palitan sa equation ng direktang expression:

Ang paglutas ng nagresultang equation, nakukuha namin . Ang halagang ito ay tumutugma sa karaniwang punto ng mga linya at . Kinakalkula namin ang mga coordinate ng intersection point sa pamamagitan ng pagpapalit ng tuwid na linya sa mga parametric equation:
.

M 0 (-5, 1).

Upang makumpleto ang larawan, isa pang punto ang dapat pag-usapan.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano, ito ay kapaki-pakinabang upang matiyak na ang mga ibinigay na linya ay talagang bumalandra. Kung lumalabas na ang mga orihinal na linya ay nag-tutugma o magkatulad, kung gayon walang tanong sa paghahanap ng mga coordinate ng intersection point ng naturang mga linya.

Maaari mong, siyempre, gawin nang walang ganoong tseke, at agad na gumuhit ng isang sistema ng mga equation ng form at lutasin ito. Kung ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay ibinibigay nito ang mga coordinate ng punto kung saan ang mga orihinal na linya ay nagsalubong. Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, maaari nating tapusin na ang mga orihinal na linya ay parallel (dahil walang ganoong pares ng mga tunay na numero. x At y, na sabay-sabay na masisiyahan ang parehong mga equation ng mga ibinigay na linya). Mula sa pagkakaroon ng isang walang katapusang hanay ng mga solusyon hanggang sa sistema ng mga equation, sumusunod na ang orihinal na mga linya ay may walang katapusang maraming mga punto sa karaniwan, iyon ay, sila ay nag-tutugma.

Tingnan natin ang mga halimbawa na angkop sa mga sitwasyong ito.

Alamin kung ang mga linya at intersection, at kung sila ay bumalandra, pagkatapos ay hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Ang ibinigay na mga equation ng mga linya ay tumutugma sa mga equation at . Lutasin natin ang sistemang binubuo ng mga equation na ito.

Malinaw, ang mga equation ng system ay linearly na ipinahayag sa bawat isa (ang pangalawang equation ng system ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi nito sa pamamagitan ng 4 ), samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Kaya, ang mga equation at tukuyin ang parehong linya, at hindi namin maaaring makipag-usap tungkol sa paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

mga equation at tinukoy sa isang rectangular coordinate system Oxy ang parehong tuwid na linya, kaya hindi natin mapag-usapan ang paghahanap ng mga coordinate ng intersection point.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at, kung maaari.

Ang kondisyon ng problema ay umamin na ang mga linya ay maaaring hindi magsalubong. Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation na ito. Inilapat namin ang paraan ng Gauss upang malutas ito, dahil pinapayagan kaming itatag ang pagkakatugma o hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng mga equation, at sa kaso ng pagiging tugma nito, maghanap ng solusyon:

Ang huling equation ng system pagkatapos ng direktang kurso ng Gauss method ay naging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Mula dito maaari nating tapusin na ang mga orihinal na linya ay magkatulad, at hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Ang pangalawang solusyon.

Alamin natin kung nag-intersect ang mga binigay na linya.

Ang isang normal na vector ay isang linya, at ang isang vector ay isang normal na vector ng isang linya. Suriin natin ang katuparan ng kondisyon ng collinarity ng mga vectors at : ang pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil, samakatuwid, ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay collinear. Pagkatapos, ang mga linyang ito ay parallel o nagtutugma. Kaya, hindi namin mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng orihinal na mga linya.

imposibleng mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, dahil ang mga linyang ito ay magkatulad.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya 2x-1=0 at kung magsalubong sila.

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation na mga pangkalahatang equation ng mga ibinigay na linya: . Ang determinant ng pangunahing matrix ng sistemang ito ng mga equation ay naiiba sa zero, samakatuwid ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, na nagpapahiwatig ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, kailangan nating lutasin ang system:

Ang resultang solusyon ay nagbibigay sa amin ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, iyon ay, - ang punto ng intersection ng mga linya 2x-1=0 At .

Ibabaw ng Pahina

Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo ay matatagpuan nang magkatulad.

