Ang parallelepiped ay isang prisma na ang mga base ay parallelograms. Sa kasong ito, ang lahat ng mga gilid ay magiging paralelograms.
Ang bawat parallelepiped ay maaaring ituring bilang isang prisma sa tatlong magkakaibang paraan, dahil ang bawat dalawang magkasalungat na mukha ay maaaring kunin bilang mga base (sa Fig. 5, nakaharap sa ABCD at A"B"C"D", o ABA"B" at CDC"D ", o BCB "C" at ADA"D").
Ang katawan na pinag-uusapan ay may labindalawang mga gilid, apat na pantay at parallel sa bawat isa.
Teorama 3 . Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na tumutugma sa gitna ng bawat isa sa kanila.
Ang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ay may apat na diagonal AC", BD", CA", DB". Dapat nating patunayan na ang mga midpoint ng alinman sa mga ito, halimbawa AC at BD", ay nag-tutugma. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang figure na ABC"D", na may pantay at magkatulad na panig AB at C"D", ay isang paralelogram.
Kahulugan 7 . Ang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped na isa ring tuwid na prisma, iyon ay, isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa eroplano ng base.
Kahulugan 8 . Ang isang parihabang parallelepiped ay isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba. Sa kasong ito, ang lahat ng mga mukha nito ay magiging mga parihaba.
Ang isang parihabang parallelepiped ay isang tamang prisma, kahit na alin sa mga mukha nito ang kunin bilang base, dahil ang bawat isa sa mga gilid nito ay patayo sa mga gilid na umuusbong mula sa parehong vertex, at, samakatuwid, ay patayo sa mga eroplano ng mga mukha na tinukoy. sa pamamagitan ng mga gilid na ito. Sa kaibahan, ang isang tuwid, ngunit hindi hugis-parihaba, parallelepiped ay maaaring tingnan bilang isang tamang prisma sa isang paraan lamang.
Kahulugan 9 . Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped, kung saan walang dalawa ay parallel sa isa't isa (halimbawa, tatlong mga gilid na umuusbong mula sa parehong vertex), ay tinatawag na mga sukat nito. Dalawang parihabang parallelepiped na may katumbas na pantay na sukat ay malinaw na pantay sa isa't isa.
Kahulugan 10 .Ang kubo ay isang parihabang parallelepiped, ang lahat ng tatlong dimensyon ay pantay sa isa't isa, kaya't ang lahat ng mukha nito ay mga parisukat. Dalawang cube na ang mga gilid ay pantay ay pantay.
Kahulugan 11 . Ang isang inclined parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay sa isa't isa at ang mga anggulo ng lahat ng mga mukha ay pantay o komplementaryo ay tinatawag na rhombohedron.
Ang lahat ng mga mukha ng isang rhombohedron ay pantay na mga rhombus. (Ang ilang mga kristal na may malaking kahalagahan ay may hugis na rhombohedron, halimbawa, Iceland spar crystals.) Sa isang rhombohedron maaari kang makahanap ng isang vertex (at kahit na dalawang magkasalungat na vertices) na ang lahat ng mga anggulo na katabi nito ay pantay sa bawat isa.
Teorama 4 . Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa. Ang parisukat ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon.
Sa parihabang parallelepiped ABCDA"B"C"D" (Larawan 6), ang mga diagonal na AC" at BD" ay pantay, dahil ang may apat na gilid na ABC"D" ay isang parihaba (ang tuwid na linyang AB ay patayo sa eroplanong ECB" C", kung saan namamalagi ang BC") ).
Bilang karagdagan, ang AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 batay sa theorem tungkol sa parisukat ng hypotenuse. Ngunit batay sa parehong teorama AD" 2 = AA" 2 + + A"D" 2; kaya tayo may:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Teorama. Sa anumang parallelepiped, ang magkasalungat na mga mukha ay pantay at parallel.

Kaya, ang mga mukha (Fig.) BB 1 C 1 C at AA 1 D 1 D ay magkatulad, dahil ang dalawang intersecting na linya BB 1 at B 1 C 1 ng isang mukha ay parallel sa dalawang intersecting na linya AA 1 at A 1 D 1 ng Yung isa. Magkapantay ang mga mukha na ito, dahil B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (bilang magkasalungat na panig ng parallelograms) at ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorama. Sa anumang parallelepiped, lahat ng apat na diagonal ay nagsalubong sa isang punto at nahahati dito.

