Kung ang function f(x) ay may ilang pagitan na naglalaman ng isang punto A, derivatives ng lahat ng mga order, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:

saan rn- ang tinatawag na natitirang termino o ang natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:

, kung saan ang bilang x ay nakapaloob sa pagitan X At A.

Kung para sa ilang halaga x r n®0 sa n®¥, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula para sa halagang ito ay nagiging convergent formula Serye ni Taylor:

Kaya ang function f(x) maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa isinasaalang-alang na punto X, Kung:

1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;

2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Sa A=0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:

Halimbawa 1 f(x)= 2x.

Solusyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x sa 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivatives sa pormula ng serye ng Taylor, nakukuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, kaya ang pagpapalawak na ito ay valid para sa -¥