Hayaan ang mga intersecting na linya a At b ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system Oxyz equation ng dalawang intersecting planes, iyon ay, isang tuwid na linya a ay tinutukoy ng sistema ng form , at ang linya b- . Hayaan M 0- punto ng intersection ng mga linya a At b. Pagkatapos ang punto M 0 sa pamamagitan ng kahulugan ay kabilang sa linya a at direktang b, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng parehong linya. Kaya, ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b kumakatawan sa isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation ng anyo. Dito kakailanganin namin ang impormasyon mula sa seksyon sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable.

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya na ibinigay sa espasyo ng mga equation at .

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation mula sa mga equation ng mga ibinigay na linya: . Ang solusyon ng sistemang ito ay magbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya sa espasyo. Hanapin natin ang solusyon ng nakasulat na sistema ng mga equation.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo , at ang pinalawig na isa - .

Tukuyin ang ranggo ng matrix A at ranggo ng matrix T. Ginagamit namin ang paraan ng pag-border ng mga menor de edad, habang hindi namin ilalarawan nang detalyado ang pagkalkula ng mga determinant (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulong nagkalkula ng determinant ng isang matrix):

Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix at katumbas ng tatlo.

Samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon.

Isinasaalang-alang namin ang determinant bilang batayang minor, samakatuwid, ang huling equation ay dapat na hindi kasama sa sistema ng mga equation, dahil hindi ito nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor. Kaya,

Ang solusyon ng nagresultang sistema ay madaling mahanap:

Kaya, ang punto ng intersection ng mga linya at may mga coordinate (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Dapat pansinin na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon kung at kung ang mga linya lamang a At b bumalandra. Kung direkta A At b parallel o intersecting, kung gayon ang huling sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, dahil sa kasong ito ang mga linya ay walang mga karaniwang puntos. Kung diretso a At b nag-tutugma, pagkatapos ay mayroon silang isang walang katapusang hanay ng mga karaniwang punto, samakatuwid, ang ipinahiwatig na sistema ng mga equation ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon. Gayunpaman, sa mga kasong ito ay hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, dahil ang mga linya ay hindi nagsasalubong.

Kaya, kung hindi natin alam nang maaga, ang mga ibinigay na linya ay nagsalubong a At b o hindi, makatwirang bumuo ng isang sistema ng mga equation ng anyo at lutasin ito gamit ang Gauss method. Kung makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon, kung gayon ito ay tumutugma sa mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya a At b. Kung ang sistema ay lumalabas na hindi naaayon, pagkatapos ay ang direkta a At b huwag mag-intersect. Kung ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, pagkatapos ay ang direktang a At b magkatugma.

Magagawa mo nang hindi gumagamit ng Gauss method. Bilang kahalili, maaari mong kalkulahin ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na mga matrice ng sistemang ito, at batay sa data na nakuha at ang Kronecker-Capelli theorem, gumawa ng isang konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng isang solong solusyon, o tungkol sa pagkakaroon ng maraming mga solusyon, o tungkol sa kawalan ng mga solusyon. Ito ay isang bagay ng panlasa.

Kung ang mga linya at magsalubong, pagkatapos ay matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection.

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga ibinigay na equation: . Malutas namin ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa anyo ng matrix:

Ito ay naging malinaw na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, samakatuwid, ang mga ibinigay na mga linya ay hindi nagsalubong, at maaaring walang tanong sa paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

hindi namin mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, dahil ang mga linyang ito ay hindi nagsalubong.

Kapag ang mga intersecting na linya ay ibinibigay ng mga canonical equation ng isang linya sa espasyo o parametric equation ng isang linya sa espasyo, dapat mo munang makuha ang kanilang mga equation sa anyo ng dalawang intersecting na eroplano, at pagkatapos lamang na hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Dalawang intersecting na linya ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system Oxyz mga equation at . Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Itakda natin ang mga unang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga equation ng dalawang intersecting na eroplano:

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, nananatili itong lutasin ang sistema ng mga equation. Ang ranggo ng pangunahing matrix ng sistemang ito ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix at katumbas ng tatlo (inirerekumenda namin na suriin ang katotohanang ito). Bilang batayang minor, kinukuha namin ang , samakatuwid, ang huling equation ay maaaring ibukod mula sa system. Ang pagkakaroon ng lutasin ang nagresultang sistema sa pamamagitan ng anumang pamamaraan (halimbawa, ang Cramer method), nakuha namin ang solusyon . Kaya, ang punto ng intersection ng mga linya at may mga coordinate (-2, 3, -5) .