Kunin natin (Fig.) ang ilang dalawang diagonal sa parallelepiped, halimbawa, AC 1 at DB 1, at gumuhit ng mga tuwid na linya AB 1 at DC 1.

Dahil ang mga gilid AD at B 1 C 1 ay ayon sa pagkakabanggit ay pantay at parallel sa gilid BC, kung gayon sila ay pantay at parallel sa isa't isa.

Bilang resulta, ang figure ADC 1 B 1 ay isang parallelogram kung saan ang C 1 A at DB 1 ay mga diagonal, at sa isang parallelogram ang mga diagonal ay nagsalubong sa kalahati.

Ang patunay na ito ay maaaring ulitin para sa bawat dalawang diagonal.

Samakatuwid, ang dayagonal na AC 1 ay nag-intersect sa BD 1 sa kalahati, ang diagonal na BD 1 ay nag-intersect sa A 1 C sa kalahati.

Kaya, ang lahat ng mga diagonal ay bumalandra sa kalahati at, samakatuwid, sa isang punto.

Teorama. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.

Hayaang (Fig.) AC 1 ay ilang dayagonal ng isang parihabang parallelepiped.

Pagguhit ng AC, nakakakuha kami ng dalawang tatsulok: AC 1 C at ACB. Pareho silang hugis-parihaba:

ang una dahil ang parallelepiped ay tuwid, at samakatuwid ang gilid CC 1 ay patayo sa base,

ang pangalawa dahil ang parallelepiped ay parihaba, ibig sabihin ay may parihaba sa base nito.

Mula sa mga tatsulok na ito makikita natin:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 at AC 2 = AB 2 + BC 2

Samakatuwid, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Bunga. Sa isang parihabang parallelepiped lahat ng diagonal ay pantay.

Magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school na matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa Unified State Examination upang mahanap ang volume at iba pang hindi kilalang parameter ng isang parihabang parallelepiped. Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapatunay sa katotohanan na ang gayong mga gawain ay medyo mahirap para sa maraming mga nagtapos.

Kasabay nito, ang mga mag-aaral sa high school na may anumang antas ng pagsasanay ay dapat na maunawaan kung paano hanapin ang volume o lugar ng isang parihabang parallelepiped. Sa kasong ito lamang sila makakaasa sa pagtanggap ng mapagkumpitensyang mga marka batay sa mga resulta ng pagpasa sa pinag-isang pagsusulit ng estado sa matematika.

Mga pangunahing punto na dapat tandaan

• Ang mga parallelogram na bumubuo sa isang parallelepiped ay ang mga mukha nito, ang kanilang mga gilid ay ang mga gilid nito. Ang vertices ng mga figure na ito ay itinuturing na vertices ng polyhedron mismo.
• Ang lahat ng mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay. Dahil ito ay isang tuwid na polyhedron, ang mga gilid na mukha ay mga parihaba.
• Dahil ang isang parallelepiped ay isang prisma na may parallelogram sa base nito, ang figure na ito ay may lahat ng mga katangian ng isang prisma.
• Ang mga lateral na gilid ng isang parihabang parallelepiped ay patayo sa base. Samakatuwid, sila ang mga taas nito.

Maghanda para sa Unified State Exam kasama si Shkolkovo!

Upang gawing madali at pinakamabisa ang iyong mga klase hangga't maaari, piliin ang aming portal ng matematika. Dito makikita mo ang lahat ng kinakailangang materyal na kakailanganin mo bilang paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit ng estado.

Ang mga espesyalista ng proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo ay nagmumungkahi na pumunta mula sa simple hanggang sa kumplikado: una ay nagbibigay kami ng teorya, mga pangunahing pormula at elementarya na mga problema sa mga solusyon, at pagkatapos ay unti-unting lumipat sa mga gawain sa antas ng dalubhasa. Maaari kang magsanay, halimbawa, gamit ang .

Makikita mo ang kinakailangang pangunahing impormasyon sa seksyong "Theoretical Information". Maaari mo ring simulan kaagad ang paglutas ng mga problema sa paksang "Rectangular parallelepiped" online. Ang seksyong "Catalogue" ay nagpapakita ng malaking seleksyon ng mga pagsasanay na may iba't ibang antas ng kahirapan. Regular na ina-update ang database ng gawain.