Kung ang mga linya ay nagsalubong sa isang punto , ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto para sayo geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.

Ito ay maginhawa upang hatiin ang problema sa ilang mga yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng pangalawang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Halimbawa 13

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Solusyon: Maipapayo na hanapin ang intersection point sa pamamagitan ng analytical method. Lutasin natin ang sistema:

Sagot:

Sugnay 6.4. Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto sa tuwid ay ipinahayag ng pormula

Halimbawa 14

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Solusyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Sugnay 6.5. Anggulo sa pagitan ng mga linya.

Halimbawa 15

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.

1. Suriin kung ang mga linya ay patayo:

Kalkulahin natin ang scalar product ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.
2. Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya gamit ang formula:

kaya:

Sagot:

Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Bilog

Hayaang magbigay ng rectangular coordinate system 0xy sa eroplano.

Curve ng pangalawang order ang isang linya sa isang eroplano ay tinatawag, na tinutukoy ng isang equation ng pangalawang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate ng punto M (x, y, z). Sa pangkalahatan, ang equation na ito ay may anyo:

kung saan ang mga coefficient A, B, C, D, E, L ay anumang tunay na numero, at kahit isa sa mga numerong A, B, C ay nonzero.

1.Bilog ang hanay ng mga punto sa eroplano ay tinatawag, ang distansya mula sa kung saan sa isang nakapirming punto M 0 (x 0, y 0) ay pare-pareho at katumbas ng R. Ang punto M 0 ay tinatawag na sentro ng bilog, at ang bilang na R ay ang radius nito

- ang equation ng isang bilog na nakasentro sa puntong M 0 (x 0, y 0) at radius R.

Kung ang sentro ng bilog ay tumutugma sa pinagmulan, kung gayon mayroon tayong:

ay ang canonical equation ng bilog.

Ellipse.

Ellipse isang hanay ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag, para sa bawat isa kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang ibinigay na mga punto ay isang pare-parehong halaga (bukod dito, ang halagang ito ay mas malaki kaysa sa mga distansya sa pagitan ng mga ibinigay na punto). Ang mga puntong ito ay tinatawag ellipse tricks.

ay ang canonical equation ng isang ellipse.

Ang relasyon ay tinatawag eccentricity ellipse at ipinapahiwatig: , . Simula noon< 1.

Samakatuwid, habang bumababa ang ratio, ito ay may posibilidad na 1, i.e. Ang b ay bahagyang naiiba sa a at ang hugis ng ellipse ay nagiging mas malapit sa hugis ng isang bilog. Sa paglilimita ng kaso sa , isang bilog ang nakuha, ang equation nito ay

x 2 + y 2 \u003d a 2.

Hyperbola

Hyperbole ang hanay ng mga punto sa eroplano ay tinatawag, para sa bawat isa kung saan ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na mga trick, ay isang pare-parehong halaga (sa kondisyon na ang halagang ito ay mas mababa sa distansya sa pagitan ng foci at hindi katumbas ng 0).

Hayaan ang F 1 , F 2 na maging foci, ang distansya sa pagitan ng mga ito ay ilalarawan ng 2с, ang parameter ng parabola).

ay ang canonical equation ng isang parabola.

Tandaan na ang equation para sa negatibong p ay tumutukoy din sa isang parabola, na matatagpuan sa kaliwa ng 0y axis. Inilalarawan ng equation ang isang parabola na simetriko tungkol sa 0y axis, nasa itaas ng 0x axis para sa p > 0, at nasa ibaba ng 0x axis para sa p< 0.

Kapag nilulutas ang ilang mga geometric na problema gamit ang paraan ng coordinate, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya. Kadalasan, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano, ngunit kung minsan ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo. Sa artikulong ito, haharapin natin ang paghahanap ng mga coordinate ng punto kung saan nagsalubong ang dalawang linya.

Pag-navigate sa pahina.

Ang punto ng intersection ng dalawang linya ay isang kahulugan.

Tukuyin muna natin ang punto ng intersection ng dalawang linya.

Kaya, upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa eroplano sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, kinakailangan upang malutas ang isang sistema na binubuo ng mga equation ng mga ibinigay na linya.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang punto ng intersection ng dalawang linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system sa eroplano sa pamamagitan ng mga equation na x-9y+14=0 at 5x-2y-16=0 .

Solusyon.

Binigyan kami ng dalawang pangkalahatang equation ng mga linya, bubuo kami ng isang sistema mula sa kanila: . Ang mga solusyon ng resultang sistema ng mga equation ay madaling matagpuan kung ang unang equation nito ay malulutas na may paggalang sa variable na x at ang expression na ito ay pinapalitan sa pangalawang equation:

Ang nahanap na solusyon ng sistema ng mga equation ay nagbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya.

Sagot:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 at 5x-2y-16=0 .

Kaya, ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya, na tinukoy ng mga pangkalahatang equation sa eroplano, ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi kilalang mga variable. Ngunit paano kung ang mga tuwid na linya sa eroplano ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation, ngunit sa pamamagitan ng mga equation ng ibang uri (tingnan ang mga uri ng equation ng isang tuwid na linya sa eroplano)? Sa mga kasong ito, maaari mo munang dalhin ang mga equation ng mga linya sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos lamang na hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Halimbawa.

At .

Solusyon.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, dinadala namin ang kanilang mga equation sa isang pangkalahatang anyo. Transition mula sa parametric equation sa isang tuwid na linya sa pangkalahatang equation ng tuwid na linyang ito ay ang mga sumusunod:

Ngayon ay isasagawa namin ang mga kinakailangang aksyon gamit ang canonical equation ng linya:

Kaya, ang nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng sistema ng mga equation ng form. . Ginagamit namin upang malutas ito:

Sagot:

M 0 (-5, 1)

May isa pang paraan upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano. Maginhawang gamitin ito kapag ang isa sa mga linya ay ibinigay ng mga parametric equation ng form , at ang isa pa - ang equation ng isang tuwid na linya ng ibang anyo. Sa kasong ito, sa isa pang equation, sa halip na ang mga variable na x at y, maaari mong palitan ang mga expression At , kung saan posible na makuha ang halaga na tumutugma sa punto ng intersection ng mga ibinigay na linya. Sa kasong ito, ang punto ng intersection ng mga linya ay may mga coordinate .

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya mula sa nakaraang halimbawa sa ganitong paraan.

Halimbawa.

Tukuyin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya At .

Solusyon.

Palitan sa equation ng direktang expression:

Ang paglutas ng nagresultang equation, nakukuha namin . Ang halagang ito ay tumutugma sa karaniwang punto ng mga linya At . Kinakalkula namin ang mga coordinate ng intersection point sa pamamagitan ng pagpapalit ng tuwid na linya sa mga parametric equation:
.

Sagot:

M 0 (-5, 1) .

Upang makumpleto ang larawan, isa pang punto ang dapat pag-usapan.

Bago mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa eroplano, ito ay kapaki-pakinabang upang matiyak na ang mga ibinigay na linya ay talagang bumalandra. Kung lumalabas na ang mga orihinal na linya ay nag-tutugma o magkatulad, kung gayon walang tanong sa paghahanap ng mga coordinate ng intersection point ng naturang mga linya.

Maaari mong, siyempre, gawin nang walang ganoong tseke, at agad na bumuo ng isang sistema ng mga equation ng form at lutasin ito. Kung ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay ibinibigay nito ang mga coordinate ng punto kung saan ang mga orihinal na linya ay nagsalubong. Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, maaari nating tapusin na ang orihinal na mga linya ay parallel (dahil walang ganoong pares ng mga tunay na numero x at y na magkakasabay na makakatugon sa parehong mga equation ng mga ibinigay na linya). Mula sa pagkakaroon ng isang walang katapusang hanay ng mga solusyon hanggang sa sistema ng mga equation, sumusunod na ang orihinal na mga linya ay may walang katapusang maraming mga punto sa karaniwan, iyon ay, sila ay nag-tutugma.