Tingnan kung madali mong mahahanap ang volume ng isang parihabang parallelepiped ngayon. Pag-aralan ang anumang gawain. Kung ang ehersisyo ay madali para sa iyo, magpatuloy sa mas mahihirap na gawain. At kung may ilang mga paghihirap na lumitaw, inirerekumenda namin na planuhin mo ang iyong araw sa paraang kasama sa iyong iskedyul ang mga klase sa Shkolkovo remote portal.

Ang parallelepiped ay isang geometric figure, lahat ng 6 na mukha ay parallelograms.

Depende sa uri ng mga parallelogram na ito, ang mga sumusunod na uri ng parallelepiped ay nakikilala:

• tuwid;
• hilig;
• hugis-parihaba.

Ang kanang parallelepiped ay isang quadrangular prism na ang mga gilid ay gumagawa ng isang anggulo na 90° sa eroplano ng base.

Ang isang parihabang parallelepiped ay isang quadrangular prism, na ang lahat ng mga mukha ay parihaba. Ang cube ay isang uri ng quadrangular prism kung saan ang lahat ng mukha at gilid ay pantay sa isa't isa.

Ang mga tampok ng isang figure ay paunang natukoy ang mga katangian nito. Kabilang dito ang sumusunod na 4 na pahayag:

Madaling tandaan ang lahat ng mga katangian sa itaas, madali silang maunawaan at lohikal na nakuha batay sa uri at katangian ng geometric na katawan. Gayunpaman, ang mga simpleng pahayag ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga karaniwang gawain sa PAGGAMIT at makakatipid sa oras na kailangan upang makapasa sa pagsusulit.

Mga parallelepiped na formula

Upang makahanap ng mga sagot sa problema, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian ng figure. Maaaring kailanganin mo rin ang ilang mga formula para sa paghahanap ng lugar at dami ng isang geometric na katawan.

Ang lugar ng mga base ay matatagpuan sa parehong paraan tulad ng kaukulang tagapagpahiwatig ng isang paralelogram o parihaba. Maaari mong piliin ang base ng paralelogram sa iyong sarili. Bilang isang patakaran, kapag ang paglutas ng mga problema ay mas madaling magtrabaho sa isang prisma, ang base nito ay isang rektanggulo.

Ang formula para sa paghahanap ng lateral surface ng isang parallelepiped ay maaari ding kailanganin sa mga pagsubok na gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang gawain ng Unified State Exam

Ehersisyo 1.

Ibinigay: isang parihabang parallelepiped na may sukat na 3, 4 at 12 cm.
Kailangan hanapin ang haba ng isa sa mga pangunahing dayagonal ng pigura.
Solusyon: Ang anumang solusyon sa isang geometric na problema ay dapat magsimula sa pagbuo ng isang tama at malinaw na pagguhit, kung saan "ibinigay" at ang nais na halaga ay ipahiwatig. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang halimbawa ng tamang pagpapatupad ng mga kondisyon ng gawain.

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa pagguhit na ginawa at pag-alala sa lahat ng mga katangian ng geometric na katawan, dumating kami sa tanging tamang paraan ng solusyon. Ang paglalapat ng ika-4 na pag-aari ng isang parallelepiped, nakuha namin ang sumusunod na expression:

Pagkatapos ng mga simpleng kalkulasyon, nakukuha natin ang expression na b2=169, samakatuwid b=13. Ang sagot sa gawain ay natagpuan; kailangan mong gumugol ng hindi hihigit sa 5 minuto sa paghahanap at pagguhit nito.

Gawain 2.

Ibinigay: isang inclined parallelepiped na may gilid na gilid na 10 cm, isang parihaba KLNM na may sukat na 5 at 7 cm, na isang cross section ng figure na kahanay sa tinukoy na gilid.
Kailangan hanapin ang lateral surface area ng quadrangular prism.
Solusyon: Una kailangan mong i-sketch ang ibinigay.

Upang malutas ang gawaing ito kailangan mong gumamit ng katalinuhan. Ipinapakita ng figure na ang mga panig na KL at AD ay hindi pantay, gayundin ang pares ng ML at DC. Gayunpaman, ang mga perimeter ng mga paralelogram na ito ay malinaw na pantay.

Dahil dito, ang lateral area ng figure ay magiging katumbas ng sectional area na pinarami ng gilid AA1, dahil sa kondisyon ang gilid ay patayo sa seksyon. Sagot: 240 cm2.