Tingnan natin ang mga halimbawa na angkop sa mga sitwasyong ito.

Halimbawa.

Alamin kung ang mga linya at intersection, at kung sila ay bumalandra, pagkatapos ay hanapin ang mga coordinate ng intersection point.

Solusyon.

Ang ibinigay na mga equation ng mga linya ay tumutugma sa mga equation At . Lutasin natin ang sistemang binubuo ng mga equation na ito .

Malinaw na ang mga equation ng system ay linearly na ipinahayag sa bawat isa (ang pangalawang equation ng system ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong mga bahagi nito sa 4), samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Kaya, ang mga equation at tukuyin ang parehong linya, at hindi namin maaaring makipag-usap tungkol sa paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Sagot:

Ang mga equation at matukoy ang parehong tuwid na linya sa hugis-parihaba na coordinate system na Oxy, kaya hindi natin mapag-usapan ang paghahanap ng mga coordinate ng intersection point.

Halimbawa.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya At , kung maaari.

Solusyon.

Ang kondisyon ng problema ay umamin na ang mga linya ay maaaring hindi magsalubong. Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation na ito. Naaangkop para sa solusyon nito, dahil pinapayagan ka nitong itatag ang pagiging tugma o hindi pagkakapare-pareho ng sistema ng mga equation, at kung ito ay katugma, maghanap ng solusyon:

Ang huling equation ng system pagkatapos ng direktang kurso ng Gauss method ay naging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Mula dito maaari nating tapusin na ang mga orihinal na linya ay magkatulad, at hindi natin mapag-uusapan ang paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang ito.

Ang pangalawang solusyon.

Alamin natin kung nag-intersect ang mga binigay na linya.

- normal na line vector , at ang vector ay isang normal na vector ng linya . Suriin natin ang pagpapatupad At : pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil , samakatuwid, ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay collinear. Pagkatapos, ang mga linyang ito ay parallel o nagtutugma. Kaya, hindi namin mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng orihinal na mga linya.

Sagot:

Imposibleng mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga ibinigay na linya, dahil ang mga linyang ito ay magkatulad.

Halimbawa.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya 2x-1=0 at kung sila ay bumalandra.

Solusyon.

Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation na mga pangkalahatang equation ng mga ibinigay na linya: . Ang determinant ng pangunahing matrix ng sistemang ito ng mga equation ay iba sa zero , kaya ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, na nagpapahiwatig ng intersection ng mga ibinigay na linya.

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, kailangan nating lutasin ang system:

Ang resultang solusyon ay nagbibigay sa amin ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya, iyon ay, 2x-1=0 at .

Sagot:

Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa espasyo.

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo ay matatagpuan nang magkatulad.

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya na ibinigay sa espasyo ng mga equation At .

Solusyon.

Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation mula sa mga equation ng mga ibinigay na linya: . Ang solusyon ng sistemang ito ay magbibigay sa amin ng nais na mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya sa espasyo. Hanapin natin ang solusyon ng nakasulat na sistema ng mga equation.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo , at ang pinalawig .

Tukuyin natin A at ang ranggo ng matrix T . Ginagamit namin

Sa dalawang-dimensional na espasyo, dalawang linya ay nagsalubong lamang sa isang punto, na ibinigay ng mga coordinate (x, y). Dahil ang parehong mga linya ay dumadaan sa kanilang punto ng intersection, ang mga coordinate (x, y) ay dapat matugunan ang parehong mga equation na naglalarawan sa mga linyang ito. Sa ilang advanced na kasanayan, mahahanap mo ang mga intersection point ng mga parabola at iba pang quadratic curve.

Mga hakbang

Point ng intersection ng dalawang linya

Isulat ang equation ng bawat linya, ihiwalay ang variable na "y" sa kaliwang bahagi ng equation. Ang ibang mga termino ng equation ay dapat ilagay sa kanang bahagi ng equation. Marahil ang equation na ibinigay sa iyo sa halip na "y" ay naglalaman ng variable na f (x) o g (x); sa kasong ito ihiwalay ang naturang variable. Upang ihiwalay ang isang variable, gawin ang naaangkop na mga operasyong matematika sa magkabilang panig ng equation.

• Kung ang mga equation ng mga linya ay hindi ibinigay sa iyo, sa batayan ng impormasyong alam mo.
• Halimbawa. Ibinigay ang mga tuwid na linya na inilarawan ng mga equation at y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Upang ihiwalay ang "y" sa pangalawang equation, idagdag ang numero 12 sa magkabilang panig ng equation:

1. Hinahanap mo ang intersection point ng parehong linya, iyon ay, ang punto na ang (x, y) na mga coordinate ay nakakatugon sa parehong mga equation. Dahil ang variable na "y" ay nasa kaliwang bahagi ng bawat equation, ang mga expression sa kanang bahagi ng bawat equation ay maaaring i-equate. Sumulat ng bagong equation.

   • Halimbawa. kasi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) At y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), pagkatapos ay maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: .

2. Hanapin ang halaga ng variable na "x". Ang bagong equation ay naglalaman lamang ng isang variable na "x". Upang mahanap ang "x", ihiwalay ang variable na ito sa kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng paggawa ng naaangkop na math sa magkabilang panig ng equation. Dapat kang magkaroon ng isang equation tulad ng x = __ (kung hindi mo magagawa iyon, tingnan ang seksyong ito).

   • Halimbawa. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Idagdag 2x (\displaystyle 2x) sa bawat panig ng equation:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Ibawas ang 3 sa bawat panig ng equation:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Hatiin ang bawat panig ng equation ng 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Gamitin ang nahanap na halaga ng variable na "x" upang kalkulahin ang halaga ng variable na "y". Upang gawin ito, palitan ang nahanap na halaga na "x" sa equation (anumang) tuwid na linya.

   • Halimbawa. x = 3 (\displaystyle x=3) At y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Suriin ang sagot. Upang gawin ito, palitan ang halaga ng "x" sa isa pang equation ng isang tuwid na linya at hanapin ang halaga ng "y". Kung makakakuha ka ng iba't ibang mga halaga ng "y", tingnan kung tama ang iyong mga kalkulasyon.

   • Halimbawa: x = 3 (\displaystyle x=3) At y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Nakuha mo ang parehong halaga ng "y", kaya walang mga error sa iyong mga kalkulasyon.

5. Isulat ang mga coordinate (x, y). Sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng "x" at "y", natagpuan mo ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya. Isulat ang mga coordinate ng intersection point sa form (x, y).

   • Halimbawa. x = 3 (\displaystyle x=3) At y=6 (\displaystyle y=6)
   • Kaya, dalawang linya ay bumalandra sa isang punto na may mga coordinate (3,6).

6. Mga pagkalkula sa mga espesyal na kaso. Sa ilang mga kaso, ang halaga ng variable na "x" ay hindi mahanap. Pero hindi ibig sabihin na nagkamali ka. Ang isang espesyal na kaso ay nangyayari kapag ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natugunan:

   • Kung ang dalawang linya ay magkatulad, hindi sila nagsalubong. Sa kasong ito, ang variable na "x" ay mababawasan lamang, at ang iyong equation ay magiging isang walang kabuluhang pagkakapantay-pantay (halimbawa, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Sa kasong ito, isulat sa iyong sagot na ang mga linya ay hindi nagsalubong o walang solusyon.
   • Kung ang parehong mga equation ay naglalarawan ng isang tuwid na linya, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga intersection point. Sa kasong ito, ang variable na "x" ay mababawasan lamang, at ang iyong equation ay magiging isang mahigpit na pagkakapantay-pantay (halimbawa, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Sa kasong ito, isulat sa iyong sagot na ang dalawang linya ay nagtutugma.

   Mga problema sa quadratic function

   1. Kahulugan ng isang quadratic function. Sa isang quadratic function, ang isa o higit pang mga variable ay may pangalawang degree (ngunit hindi mas mataas), halimbawa, x 2 (\displaystyle x^(2)) o y 2 (\displaystyle y^(2)). Ang mga graph ng quadratic function ay mga kurba na maaaring hindi mag-intersect o mag-intersect sa isa o dalawang punto. Sa seksyong ito, sasabihin namin sa iyo kung paano hanapin ang punto o mga punto ng intersection ng quadratic curves.

   2. Isulat muli ang bawat equation sa pamamagitan ng paghihiwalay ng variable na "y" sa kaliwang bahagi ng equation. Ang ibang mga termino ng equation ay dapat ilagay sa kanang bahagi ng equation.

      • Halimbawa. Hanapin ang (mga) punto ng intersection ng mga graph x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) At
      • Ihiwalay ang variable na "y" sa kaliwang bahagi ng equation:
      • At y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Sa halimbawang ito, bibigyan ka ng isang quadratic function at isang linear function. Tandaan na kung bibigyan ka ng dalawang quadratic function, ang mga kalkulasyon ay pareho sa mga hakbang sa ibaba.

   3. Equate ang mga expression sa kanang bahagi ng bawat equation. Dahil ang variable na "y" ay nasa kaliwang bahagi ng bawat equation, ang mga expression sa kanang bahagi ng bawat equation ay maaaring i-equate.

      • Halimbawa. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) At y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Ilipat ang lahat ng termino ng resultang equation sa kaliwang bahagi nito, at isulat ang 0 sa kanang bahagi. Upang gawin ito, magsagawa ng mga pangunahing operasyon sa matematika. Papayagan ka nitong malutas ang resultang equation.

      • Halimbawa. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Ibawas ang "x" sa magkabilang panig ng equation:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Ibawas ang 7 mula sa magkabilang panig ng equation:

   5. Lutasin ang quadratic equation. Sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga termino ng equation sa kaliwang bahagi nito, makakakuha ka ng quadratic equation. Maaari itong malutas sa tatlong paraan: gamit ang isang espesyal na formula, at.

      • Halimbawa. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kapag isinasali ang equation, makakakuha ka ng dalawang binomial, na, kapag pinarami, ibibigay ang orihinal na equation. Sa ating halimbawa, ang unang miyembro x 2 (\displaystyle x^(2)) maaaring mabulok sa x*x. Gawin ang sumusunod na entry: (x)(x) = 0
      • Sa aming halimbawa, ang intercept -6 ay maaaring i-factor tulad ng sumusunod: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Sa aming halimbawa, ang pangalawang termino ay x (o 1x). Idagdag ang bawat pares ng intercept factor (sa aming halimbawa -6) hanggang sa makakuha ka ng 1. Sa aming halimbawa, ang tamang pares ng intercept factor ay -2 at 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), dahil − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Punan ang mga puwang ng natagpuang pares ng mga numero: .

   6. Huwag kalimutan ang tungkol sa pangalawang punto ng intersection ng dalawang graph. Kung malutas mo ang problema nang mabilis at hindi masyadong maingat, maaari mong kalimutan ang tungkol sa pangalawang punto ng intersection. Narito kung paano hanapin ang "x" na mga coordinate ng dalawang intersection point:

      • Halimbawa (factoring). Kung sa equation (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) ang isa sa mga expression sa mga bracket ay magiging katumbas ng 0, kung gayon ang buong equation ay magiging katumbas ng 0. Samakatuwid, maaari nating isulat ito tulad nito: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) At x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (iyon ay, nakita mo ang dalawang ugat ng equation).
      • Halimbawa (gumamit ng formula o kumpletong parisukat). Kapag ginagamit ang isa sa mga pamamaraang ito, lilitaw ang isang square root sa proseso ng solusyon. Halimbawa, ang equation mula sa aming halimbawa ay kukuha ng anyo x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Tandaan na kapag kinuha ang square root, makakakuha ka ng dalawang solusyon. Sa kaso natin: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), At 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Kaya isulat ang dalawang equation at hanapin ang dalawang x value.

   7. Ang mga graph ay nagsa-intersect sa isang punto o hindi nagsa-intersect. Ang ganitong mga sitwasyon ay nangyayari kapag ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

      • Kung ang mga graph ay nagsalubong sa isang punto, ang quadratic equation ay nabubulok sa pantay na mga kadahilanan, halimbawa, (x-1) (x-1) = 0, at ang square root ng 0 ay lilitaw sa formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Sa kasong ito, ang equation ay mayroon lamang isang solusyon.
      • Kung ang mga graph ay hindi nagsalubong, kung gayon ang equation ay hindi nagfa-factor, at ang square root ng isang negatibong numero ay lilitaw sa formula (halimbawa, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Sa kasong ito, isulat sa sagot na walang solusyon.

1. Upang mahanap ang mga coordinate ng intersection point ng mga graph ng mga function, kailangan mong equate ang parehong mga function sa isa't isa, ilipat ang lahat ng mga term na naglalaman ng $ x $ sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanang bahagi at hanapin ang mga ugat ng resultang equation.
2. Ang pangalawang paraan ay ang pagbuo ng isang sistema ng mga equation at lutasin ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang function sa isa pa
3. Ang ikatlong paraan ay nagsasangkot ng graphic na pagbuo ng mga function at ang visual na kahulugan ng intersection point.

Kaso ng dalawang linear na function

Isaalang-alang ang dalawang linear na function $ f(x) = k_1 x+m_1 $ at $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ang mga function na ito ay tinatawag na direkta. Ang pagbuo ng mga ito ay sapat na madali, kailangan mo lang kumuha ng anumang dalawang halaga na $x_1$ at $x_2$ at hanapin ang $f(x_1)$ at $(x_2)$. Pagkatapos ay ulitin ang parehong sa $ g(x) $ function. Susunod, biswal na hanapin ang coordinate ng intersection point ng mga function graph.

Dapat mong malaman na ang mga linear na function ay may isang intersection point lamang at kapag $ k_1 \neq k_2 $. Kung hindi man, sa kaso ng $ k_1=k_2 $, ang mga function ay parallel sa isa't isa, dahil ang $ k $ ay ang slope factor. Kung $ k_1 \neq k_2 $, ngunit $ m_1=m_2 $, ang intersection point ay magiging $ M(0;m) $. Ito ay kanais-nais na tandaan ang panuntunang ito para sa pinabilis na paglutas ng problema.

Halimbawa 1

Hayaang ibigay ang $ f(x) = 2x-5 $ at $ g(x)=x+3 $. Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng mga function graph.

Solusyon

Paano ito gagawin? Dahil ipinakita ang dalawang linear na function, ang unang tinitingnan natin ay ang coefficient ng slope ng parehong function $ k_1 = 2 $ at $ k_2 = 1 $. Tandaan na $ k_1 \neq k_2 $, kaya mayroong isang intersection point. Hanapin natin ito gamit ang equation na $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Inilipat namin ang mga termino mula sa $ x $ sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: $$ 2x - x = 3+5 $$ Nakuha namin ang $ x=8 $ abscissa ng intersection point ng mga graph, at ngayon ay hanapin natin ang ordinate. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang $ x = 8 $ sa alinman sa mga equation alinman sa $ f(x) $ o sa $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Kaya, ang $ M (8;11) $ - ay ang intersection point ng mga graph ng dalawang linear na function. Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa isang napapanahong paraan!

Sagot

$$ M (8;11) $$

Kaso ng dalawang non-linear na function

Halimbawa 3

Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng mga function graph: $ f(x)=x^2-2x+1 $ at $ g(x)=x^2+1 $

Solusyon

Paano ang tungkol sa dalawang non-linear na function? Ang algorithm ay simple: equation namin ang mga equation sa bawat isa at hanapin ang mga ugat: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Ikinakalat namin ang mga termino na may $ x $ at wala ito sa iba't ibang panig ng equation: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Ang abscissa ng nais na punto ay natagpuan, ngunit ito ay hindi sapat. Ang ordinate $ y $ ay wala pa rin. Palitan ang $ x = 0 $ sa alinman sa dalawang equation ng pahayag ng problema. Halimbawa: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - intersection point ng mga function graph

Sagot

$$ M (0;1) $$